Curs matematica Valori si vectori proprii

8/12/2019 Curs matematica Valori si vectori proprii

1/10

Capitolul 5

VALORI SI VECTORI PROPRII

an universitar 2006/2007Problema: data matricea A Mn(K), sa se determine o matrice nesingulara PMn(K) astfel ncat matricea B= P

1 A P sa aiba o forma cat mai simpla. Pentru arezolva aceasta problema introducem notiunile: valoare proprie, vector propriu, polinomcaracteristic etc.

Definitia 5.1 Fie matricea A = (aij)i,j=1,n Mn(K). Vectorul coloan ax =

x1...xn

Mn1(K)pentru care exist a K astfel ncat: Ax= x, x6= Mn1(K) se numestevectorpropriual matriceiA, iar valoare proprie a matriceiA.

Observatia 5.1 Daca x este vector propriu a matricei A, atunci K \ {0}, vectorulxeste tot vector propriu deoarece Ax= x Ax= x A(x) =(x).

Multimea valorilor K care sunt valori proprii ale matricei A se numeste spectrulluiA si se noteaza(A). Raza spectrala a matricei A este numarul real pozitiv (A) =max {|| , (A)} .

Notam cu S(A) = {x|x Mn1(K) : K : Ax = x} multimea vectorilorproprii ai matricei A corespunzatori valorii proprii la care este adaugat si vectorul

nul.

Teorema 5.1 Fie matriceaA Mn(K).a) MultimeaS(A) are structur a de subspatiu liniar al spatiului liniarMn1(K).b) Subspatiile proprii corespunz atoare valorilor proprii distincte nu au n comun decat

vectorul nul, adic a dac a16=2S1(A) S2(A) =Mn1(K)

.

Demonstratie. a) Observam din definitia luiS(A) ca n aceasta multime este inclus sivectorul coloana nul Mn1(K). Demonstram caS(A) este subspatiu liniar folosind teoremade caracterizare a subspatiilor liniare.

53


2/10


3/10

55

Definitia 5.3 FieA Mn(K). Se numesteminor principal de ordin k al matriceiAun minor de ordink format la intersectia ak linii si coloane cu acelasi indice.

Observatia 5.3 FieA Mn(K).SuntCkn minori principali de ordin k, iar suma acestorase noteazak. In particular1 =

nXi=1

aii se numesteurma (n englezatrace) matriceiA si

se noteazaT r(A). Mai observam ca n= det(A).

Teorema 5.2 FieA Mn(K). Au loc afirmatiile:a) Polinomul caracteristic al matriceiA este un polinom de graduln cu coeficienti din

K.b) Polinomul caracteristic are expresia

P() = (1)n

(n

1n1 +2

n2 +...+ (1)n

n) (5.3)

unde: 1=nXi=1

aii=T r(A) (urma matriceiA),

2=

a11 a12a21 a22

+

a11 a13a31 a33

+ +

an1.n1 an1,nan,n1 an,n

i= suma minorilor principali de ordinuli ai matriceiA. n= det(A).

Exemplul 5.2 Sa se calculeze polinomul caracteristic al matricei

A=

1 0 2 10 1 4 22 1 0 12 1 1 2

.

Rezolvare. 1 = 1 + 1 + 0 + 2 = 4

2=

1 00 1

+

1 22 0

+

1 12 2

+

1 41 0

+

1 21 2

+

0 11 2

=

= 1 4 + 4 + 4 + 0 + 1 = 6

3= 1 0 2

0 1 42 1 0

1,2,3

+ 1 4 21 0 11 1 2

2,3,4

+ 1 2 12 0 12 1 2

1,3,4

+

+

1 0 10 1 2

2 1 2

1,2,4

= 4

4= det(A) = 1P() =4 43 + 62 4+ 1 = ( 1)4

Teorema 5.3 Dou a matrice asemenea au aceleasi valori proprii.


