CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA...

32
ÎNCOVOIEREA - recapitulare - Definiții; Eforturi unitare (normale & tangențiale) la încovoiere pură, simplă; Lunecarea longitudinală, încovoierea oblică & cu forțe axiale Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA CURS 2 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Transcript of CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA...

Page 1: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

ÎNCOVOIEREA

- recapitulare -

• Definiții;

• Eforturi unitare (normale & tangențiale) laîncovoiere pură, simplă;

• Lunecarea longitudinală, încovoierea oblică & cuforțe axiale

Universitatea „Vasile ALECSANDRI” din Bacău - ROMÂNIA

CURS 2 – REZISTENȚA MATERIALELOR 2

Page 2: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2

ÎNCOVOIEREA

Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcții care coincid cudirecțiile principale de inerție, încovoierea poate fi pură sau poate fi simplă.

Dacă în secțiunile normale pe axa barei, singurele componente nenule suntMy și Mz, atunci încovoierea este pură.

Dacă eforturile secționale My și Mz

sunt însoțite de forțele tăietoare Ty șiTz, atunci solicitarea este deîncovoiere simplă.

Page 3: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 3

ÎNCOVOIEREA

Cele două situații de încovoierese pot observa în cadrulîncărcării simetrice a unei osiide vagon.

Pe intervalele de la capetelebarei (pe console), pe careexistă atât forțe tăietoare Ty câtși momente încovoietoare Mz,se produce o solicitare deîncovoiere simplă.

Pe intervalul de mijloc, undeexistă doar momenteleîncovoietoare Mz, se produce oîncovoiere pură.

Page 4: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 4

ÎNCOVOIEREA

O bară (grindă) este solicitată, pe un anumit interval al lungimii sale, laîncovoiere pură, în situația când pe acel interval forța tăietoare este nulă,momentul încovoietor fiind constant.

&

Unele fibre sunt alungite & alte fibre sunt scurtate

&

Apar tensiuni normale pe secțiunile plane, transversale ale barei

1. Relația NAVIER

Page 5: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 5

ÎNCOVOIEREA

Pentru det. funcției de distribuție a mărimii tensiunilor normale 𝝈, într-oanumită secțiune a barei, se adoptă câteva ipoteze.

• Forțele care compun încărcarea sunt înplanul [XOY], care conține axeleprincipale de inerție OY ale secțiuniidrepte, fiind plan de simetrie al grinzii;

• Vectorul momentului încovoietor Mzeste normal pe planul forțelor șiorientat pe axa principală OZ;

• Axa barei nedeformate este o liniedreaptă;

• Înălțimea secțiunii este relativ mică înraport cu lungimea acesteia.

Page 6: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 6

ÎNCOVOIEREA

1.1. Aspectul geometric

Separând din bara dreapta solicitată de momentele încovoietoare Mz, unelement de lungime dx, aceasta se deformează sub acțiunea încărcării,secțiunile transversale de la capete rotindu-se una față de cealaltă cu ununghi dφ.

Dacă Mz este „+”, secțiunea solicitată serotește în sens orar, fibrele de deasupraaxei sunt comprimate, iar cele de sub axăsunt întinse.

Fibra corespunzătoare axei barei rămânela aceeași lungime, fiind denumite fibramedie deformată v fibra neutră, iarintersecția fibrelor neutre cu planulsecțiunii transversale este denumită axăneutră.

Page 7: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 7

Fibra neutră ≈ cerc cu raza = ρ, lungime dx = ρdφ

O fibră aflată la distanța y de fibra neutră se lungește cu Δdx

Variația lungimi fibrei este: ∆𝑑𝑥 = 𝜌 + 𝑦 𝑑𝜑 − 𝜌𝑑𝜑 = 𝑦𝑑𝜑 =𝑦𝑑𝑥

𝜌

Deformația fibrei medii deformate este:

𝜀 =∆𝑑𝑥

𝑑𝑥=

𝑦

𝜌

ÎNCOVOIEREA

Rotirea specifică este: 𝜃 =𝑑𝜑

𝑑𝑥=

1

𝜌

Deformația fibrei medii deformate devine:

𝜺 =𝒚

𝝆= 𝜽𝒚

Page 8: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 8

ÎNCOVOIEREA

1.2. Aspectul fizic

Deformației ε îi corespunde o tensiune normală σ, orientată în lungul fibreiconsiderate, care respectă legea lui Hooke,

Unde E este modulul de elasticitatelongitudinal al materialului.

