CURS 1 ( Rezumat) Cursul de matematică pentru economişti cuprinde trei părţi : - Calcul diferenţial; - Teoria probabilitatilor; - Problema transporturilor Cursul se desfăşoară pe un semestru cu 2ore curs şi 2 ore seminar / săptămână.. Evaluarea cunoştinţelor predate şi seminarizate se va materializa printr-o notă ce va reprezenta evaluarea în cadrului probei scrise a examenului susţinut în sesiunea de examene din iarnă ( 80%) precum şi aprecieri ale activităţii la seminar în cursul semestrului ( 20%). Bibliografia indicată cuprinde următoarele cărţi şi culegeri de probleme : - Cismaşiu C., Coca M., Polexe R., Curs de analiză matematică, Vol. I-II, Reprog. Univer. Transilvania Braşov, 1994-1996; - Cismaşiu C.,Proca A.,Sasu A., Siruri si serii in spatii metrice, Ed. Univ. Transilvania Braşov, 2006; - Cismaşiu C., Proca A. , Calcul diferenţial pentru funcţii de mai multe variabile cu aplicaţii, Ed. Univ. Transilvania Braşov, 2008; - Cismaşiu C., Complemente de matematici pentru economişti, Univ. Transilvania Braşov, 1996 - Cismaşiu C., Zară A., Matematici pentru economişti, Univ. Transilvania Braşov, 2002 - Donciu N., Flondor D., Algebră şi analiză matematică(culegere de probleme), Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1979; - C. Meghea, I. Meghea, Tratat de calcul diferenţial şi calcul integral pentru învăţământul politehnic, Calcul diferenţial. Ed. Tehnică, Bucureşti, 1997; - Păltănea R., Păltănea E., Analiză matematică, Ed. Univ. Transilvania Braşov, 2003; - Sireţchi Gh., Exerciţii rezolvate de analiză matematică, Litografia Universităţii Bucureşti, Bucureşti, 1977; - Sireţchi Gh., Calcul integral şi diferenţial, Vol. I, II, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985; - Radomir I.,Popescu O. Matematici pentru economisti, Ed.Albastră, Cluj -Napoca,2002 - Răducanu D. Matematică aplicată în economie, Ed.Universităţii Transilvania Braşov,2005 - Ciucu G., Craiu V., Săcuiu I., Culegere de probleme de teoria probabilităţilor, Ed. Tehnică, Buc., 1967

Tematica cursului ( 2 ore ): Spaţiu liniar ( vectorial), spaţiu metric, spaţiu normat, spaţiu topologic. Elemente de topologie în spaţiu metric. Şiruri în spaţii metrice – R, Rp, p>1. Spaţiu liniar ( vectorial) Fie K= R U C şi X ≠ ∅ . Pe X se definesc două operaţii : (+) : X X X× → definită (x,y) →x+y, (∀) x, y∈X, (adunarea) şi ( ⋅ ) : K X X× → definită ( , ) , ,x x K x Xα α α→ ∈ ∈ , ( înmulţirea cu un scalar). Sistemul ( , , , )X K + ⋅ este un spaţiu liniar peste K , dacă sunt verificate următoarele axiome: ( , )X + este un grup comutativ ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

, , : ;

, , : ;

, , : ;

: 1 .

K x X x x

K x X x x x

K x y X x y x y

x X x x

α β α β αβ

α β α β α β

α α α α

∀ ∈ ∀ ∈ =

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ∀ ∈ + = +

∀ ∈ ⋅ =

Elementele x X∈ se numesc vectori iar Kα ∈ se numesc scalari. Exemple de spaţii liniare : 1). ( ), , ,pR R + ⋅ cu operaţiile

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 1

1 1

, ,..., , ,..., ,...,

,..., ,..., .

p p p p

p p

x x x y y y x y x y

x x x xα α α

+ = + +

=

2). ( )( ), , ,A Rℑ + ⋅ cu ( ) { }: ,A f f A R A Rℑ = → ⊆ şi

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , ;

, , .

f g x f x g x f g A

f x f x R f Aα α α

+ = + ∀ ∈ℑ

= ∀ ∈ ∀ ∈ℑ

Spaţiu metric Fie X ≠ ∅ . Aplicaţia :d X X R× → se numeşte metrică ( distanţă) dacă :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

2

3

). , 0, , , , 0 ;

). , , , , ;

). , , , , , , .