4/10

56 CAPITOLUL 5. VALORI SI VECTORI PROPRII

Demonstratie. Demonstram ca doua matrice asemenea au acelasi polinom caracteristicsi de aici va rezulta ca au aceleasi valori proprii. Fie A, B Mn(K) doua matrice aseme-nea. Atunci exista o matrice P

Mn(K), nesingulara astfel ncat B= P

1AP. Folosind

definitia polinomului caracteristic obtinem:PB() = det(B In) = det(P1AP P1P) = det P1(A In)P==det(P1) det(A In)det P= det(A In) =PA()

deoarece det(P1) = 1/ det(P).

Observatia 5.4 Reciproca nu este adev arata. Faptul ca matricele au aceleasi valori proprii

este o conditie necesara, dar nu suficienta de asemanare. Consideram matricele

0 10 0

si

0 00 0

. Se observa ca fiecare are valoarea proprie 0 cu multiplicitatea 2 dar nu sunt

asemenea.

Definitia 5.4 FieA Mn(K).Dac a este o valoare proprie a luiA,atuncidim S(A)senumestemultiplicitate geometrica a valorii proprii. Multiplicitatea valorii proprii,ca r ad acin a a polinomului caracteristic, notat am(),se numestemultiplicitate algebricaa valorii proprii.

Observatia 5.5 Multiplicitatea geometrica este numarul maxim de vectori liniar indepen-denti din S(A).

Teorema 5.4 Dac a este valoare proprie a matriceiA de multiplicitate algebric am(),

atunci dimKS(A) m().(multiplicitate geometric a este mai mic a sau egal a cu multi-plicitate algebric a).

Teorema 5.5 Fie matriceaAMn(K). Vectorii proprii corespunz atori valorilor propriidistincte sunt liniar independenti.

Demonstratie. Fie x1, x2,..., xpvectorii proprii corespunzatori valorilor proprii1, 2,...,p.Vom demonstra ca daca valorile proprii 1, 2,...,p sunt distincte atunci vectorii propriicorespunzatorix1, x2, ..., xp sunt liniar independenti.

Demonstratia se face prin inductie dupap.Pentru p = 1 afirmatia este evident adevarata (avem un singur vector propriu nenul,

liniar independent).Presupunem afirmatia adevarata pentru un sistem de p 1 vectori proprii si o demon-

stram pentru un sistem dep vectori.Fie sistemul de vectori proprii (x1, x2,..., xp) si demon-stram ca este liniar independent.Fie (1,...,p) Rp si

1x1+2x2+...+pxp= Mn1(K) (5.4)

Inmultim relatia (5.4) la stanga cup si obtinem:

1px1+2px2+...+ppxp= Mn1(K). (5.5)


5/10

57

Pe de alta parte, daca aplicam matriceaA relatiei (5.4) obtinem:1Ax1+2Ax2+...+pAxp= Mn1(K)

sau, tinand sema caAxi = ixi, i= 1, p,

11x1+22x2+...+pxpvp= 0Mn1(K). (5.6)

Scadem din (5.5) relatia(5.6) si obtinem:1(1 p)x1+2(2 p)x2+...+p1(p1 p)xp1= n.Deoarece sistemul de vectori (x1, x2, ..., xp1) este liniar independent si valorile proprii

sunt distincte, rezulta 1 = 2 = ... = p1. Inlocuim n (5.4) valorile lui i, i = 1, p 1rezulta pxp =0Mn1(K), xp 6= Mn1(K) p = 0, deci sistemul de vectori (x1, x2,..., xp)este liniar independent.

Definitia 5.5 Se numestematrice diagonalizabilaorice matrice asemenea cu o matrice

diagonal a.

Teorema 5.6 O matriceA Mn(K) este diagonalizabil adaca si numai daca exist a obaz a nMn1(K) format a din vectorii proprii ai matriceiA.

Exemplul 5.3 Fie matricea A M3(R),

A=

3 7 52 4 31 2 2

.

Sa se studieze daca matricea este diagonalizabila si n caz afirmativ sa se determine

matricea diagonala si matricea modal

a.

