1

FLORIN FÎNARU

CUM SĂ EXPLICĂM

FACIL, SĂ NU FIE DIFICIL!

(procedee inedite de familiarizare a elevilor din învăţământul primar cu principalele con-ţinuturi ale învăţării la matematică)

EDITURA TEHNOPRESS

IAŞI – 2007

2

Referent ştiin ţific: prof. univ. Adrian Neculau, Universitatea „ Al. I. Cuza “ IA ŞI Tehnoredactare: Florin Fînaru EDITURA TEHNOPRESS Str. Zimbrului nr. 17 700047 Iaşi Tel./fax: 0232 260092 E-mail: office@tehnopress.ro http://www.tehnopress.ro EDITURĂ ACREDITAT Ă CNCSIS Numele copertei: « Să medităm! Ce emitem şi ce recepţionăm! »

ISBN

3

Naşilor mei, învăţători Emilia şi Vasile Vieru Mamei mele, educatoare Maricica Fînaru Bunicilor mei, învăţători Catinca şi Dumitru Fînaru, a căror nobilă profesie o port în suflet şi printre oameni

4

Prefaţă

Gândirea comună a acreditat ideea că matematica este o disciplină aridă, care se învaţă cu trudă şi care nu este acce-sibilă oricui. «Bun la matematică» însemna adesea o eti-chetă pe care o aplicam copiilor superior dotaţi, capabili de angajare într-un efort penibil. A spune despre un copil că e matematician înseamnă a-l segrega, a-l caracteriza doar printr-o componentă cognitivă; aceasta atrage imediat după sine imaginea că acest copil este perseverent, abstras lumii obişnuite, uneori în opoziţie cu disciplinele inimii, izolat. Că ar face parte dintr-o elită deosebită, ciudată.

Domnul Florin Fînaru îşi propune să umanizeze această disciplină, s-o facă accesibilă, s-o restituie tuturor copiilor, indiferent de dotarea lor. În acest scop recurge la o strategie veche, dar mereu nouă, de care auzisem încă de la tatăl meu, învăţător haretist: principiul intuiţiei. Adică plasează conţi-nuturile învăţării în situaţii de viaţă, le face familiare, acce-sibile. Copiii iau contact nu cu socoteli abstracte, ci cu dese-ne şi fotografii din lumea lor, extrem de sugestive şi de bine realizate, atrăgătoare chiar. Exemplele fac parte din viaţă, ei nu părăsesc astfel lumea obişnuită.

Dar noutatea constă în faptul că toate explicaţiile sunt oferite în versuri. Copilul învaţă astfel ritmat, el se antrenea-ză în acest joc şi – preocupat de rimă – asimilează şi regula, principiul, norma. În felul acesta regulile abstracte devin fapte de viaţă, se insinuează firesc în universul cognitiv al individului, îl pătrund, îi ocupă mintea şi inima în acelaşi timp.

O teorie recentă în psihosociologie a acreditat ideea că dezvoltarea intelectuală a individului este de fapt o dezvol-tare socio-cognitivă. Cel ce transmite un anumit conţinut

5

furnizează o cunoaştere articulată la un anumit context so-cial, o cunoaştere ancorată la situaţii de viaţă, la lumea cu-noscută de cel care asimilează. Individul învaţă mai bine da-că cunoştinţele transmise sunt plasate în contexte familiare, accesibile, pe care le-a mai întâlnit în experienţele anteri-oare. În contexte care nu-i sunt străine.

Domnul Fînaru a îmblânzit matematica, a tradus-o în- tr-un limbaj natural, a făcut-o accesibilă. Copilul nu se mai simte astfel pierdut, singur într-o lume străină, plină doar de abstracţiuni, ci păşeşte pe un teren cunoscut, prietenos, în- tr-un univers adesea plăcut. Nu se mai simte agresat, ci luat de mână şi condus să descopere ceva plăcut, ceva care-i tre-zeşte curiozitatea, interesul cognitiv.

Florin Fînaru, aflăm din dedicaţii, face parte dintr-o fa-milie de învăţători. A primit o educaţie de dascăl, de om de-dicat educării celorlalţi. O descendenţă nobilă care-i face cinste şi pe care o onorează cu talent. Am întâlnit mulţi în-văţători dedicaţi, preocupaţi, pasionaţi. În această galerie de elită a tagmei educatorilor, Florin are un loc al său bine balizat. Îl salut ca pe un tovarăş de gând şi suflet.

Prof. univ. Adrian Neculau Universitatea „ Al. I. Cuza “ Iaşi

6

Dragi copii,

Bine v-am găsit, dragii mei şcolărei! Mă numesc Florin Fînaru şi sunt învăţător

(institutor) la Şcoala nr. 43, şcoală serioasă, fireşte, şi care «Dimitrie Sturdza» se mai numeş-te!

Munca mea îmi este foarte dragă şi îmi pla- ce să-i învăţ pe copii, astfel încât toţi să înţelea- gă! Să înţeleagă repede şi bine! De aceea am scris această carte şi pentru tine! Desigur, fiecare aveţi deja o doamnă învăţătoare sau un domn învăţător de copii iubitor şi în munca lui silitor. Când ei în lecţii vă explică ceva cu răbdare, voi să-i urmări ţi cu atenţie mare!

Prin această carte eu nu-l voi înlocui pe al tău învăţător, ci îţi vin în ajutor. Te ajut să înţe- legi lecţiile pe care la matematică le studiezi. Am compus pentru copii nişte poezii şi povesti- oare cu poveţe, pentru ca ele să-i ajute repede şi bine să înveţe! Ele sunt astfel făcute, încât pe parcursul mai multor ani să te ajute!

Citind cu mare atenţie pe această carte, chiar nu ai de ce te teme, pentru că n-o să-ţi dau să rezolvi probleme! Nu e vorba că problemele ar fi un chin, dar eu vreau ca mai întâi să înţe- legi lecţiile pe deplin! Socot că nu e bine să lucrezi ca un robot!

7

Pentru a putea rezolva probleme trebuie mai întâi, fii atent matale, să înţelegi şi să efectuezi operaţii cu numere naturale. De asemenea, vreau să fie pentru tine lucruri ştiute şi exerciţi- ile cu aflarea unor necunoscute. Vreau să fii de carte tobă şi să ştii şi cum se face a unei opera- ţii probă. Mai mult, orice elev învăţat trebuie mai întâi să înţeleagă şi apoi să ştie şi unele cu-noştinţe despre geometrie. Cu siguranţă pentru rezolvarea unor probleme nu vei avea nici o atracţie, dacă mai întâi nu vei înţelege ce este aceea o fracţie. La fel, nu putem vorbi cu adevă- rat de rezolvare de probleme, de învăţătură, fă- ră ca să înţelegi bine ce sunt unităţile de măsu- ră. N-ai să poţi pe enigmele, pe secretele pro-blemelor să le dezlegi, fără ca mai întâi pe toa- te acestea să le înţelegi!

Când doamna sau domnul tău învăţător, pe rând, pe toate acestea ţi le va preda, să citeşti şi paginile respective din cărticica mea, pentru că te vor ajuta! Eu nu vreau să-ţi fie matematica un chin, ci vreau să înveţi cu zâmbetul senin!

Cu drag, al tău prieten mai mare, Florin

8

Stimate cititor,

Întotdeauna am fost fascinat de arta prin care adevă-raţii luminători ai minţilor celor ce nu ştiu reuşesc să influ-enţeze magistral operaţiile gândirii acestora. În lucrarea de faţă nu efectuez o incursiune în teoria vastelor informaţii despre procesele cognitive superioare, această activitate fiind, mai cu seamă, de competenţa psiho-logilor şi a celor care le cercetează la un nivel tot mai înalt. Informaţiile prezentate de mine sunt variante metodice menite să accesibilizeze unele conţinuturi din programa de matematică, astfel încât înţelegerea copiilor să devină un ferment pentru activizarea întregii gândiri matematice a acestora, baza soluţionării conştiente a problemelor şi a si-tuaţiilor problemă din viaţă în care sunt nemijlocit impli-caţi.

Variantele metodice prezentate în această lucrare res-pectă filonul metodic elaborat cu multă vreme înainte de a deveni eu însumi învăţător şi detaliat în lucrările de meto-dică a predării matematicii apărute. Propunerile mele în-seamnă o familiarizare relaxată, captivantă cu aceste conţi-nuturi matematice pentru elevi, cu ajutorul versurilor, al prozei rimate şi al unor desene inedite. Sunt convins că este pe deplin posibil să creăm elevilor o stare de bună dispo-ziţie, chiar în timpul predării unor astfel de informaţii mate-matice care, se ştie, prin ele însele nu îi atrag pe şcolarii mici. Am elaborat aceste variante metodice inedite pentru unele conţinuturi cheie întâlnite în programele claselor I – IV. Este vorba de acele conţinuturi ale învăţării ce accentu-ează caracterul instrumental al învăţământului realizat în această etapă a dezvoltării copilului. Mi-am propus să îi a-jut în special pe copiii cu unele dificultăţi la înţelegerea

9

acestor conţinuturi ale învăţării. Aceasta nu înseamnă că i-am neglijat pe elevii ale căror capacităţi intelectuale le permit să înţeleagă destul de uşor, rapid aceste conţinuturi ale învăţării prevăzute de programele şcolare. Nu de puţine ori am elaborat demersul didactic pe baza metodei proble-matizării, pentru a-i incita pe elevi să explice aparente pa-radoxuri ivite. Am urmărit o apropiere cât mai mare de rea-litatea procesului predării şi învăţării, încercând să an-ticipez eventualele nelămuriri care pot să blocheze opera-ţiile gândirii copiilor şi să le ofer soluţii adecvate. Din a-ceastă perspectivă mi-am construit variantele metodice sub forma unor răspunsuri cât mai clare la eventualele între-bări care mi s-ar fi putut adresa de către un ipotetic elev foarte atent la explicaţiile mele, dar care... nu înţelege şi mereu întreabă: „De ce...?“, „De ce...?“, „De ce...?“etc. Propun variante de pătrundere în universul afectiv şi cogni-tiv al copiilor combinând demersurile didactice cunoscute bazate pe materiale intuitive cu utilizarea inedită a limba-jului de comunicare cu elevul, ca factor de activizare a ope-raţiilor gândirii. Consider că un demers didactic eficient trebuie să utilizeze, să valorifice din plin şi resursele sti-listice bogate ale Măriei Sale, Cuvântul.

Sunt convins că a-l conduce pe elev spre zonele supe-rioare ale înţelegerii, mai ales pe elevul mai puţin dotat din acest punct de vedere, reprezintă o dovadă incontestabilă a măiestriei profesionale a cadrului didactic, a talentului său didactic, un talent ce asigură trăinicia capacităţilor instruc-tive ale elevilor. Prin această muncă se înfăptuieşte un au-tentic act social cu implicaţii majore pentru prezentul şi vii-torul nostru.

Amintirea anilor în care mi-am însuşit bazele metodi-cii predării matematicii în învăţământul primar îmi refac în

10

memoria vizuală şi afectivă imaginea exemplară a doamnei profesor Veronica Păduraru. Am preluat de la doamna pro-fesoară Veronica Păduraru atitudinea permanent responsa-bilă a profesionistului preocupat asiduu şi cu desăvârşită seriozitate de instruirea ireproşabilă a învăţăceilor în spiri-tul rigurozităţii matematicii. Domnia sa mi-a insuflat acea energie a atitudinii profesioniste cu care trebuie repetat, studiat, aprofundat orice concept matematic înainte de a-i lumina pe alţii. Cu acest prilej doresc să-i mulţumesc şi domnului profesor Constantin Petrovici pentru modelul personal al domniei sale pe care mi l-a oferit în mod direct, un model dezirabil cu largă deschidere profesionistă şi umanistă, regăsit şi în lucrările dumnealui publicate, în stagiile de perfecţionare conduse de domnia sa la care am participat.

Nu în ultimul rând, îmi exprim profunda gratitudine şi faţă de distinsul profesor universitar Adrian Neculau, ade-vărat om de ştiinţă a sufletului uman şi conştiinţă model pentru orice umanist. Cuvintele domniei sale mă onorează şi îmi trezesc o frumoasă amintire a vieţii mele, anii de stu-diu petrecuţi la Şcoala Normală „Vasile Lupu“ din Iaşi.

Mereu m-a fascinat acel adjectiv care însoţea denu-mirea Şcolii mele, însuşirea ei de a fi ...normală. Dacă la început el îmi provoca o oarecare nedumerire – căci toate şcolile trebuie să fie normale, nu-i aşa? – cu timpul i-am pătruns sensurile profunde dincolo de cuvânt... De fapt unul dintre cele mai dificile lucruri în această viaţă este să fii simplu, natural, normal, nu-i aşa? Arta simplităţii nu în-seamnă superficialitate, ci arta apropierii de esenţe pentru a le revela ţie însuţi şi oglindirilor tale în această lume, oa-menilor. Dincolo de această însuşire cu care se identifică Şcoala noastră este o lume a modestiei şi a seriozităţii pen-

11

tru căutarea luminii formării şi informării omului. Pen- tru că acest adjectiv exprimă cum nu se poate mai bine, cu infinită modestie, esenţa artei de a fi învăţător, adică fascinant de simplu, de normal, un vrăjitor care topeşte nedumeririle minţii şi întunecimile sufletului. Autorul

12

Scăderea unui număr format numai din unit ăţi dintr-un num ăr mai mic decât 20, fără trecere

peste ordin

Mâţa noastră tot visa, Căci cârnaţi adulmeca Se făcea că ea mânca...

Dar mâţa s-a enervat Şi tare a mieunat...

13

Ghearele şi-a aruncat Lada-n două a crăpat...

10 cârnaţi la stânga au alunecat, Iar 9 spre mâţă s-au mişcat. Mâţa ghearele-a băgat Şi din 9, 6-a luat... Ce mai, furt adevărat! Mâţa a plecat apoi Dar cu ce am rămas noi ? Cu 10 şi cu încă 3, Hai după mâţă cu un retevei!

14

Deci 19 – 6 = 10 + 9 – 6 19 – 6 13 = 10 + 3 = 13

15

Adunarea unui număr mai mic decât 20 cu un număr format numai din unit ăţi, fără trecere

peste ordin

Ia priveşte-aicea tu Şi-ai să-l vezi pe mărul ZU. Lângă el e aşezat, Ca să fie adunat, Chiar nasul lui Cap Pătrat!

Îţi reamintesc, nu e dificil, Şi să afle oricare copil Numind grupe de unităţi Avem mai multe posibilităţi: Una, unul, 2 sau 3, Sau nimicul (0), dacă vrei, 4, 5, 6 sau 7, Dar şi 8 sau chiar şi 9, Toate acestea vă spun vouă − Noi ne numim unităţi Şi acum şi-n alte dăţi! Ia gândiţi corect, la rece, Formăm vreuna din noi zece (10)?

16

Mărul ZU în două a crăpat Şi ZECEA s-a eliberat, Iar când crăpătura s-a lărgit Şi UNITĂŢILE -au fugit, Iar apoi s-au adunat Cu...nasul lui Cap Pătrat!

17 + 2 = 10 + 7 + 2 17 + 2 19 = 10 + 9 = 19

Astfel 9 au format Care s-a şi adunat Cu-acel 10, nou eliberat, Şi-astfel 19 s-a arătat!

17

Aflarea unui termen necunoscut dintr-un exerciţiu de adunare sau scădere cu doi termeni

în concentrul 0 - 10 când se cunoaşte suma/diferenţa şi celălalt termen

1) 4 mâţe arătoase Îşi doreau să fie 6, Aşa că, te rog, imediat Pune cifra în pătrat! 4 + = 6

18

2) Câţi căţei vin la cei doi Şi devin 8, măi pisoi ? + 2 = 8

19

3) Trei mâţe beau lapte Mai vin nu ştiu câte Şi se fac de toate 7. Câte mai vin, frate ? 3 + = 7

20

4) 5 cocoşi nu vor să tacă Alţii la ei vin şi iacă, La 5, câţi mai vin, măi, dacă Acum 9-s pe baracă ? + 5 = 9

21

5) 9 mâţe ghemuri învârteau Şi-a venit dulăul, „ Hau!“. Câte au fugit, măi, dacă 4 au rămas la joacă ? 9 − = 4

22

6) Dintr-un coş cu pisoi Şase au fugit, şi-apoi Dacă în coş noi privim, Doar doi o să mai zărim. Acum avem de văzut Câţi au fost la început! − 6 = 2

23

7) Nu ştiu câţi câini au fost în cuşcă Şi nici câţi repede-au plecat... Au rămas doar doi ce muşcă Şi o ţin tot în lătrat! Câţi puteau să fie, oare, Şi câţi plecat-au la plimbare ? − = 2

24

8) Doi copii au nouă avioane, Dar nu ştiu, măi frăţioare, Câte are fiecare. Sunt mai multe posibilităţi... Hai rapid să mi le-arăţi! + = 9 + = 9 + = 9 + = 9 + = 9 + = 9 + = 9

25

+ = 9 + = 9 + = 9

Adunarea a doi termeni în concentrul 0 – 20 cu trecere peste ordin

Nouă motani, cu mic cu mare, au plecat la vânătoare. Lor li s-au alăturat pe drum alţi şase motănei dornici să mănânce şoricei. Câţi motani acum spre şoricei se deplasează şi deja la ospăţ visează ? După citirea şi analiza problemei se ajunge la exerciţiul :

9 + 6 =

La această adunare, Deşi adun doar unităţi, Rezultatul, măi isteţi, Decât 10 e mai mare! Chiar aşa-i, nu mi se pare!

26

Şi cum cu 10-i mai uşor de adunat Hai să-l formăm pe 10 imediat! Atenţie, căci voi forma pe ZECEA mea Din numerele ce-au venit deja! Din 9 şi din 6 ce deja se-adună De-o pui tu de la tine, treaba nu e bună!

27

Sau ca să-ţi fie mai uşor, Uite-un desfăşurător!

28

Scăderea în concentrul 0 – 20 cu trecere peste ordin

14 mâţe stăteau tolănite, iar apoi 8 au plecat la vână-toare, deoarece visau şoricei la frigare. Câte mâţe tolănite mai erau şi torsul îşi continuau ?

Rezolvare

Hai pe mâţe să le-aliniem Ca pe scădere s-o vedem!

Stau mâţele ca la teatru 10 şi-apoi încă 4. Am ales aceast-aliniere De 10 şi-ncă 4 miaunele, Fiindcă zecea-mi dă putere Şi m-ajută la scădere! Priveşte bine ceata lui Papuc, Că de-acolo 8 acum se duc!

29

Fii acum atent(ă) la ce-ţi spun eu Să calculezi direct 14 – 8 e greu, Să-l scazi pe 8 din cele 4 nu se poate,

Să-l scazi pe 8 din U şi Z (4 din U şi 4 din Z) sunt treburi complicate,

30

Că apoi o iei pe numărate ( ca să vezi câte mai sunt ).

Dar există un drum uşor Şi calculezi fără calculator! Şi fii atent aicea, frăţioare, Nu-ţi trebuie nici o numărătoare, Ci doar mintea ta care pe mâţe le întrece, Păi ce, degeaba-l am pe 10? 10-i al meu ajutor, Pentr-un calcul mai uşor! Acum pe 14 mâţe în sac le băgăm Şi pe 8 din ele noi le aruncăm. Hai să vezi acum cum fac, Câte-au mai rămas în sac ?

31

Ce-am făcut aici la primul pas ? Din 10 pe 8 am ras Şi-astfel 2 au mai rămas, Dar mai aveai 4 la U, Sper că nu ai uitat, nu ?

32

Deci 2 şi cu 4 fac şase, Astea-s mâţele rămase! 14 – 8 = 10 + 4 – 8 14 – = 10 – 8 + 4 8 6 = 2 + 4 = 6

Deci 14 – 8 = 6

Adunarea numerelor naturale de la 0 la 100 cu trecere peste ordin

25 de mâţe stăteau în jurul unui lighean mare cu lapte. Văzându-le cum beau, au mai venit încă 37. Câte mâţe acum lapte beau ? Miau! Rezolvare 1) Câte mâţe acum lapte beau ? 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7 25 + = 20 + 30 + 5 + 7 37 = 20 + 30 + 5 + 5 + 2 62 = 60 + 2 = 62

33

Vă voi explica, să ştiţi cum veţi lucra:

Pasul 1 La fiecare număr adunat Ordine vom face imediat Nu vom mai lăsa, măi frate, ZECI cu UNITĂŢI apropiate, Dăm deoparte ZECI curate Şi UNITĂŢI pe de-altă parte.

25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7

Pasul 2 Apoi le aranjăm cum ne convine, Ca să le vedem mai bine!

25 + 37 = 20 + 30 + 5 + 7

N-am scăzut şi n-am adăugat nimic, Doar le-am mutat locul un pic... Aşa scriu copiii ce ştiu carte, ZECI deoparte, UNITĂŢI deoparte! Dar fii atent(ă) că la 5 + 7 Încă 10 mâţe mai beau lapte. La 5 + 7 o 10 vrea să păcălească,

Dar... ( prenumele copilului ) imediat o s-o găsească!

34

Pasul 3 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7 = 20 + 30 + 5 + 7 = 20 + 30 + 5 + 5 + 2 = 20 + 30 + 10 + 2 Acum, da, treaba e ca la carte, Într-adevăr am ZECI deoparte , UNITĂŢI deoparte. După ce astfel le-am aranjat, Acum e uşor de calculat! Pasul 4 25 + 37 = 20 + 5 + 30 + 7 = 20 + 30 + 5 + 7 = 20 + 30 + 5 + 5 + 2 = 20 + 30 + 10 + 2 = 60 + 2 = 62

35

Desigur, se poate calcula mult mai repede decât tot ceea ce eu până acum am zis, efectuând calculul în scris.

25 + 37

Ai grijă mare la această aranjare pe verticală, deoarece este de o importanţă capitală! Vreau să spun că e nevoie, neapărat, cu vederea să nu treci aranjarea UNITĂŢI sub UNITĂŢI şi ZECI sub ZECI. Adică tu să nu aşezi ca în exemplele pe care mai jos le vezi : 25 + 25 + 37 37 Atenţie mare! Astfel de scriere te va duce în eroare, adică bine să socoţi n-ai să poţi! După ce ţi-am spus cum corect unele sub altele pe numere trebuie să le aşezăm, îţi voi arăta în con-tinuare cum calculăm. Pentru ca tu să nu fii dezo-rientat şi apoi dezordonat defel, mi-am ordonat ex-plicaţiile într-un tabel. Astfel un om să calculeze ştie, atunci când în etapele de calcul gândeşte întâi, apoi scrie!

36

Etape Cum gândesc Ce scriu 1 5 UNITĂŢI + 7 UNITĂŢI = 12.

Nu am voie, puişor, să scriu 12 la coloana UNITĂŢILOR (UNITĂ-ŢILE pot fi marcate aici cu cifre de la 0 până la 9, fiţi atenţi ce vă spun vouă!). Dar 12 = 10 + 2 Unităţile curate, însingurate, adi-că într-o 10 negrupate ( adică 2, vedeţi şi voi ) merg la casa lor în pas alergător. Pe 10 ( de la 12 = 10 + 2 ) o ţinem minte şi o vom pune la locul ei, adică la casa ZECILOR, vrei, nu vrei ( aici zecea va locui sub forma cifrei 1 ce nu ne poate păcăli pe niciunul că ar arăta o unitate însingurată. Aici ea va fi adunată cu celelalte zeci pe care aici le întâlneşte şi astfel numărul le sporeşte! ).

ZU

25 + 37 2 1 ZU

25 + 37 2

2

Trecem la coloana ZECILOR acum, să continuăm al calculului drum. Aici aveam două zeci ( marcate cu ajutorul cifrei 2 – atenţi să fiţi voi ca şi-n alte dăţi, acest 2 nu arată unităţi! ) şi încă trei zeci (marcate cu ajutorul ci-frei 3 care, desigur, dragii mei, ar cam vrea să vă păcălească la o adică, ca să credeţi că unităţi el

37

indică! ). Deci aveam 5 ( cinci ) zeci ce aşteptau deja şi cu zecea dinainte care se alătura ( de la adunarea unităţilor 5 + 7 = 12 = 10 + 2 ), în total sunt şase zeci la adunarea mea pe care le vom marca cu ajutorul cifrei 6 care şi el cam râde pe sub mustăţi încer-când să vă păcălească că arată unităţi! Şi-uite-aşa, în pas vioi, am aflat şi suma, 62.

ZU 25 + 37 62

Proba operaţiilor de adunare şi scădere Dragule şcolar, poate ai acum o privire întrebătoare şi-ţi spui în gând: „ Ce mai e şi cu proba aceasta, oare? “. De aceea mai întâi zic, uite, am să-ţi explic ce înseamnă probă, acest cuvânt, ca să nu fii cu înţelegerea la pământ! Cuvântul probă, frăţioare, înseamnă o verificare, încer-care. Să zicem că la un magazin vei pleca dumneata. Acolo, pe un obiect, lucru, produs îl vei vedea şi dacă îţi va plăcea, probabil vei dori a-l cumpăra. Atunci e bine a-ţi stăpâni dorinţa mare de achiziţionare, dorinţa de mai repede a-l avea şi printr-o probă, pe acel produs e bine a-l încerca, verifica. Dacă produsu-i încălţăminte, cum îl vei încerca, proba, oa-re ? Desigur, prin încălţare! Astfel vei verifica dacă-ţi vine corect pe picior ori ba. Dacă produsul e îmbrăcăminte, pen-tru a-l proba, adică a-l verifica, desigur, îl vei îmbrăca! Da-că e vreun aparat, îl vei pune imediat, atent, într-o priză ce

38

are curent şi vei constata cu atenţie mare a lui funcţionare. Aşa fac şi eu, micule cetăţean, altfel pe acel obiect nu dau nici un ban. Şi nu pentru că cineva m-ar obliga pe probă să o fac, ca să-i fiu lui pe plac. E în interesul meu să fac proba mereu, pe a produsului funcţionare să o ştiu, ca să nu plâng mai târziu! Aşa procedează un om deştept care ştie că pro-dusul nu pleacă din fabrică perfect şi, desigur, îl poţi cumpă-ra şi defect, de nu eşti atent mata şi pe probă n-o vei efectua! Ei, la fel şi la matematică proba îţi va indica, folositoa-re ( dacă o vei efectua cu atenţie mare ), îţi va arăta drept dacă un calcul a fost efectuat corect! Acum îţi voi explica cum pe probă o vei efectua.