D d x y x y X d x y x y

D d x y d y x x y X

D d x z d x y d y z x y z X

≥ ∀ ∈ = ⇔ =

= ∀ ∈

≤ + ∀ ∈

Perechea ( ),X d se numeşte spaţiu metric. Exemple. 1). X=R, ( ), , , ;d x y x y x y R= − ∈

2). X=R2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2 1 2, , , , , ;d x y x x y y x x x y y y= − + − = =

3). X=Rp, ( ) ( ) ( ) ( )1

2 2

1 11

, , ,..., , ,..., ;p

k k p pk

d x y x y x x x y y y=

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑

4). X=B(A, R), B(A, R) ( ){ }( , ), ( ) 0 : ( ) ,f ff f A R M f x M x A= ∈ℑ ∃ > < ∀ ∈

( ) ( ) ( ){ }, sup ,d x y f x g x x A= − ∈ , metrica uniformă (Cebâşev);

5). X=C [ a,b ] [ ] [ ]{ }: , , continuă pe a,b f f a b R f= →

( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]{ }

1

( ) ,1 ,

,

max , , , .

pbp

a

p

f x g x dx p

d f g

f x g x x a b p

⎧− ≤ < ∞⎪

⎪⎪= ⎨⎪

− ∈ = ∞⎪⎪⎩

∫

Spaţiu normat Fie X ≠ ∅ şi K R C= ∪ , ( ), , ,X K + ⋅ spaţiu lniar.

Aplicaţia : X R⋅ → se numeşte normă , dacă : N1). ( )0, , 0 0 ;Xx x X x x≥ ∀ ∈ = ⇔ =

N2). ( ), , ;x y x y x y X+ ≤ + ∀ ∈

N3). ( ), , .x x K x Xα α α= ⋅ ∀ ∈ ∈

Perechea (X, ⋅ ) se numeşte spaţiu normat. Dacă ( ),X ⋅ este un spaţiu normat atunci

( ) ( ), cu ,X d d x y x y= − este un spaţiu metric. Exemple.

1). X=RP, p ≥ 1, ( ){ }

1

1

1

, 1

,..., ;

max , 1, ,

p rrk

k

pr r

k

x r

x x x

x k p r

=

⎧⎛ ⎞⎪ ≤ < ∞⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪

= = ⎨⎪

= = ∞⎪⎪⎩

∑

2). X= B(A, R), ( ){ }sup , ;f f x x A= ∈

3). X= C[ ],a b ,

( )

( ){ }

1

( ) , 1 ,

max , , , .

bp p

a

p

f x dx p

f

f x x a b p

⎧≤ < ∞⎪

⎪⎪= ⎨⎪

⎡ ⎤∈ = ∞⎪ ⎣ ⎦⎪⎩

∫

Spaţiu prehilbertian ( cu produs scalar) Fie X ≠ ∅ şi K=R , ( ), , ,X R + ⋅ un spaţiu liniar peste R.

Aplicaţia , : X X R< > × → se numeşte produs scalar , dacă : P1). ( ), 0, , , 0 0 ,Xx x x X x x x< > ≥ ∀ ∈ < > = ⇔ =

P2). ( ), , , , ,x y y x x y X< > = < > ∀ ∈

P3). ( ), , , , , , ,x y z x z y z x y z X< + > = < > + < > ∀ ∈

P4). ( ) ( ), , , , , .x y x y R x y Xα α α< > = < > ∀ ∈ ∀ ∈

Perechea ( ), ,X < > se numeşte spaţiu prehilbertian. Exemple.

1). X=R p, ( ) ( )1 11

, , ,..., , ,..., ,p

k k p pk

x y x y x x x y y y=

< >= ⋅ = =∑

2). [ ] ( ) ( ), , , .b

a

X C a b f g f x g x dx= < >= ∫

Teoremă. Dacă ( ), ,X < > este un spaţiu prehilbertian atunci

( )

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

. , , , ,

. : , definită , este o normă,

. 2 , , .

i x y x x y y

ii X R x x x

iii x y x y x y x y X

< > ≤ < > ⋅ < >

⋅ → = < >

+ + − = + ∀ ∈

Elemente de topologie într-un spaţiu metric. Fie ( ),X d un spaţiu metric. Sfera ( bila ) deschisă de centru a X∈ şi rază 0r >

