Curs 2_II_Bazele Logice 1

8/17/2019 Curs 2_II_Bazele Logice 1

1/13


2/13

Di$'re ri$cialele alicaii ale lo"icii (i$ (ome$iul E

• &ae (e (a'e 7i (e cu$o7'i$e, a c;ror i$'ero"are se &aea; e lo"ic;-• E, D, E, (ar 7i (eciiile (e i cu i ale ma$a"erului sau omului (e

afaceri se &aea; e raio$ame$'e lo"ice-• rac'ic $u e+is'; (ome$iu (e afaceri :$ care lo"ica s; $u oace u$ rol

maor-

Lo"ica are (ou; ramuri ese$iale• logica clasică, sau logica a#istoteliană1 $ ca'e"oriile lo"ice

fu$(ame$'ale $oiu$ea, u(eca'a sau raio$ame$'ulF• logica matematică% logica &o#mală sa' simbolică2.-

Lo"ica sim&olic; fu$(ame$'ul raio$ame$'ului uma$3 4 a*a$'ae• asi"ur; e+resi*i'a'ea 7i ri"uroi'a'ea :$ reree$'area cu$o7'i$elorF• asi"ur; (e(ucerea u$or cu$o7'i$e $oi e &ae al'ora (ea e+is'e$'e-

6'iliea; sim&oluri 4 reree$'area o&iec'elor 7i a oeraiilor e+ecu'a'e asurasim&olurilor-

e$'ru i$forma'ic; 7i e$'ru E :$ secial, lo"ica formal; rei$'; u$ i$'eresaar'e- Dicio$arele (e i$forma'ic; se m;r"i$esc :$ "e$eral $umai la aces'ea

• [Coli$90] logica H su&s'a$'i*, 7'ii$a care se ocu; cu "I$(irea 7iraio$ame$'eleF logica &o#mală H 'ra'area formei 7i s'ruc'urii, i"$orI$(co$i$u'ulF

• [B+for(91] Lo"ica es'e u$ formalism (e reree$'are a cu$o7'i$elor 7i araio$ame$'elor, (e*ol'a' i$iial (e c;'re ma'ema'icie$i e$'ru aformalia raio$ame$'ele ma'ema'ice- $ lo"ica ma'ema'ic;, i$*es'i"aiacuri$(e me'o(e ma'ema'ice :mrumu'a'e (i$ al"e&r; 7i 'eoria

1 5ris'o'el !38


3/13

al"ori'milor- is'emele cele mai uuale su$' calcul rooiiilor 7i cel al re(ica'elor-

[o(e$8O] Calcula'orul 7i (eci, i$forma'ica relucrea; sim&oluri- Di$ aceas';

cau; lo"ica formal;, :$ 'ra'a'ele (e i$forma'ic; [a''erso$90], aare :$ "e$eralsu& (e$umirea (e logică simbolică-

Logica simbolică de ordinul I , logica propoziţiilor + logica predicatelor deordinul I 4-

=-=- Logica p#opo(i)iilo# !*L#

%onform [DEX03] , noţiunea de propoziţie are atât semnificaţia de %E& '&(

'(%) *+(&E E'&+(%) care e!primă o idee, o -udecată etc., utilizată în gramatică, cât şi cea de enunţ a cărui valoare de adevăr este întemeiată pebază de reguli e!plicit e!primate, utilizată în logica simbolică.

E+emlu sim&olul 4 a'a7a' rooiiei RGri*ei la'r;S ia *aloarea a"e+ă#at!2rue 4 2# (ac; :$'r4a(e*;r la'r;, resec'i* &als !Palse4P# (ac; $u la'r;-

,i&e#en)a "int#e g#amatică şi logica simbolică. T$ L, *aloarea (e a(e*;r a rooiiei es'e cali'a'ea aces'eia (e a fi a(e*;ra'; sau fals; :$ :$'re"ul ei 7i $ui$'eresea; o&iec'ele co$s'i'u'i*e ale sale- E+emlu rooiia Uo$escu es'ema$a"erul socie';ii comercialeS sau Uo$escu ma$a"erS-

2eoria lo"ic; es'e :$ ese$; u$ lim&a (e reree$'are a cu$o7'i$elor- Ca oricelim&a, are (ou; asec'e ese$iale• asec'ul semantic sau abordarea semanticăF• asec'ul sintactic sau abordarea sintactică-