Astfel, tensiunea normală variazăliniar funcție de y, în secțiuneatransversală.

Diagrama de variație a tensiunilornormale σ pe direcția înălțimiisecțiunii se poate trasa utilizândrelația de mai sus.

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 = 𝐸 ∙ 𝜃 ∙ 𝑦

Page 9: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 9

ÎNCOVOIEREA

1.3. Aspectul static

Relația de legătură între tensiunea σ și momentul încovoietor Mz, se obținedin ecuațiile de echivalență statică a sistemului de forțe elementare σdA,aplicate pe secțiunea transversală.

Suma proiecțiilor forțelor pe direcția OX :

න𝐴

𝜎𝑑𝐴 = 0

Suma momentelor cu vectorii pe axa OY :

න𝐴

𝜎𝑧𝑑𝐴 = 0

Suma momentelor cu vectorii pe axa OZ : න𝐴

𝜎𝑦𝑑𝐴 = 𝑀𝑧

Page 10: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 10

ÎNCOVOIEREA

Respectând legea lui Hooke, ecuațiile de echivalență statică a sistemului deforțe elementare σdA, aplicate pe secțiunea transversală, devin :

න𝐴

𝐸𝜃𝑦𝑑𝐴 = 𝐸𝜃න𝐴

𝑦𝑑𝐴 = 𝐸𝜃𝑆𝑧 = 0

unde 𝑺𝒛 este momentul static al secțiunii în raport cu axa neutră Oz

න𝐴

𝐸𝜃𝑦2𝑑𝐴 = 𝐸𝜃න𝐴

𝑦2𝑑𝐴 = 𝐸𝜃𝐼𝑧 = 𝑀𝑧

unde 𝑰𝒛 este momentul de inerție axial în raport cu axa neutră Oz

න𝐴

𝐸𝜃𝑦𝑧𝑑𝐴 = 𝐸𝜃න𝐴

𝑦𝑧𝑑𝐴 = 𝐸𝜃𝐼𝑦𝑧 = 0

unde 𝐼𝑦𝑧 este momentul de inerție centrifugal.

Page 11: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 11

ÎNCOVOIEREA

Din relația de echivalență în care apare momentul de inerție axial 𝑰𝒛, sededuce faptul că:

𝜃 =𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧=1

𝜌

unde produsul 𝑬𝑰𝒛 este denumit rigiditate la încovoiere.

Respectând legea lui Hooke, de unde 𝜃 =𝜎

𝐸𝑦și ținând seama de rigiditatea

la încovoiere, se deduce relația NAVIER:

𝝈 =𝑴𝒛

𝑰𝒛𝒚

Cu această relație se poate calcula tensiunea normală în orice punct al uneisecțiuni transversale de grindă, dacă este cunoscut momentul încovoietorMz, momentul de inerție Iz și coordonata y a punctului.

Page 12: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 12

ÎNCOVOIEREA

În calculele de rezistență, interesează în special valoarea cea mai mare aefortului unitar, fapt care se produce în fibrele externe. Așadar, din relațiaNavier, se deduce că:

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑦𝑚𝑎𝑥𝑀

𝐼𝑧=

𝑀

𝐼𝑧𝑦𝑚𝑎𝑥

=𝑴

𝑾𝒛

unde

𝑊𝑧 =𝐼𝑧

𝑦𝑚𝑎𝑥

este un element geometric al secțiunii și este denumit modul de rezistențăla încovoiere.

Page 13: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 13

ÎNCOVOIEREA

Utilizând relația Navier se pot rezolva probleme de :• Dimensionare, determinându-se modulul de rezistență necesar, astfel

încât tensiunile generate să nu depășească valoarea tensiunii admisibile,

𝑾𝒛 𝒏𝒆𝒄 =𝑴𝒛 𝒎𝒂𝒙

𝝈𝒂

• Verificare, determinând-se tensiunea normală maximă efectivă, care secompară cu tensiunea admisibilă,

𝝈𝒎𝒂𝒙 =𝑴𝒛

𝑾𝒛≤ 𝝈𝒂

• Găsirea momentului încovoietor capabil, pe care îl poate suporta bara,fără a depăși tensiunea admisibilă,

𝑴𝒛 𝒄𝒂𝒑 = 𝝈𝒂 ∙ 𝑾𝒛

Page 14: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 14

ÎNCOVOIEREA

2. Forma optimă a secțiunii

Formele și dimensiunile secțiunilor optime, realizează modulul de rezistențăcu cea mai mare valoare, la aceeași suprafață.