( ) ( ){ }, , .B a r x X d x a r= ∈ <

Sfera ( bila) închisă de centru a X∈ şi rază 0r >

( ) ( ){ }, , .B a r x R d x a r= ∈ ≤

A X⊂ se numeşte mulţime mărginită, dacă ( ) ( )0 astfel ca 0,r A B r∃ > ⊂ . Vecinătate a unui punct a X∈ este orice mulţime V X⊂ cu proprietatea că ( ) ( )0 astfel ca , .r B a r V∃ > ⊂ Vom nota familia vecinătăţilor unui punct ( )cu .a X aϑ∈ A X⊂ se numeşte mulţime deschisă, dacă pentru orice punct a A∈ , ( ) ( )0 astfel ca , ,r B a r A∃ > ⊂ adică mulţimea A este vecinătate pentru toate punctele sale. Orice sferă deschisă din X este o mulţime deschisă. Propoziţie. O mulţime este deschisă dacă şi numai dacă ea este o reuniune arbitrară de sfere ( bile ) deschise. Teoremă. Familia mulţimilor deschise ale lui X notată G ={ }, mulţime deschisăA A X A⊂ are următoarele proprietăţi:

( ). ,i ∅ X sunt mulţimi deschise,

( ).ii O reuniune arbitrară de mulţimi deschise este o mulţime deschisă,

( ).iii Intersecţia unui număr finit de mulţimi deschise este o mulţime deschisă. K X⊂ se numeşte mulţime închisă dacă complementara sa ( )KC K =X \ K ={ }şix x X x K∈ ∉ este o mulţime deschisă. Teoremă. Familia mulţimilor închise ale lui X notată K = { }, mulţime închisăK K X K⊂ are următoarele proprietăţi: ( ). ,i X∅ sunt mulţimi închise,

( ).ii O intersecţie arbitrară de mulţimi închise este o mulţime închisă,

( ).iii Reuniunea unui număr finit de mulţimi închise este o mulţime închisă. Definiţie. Fie A X⊂ şi a X∈ . Punctul a X∈ se numeşte punct interior al lui A , dacă ( ) ( )0 astfel ca , ,r B a r A∃ > ⊂

punct aderent al lui A, dacă pentru orice 0r > avem ( ), 0,B a r A∩ ≠

punct de acumulare al lui A, dacă pentru orice 0r > avem ( ),B a r A∩ \{ } ,a ≠ ∅

punct izolat al lui A, dacă există 0r > astfel încât ( ) { },B a r A a∩ = . Definiţie. Fie .A X⊂ Se numeşte

interiorul lui A notat Int ( )A sau oA este mulţimea punctelor interioare lui A,

aderenţa sau închiderea lui A notată A este mulţimea punctelor aderente lui A, mulţimea derivată a lui A notată A′ este mulţimea punctelor de acumulare a lui A,

frontiera lui A notată Fr ( )A sau A A∂ = \oA ,

exteriorul lui A notat Ext ( )A X= \ A . Avem

,A X A⊂ deschisă ⇔o

A A= ; ;oA A A⊆ ⊆

K X⊂ , K închisă ⇔ K= K ; K K K ′= ∪ Dacă ,A B X⊂ atunci

( ) ( )( ) ( ); ; , cuoo o

A B A B A B A B Fr A Fr C A C A X∪ = ∪ ∩ = ∩ = = \ A .

,A X A⊂ mulţime densă în X , dacă pentru orice x∈ X există un şir ( )n n Na

∈, na A∈ astfel

ca ( ), 0, .nd a x n→ →∞ Teoremă. Dacă pA R⊂ atunci sunt echivalente următoarele afirmaţii: ( ).i Aeste mulţime compactă în R p;

( ).ii Din orice şir de elemente din A, ( ) ,n nn Na a A

∈∈ se poate extrage un subşir convergent

în A, ( lema Cesaro );

( ).iii A este mulţime mărginită şi închisă în R p, ( Borel – Lebesque ).

,A X A⊂ mulţime conexă în X , dacă nu există două mulţimi deschise D1, D2 astfel ca

1 2

1 2

1 2

, ;;

.

A D A DA D DA D D

∩ ≠∅ ∩ ≠∅⊂ ∪∩ ∩ =∅

În caz contrar, A se zice mulţime neconexă sau disconexă.

,pA R⊂ se numeşte mulţime convexă, dacă pentru orice a, b ∈ A avem

( ) [ ]{ }, 1 0, 1 .a b t a t b t A⎡ ⎤ = − + ∈ ⊂⎣ ⎦

Dacă , conexă convexă.pA R A A⊂ ⇔ Exemple.