5li au'ori [Kilso$98] co$si(er; lo"ica su& 3 asec'e• limba-ul !cu si$'a+; care secific; e+resiile corec'e :$ aces' lim&a#F• regulile inferenţiale, ri$ care se ma$e*rea; rooiiile lim&auluiF• semantica e$'ru asocierea eleme$'elor lim&aului (e sem$ificaia lor-

Semantica 4 asec'ele i$'ime !i$'er$e# ale u$i*ersului ro&lemei 4 o&iec'i*ele• $o'area rooiiilor a'a7a'e u$i*ersului ro&lemei cu au'orul u$or

sim&oluri 7i fi+area *alorii (e a(e*;r a aces'or sim&oluriF


4/13

• s'a&ilirea sim&olurilor care oac; rolul (e co$ec'ori, a(ic; lea";sim&olurile a'a7a'e rooiiilorF

• s'a&ilirea *alorii (e a(e*;r a $oilor rooiii as'fel o&i$u'e !comuse#-

Co$ce'ul ce$'ral :$ a&or(area sema$'ic; es'e cel (e Uvaloare de adevăr S UEs'eo formul;, o 'au'olo"ie, a(ic; es'e ea a(e*;ra'; i$(ifere$' (e fa'ul c; are ;rilecomo$e$'e a(e*;ra'e sau falseVS

Wi')i$ ')e s'u(% of lo"ic, a ta'tolog- is a s'a'eme$' ')a' is 'rue &% i's o/$(efi$i'io$- [)''>>e$-/ikie(ia-or">/iki>2au'olo"%]

re (eose&ire (e a&or(area sema$'ic;, cea sintactică are ca 7i co$ce' ce$'ralRdemonstraţia logicăS 7i a$ume, 're&uie s; r;su$(; la :$'re&area REs'e o

formul; (emo$s'ra&il; :$ ca(rul u$ui sis'em lo"ic, sau $uVS-

Di$ aces' mo'i*, (e re"ul;, sema$'ica es'e asem;$a'; cu s'u(iul e+resiilor (i$al"e&r;, u$(e se (emo$s'rea; corec'i'u(i$ea formulelor, :$ 'im ce si$'a+a seaseam;$; cu reol*area sis'emelor (e ecuaii ri$ me'o(a su&s'i'uiei-

2.2.1. Abo#"a#ea semantică

T$ ca(rul a&or(;rii sema$'ice 're&uie fi+a'e M eleme$'e (e &a; [a''erso$90]

• lim&aul (e (escriere a formulelor lo"ice !alfa&e'ul lim&aului#F• *aloarea (e a(e*;r a sim&olurilor a'a7a'e rooiiilor !resec'i* re(ica'elor#F

• fu$ciile (e e*aluareF• meca$ismul (e raio$ame$' reree$'a' (e co$seci$ele lo"iceF• ri$ciiile 'eoriei lo"ice-

L4 rooiii simle 4 'ra'a'e a'omic, ca u$ 'o' u$i'ar 4 se *or $o'a cu cI'e u$

sim&ol 4 lite#e ma#i sa' mici "e la miloc'l al&abet'l'i *%%0%% resec'i*p%%#%... ropoziţiile simple / nici o parte a lor nu este o propoziţie-

L clasic 4 orice rooiie oa'e fi 2 sau P, (ar $u amI$(ou; (eo(a'; 3legeate#)'l'i e4cl's5 $ logică bi+alentă.

eoremele :$ lo"ic;, sis'eme :$ care se leac; cu *aloarea (e a(e*;r a u$or rooiii, $umi'e ipoteze (premise), 7i alicI$( o serie (e re"uli (e raio$are!re"uli i$fere$iale#, oeraii 7i fu$cii lo"ice, se au$"e la al'e rooiii, $umi'econcluzii -


5/13


6/13

T$ L 4 alfa&e'ul es'e forma' (i$ sim&oluri rooiio$ale (efi$i'e as'fel• li'ere mici, ,Z,r,\sau mari ,,@,--- a'a7a'e rooiiilorF• co$ec'ori lo"ici