Proba operaţiei de adunare Proba adunării, măi vere, se face prin scădere. Chiar aşa, imediat îţi voi arăta!

12 fete + 19 băieţi = 31 de copii isteţi Acum pun o întrebare: − Sigur fac 31, oare ? Ce zici mata ? − Proba ne va arăta! Din 31 de copii isteţi, îi trimitem la joacă pe cei 19 bă-ieţi. Ar trebui, imediat, să rămână 12 fete, neapărat! Dacă va fi aşa, înseamnă că adunarea e corectă, da!

Operaţia probă 31 de copii − 19 băieţi = 12 fete 31 − 19 12 Proba ne-a arătat că la adunare bine am lucrat! Aceas- tă probă a operaţiei de adunare mai putea fi făcută trimiţân- du-le pe fete la plimbare.

39

31 de copii − 12 fete = 19 băieţi 31 − 12 19

Proba operaţiei de scădere

Proba scăderii, măi frăţioare, se poate face prin adunare! Chiar aşa, imediat îţi voi arăta! 52 de mâţe tolănite erau şi la soare torceau. Pe mine mă cam deranjau, măi să fie, că doar n-am crescătorie! Când la ele am răstit, 28 de mâţe au fugit.

52 − 28 = 24 de mâţe rămase Acum pun o întrebare: − Sigur rămas-au 24 de mâţe, oare ? Ce zici mata ? − Proba ne va arăta! Uite, ca să nu ziceţi că sunt de rău soi, îi voi chema îna-poi pe cei 28 de pisoi. Atunci ar trebui, normal, să obţin pe numărul de mâţe iniţial, ştiţi voi, adică pe 52. Dacă va fi aşa, înseamnă că scăderea e corectă, da!

Operaţia probă 24 + 28 = 52 de mâţe 24 + 28 52 Această adunare este proba scăderii de dinainte, frăţioa-re! Dacă pe 52 l-am aflat, înseamnă că la scăderea de dina-inte bine am lucrat!

La această lecţie, înainte de a-ţi spune « La revedere! », vreau să-ţi mai spun că proba scăderii se poate face şi prin

Fii atent la următorul sfat! Neapărat! Pe rezultatul ope-raţiei probă să nu-l scrii direct, aşa, fără a efectua proba. După ce şi la probă ai calculat trebuie să vezi cu adevărat ceea ce-i de văzut, adică dacă pe celălalt termen l-ai obţinut!

40

scădere. Dacă din câte mâţe au fost la început ( 52 ) vom scădea pe numărul de mâţe rămas ( 24 ), ar trebui să obţi- nem imediat numărul de mâţe care au plecat ( 28 ). Dacă va fi aşa, înseamnă că scăderea 52 – 28 = 24 e corectă, da!

Operaţia probă 52 – 24 = 28 52 - 24 28

Aflarea termenului necunoscut folosind proba operaţiei

... (Numele şi prenumele elevului) seminţe de bostan avea într-un borcan, dar câte habar nu am. Ştiu însă că mama i-a mai dat 21, iar acum ... (Numele şi prenumele elevului) are în total 48 şi vrea să le pună pe toate la copt. Câte seminţe ... (Numele şi prenumele elevului) avea înainte ca mămica ei/lui să-i mai dea ? Vom trece imediat la rezolvare, dar nu înainte de a face o precizare spunându-ţi că în parantezele de mai sus chiar numele tău poate fi pus. Înainte de rezolvare nu este bine să te grăbeşti, ci încă o dată, cu atenţie, pe textul despre întâmplare să îl citeşti! Apoi, pentru a înţelege uşor, priveşte desenul următor!

Fii atent la următorul sfat! Neapărat! Pe rezultatul ope-raţiei probă să nu-l scrii direct, aşa, fără a efectua proba. Dragul meu, după cum vezi, pe un nou calcul trebuie să efectuezi ( pe calculul probă ).

41

Priveşte la borcan puţin, De seminţe acu-i plin! Dar n-a fost plin chiar de la început,

Seminţe multe ...( prenumele copilului ) n-a avut,

Oare cum de s-a umplut ?

42

Păi, ce-a dat mama + (prenumele copi-lului) ce-a avut

Că nu-i greu de priceput. Hai să-ţi arăt cum vom afla Câte seminţe ea/el avea Înainte ca mămica ei/lui să-i dea! Din borcanul care-i plin Şi are 48, precum ştim, Cu o palmă am acoperit Câte seminţe ...( copilul) a primit Ce a rămas este ştiut Câte-avea la început! Deci din 48, Care cred că s-au şi copt, Pe 21 cu palma l-am acoperit – Asta-i scădere, negreşit – Iar al scăderii rezultat Ce se obţine după calculat, Arată, cum este ştiut, Câte seminţe erau la început! Numărul s necunoscut!

43

Deci din 48, Care cred că s-au şi copt, Pe 21 cu palma l-am acoperit – Asta-i scădere, negreşit – 48 – 21 = 27 48 – 21 27

44

Deci dacă s + 21 = 48 atunci s = 48 – 21 adică s = 27 Răspuns: 27 de seminţe Atenţie mare la un exerciţiu cu doi termeni în adunare! Când unul din termeni e necunoscut, el se află, măi vere, prin operaţia de scădere! Din suma, totalul cunoscut vom scădea pe celălalt termen ştiut şi astfel vom afla pe terme-nul necunoscut. Sper c-ai priceput!

Aflarea descăzutului când se cunoaşte

scăzătorul şi restul

Astăzi oala mi-am umplut Cu câţi cârnaţi (c) au încăput Mâţa s-a ivit în prag Cu gânduri de furtişag Pe masă s-a căţărat Şi pe capac l-a răsturnat.

45

Mâţa ghearele-a băgat Şi 4 cârnaţi a luat, Iar în oală mai rămân întinşi 10, de mâţă neatinşi. Hai s-aflăm, să fie ştiut Câţi cârnaţi erau la început ?

Rezolvare

Câţi cârnaţi erau în oala mea Înainte ca mâţa să ia ? De vrei să ştii, de mâţă să te ţii Luaţi-i pe cei 4, măi copii, Spălaţi-i bine şi-i alătura ţi De cei din oală neatinşi cârnaţi! Acuma-i simplu de ştiut Câţi erau la început, Şi-uite-aşa marea aflare

46

Era de fapt o adunare! 10 din oală neluaţi Plus 4, cei recuperaţi!

Scăderea din 100 a unui unui număr format din zeci şi unităţi

O sută de copii pe terenul de sport se jucau. La un mo-ment dat 43 de copii s-au plictisit şi pe terenul de sport l-au părăsit. Câţi copii, oare, au mai rămas să se joace pe teren în continuare ? Iată, eu de acei copii mai bine m-am apropiat şi astfel am văzut ceea ce s-a întâmplat. Acei 100 de copii care se

47

jucau 90 de fetiţe şi 10 băieţi erau. Când de joacă s-au plic-tisit, 40 de fetiţe şi 3 băieţi pe teren l-au părăsit.

100 – 43 = 90 + 10 – 40 – 3 = = 90 – 40 + 10 – 3 = 50 + 7 = 57 Hai să-ţi explic mai detaliat ceea ce s-a întâmplat. Nu de alta, dar s-ar putea să fii mirat, chiar revoltat. Păi dacă scă-dere e, am spus, ce caută acolo (între 50 şi 7) semnul + ? Adică ai vrea tu a spune : «Peste tot minus se pune!» Dar fii atent mata, să vezi că nu e chiar aşa. Uite, îţi voi explica. După ce din 90 de fetiţe 40 au plecat şi din grupul de băieţi, (cei 10), 3 s-au hotărât să plece, iată ce se petrece. Cele 50 de fetiţe şi cei 7 băieţi ce au rămas, la un loc iar s-au adunat, căci jocul trebuia continuat. Altfel spus, la un loc iar s-au pus cam supărate cele două grupuri împuţinate. Erau puţin cam supărate şi plictisite, deoarece de unii băieţi şi unele fe-tiţe grupurile fuseseră părăsite. Fetiţele şi băieţii care au ră-mas, pe teren oricum dinainte erau, acum doar unii spre alţii veneau şi astfel continuau şi se jucau. Iată, asta e, ţi-am spus. De aceea am pus între 50 şi 7 semnul +! Iar se apro-pie între ele grupurile rămase de isteţi, de fetiţe şi băieţi. Şi pentru ca mai repede pe rezultat să-l poţi afla, un calcul scris te voi învăţa.

48

Etape Cum gândesc Ce scriu 1. Acum, ca şi în alte dăţi, vom începe

calculul de la UNITĂŢI. Vai, sunt plin de nervi, dragii mei, pentru că nu se poate 0 – 3. Şi totuşi 100 – 43 se poate, fii atent, pentru că 100 este mai mare decât 43, evident! O 10 îmi tre-buie, da, ca pe 3 să-l pot scădea. De ce tocmai 10, neapărat, nu e greu de explicat. Pentru că astfel e mai uşor de calculat atât în locul de unde 10 a plecat, cât şi la ceea ce a rezultat după ce pe 3 unităţi din ea ai luat. Acum voi demonstra cu minte ceea ce am spus mai înainte. Deci la UNITĂŢI, 0 – 3 mă enervează teribil, doarece nu este posibil. După ce supărarea îmi mai trece mă duc la căsuţa de unde ştiu că pot lua o 10, deci la ZECI. Ajung la ZECI şi aici nervii mei iar cresc, căci nimic nu găsesc. Speran-ţele însă nu-s pierdute şi atunci mă duc la SUTE. Nu uita că mie o 10 îmi trebuia, pe 3 din ea să-l pot scădea. Cum am spus, la SUTE am ajuns şi de aici iau o 10. Iată acum ce se petrece! Luând o 10 din 100, suta mea e descompletată şi deci, dragă, nu mai este 100 întreagă. Cele 9 zeci (90) rămase trebuie să-şi găsească alte case. Altfel spus, ele se mută, de-oarece nu mai formează 100! Se vor

SZU 100 – 43 SZU 100 – 43

49

muta cu avânt chiar la ceea ce sunt, deci la ZECI. Una peste alta, dragă, de la SUTE iau de fapt 100 întreagă. La sute deasupra cifrei 1 un mic semn am desenat, ca să arăt că de aici pe 100 am luat. Acum când toate s-au aşezat la locul lor, scăderea merge mai uşor. Din acea 10 de la SUTE luată, pe 3 de la 43 îl scad îndată, se-nin şi 7 obţin, precis. Uite că la re-zultat l-am şi scris.

SZU . 9 10 100 – 43 7

2. Trec apoi la căsuţa lor, a ZECILOR. Aici văd bine aranjate cele 9 zeci (90) de la SUTE înapoiate ( cele 90 răma-se după ce 10 din 100 se luase ). Şi aici, la ZECI, fără sfială fac scăderea pe verticală. 9 zeci – 4 zeci = 5 zeci, precis, uite că pe 5 l-am şi scris. Cifra 5 a fost scrisă sub 4, la rezultat şi în-seamnă 50, neapărat!

SZU . 9 100 – 43 57

3. La SUTE nu a mai rămas nimic, aşa că mai am de scris doar un pic. E vor-ba de semnul egal (=), căci am ajuns la final.

Deci 100 – 43 = 57

. 100 – 43 =57

50

Scăderea numerelor cuprinse între 100 şi 1000 cu trecere peste ordinul unităţilor şi al zecilor

Într-o zi la un depozit alimentar era agitaţie mare, pentru că tocmai sosiseră dulceţuri de mere, pere şi cireşe amare. După ce 423 de lăzi cu borcane cu dulceaţă au numărat, din maşini agenţii comerciali le-au descărcat, iar vânzătorii în depozit le-au aranjat. Fiţi pe fază, aceste 423 de lăzi conţi-neau dulceţuri după cum urmează: 400 de lăzi erau cu dul-ceaţă de mere, 20 de lăzi cu dulceaţă de pere şi 3 lăzi aveau în dotare dulceaţă de cireşe amare. Un patron bogat a venit şi a comandat senin pentru al lui magazin 134 de lăzi dar nu toate cu dulceaţă de acelaşi fel, ci astfel : 100 de lăzi cu dulceaţă de mere, 30 de lăzi cu dul-ceaţă de pere şi 4 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare. Bani a-vea în număr mare şi oricum mai mulţi va câştiga, deoarece pe preţ îl va urca când pe borcane le va comercializa, adică le va vinde la un preţ mai … urcat faţă de preţul cu care el le-a cumpărat. Vânzătorii de la depozit l-au ascultat şi comanda i-au e-xecutat. Mai întâi s-au apucat de numărat, căci o scădere din a lor mulţime aveau de efectuat. Câte lăzi vor mai avea oare, după această vânzare ?

423 – 134 = 400 + 20 + 3 – 100 – 30 – 4

= 400 – 100 + 20 – 30 + 3 – 4 = 300 + 20 – 30 + 3 – 4 Pe lăzile cu dulceaţă de mere le-au rezolvat imediat. Din 400 câte au avut la început, 100 au scăzut, pentru că aşa co-manda patronului cerea, dar mai departe treaba nu prea mer-gea. Iată, 30 de lăzi cu dulceaţă de pere li se cereau, dar ei

51

numai 20 ofereau, căci mai multe nu aveau. De asemenea, 4 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare li se cereau, dar ei numai trei ( 3 ) ofereau, căci mai multe nu aveau. Iată, şi pe cal-cule supărările lor se vedeau, deci n-ai cum să scazi din 20 pe 30! La fel, nervoşi erau teribil, căci 3 – 4 nu este posibil! Nervii li s-au încins pe deplin când s-au gândit atunci că s-ar putea ca patronul, senin, să cumpere mai puţin. Şi dacă mai puţin el va cumpăra, mai puţini bani ei vor încasa. Pe aceas-tă situaţie n-o puteau tolera!!! Cu toţii au tăcut şi în aşa fel au făcut, încât patronul să nu poată afla că nu tot ceea ce el cerea, în depozitul lor exista! Deci pentru ca vânzarea celor 134 de lăzi să se facă cu adevărat, aşa cum patronul le-a co-mandat, le-a cerut, vă voi spune ce prin cap le-a trecut. Asta este, pentru ca marfa vândută să fie şi banii mai mulţi să le vie, s-au gândit la o şmecherie. Fii atent, tăcut, să vezi ce-au făcut. Pentru ca mai uşor să înţelegi şi să-ţi fie pe deplin clarificat ceea ce s-a întâmplat, te anunţ că mai jos, pe unele numere le-am scris mai gros. Prin numerele scrise mai îngroşat am arătat ceea ce în depozit exista cu adevărat!

423 – 134 = 400 + 20 + 3 – 100 – 30 – 4

= 400 – 100 + 20 – 30 + 3 – 4 = 300 + 20 – 30 + 3 – 4

lăzi cu dulceaţă lăzi cu lăzi cu dulceaţă de pere dulceaţă de de mere rămase insuficiente cireşe amare

insuficiente

52

Vânzătorii de la depozit nu aveau patronului să-i dea 4 lăzi cu cireşe amare, aşa cum el cerea, căci ei nu aveau decât 3, dragii mei. Atunci au luat 10 lăzi cu dulceaţă de pere ( 10 lăzi din cele 20 de lăzi cu dulceaţă de pere pe care chiar le aveau ) şi le-au pus în graba mare etichete de cireşe amare. Din aceste 10 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare falsificate, pe 4 l-au scăzut şi astfel 4 lăzi au vândut. Deci 10 – 4 = 6 lăzi cu cireşe amare false + cele 3 lăzi cu cireşe amare adevărate ce fuseseră păstrate = 9 lăzi, iar ei acum se lăudau că 9 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare mai au! ( Deci la cele 6 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare rămase şi false le-am adăugat pe cele 3 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare adevărate ce fuseseră păstrate şi pe care oricum dina-inte le aveau, astfel încât acum se lăudau că 9 lăzi cu dul-ceaţă de cireşe amare ei mai au. )

423 – 134 = 400 + 20 + 3 – 100 – 30 – 4

= 400 – 100 + 20 – 30 + 3 – 4 = 300 + 10 + 10 – 30 + 3 – 4

lăzi cu dulceaţă lăzi cu lăzi cu dulceaţă de pere dulceaţă de de mere rămase insuficiente cireşe amare

insuficiente

53

= 300 + 10 – 30 + 10 – 4 + 3 = 300 + 10 – 30 + 6 + 3

= 300 + 10 – 30 + 9 lăzi cu dulceaţă lăzi cu lăzi rămase cu de mere nevândute dulceaţă dulceaţă de ( rămase ) de pere cireşe amare insuficiente ( 6 sunt false ) Şi-uite-aşa, prin a celor 10 lăzi cu dulceaţă de pere falsi-ficare au rezolvat-o cu dulceaţa de cireşe amare făcând vân-zare. Apoi când au încercat să vândă lăzile cu dulceaţă de pere, pe vânzătorii de la depozit i-au cam trecut fiori reci. Din 10, cum să vinzi 30 ? Vă reamintesc că din 20 de lăzi cu dulceaţă de pere de la început, când depozitul fusese aprovi-zionat, doar 10 au mai rămas cu adevărat. (Celelalte 10 s-au falsificat când primiseră fiecare etichete de …cireşe ama-re.) După ce vânzătorilor de la depozit fiorii reci le-au mai trecut, s-au gândit la ceea ce-i de făcut, s-au gândit deci la cum din 10 să vândă 30! Puteau să facă aşa ceva ? Ce zici mata ? Normal că nu, îţi dai seama şi tu! Şi totuşi scăparea pe unde să fie ? Tot printr-o şmecherie. Din cele 300 de lăzi cu dulceaţă de mere rămase cu adevărat nevândute, deci păstrate şi frumos grupate, vânzătorii au dat 100 de lăzi deo-parte şi deşi erau cu dulceaţă de mere ei le-au pus etichete de …pere. 423 – 134 = 400 + 20 + 3 – 100 – 30 – 4 = 400 – 100 + 20 – 30 + 3 – 4 = 400 – 100 + 10 + 10 – 30 + 3 – 4 = 300 + 10 – 30 + 10 – 4 + 3

54

= 300 + 10 – 30 + 6 + 3 = 300 + 10 – 30 + 9 = 200 + 100 + 10 – 30 + 9 = 200 + 100 + 10 – 30 + 9 lăzi cu lăzi cu dulceaţă lăzi cu dulceaţă de de mere rămase dulceaţă pere de pere false adevărate = 200 + 100 – 30 + 10 + 9 = 200 + 70 + 10 + 9 = 200 + 80 + 9 = 289 Tocmai din această 100 de lăzi cu dulceaţă de pere falsi-ficate l-au scăzut pe 30, au vândut pe cele 30 de lăzi cu dul-ceaţă de pere de patron comandate. Deci 100 – 30 = 70 de lăzi cu dulceaţă de pere false au rămas după ce încă o ţeapă patronului i-au tras. Nu uita însă că vânzătorii de la depozit au păstrat pe cele 10 lăzi cu dulceaţă de pere adevărate (care au şi fost adunate împreună cu cele 70 rămase şi fal-sificate.) Deci 100 – 30 = 70 de lăzi cu dulceaţă de pere rămase şi false. La aceste 70 de lăzi falsificate au adăugat pe cele 10 lăzi de pere adevărate pe care oricum dinainte le aveau. Acum se lăudau că 80 de lăzi cu dulceaţă de pere au. ( 70 + 10 = 80 ) Măi, dacă vânzare este, c-am spus, ce caută mai sus între 200, 80 şi 9 semnul + ? Adică, ai vrea tu a spune:«Peste tot minus se pune!» Atent însă să fii mata, nu este deloc aşa! Iată, îţi voi explica!

55

În sfârşit, au reuşit ceea ce-au dorit şi pe patron l-au pă-călit. Vânzătorii de la depozit au rămas cu 200 de lăzi cu dulceaţă de mere adevărate, 80 de lăzi cu dulceaţă de pere (doar 10 adevărate, 70 falsificate), şi 9 lăzi cu dulceaţă de cireşe amare (din care doar 3 erau adevărate, 6 erau falsifi-cate). Pe toate aceste lăzi rămase, pentru a le putea mai uşor număra, la un loc şi le-au (re)pus. De aceea se pune între 200, 80 şi 9 semnul +! Fiţi atenţi copii, muncitorii doar în ceea ce priveşte conţinutul l ăzilor cu dulceaţă pe patron l-au păcălit, în ceea ce priveşte numărul l ăzilor vândute i-au respectat dorin ţa, negreşit!!! În ceea ce priveşte numărul l ăzilor cu dulceaţă vândute, vânzătorii de la depozit nu au jucat deloc teatru. Ei i-au vândut exact 134! I-au vândut atâ-tea câte a cerut! Pe noi nu ne interesează dacă lăzile rămase după vân-zare erau sau nu înşelătoare, adică adevărate sau falsificate. În finalul calculului de scădere, la acest al lui ultim pas mă interesează căte lăzi în depozit au mai rămas. Deci ne inte-resează numărul lor , după ce dintr-un descăzut (423) s-a scăzut un scăzător (134).

Deci 423 – 134 = 289 Copii, acest calcul poate fi efectuat mai rapid decât tot ceea ce noi mai înainte am zis, dacă veţi învăţa calculul în scris. Acest calcul în scris la scădere, ca şi la adunare este folositor şi calculezi fără calculator. În primul rând, în continuare vă voi învăţa a termenilor aşezare. Ca de obicei, încep calculul de la UNITĂŢI şi mă enervez teribil, deoarece 3 – 4 nu este posibil. SZU 423 – 134

56

Coloana UNITĂŢILOR doar cu 3 e încărcată, aşa n-ai cum să-l scazi pe 4 niciodată. Mi-ar mai trebui ceva, pe 4 ca să-l pot scădea! Desigur, doar 1 i-ar mai trebui lui 3, vedeţi toţi şi puteţi face scăderea la UNITĂŢI. 4 – 4 se poate, e adevărat, dar fiţi atenţi la ceea ce s-a întâmplat. Din 3 să scazi 4 nu se putea. Enervarea mea creştea şi nervos tare deci m-am dus la ZECI. Aici am găsit, frăţioare, două (2) grupe de câte 10 fiecare. Repet, doar 1 lui 3 (de la 423) îi trebuia şi 4 (de la 134) se putea scădea. Eu însă, de la ZECI am luat o 10 întreagă şi-o să vă spun de ce, ca toată lumea să înţeleagă. Când spre o grupă din cele 2 grupe de câte 10 eu m-am îndreptat şi din zece pe 1 am luat, cu toată zecea m-am trezit încărcat, fiindcă cele 9 care rămâneau, o 10 nu mai formau! Şi deoarece nu mai formau o 10, de la casa ZECILOR trebuiau să plece! Păi, unde să plece, fete şi bă-ieţi ? Normal, la UNITĂŢI! De aceea pe gânduri mult nu am stat şi cu toată zecea m-am încărcat! Să nu te îngrijorezi că, pentru scăderea lui 4 (de la 134), pe o 10 de la căsuţa ZECILOR către căsuţa UNITĂŢILOR o dai, tot 423 ai!!! Deci iată de ce această 10 a fost scoasă de la ZECI, de la locul ei. Trebuia scăzut 4, dragii mei, şi nu puteai să-l scazi din 3! Acum 3, (adică UNITĂŢILE lui 423), putere acum primeşte cu o 10 care îl întăreşte! Să-l tot scazi acum pe 4!!! Deci din 10 şi încă 3, dacă 4 iei, rămân 6 şi încă 3! Deci pe 4, din 10 l-am scăzut, că s-a putut şi 6 am obţinut, iar apoi acest 6 cu 3 se aduna, pentru că acest 3 oricum aco-lo exista şi cuminte el stătea la casa sa. De aceea ciudat să nu vi se pară vouă că la rezultatul de la UNITĂŢI apare 9!

57

SZU . 10 423 – 134 9 Când de la ZECI o 10 am luat, pe acest fapt cu un mic semn deasupra lui 2 l-am marcat. Semnul îl ajută pe cel care calculează să nu greşească, să nu cumva cifra 2 să-l păcă-lească. Acum la ZECI nu mai sunt două (2) zeci deci! Trecem la căsuţa ZECILOR acum, să continuăm al cal-culului drum. Aici, cum spuneam, vezi să nu te păcăleşti, doar o 10 mai găseşti! Şi la căsuţa ZECILOR efectuăm scăderea frumos, pe verticală, de sus în jos : 1 – 3, adică 10 – 30. Ia spune tu acum corect, fără eroare deci, dintr-o 10 poţi scădea 30 ? Normal, nu, ştii şi tu!