Rezolvare. Pentrudeterminarea valorilor proprii sia multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic: P() = (1)3(3 12 +2 3)

1= 3 + 4 + 2 = 32=

3 72 4

+

4 32 2

+

3 51 2

= 12 + 14 + 8 6 6 + 5 = 3

3= det(A) = 1P() = (3 32 + 3 1) = ( 1)31 = 2=3= 1, m(1) = 3.Matricea are o singura valoare proprie = 1 cu multiplicitatea algebrica 3.

Pentru determinarea vectorilor proprii si stabilirea multiplicitatilor geome-tirceale valorilor proprii rezolvam sistemul

(A I)x= 0R3 x1 = 3x3, x2 = x3

S1(A) ={x R3|x= 311

} dimR S1(A) = 1(multiplicitatea geometrica)6= 3

(multiplicitatea algebrica a radacinii). Rezulta ca matricea nu este diagonalizabila.

Consecinta 5.1 Dac aA Mn(K) arenvalori proprii distincte, atunciA este diagonal-izabil a.


6/10


Demonstratie. Conform Teoremei 5.5, deoarece 1, 2,...,n sunt n valori proprii dis-tincte ale lui A si (x1, x2,..., xn) sunt vectorii proprii corespunzatori, acesti vectori suntliniar independenti, sunt n numar de n, dimRMn1(K) = n, deci constiuie o baza n

Mn1(K).Conform Teoremei 5.6 matricea Aeste diagonalizabila.Enuntam fara demonstratie urmatoarele rezultate:

Teorema 5.7 (Teorema lui Jordan)O matriceA Mn(K) este diagonalizabil adacasi numai daca

a) toate r ad acinile polinomului caracteristicP() sunt nK,b) pentru orice valoare propriedimK S(A) = m(), m() notand ordinul de multipli-

citate algebric a a valorii proprii (multiplicitatea algebric a este egal a cu multiplicitateageometric a).

Teorema 5.8 Orice matrice real a simetric a, A Msn(R), este ortogonal asemenea cu omatrice diagonal a.

Observatia 5.6 MatriceaP se obtine astfel: consideram o baza ortonormata obtinuta dinvectori proprii ai matricei A prin procedeul Gram-Schmidt si matricea ortogonala Pva fiformata pe coloane din coordonatele acestor vectori n baza canonica. Evident, matriceaPnu este unica, ea depinzand de alegerea bazei.

Observatia 5.7 Este evident ca teoria valorilor si a vectorilor proprii dezvoltata panaacum pentru matrice poate ficonstruita n paralel pentru multiplicarea la stanga cu vectori

linie. Valorile proprii vorfi

aceleasi n acest caz, dar vectorii proprii sunt diferiti.

5.1 Algoritmul de diagonalizare a unei matrici

Fie matriceaA Mn(K).Determinarea valorilor proprii ale matricei A.Pasul 1. Determinam polinomul caracteristicP() = det(AIn).Calculam radacinile

polinomului caracteristic. Daca exista macar o radacina care nu este n K, conditia a) dinTeorema 5.7 nu este satisfacuta, deci algoritmul se opreste. Matricea A nu poate fi adusala forma diagonala.

Daca toate radacinile polinomului caracteristic sunt n K, trecem la Pasul 2.Pasul 2. Fie1, 2,...,p valorile proprii distincte cu ordinele de multiplicitate algebrica

m(1), m(2), ..., m(p).Determinarea vectorilor proprii ale matricei A.Pasul 3. Rezolvam celepsisteme liniare si omogene(A iIn)x= Mn1(K), i= 1, p.Explicitam subspatiile proprii Si(A) =

x Mn1(K) :(A iIn)x= Mn1(K)

, i=

1, p si punem n evidenta cate o baza n fiecare dintre ele. Calculam dim Si(A) =ni, i=1, p.