Dacă X= R2 şi ( ){ }2 2 2, 1A x y R x y= ∈ + < atunci

( ){ }2 2 2, 1 ,A x y R x y= ∈ + ≤

Fr ( ) ( ){ }2 2 2, 1 .A x y R x y= ∈ + =

R 2 nu este compact; R 2 \ ( ){ }0, 0 nu este nici conexă, nici convexă;

{ }, ,a b c neconexă;

Q ( ) , , 0 : px R p q Z q xq

⎧ ⎫= ∈ ∃ ∈ ≠ =⎨ ⎬⎩ ⎭

mulţimea numerelor raţionale nu este nici

închisă, nici deschisă, este densă în R, ( ), , Fr .o

Q R Q Q R= = ∅ =

{ }a mulţime închisă, conexă. Alte exemple şi exerciţii, vezi C. Cismaşiu, A. Proca, A. Sasu, Şiruri şi serii în spaţii metrice. Exerciţii şi probleme, Ed. Univ. Transilvania, Braşov, 2006, 24-31. ŞIRURI ÎN SPAŢII METRICE ( , , 1pR R p > ) Fie ( )dX , un spaţiu metric. Un şir de elemente din X este o aplicaţie :a N X→ , definită ( ) ( ),na n a X n N= ∈ ∀ ∈ .

Vom nota un şir ( )n n Na

∈.

Şir convergent în X, dacă ( ) Xa∈∃ , finit, astfel ca: 1). ( ) ( ) ( )0X N Nε ε∀ > ∃ ∈ , încât pentru orice ( )εNn ≥ să avem ( ) ε, <aad n ; SAU 2). ( ) ( ) ( )0X N Nε ε∀ > ∃ ∈ astfel încât pentru orice ( )εNn ≥ să avem

( ) ( ){ }ε,ε, <∈=∈ axdXxaBan (bila deschisă cu centrul în Xa∈ şi rază 0ε > ).

Vom nota un şir ( )n n Na

∈ convergent către Xa∈ prin lim nn

a a→∞

= sau ,na a n⎯⎯→ →∞ .

Subşir al şirului ( )n n Na

∈ este o aplicaţie a g N= → X unde :g N N→ este o aplicaţie

strict crescătoare ( ) ( ) ( ) …… <<<< nggg 21 cu ( ) ,g n n n N≥ ∈ iar :a N X→ şirul

iniţial ( )n n Na

∈. Avem ( ( ) ( ) ( )( ) ( )g na g n a g n a X= = ∈ .

Şir mărginit Un şir ( )n n N

a∈

este mărginit în X dacă ( ) a X∃ ∈ şi ( ) 0>∃ r astfel ca

( ) ( ), ,na B a r n N∈ ∀ ∈ . Proprietatea unui şir de a fi mărginit, nu se modifică, dacă se adaugă sau se renunţă la un număr finit de termeni ai şirului. Şir fundamental (Cauchy) Un şir ( )n n N

a∈

în X este şir fundamental sau şir Cauchy, dacă pentru orice

( ) ( ) ( )0X N Nε ε∀ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( )ε, Nnm ≥∀ să avem ( ),m nd a a ε< . Cum ,m n N∈ , considerând nm > putem lua , 1m n p p= + ≥ şi în acest caz avem

( ),n p nd a a ε+ < . Proprietăţi: (i). Orice şir convergent în X este şir fundamental. (ii). Orice şir fundamental este şir mărginit. (ii). Limită unui şir convergent este unică. (iv). Dacă ,na a n→ →∞ în X atunci orice subşir al său ( ) ,g na a→ ∞→n , cu :g N N→ strict crescătoare şi ( ) ,g n n n N≥ ∈ .

(v). Dacă ( )n n Na

∈ este un şir fundamental în X şi dacă există un subşir al său ( )( )g n n N

a∈

convergent către a X∈ , atunci şirul ( )n n Na

∈ converge către a X∈ .

A. Şiruri în R ( recapitulare) ( )( ),R d x y x y= −, este un spaţiu metric complet.

Proprietăţi Orice şir monoton şi mărginit este convergent în R. Un şir de numere reale este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Dacă ( )n n N

b∈

este un şir de numere reale pozitive, convergent către zero, lim 0nnb

→∞= şi dacă

există l R∈ astfel ca ( ) ( ),n na l b n N ε− < ∀ ≥ atunci lim nna l

→∞= (criteriul majorării).

Dacă ( ) ( ) ( ), ,n n nn N n N n Na b c

∈ ∈ ∈ sunt şiruri reale, astfel ca ( ) 1, ≥∀≤≤ ncba nnn şi

lim limn nn na c l

→∞ →∞= = atunci ( )n n N

b∈

este un şir convergent către l , lim nnb l

→∞= . (criteriul cleştelui)

Dacă ( )n n Na

∈ este un şir convergent către zero, lim 0nn

a→∞

= iar ( )n n Nb

∈ un şir mărginit,

atunci lim 0n nna b

→∞= .