SZU . 423 – 134 9 La ZECI, zecea rămasă trebuie ajutată, cu ceva supli-mentată, altfel scăderea 10 – 30 va fi pentru tine o scădere … blocată, o uşă ferecată! Dacă pe acel 10 îl vei … ajuta, pe 30 îl vei putea scădea. Dacă la acest 10 de la ZECI ai mai pune 20, poţi pe urmă deci să-l scazi pe 30. Dar de unde încă 2 zeci (20) să găsesc, ca pe zecea mea s-o întăresc, zău aşa, ca pe 30 să-l pot scădea ? Mai la stânga, chiar aşa! La stânga căsuţei ZECILOR m-aşteaptă mute 4 SUTE, deci 4 grupe frumos aranjate, fiecare de câte 100 bine împachetate.

58

Mie-mi trebuie 20, deci iau 100, o desfac, dar … restul de 80 ce fac ? (100 – 20 = 80). Iată, şi pe ele, pe acele 80 deci trebuie să le iau, musai, că de mine se ţin scai! 8 de câte 10 nu-s 100, de aceea se şi mută de la căsuţa lor, a SUTELOR. Unde oare se vor muta deci ? Desigur, la ZECI! Deci de la SUTE, vrei, nu vrei, 100 întreagă trebuie să iei şi din ea, zău aşa, pe cele 30 (de la 134) le vei scădea! Atenţie, pe această 100 nu o luăm ca s-o scădem, nici ca s-o adunăm, doar la ZECI o mutăm!!! După ce o vom muta, din ea vom scădea ceva. Imediat veţi vedea! Şi-uite-aşa la zecea mea care la ZECI se afla, mai vin deci 10 zeci ( 100 ) care de la SUTE aici se mută! Acum, la ZECI, din 10 zeci aici aduse (adică 100) şi încă o 10 (dinainte avută), pot acum scădea deci pe cele 30! Deci le scad pe cele 3 de câte zece. Ce se petrece ? Rămân cu 7 de câte zece, cu 70 deci (am luat 30 din 100) şi cu 10-a dinainte avută, acum am deci 8 zeci (80). Pe locul ZECILOR, la rezultat, voi scrie cifra 8, neapărat! Fiţi atenţi la ceea ce se petrece, 8 arată 8 grupe de câte 10! SZU . .

423 – 134 89 Când de la SUTE 100 am luat, pe acest fapt cu un mic semn deasupra lui 4 l-am marcat. Semnul îl ajută pe cel care calculează să nu greşească, să nu cumva cifra 4 să-l păcă-lească. Acum la SUTE nu mai sunt 4 sute (400), dragii mei, ci doar 3 (300).

59

La casa SUTELOR acum mă deplasez, ca pe scădere s-o finalizez. Atenţie, să nu te păcăleşti. Doar 3 SUTE (300) aici mai găseşti, pe 100 o luasei, trebuie să-ţi aminteşti! La ZECI acea 100 te-a ajutat cu mărimea sa, pe 3 ZECI (30) ca să le poţi scădea.

SZU . .

423 – 134 89 Şi aici, la casa SUTELOR vom scădea fără sfială pe ver-ticală, corect şi frumos de sus în jos! Nici nu e greu, sunt lucruri ştiute, 3 SUTE – 1 SUTĂ = 2 SUTE (300 – 100 = 200). Grijă mare să aveţi voi, la rezultat să scrieţi cifra 2! Veţi scrie cifra 2 pe locul lor, al SUTELOR! Acest 2, aten-ţie mare, arată 2 grupe de câte 100 fiecare! Şi-uite-aşa aceste trei cifre: 2, 8 şi 9, prin a lor alăturare formează al scăderii rezultat, căci pe scăderea 423 – 134 noi am terminat. SZU . .

423 – 134 289 Vedeţi şi voi care este diferenţa, restul dintre 423 şi 134, vedeţi care este rezultatul scăderii. Vi-l mai repet şi eu o da-tă vouă: 289. Aceasta este, chiar de vrei sau de nu vrei, dacă

60

din 423 pe 134 iei, adică pe 134 îl scazi, măi române, cu 289 vei rămâne! El este rezultatul de la această scădere. La revedere!

Scăderea cu trecere peste ordin în concentre mai

mari decât 1000

Într-o zi locuitorii unui orăşel au văzut în văzduh, în depărtare, cârduri mari de zburătoare. «Probabil sunt păsări călătoare!» ei şi-au zis, dar realitatea i-a contrazis. Adevă-rul e că nişte nori mai mari ce se aflau în apropiere îi îngre-unau pe oameni la vedere. Ce-i drept, tot în zare se vedea cum un astfel de nor se forma. Lângă orăşel exista o fabrică cu furnale care polua, adică în aer arunca fum sau cam aşa ceva. De aceea pe păsări oamenii mai bine le-au văzut după ce ele mai clar au apărut ieşind din aceşti nori. «Măi să fie! Ciori!» Aşa au strigat cei câţiva oameni ce le-au reperat. Au dat veste imediat că ciorile i-au invadat, iar străzile din oră-şel vor fi piste bune pentru ... aterizat. Pentru aterizarea lor, a ciorilor. Nu după mult timp, firesc, iată-le pe ciori în orăşel cum sosesc. Nu mereu ai o astfel de ocazie să vezi o asemenea invazie. De fapt pe oriunde ciorile se aşezau, căci mâncare căutau. Se aşezau pe case, pe stâlpi, pe trotuare, pe copaci, nu aveai ce să le faci. Pe firele de la stâlpii de iluminat ca la ele acasă s-au înşirat. Puteai doar să le sperii atunci prefă-cându-te că în ele cu ceva arunci sau să strigi la ele « Bau!», dar puţin se sinchiseau, ci doar puţin mai încolo zburau şi de treabă îşi vedeau. Devenise supărător, dar oamenii aveau ac de cojocul lor. Se gândeau să le mute din loc folosind arme

61

de foc. Nu au socotit de prea multe ori, astfel încât au che-mat câţiva vânători. Din 2000 de ciori ce în orăşel au intrat, pe 436 le-au îm-puşcat. Noi avem acum de aflat câte ciori cu viaţă au scă-pat. Mai înainte de aceasta, neapărat, vreau mai bine să vă explic ceea ce s-a întâmplat. Cele 2000 de zburătoare au in-trat în orăşel în două cârduri de 1000 de ciori fiecare. Când prima puşcă în aer a bubuit, ciorile au tresărit şi decolau de parcă la întrecere se luau. 1000 au decolat, adică s-au înălţat de pe case, căci bubuitura rău le speriase, 900 s-au ridicat de prin copaci ( era prea riscant şi pentru ele, ce să-i faci ? ), 90 s-au ridicat cu viteză mare de pe trotuare şi 10 dintr-o parca-re. După ce ele în aer s-au ridicat, vânătorii s-au apucat de împuşcat. Bum, bum, bum şi bum, bum, bum, 436 de ciori cad acum. Iată cum. 2000 – 436 = 1000 + 1000 – 400 – 30 – 6 = 1000 + 900 + 90 + 10 – 400 – 30 – 6 = 1000 + 900 – 400 + 90 – 30 + 10 – 6 Cele mai multe, 400, au fost împuşcate din grupul celor 900 ce se înălţase de prin copacii invadaţi cu ciori încărcaţi. Apoi vânătorii au îndreptat puştile spre grupul de 90 de ciori care se înălţase de pe trotuare şi caută acum scăpare-n zare. Din acest grup de 90 de ciori ce zburaseră de pe trotuare şi care să scape se zbate, 30 de ciori au fost împuşcate. Apoi în grabă mare vânătorii au îndreptat puştile spre parcare. Spre parcare, după ce grupul celor 10 ciori s-a înălţat, gloanţele au explodat, viteză li s-a dat şi 6 gloanţe în 6 ciori au intrat.

62

Haideţi să vedem ce s-a întâmplat după ce cârdul ciorilor a fost decimat, adică împuţinat cam tare prin a ciorilor împuş-care.

Probabil o să ţi se pară ca o lovitură de teatru! Păi ce ca-ută semnul + între 1000, 500, 60 şi 4 ? Păi, dacă prin împuş-care s-a produs a ciorilor împuţinare, nu înseamnă aceasta scădere, oare ? Adică ai vrea tu a spune: « Peste tot minus se pune!!! » Ei, aici eu îţi spun să fii atent acum! Cu atenţie de exerciţiu te agaţă, ca să vezi ce s-a întâmplat în acea peri-oadă din a lor viaţă. Mă refer la viaţa lor, a ciorilor. După ce cartuşele s-au terminat, normal, s-a terminat şi de împuşcat. Ciorile au profitat de liniştea ce s-a lăsat şi s-au (re)grupat. Să nu fiţi miraţi acum. Iată cum. La grupul celor 1000 de ciori ce era în depărtare şi scă-pase de împuşcare s-au alăturat cele 500 de ciori ce scăpa-seră de prin copaci, cele 60 de ciori ce scăpaseră de pe tro-tuare şi cele 4 ciori scăpate din parcare, norocoase şi ele la împuşcare. Una pe alta se căutau şi una de alta se apropiau, deci se adunau!!! Iată, acum ţi-am spus! De aceea s-a pus

63

între 1000, 500, 60 şi 4 semnul +!!! Acum ceea ce mi-a mai rămas de zis este calculul în ... scris. Etape Cum gândesc Ce scriu 1. După ce pe numere unele sub

altele le-am aşezat, de la UNI-TĂŢI vom începe scăderea, nea-părat! Aici întâlnesc o scădere ce mă enervează teribil, deoarece 0 – 6 nu este posibil! Şi totuşi marea scădere se poate face, fii atent, pentru că 2000 este mai mare decât 436, evident! Îţi recomand ca peste nervi şi tu să treci şi să te duci pe la ZECI cu curaj, cu sânge rece, ca să iei de aici o zece. Unii zic că pe acea 10 o împrumuţi, dar să nu-i asculţi. A împrumuta înseamnă a lua, da, dar mai înseamnă şi a da înapoi, dar cu această 10 nu procedăm aşa noi. Nevoie mare ai de 10, de ea, pe 6 ca să-l poţi scădea. Dar ... stu-poare!!! Mare mirare!!! Unde sunt zecile, oare? Nervii mei iar se răscoală. Căsuţa ZECILOR e goa-lă!!! Şi totuşi marea scădere se poate face, fii atent, pentru că 2000 este mai mare decât 436, evi-dent! Cu răbdările pierdute mă în-drept iute la SUTE! Îmi repet în-tr-una că poate la sute voi găsi mă-

MSZU 2000 – 436

64

car una. Măcar 1 sută, adică 10 zeci din care şi eu una, o zece să pot lua, pe 6 de la unităţi ca să îl pot scădea! Dar când ajung la sute, gura mea rămâne mută. În casa SUTELOR nu e prezentă nici o sută. Şi totuşi marea scădere se poate face, fii atent, pentru că 2000 este mai mare decât 436, evi-dent! Măi, să ştii că toate sutele au fugit la MII! În sfârşit, la MII ajung după un drum nu prea lung. Iată aici ce se petrece. La MII gă-sesc într-o ordine mare 2 pachete de 1000 fiecare. În fiecare mie fos-tele UNITĂŢI, ZECI şi SUTE sunt bine legate şi în mare ordine aşe-zate! Eu de fapt vreau doar o ze-ce, zău aşa, pe 6 de la unităţi să-l pot scădea. Păi, ce să fac ? Pe un pachet de 1000 încerc să-l desfac cu sânge rece, ca să îl obţin pe 10! Eiii, dar ce se petrece ? Iată, când pe pachetul de 1000 l-am desfăcut, marea ordine din acest pachet s-a cam pierdut! Vreau să spun, dra-gă, că umblând în acea mie n-o mai ai întreagă! Şi nu neapărat acum că ar fi dezordonată, dar e o mie cu 10 descompletată! Acea 10 este de mine luată şi la casa UNI-TĂŢILOR mutată printr-o mişcare

MSZU 2000 – 436

65

cam forţată, zău aşa, fiindcă în mod normal nu are acolo ce căuta. Dar procedez aşa, pe 6 ca să-l pot scădea! La acea 1000 din care pe 10 l-am luat au mai rămas deci 990! Deoarece aceste 990 nu mai formează 1000, nu mai au ce să caute la MII, se ştie! Se va întoar-ce imediat, fiecare grupă de unde a plecat înainte ca pe acea 1000 ele să o fi format. Astfel 900, adică 9 grupe fiecare de câte 100 se vor întoarce la căsuţa lor, a SUTE-LOR, iar 90, adică 9 grupe de câte 10 revin la căsuţa lor, a ZECILOR, neapărat, de unde mai înainte au plecat. Ce mai tura vura, pentru ca toată lumea să mă înţeleagă am fost nevoit să iau de la MII 1000 întreagă!!! Pentru ca să nu uit că 1000 de la MII a plecat, un mic semn deasupra lui 2 de la MII am desenat. Repet, practic acea 1000 de la căsuţa MIILOR luată a fost împrăştiată pe la căsuţele lor, a SUTELOR, a ZECILOR şi a UNI-TĂŢILOR. Şi aceasta pentru că din acea 1000 am scos o 10 cu sânge rece. Ştii de ce, sigur că da, pe 6 ca să-l pot scădea.

MSZU ֽ 9 9 10 2000 – 436

66

2. Din zecea la UNITĂŢI mutată îl scad pe 6 îndată.

MSZU ֽ 9 9 10 2000 – 436 4

3. Trecem acum la căsuţa ZECILOR fără sfială şi efectuăm şi aici scă-derea pe verticală. Nu uita că aici se întorseseră deci 90! 9 zeci – 3 zeci = 6 zeci

MSZU ֽ 9 9 2000 – 436 64

4. Trecem la casa SUTELOR acum şi continuăm al calculului drum scăzând frumos de sus în jos.

MSZU ֽ 9 2000 – 436 564

5. Revenim şi pe la căsuţa MIILOR acum şi continuăm al calculului drum. Pe aici am mai fost o dată, când acea 10 din 1000 fusese luată. Ca să mai repetăm o dată, să zicem că 1000 a fost în grupe separată în 900, 90 şi în 10, bucăţele rearanjate pe la S, Z şi pe la U, fiindcă nu mai erau o mie, vezi tu! Repet, 10, deşi este ZE-CE, totuşi la U se mutase, ca să-l pot scădea pe 6! La MII, atenţi să fi ţi voi, să nu vă păcălească 2! Aici mai există doar o mie, se ştie! Şi tot aici la căsuţa MIILOR se termină calcu-lul copiilor. Vom termina scăzând

MSZU ֽ

67

pe verticală frumos, adică de sus în jos. O mie minus nimic face tot o mie, zic. Nu doar zic, ci şi scriu neapărat pe cifra 1 la rezultat, la stânga lui 5 aşezat. Acest 1 în-seamnă 1000, se ştie! Aflându-l pe 1564 pot să spun că pe calcul noi l-am terminat, deoarece l-am aflat pe rezultat. La acest 1564 atenţia să fie toată, pentru a vedea ceea ce fiecare cifră arată:

1 o grupă de 1000, se ştie;

5 500, adică 5 grupe surioare de 100 fie-care;

6 6 grupe de 10 fieca-re, 60 deci;

4 4 grupe de câte 1 fiecare sau de vrei altfel s-arăţi, 4 unităţi.

2000 – 436 1564 MSZU ֽ 2000 – 436 1564

După cum spuneam pe calcul l-am terminat, dar oare ce s-ar fi întâmplat dacă în total 2020 ciori ar fi existat ? Cum am fi calculat ? Să nu-ntrebaţi de ce m-am întrebat! Mai aveţi încă de învăţat! De fapt mereu, toţi ( deci şi eu ) avem de învăţat câte ceva, hai să vedem cum vom proceda.

68

2020 – 436 = 1000 + 1000 + 10 + 10 – 400 – 30 – 6 = 1000 + 900 + 100 + 10 + 10 – 400 – 30 – 6 = 1000 + 500 + 70 + 10 + 4 = 1000 + 500 + 80 + 4 = 1584 Priveşte, pentru ca numerele să nu-ţi facă fiţe, am agăţat de ele nişte sârmuliţe. Urmărindu-le cu atenţie vei înţelege de ce oare unul apare, altul dispare. Cuvântul magic este « operare »! Operaţiile matematice, ca de altfel orice fel de operări, produc modificări, schimbări! De exemplu, dacă din 900, 400 nu se scădea, 500 nu mai apărea! Deci operare înseamnă schimbare, modificare a unei mulţimi, o transformare prin adăugare sau prin diminuare, luare. Păi, ce-ar fi însemnat ca nimic din 2020 să nu se fi modificat ? E o întrebare normală, firească, iar atunci toate ciorile ar fi trebuit să trăiască. Să rămână toate aşa, 2020, în număr ne-schimbat, nemodificat, dar aşa ceva nu s-a întâmplat, căci pe unele vânătorii le-au împuşcat. Astfel numărul lor s-a modi-ficat, pentru că în mulţimea lor s-a operat prin ciorile care s-au împuşcat. Păi să ştii că şi la spital când medicul ope-rează, o schimbare, o transformare el efectuează. Umblă-n tine niţel, iar tu nu mai eşti la fel. Face o operaţie, schimbă, modifică, transformă-n tine, iar tu te schimbi din rău în bine. Aceasta înseamnă operaţie, operare, adică schimbare, iar da-că ai înţeles mă bucur tare! Dacă studiem atent exerciţiul încă oleacă, vom vedea cum din 100, 30 pleacă. Fără

69

această plecare, 70 nu mai apare!!! Iată ce schimbare! Şi tot astfel pentru că din 10, 6 s-a scos, numai şi numai de aceea a apărut 4 mai jos! Adică 4 nu mai apărea dacă din 10, 6 nu se scădea! Vezi ce schimbare, ce operare, uimitoa-re, uluitoare ? Un număr apare, pentru că altul dispare! Aşa-i şi-n viaţă, nu mi se pare! Etape Cum gândesc Ce scriu 1. Iar încep calculul de la UNITĂŢI

şi iar mă enervez teribil, deoarece 0 – 6 nu este posibil. Şi totuşi marea scădere se poate face, fii atent, pen-tru că 2020 este mai mare decât 436, evident! Însă supărarea îmi trece şi plec să caut o 10, căci am nevoie de ea pe 6 ca să-l pot scădea.

MSZU 2020 – 436

2. La ZECI pe o 10 am luat-o după ce am găsit-o şi pe dorinţă mi-am îndeplinit-o. Deasupra lui 2 de la ZECI cu un mic semn am marcat faptul că de acolo pe o 10 am luat. Zecea aceasta luată, la UNITĂŢI se transferase, ca din ea să-l scad pe 6. 10 – 6 = 4, apoi bucuros îl scriu pe 4 sub 6, mai jos.

MSZU . 10 2020 – 436 4

3. Vom trece la coloana ZECILOR acum, să continuăm al calculului drum. Atenţie că aici, la ZECI doar o 10 mai rămase. Pe cealaltă o lua-sem, ca să-l scad pe 6! Sunt acum la ZECI şi iar mă enervez, căci 1 zece – 3 zeci nu pot să efectuez! 10 – 30 nu se poate, nu. Cred că eşti de

MSZU . 2020 – 436 4

70

acord şi tu. Să nu crezi că mă opresc acu’, pentru că marea scăde-re se poate face, fii atent, pentru că 2020 este mai mare decât 436, evident! Mă duc acum la SUTE, ca să iau 100, drăguţa de ea, pe 30 ca să-l pot scădea. Aici, nervii mei iar cresc, căci la SUTE nimic nu găsesc. Şi-mi trebuie neapărat 100 sau 10 zeci dacă vrei, ca să-l pot scădea pe 3. Pe 3, adică 3 de 10 fiecare, a-tenţie mare, pe 30 deci. Însă nu te descuraja, nu te împacienta, pentru că marea scădere se poate efectua, fii atent, pentru că 2020 este mai mare decât 436, evident! Îţi voi spune ce să faci acum, ca să ştii. Mergi în continuare şi ajungi la MII. Ce se află aici, oare ? 2 pache-te de 1000 fiecare. Într-un pachet de 1000 intru foarte sigur, ca să ridic 100, desigur. Iar când din 1000 pe 100 am sustras, 900 au mai rămas. Păi acum ia răspunde tu şi înţelept fii, ce să mai caute aceste 900 la MII ? Aşadar, deşi pe 100 o căutam şi-mi era dragă, până la urmă, de la MII voi lua 1000 întreagă! Ca să arăt că pe 1000 am luat, deasupra lui 2 de la MII un mic semn am desenat. Din această sută luată îl voi

MSZU . 2020 – 436 4

71

scădea pe 30 îndată. Celelalte 9 sute din 1000 rămase, dacă sunt SUTE ce pot face altceva decât să se mu-te? Păi, normal, se vor muta repejor la căsuţa SUTELOR. Dar să re-venim la acea 100 de la acea 1000 luată, căci din acea sută( la Z mu-tată) îl vom scădea pe 3 zeci îndată. Deci 10 zeci – 3 zeci = 7 zeci. Cu toate acestea, dragii mei, la coloana ZECILOR, sub 3 vom scrie 8. ( Ştii de ce, căci mintea ţi s-a copt şi tre-buie să îţi aduci aminte că mai era o 10 dinainte, zecea aceea, da, din care 30 nu se putea scădea. ) Ei, acea 1 zece se adună cu aceste 7 zeci deci.

MSZU . 9 . 2020 – 436 84

4. Trecem la coloana SUTELOR acum, să continuăm al calculului drum. Aici, măi frate, le găsim pe acele 9 SUTE mutate, înapoiate. Cred că îţi aminteşti când mutarea lor s-a întâmplat, când din 1000 pe 100 am luat. Păi, de ce s-au mutat, e clar că ştii. Ce să mai caute la MII? 9 sute (900) nu mai formează 1000, se ştie! Acum fii curajos şi efectu-ează scăderea de sus în jos. 9 sute – 4 sute = 5 sute. Imediat ce pe acest rezultat l-ai aflat, te duci la coloana SUTELOR la rezultat şi sub 4 îl scrii pe 5, neapărat.

MSZU . 9 . 2020 – 436 584

72

5. Ajungem şi la coloana MIILOR acum, să terminăm al calculului drum. Micul semn de deasupra lui 2 de aici, are vreun rost, ce zici ? Desigur că are, el îmi aminteşte o informaţie de o importanţă mare. Să ne amintim îndată de mia (1000) de aici plecată! Adică acum, aici nu mai sunt 2 MII, să ştii!!! Din aceas-tă 1000 rămasă la MII vom scădea nimic, să ştii. 1 MIE – 0 MII = 1 MIE, se ştie, apoi vom scrie cifra 1 sub linie, la coloana MIILOR, la rezultat, nea-părat. Gata, cu marea scădere am terminat! 1584 este al ei rezultat!

2020 – 436 = 1584

MSZU . . 2020 – 436 1584

73

Înmul ţirea numerelor naturale Dragi copii, acum vă voi povesti niţel despre un elev ca voi numit Lenevel Puţintel. I se spunea aşa, deoarece să scrie nu-i prea plăcea. Ba mâna îl durea, ba chef nu avea, astfel că pe caietul său prea mult scris nu se afla. Pentru a fi însă faţă de voi corect, iată, vă spun că acest Lenevel Pu-ţintel era un elev deştept. Să vă spun ce făcu într-o zi (ceva la care nimeni până atunci nu se mai gândi...). Doamna învăţătoare a sa la tablă era şi pe textul unei probleme îl citea: „ O clasă de copii merg 2 câte 2 în pas vioi, deci nu lent spre terenul de antrenament. Dacă pe teren în 7 astfel de pe-rechi copiii se antrenau, câţi elevi în total erau ? “ Elevii din bănci ascultau şi priveau cu atenţie mare spre problema care cerea rezolvare. Lenevel Puţintel proceda la fel. După cum v-am spus deja scrisul mult pe el îl chinuia! În rest, în clasă şi la teme se concentra fără probleme. Încet, încet, elevii au ajuns la a caietului lor hârtie şi au început să scrie:

1) Câţi elevi erau în total în clasă ?

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = Apoi s-au apucat să calculeze pentru ca pe problemă să o soluţioneze:

74

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 4+2+2+2+2+2 = 6 +2+2+2+2 = 8 +2+2+2 = 10 +2+2 = 12 +2 = 14 Ce-i drept, nu este greu, nu că ar fi vorba de un chin, dar

ai de scris nu tocmai puţin. Lenevel Puţintel ştia cam cât are de scris şi era decis să

inventeze ceva, dar fără a se fofila. S-a uitat la şirul lung de 2, s-a încruntat, s-a frământat şi deodată a zâmbit lumi-nat. A trecut cu stiloul pe hârtie şi a început să scrie:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = de 7 ori 2 Părându-i-se că totuşi prea mult a lucrat, la cuvântul

«de» a renunţat: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = de 7 ori 2 = 7 ori 2

Văzând cu ce a mai rămas, « 7 ori 2 », supărare nu mai simţea ( faţă de cât scris era ), nu mai simţea fiori, dar a decis totuşi să-l taie pe « ori ».

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = de 7 ori 2 = 7 ori 2= = 7 ori 2 = 7 × 2 = 14 Şi zâmbind l-a tăiat pe « ori » fix cu un x. Mulţumit de

ceea ce a realizat, la cuvântul «ori» a renunţat. De aceea pe semnul × îl vom citi de acum încolo ori .

Aflând lumea, mai ales matematicienii, de a lui ispravă s-au gândit că este o bună treabă. Cu toţii au decis să scape de multul scris.

Să vă fie clar în ce fel Lenevel Puţintel pe exerciţiul res-pectiv l-a modificat, deoarece el nimic din adunarea repe-tată respectivă nu a luat şi nu a adăugat. Doar a scris mai puţin, pentru el multul scris fiind un chin.

75

Aşadar o adunare repetată de termeni egali între ei poate fi arătată corect pe deplin scriind mai puţin.

3+3+3+3+3= de 5ori 3 = 5ori 3 = 5 × 3=15 5 + 5 + 5 = de 3 ori 5 = 3 ori 5 = 3×5 = 15

76

4+4+4+4+4+4=de 6ori 4=6ori 4 =6 × 4=24 6+6+6+6= de 4ori 6 =4ori 6 = 4 × 6= 24

77

Înmul ţirea unui factor cu o sumă Dragi copii, vă spun de la bun început, ca să ştiţi că nici

o scrisoare acum n-o să primiţi. Desigur, nu e vorba aici de factorul poştal, de omul care aduce scrisori. Să nu priviţi acum întrebători, deoarece trebuie să vă amintiţi de numerele care se înmulţesc şi cum le numiţi. Fie că sunt doar două, fie că mai multe numere se înmulţesc, factori ele se numesc. Adică, logic, dacă nu se înmulţeau, factori nu se mai nu-meau! Doar două sau mai multe numere rămâneau. Ei, dar pentru că ele se înmulţesc unul cu altul, apare şi rezultatul. Îţi mai aminteşti cum i s-a spus ? Produs!

Iată, lecţia de astăzi cam ciudat sună, «Înmulţirea unui

factor cu o sumă». Speriat tu însă să nu fii, căci ce e suma ştii. Nu e o fiinţă şi nici obiect sau vreo altă arătare, e doar rezultatul operaţiei de adunare, adică un număr, frăţioare. Până la urmă n-am cum să te păcălesc, tot nişte numere se înmulţesc! Doar că pentru a ajunge la unul sau unii din fac-tori, trebuie cu atenţie şi în potrivită viteză să efectuezi nişte calcule într-o paranteză. Continuă acum să stai frumos şi priveşte tu mai jos. Ca să înţelegi pe îndelete, fii atent(ă) la textul despre următorii băieţi şi fete.

Lenevel şi cu ai săi colegi de clasă au hotărât ca pe

terenul de sport să iasă. În total, în clasă, să ştii, erau mai mulţi copii. Deoarece doreau să se joace neapărat, în două grupuri, echipe, ei s-au separat şi s-au apucat cu mingea de pasat. O echipă, dragii mei, era formată din 3 fetiţe şi 6 băieţei.

78

Iată, fiecare echipă era acum destul de liniştită şi din 6

băieţi şi 3 fete era alcătuită. Fiind vorba de două echipe, pot să-ţi spun ţie, cititorule, care să înţelegi vrei, că este de două ori 6 + 3. Vrei, nu vrei, pe amândoi termenii adunării de două ori trebuie să-i iei.

2×(6 + 3) = Pe acest exerciţiu aruncă-ţi bine a ta privire, pentru ca să

vezi că este vorba de o înmulţire. Repet, înmulţire, şi să nu cazi în capcană, frăţioare, chiar dacă vezi tu pe acolo şi sem-nul operaţiei de adunare. Aruncă-ţi privirea pe exerciţiu cu viteză, ca să vezi că este o înmulţire între factorul 2 şi o pa-ranteză. Paranteza e ca o burtă mare, dar nu-i plină cu mân-care. De unde-ncepe şi până unde se termină, paranteza este plină cu o operaţie sau operaţii a căror efectuare îţi oferă o bucurie mare. În exerciţiul nostru paranteza conţine o adu-nare pentru copiii mititei, 6 + 3. Ea, paranteza, îţi arată că 2 nu e înmulţit doar cu 6, măi fată. De asemenea, 2 nu este

79

înmulţit doar cu 3, măi băieţei, ci cu suma dintre ei, cu suma de la 6 + 3.

2×(6 + 3) = Până la urmă am ajuns şi noi să scriem ca Lenevel, cu

simbolul, semnul ×, ca să scriem puţintel. Fiind cu gândirea activ, probabil te-ai întrebat pentru ce

motiv, după ce copiii din cele două echipe au fost desenaţi, cu două diagrame au fost înconjuraţi. Sper că nu faci şi tu ca Lenevel cel supărat căruia i se părea că e prea mult de în-conjurat. Am folosit diagramele iniţial, adică la început, pentru ca fiecare din cele două grupuri să fie bine văzut. Când semnalul de început al jocului s-a dat, copiii nu au în-ceput dezorganizat! 6 băieţi plus 3 fetiţe formau, la o adică, o echipă. De aceea i-am evidenţiat şi cu o diagramă i-am în-conjurat.

Cum spuneam, de multul scris enervat, Lenevel doar pe două părţi dintr-o diagramă a desenat şi astfel pe paranteze el le-a inventat. Lui îi era lene pe toată diagrama să o dese-neze, astfel că s-a apucat să o ...schematizeze.

80

Şi a tot schematizat până ce la fiecare diagramă doar do-uă bucăţi a lăsat. Oricine poate să le vizualizeze, sunt chiar ca nişte paranteze.

Aflând matematicienii de a lui ispravă s-au gândit că es-te o bună treabă, aşa că de atunci s-au lăsat şi ei roată de în-conjurat şi doar cu parantezele au lucrat.

2×(6 + 3) =

În prima variantă de rezolvare ne îndreptăm cu viteză spre paranteză şi când pe adunare o efectuăm, pe pa-ranteză noi o desfiinţăm. O desfiinţăm, adică o facem să dispară deodat’, ca şi cum nici n-ar fi existat. Păi, nu ? Doar 6 + 3 e uşor de calculat! Locul parantezei va fi luat imediat de un număr, neapărat, de rezultatul adu-nării bine calculat.

2×(6 + 3) = 2×9

= 18 jucători

81

Acest 9 îţi arată, la o adică, câţi jucători erau într-o echi-

pă. Şi uite-aşa, imediat, pe prima variantă de rezolvare am

finalizat. Pentru a doua variantă de rezolvare, gândeşte-te, dacă să

înţelegi vrei, ce înseamnă 2×(6 + 3). Adu-ţi aminte, neapărat, că pe simbolul, semnul × Lene-

vel Puţintel l-a inventat, deoarece de prea mult scris era e-nervat. Haideţi să ne întoarcem acum pe al lui Lenevel drum, ca să vedem detaliat de unde el a plecat.

2×(6 + 3) = 2 ori (6 + 3) = de 2 ori (6 + 3) =

=( 6 + 3 ) + ( 6 + 3 ) Ai (6 + 3) o dată şi iar (6 + 3), a doua oară, poţi să so-coţi până diseară şi-apoi până-n zori, (6 + 3) se repetă de două ori! Ei, dar oare ce întâmplare a determinat, a cauzat, a făcut să apară o astfel de adunare ? Aceasta e o bună între-bare şi ca să-i dăm răspuns, hai înapoi pe teren unde-i mult antren, multă mişcare, agitaţie mare, deoarece jocul e-n des-făşurare. Chiar aşa, pe teren cele două echipe prea mult nu au pasat la antrenat, ci aprins, un joc au încins. Şi după cum se ştie, când două echipe joacă ceva împreună, toţi jucătorii se adună.

82

2×(6 + 3) = (6 + 3) + (6 + 3) = 6 + 3 + 6 + 3

Observă tu, treptat, cum parantezele s-au cam... eva-porat. Aşa am ajuns, vrei, nu vrei, la 6 + 3 + 6 + 3. Poate tu te-ntrebi acum de ce am pierdut parantezele pe drum. Priveş-te, am să-ţi explic, mai ai un pic şi pe enigmă ai s-o dezlegi, adică ai să înţelegi. Păi, ia gândeşte-te tu puţin. Ce-am spus eu mai înainte, copil cuminte ? Am spus că echipele, aprins, un joc au încins. Îţi dai tu seama ce era acolo ? Ce vânzo-leală, ce agitaţie, ce du-te vino, cum alergau copiii, cu ce viteză!!! Ce paranteză ? Pe paranteze le folosisem la început când, deşi erau împreună pe teren, nu-ncepuse marele antren, fiecare echipă se antrena separat şi prin paranteze pe fiecare echipă noi am indicat. Acum pe paranteze nu le mai folosim, avem jocul de observat, căci jucătorii s-au amestecat.

83

Că jucătorii în jocul aprins s-au amestecat, prin simbo-lul, semnul + noi am arătat. Tot din cauza amestecului jucă-torilor, negreşit, şi parantezele s-au topit. Păi, pune-ţi şi tu o întrebare: «Ce să mai separe ?» Acum avem o mulţime mai mare, în mare antren formată din toţi jucătorii de pe teren. Ei, acum dacă să înţelegi mai bine vrei, priveşte la ultima formă a exerciţiului:

6 + 3 + 6 + 3 = Dacă urmăreşti cu atenţie jucătorii, chiar în mişcarea lor şi printre ale lor pase, poţi vedea doi de 3 şi doi de 6. Un 3 reprezintă grupul fetiţelor de la o echipă, iar 3, a doua oară, e grupul fetiţelor de la echipa adversară. Un 6 reprezintă grupul băieţilor de la o echipă, iar 6, a doua oară, e grupul băieţilor de la echipa adversară.

Hai să fim atenţi puţintel, c-aici vine Lenevel hotărât pe deplin să facă ceva ca să scrie mai puţin.

6 + 3 + 6 + 3 = 6 + 6 + 3 + 3 = 2×6 + 2×3 E bine acum să revedem de unde am plecat şi unde sun-tem:

84

2×(6 + 3) = 6 + 3 + 6 + 3 = 6 + 6 + 3 + 3 = =de 2 ori 6 + de 2 ori 3=2ori 6 + 2ori 3=2×6 + 2×3 = 12 + 6 = 18.

Deci 2×(6 + 3) = 2×6 + 2×3 = 12 + 6

= 18 Observă, neapărat, că şi în varianta a doua de rezol-

vare ne-a dat acelaşi rezultat. Acum, pentru ca să revezi ceea ce este mai important, în

mod firesc, pe cele două variante de rezolvare am să ţi le re-amintesc.

Varianta 1 2×(6 + 3) = 2×9

= 18 jucători

Varianta 2 2×(6 + 3) = 2×6 + 2×3

= 12 + 6 = 18 jucători

Un alt exemplu vine-acum la tine, pentru ca să înţelegi mai bine.

Lenevel Puţintel dorea să se facă patron atunci când va fi mare om. Tatăl lui jucării vindea la un magazin pe care îl avea. Într-o zi, tatăl lui, Hărnişor Multişor, pe magazin l-a aprovizionat cu 4 cutii mari ce l-au făcut curios pe micul bă-iat. Tatăl lui le-a adus pe cele 4 mari cutii de la un depozit de jucării, iar oamenii care la depozit jucării aveau, de la o fabrică le cumpărau. Lenevel a privit uimit la cele 4 cutii

85

chiar de când tatăl său din maşină le descărca şi în magazin le căra. După ce de cărat a terminat, să le desfacă el s-a apu-cat. Cum copilul era curios, foarte atent s-a făcut şi nicide-cum nu s-a putut să nu fie de faţă şi Lenevel la desfăcut.

Fiecare din cele 4 cutii conţinea 5 căţeluşi de pluş şi 2 păpuşi cu rochiţe de catifea vorbitoare de «Mama!»

Iată, pe aceste cutii eu le-am desenat şi cu diagrame le-am înconjurat.

Ei, dar crezi că Lenevel ca mine a muncit ? Supărarea l-a şi apucat atunci când a văzut cât are de desenat şi încon-jurat. Iarăşi a căutat să lucreze simplificat.

86

A spus că nu are rost să deseneze, că el are minte, astfel încât în loc de desene a folosit numere şi cuvinte. Mai mult, la fiecare diagramă, în loc pe aceasta de jur împrejur s-o de-seneze, el a scris doar două paranteze. Spunea el că-s părţi din diagramă şi tot aceea înseamnă.

Desigur, acele paranteze sunt părţi din fiecare diagramă, dar el a scris mai puţin, bagă de seamă! Astfel pe conţinutul cutiilor l-a reprezentat schematizat, simplificat. Apoi între paranteze pe semnul + l-a adăugat, fiindcă cele 4 cutii fuse-seră una lângă alta alăturate, pentru a fi jucăriile pe rafturi aranjate.

87

După cum se vede, se repetă de 4 ori, cum deja se şi ştie, numărul de obiecte dintr-o cutie (5 căţeluşi de pluş + 2 păpuşi cu rochiţe de catifea vorbitoare de «Mama!»). Între cutii, pe paranteze încă le-am lăsat, pentru că din cutii jucăriile încă nu s-au ridicat pentru a fi pe raft aşezate şi toa-te la un loc grupate.

88

Deci ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) = = de 4 ori ( 5 + 2 ) = 4 ori ( 5 + 2 )= 4×( 5 + 2 )

Până la urmă am ajuns şi noi să scriem ca Lenevel, cu

simbolul, semnul ×, ca să scriem puţintel. Pe acest exerciţiu, 4×( 5 + 2 ) =, aruncă-ţi bine a ta

privire, pentru ca să vezi că este vorba de o înmulţire. Re-pet, înmulţire şi să nu cazi în capcană, frăţioare, chiar dacă vezi tu pe acolo şi semnul operaţiei de adunare! Aruncă-ţi privirea pe exerciţiu cu viteză, pentru ca să vezi că este o înmulţire între factorul 4 şi o paranteză. După cum ţi-am mai spus, paranteza este ca o burtă mare, dar nu-i plină cu mâncare. De unde-ncepe şi până unde se termină o paran-teză este plină, după cum se vede, frăţioare, cu o operaţie de adunare. Vedeţi şi voi, este o adunare simplă pentru noi, 5 + 2.

89

În scrierea 4×( 5 + 2 ) = paranteza ne înştiinţează pe noi că 4 nu este înmulţit doar cu 5 şi nici doar cu 2. Atenţi să fi ţi voi, 4 se înmulţeşte cu suma dintre 5 şi 2.

În prima variantă de rezolvare a exerciţiului 4×(5 + 2) = ne îndreptăm cu viteză spre paranteză. Când pe adunare o efectuăm, pe paranteză noi o desfiinţăm, adică o facem să dispară deodată, ca şi cum n-ar fi existat niciodată. Locul parantezei va fi luat imediat de un număr, neapărat, de re-zultatul aflat după ce pe adunare am efectuat. Acel număr 7 îţi arată, se ştie, câte jucării se aflau într-o cutie ( 5 căţeluşi de pluş + 2 păpuşi cu rochiţe de catifea vorbitoare de « Ma-ma! » ). 4×( 5 + 2 ) = 4×7 = 28 de jucării în toate cele 4 cutii Şi-uite-aşa, imediat, pe prima variantă de rezolvare am finalizat. Pentru a doua variantă de rezolvare, să ne gândim bine noi la ceea ce înseamnă 4×( 5 + 2 ) = , cu precizarea făcută fără viteză că adunarea ( 5 + 2 ) se află în paranteză. Să-ţi aduci aminte, neapărat, cum pe simbolul, semnul × Lenevel Puţintel l-a inventat. Haideţi să ne întoarcem acum pe al lui Lenevel drum, ca să vedem imediat de unde el a plecat. 4×( 5 + 2 ) = 4 ori ( 5 + 2 ) = de 4 ori ( 5 + 2 ) = = ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) Ultima scriere a exerciţiului, ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) ne arată cum cutiile cu jucării fuseseră doar deschise şi alăturate. Fiecare jucărie era deocamdată în cutia ei frumos aşezată, deci de jucăriile din celelalte cutii sepa-rată. Ei, dar fiecare jucărie din fiecare cutie trebuia din cutia ei să fie luată şi pe acelaşi raft aşezată la un loc cu celelalte jucării din celelalte cutii. De ce ? Pentru că la magazin mulţi clienţi vin, iar jucăriile împreună pot să le atragă atenţia cli-

90

enţilor cu putere mare pentru vânzare. Aşa că, pe neaştep-tate din cutii jucăriile fură ridicate de două persoane cu o alăturare ciudată, Lenevel, fiul, şi cu al său tată. Despre al său tată vă spusesem anterior că se numea Hărnişor Multi-şor… După ce pe fiecare jucărie din a sa cutie ei au ridicat, pe toate le-au alăturat şi pe acelaşi raft le-au aranjat. ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) = 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 Priveşte acum ultima scriere a exerciţiului cu atenţie, fără viteză, şi n-ai să mai vezi nici urmă de paranteză: 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 . E şi normal. Ia stai tu şi socoate! Când fiecare jucărie din cutia ei este scoasă şi la celelalte ju-cării din cutii alăturată, mai este ea de ele separată ? După ce o astfel de mişcare s-a efectuat, copile, parantezele deve-niseră inutile. Te întrebi ce înseamnă « inutile », oare ? Adică nefolositoare! Aşa că şi Lenevel, bineînţeles, imediat le-a eliminat. Când pe raftul cu jucării, toate scoase acum din cele 4 cutii, Lenevel mai bine a privit, ce-a zărit ? 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 = 5 + 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 Păi a zărit 4 grupuri de câte 5 căţeluşi de pluş în fiecare şi 4 grupuri cu câte 2 păpuşi în fiecare. De ce, oare ? Păi asta-i întrebare ? Cele 4 grupuri de câte 5 sunt, să ştii, fiindcă fuseseră 4 cutii, conţinătoare a câte 5 căţeluşi de pluş fiecare. Cele 4 grupuri de 2 apar la noi, să ştii, pentru că păpuşile jucării, înainte de a fi alăturate la magazin pe raft, fuseseră scoase de fapt din cele 4 cutii conţinătoare fiecare a 2 păpuşi cu rochiţe de catifea vorbitoare de «Mama!». Deci vom scrie:

91

5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 = 5 + 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 = de 4 ori 5 + de 4 ori 2 = 4 ori 5 + 4 ori 2 = 4×5 + 4×2 E bine acum să revedem de unde am plecat şi unde sun-tem: 4×( 5 + 2 ) = ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) + ( 5 + 2 ) = 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 2 = 5 + 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 = de 4 ori 5 + de 4 ori 2 = 4 ori 5 + 4 ori 2 = 4×5 + 4×2 = 20 + 8 = 28. Deci 4×( 5 + 2 ) = 4×5 + 4×2

= 20 + 8 = 28.

Observă neapărat că şi în varianta a doua de rezolvare ne-a dat acelaşi rezultat. Acum, pentru ca să revezi ceea ce e mai important, în mod firesc, pe cele două variante de rezolvare am să ţi le reamintesc.

Varianta 1

4×( 5 + 2 ) = 4×7 = 28 de jucării în total în cele 4 cutii

Varianta 2

4×( 5 + 2 ) = 4×5 + 4×2 = 20 + 8 = 28.

92

Deşi pe factori altfel îi grupăm, Produsul e acelaşi, îl păstrăm!

Lucrătorii unei fabrici de automobile să se ştie doreau ce maşini bune ei produceau. Bune, ieftine, ce mai, o minune, aşa că au luat legătura cu o televiziune. Doreau ca despre a lor activitate să se facă niţică publicitate. Zis şi făcut, căci înţelegerea cu televiziunea nu a căzut. Aşa a venit şi ziua cea mare, ziua de filmare. S-au dus la filmare într-o parcare mai mare a lor, a maşinilor. Fiţi atenţi, ca să vedeţi ce s-a întâmplat, cum pe maşini ei le-au aliniat pentru filmat. Mai întâi au fost aduse două grupe de câte 3, să le atragă atenţia oamenilor grei, adică în bani bogaţi şi după maşini ahtiaţi.

Ei, dar prezentatorii aici nu s-au oprit şi lângă fiecare maşină ce pe a ta privire trebuia la ea să o ţină, au mai adus ei alte trei.

93

De ce de 6 ori ? Păi, prima dată fuseseră aduse două gru-pe, fiecare grupă de câte 3, dragii mei! Acum fiecare din cele 6 maşini aduse prima dată era întâi aşezată, iar în spate-le ei mai erau încă 3! De fapt această aşezare se observă foarte bine şi din a de-senului prezentare. Atenţie mare! Am reprodus imaginea maşinilor eu fiind situat în spatele lor. Păi, ce să caut eu în faţa lor, oare ? Acolo se pregătea echipa de filmare! Deci de 6 ori 4 = de ( 2×3 ) ori 4 = ( 2×3 ) ori 4 = ( 2×3 ) × 4

94

După cum se şi vedea, de 6 ori 4 era. Atenţie la această grupă de 4 care s-a format venind încă 3 la una care dinainte a existat! Iată c-am şi subliniat, astfel că-i important am arătat! Deci nu vin 6 grupe de alte 4 maşini pe lân-gă cele 6 dinainte prezentate, ei mai aduc 6 grupe de încă 3 arătoase la fiecare una ( din cele 6 ) ce privirea ne furase, căci dinainte fiecare existase! Fiţi atenţi, paranteza ce ţine în burta ei pe 2×3 vă indică, ţie, băiat, şi ţie, fată, pe cele 6 maşini ce fuseseră prezentate prima dată! Acum, dacă te apuci de numărat pe toate maşinile pre-zentate, înseamnă să munceşti fără rost, frate! Hai s-o luăm pe ...calculate. Atenţie, ne vom îndrepta cu viteză mai întâi spre paranteză! de 6 ori 4 = de ( 2×3 ) ori 4 = ( 2×3 ) ori 4 = ( 2×3 ) × 4 = 6 × 4 = 24 de maşini

Deci ( 2×3 ) × 4 = 24

Ei, dar crezi că de prezentare ai scăpat ? Nu, maşinile iar au demarat şi altfel s-au aliniat, pentru că iau ochii şi roţile care se învârt ca o morişcă când maşinile se mişcă. Iar a lor impresionantă deplasare produce încântare mare şi chiar ...vânzare! Acum maşinile altfel s-au aliniat la prezentat. Mai întâi 3 grupe de câte 4 au venit, numai bune de privit!

95

Dacă sunteţi neapărat voi curioşi, dacă tu vrei să mă des-coşi întrebându-mă de ce s-au prezentat taman aşa, îţi voi răspunde şi eu cum voi putea. Păi, ce să zic ? Probabil că voiau şi ei să aibă un lanţ de maşini şic. Un lanţ mai lung de maşini cele mai... cele îţi vor reţine privirea mai mult la ele. Pot să-ţi apară şi noaptea în visare şi-atunci ai putea să le faci lor vânzare!

96

Dacă uimit de frumuseţea lor eşti, ca privirea de pe ele să nu-ţi dezlipeşti, încă un şir de maşini ca acela de dinainte, imediat s-a aliniat.

Desigur, fiind vorba de două şiruri, fiecare cu câte 3×4 maşini, dragi isteţi, puteţi scrie, dacă vreţi, ca Lenevel Pu-

97

ţintel care, evident, s-a şi orientat către scrisul mai ...scur- tat!

2 × (3×4) = Pentru rezolvare ne îndreptăm şi calculăm cu viteză mai întâi la paranteză.

2 × (3×4) = 2×12 = 24 de maşini

Deci 2 × ( 3 × 4 ) = 24

Acum, pentru ca să revezi ceea ce e mai important, în mod firesc, pe cele două variante de rezolvare a înmulţirii de trei factori am să ţi le reamintesc.

Varianta 1 ( 2×3 ) × 4 = 6 × 4

= 24 de maşini

Deci ( 2 × 3 ) × 4 = 24

Varianta 2 2×(3×4) = 2×12

= 24 de maşini

Deci 2 × ( 3 × 4 ) = 24

Ce-ai observat ? Deşi altfel pe factori i-ai grupat şi cu ajutorul parantezelor pe această grupare ai arătat, pro-dusul e acelaşi, s-a păstrat! În cazul nostru, 24 şi nu e nici o lovitură de teatru. E ceva normal, firesc, indiferent cum

98

maşinile se numesc, indiferent ce culoare fiecare maşină are sau dacă se face ori nu vânzare!

Deci ( 2 × 3 ) × 4 = 2 × ( 3 × 4 ) = 24

Poate veţi fi uimi ţi, deoarece se întâmplă aşa ceva. Pe mine mă interesează însă altceva. Să fiţi lămuriţi. De fapt nu este uimitor că se întâmplă aşa ceva. Te ajută să înţelegi ci-neva. Atenţia. Sper că atent ai urmărit şi o dată cu mine ai gândit. Hai să mai aruncăm nişte priviri însoţite de gândiri. Dacă aşa veţi proceda, cunoştinţele vă veţi consolida pe ba-za exemplelor pe care în continuare le voi da.

(5×6)×2 = 5×(6×2) = 60 (10×2)×4 = 10×(2×4) = 80

Un alt exemplu vine-acum la tine, pentru ca să înţelegi şi mai bine! Un grup de soldaţi proaspăt încorporaţi erau tare dezor-donaţi. Încorporarea era un moment când un om tânăr cu a lui voinţă, dorinţă sau la o chemare de altcineva dată, intra în armată. Cum spuneam, soldaţii erau dezordonaţi şi mai întâi trebuiau aliniaţi. Imediat ce au intrat pe poarta unităţii militare li s-a făcut a actelor verificare. Pe noi ne interesează o vedere cu a lor aliniere. Mai întâi au fost aduse în pas vioi 4 grupuri de câte 2. Aşadar de 4 ori 2 = 4 ori 2 = 4 × 2 tineri siguri pe ei care voiau să devină soldăţei. Îţi voi arăta în continuare a lor

99

aranjare, unul lângă altul în picioare. Câteva voci severe au strigat la ei pentru aliniere. Au venit pe rând, de 4 ori câte 2, ca să-i vedem şi noi.

Apoi în spatele fiecăruia din aceştia 8 ce se petrece ? Iată, lângă fiecare din cei 8, lângă fiecare, mai vine câte o grupă de 4 tineri, frăţioare.