7/10

5.1. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 59

Pasul 4. Dacani=m(i),i= 1, p, matricea poate fi adusa la forma diagonala si trecemla Pasul 5. In caz contrar conditia b) din Teorema 5.7 nu este satisfacuta, deci algoritmulse opreste.

Determinarea formei diagonale.Pasul 5. Am ajuns la Pasul 5 cand conditiile Teoremei 5.7 au fost ndeplinite, matricea

Aeste diagonalizabila. Matricea diagonala are formaD= diag[1,...,1| {z }, 2,...,2| {z },...,p,...,p| {z }]

n1 ori n2 ori np oriiar vecrorii proprii sunt reuniunea bazelor din toate subspatiile proprii determinate anterior.

Matricea modala P, care este si matricea de asemanare, are coloanele formate dinvectorii.proprii. Are loc relatia

D= P1AP.

Exemplul 5.4 Fie matriceaA M4(R),

A=

1 0 0 10 1 0 00 0 1 21 0 2 5

Sa se stabilesca daca matricea este diagonalizabila si n caz afirmativ sa se determinematricea diagonala.

Rezolvare. Pentrudeterminarea valorilor proprii sia multiplicitatilor algebricecalculam polinomul caracteristic:

P() = (

1)4(4

83 + 132

6) =(

6)(

1)2

Valorile propriisunt1 = 0, m(0) = 1,2 = 6, m(6) = 1,3 = 4= 1, m(1) = 2.

Pentru 1 = 0, S0(A) ={x R4|x= 1 0 2 1 T , R}, dimR S1(A) = 1 =

m(0),

Pentru 2 = 6, S6(A) = {x R4(R)|x =

1 0 2 5 T , R}, dimRS6(A) =1 =m(6),

Pentru 3 = 4 = 1,

S1(A) ={x R4|x=

0

100

+

2

010

, , R},dimR S1(A) = 2 =m(1).

Deoarece ni = m(i), i = 1, 2, 3, endomorfismul este diagonalizabil, iar matriceadiagonala este

D=

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 6

, iarmatricea modalaeste P =

1 0 2 10 1 0 02 0 1 21 0 0 5

.


8/10


Exemplul 5.5 Sa se aduca la forma diagonala matricea

A=

1 0 20 0 0

2 0 4

si sa se determine matricea ortogonala de asemanare.

Rezolvare. Calculam polinomul caracteristic care n acest caz se obtine mai usor folosinddefinitia:

P() = det

1 0 20 02 0 4

= 2( 5).

Obtinem: 1=2 = 0, m(0) = 2 si 3 = 5, m(5) = 1.

Determinam vectorii proprii: pentru1 = 2 = 0 rezolvam sistemulAx = R3 folosindtransformarile elementare,

1 0 20 0 02 0 4

1 0 20 0 00 0 0

x1 2x3 = 0, x2 R

deci x S0(A) x=

2x3x2x3

=x3

201

+x2

010

dimR S0(A) = 2.

Pentru = 5 rezolvam sistemul (A 5I3)x= R3 folosind transformarile elementare,

4 0

2

0 5 02 0 1

1 0 1

2

0 5 02 0 4

1 0 1

2

0 5 00 0 0

1 0 1

2

0 1 00 0 0

x1+

12

x3 = 0x2 = 0

x S5(A) x=1

2x3

0x3

=x3

1

2

01

.

Baza formata din vectorii proprii este:

v1 =

201

, v2 =

010

, v3 =

1

2

01

.

Observ

am c

a vectorii sunt ortogonali.

Ii normaliz

am si form

am matricea modal

a careare drept coloane vectorii proprii ortonormati.

P=

25

0 15

0 1 015

0 25

si

PTAP=

25

5 0 1

5

5

0 1 0

15

5 0 2

5

5

1 0 20 0 02 0 4

25

0 15

0 1 015

0 25

=

0 0 00 0 00 0 5

.