Cu cât raportul dintre 𝑾𝒛 și aria secțiunii transversale este mai mare, cuatât secțiunea aleasă este mai bună.

Astfel, dacă se consideră celedouă secțiuni cu arii egale,secțiunea în formă de I este maiavantajoasă, în raport cu ceadreptunghiulară, deoarece estecapabilă de preluarea unuimoment încovoietor mai mare.

Pentru barele solicitate la încovoiere sunt de preferat formele de secțiuni lacare materialul este cât mai depărtat de axa neutră: I, U, inelar

Page 15: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 15

ÎNCOVOIEREA

3. Relația JURAVSKI

În practică apar frecvent situații deîncovoiere simplă, acolo unde, peanumite intervale apar atâtmomente încovoietoare, cât și forțetăietoare.

Momentele încovoietoare genereazătensiuni normale σ, iar forțeletăietoare generează tensiunitangențiale τ.

Pentru aflarea variației funcțieitensiunilor tangențiale pe secțiuneatransversală a barei cu secțiuneconstantă, se izolează un element delungime dx.

Page 16: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 16

ÎNCOVOIEREA

Considerând că pe o linie BC, paralelă cu axa neutră, tensiunile tangențiale𝝉 sunt constante – ipoteza Juravski – și distribuite uniform în planulsecțiunii longitudinale – ipoteza Navier – se analizează echilibrulelementului de volum, de lungime dx, situat sub planul orizontal.

Page 17: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 17

ÎNCOVOIEREA

Astfel, relația JURAVSKI se concretizează prin ecuația:

𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 =𝑻𝑺𝒛𝒃𝑰𝒛

Unde 𝑺𝒛 este momentul static al suprafeței transversale (care tinde să

alunece față de restul secțiunii), în raport cu axa neutră, iar 𝑻 =𝒅𝑴𝒛

𝒅𝒙este

forța tăietoare.

În cazul secțiunilor dreptunghiulare, circulare și I, 𝝉 generat la încovoiereasimplă a barelor cu secțiunea A, de forță tăietoare T, sunt maxime pepunctele situate pe axa neutră.

𝜏𝑚𝑎𝑥 =3

2

𝑇

𝐴𝜏𝑚𝑎𝑥 =

4

3

𝑇

𝐴

Page 18: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 18

ÎNCOVOIEREA

4. Lunecarea longitudinală

Pe o lungime oarecare de grindăprismatică, forța de lunecarelongitudinală𝑵𝒍 este :

𝑵𝒍 =𝑺

𝑰𝒛න𝒍

𝑻𝒅𝒙

Acestei forțe i se opun eforturileunitare 𝝉𝒙𝒚 din planul generat de BC.

Dacă acest plan este unul de separareefectivă a grinzii, forța 𝑵𝒍 nu mai esteîmpiedicată și cele două părți lunecăuna pe alta.

Page 19: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 19

ÎNCOVOIEREA

În urma încărcării, grinzile se deformează, iar ipoteza Bernoulli nu mai estevalabilă pentru ansamblu ci pentru fiecare grindă luată separat.

Așadar, modulul de rezistență W alîntregii grinzi este suma modulelor derezistență ale celor două grinzi luateaparte:

𝑊1 = 2𝑎3

6=𝑎3

3

Pentru împiedicarea lunecării, celedouă grinzi trebuie unite într-un fel,iar modulul de rezistentă devine:

𝑊2 =𝑏ℎ2

6=𝑎 2𝑎 2

6=2𝑎3

3

Deci, 𝑊1 = 2𝑊2, înseamnă că grindasolidarizată este de două ori mairezistentă în raport cu cealaltă.

Page 20: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 20

Page 21: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 21

ÎNCOVOIEREA

În cazul grinzilor din lemn, împiedicarea lunecării longitudinale se faceprin pene sau prin încleiere.