Dacă ( )n n Na

∈ este un şir de numere reale strict pozitive şi dacă există 1lim n

nn

a la+

→∞= atunci

pentru 10 <≤ l , şirul ( )n n Na

∈ converge către zero, lim 0nn

a→∞

= , iar pentru 1l > avem

lim nna

→∞=∞ (criteriul raportului).

Dacă ( )n n Na

∈ şi ( )n n N

b∈

sunt două şiruri de numere reale şi dacă ( )n n Nb

∈ este un şir strict

pozitiv, strict crescător şi lim nnb

→∞=∞ şi dacă există 1

1

lim n n

nn n

a a lb b

+

→∞+

−=

−, l R∈ atunci şi

lim n

nn

a lb→∞

= (Lema Stolz – Cesaró).

Dacă ( )n n Na

∈ este un şir de numere reale care are limită atunci

1 2lim limnnn n

a a a an→∞ →∞

+ + += .

Dacă ( )n n Na

∈ este un şir de numere reale pozitive care are limită, atunci

1 2lim limnn nn n

a a a a→∞ →∞

… = .

Dacă ( )n n Na

∈ este un şir de numere reale strict pozitive şi dacă şirul 1n

n n N

aa+

∈

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

are limită

atunci 1lim lim nnnn n

n

aaa+

→∞ →∞= .

Şiruri remarcabile

0 , 11 , 1

lim, 1 , 1

n

n

aa

aa

nu există a

→∞

⎧ <⎪ =⎪= ⎨∞ >⎪⎪ ≤ −⎩

( )lim 1 ln , 0n

nn a a a

→∞− = >

( ]lim 0, / , 1!

n

n

a a Rn→∞

= ∈ −∞ −

11 1 1lim 1 , 2,7182 ; 1 1n n n

ne e e

n n n

+

→∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ≅ … + < < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1lim 11! 2! !n

en→∞

⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1lim 1 ln2 3n

n Cn→∞

⎛ ⎞+ + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

, C constantă Euler, …577,0≈C

( )( )11lim 1 ! !nn

nn n

e+

→∞+ − = , şirul T. Lalescu.

Şirul Fibonacci definit prin recurenţă

1 1f = , 2 1f = , 1 2, 3n n nf f f n− −= + ≥

1 1 5 1 52 25

n n

nf⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

,

1 5lim2

nnn

f→∞

+≈ ,

1lim 1 , 0n

n

a

nan

e aa→∞

⎛ ⎞+ = ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( )1

0lim 1 n

n

ana

a e→

+ = , 0≠na ,

( )2 1lim 1 , 11

n

na a a a

a→∞+ + + + = <

−.

B. Şiruri în , 1PR p > Un şir ( ) ( )1 2, , p p

n n n n nn Na a a a a R

∈≠ ∈, este mărginit dacă ( ) ( )1 2, , , p

pa a a a R∃ = ∈… şi

( ) 0>∃ r astfel ca ( ) ( )1

22

1, ,

pj

n n jj

d a a a a r=

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ( ) n N∀ ∈ adică

( ) ( ), ,na B a r n N∈ ∀ ∈ .

Un şir ( )n n Na

∈, ( )1 2, , , p p

n n n na a a a R= ∈… este fundamental dacă pentru ( ) ( ) ( )0 Nε ε∀ > ∃ astfel încât pentru Error! Objects cannot be created from editing field codes. să avem

( ) ( )1

22

1,

pj j

m n m nj

d a a a a ε=

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .

Şirul ( ) ( )1 2, , , , p pn n n n nn N

a a a a a N∈

= ∈… se zice convergent dacă ( ) pa R∃ ∈ astfel ca

( ) ( ) ( )0 N Nε ε∀ > ∃ ∈ încât pentru ( ) ( )εNn ≥∀ să avem

( ) ( )1

22

1

,p

jn n j

j

d a a a a ε=

⎛ ⎞= − <⎜ ⎟⎝ ⎠∑ . Vom scrie lim a ann

=→∞

.

Fie şirul ( )n n Na

∈ cu ( )1 2, , , p p

n n n na a a a R= ∈… , n N∈ şi punctul ( )1 , , ppa a a R= ∈… .

Următoarele afirmaţii sunt echivalente. (i) lim nn

a a→∞

=

(ii) lim , 1,jn jn

a a j p→∞

= = .

Orice şir convergent din pR este fundamental. Orice şir convergent din pR este mărginit. Orice şir fundamental din pR este convergent adică spaţiul , 1pR p ≥ este un spaţiu metric

complet în raport cu metrica ( ) ( )1

22

1,

p

j jj

d x y x y=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ .