CURS 1 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2 DIAGRAME DE … · 2020. 2. 17. · CURS 1 –REZISTENȚA...

DIAGRAME DE EFORTURI ÎN BARE DREPTE

- recapitulare -

1. Generalități;

2. Relațiile dintre încărcări și eforturi;

3. Construcția analitică a diagramelor de eforturi(exemple tipice);

4. Sisteme de bare cotite & cadre plane;

5. Diagrame de eforturi la bare cotite în spațiu.

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 1 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

Graficele variațiilor eforturilor în lungul barelor solicitate de sisteme de forțe suntdenumite diagrame de eforturi. Acestea sunt necesare pentru aprecierea poziției zonelorîn care eforturile, respectiv tensiunile sunt la valoare maximă.

Sistemul de referință consacrat și atașat bareieste un sistem triortogonal drept, unde:- axa OX este pe direcția liniei mediane a barei

și sensul normalei negative la suprafață,- axele OY și OZ în planul secțiunii cu OZ

orizontală și sensul de la stânga la dreapta, iarOY verticală și sensul de jos în sus.


În cazul general, în secțiune pot exista patrucomponente ale efortului: forța axială (N),forța tăietoare v de forfecare (T), momentulîncovoietor (M) și momentul de răsucire (Mt).

Dacă forțele sunt toate verticale,singurele eforturi care apar sunt:- forța tăietoare (T), paralelă cu

sarcinile;- momentul încovoietor (M), având

vectorul perpendicular pe planulforțelor.


În cazul mai general, care se va întâlni mairar, al barei încărcate și cu forțe înclinate,în secțiune există și forțe axiale (N).

Calcularea celor trei eforturi N, T, M serealizează prin adoptarea anumitorconvenții de semne:


N este „+” când produce întindereaelementului de bară asupra căreiaeste aplicată.

T este „+” când produce o lunecaresimilară rotirii în sens orarelementului de bară asupra căreiaeste aplicată.

M este „+” când produce lungireapărții inferioare a elementului debară asupra căreia este aplicată,respectiv scurtarea părțiisuperioare a aceluiași element.


N într-o secțiune (fața din dreapta) a unei bare este Σ proiecțiilor pe axa barei atuturor forțelor exterioare (inclusiv reacțiunile) care acționează asupra părțiisituate la stânga secțiunii.

T într-o secțiune (fața din dreapta) a unei bare este Σ proiecțiilor pe normala laaxa barei a tuturor forțelor exterioare (inclusiv reacțiunile) care acționează asuprapărții situate la stânga secțiunii.

M într-o secțiune (fața din dreapta) a unei bare este Σ momentelor tuturorforțelor & cuplurilor exterioare (inclusiv reacțiunile) care acționează asupra părțiisituate la stânga secțiunii, în raport cu centrul de greutate al acesteia.

𝑇 = 𝑉1 − 𝑃1 − 𝑃2 v 𝑇 = −𝑉2 + 𝑃3


Relații dintre încărcări și eforturi

Dacă se separă un element infinitezimal de lungime, dintr-o bară încărcată cu oforță distribuită pe unitatea de lungime, atunci pe fața situată la distanța x decapăt, se introduc eforturile N, T, M, pozitive, reprezentând acțiunea părțiiînlăturate de bară.

Pe fața situată la distanța x+dx seintroduc eforturile N+dN, T+dT,M+dM, de asemenea pozitive,evidențiind creșterile datoratetrecerii de la o secțiune la alta.

Ecuațiile diferențiale între încărcăriși eforturi sunt:


Construcția analitică a diagramelor de eforturi

Utilizând definițiile și regulile stabilite anterior, se vor construi diagramele deeforturi pentru barele drepte.

1. Alegerea unui sens de parcurs al barei, adică de creștere a variabilei x, deobicei de la stânga la dreapta. Variabila x’ se va măsura de la dreapta la stânga;

2. Se studiază în prealabil echilibrul, prin determinarea reacțiunilor;

3. Se alege secțiunea în care se caută eforturile;

4. Se stabilesc ecuațiile eforturilor:

𝑁 = 𝑓1 𝑥 , 𝑇 = 𝑓2 𝑥 ,M = 𝑓3 𝑥 .și se reprezintă grafic.


EXEMPLE tipice de construcție a diagramelor de eforturi

BARE SIMPLU REZEMATE LA CAPETE

1. Bara simplu rezemată, cu o sarcină încărcată normal

𝑉1 = 𝑃𝑏

𝑙; 𝑉2 = 𝑃

𝑎

𝑙

𝑇𝑥 = 𝑻𝟏𝟑 = +𝑉1 = 𝑷𝒃

𝒍

Indicele x reprezintă forța tăietoare în secțiuneax, iar indicele 13 indică forța tăietoare dintr-osecțiune oarecare în intervalul 1 – 3.

𝑇3+𝜀 = 𝑻𝟑𝟐 = 𝑉1 − 𝑃 = 𝑃𝑏

𝑙− 𝑃 = 𝑃

𝑏 − 𝑙

𝑙= −𝑷

𝒂

𝒍


𝑀𝑥 = 𝑴𝟏𝟑 = 𝑉1 ∙ 𝑥 = 𝑷𝒃

𝒍𝒙

Aceasta este o funcție liniară, iar pentru aconstrui diagrama se calculează valorile sale îndouă puncte (1 și 3):

- pe reazemul 1, pentru x = 0,

- în punctul 3, pentru x = a,

𝑀1 = 0

𝑀3 = 𝑃𝑎𝑏

𝑙

𝑀𝑥 = 𝑴𝟑𝟐 = 𝑉1𝑥 − 𝑃 𝑥 − 𝑎 = 𝑷𝒃

𝒍𝒙 − 𝑷 𝒙 − 𝒂

Trecând la o secțiune oarecare x în dreaptaforței P, ecuația momentului este:

- în punctul 3, pentru x = a,

- pe reazemul 2, pentru x = l,

𝑀3 = 𝑃𝑎𝑏

𝑙

𝑀2 = 0


Pentru cazul particular în care forța concentrată se găsește la mijlocul deschiderii,a = b = l/2, așadar :

𝑉1 = 𝑉2 =𝑃

2

𝑇13 =𝑃

2; 𝑇32 = −

𝑃

2

𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑀3 =𝑃𝑙

4



2. Bara simplu rezemată, cu o sarcină concentrată încărcată înclinat

În acest caz, componentaorizontală a forței P produce forțeaxiale N, iar componenta verticalădă forțe tăietoare T și momenteîncovoietoare M.

𝐻1 = 𝑃 cos 𝛼

𝑉2 =1

2𝑃 sin 𝛼 = 𝑉1

𝑁𝑥 = 𝑁13 = −𝐻1 = −𝑃 cos 𝛼

Celelalte două diagrame se construiesc la fel caîn cazul precedent, înlocuind forța P cu P sin α



3. Bara simplu rezemată, cu o sarcină uniform distribuită

𝑉1 = 𝑉2 =𝑝𝑙

2

𝑻𝒙 = 𝑉1 − 𝑝𝑥 = 𝒑𝒍

𝟐− 𝒙

Forța tăietoare este variabilă petoată lungimea barei, însă pereazăme aceasta este :

𝑥 = 0, 𝑇1 =𝑝𝑙

2= 𝑉1

𝑥 = 𝑙, 𝑇2 = −𝑝𝑙

2= −𝑉2

𝑴𝒙 = 𝑉1 ∙ 𝑥 − 𝑝𝑥𝑥

2=𝒑

𝟐𝒙 𝒍 − 𝒙

𝑀𝑚𝑎𝑥 =𝑝𝑙

4𝑙 −

𝑙

2=𝑝𝑙2

8



4. Bara cu un sistem simetric de forțe concentrate

Se observă că pe intervalul celordouă sarcini P forța tăietoare (T)este nulă, deci momentulîncovoietor (M) este constant.

Pe acest interval bara estesolicitată la încovoiere pură.

Dacă o bară este simetrică fațăde mijlocul ei, diagrama demomente încovoietoare (M) este,de asemenea, simetrică, iar ceade forțe tăietoare (T) esteantisimetrică



5. Bara cu sarcină distribuită triunghiular

Încărcarea totală este 𝐹 =𝑝𝑙

2. Considerând

această încărcare aplicată în centrul degreutate al triunghiului de încărcare, se potdetermina reacțiunile astfel:

𝑉1 =1

3𝐹 =

𝑝𝑙

6; 𝑉2 =

2

3𝐹 =

𝑝𝑙

3

Într-o secțiune oarecare x, sarcina

distribuită are intensitatea 𝑝𝑥 =𝑥

𝑙𝑝

Forțele tăietoare (T) și momenteleîncovoietoare (M) se pot determina prin

integrarea relațiilor:𝑑𝑇

𝑑𝑥= −𝑝 &

𝑑𝑀

𝑑𝑥= 𝑇

astfel:


𝑇𝑥 = −න𝑝𝑥𝑑𝑥 = −න𝑥

𝑙𝑝 𝑑𝑥 = −

𝑝𝑥2

2𝑙+ 𝐶1

Constanta 𝐶1se determină aplicând relația în origine, la x = 0, unde 𝑻𝟏 = 𝑉1 =𝒑𝒍

𝟔.

Așadar, rezultă de aici că :

𝑻𝒙 =𝒑𝒍

𝟔−𝒑𝒙𝟐

𝟐𝒍

Se constată că forța tăietoare variază parabolic. În reazemul din dreapta, unde x = l,

rezultă că 𝑻𝟐 = −𝑉2 = −𝒑𝒍

𝟑, forța tăietoare anulându-se în secțiunea dată de

ecuația :

𝑝𝑙

6−𝑝𝑥1

2

2𝑙= 0; 𝑥1 =

𝑙

3= 0,577 𝑙


Panta diagramei 𝑇𝑥 fiind măsurată pe sarcina 𝑝𝑥, rezultă că pe reazemul din stânga– unde 𝑝𝑥 = 0 – diagrama are tangenta orizontală. Prin integrarea expresiei forțeităietoare, rezultă :

𝑀𝑥 = න𝑇𝑥 𝑑𝑥 = න𝑝𝑙

6−𝑝𝑥2

2𝑙𝑑𝑥 =

𝑝𝑙𝑥

6−𝑝𝑥3

6𝑙+ 𝐶2

Deoarece pe reazemul simplu, unde x = 0, momentul este nul, rezultă C2 = 0, deci :

𝑴𝒙 =𝒑𝒍𝒙

𝟔𝟏 −

𝒙𝟐

𝒍𝟐

Momentul încovoietor variază, așadar, după o parabolă cubică, al cărei maxim estedat de relația:

𝑀𝑚𝑎𝑥 =𝑝𝑙2

6 31 −

1

3=

𝑝𝑙2

9 3


BARE ÎN CONSOLĂ

1. Bara simplu încastrată cu sarcină concentrată

Pentru barele în consolă,apare un cuplu în încastrare,deci diagrama de momenteîncepe cu valoarea acestuicuplu.

La bara încastrată în stânga,ecuațiile de echilibru daurelațiile :

𝑽𝟏 = 𝑷; 𝑀1 = 𝑃𝑙

Forța tăietoare este constantă și + , însă momentul încovoietor într-o secțiuneoarecare este 𝑴𝒙 = −𝑴𝟏 + 𝑽𝟏𝒙 = −𝑷𝒍 + 𝑷𝒙 , deci variază liniar, fiind 𝑷𝒍 înîncastrare și nul la capătul liber.

Dacă se inversează reazemul încastrat, T devine negativă, dar M rămâne tot negativ.


BARE ÎN CONSOLĂ

2. Bara simplu încastrată cu sarcină uniform distribuită

O astfel de bară are următoarele reacțiuni :

V1 = pl; M1 =pl2

2

Ecuațiile forței tăietoare și momentuluiîncovoietor sunt :

𝑻𝒙 = 𝒑𝒍 − 𝒑𝒙

𝑴𝒙 = −𝒑𝒍𝟐

𝟐+ 𝒑𝒍𝒙 −

𝒑𝒙𝟐

𝟐

Ambele mărimi au maximele în încastrare și devin nule în capătul liber. T variază liniar, iar M variază după o parabolă, care în capătul liber – unde T = 0 – are tangenta orizontală.


Barele cu console sunt bare simplurezemate, având la un unul sau la ambelecapete, prelungiri, încărcate cu sarcini,numite console.

Se consideră o bară având o singurăsarcină, pe consolă. Ecuația de momentefață de reazămul 2 impune ca :

𝑉1𝑙 − 𝑃𝑎 = 0; 𝑉1 = 𝑃𝑎

𝑙

Așadar, rezultă că :

𝑉2 = 𝑉1 + 𝑃 = 𝑃 1 +𝑎

𝑙

BARE CU CONSOLĂ

Barele cu console au momente încovoietoare pe reazemele unde există console.Diagrama de mai sus este identică cu cea din cazul barelor simplu rezemate, cu osarcină încărcată normal, cu deosebirea că reacțiunea a luat locul sarcinii și invers.


Sisteme de bare cotite & cadre plane

În afara barelor drepte, adesea se întâlnesc bare cotite, formate din mai multebare drepte sau curbe, legate între ele prin noduri rigide (adică nu permite niciorotire a unei bare față de alta) – fig. a, c.

Sistemele de bare ale căror axeformează o linie frântă sauramificată (fig. a), iar nodurilerealizează legături rigide sauarticulate, se numesc cadre.

Pentru construcția diagramelorN, T, M se utilizează definițiileanterioare, fiind necesarăalegerea unui sens de parcursal cadrului.

Forțele din stânga unei secțiuni se înțeleg până la capătul barei saucadrului, deci cele aflate pe toate barele din stânga secțiunii respective.


Diagrame de eforturi la bare cotite în spațiu

Aceste diagrame se construiesc luând pe fiecare interval un sistem de axeortogonale XYZ, după regulile cunoscute.

În cazul unei bare încastrate la un capăt, formată din trei segmente, de lungime a,b, c, paralele cu cele trei axe ortogonale, încărcată cu două forțe în capătul liber,diagramele N, Mt și Mi sunt :

Aici, diagramele N șiMt se construiescsimplu, însă pentrudiagrama Mi (dar șipentru diagrama T),se va avea în vederecă, în general, efortulare două componente

CURS 1 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2 DIAGRAME DE … · 2020. 2. 17. · CURS 1 –REZISTENȚA...

Documents

Transcript of CURS 1 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2 DIAGRAME DE … · 2020. 2. 17. · CURS 1 –REZISTENȚA...