La grinzile metalice, se pot realiza asemenea secțiuni compuse,împiedicând lunecarea prin nituire sau sudură.

Page 22: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 22

ÎNCOVOIEREA

Pe fețele BC și CD, cordonul de sudură aderă lacele două piese. Acestea exercită forțe delunecare longitudinale 𝑵𝒍 de sensuri contrare.

Ca urmare, pe planul de alunecare apar eforturiunitare de forfecare 𝝉 :

𝜏 =𝑁𝑙𝑎𝑐

Așadar, dacă se ia o lungime oarecare de cordonc, după ce se egalează forța de lunecare cu forțacapabilă a celor două cordoane, se deduce că :

𝑎 ≥𝑆𝑝𝑇

2𝜏𝑎𝑠𝐼𝑧

unde 𝑺𝒑 este momentul static al suprafeței tălpii, 𝑻 este forța tăietoare, iar

𝝉𝒂𝒔 este rezistența admisibilă la forfecare a cordonului de sudură.

Page 23: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 23

ÎNCOVOIEREA

Adesea, nu este necesar cordonul de sudurăcontinuu și se face sudură intermitentă.

Din condiția de rezistență pe distanța e dintredouă cordoane, se deduce că :

𝑒

𝑐≤2𝑎𝜏𝑎𝑠𝐼𝑧𝑆𝑝𝑇

Dacă se alege e, va rezulta c sau invers.

unde 𝑺𝒑 este momentul static al suprafeței tălpii, 𝑻 este forța tăietoare, iar

𝝉𝒂𝒔 este rezistența admisibilă la forfecare a cordonului de sudură.

Page 24: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 24

ÎNCOVOIEREA

În cazul general al solicitării la încovoiere, vectorul moment are o direcțieoarecare, continuă pe planul secțiunii transversale a barei.

Solicitarea acestui moment încovoietor, al cărui vector nu se află peniciuna dintre axele centrale și principale, este denumită încovoiereoblică.

5. Încovoierea oblică

Există numeroase cazuri desolicitare care pot produceîncovoierea oblică:

• un cornier, la care toate forțelesunt în planul vertical XOY, Mz seaflă pe axa orizontală, pe cândaxele principale 1 și 2 sunt pebisectoarele unghiului format deaxele OZ și OY.

Page 25: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 25

ÎNCOVOIEREA

Page 26: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 26

ÎNCOVOIEREA

• o bară cu secțiune transversală de formă oarecare, încărcară cu forțesituate în planele XOY și XOZ, direcția vectorului Mz este înclinată cu ununghi 𝛼 față de axa principală OZ.

Vectorul momentului încovoietor se poate descompune pe direcțiilecentrale și principale OZ și OY, rezultând:

𝑀𝑧 = 𝑀cos𝛼 și 𝑀𝑦 = 𝑀 sin𝛼

Page 27: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 27

ÎNCOVOIEREA

Tensiunea normală 𝝈 generată de acțiunea simultană a My și Mz, poate fievaluată calculând tensiunile corespunzătoare prin relația Navier șiefectuând suma lor algebrică:

𝜎 =𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧−𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦= 𝑀

𝑦 cos 𝛼

𝐼𝑧−𝑧 sin𝛼

𝐼𝑦

În planul secțiunii transversale există puncte în care 𝜎 = 0 . Loculgeometric ale acestor puncte este o dreaptă, denumită axă neutră.Unghiul înclinării acesteia față de axa principală este:

tan𝛽 =𝑦

𝑧= tan𝛼

𝐼𝑧𝐼𝑦=𝑀𝑦

𝑀𝑧∙𝐼𝑧𝐼𝑦

Direcția axei neutre traversează întotdeauna aceleași cadrane ca și direcțiavectorului M, coincizând cu acesta doar în cazul în care :

𝐼𝑧 = 𝐼𝑦

Page 28: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 28

ÎNCOVOIEREA

Solicitarea unei bare, datorită unor forțe care au direcția axei barei, darNU sunt aplicate în centrul de greutate al secțiunii transversale analizate,este denumită – după sensul lor – întindere excentrică, respectivcompresiune excentrică.