^ sau ¬ 4 $e"aia

_ 4 co$u$ciaA (isu$cia` 4 imlicaia 4 ec)i*ale$a

• al'e sim&oluri, cum ar fi (e e+emlu !, #-

L 4 formulele corecte, corect formulate sau bine formulate, $o'a'e :$ li'era'ur;cu #ff 2 #ell formatted formulas / (efi$esc recursi*3i4 u$ a'om !sim&ol a'a7a' u$ei rooiii simle# es'e u$ #ff5 u$ #ff :$

ara$'e;F3ii4 (ac; es'e u$ #ff , $e"a'ul s;u ^ es'e u$ #ff53iii4 (ac; 7i su$' #ff, a'u$ci _, A, ` 7i au aceea7i

rorie'a'eF3iv4 mulimea #ff 4urilor es'e "e$era'; (e re"ulile !i#4!iii#-

!` !_^@##F !`#.

ropoziţiile compuse su$' /ff4uri care se realiea; e &aa u$or co$ec'ori sau

oera'ori lo"ici- ri$cialii oera'ori lo"ici, a7a (u; cum s4a ree$'a' mai sus,su$' negaţia" con#uncţia $i dis#uncţia-

%egaţia u$ei rooiii, 9non * 4 [Pre$c)91] $o'-, , . , sau ^-Beraiile lo"ice 4 cu au'orul tablelor de a(e*;r !coresu$;'oare 'a&lelor oeraiilor ari'me'ice eleme$'are#- 5ces'e 'a&le i$(ic; *aloarea (e a(e*;r areul'a'ului :$ fu$cie (e *alorile (e a(e*;r ale como$e$'elor-

* ;*

P2

2P

E+emlu H Ru"e'ul 're&uie aro&a' a$ualS, care are *aloarea 2, $e"aia ^,Ru"e'ul $u 're&uie aro&a' a$ualS, are *aloarea P-

Con#uncţia rooiiilor 7i 4 R 7i S 4 se $o'ea; cu ∧ - Ko'aii[Pre$c)91] -, -a$(- sau J- E+emlu H R;mI$'ul es'e ro'u$(S 7iH Rimoi'ul es'e o (a'orie fa; (e s'a'S- J *a fi R;mI$'ul es'e ro'u$(S 7i

Uimoi'ul es'e o (a'orie fa; (e s'a'S-

N


7/13

&is#uncţia R sau S 7i se $o'ea; cu R ∨ S- Ko'aii 7i cu b, -or- sau ∪ - ∨ H 2 (ac; H2, sau H2, sau am&ele rooiii su$' 2- aue+clusi* Rsau Cear sau $imicS- RsauS lo"ic 're&uie i$'erre'a' :$ se$sullim&aului cure$' as'fel (ac; es'e rooiia RPirma X rac'ic; comer e$4

"rosS 7i es'e rooiia RPirma X rac'ic; comer e$4(e'ailS, rooiia Rsau S 4 9sa' e4cl'si+ 7i se $o'ea; cu 4o#-

2. 'nc)ia "e e+al'a#e

'uncţie de ealuare 4 alorizare 4 de adeăr a u$ui a'om, o fu$cie care a'a7ea;a'omului resec'i* o *aloare 2 sau P :$ lo"ica &i*ale$';- 4d fu$cia (e e*aluare au$ei rooiii a'a7ea; o *aloare (e a(e*;r rooiiei :$ fu$cie (e *alorile (ea(e*;r ale como$e$'elor, e &aa re"ulilor (e e*aluare a co$ec'orilor-

@e"ulile (e e*aluare a co$ec'orilor su$' (a'e ri$ 'a&lele (e a(e*;r- T$ "e$eral,*aloarea (e a(e*;r a u$ei rooiii se $o'ea; cu A-

$'erre'are a u$ei formule 4 a'ri&uirea u$ei *alori (e a(e*;r fiec;reicomo$e$'e a formulei resec'i*e- E+emlu, AZ 4 < i$'erre';ri osi&ile, careformea; (ome$iul (e i$'erre'are

1H2,2, =H2,P, 3HP,2, >la'o-s'a$for(-e(u>e$'ies]