100

Acum îţi voi spune, să fie ştiut, de ce 8 grupe de tineri au apărut, deşi dacă sunteţi atenţi, isteţei, puteţi înţelege şi sin-gurei. Numărul de 8 grupe (de câte 5 tineri fiecare) a rezul-tat din cele 4 grupe de 2 tineri fiecare ce dinainte au existat.

101

Atenţie! Aceste 8 grupe de câte 5 tineri nu au venit pe lângă cei 8 tineri care intraseră prima dată în armată (cele 4 grupe de câte 2 aduse în pas vioi). S-au format 8 grupe de câte 5 fiecare, pentru că la 8 de câte 1, care încă nu trăgeau cu tunul, la fiecare 1 au mai ve-nit încă 4, frăţioare. Această mişcare nu necesită cugetări, gânduri adânci. Acum ai 8 grupe de câte 5. Revezi cu aten-ţie fiecare diagramă şi bagă de seamă!

Deci de 8 ori 5 = de ( 4 × 2 ) ori 5 = ( 4 × 2 ) × 5

Cu viteză spre paranteză mai întăi ne îndreptăm şi efec-tuăm:

( 4 × 2 ) × 5 = 8 × 5 = 40

Priveşte, paranteza de la ( 4×2 ) ţine în burta ei pe cei 8 tinerei de acum soldăţei adevăraţi ce fuseseră prima dată ali-niaţi.

Deci ( 4 × 2 ) × 5 = 8 × 5 = 40

După ce actele tuturor celor 40 de soldaţi s-au verificat, ei au fost duşi la spălat. Trebuie să vă spun că la duşurile unde curgea apă caldă, dar mai mult rece, soldaţii încăpeau doar câte zece. Aşa că imediat prima serie a şi intrat.

102

Şi aşa soldaţii s-au curăţat în 4 serii care pe rând în baie au intrat. Iată, în continuare pe aceste 4 serii eu le-am desenat, pentru ca gândirea ta să nu se oprească din operat, din contră, mai mult să lucreze după ce ai vizualizat!

103

Fiecare serie de câte zece aştepta frumos să intre la duşu-rile cu apă caldă, dar mai mult rece. Deci de 4 ori 10 = de 4 ori (2×5) = 4 ori (2×5) = = 4 × (2 × 5) = 4 × 10 = 40.

104

Dacă mă veţi întreba de ce am pus pe (2×5) în paranteză, am să vă răspund în viteză că acei soldăţei o grupă mai ma-re formau în care împreună cele două grupuleţe de 5, cei (2×5), adică zece, se spălau. Ei, seria de 10, fiind la duş, erau soldaţi cam ... dezbrăcaţi, aşa că parantezele, ele, sunt ca nişte perdele. Se ştie, orice baie civilizată trebuie încon-jurată cu ceva care să împiedice privirea în ea. Când trecem la calculat ne îndreptăm mai întâi cu viteză spre paranteză.

4 × (2 × 5) = 4 × 10 = 40.

Deci 4 × (2 × 5) = 40

Dar aminteşte-ţi, neapărat că şi ( 4 × 2 ) × 5 = 40 aşa cum mai înainte am arătat. Ce-ai observat ? Deşi altfel pe factori ai grupat (şi cu aju-torul parantezelor pe această grupare ai arătat), produsul e acelaşi, s-a păstrat! În cazul nostru 40, indiferent că la du-şuri curg ape calde sau reci.

(2×3)×4 = 2×(3×4) =24 (4×2)×5 = 4×(2×5) =40

Aşadar la o înmulţire de mai mulţi factori, oricum pe factori i-ai grupa (şi prin paranteze arăţi cum se gru-pează), după ce calculele de înmulţire se efectuează, pro-dusul acelaşi se păstrează, să ştii tu, indiferent dacă aceas-ta îţi convine sau nu!

105

Înmul ţirea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr de o cifră cu trecere peste ordinul

unităţilor şi al zecilor

Tatăl lui Lenevel a achiziţionat de la o fabrică de jucării 24 de maşinuţe pentru copii. Dacă pe o maşinuţă 7 euro a cheltuit, oare câţi bani în total el a plătit? Pentru acest calcul a fost chemat Lenevel care calcula scriind puţintel. Numai când s-a gândit la prima variantă de socotit, i-a venit rău, zău! Priveşte în continuare, ca să înţe-legi de ce avea oroare! de 24 ori 7 euro = de 24 ori 7 = 24 ori 7 = 24 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = Nu este greu de înţeles de ce această lungă adunare apa-re, să ştii. Aminteşte-ţi că fuseseră cumpărate 24 de maşi-nuţe pentru copii. Adică, măi puişori, tatăl său plătise câte 7 euro de 24 de ori. Dar aşa cum într-o lecţie anterioară v-am prezentat, un important adevăr mai aflase Lenevel. Dacă schimbi locul factorilor, produsul rămâne la fel. Şi cum şi-a adus aminte ce-a descoperit, de acest adevăr matematic el s-a folosit. de 24 ori 7 euro = de 24 ori 7 = 24 ori 7 = 24 × 7 = 7 × 24 = 24 + 24 + 24 + 24 = Parcă acum lucrul s-a mai simplificat, iar Lenevel deve-nise mai … uşurat. Totuşi, pe marele zâmbet încă nu-l avea … Şi mai puţin să scrie el voia! Se gândea, se frământa, pe toate părţile pe exerciţiu îl privea. Îl privea de la început până la final şi iar de la înce-put până la semnul egal. Deşi acum reuşise să scrie mai puţin ( chiar un chin nu erau patru termeni ce se adunau ),

106

nu prea-i convenea că 7 cu 24 se-nmulţea. «Măi, îşi zicea el cu voce tare, 7 ca 7, dar 24 e cam mare!». Şi tocmai când iar voia pe aceste vorbe să le spună, simte cum o idee îl în-drumă: «Înmul ţeşte-l pe 7 cu o sumă!», parcă auzea o voce de undeva! Pe înmulţirea cu o sumă el o ştia!!! Şi cum 24 i se părea cam mare, s-a gândit în două grupe să-l separe. L-a separat în ZECILE lui curate, două, pe de-o parte şi cele 4 UNITĂŢI pe de-altă parte. Mândru de ceea ce făcea zicea: «Zeci deoparte, unităţi deoparte, aşa fac oamenii ce ştiu carte, deci şi eu. Nu e greu!»

24 × 7 = 7 × 24 = 7 × ( 20 + 4 ) = 7×20 + 7×4 La 7×4 nici o problemă nu avea, căci pe produs îl ştia! 7×20 puţine bătăi de cap îi dădea. După ce puţin s-a frămân-tat, zecea l-a ajutat. Cu curaj, cu sânge rece l-a scris pe 20 ca 2×10. L-a luat apoi pe factorul 2 şi l-a înmulţit aşa cum lui i-a convenit. Aminteşte-ţi şi tu, dacă să înţelegi vrei, la o înmulţire a mai multor factori poţi înmulţi oricum vrei pe factori între ei. Îi poţi pe factori grupa cum vrea mintea ta, produsul final se va păstra!

7×20 = 7×(2×10) = (7×2)×10 = 14×10 = 140. Şi cum cu 10-i mai uşor de înmulţit , pe drumul în-mulţirii cu 10 am păşit. Când pe înmulţirea unui număr cu 10 vrei a o calcula, iată ce simplu vei proceda. Dacă la dreapta acelui număr pe 0 l-ai pus, l-ai obţinut pe numărul produs! Dar să revenim, că ne-am îndepărtat niţel de calculul lui Lenevel:

107

24 × 7 = 7 × 24 = 7 × ( 20 + 4 ) = 7×20 + 7×4 = = 140 + 28 = 168 Terminând pe acest calcul, Lenevel despre tatăl său a aflat câţi bani maşinuţele l-au costat. A ajuns până la urmă la numărul total de euro, la 168, după ce mintea i s-a mai copt şi a reuşit pe un procedeu să-l inventeze, astfel încât pe calcul să-l ... scurteze. Priviţi încă o dată cât scrisese prima dată şi veţi înţelege imediat avantajul calculului scurtat, simplificat care dă acelaşi rezultat, am zis, cu calculul de la multul scris. Veţi înţelege pe deplin cum se află produsul scriind mai puţin. Credeţi că Lenevel aici a terminat ? V-aţi înşelat! A înce-put soluţii a căuta, căci să scrie şi mai puţin voia. De un calcul scris s-a apucat şi pe factori unul sub altul i-a aşezat. E vorba de aceeaşi aşezare ca pentru efectuarea operaţiei de adunare! Aceasta nu-i deloc o întâmplare, pentru că, să nu uiţi niciodată, înmulţirea e o adunare repetată. Şi ca să fiu corect până la final, trebuie să spun că în această adunare repetată, fiecare termen cu toţi ceilalţi e egal, de la începutul adunării şi până la al ei final. Adică, dragii mei, adunarea repetată e cu termeni egali între ei. Dar hai să revenim la ceea ce mai înainte despre Lenevel am zis şi să-i vedem calculul în scris. După cum spuneam, înainte de a calcula trebuie făcută a celor doi factori aşezare, întocmai ca la operaţia de adunare. De obicei, zic, numărul mai mare stă deasupra numărului mai mic.

24 × 7

108

Ca şi la operaţia de adunare, în toate celelalte dăţi, vom începe calculul de la UNITĂŢI. Cu cât este egal 7×4 ştiu şi nu tac, 28 fac! Imediat doar pe cele 8 unităţi ale lui 28 le voi scrie la casa lor, a UNITĂŢILOR.

24 × 7 8 Pe 20 (2 grupe de câte 10) le ţin deocamdată în mintea mea, deoarece la UNITĂŢI nu le pot aşeza. Le voi aşeza imediat, încetişor, la căsuţa ZECILOR. Ne întoarcem la 7 şi-l vom înmulţi cu cifra pe care la ca-sa ZECILOR lui 24 o vom găsi. Aici, acum, la noi e vorba de cifra 2. Aici 7×2 = 14, e adevărat deci, dar aceste 14 sunt zeci, deci e vorba de 140! La toate aceste 14 zeci trebuie adunate celelalte 2 zeci ( de la 7×4 = 28 ) ţinute deja în min-tea mea. Acum e momentul să le aşez încetişor la locul lor, la casa ZECILOR. 14 zeci + 2 zeci = 16 zeci, se ştie şi aşa voi şi scrie 16 deci, dar acestea sunt 16 zeci , adică 160! SZU

24 × 7 168 Fiţi atenţi, că aceasta şi cifrele v-o arată : 1 la SUTE ( deci 10 zeci ) şi 6 la ZECI aşezată. Şi cu amândouă lângă UNITĂŢI, cele 8, am aflat pe produsul final, pe 168! Şi-uite-aşa a reuşit să calculeze Lenevel scriind puţintel. De abia acum a zâmbit cu adevărat mulţumit. Să fii iubit!

109

Înmul ţirea a două numere formate din zeci şi unităţi

Lângă o piaţă au venit într-o parcare 23 de maşini cu câte 12 saci cu cartofi fiecare. Pe noi ne interesează în final câţi saci cu cartofi s-au adus în total. Lenevel, apropiindu-se de piaţă pentru cumpărat, a văzut ceea ce s-a întâmplat şi a asistat chiar la descărcat. Ca şi noi, acelaşi lucru şi el s-a în-trebat. Dar cum a trecut la calculat s-a şi încruntat.

23 × 12 =

Era şi normal să se întâmple aşa. Fiţi atenţi ce însemna aşa ceva!

23 × 12 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = Atunci, enervat, pe ordinea factorilor a schimbat.

12 × 23 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = Lenevel de nervi trepida. Nici aşa nu mergea. Desigur, aceste adunări repetate care dau aceleaşi rezultate se puteau efectua , dar Lenevel la altceva se gândea. El ştia că pentru a efectua aşa ceva noaptea te putea apuca. Trebuia să inven-teze iar ceva, neapărat, astfel încât calculul să poată fi sim-plificat, adică scurtat. Cei mai mulţi nervi îi avea pe numărul mai mare care îl împiedica spre o uşoară şi rapidă efectuare. De aceea s-a orientat spre numărul mai mic şi şi-a propus să-i schimbe forma un pic. Să fiţi atenţi, deoarece Lenevel nimic la nu-mărul 12 nu a adăugat sau luat ( înmulţirea va avea ace-laşi rezultat! ), doar pe modul lui de scriere l-a modificat.

110

23 × 12 = 23 × ( 10 + 2 ) =

Atenţie! 23 nu se înmulţeşte doar cu 10, ci cu 10 + 2, nu priviţi cu foarte mare viteză! De aceea (10 + 2) s-a scris în paranteză! În acest fel Lenevel a avut o idee bună şi ast-fel a ajuns să-l înmulţească pe 23 cu o sumă.

23 × 12 = 23 × ( 10 + 2 ) = 23 ×10 + 23 × 2

Pe 23 × 10 l-a rezolvat imediat. L-a scris pe 23, (adică pe numărul care se înmulţeşte cu 10) la rezultat şi la dreapta lui, lângă 3, un 0 a adăugat. Aşa, la rezultat, 230 s-a format.

Deci 23 × 10 = 230. Dar la 23 × 2 = cum a procedat ? Iată cum. Pe ordinea factorilor a inversat, deoarece aşa era mai uşor de calculat.

23 × 2 = 2 × 23 = 23 + 23 = 46

Bine, dacă tu vrei, poţi pe ordinea factorilor să nu o in-versezi, tot e uşor să calculezi.

23 × 2 46

Deci 23 × 12 = 23 × ( 10 + 2 ) = 23 × 10 + 23 × 2 = = 230 + 46 = 276. Acum Lenevel dorea să şi vizualizeze ceea ce s-a apu-cat să calculeze. Fiindcă 23 × 10 = 10 × 23, iar 23 × 2 = 2 × 23 şi dorind să deseneze mai puţintel, fiţi atenţi la repre-zentarea lui Lenevel!

111

În această reprezentare avem de 10 ori 23 ( ce-i drept, descompus în 20 şi 3, dragii mei ) şi încă de 2 ori 23 ( de asemenea descompus în 20 şi 3 ). Acum nici unul din voi să nu fie speriat, deoarece cu nişte linii drepte pe reprezentare am tăiat. Fiecare să fie liniştit, pentru că nimic nu este gre-şit. Totul este bun, vă explic chiar acum! Pe măsură ce în calcul înainta şi aduna, Lenevel tot tăia ceea ce a adunat, să nu cumva să obţină un rezultat eronat, adică neadevărat.

112

Ce-i drept, munca s-a mai micşorat. Acum Lenevel era mai senin, dar ca de obicei dorea să scrie şi mai puţin. Aşa şi-a zis, astfel încât imediat a trecut la calculul în scris.

23 × 12 În primul rând să ai grijă la a factorilor aşezare. Îi vei a-şeza ca şi la operaţia de adunare. Vom începe calculul, ca şi în alte dăţi, de la unităţi. Mai bine zis ne vom duce frumos la unităţile numărului de jos, 2, precum vedeţi şi voi. Pe el, pe 2 îl vom înmulţi cu cele 3 unităţi ale lui 23, vrei, nu vrei! Adică, dragii mei şi dragele mele, vom înmulţi unităţile în-tre ele. Priviţi şi pe desen, neapărat, pe doi de 3 cu o linie pe fiecare am tăiat! 2 × 3 = 6, care nu are ce să caute pe la alte case, ci se scrie repejor la căsuţa UNITĂŢILOR. ZU

23 × 12 6 Unităţile lui 12, tot cele două (2) se vor înmulţi acum cu zecile lui 23, tot în număr de două, dragii mei, şi după cum vedeţi şi voi, arătate tot cu ajutorul cifrei 2. Deci 2 × 2 = 4, da, dar aici e puţin teatru, adică dacă stai să socoţi deci, e vorba de 4 zeci! Priveşte şi pe desen, neapărat, pe 2 de 20 cu două linii pe fiecare i-am tăiat! Zi şi tu tare, ca pe lângă adevăr să nu treci, 2 × 20 = 40. Acum în stânga lui 6 îl vom scrie pe 4, cifra indicator de la căsuţa ZECILOR. ZU

23 × 12 46 Ce indică ea că se petrece ? Am obţinut 4 grupe, fiecare de câte 10. Hai să vă reamintesc ce am făcut până acum

113

mergând pe al calculului drum. Până acum 2, unităţile lui 12, s-au înmulţit, pe rând, mai întâi cu unităţile lui 23 în număr de 3 şi apoi cu zecile lui 23, cu cele 2 zeci, dragii mei! Şi acum ce se petrece ? Fiţi atenţi, pentru acest 2 (de la 12) înmulţirea e la final, iar noi am obţinut primul produs parţial. E vorba despre 46 care e format din două cifre ce stau în două case: 6 UNITĂŢI şi 4 ZECI deci. Cuvântul parţial ne arată că doar o parte din înmulţirea lui 23 cu 12 am efectuat noi, adică pe înmulţirea lui 23 cu 2! Sau dacă altfel doriţi să spuneţi, dragii mei, am efectuat deocamdată pe înmulţirea lui 2 cu 23! Rămânem tot la numărul 12, dar trecem la cifra zecilor acum, să continuăm al calculului drum. Atenţie, ca să nu greşeşti, 1 este cifra pe care aici, la ZECI o întâlneşti. Aten-ţie la ceea ce aici se petrece, 1 arată o grupă de 10, care şi ea, la rândul ei, se va înmulţi cu 23! Mai întâi se va înmulţi cu unităţile lui 23, adică cu cele 3. Deci 1 × 3 = 3. Acest 3 arată 3 grupe de câte 10, pentru că iată ce se petrece! 1 × 3 înseamnă de fapt 10 × 3 care înseamnă 30 deci! De aceea acest 3, dragii mei, va fi aşezat sub 4 la coloana lor, a ZE-CILOR. ZU

23 × 12 46 3 Priveşte şi pe desen, neapărat. Pe toată mulţimea în care sunt de 10 ori câte 3, cu trei linii am tăiat! Aceasta ne va ajuta să nu facem vreo greşeală. Tăindu-le înseamnă că le-am pus la socoteală!

114

115

Acum să fiţi pe fază pentru ceea ce urmează. Zecea lui 12, după ce s-a înmulţit cu unităţile lui 23, cele 3, se va în-mulţi cu zecile lui 23, cele două. Vreau să vă spun vouă să priviţi cu atenţie pe calculul scris. Cu atenţie am zis! Iată de ce : 1 × 2 = 2, dar în capcană să nu cădeţi voi! Atenţia vă va salva, ca să înţelegeţi ce înseamnă aşa ceva. 1 × 2 = 2, da, dar dacă nu eşti atent la cine cu cine se înmulţeşte, acest rezultat, 2, te păcăleşte. Ce înseamnă aici 1 × 2 = 2 ? Poţi să zici ? Dacă ţi-e greu, te voi ajuta eu! 1 × 2 = 2 înseamnă de fapt 10 × 20 = 20 de zeci, adică 200 deci! Iată pe cine reprezenta acel 2 ce se arăta! Acum să fii atent, ca să vezi pe acest 2 unde o să-l aşezi. Păi dacă ştii că 2 grupe de câte 100 acest 2 arată, cred că problema aceasta ţi-e clarificată. Îl vom aşeza pe acest 2 la stânga lui 3, dragii mei! Aici va sta, ce-i drept, cam însingurat, dar e acum la căsuţa, coloana SUTE-LOR aşezat. Deşi deasupra sa nu vezi nimic, să nu fii mirat nici un pic. Iată, eu pe coloane le-am evi-denţiat, de cifre să nu fii derutat! Dacă nu eşti atent, cifrele pot să te derute. Fii atent la ceea ce arată fiecare, UNITĂŢI, ZECI, SUTE. Deci pri-veşte cu atenţie mare în continuare şi înţelege de ce se întâmplă această aranjare. E adevărat, aş putea să te învăţ să înmulţeşti şi fără aceste explicaţii. Pot, dar eu nu vreau acum să lucrezi ca un robot. De aceea, atenţie mare, trebuie învăţare ... gânditoare, deocamdată fără calculatoare!

116

Atenţie! Chiar dacă înainte de a le desena eu, aceste co-loane ( UNITĂŢI, ZECI, SUTE ) nu se vedeau, ele tot acolo existau! Dacă de acest fapt n-ai să-ţi aminteşti, altădată poţi să te păcăleşti! Iată un exemplu. Sub 46, aşezându-l pe 2 în stânga lui 3 l-am obţinut pe 23. Dar atenţie mare, dragii mei, că acesta nu e chiar 23. Vreau să spun că nu sunt 23 de câte 1! Altceva se petrece. Sunt 23 de câte 10, 23 de zeci deci, adică 230!!!

117

Aşadar înmulţirea zecii de la 12 cu 23 ( întâi cu UNITĂ-ŢILE lui 23, cele 3, apoi cu ZECILE lui 23, ( cele 2 zeci deci ), această înmulţire spuneam este la final, iar noi am obţinut al doilea produs parţial. Al doilea produs parţial este deci 230! Chiar dacă la calculul scris, sub 46 scrie 23, să nu cădeţi în capcană, dragii mei! Amintiţi-vă că primul produs parţial era 46. Acum l-am aflat noi şi pe al doilea produs parţial care este 230, adică 3 ZECI (30) pe lângă 2 SUTE (200). Repet, 23 sub 46 să nu te derute! Nu ne putem însă opri la acest produs parţial, deoa-rece ne trebuie produsul final. E vorba de produsul înmul-ţirii dintre 23 şi 12, sper că n-ai uitat, doar de la această în-mulţire am plecat! Atenţie mare, acum vom face o aduna-re. Vom aduna, fii atent matale, pe cele două produse parţiale. Calculăm frumos de sus în jos. Mai trebuie să-ţi spun cum se face, oare? Doar ştii şi tu cum se adună, de la operaţia de adunare. Vom aduna pe 46 deci şi cu 230! Iată de ce atât am insistat. Nu vreau să lucrezi ca un apa-rat la o priză conectat sau care-şi ia de la o baterie electric curent. Eu vreau ca tu să fii conştient! Deci fii atent, iar da-că ceva nu înţelegi te întreabă şi citeşte iar, fără grabă! Eu încerc atât cât pot să îţi explic, astfel încât să nu fie nevoie să mă întrebi nimic. Bineînţeles, nu pentru că ai fi sfios, ru-şinos sau lipsit de interes, ci fiindcă tot ce-ţi spun ai înţeles!

118

Şi-uite-aşa cifrele s-au aşezat pe la ale lor case, iar noi l-am obţinut pe 276.

Deci 23 × 12 = 276

După o aşa ispravă toţi matematicienii au fost de acord că Lenevel e un băiat de treabă. Şi-au dat şi ei seama atunci că Lenevel nu voia să fenteze, ci doar pe calcul să-l mic-şoreze, adică să-l scurteze. Adunarea repetată era un chin, iar el inventase înmulţirea, ca să scrie mai puţin. Şi de data aceasta, cum am zis, el a folosit calculul în scris.

119

Iată, pentru ca acest procedeu de calcul în scris să vă fie pe deplin clarificat, încă ceva pentru voi am desenat. Fiecare din cei doi copii, cu mâinile în sus aşezat îţi indică ordinea în care pe înmulţire am efectuat. Mâinile lor, de la cea mai subţire până la cea mai groasă, îţi arată, dacă eşti atent la privit, or-dinea în care 2 şi 10 ( de la 12 ) s-au înmulţit. Evident, pe rând s-au înmulţit cu 23, dragii mei. Dacă pe acest procedeu vi l-aţi însuşit, mai de-parte, la înmulţirile ce par mai complicate nu va fi greu, vă spun eu. Noroc cu acest procedeu care s-a inventat şi pe calculul de adunare repetată l-a mic-şorat, cum am zis, prin înmulţire şi calculul ei în scris. Munca s-a simplificat, deoarece calculul este mai ... scurtat. Să fii învăţat!

120

121

Împăr ţirea, dragă fată, E chiar scădere repetată!

Într-o zi m-a întrebat a mea fată: − Cum să fie împărţirea o scădere repetată, măi tată? Că pe scădere o ştiu de când eram cât un pitic, iar împărţirea e mai grea un pic! Împărţirea este altceva, nu e scădere, nu-i aşa? zicea fata mea. − Ha, ha, ha, fata mea, ce zici tu, mai grea un pic, împărţirea e mai grea un pic? Deocamdată nu ai înţeles ni-mic, aşa că, uite, mă apuc să îţi explic! i-am răspuns eu. Dar să ştii că nu e greu. Ha, ha, ha şi hi, hi, hi, fără scădere nu poţi împăr ţi! Acum am să-ţi demonstrez, ca să te luminez! 56 de bombonele trebuie împărţite la 14, copiii clasei mele. 56 : 14 = Aici voi scrie clar şi mare cât va primi fiecare! Deci, în urma împărţirii lui 56 la 14 (56 de bomboane la 14 copii), fiecare copil primeşte ceva (un număr de bomboane), că doar de aceea e împăr-ţire, pentru ca fiecare să primească ceva. Păi, nu-i aşa ? Altfel, nu mai împart nimic şi o să vă fie poftă un pic. Şi dacă nu mai împart, nu voi mai avea nici un rezultat!

122

Adică voi avea pe de o parte 56 de bomboane şi pe de altă parte 14 copii supăraţi un pic, fiindcă nu s-a mai întâm-plat nimic.

56 de bomboane

Ei, dar dacă totuşi mă hotărăsc să le împart, va apare un rezultat! 56 : 14 =

Este un REZULTAT care va arăta, cum îţi spuneam, măi frăţioare, CÂT primeşte fiecare! Normal, toţi primesc în mod egal, ca să nu fie scandal! Bineee! Ei, şi ia spune tu acum, măi frate, cum se îm-parte? Iau de unde am şi dau, iar iau şi dau, iar iau şi dau, şi tot aşa până când cantitatea de bomboane se va termina.