Caracteristici speciale:• axa neutră intersectează totdeauna cadranul opus cadranului în care se

află punctul de aplicație al forței excentrice;

• la întinderea excentrică, tensiunea totală este pozitivă, iar lacompresiunea excentrică, este negativă;

• axa neutră se îndepărtează de centrul de greutate al secțiunii, dacăforța F se apropie de centrul de greutate și invers.

6. Solicitarea excentrică

Page 29: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 29

ÎNCOVOIEREA

Bara din figură este solicitată la întindere excentrică. Forța F este într-unpunct, de coordonate 𝑦0 și 𝑧0 față de sistemul de referință OXYZ.

Prin readucerea forței F în centrul de greutate, se obțin următoarelecomponente:• 𝑭 – efortul axial de întindere• 𝑴𝒚 = 𝑭𝒛𝟎 – moment încovoietor

• 𝑴𝒛 = 𝑭𝒚𝟎 – moment încovoietor

Page 30: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 30

ÎNCOVOIEREA

Aplicând principiul suprapunerii efectelor, tensiunea totală 𝝈𝒕𝒐𝒕 secalculează ca sumă algebrică a tensiunilor generate de cele trei eforturi:

𝝈 = 𝜎𝑎𝑥 + 𝜎𝐼𝑧 + 𝜎𝐼𝑦 =𝑁

𝐴+𝑀𝐼𝑧𝑦

𝐼𝑧+𝑀𝐼𝑦𝑧

𝐼𝑦=𝐹

𝐴+𝐹𝑦0𝑦

𝐼𝑧+𝐹𝑧0𝑧

𝐼𝑌

=𝑭

𝑨𝟏 +

𝒚𝟎𝒚

𝒊𝒛𝟐+𝒛𝟎𝒛

𝒊𝒚𝟐

unde 𝑖𝑧2 =

𝐼𝑧

𝐴, respectiv 𝑖𝑦

2 =𝐼𝑦

𝐴sunt pătratele razelor de inerție ale

secțiunii, iar 𝐴 este aria secțiunii.

Axa neutră poate fi trasată unind punctele intersecțiilor ei cu axele OY șiOZ ale sistemului de referință, puncte care au coordonate (y’, 0) și (0, z’):

𝑦′ = −𝑖𝑧2

𝑦0; 𝑧′ = −

𝑖𝑦2

𝑧0

Page 31: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 31

ÎNCOVOIEREA

Dacă barele solicitate excentric sunt realizate din materiale care secomportă diferit la întindere față de compresiune – fontă, beton – esteindicat ca punctul de aplicație al forței să fie ales astfel încât axa neutrăsă NU intersecteze secțiunea transversală a barei.

Totalitatea punctelor în care poate fi aplicată o forță excentrică, astfel caîn toate punctele secțiunii să fie generate tensiuni normale cu acelașisemn, formează spre centrul secțiunii, un contur închis, denumit sâmburecentral.

Când forța F este aplicată în afara sâmburelui central, axa neutră taiesecțiunea, divizând-o în două zone pe care sunt generate atât tensiuni decompresiune – negative – cât și tensiuni de întindere – pozitive –

Când forța F este aplicată pe conturul sâmburelui central, axa neutră estetangentă la conturul secțiunii.

7. Sâmbure central

Page 32: CURS 2 –REZISTENȚA MATERIALELOR 2...Rezistența materialelor II - UBc - 2020 2 ÎNCOVOIEREA Atunci când vectorii momentelor încovoietoare au direcțiicare coincid cu direcțiileprincipale

Rezistența materialelor II - UBc - 2020 32

ÎNCOVOIEREA

Dacă forța F este aplicată în punctesituate de-a lungul unei drepte cetaie secțiunea, 𝝈 dintr-un punct alsecțiunii este tot timpul nulă, axaneutră rotindu-se în jurul acestuipunct. Distanțele 𝑏1 și 𝑏2 alepunctelor A și B, față de centrul degreutate O, sunt denumite raze derezistență.

Se presupune că axa neutră este în lungullaturii n-n, astfel că :

𝑦 = −ℎ

2și 𝒛𝟎 = 𝟎; 1 +

−ℎ

2𝑦0

𝑖𝑧2 = 0

de unde se deduce că : 𝒚𝟎 =𝑖𝑧2

2

=𝒉

𝟔, fiind

coordonatele punctului D.