O


8/13

iar *aloarea o&i$u'; ri$ fu$cia (e e*aluare es'e

! A Z#A H 2

e &aa (ome$iilor (e i$'erre'are 7i a fu$ciilor (e e*aluare, #ff 2 urile seclasific; :$• tautologii sau formule valide 2 2 i$(ifere$' (e i$'erre'areF• consistente 2 care iau *aloarea 2 e$'ru u$ele i$'erre';riF• inconsistente 3invalide4 2 P e$'ru u$ele i$'erre';riF• contradicţii / P e$'ru orice i$'erre'are-

@elaia (i$'re aces'e 'iuri (e #ff 4 sc)emele W%$e

#ff/uri 4 ec)i*ale$'e (ac; au aceea7i *aloare (e a(e*;r e$'ru orice i$'erre'are-

modelul unui #ff 4 o i$'erre'are e$'ru care formula ia *aloarea 2 !:$ e+emlul$os'ru =#- 5$alo", se oa'e (efi$i modelul unui ansamblu de formule ca fii$( oi$'erre'are e$'ru care 'oa'e formulele su$' a(e*;ra'e-

?. *#incipiile teo#iei logice

Brice 'eorie lo"ic; 're&uie s; resec'e a$umi'e ri$ciii fu$(ame$'ale-@esec'area sau (imo'ri*;, elimi$area u$or res'ricii, s'a&ile7'e 'iul lo"icii-

a. *#incipi'l &i4ă#ii n'mă#'l'i "e +alo#i logice

2eoriile lo"ice 4 u$ $um;r fi+a', $ (e *alori lo"ice (is'i$c'e cu = ≤ $ ≤ ∞- gAgcar(i$alul mulimii A 4 (e cele mai mul'e ori aces' car(i$al are o *aloare fi$i';-E+is'; :$s; 7i lo"ici i$fi$i'e-

Lo"ic; es'e cea &i*ale$';, :$ care

8

Co$sis'e$'; H realia&il; A H 2, u$eori

Aali(;H'au'olo"ie A H 2, :$'o'(eau$a

$co$sis'e$'; Hi$*ali(; A H P, u$eori

Co$'ra(icieH$erealia&il; A H P, :$'o'(eau$a


9/13

A H 2,P 7i (eci gAgH=

T$ "e$eral se co$si(er; 3 co$ec'ori (e &a; 7i a$ume ^, A, _ cu 'a&lele (ea(e*;r

^ _ 2 P A 2 P2P

P2

2P

2P

PP

2P

22

2P

funcţie logică 4 oric;rei com&i$aii (e *alori lo"ice s;4i coresu$(; o *aloarelo"ic;- Pu$ciile lo"ice &i$are, a(ic; acelea care au = ar"ume$'e- 5ces'e fu$ciifac ca la com&i$aiile PP, P2 ,2P 7i 22 s; le coresu$(; *alorile P sau 2- Cum:$ (ome$iul (e (efi$iie e+is'; a'ru com&i$aii osi&ile, iar :$ cel al *alorilor,(ou; 4d [Gra%8M] e+is'; $umai =


10/13

Obse#+a)ie. T$ lo"ica formal; relaiile (e mai sus su$' (eose&i' (e imor'a$'e-!1# oac; u$ rol (eose&i' :$ raio$ame$'ele ma'ema'ice- De e+emlu, o fu$cie f es'e i$ec'i*; (ac;

e$'ru orice + h % are loc f!+# hf!%#

` Aerificarea i$ec'i*i';ii se realiea; cu imlicaia ec)i*ale$';^ ` ^, a(ic; f!+# H f!%# ` + H %-

Obse#+a)ie. Pormula !1# 're&uie 'ra'a'; cu "ri; 4 !1# $u asi"ur; e"ali'a'ea → H →- e$'ru ilus'rare s; co$si(er;m urm;'orul e+emlu

Ua*em o cre7'ere a *e$i'urilor U` Ua*em o cre7'ere a *I$;rilorSaceas'a es'e ec)i*ale$'; cu U$u a*em o cre7'ere a *I$;rilorS ` S$u a*em ocre7'ere a *e$i'urilorS (ar aceas'a $u es'e ec)i*ale$'; cu Ucre7'erea *I$;rilorS

` Ucre7'erea *e$i'urilorS, (eoarece *I$;rile o' cre7'e 7i (i$ al'e mo'i*e, cumar fi, sol(uri, erioa(; (e s;r&;'ori, aciu$i romoio$ale, e'c-