123

Iată scăderea! Ai văzut, nu-i aşa? Acum fii atent, ca să vezi că este de o importanţă foarte mare cum fac împărţirea, frăţioare! ♦ Dacă dau prea multe bomboane la un copil, alţii, la fel ca acela n-or să mai primească (am doar 56 de bom-boane şi n-au de unde să mai izvorască!). Deci dacă cu prea multe încep să dau, alţi copii ce aşteaptă la rând poate nimic nu mai iau! Sunt sigur că ştii de ce, se termină repede! ♦ Dacă încep să dau la copii bomboane prea puţine, după ce dau la toţi, bomboane o să-mi mai rămână şi asta nu-i o treabă tocmai bună. Nu uita că toate cele 56 de bom-boane trebuie la 14 copii împărţite şi în mod egal distribu-ite. Asta e, există un număr fix de bomboane pe care trebuie să îl primească fiecare, iar eu trebuie să dau la fiecare copil exact acel număr de bombonele (nici mai multe, nici mai puţintele). Care o fi acel număr, câte bomboane dau la fiecare, oare ? Începe marea căutare! Atenţie! Nu este vorba aici de ghicit în bombonele, că nu sunt ghicitor în stele. Deci nu împart, nu distribui, nu dau la întâmplare, la nimereală, ci îmi fac o socoteală! În primul rând încep încet, atent, înţelept, ca să fiu corect sau drept. Să fie clar! Dacă distribui la întâmplare, la nimereală, pe ghicite, le voi da, le voi împărţi pe toate cele 56, aşa e, dar nu le voi da în mod egal, putându-se declanşa un mare scandal!

124

Pasul 1

Dau câte 1 ( o bomboană ) la fiecare cu atenţie mare, să nu fac vreo eroare! Voi consuma 14 bomboane.

56 − 14 = 42 mai am

125

Pasul 2

Mai am acum 42 de bomboane. Iar pot să mai dau câte una la fiecare. Astfel, iar voi consuma 14 bomboane.

42 − 14 = 28 mai am

Acum cred că vă este clar şi vouă că, deocamdată fiecare copil deţine două. Nu te mira, aminteşte-ţi că fiecare încă una mai avea!

126

Pasul 3

Acum mai am 28 de bomboane. Iar pot să mai dau câ-te una la fiecare. Iar consum 14.

28 − 14 = 14 mai am

Desigur, deocamdată fiecare copil 3 bomboane a primit ( 2 pe care le avea şi cu încă una ce a mai venit).

127

Pasul 4

Mai am 14 bomboane. Deoarece am 14 copii, înseamnă că mai pot da câte una la fiecare, să ştii!

14 – 14 = 0

Nu e de mirare că acum fiecare copil 4 bomboane de-ţine ( 3 pe care le avea şi cu încă 1 care vine ). Ei, acum, la copii eu bomboane aş mai da, dacă aş mai avea. Dar după cum cred că ai observat, bomboanele s-au terminat. E şi normal, dacă tot dai şi iar dai, până la urmă nu mai ai!

128

Acum aţi văzut şi cred c-aţi priceput ce-am făcut. Nu e aşa de greu, se ştie, nu e nici o magie. N-a fost ghicitoare, ci repartizare la fiecare, repartizare, distribuire, împărţire fără scandal, la fiecare în mod egal. Din 56, mulţimea de la început, de 4 ori pe 14 l-am scă-zut. De ce l-am scăzut pe 14 sigur ştii, păi aveam 14 copii. Şi după ce o scădere de 14 făceam, câte o bomboană ( din cele 14 ) la fiecare copil dădeam. Deci la fiecare scădere a lui 14, din mulţimea, cutia cu bomboane efectuată, fiecare copil mai primea o bomboană, măi tată! Deoarece 4 scă-deri am făcut ( până ce bomboane nu am mai avut ), în-seamnă, negreşit, că fiecare copil 4 bomboane a primit. Astfel am reuşit să împart pe toate cele 56 de bomboane la 14 copii, fiecăruia în mod egal, ca să nu iasă scandal. Nu este greutate mare, câte scăderi sunt, atâtea bomboane pri-meşte fiecare. Desigur, vei tot scădea până ce bomboane nu vei mai avea. Prima scădere 56 – 14 = 42 Câte 1 la fiecare A doua scădere 42 – 14 = 28 Câte 2 la fiecare A treia sădere 28 – 14 = 14 Câte 3 la fiecare A patra scădere 14 – 14 = 0 Câte 4 la fiecare

Deci 56 : 14 = 4 ( la fiecare )

129

Hai, acum, cu atenţie mare să facem şi o verificare. Am scris noi 56 : 14 = 4, dar este bine, oare ? Deci fiecare din cei 14 copii are acum 4 bomboane ( deci de 14 ori 4 ). 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=14×4==56 am obţinut, câte am avut la început!

Bine, dacă vrei să schimbi locul factorilor (în loc de 14 × 4 să scrii 4 × 14 ), îţi dau voie, dacă aşa ţi-e pe plac, tot 56 fac! Da, deci 56 : 14 = 4 . Sigur, frăţioare! Uite-aici verificare :

14 × 4 = 56 sau 4 × 14 = 56

Vreau să-ţi mai spun că pentru început tu nu vei avea de făcut împărţiri la un astfel de împărţitor cum este de exem-plu 14, puişor. Deoarece eşti la început tu vei împărţi un număr la alte numere decât 14 mai mici, poţi şi colegilor tăi să le zici! Eu am ales să împart la 14, deoarece este un nu-măr mai apropiat de numărul de elevi dintr-o clasă, deci de numărul acelor copii, să ştii! Cred eu că nici nu a fost prea greu, fiindcă am folosit, iată, împărţirea prin scădere repe-tată! Iar pe astfel de scăderi, fii sincer, hai, le cunoşteai!

130

Sper că ai înţeles cum ţi-am explicat eu, nu e chiar atât de greu, iar dacă te apuci serios de studiat, nu va fi deloc complicat. Eu nu vreau să-ţi fie matematica un chin, ci vreau să înveţi cu zâmbetul senin! Cu drag, al tău prieten mai mare, Florin!

Ştiu cât dau la fiecare, La câţi vor ajunge, oare ?

Într-o iarnă, de Crăciun, un om nu prea bogat îşi pro-pusese să fie mai bun. S-a gândit el că dacă o faptă bună vrei să faci, ar fi bine să-i ajuţi şi pe copiii săraci. Cum spu-neam, iarnă era, aşa că şi pentru copii o nevoie importantă apărea. Nu mă refer, copii, neapărat la jucării pentru băieţi şi fete, ci la mănuşi şi ghete. Omul nostru s-a dus la maga-zin şi 56 de obiecte a cumpărat de banii ce pentru aşa ceva i-a alocat. I-a alocat, adică dinainte a început bine să se gân-dească la ce o să-i folosească. Şi pentru ca al său gând să fie îndeplinit, chiar pentru ce avea în gând pe bani i-a folosit. El are acum, aşadar, importantul dar. În mulţimea acestor 56 de obiecte el a cumpărat mănuşi şi ghete pentru băieţi şi fete. Iată cum considerăm, ca să nu ne încurcăm. Fie că-i o mă-nuşă, fie că-i o gheată, tu vei fi înţelept şi vei şti că-i un (1) obiect. Deci două mănuşi, adică o pereche pentru băieţi sau pentru fete, înseamnă două obiecte. La fel şi la ghete, două ghete înseamnă două obiecte pe pământ călătoare şi de frig apărătoare. O mănuşă şi o gheată ( fiţi băieţi isteţi şi fetiţe înţelepte), înseamnă tot două (2) obiecte. Am să vă spun, să fie ştiut. Omul nostru mai mult de 56 de obiecte să cumpere ar fi vrut, dar el s-a încadrat în câţi bani a alocat. Şi desigur, a alocat cât a alocat, fiindcă spu-

131

sesem că nu era foarte bogat. Pe toate cele 56 de obiecte, perechi de mănuşi şi ghete pentru băieţi şi fete, le-a pus în saci şi s-a îndreptat către copiii săraci. Lângă casa unde lo-cuia el erau mulţi copii care ar fi avut nevoie de un astfel de cadou, căci locuiau într-un ghetou. În acel cămin viaţa era un chin. Ce să-i faci ? Aşa-i la oamenii săraci! De aceea tre-buie să muncim şi mai bogaţi cu toţii să devenim! Omul nostru cu cele 56 de obiecte la copii a sosit. Imediat se va apuca de împărţit. Tu ascultă atent, tăcut, ca să afli cum a făcut. În primul rând să ştii că acel ghetou destul de mare era, iar pe numărul adevărat al copiilor nimeni nu-l ştia. Se ştia doar că erau mulţi, mulţi, mărunţi şi cam ...desculţi. Omul nostru a socotit că la un copil 4 obiecte are de dăruit ( 2 mănuşi şi 2 ghete bune şi pentru băieţi şi pentru fete). Problema mare era că sigur nu avea cadou pentru fiecare, numărul copiilor fiind foarte mare. Atunci omul şi-a spus aşa: « Din mulţimea mea de 56 de obiecte, pe rând voi scădea câte 4 obiecte ( 2 mănuşi + 2 ghete ). Când o dată pe 4 l-am scăzut, pe un copil fericit l-am făcut! Acum am o întrebare. La câţi copii îmi vor ajunge obiectele, oare ? » Îi vom răspunde noi la întrebare acestui om cu sufletul mare. Să fim atenţi la cum a procedat generosul bărbat. Prima dată, din 56 pe 4 l-a scăzut şi pe un copil fericit l-a făcut. Adică pe cele 4 obiecte ( 2 mănuşi + 2 ghete ) imediat unui copil i le-a dat. I-au rămas 52 de obiecte ( 56 – 4 ). Din nou pe 4 l-a scăzut, de data aceasta din 52, precum am văzut şi iar un copil fericit a fost făcut, adică pe aceste alte 4 obiecte imediat unui alt copil le-a dat. 48 de obiecte mai avea omul nostru acum şi din aceste 48 de obiecte rămase iar pe 4 l-a scăzut, pentru ca pe aceste alte 4 unui alt copil să i le dea şi tot aşa... pe 4 l-a tot scăzut până ce obiecte nu a mai avut. Cum spuneam, de fiecare dată când pe un 4 îl scădea, pe

132

acele 4 unui copil i le dădea şi astfel fericit îl făcea. Tu, băiat isteţ şi tu, fată, nu cumva este aceasta o scădere re-petată ? Ba chiar aşa, spuneţi tare fără a fi temători, 4 a fost scăzut de un număr de ori, din 56 mai întâi, apoi din ce-i mai rămânea după ce 4 se scădea şi tot aşa până ce obiecte deloc nu mai avea. La început omul nostru ce ştia ? Că 56 de obiecte avea şi că tot câte 4 din ele va scădea, pentru ca la câte un copil să le dea. Omul îşi punea şi-o întrebare: « La câţi copii îmi vor ajunge obiectele, oare ? »

56 – 4 = 52 ( 1 copil fericit ) 52 – 4 = 48 ( 2 copii fericiţi ) 48 – 4 = 44 ( 3 copii fericiţi ) 44 – 4 = 40 ( 4 copii fericiţi ) 40 – 4 = 36 ( 5 copii fericiţi ) 36 – 4 = 32 ( 6 copii fericiţi ) 32 – 4 = 28 ( 7 copii fericiţi ) 28 – 4 = 24 ( 8 copii fericiţi ) 24 – 4 = 20 ( 9 copii fericiţi ) 20 – 4 = 16 (10 copii fericiţi)

133

16 – 4 = 12 (11 copii fericiţi) 12 – 4 = 8 (12 copii fericiţi) 8 – 4 = 4 (13 copii fericiţi) 4 – 4 = 0 (14 copii fericiţi)

Ce observăm ? De fiecare dată când 4 se scădea din sac, se făcea fericit câte un copil sărac, căci la fiecare scădere ( a lui 4 ), repet, la fiecare scădere, câte un copil primea mica avere – cele 4 obiecte atunci din sac ridicate şi lui înmânate de omul plin de bunătate. De aceea putem spune, pe drept cu-vânt, câte scăderi s-au făcut, atâţia copii cado-risi ţi sunt, 14! ( i-a cadorisit, adică un cadou le-a dăruit ). Iată, am aflat răspunsul la a omului întrebare. Dacă 56 de obiecte are şi dă câte 4 obiecte la un co-pil, obiectele îi vor ajunge, să ştii, doar pentru 14 copii. Deci 56 : 14 copii = 4 obiecte la fiecare

56 : 14 = 4

Acum putem spune, copii silitori, că 4 se cuprinde, „in-tră“ în 56 de 14 ori. Desigur, deşi gândul său bun fusese îm-plinit, omul dăruind la 14 copii ceea ce avea de dăruit, era trist un pic pentru copiii care nu primiseră nimic. Vă spuse-sem că numărul de copii era mare în acel ghetou, iar el nu avea chiar pentru toţi copiii câte un cadou. A făcut totuşi şi pentru ceilalţi copii ceva, le-a făcut publicitate îndemnând oamenii bogaţi să facă acte de caritate. Dacă ce înseamnă caritate tu nu ai habar, te rog, caută în dicţionar!

134

După ce a făcut această faptă bună, omul nostru pe hârtie s-a gândit să pună nişte desene sub formă de scheme, să vadă dacă nu cumva la mai mulţi copii obiecte putea da. Pentru ca prea mult să nu deseneze, s-a gândit astfel să schematizeze. În locul unui obiect pe care l-a făcut cadou unui copil din ghetou, a desenat mare o bilă de neagră cu-loare. Aşadar iată-i pe cei 14 copii, fiecare fiind fericit, deoarece fiecare câte 4 obiecte folositoare a primit. Mai fac o precizare şi repet încă o dată, ca să ştii, acel ghetou era plin de copii. Cum spuneam, dând câte 4 la fiecare, obiectele nu au ajuns, din păcate, la băieţii toţi şi la fetiţele toate. Înainte de a se apuca unui copil de dăruit, se uita şi omul nos-tru să vadă care era mai necăjit.

135

Apoi omul nostru s-a gândit să privească la cele 56 de obiecte schematizate... dintr-o parte. Din stânga, şi-şi ima-gina că acolo 4 copii s-ar afla. Atunci, negreşit, dacă pe cele 56 de obiecte la cei 4 copii le-ar fi împăr ţit , după cum se vede şi din desen clar şi mare, 14 obiecte ar fi primit fie-care.

Deci 56 de obiecte : 4 copii = 14 obiecte la fiecare

Atunci omul a înţeles că aşa cum procedase el a fost cel mai bine şi cred că acest fapt e clar şi pen-tru tine. Aşadar este mai bine ca mai mulţi copii ( 14 copii ) să primească mai puţine obiecte ( 4 ) care să le folosească, decât să împarţi toate obiec-tele la mai puţini copii ( la 4 copii ) şi fiecare să primească mai multe obiecte care să le prisosească ( 14 obiecte la fiecare ar fi fost, desigur, un număr prea mare ).

136

Aşadar şi 56 : 4 = 14

Deci şi 14 se cuprinde, „ intră “ în 56 de 4 ori. Pentru că omul nostru dorea să facă fericiţi pe cât mai mulţi copii, desigur, nu a dat câte 14 obiecte la fiecare din 4 copii, nu astfel a procedat, dar noi ceva am mai învăţat.

56 : 14 = 4 56 : 4 = 14

Ei, dar aici se întâmplă ceva de care Lenevel era fascinat şi interesat, iar acel ceva trebuie să vă intereseze şi pe voi, neapărat! Lenevel a observat că atunci când locul de obser-vaţie îşi muta, ceva interesant se întâmpla! Iată despre ce-i vorba! 12 nuci a adunat şi le-a aşezat ordonat. Nucile l-au ascultat şi nici una din locul ei nu s-a mutat. Desigur, îi şi convenea să ordoneze aşa ceva, deoarece uşor se mişca. Fiţi atenţi, imediat vă voi arăta cum le-a aşezat.

137

Prima dată din faţă pe nuci le-a privit şi şi-a închipuit în imaginaţia sa că 4 veveriţe ar avea. De ce ? Pentru că 4 co-loane de nuci el vedea! De acolo, din spatele lui şi tu poţi să priveşti, de vrei, vei vedea 4 coloane în ordonată aşezare de câte 3. De câte 3 nuci fiecare, atenţie mare! Atunci Lene-vel şi-a zis : «Păi, dacă-i aşa, la 4 veveriţe le pot da!» Deci dacă pe toate cele 12 nuci la 4 veveriţe le-ar fi împărţit, fie-care veveriţă câte 3 nuci ar fi primit! Normal, toate în mod egal, ca să nu iasă scandal! A doua oară, fără să schimbe nimic din felul cum pe nuci le-a aranjat, în stânga nucilor el s-a mutat.

138

Din acel loc, pentru că 3 coloane de nuci ochii săi ve-deau, şi-a imaginat că 3 veveriţe acolo îl aşteptau! Fiecare veveriţă atunci ar fi primit 4 nuci! Deci

12 : 3 = 4

dar şi

12 : 4 = 3

Cum ar veni, împăr ţitorul şi câtul de la o împărţire, dragii mei, îşi pot schimba locurile între ei. Atunci, fiţi pe fază, egalitatea se păstrează! Priviţi, alte exemple v-am adus, ca să demonstrez ce-am spus.

139

45 : 5 = 9 30 : 5 = 6 24 : 3 = 8 20 : 5 = 4 45 : 9 = 5 30 : 6 = 5 24 : 8 = 3 20 : 4 = 5

Aceste informaţii te vor ajuta foarte tare la a câ-tului sau a împăr ţitorului aflare.

40 : n = 10 32 : a = 4 n = 40 : 10 a = 32 : 4 n = 4 a = 8

Aflarea deîmpăr ţitului când se cunoaşte împăr ţitorul şi câtul

Fiţi atenţi, ca să vedeţi cum Lenevel a socotit, ca să-l afle pe deîmpăr ţit . Ştia că a împărţit mere la 4 copii şi după ce le-a împărţit fiecare câte 2 mere a primit. Astfel a dat toa-te merele pe care le-a avut. «Măi, dar câte am avut la înce-put?» Lenevel se întreba, căci memoria îl cam lăsa. Ceea ce a făcut şi ceea ce se întreba el poate fi arătat scriind mai ... puţintel.

x : 4 = 2

140

Păi, după ce am făcut acest desen, e simplu acum de vă-zut câte mere avea la început Lenevel cel iubit care pe toate merele şi le-a împărţit. 4 × 2 = 8 mere avea Lenevel cel iubit înainte de a se apu-ca de împărţit.

Dacă x : 4 = 2, atunci x = 4 × 2

deci x = 8 Bine, dacă în loc de 4 × 2 vrei să scrii 2 × 4, nu mă de-ranjează, egalitatea se păstrează!

141

Aflarea factorului necunoscut când se cunoaşte produsul şi celălalt factor

Când într-un magazin a intrat, un antrenor a fost fascinat de mingile de fotbal arătoase, spaima portarilor când intră-n plase. Din banii pe care de la micii lui fotbalişti i-a adunat, 4 mingi a comandat. Toate acestea 20 de euro l-au costat. De-oarece prea mult i s-a părut, s-a întrebat tăcut : «Măi frăţi-oare, dar cât costă o minge de fotbal, oare ?»

Ceea ce a făcut şi ceea ce s-a întrebat el poate fi arătat printr-un exerciţiu scriind puţintel.

4 × ? euro = 20 de euro

Nu multă vreme după ce s-a întrebat, a zâmbit luminat. «Măi, să ştii că e ca şi cum aş împărţi 20 de euro la 4 copii. E ca şi cum aş vrea să ştiu, că am nevoie mare, cât primeşte fiecare. » Deci factorul necunoscut = 20 : 4 = 5 euro Deci o minge costă 5 euro.

142

Aşadar dacă 4 × e = 20 atunci e = 20 : 4 deci e = 5 Ei, dar ceea ce nu ştiţi voi este că Lenevel l-a privit pe antrenorul acesta şi l-a spionat la calculat, pentru că şi el avea un exerciţiu asemănător de rezolvat.

a × 5 = 45

Aşadar, de câte ori să-l ia pe 5, ca să-i dea 45 ? Această situaţie l-a cam enervat şi atunci pe locul facto-rilor el a schimbat, ca să se poată apuca de desenat. Precizez că schimbând ordinea factorilor, cu nimic pe noi nu ne de-ranjează, deoarece egalitatea se păstrează! Dacă a × 5 = 45 atunci şi 5× a = 45 pentru că a × 5 = 5 × a Probabil vă întrebaţi ce l-o fi apucat, astfel încât pe locul factorilor l-a schimbat. Păi 5×a = de 5 ori a şi astfel Lenevel a aflat de câte ori factorul necunoscut este repetat. Vreau să vă spun că de aşa ceva Lenevel era interesat, căci imediat s-a apucat de desenat.

143

« Măi, zicea Lenevel privind la mâna sa, aşa da, acum ştiu cum să-l aflu pe a! » E ca şi cum 45 de obiecte aş avea şi pe toate le-aş da, le-aş împărţi la 5 copii fiecăruia în mod egal, ca să nu iasă scandal. Câte obiecte aş da la fiecare ? Păi, ca

144

să răspund la această întrebare, fiţi atenţi, vă dau de ştire, vom face o împărţire!

Deci a = 45 : 5 = 9

Aşadar, dacă a × 5 = 45 atunci a = 45 : 5 deci a = 9

sau dacă 5 × a = 45 atunci a = 45 : 5 deci a = 9 Aşadar, când la un exerciţiu de înmulţire cu doi factori cunoşti doar pe un factor şi pe al lor produs, celălalt factor se află, cum am spus dându-vă de ştire, prin împărţire. Fac-torul necunoscut se află prin împărţirea produsului la cole-gul lui, la celălalt factor ştiut, deci care este cunoscut. Te salut!

145

Împăr ţirea cu rest

Motanul Miorlau prinsese 9 şoricei şi dorea să-i împartă celor doi motănei pui, pisoii lui. Normal, ştia şi el că trebuie să îi împartă pe toţi şoriceii în mod egal, pentru ca între pisoiaşi să nu iasă scandal.

9 : 2 = 9 – 2 = 7 ( 1 şoricel la fiecare motănel )

7 – 2 = 5 ( 2 şoricei are fiecare din motănei ) 5 – 2 = 3 ( 3 şoricei are fiecare din motănei ) 3 – 2 = 1 ( 4 şoricei are fiecare din motănei )

Deci 9 : 2 = 4 rest 1 Bine, bine, zic eu ceea ce zic, dar imediat o să şi explic. După cum vedeţi şi voi, motanul Miorlau din 9 şoricei a tot scăzut câte 2 şoricei, pentru că avea 2 motănei. Păi pe 2 din 9, de câte ori l-a scăzut ? Păi de câte ori s-a putut. Dacă stai şi tu să socoţi, vei vedea că de 4 ori poţi. Cu alte cuvinte, vă spun eu vouă, de 4 ori se cuprinde 2 în 9. Poate te întrebi acum uimit de ce pe şoricelul rămas, 1, Miorlau nu l-a îm-părţit. Dar mai putea acum Miorlau, oare, să mai dea câte 1 şoricel întreg la fiecare? Desigur, nu! Dacă mai ai 1 şori-cel, nu ai cum acum, din el să faci 2 şoricei întregi! Înţe-legi? Aşa a zis şi Miorlau: «Din acest 1, nu mai scad, nu mai împart, nu mai dau. El e restul împărţirii. Miau!» Încă un exemplu am să mai dau, de data acesta fără «Miau!» Avea 17 mere bunicul Andrei şi dorea să le împartă la ai lui nepoţei, cei 3. Câte mere, oare, a primit fiecare?

17 : 3 = 17 – 3 = 14 ( 1 măr la fiecare nepot )

14 – 3 = 11 ( 2 mere are acum fiecare ) 11 – 3 = 8 ( 3 mere are acum fiecare )

146

8 – 3 = 5 ( 4 mere are acum fiecare ) 5 – 3 = 2 ( 5 mere are acum fiecare )

Deci 17 : 3 = 5 rest 2 După cum vedeţi şi voi, la ultima scădere restul este 2. Dar ce este cu acest rest la împărţire, oare? De ce apare el atunci când apare? Poate-ţi mai stă pe buze o întrebare. Ce mi s-a năzărit, astfel încât la scăderea 5 – 3 = 2 m-am oprit? Cu alte cuvinte te interesează de ce alte scăderi nu se mai efectuează. Păi acest bunic despre care eu vă zic, nu cumva trebuia să împartă tot ce avea? Că parcă eu aşa v-am învăţat, că se împarte tot şi în mod egal, neapărat! De unde a apărut acest bunic, oare, care nu împarte tot ce are (17 mere)? El e mai isteţel, de opreşte 2 mere pentru el ?

Acum am să vă explic Cum e cu acest bunic!

Dragi copii, fiţi atenţi un pic la ceea ce vă zic, eu vă rog să-l înţelegeţi pe acest bunic cu privire la împărţirea lui, vă rog frumos, deoarece a avut un motiv serios. După cum vezi mata, bunicul în plasă pe mână şi-o tot băga şi tot câte 3 mere scotea. Scădea fix câte 3, dragii mei, pentru că avea 3 nepoţei, iar la fiecare scădere a lui 3, bunicul, bunul, dă-dea la fiecare nepoţel câte 1. Deci la o scădere a lui 3, fie-care nepoţel primea 1 măr, dragii mei. Pentru că din 17, acest 3 de 5 ori s-a scăzut, s-a luat, fiecare nepoţel cu câte 5 mere a fost încântat. Mai spunem noi, adeseori, că 3 se cu-prinde în 17 de 5 ori. Buuun! Totuşi acum, de ce a făcut astfel acest bunel? De ce opreşte 2 mere pentru el? Cu alte cuvinte, măi bunicule, măi bunelule, la nepoţii tăi, cei 3, de ce nu dai toate merele pe care le ai ?