9/10

5.1. ALGORITMUL DE DIAGONALIZARE A UNEI MATRICI 61

5.1.1 POLINOAME DE MATRICE

Definitia 5.6 Fie Q Rm[x] :Q(x) =a0x

m

+a1xm1

+ +am1x+am, a06= 0.FieA Mn(R). Matricea notat aQ(A), definit a prin:Q(A) =am0A +a

m11 A + +am1A +amIn

se numestepolinom de matrice A definit deQ.

Observatia 5.8 Evident Q(A) Mn(R).Teorema 5.9 (Teorema Cayley-Hamilton)

Orice matrice A Mn(R) verific a propriul s au polinom caracteristic, adic a dac aPA() = det(A In), atunciPA(A) = 0.

Demonstratie.

Fie A Mn(R). Stim ca AA = det(A)In, unde matricea A este adjuncta matriceiA. Fie PA() = det(A In) polinomul sau caracteristic. Avem deci

(A In)(A In)= PA()In (5.7)Matricea (A In) are ca elemente polinoame de grad cel mult 1, (A In) este o

matrice care are ca elemente polinoame de grad cel mult n 1, iarPA()In este o matriceavand elemente de grad cel mult n. Deci

(A In) =Bn1n1 + Bn2n2 + + B1+ B0unde Bi Mn(R),i= 0, n 1.

FiePA() = det(A In) = (1)n(n 1n1 + + (1)n1n1+ (1)nn)polinomul caracteristic al matricei A(Teorema 5.2). Egalitatea (5.7) devine

(A In)(Bn1n1 + Bn2n2 + + B1 + B0) = (1)n(n 1n1 + +(1)n1n1+ (1)nn)Insau

Bn1n + (Bn2ABn1)n1 + (Bn3 ABn2)n2 + +(B0 AB1) + AB0 == ((1)nIn)n + ((1)n11In)n1 + + (n1In)+nInPrin identificare dupa puterile lui rezulta:

Bn1 = (1)n

In |An

Bn2 ABn1 = (1)n11In|An1Bn3 ABn2 = (1)n22In|An2 B0 AB1= n1In |AAB0=nIn

(5.8)

Adunand relatiile (5.8) membru cu membru, obtinemPA(A) = 0

si demonstratia este terminata.


10/10


Teorema 5.10 Orice putere a matriceiA de grad n, A Mn(K), poate fiexprimat aca o combinatie liniar a de puteri a lui A mai mici sau egale decat n 1(ca un polinommatriceal de grad mai mic sau egal cun

1).

Demonstratie.

FiePA() = det(AIn) = (1)n(n 1n1+2n2+ + (1)n1n1+ (1)nn)polinomul caracteristic al matriceiA.Conform Teoremei 5.9 avem ca PA(A) = 0 sau

(1)nAn + (1)n11An1 + (1)n22An2 + n1A +nIn= 0sau

An =1An1 2An2 + (1)n2n1A + (1)nnIn,

atunciAn+1 =1A

n1 2An2 + (1)n2n1A2 + (1)nnAiarAn se poate nlocui cu valoarea anterioara. Atunci, din aproape n aproape, rezulta ca

puterileAn+m

, m N, exprimabile cu ajutorul puterilorAn1

, An2

, , A, In.

Exemplul 5.6 Folosind Teorema Cayley-Hamilton, sa se calculeze A1, stiind ca

A=

1 0 07 1 04 2 1

Calculam polinomul caracteristic al matricei A, P() =( 1)3. Folosind TeoremaCayley-Hamilton obtinem

P(A) =A3 3A2 + 3A I3= 0 A3 3A2 + 3A= I3A(A2

3A + 3I3) =I3

A1 =A2

3A + 3I3.

Dar

A2 =

1 0 07 1 04 2 1

1 0 07 1 04 2 1

=

1 0 014 1 022 4 1

A1 =

1 0 014 1 022 4 1

3

1 0 07 1 04 2 1

+ 3

1 0 00 1 00 0 1

=

1 0 07 1 010 2 1

.

Curs matematica Valori si vectori proprii

Documents

Transcript of Curs matematica Valori si vectori proprii