5l"e&ra &oolea$; $u es'e si$"urul sis'em lo"ic &i*ale$' 4 sis'emul lo"ic al lui.il&er'45ckerma$$ are la &a; 3 co$ec'ori ^, A 7i →-

Obse#+a)ie. or$i$( (e la fa'ul c; au loc relaiile _ H ^ ! ` ^# A H !^# `

Lukasie/ic a (efi$i' u$ sis'em lo"ic :$ care oeraiile (e &a; su$' $e"aia 7iimlicaia sis'emul lo"ic Lukasie/ic-

T$ caul lo"icii 'ri*ale$'e, (eci :$ caul gAgH3, a*em mai mul'e sis'eme-

5s'fel, a*em sis'emul lui lee cu AH2,P,6, u$(e 6 es'e U$ecu$oscu'S, a*I$(= co$ec'ori (e &a;, ^ 7i _, (efi$ii as'fel

^ _Z 2 P 62P6

P26

2P6

2P6

PPP

6P6

De u$(e se oa'e (e(uce

AZ 2 P 6 `Z 2 P 6 Z 2 P 62P6

222

2P6

266

2P6

222

P26

626

2P6

2P6

P26

666

10


11/13

is'emul Lukasie/ic, are AH 2,P,, u$(e i$(ic; Uu$ e*e$ime$' (i$ *ii'or $erealia&il :$ ree$', (ar $u u$ $ecu$oscu'S- T$ aces' ca co$ec'orii su$' ^ 7i→, cu 'a&lele (e a(e*;r

^ `Z 2 P 2P

P2

2P

222

P2

22

(e u$(e se (e(uce

AZ 2 P _Z 2 P Z 2 P

2P

222

2P

2

2P

2P

PP

2P

2P

P2

2

is'emul oc)*ar, crea' e$'ru e+licarea u$or ara(o+uri sema$'ice, areAH2,P,Q, cu Q i$(icI$( Ua&sur(S 7i cu co$ec'orii ^ 7i →, a*I$( 'a&lele (ea(e*;r

^ `Z 2 P Q2

PQ

P

2Q

2

PQ

2

2Q

P

2Q

Q

Q2

(e u$(e se (e(uce

AZ 2 P Q _Z 2 P Q Z 2 P Q2PQ

22Q

2PQ

QQQ

2PQ

2PQ

PPQ

QQQ

2PQ

2PQ

P2Q

QQQ

Lo"icile i$fi$i'e, cele mai cu$oscu'e, 4 lo"icile fu%, i$'ro(use (e Lo'f% Ya(e), e$'ru a reree$'a cu$o7'i$ele (escrise cu au'orul i$cer'i'u(i$ii li$"*is'ice- Aes'e o su&mulime m;r"i$i'; a lui @ b- 5ceas'; mulime 4 $ormalia'; luI$( :$locul lui A, mulimea A>gAg, :$locui$( fiecare eleme$' * (i$ A cu *>gAg- 4dAH[0,1] :$ 'oa'e caurile- De e+emlu, co$si(erI$( o firm; 7i $o'I$( cu +

&e$eficiul o&i$u' (e firm;, u'em (efi$i m;surile fu% (e e+emlu as'fel

• (ac; &e$eficiul es'e (e +H1-000-000, e$eficiu !+#H0

• (ac; &e$eficiul es'e (e +HM0-000-000, e$eficiu !+#H0-=• (ac; &e$eficiul es'e (e +H1-000-000-000, e$eficiu !+#H0-N \

11


12/13

b. *#incipi'l consisten)ei şi non$cont#a"ic)iei

e$'ru u$ (ome$iu (e i$'erre'are (a', o rooiie 4 o *aloare u$ic; (i$ A `

ri$ciiul *alori;ri non/contradictorii 7i consistente- Cu al'e cu*i$'e, fie Dmulimea rooiiilor, co$si(erI$( AH2,P 7iD2H∈D g AH2, resec'i* DPH∈D g AHPF se o&i$e D2 ∩ DPHΦ

Lo"icile oli*ale$'e, cu AH*1, *=, \, *$, DiH∈D g AH*i,co$(iia (eco$sis'e$; se oa'e scrie