147

Dacă a ta minte a muncit, ţi-ai dat seama că bunicul nu e zgârcit! Fiţi atenţi toţi. Bunicul mai avea 2 mere şi 3 nepoţi! Păi spuneţi voi, mai putea bunicul, bunul, să dea la fiecare nepot câte 1 ? Nu mai putea acest bunic să dea la fiecare ne-pot câte 1 măr întreg, vreau să zic. Când pe acest adevăr l-a înţeles, bunicul nu a avut de ales. Negreşit, cu scăderile s-a oprit . Acum cred că aţi înţeles, dar poate că o altă întrebare vă dă ghes. Bine, pe bunic l-ai înţeles, dar tu poate un alt drum ai fi ales. Tu, fiind la minte ascuţit, poate te-ai gândit la un ...cuţit. Poate, gândeşti cu mintea ta să le tai pe cele 2 mere pe care bunicul le mai avea. Te-ai putea gândi că după ce le tai în bucăţi mai mici pe cele 2 mere rămase, să le îm-parţi o să poţi la cei 3 nepoţi. La fel te poţi gândi că ar putea face şi motanul Miorlau, motanul cuminte din exemplul de dinainte. Fiţi atenţi la ceea ce vă spun eu vouă. Miorlau putea să-l taie-n două pe şori-celul ce i-a mai rămas. Era vorba de acel şoricel mic, mo-dest, ce-i rămăsese ca rest. Putea să-l taie-n două, căci îl avea şi câte o jumătate fiecărui pui să dea. Dar fii atent ma-ta, nu ai voie să faci aşa ceva! Atenţie, îţi zic şi-ţi şi explic. Când despre împărţire prima dată am vorbit, îţi spuneam că tot ceea ce avem noi împărţim şi în mod egal distribuim. Şi acuma tot aşa zic, nu mă contrazic, chiar dacă restul ce mi-a rămas deoparte nu se mai împarte. Desigur, şi pe acest rest să-l împarţi ai putea, dacă ai vrea. Dar, atenţie! Pentru ca pe acest rămas rest să poţi să-l împarţi, să-l distribui, să-l dai, trebuie să-l tai!!! Pe al explicaţiei drum am ajuns acum să vă spun, cu siguranţă, o informaţie de o mare im-portanţă! Luaţi aminte! Cu alte cuvinte, oricât de multe obiecte întregi de împăr ţit ai, pe niciunul nu poţi să-l rupi, să-l tai! Le dai aşa cum le ai, înţelegi ? ÎNTREGI!

148

Deci facem împăr ţirea prin scăderi repetate (cât se poate) şi nu prin obiecte tăiate! De aceea şi bunicul, şi motanul Miorlau nu au tăiat pe nici un obiect pe care îl aveau. De altfel, ia spune tu ce e restul sau diferenţa, ca să arăţi că-n minte ai a memoriei şi a înţelegerii putere. E chiar rezultatul operaţiei de scădere. Nu uita, scădere! Scădere!!! Împăr ţire prin repetată scădere, nu prin a vreunui obiect tăiere!!! De aceea pe rest îl oprim şi nu-l mai împărţim. Pentru ca şi pe obiectele rămase ca rest să le împarţi, să le dai, ar trebui să le tai. Dar noi facem această împărţire prin scăderi repetate, atât cât se poate, nu prin obiecte tăiate! Să ai sănătate!

Proba împăr ţirii cu rest – relaţia dintre deîmpăr ţit, împăr ţitor, cât şi rest – condiţia

restului

Să ne întoarcem puţin, dragii mei, la împărţirea merelor de către bunicul Andrei pentru ai lui 3 nepoţei.

17 : 3 =

Aceasta era împărţirea pe care bunicul o avea de efec-tuat, adică avea de aflat un cât şi un rest numaidecât. După ce a calculat scăzându-l repetat pe 3 ( revedeţi scăderile, dragii mei, ), bunicul a concluzionat, adică a terminat ceea ce avea de calculat.

17 : 3 = 5 rest 2

149

După ce pe împărţire a efectuat, bunicul s-a întrebat: «Măi, e-adevărat, eu sunt un om deştept, dar oare am împărţit corect?» Şi-uite-aşa această întrebare îl cam chi-nuia. Deoarece această întrebare îl chinuia cam tare, s-a gândit să facă o probă, o verificare. Imediat vă voi explica cum a procedat, dar mai am ceva important de precizat. Atenţie mare la numerele următoare: 17, 3, 5 şi 2. Sunt nişte numere, precum ştiţi şi voi. Dar pentru că aici, la noi, fac parte dintr-un exerciţiu cu operaţia de împărţire, mai are fie-care câte-o denumire. 17 şi 3 sunt termenii împărţirii, dragii mei. Să-ţi aminteşti, negreşit, că 17 este numărul care se împarte numit deîmpăr ţit ( d ), iar 3, dragii mei, se vede şi de departe este numărul la care se împarte. Ştii cum se nu-meşte numărul la care se împarte, căci eşti cunoscător. 3 se numeşte împăr ţitor ( î ). Dacă deîmpărţitul la împărţitor nu s-ar împărţi, nici câtul ( 5 ) şi restul ( 2 ) n-ar mai fi! După cum am relatat, bunicul cu 17 mere de împărţit la 3 nepoţi s-a apucat. Deci înainte de a da, 17 mere el avea. După împărţire, ştiţi toţi, 5 mere avea fiecare din cei 3 ne-poţi, iar 2 mere rămăseseră ca rest la el, la bunel.

Deci 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17

Atunci bunicul a zâmbit satisfăcut, căci a obţinut câte mere avea la început. Dar degeaba el s-ar fi bucurat dacă restul ( 2 ) n-ar fi fost mai mic decât împărţitorul 3, neapă-rat! De altfel la orice împărţire corect efectuată, restul ( r ) e mai mic decât împăr ţitorul ( î ) . Iată! Nu doar zic ceea ce zic, ci îţi mai şi explic! ● Dacă restul, cu împărţitorul ar fi fost egal, între nepoţi şi bunic ar fi ieşit un mic ... scandal. Având de împărţit ceea

150

ce avea la 3, dacă i-ar fi rămas rest mere în număr de 3, bu-nicul se făcea de ruşine, dragii mei. Păi cum putea el să nu-mească rest pe merele rămase, cele 3, când din ele, bunul mai putea să dea la fiecare din cei 3 nepoţi câte unul ? Deci se vede imediat că restul 3, egal cu împărţitorul 3, nu e un rest adevărat! ● Dacă restul ar fi fost mai mare decât împărţitorul 3 care este numărul acelor nepoţei, înseamnă clar, evident ca lumina zilei că mai poţi să mai dai câte 1 măr (chiar mai multe mere să dai mai poţi) la fiecare din cei 3 nepoţi! Deci la fiecare din cei 3 nepoţi mai poţi în mod egal mere să le dai, deci cu scăderea repetată a lui 3 mai ai de continuat, deci nici restul acesta mai mare decât împărţitorul nu e un rest adevărat! ☺ După ce tot câte 3 a luat de unde avea şi la fiecare scădere a lui 3 câte 1 măr la fiecare nepot bunicul a tot dat, la un moment dat, restul, tot micşorat cu încetişorul, ( şi cu scăzătorul! ) restul acesta ajunge să fie mai mic decât îm-păr ţitorul! Deci restul ajunge mai mic decât împărţitorul, adică mai mic decât numărul celor la care împarţi, dai ceea ce mai ai.

Deci r < î

Când restul ajunge să fie mai mic decât împărţitorul, de-cât numărul celor la care împarţi, nu se mai poate să mai efectuezi scăderile repetate, pentru că mai puţine obiecte ai decât numărul celor la care le dai!!! Adică, chiar dacă vrei tu, n-ai de unde obiecte să mai scoţi, nu mai poţi, fr ăţioare, să mai dai câte 1 la fiecare! E şi normal, deoarece împărţind, scăderi repetate efectuezi şi astfel pe mulţimea pe care o mai ai ţi-o tot micşorezi!!! De aceea ne-

151

voit eşti ca din scăderile repetate la un moment dat să te opreşti! Când ştii că acel moment a sosit, negreşit ? Spune tu acum, cunoscătorul, doar atunci când restul ajunge mai mic decât împăr ţitorul!

r < î

Îţi voi spune în continuare cum să faci a împărţirii veri-ficare. Vei lucra singurel, fără învăţător, fără vreun alt aju-tor. Să zicem că un deîmpărţit ( d ) se împarte la un împăr-ţitor ( î ).

d : î = Ştii ce se va întâmpla în continuare, dacă eşti atent. Vei afla un cât ( c ) şi un rest ( r ), evident!

d : î = c rest r

Dar după ce pe cât ( c ) şi pe rest ( r ) tu le-ai calculat, te chinuie o întrebare: « Am efectuat corect, oare ?» Vei răspunde la această întrebare nu printr-o solicitare la învăţător sau la învăţătoare, ci prin a împărţirii probă, verificare. Tu trebuie să mai calculezi oleacă şi să verifici dacă:

Deci după ce pe o împăr ţire corect ai efectuat, întot-deauna restul ( r ) este mai mic decât împăr ţitorul ( î ), neapărat! Dacă ai obţinut r = î sau r > î, repet, dacă ai obţinut aşa ceva, înseamnă că greşită este împăr ţirea ta!!!

d = c × î + r şi neapărat r < î

152

Dacă ai obţinut aşa ceva înseamnă că împăr ţirea e corect efectuată, da!!! Iată, în continuare o mică temă vă dau. Verificaţi dacă a fost motan deştept Miorlau! Verificaţi dacă a fost motan deştept şi dacă pe împărţirea 9 : 2 = a efectuat-o corect! Să vă bucuraţi că aţi înţeles vă aştept!

Împăr ţirea unei sume la un număr de o cifră diferit de 0

Lenevel a venit aducând acasă o plină plasă cu 86 micu-ţe bomboane de soi pentru frăţiorii săi, cei 2. Evident, dorea să le împartă pe toate celor 2, în mod egal, ca să nu iasă scandal. Eu vreau să vă spun, iată, că Lenevel auzise de scăderea repetată a termenilor egali, de a ei folosire pentru a efectua o împărţire.

86 : 2 = Când şi-a dat seama că multe scăderi sunt de efectuat, atunci s-a încruntat. Frământat, se gândea la ceva să inven-teze, astfel încât munca să-şi scurteze. Noroc de paranteze! A zâmbit luminat când s-a gândit la paranteze, deoarece au început ideile să-l viziteze. Iată cum a procedat micul băiat. Mai întâi a separat pe cele 86 de bomboane în faţa celor 2 fraţi ai săi. « Facem ordine! », spunea el, « ZECI deoparte, UNITĂŢI deoparte. Aşa fac oamenii ce ştiu carte!» Fraţii lui priveau şi nimic nu spuneau, doar îl urmăreau, ca nu cumva Lenevel să fenteze şi pe cantitatea de bomboane să le-o diminueze.

153

Apoi, pe rând, cu fiecare din aceste două grupe a pornit la împărţit.

Prima oară 80 : 2 = 8 zeci : 2 zeci = 4 zeci = 40 de bomboane la

fiecare frate

A doua oară 6 : 2 = 3 bomboane la fiecare frate Acum fiecare frate din cei doi are 40 de bomboane şi încă 3 bomboane. Nici unul nu a fost cu toane, căci au înţe-les ei în final că Lenevel le-a dat în mod egal!

154

Deci 86 : 2 = ( 80 + 6 ) : 2 = 80 : 2 + 6 : 2 = 40 + 3 = = 43 de bomboane la fiecare

Dacă-ţi arunci privirea pe exerciţiu cu viteză, vei vedea că 80 + 6 a fost scris în paranteză. De văzut sunt sigur că vezi, aşa e, dar poate te întrebi de ce. Aminteşte-ţi ce a făcut Lenevel cu toate cele 86 de bomboane. Aminteşte-ţi, nea-părat! În două grupe le-a separat ( una de 80 şi una de 6, pentru că de făcut atâtea scăderi repetate se săturase ). Deşi le-a separat, deocamdată de nici una fraţii lui nu s-au apro-piat. Doreau ei aşa ceva, dar deocamdată Lenevel nu-i lăsa, căci el intens gândea. Gândea cum s-o facă pe împărţire ... scurtată, ca să scape de scăderea repetată. Iar atunci când cei doi fraţi ai lui au întins mâinile lor spre bomboane, ca să ia, pentru că poftă le era, Lenevel pe cele două grupe în care fusese 86 separat le-a înconjurat şi cu mâinile sale le-a pro-tejat. Repet, nu pentru că Lenevel rău era şi bomboane nu voia să dea, ci pentru că el intens gândea cum să facă îm-părţirea corectă îndată fără scăderea repetată, adică mai ...scurtată! După aceea, după cum am văzut şi noi, a luat pe rând fiecare din cele două grupe şi le-a împăr ţit la 2. Atunci Lenevel şi-a dat seama că, pe hârtie, în loc ca pe braţele sale să le deseneze ( cum pe cele două grupe, de 80 şi de 6, încearcă să le protejeze ), va scrie mai puţin punând paran-teze. Şi uite-aşa micul băiat un nou procedeu de împărţire a inventat, procedeu mai ... scurtat, iată, decât scăderea repe-tată! Practic, cele două paranteze îţi amintesc de braţele lui Lenevel ce încerca să le protejeze pe cele două grupe în care pe 86 îl separase, una de 80 şi una de 6.

155

Cine-i atent să realizeze că bine a făcut Lenevel când s-a apucat pe acest procedeu să-l inventeze şi munca tuturor să ne-o scurteze! Dacă prin scăderea repetată calculai câte primeşte fiecare, 43 de scăderi scriai, frăţioare! Noroc că Lenevel a inventat un procedeu de calcul mai ... scurtat! Şi pentru că nu era mulţumit pe deplin, s-a hotărât să scrie şi mai puţin!!!

86 : 2 = 43 8 =6 6 = Etape Cum gândesc Ce scriu

1. Pe pagină, pe exerciţiul de îm-părţire îl aşezăm şi ne reamin-tim ce vrem să aflăm, numai-decât! Pe cât!

86 : 2 =

156

2. Dacă aş şti de câte ori se cu-prinde 2 în 86, acest calcul fără de rost ar fi, căci pe cât l-aş şti. Atenţie, o să vedem de câte ori se cuprinde, încape 2, iată, nu deodată în 86, dragii mei şi dragele mele, ci pe rând, pe bucăţele, de la stânga la dreapta zic, de la mare la mic, pe rând în fiecare din cele două grupe în care Lenevel îl separase pe 86. Scriu un semn pitic între cifra 8 ( zecile cu putere mai mare ) şi cifra 6, unităţile de câte 1, frăţioare. În felul acesta pe 86 îl separăm şi noi niţel, aşa cum procedase şi Lenevel.

8΄6 : 2 =

3. Pe semnul mic l-am scris ca să vedem cuprinderea lui 2, pe rând, cum am zis, în ceea ce arată aceste două cifre, măi ta-tă. Iată, prima dată mă întreb, că mintea ta s-a copt, de câte ori intră, încape 2 în 8 ? Răs-punsul va fi scris la locul lui, pe locul câtului. Atenţie, să nu fii păcălit! Cifra 8 arată 8 grupe de câte 10 şi ceva asemănător şi cu 4 se va petrece! 4 de la cât arată 4 grupe de câte 10.

8΄6 : 2 = 4

4. Deşi întrebarea a fost uşoară ta-re, facem o verificare. Iată, în-

157

tr-adevăr, nu mai fiţi întrebă-tori, fiţi zâmbitori, mintea vi s-a copt, 4×2=8, deci 2 sigur se cuprinde, „intră“ în 8 fix de 4 ori, zic, căci la scăderea pe verticală, de sus în jos nu a mai rămas nimic! Am marcat al scăderii final scriind în loc de 0 semnul egal. Atenţie din nou, iată, la ceea ce fiecare cifră ara-tă! Spuneţi tare, nu fiţi temă-tori, 2 încape în 80 de 40 de ori! La cât, cifra 4 este bine pusă în casa sa care e de fapt casa lor, a ZECILOR. Aici cifra 4 nu arată ca în alte dăţi, unităţi.

8΄6 : 2 = 4 8 =

5. Atenţia să nu te lase, a doua oa-ră mă întreb de câte ori se cu-prinde, „intră“ 2 în 6 ? Ca să nu fiu în încurcătură târât, pe 6 mai jos l-am coborât. L-am coborât, l-am luat deoparte, ca să-l văd mai bine, să văd de câte ori pe 2 în burta lui îl poate ţine. De asemenea, a lui 6 coborâre îmi va fi folositoare şi pentru veri-ficare.

8΄6 : 2 = 4 8 = 6

6. Dar să nu fim prea mult gândi-tori! 2 încape, se cuprinde, „intră“ în 6 de 3 ori. Dac-am zis, să fie scris! Dar unde-l scriem, dragii mei, pe 3? La lo-

8́ 6 : 2 = 43 8 = 6

158

cul lui, pe locul câtului, lângă 4 aflat pe locul ZECILOR dinain-te şi care le aştepta pe aceste 3 UNITĂŢI cuminte.

7. Fiţi zâmbitori! Verificarea ne arată că 2 încape, se cuprinde, „intră“ în 6, cu adevărat de 3 ori! 3×2 = 6, neapărat, iar noi pe calculul în scris l-am termi-nat! Pe verticală, de sus în jos, să ai în vedere că am făcut scădere! ( 6 – 6, la fel ca la 8 – 8 ). Sub scăderi, egalul, vrau să zic, înseamnă nimic. Deci 86:2 = 43. Sper că aţi înţeles, dragii mei! Acum chiar că nu aveţi motiv să fiţi întrebători. Cu si-guranţă, 2 se cuprinde, încape, „intră“ în 86 de 43 de ori! De fapt noi cu această împăr-ţire am terminat. Vreau însă să vă arăt ce s-ar fi întâmplat dacă Lenevel 87 de bomboane ar fi avut. Să facă aceeaşi împărţire la 2 ar mai fi putut ? Păi, evi-dent, da, iar lui una îi mai ră-mânea. Pe aceea pentru el o ţinea, căci, normal, acum nu mai putea să dea câte una la fie-care în mod egal. Deci 87: 2 = 43 rest 1 Acest 1 rămas e mai mic decât

8́ 6 : 2 = 43 8 = 6 6 =

8́ 7 : 2 = 43 8 = 7 6 1

159

2, deci nu mai poţi să dai câte 1 la fiecare din cei 2, sper că este clar şi pentru voi!

În continuare urmează o prezentare a unui alt exemplu cu o sumă care se împarte precis la un număr ce cu o singură cifră este scris. O mamă avea 27 de mere roşii şi galbene ( 21 de mere erau roşii la culoare şi 6 erau gălbioare ). Pe cele 27 de mere dorea să le împartă, să ştii, la ai săi 3 copii. Într-un minut am să-ţi explic cum a făcut. Desigur, tu, băiete şi tu, fată, mama putea să le împartă deodată :

27 : 3 = 9 mere la fiecare copil Fii însă atent niţel, ca să vezi că a făcut altfel. A împărţit la cei 3 copii mai întâi pe merele roşioare şi apoi pe merele gălbioare. Se temea să nu iasă scandal de la culoare!

27 : 3 = ( 21 de mere roşii + 6 mere galbene ) : 3 = = 21 de mere roşii : 3 + 6 mere galbene : 3 =

= 7 mere roşii + 2 mere galbene = 9 mere la fiecare

Deci 27 : 3 = ( 21+ 6) : 3 = 21 : 3 + 6 : 3 = = 7+ 2 = 9 Pentru ca să arătaţi că TOATĂ suma se împarte la 3, o veţi scrie între paranteze, dragii mei.

( 21+ 6) : 3 = Acum, dacă pe acest exerciţiu îţi arunci a ta privire, vei vedea că este vorba de fapt despre o împărţire. La această împărţire deîmpărţitul este o sumă ( 21 + 6 ), iar împăr-ţitorul este 3, dragii mei!

160

Dacă nu scrieţi paranteza, dragii mei, doar 6 se îm-parte la 3!!!

21+ 6 : 3 = 21 + 2 = 23 Atenţie, să nu cazi în eroare, fără paranteză acest exer-ciţiu este o adunare. La această adunare primul termen este 21, iar al doilea termen pot să vă dau de ştire că este scris sub formă de împărţire 6 : 3. Al doilea termen al adunării va apărea numaidecât după ce afli al împărţirii cât ( 2 ).

Ordinea efectuării operaţiilor matematice în exerciţii

Dragi copii zglobii, după cum ştiţi, deoarece aţi învăţat, până acum la matematică 4 operaţii aţi studiat. Dacă vă spun de adunare şi scădere, de înmulţire şi împărţire, nimic nou nu vă dau de ştire. Aţi auzit de ele, desigur, sunt sigur! Fiţi însă atenţi la ceea ce vă spun vouă. Între aceste patru ope-raţii e vorba de fapt de două! E vorba de adunare şi de scă-dere! O explicaţie mi se cere? Chiar aşa, imediat voi expli-ca! Înmulţirea e tot o adunare, o adunare repetată de ter-meni egali între ei, dragii mei. Împărţirea este de fapt o scă-dere, o scădere repetată a aceluiaşi număr dintr-o mulţime de unde ai/n-ai, ca să ai/n-ai ce să dai. De altfel, atenţie, vă dau de ştire că fără adunare şi scădere nu există înmulţire şi împărţire!!! În schimb adunarea şi scăderea, da, fără în-mulţire şi împărţire pot exista! Păi dacă ai aflat tu aceste in-formaţii acum mergând pe al cunoaşterii drum, ia spune tu, atenţia mea mai întâi unde se va orienta? La cine este normal să fiu atent mai întâi, oare? Desigur, la scădere şi adunare! Bine, dacă vrei să le zici invers, pentru că aşa ai plăcere, zi-le! La adunare şi la scădere se va orienta mai în-tâi atenţia mea! Amândouă sunt interesante şi sunt la fel de

161

importante. Deci fiţi atenţi toţi laolaltă! Nu e una şefă peste cealaltă! Chiar şi la şcoală, spre ele mai întâi ne-am orientat, pe ele mai întâi le-am studiat ordonat, din motivul mai înainte precizat. De aceea pe scădere şi pe adunare le vom numi operaţii de ordinul I, frăţioare. Apoi spre celelalte operaţii, ne-am orientat tot ordonat atenţia noastră. Hai să le numim operaţii de pe locul doi, dacă doriţi dumneavoastră. Eu zic să facem astfel nu pentru că vorbesc eu aşa, într-o doară, ci pentru că atenţia noastră a căzut pe ele a doua oară! Deci a doua oară, după cum am dat de ştire, ne-am orientat ordonat atenţia spre înmulţire şi împărţire! Aceste informaţii fiind acum ştiute de voi, aflaţi că înmulţirea şi împărţirea sunt operaţii de ordinul II. Atenţie iarăşi toţi laolaltă. Nici aici nu e una şefă peste cealaltă! Acum voi repeta ceea ce v-am spus deja, pentru că infor-maţia înseamnă putere. Fără adunare şi scădere, după cum vă dădeam de ştire, nu există înmulţire şi împăr ţire. De aceea spunem că adunarea şi scăderea sunt operaţii de ordi-nul I, iar înmulţirea şi împărţirea, spunem tot noi, sunt ope-raţii de ordinul II. Poate acum te vei întreba : « Bine, bine, şi ce mă intere-sează pe mine aşa ceva ? » Păi, elevii ce doresc să fie foarte buni, adică au mari ambiţii, trebuie să ştie să rezolve tot felul de exerciţii. Iar pe exerciţii, înainte să le rezolvaţi, cu mare atenţie trebuie să le studiaţi! Când veţi privi un exer-ciţiu, prima dată să observaţi cu atenţie mare ce operaţii ma-tematice are. În funcţie de ceea ce veţi observa eu în conti-nuare vă voi informa cum veţi proceda.

1) Dacă exerciţiile întâlnite de tine cu operaţii de acelaşi ordin sunt pline, ( I sau II, ori şi I şi II ) , iar în exerciţiul mai mic sau mai mare nici o paranteză

162

nu apare, le vei efectua pe operaţii mata de la stânga la dreapta. Îţi dau şi câteva exemple în continuare, ca să nu cazi în eroare. Numai dacă exerciţiul are doar adunări sau doar înmulţiri, să le efectuaţi puteţi în ce ordine vreţi!

20 + 15 – 8 – 4 = = 35 – 8 – 4 = 27 – 4 = 23 16 × 4 : 2 = = 64 : 2 = 32 2) Ce facem dacă într-un exerciţiu fără paranteze ele-

vii trebuie să efectueze atât operaţii de ordinul I (adunări şi scăderi sau doar adunări ori doar scăderi), cât şi operaţii de ordinul II ( înmulţiri şi împărţiri sau doar înmulţiri ori doar împărţiri ) ? Mai întâi vom în-cepe să efectuăm noi operaţiile de ordinul II, dar nu pentru că ar fi ele mai importante, mai interesante. Vom începe să efectuăm noi mai întâi operaţiile de ordinul II, deoarece în locul lor trebuie să apară nu-maidecât un produs sau un cât! Procedând astfel noi de fapt efectuăm mai întâi adunările şi scăde-rile repetate care se ascund în spatele lor, al înmul-ţirilor şi al împărţirilor. După aceea pe acel produs

163

sau cât îl vom aduna sau îl vom scădea ori din el vom scădea ceva, vom vedea.