Di ∩ D H Φ, e$'ru i≠ -Lo"icile care $u su$' co$sis'e$'e se $umesc paraconsistente sau logici suprasaturate- T$ aces'e lo"ici rooiiile o' rimi (eo(a'; (ou; sau mai

mul'e *alori (e a(e*;r, (eoarece :$ "e$eralDi ∩ D ≠ Φ, e$'ru i≠ -

c. *#incipi'l e4cl'"e#ii celei "e a n1$a +alo#i

6$ui a'om i se oa'e asocia o *aloare (i$ mulimea A, e (ome$iul (ei$'erre'are ` fu$cia (e e*aluare es'e 'o'al (efi$i'; e (ome$iul (ei$'erre'are-

ri$ciiul e+clu(erii celei (e a $b14a *alori 4 :$ lo"ica &i*ale$';, le"ea 'eruluie+clusD2 6 DP H D

` orice rooiie es'e ori a(e*;ra';, ori fals;, $u oa'e lua o a 'reia *aloare-

T$ "e$eral, le"ea e+clu(erii celei (e a !$b1#4a *alori lo"ice are forma

$ 6 Di H D, e$'ru A H *1, *=, \, *$-

iH1

or$i$( (e la (ou; *alori lo"ice, a(mi'erea sau resi$"erea ri$ciiilor &- sau c"e$erea; (iferi'e lo"ici- 5s'fel,• a(mi'erea am&elor, (uce la logica clasic;F• a(mi'erea co$sis'e$ei & 7i resi$"erea c (uce la logici lacunare (e 'iul

lo"icilor 'ri*ale$'e a lui lee, Lukasie/ic, oc)*ar sau la logici intuitiiste, u$(e se a(mi'e 7i a 34a *aloareF

• resi$"erea lui & 7i a(mi'erea lui c (uce la logici paraconsistenteF

1=


13/13

• resi$"erea am&elor ri$ciii, (uce la logici cu semantici aproimatie,$umi'e 7i logici releante, u$(e o rooiie oa'e a(mi'e mai mul'e*alori sau r;mI$e $ee*alua';-

". *#incipi'l constan)ei "e +alo#i(a#e a 'nei p#opo(i)ii elementa#e

6$ei *alori (e a(e*;r u$ei rooiii eleme$'are (a'e 're&uie s; r;mI$; aceea7ila 'oa'e aariiile aces'eia a'I'a 'im cI' se co$si(er; o a$umi'; i$'erre'are-@e$u$area la aces' ri$ciiu (uce la logici paraconsistente sau releante-

D. ecanism'l #a)ionament'l'i

@ealiarea raio$ame$'ului :$'r4u$ sis'em lo"ic ` o&i$erea u$or formule $oi

e &aa celor e+is'e$'e ` o e+'i$(ere co$sis'e$'; a cu$o7'i$elor (esreu$i*ersul ro&lemei-

6 formulă 7 / consecinţă logică a unei formule , dacă 7 ia valoarea pentrutoate interpretările pentru care ia valoarea - T$ "e$eral, 4 co$seci$;lo"ic; a u$ei mulimi (e formule 1, =, \, $, (ac; rime7'e *aloarea 2

e$'ru orice i$'erre'are e$'ru care 1, =, \, $ iau *aloarea 2- Co$seci$alo"ic; se $o'ea; :$ "e$eral cu sim&olul imlicaiei U`S-

3*15. es'e co$seci$a lo"ic; a lui 1, =, \, $ es'e ec)i*ale$' cu fa'ul c;1 _ = _ \_ $ ` es'e *ali(;-

e &aa rorie';ilor imlicaiei, rooiia (e mai sus mai oa'e fi e$u$a'; 7ias'fel* 3*25. es'e co$seci$a lo"ic; a lui 1, =, \, $ es'e ec)i*ale$' cu fa'ul c;

1_ =_ \_ $∨^es'e i$co$sis'e$';-

` !1#, !=# $ co$s'i'uie &aa raio$ame$'ului lo"ic 7i a (emo$s'r;riicorec'i'u(i$ii, (eoarece re(uce ro&lema co$seci$elor lo"ice la cea a(emo$s'r;rii *ali(i';ii sau i$co$sis'e$ei u$or formule-

13

Curs 2_II_Bazele Logice 1

Documents

Transcript of Curs 2_II_Bazele Logice 1