Totuşi eu socot că nu ar fi bine să lucrezi ca un robot. Sper mai ales că voi aţi înţeles de ce în această ordine efec-tuăm noi, mai întâi pe operaţiile de ordinul II. Chiar aşa, o explicaţie suplimentară n-ar strica. Haideţi să studiem serios pe exerciţiul scris mai jos :

1 + 2 × 6 + 8 + 100 : 4 – 1 = Dacă nu ar fi în efectuare această ordine riguroasă chiar de la început ai putea lua plasă, ba chiar mai multe plase. Păi cine se înmulţeşte cu 6 ? Spuneţi voi, 2 sau 1 + 2 ? Aşa cum este scris acum exerciţiul e clar că 2 se înmulţeşte cu 6, iar tu vei efectua întâi pe înmulţire, ca să nu iei plasă, adică negreşit, să nu fii păcălit. Dacă am fi dorit să arătăm noi că se înmulţesc cu 6 aceşti (1 + 2), pe aceşti (1 + 2) i-am fi pus în viteză într-o paranteză. Dar pentru că în exerciţiul de mai sus nici o paranteză nu apare, nu ai de ce să efectuezi mai întâi pe operaţia de adunare! Atenţie mare! În continuare putem să ne mai punem o întrebare: « Cine se împarte la 4, oare ? » Dacă nu ar fi în efectuare această ordine călăuzitoare, luminătoare, ai putea fi în derută. Păi cine se împarte la 4, 100 sau 6 + 8 + 100 ? Aşa cum este scris exerciţiul nu e nici o derută, e clar că 100! Doar 100 se împarte la 4, este evident, vei greşi doar da-că nu vei fi atent! Dacă am fi dorit să arătăm că (6 + 8 + 100) se împarte la 4, am fi pus-o pe această adunare cu vite-ză într-o paranteză. Dar pentru că nici o paranteză nu apare, nu ai de ce să efectuezi mai întâi operaţia de adunare!

1 + 2 × 6 + 8 + 100 : 4 – 1 =

De aceea iar vă dau de ştire, efectuăm mai întâi opera-ţiile de înmulţire şi împărţire!

164

1 + 2 × 6 + 8 + 100 : 4 – 1 = = 1 + 12 + 8 + 25 – 1 = După ce înmulţirile şi împărţirile s-au efectuat, exerciţiul o nouă formă, o nouă scriere a luat. Rezultatul final va fi în-să neschimbat! Vom efectua apoi şi operaţiile de ordinul I, adunările şi scăderile care au rămas. Le vom efectua rând pe rând, pas cu pas, după cum deja ştii mata, de la stânga la dreapta.

1 + 2 × 6 + 8 + 100 : 4 – 1 = = 1 + 12 + 8 + 25 – 1 = = 13 + 8 + 25 – 1 = = 21 + 25 – 1 = = 46 – 1 = = 45

3) Dacă nu sunteţi atenţi, pot unele probleme să vă creeze situaţiile când în astfel de exerciţii apar şi pa-ranteze. Parantezele pot fi:

● mici sau rotunde ( ........... ) ● mari sau pătrate [………] ● acolade {………} 30 + 5×{32 : 8 + 2×[ 40 – 7×( 24 : 3 – 2×3)]}= Într-un exerciţiu ce conţine astfel de paranteze trebuie în

primul rând să ştiţi pe calcule de unde să le porniţi. De un-de? De la parantezele mici sau rotunde!

165

30 + 5×{32 : 8 + 2×[ 40 – 7×( 24 : 3 – 2×3)]}= = 30 + 5×{32 : 8 + 2×[ 40 – 7×( 8 – 6)]}= = 30 + 5×[32 : 8 + 2×( 40 – 7× 2)]= După ce pe calculele din parantezele mici le-ai efectuat,

iată ce s-a întâmplat. Parantezele pătrate se transformă în paranteze mici, iar acoladele puternice şi tari se transformă în paranteze pătrate sau mari. Pentru a vedea mai bine aşa ceva te sfătuiesc privirea puţin mai sus să-ţi treci un pic la stânga lui 40, cu atenţie mare în cele trei locuri unde apare. De asemenea, vă sfătuiesc pe voi să vă treceţi privirea puţin la stânga lui 32, tot cu atenţie mare şi tot în cele trei locuri unde apare.

Se va continua prin a efectua iar calculele din parante-zele mici şi tot aşa până ce fiecare paranteză va dispărea.

= 30 + 5×[32 : 8 + 2×( 40 – 7× 2)]= = 30 + 5×[32 : 8 + 2×( 40 – 14)]= = 30 + 5×( 32 : 8 + 2 × 26 )= = 30 + 5×( 4 + 52 )= = 30 + 5× 56 = = 30 + 280 = =310

166

Iată o schemă edificatoare, ca să vezi mai bine pe fie-care paranteză cum suferă o transformare până … dispare.

{ …….} […….] (…….) dispare Iată, poate fiecare această transformare a fiecărei paran-

teze până ce ea dispare prin a calculelor din ea efectuare, cam complicată ţi se pare. De aceea pe această transformare a parantezelor m-am gândit să ţi-o mai explic printr-o po-veste cu un pitic.

Un pitic dintr-o poveste, după ce săpase mult în pământ

strigă «Este!» Palmele începură să nu-l mai doară, deoarece găsise o comoară! Era vorba de ceva aur şi nişte bijuterii, să ştii. Dar nici bine nu apucase pe comoară a o dezgropa, că o frică cumplită îl scutura. Se temea că s-ar putea ca altcineva să dorească a-l prăda. De aceea în grabă iar de muncă s-a apucat şi unele măsuri a luat. Pe locul unde el pe comoară a descoperit, cu un gărduţ l-a împrejmuit. În jurul gărduţului a înălţat nişte pereţi de carton în grabă, că doar era pitic de ispravă, iar la urmă, pe furiş, a acoperit totul cu un acoperiş. După ce a acoperit totul cu un acoperiş de tablă, s-a mângâiat liniştit pe barbă.

Acum vă invit la privit obiectele de care piticul

s-a folosit pentru a împiedica pe altcineva ca pe a sa comoară să-i vizualizeze. Aceste obiecte seamă-nă cu nişte paranteze. Gărduţul este ca parantezele rotunde, pereţii sunt ca nişte paranteze pătrate, iar acoperişul seamănă cu nişte acolade late şi larg desfăşurate.

167

Cum vă spuneam, cu asemenea bariere pentru vedere ca

nişte paranteze, piticul era sigur că nimeni pe comoară n-o să i-o vizualizeze şi deci nici n-o să-l deranjeze.

168

Dar din senin, deodată vântul s-a pornit să bată. A bătut neîncetat până ce pe gărduţul din jurul comorii i l-a stricat, fiindcă nu era prea bine stabilizat, adică în pământ fixat. Şi pentru că vântul mai bătea şi cu putere mare, pe gărduţ i l-a cărat până-n zare, piticul neavând ce să facă decât să se uite la gărduţ cum ... pleacă. Desigur, nervos foarte tare era, căci gărduţ nu mai avea. Iată acum construcţia lui cum se pre-zenta.

169

Ei, dar piticul cu mâinile în sân n-a stat şi s-a revoltat. Voia gard neapărat! De aceea pe pereţii din carton i-a des-fiin ţat şi din ei gard a fabricat. Apoi, după ce pe furiş se sui-se pe acoperiş, a luat acel acoperiş din tablă şi a făcut din el, măi fetiţe şi băieţi, nişte pereţi!

Pentru noi, când pe paranteza rotundă vântul a furat (vi-

ne vorba, căci noi din ea pe calcule le-am efectuat şi de aceea s-a ... evaporat), paranteza pătrat ă locul i-a luat şi în paranteză rotundă s-a transformat, iar acolada s-a făcut îndată ...paranteză pătrat ă!

170

După cum se poate şi mai jos vedea construcţia piticului arăta acum aşa.

Nu după mult timp a trecut pe acolo un pădurar. Când pădurarul a văzut gardul de carton a început să râdă ca un bufon. Nu uitaţi că acest gard fusese făcut din ... pereţi, măi fetiţe şi băieţi, după ce prima dată pe gardul adevărat vântul l-a luat şi l-a cărat. Deoarece pădurarul considera că acel carton lui i se cuvenea, pe noul gard i l-a luat şi cu el a ple-cat. Piticul ascuns în groapă era şi de ciudă murea!

171

După ce pădurarul s-a îndepărtat, iar noi încă un calcul am mai efectuat, piticul din ascunzătoarea lui s-a ridicat şi iar pe culcuşul de la comoară şi-a modificat. Voia gard nea-părat! A privit neliniştit fără să se mai mângâie pe barbă când a văzut că rămăsese doar cu pereţii construiţi din aco-perişul de tablă. I-a stricat pe pereţii cu care mai rămăsese, pătraţi (pereţi care – amintiţi-vă – fuseseră construiţi pe furiş din acoperiş) şi modificându-l pe acoperiş a doua oară l-a făcut paranteză rotundă ... ăăă gărduţ rotund pentru comoară.

172

Astfel, de ochii oamenilor el mai bine îşi păzea pe aurul care strălucea. Acum chiar se bucura că s-a întâmplat aşa. Era sigur că nimeni de tablă nu se va apropia, fiindcă îndoită ca o paranteză rotundă era şi cam aplecată spre pământ stă-tea. Şi la urma urmei ce să facă cineva cu o tinichea? Căci de fapt aşa ceva era. Dar iată, altă dandana. Un urs ce pe acolo alerga, pe acest nou gărduţ l-a călcat şi astfel l-a stri-cat cu un zgomot înfundat. Piticul era foarte enervat. Noi nu, deoarece pe exerciţiile din cele trei feluri de paranteze le-am rezolvat. Adică efectuând fără mare viteză şi pe ulti-mul calcul din ultima paranteză, neapărat, paranteza s-a ... evaporat. Acum în exerciţiu nu mai sunt paranteze. Cred că fiecare din voi ştie mai departe cum să calculeze. Dacă nu, revezi explicaţiile prin care arăt cum să se calculeze în exer-ciţiile fără paranteze!

Şi dacă pe nici o paranteză nu mai vezi, pe celelalte cal-cule poţi să le efectuezi într-o ordine, neapărat, aşa cum ai învăţat. Sper că ai mai repetat. Să fii ...calculat! Şi-uite-aşa, pe la comoara piticului dând tu o tură, ai ajuns la marea ta comoară, la învăţătură!

173

NUMERELE NATURALE ÎN CONCENTRUL 0 - 1000

Ce se vede colo-n zare? Caracatiţă e, oare ? Chiar aşa, măi frăţioare, Şi are patru picioare: UNITĂŢI, ZECI, SUTE, MII, Ca să învăţaţi, copii, Numerele naturale Până la mia cea mare, Ba chiar şi în continuare... Fiţi atenţi că nu se poate Două cifre-alăturate Ca să stea pe un picior, Chiar de-i el încăpător... Caracatiţa nu vrea! Alta e regula sa, Fiţi atenţi, veţi învăţa!

174

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, U începe să se-ngraşe, 7, 8, acum şi 9! Însă ce vă pasă vouă ? U acum e supărat, Fiindcă prea e încărcat! Lasă, zicem noi, îi trece, Dar mai vine una, zece! U se-ncruntă, vrea să-mpungă, Şi pe toate le alungă... − Sunteţi multe dumneavoastră, Să plecaţi la casa voastră! Nu vă mai primesc în veci Locul vostru e la ZECI! Şi-uite-aşa s-au şi mutat Cam ciudat...împachetat!

175

Iată, 1 le indică, Deci o zece va să zică! Însă U a continuat Şi s-a pus pe îngrăşat... Iar când zece aduna El la Z le arunca! Astfel Z se îngrăşa: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Z nu vrea ca să se lase 7, 8, acum şi 9! Însă ce vă pasă vouă ? Z acum e supărat, Fiindcă prea e încărcat... Lasă, zicem noi, îi trece, Dar mai vine una, zece! Acel U i-a tot vărsat, Până când Z enervat Zece zeci a adunat, Astfel că a...explodat Şi pe toate le-a vărsat

176

În 1 împachetate La piciorul S, măi frate!

Acesta nu-i unitate Şi nici o zece, nepoate, E o sută, dragii mei, Sau zece zeci, dacă vrei. Doi de 0 îţi arată Unde-au fost toate odată... Ei, dar U iarăşi se umflă Şi din zece-n zece-aruncă Către Z, piciorul care Şi el, astfel e-n îngrăşare. Până când ? Tot pân’ la zece Apoi iarăşi se petrece A coloanei Z vărsare Către stânga, la mai mare, Către S, măi frăţioare! Şi-uite-aşa, în pas vioi, La S se arată 2.

177

Acest 2, copii isteţi, Nu arată UNITĂŢI! Şi vă mai explic o dată, Nici ZECILE nu arată! Două grupe-s, frăţioare, De 100 fiecare! U şi Z muncesc din greu, U varsă în Z mereu Din 10 în 10, v-am spus eu! Tot la fel şi Z munceşte Şi astfel la S tot creşte Cifra ce indică, mută, Grupele de câte-o sută! Până unde creşte, oare ? Pân’ la 9, frăţioare, Că, de mai vine o sută Se fac zece şi se mută! 10 sute vreau să zic Nu mai e loc nici un pic Să încapă în S toate... S le-a-mpachetat în 1 Şi-n 1 împachetate La M au fost aruncate!

178

10 sute cucuiete Au format o mie, fete, 10 sute, măi băieţi, La S nu le mai vedeţi! În 1 s-au împachetat Şi la M s-au deplasat, După cum v-am arătat. La S un 0 mai arată Unde-au fost toate odată! N-are decât M să le ţie Că am ajuns la 1000! La M, 1 ne arată O mie frumos grupată.

1000 de câte-o unitate (1) Nu-ncăpeau la U, măi frate, Şi casa lui Z e mică

179

Pentru ele, măi fetică, Şi tu, băiat isteţ foc, Căci nici S nu avea loc! Acum zi-le tu, Grivei, 10 sute, dacă vrei, Sau tu, pisică şireată, 100 de 10 deodată, Sau de vrei altfel s-arăţi 1000 de unităţi Trei de 0 îţi arată Unde-au fost toate odată!

180

Cifre şi numere (recapitularea unor informaţii esenţiale despre sistemul

poziţional de numeraţie în baza 10 )

Cifra e un semn, e scrisă, Fiţi atenţi unde e pusă! Că ea poate să arate UNITĂŢI, ZECI, SUTE , frate, Toate sunt frumos grupate La casa lor aşezate! Acum, hai, copii isteţi, Pe cifre să le vedeţi 0, 1, 2 şi 3, Fetiţe şi băieţei, Fie că e zi sau noapte, 4, 5, 6 şi 7 Sunt tot cifre şi apoi Iată, 8 vine la noi! Şi să nu-l uitaţi pe 9, Că-i tot cifră şi arată După cum e aşezată Pe la UNITĂŢI sau ZECI Ori la SUTE, măi isteţi! Numărul vine la tine Când e vorba de mulţime, Să-ţi arate-n graba mare Câte elemente are! Iar de vrei cumva să scrii Acel număr, minte ca să-l ţii, Tu de cifre te vei folosi,

181

De cifrele pe care tu le ştii, De la 0 pân’ la 9, Chiar dacă afară...plouă!

Numărul Câte cifre s-au

folosit la scrierea

numărului

Care sunt cifrele folosite

38

104 8

1973 ...

două

trei una patru ...

3 şi 8

1, 0 şi 4 8 1, 9, 7 şi 3 ...

Activit ăţi didactice premergătoare formării no ţiunii de fracţie

Măi copii zglobii, la «Fracţii» aminte să luaţi, cu frec-ţiile să nu le confundaţi! Că frecţiile sunt nişte masaje ale corpului cu soluţii pentru sănătate, cam aşa ceva, iar frac-ţiile sunt cu totul altceva. Pentru început, ca să fie ştiut, vă voi explica ce înseamnă a fracţiona. Când veţi afla că a fracţiona înseamnă «a îm-părţi», probabil veţi zâmbi. Şi aceasta nu pentru că aţi fi ne-serioşi neapărat, ci pentru că noi despre împărţire am mai studiat. S-ar părea, după cum se vede treaba, că aşteptaţi no-utăţi degeaba. Nu e chiar aşa, veţi vedea! Acum printr-o mare atenţie de mine vreau să vă leg şi vă voi spune că la fracţii vom vorbi despre împărţirea unui întreg. E ca şi cum

182

un singur tort ai avea, dar mai mulţi prieteni în casa ta. Am subînţeles că eşti un om civilizat şi te vei apuca de împărţit tortul prin tăiat. Atunci vei fi nevoit, negreşit, ca pe tort să-l împarţi, să îl tai în egale fracţiuni, ca să le dai prietenilor tăi buni. Deci îl vei tăia pe tort în părţi, în bucăţi mai mici, frag-mente poţi să le zici. Altfel spus îl vei divide, nu te mira, adică îl vei fracţiona. Sunt sigur că ai priceput, dacă ai fost atent de la început. Pe buze-mi stă mie însă o întrebare: „Ce mai e şi cu frac-ţiile acestea, oare?“ Păi, copii, fiţi voi atenţi aici la a mea nedumerire. Noi am mai studiat operaţia de împărţire! Noi ştim deja formula sa:

d = deîmpărţitul î = împărţitorul

c = câtul r = restul Ştim că această egalitate şi acea inegalitate îţi pot veni în ajutor ori de câte ori un deîmpărţit se împarte la un împăr-ţitor. Ele îţi arată dacă împărţirea e corect efectuată. Acel deîmpăr ţit împărţindu-se la acel împăr ţitor duce la apari-ţia unui efect firesc: un cât şi un rest se ivesc.

d : î = c rest r Atenţie însă! Dacă atent nu vei fi, împărţirea pe care noi o ştim te va păcăli! Tot ceea ce ai învăţat despre împărţire deja, e corect, da, însă la fracţii e vorba despre altceva. Şi ca să-ţi fie uşor drumul învăţării de carte, fii atent cine se îm-parte! Dar cu multe vorbe eu nu vreau să te complic şi uite, printr-un exemplu am să-ţi explic!

d = c × î + r , r < î

183

Matematica, precum ştim, e o oglindă numerică a reali-tăţii în care trăim. De aceea şi matematica, da, trebuie să ţină seama de realitate, de viaţa din ea. O mamă bună, iubitoare, 2 copii şi 25 de mere are. Dacă vei gândi înţelept, îţi vei da seama că mama trebuie să îm-partă merele corect. a) Ce „spune“ matematica pe care o ştim deja ?

25 : 2 = 12 rest 1 b) Ce „spune“ viaţa oare şi această mamă iubitoare ?

25 : 2 = 12 rest 1

Mamei 1 măr întreg i-a mai rămas după ce a terminat de împărţit, dar nici o bucăţică din el ea nu a înghiţit! Cu un cuţit subţire ea s-a apucat de o nouă împărţire. Mai exact, ea s-a apucat agale să împartă mărul în două păr ţi egale.

Aminteşte-ţi că la prima împărţire astfel de unealtă ma-ma nu a folosit, adică nici un cuţit. Ea împărţise numărul de mere pe care le avea ajutându-se doar de mâna sa. Cum spu-neam, pe mărul rămas după prima împărţire, 25 : 2 = 12 rest 1, şi care, poate ei, mamei i s-ar fi cuvenit, ea s-a apucat chiar pe el să-l ia la împărţit cu un cuţit. L-a împărţit agale în două părţi egale. De ce două, sigur ştii, păi avea 2 copii!

184

Şi uite-aşa, fiecare copil, al celuilalt copil frate, a mai primit încă o jumătate, doime. Să-i fie de bine!

Alt exemplu

Un tată 3 copii are şi 16 biscuiţi la care copiii priveau cu nerăbdare. Cum îi împarte el în mod egal, ca să nu iasă scandal ? Ca şi mama iubitoare, tatăl va da la copii tot ce are.

a) Ce „spune“ matematica pe care o ştim deja ? 16 : 3 = 5 rest 1

b) Ce „spune“ viaţa când un tată cu suflet mare împarte la copii tot ce are:

16 : 3 = 5 rest 1

Ca şi mamei dinainte, tatălui 1 biscuit i-a mai rămas du-pă ce a terminat de împărţit, dar din el nici o bucăţică el nu a înghiţit. A luat un cuţit, iar pe acest rămas biscuit în 3 părţi egale l-a împărţit. De ce în 3, sigur ştii, păi avea 3 copii!

185

Şi uite-aşa, fiecare din cei trei copii, al celorlalţi doi co-

pii frate, dintr-un biscuit a mai primit încă o parte. Fiecare din cei 3 copii a mai primit încă o a treia parte dintr-un bis-cuit, cu celelalte două tăiată în mod egal, ca să nu iasă scan-dal. Repet, ca să fii l ămurit, acel biscuit rămas ca rest, în 3 păr ţi egale a fost împăr ţit.

Deci 1 a fost tăiat în 3 părţi egale, cum se cuvine, de aceea fiecare parte se numeşte treime.

Alt exemplu

Doi părinţi aveau 4 copii cuminţi. Ei le-au cumpărat co-piilor, odată, 29 de roţi de ciocolată. Hai să vedem cum, la împărţit, părinţii s-au descurcat, astfel încât fiecare copil în mod egal să aibă de mâncat.

a) Ce „spune“ matematica pe care o ştim deja ?

29 : 4 = 7 rest 1 b) Cum procedează părinţii adevăraţi, mame şi taţi ? 29 : 4 = 7 rest 1 şi apoi pe acea roată de cio-

colată rămasă o taie în 4 părţi egale. Ai înţeles matale ? De ce tocmai 4, sigur ştii, păi au 4 copii! Şi uite-aşa, fiecare din cei 4 copii, al celorlalţi 3 copii frate, dintr-o roată de cio-colată a mai primit încă o parte. Deci fiecare din cei 4 copii, pe lângă cele 7 roţi de ciocolată pe care le-au primit iniţial, toţi în mod egal, a mai primit încă o a patra parte dintr-o

186

roată, cu celelalte 3 părţi tăiată în mod egal, ca să nu iasă scandal.

Deci 1 a fost tăiat în 4 părţi egale, cum se cuvine, de

aceea fiecare parte se numeşte pătrime. Această pătrime se mai numeşte şi sfert.

Să fii deştept!

Să reţinem!

♦ La împărţirea pe care o cunoşteam deja ( de exem-plu 23 : 5 = 4 rest 3 ) împart ceea ce am de împărţit, mul-ţimea de obiecte sau fiinţe, deci întregii ca număr distribu-indu-i astfel în grupe egale şi nu am voie de nici un întreg să mă „leg“, adică nu tai, nu secţionez, nu fragmentez pe nici un întreg. Oricât de mulţi întregi ar fi, întregii rămân întregi, înţelegi ? ÎNTREGI!!! Această împărţire, dragii mei, deşi este şi ea darnică în felul ei, generoasă, deci altruistă, dese-ori este şi puţin egoistă, căci un rest deşi-i rămâne, ea nu ţi-l mai dă, române, lângă ea îl ţine bine, nici măcar o bucăţică din el nu-i pentru tine şi nici pentru nimeni altcineva, fii atent mata! Chiar dacă restul rămas e format din mai mulţi întregi, referitor la ei să-ţi mai pui pofta-n cui, căci pe nici o bucăţică din vreunul mâna n-ai să pui. Pe acest rest îl păs-

187

trează, nu îl taie, nu-l fracţionează, nu-l mai împarte, lângă ea îl ţine deoparte! ♦ La studierea fracţiilor te „legi“ în principal de un în-treg sau de mai mulţi întregi, adică în părţi egale îi rupi, îi secţionezi, îi fragmentezi, îi fracţionezi şi astfel îi împarţi, îi tai, pentru ca bucăţi, părţi, fracţii din ei altora să dai.

Alături de mama şi de tatăl care la copiii lor împărţeau chiar tot ceea ce aveau, acest fel de împărţire ne învaţă ce înseamnă cu adevărat dăruire. Ea te învaţă, fii atent matale, lecţia dăruirii totale.

Te voi învăţa, să ştii Cum pe fracţii să le scrii Dragi copii, prea mult nu vreau să vorbesc, să nu vă

plictisesc. Ştiu că oricât ar fi un om de înţelegător şi răbdă-tor, este bine uneori prea multe să nu-i povesteşti, atunci când să înţeleagă ceva doreşti. Ar fi bine să-ţi reaminteşti cu vorba să nu te lungeşti, să fii cât se poate de scurt, să zici bine, interesant clar şi precis ceea ce ai de zis. Este foarte important acest lucru, să ştii, mai ales atunci când este vorba de copii. Chiar acum un gând mă îndeamnă să vă explic ce-ea ce o fracţie înseamnă. O fracţie înseamnă o parte ( sau păr ţi ) sau nici o par-te, negreşit, dintre toate păr ţile egale în care un întreg a fost împăr ţit .

Să fi ţi atenţi, deoarece întreg înseamnă şi-o furnică, şi-o pisică, şi un elefant gigant. Adică deşi întregul este uneori mai mic şi alteori mai mare, tot întreg se numeşte, frăţioa-re! S-ar putea să te chinuie o întrebare: « Ce este acela în-treg, oare ? » Întregul poate fi un obiect sau chiar o fiinţă pot să zic, din care nu lipseşte nimic. Un creion, un om, o

188

bomboană, o macaroană, o pâine, un câine, o albină, o maşi-nă, un penar, un ziar şi tot aşa poţi şi alte obiecte sau fiinţe să alegi, se vor numi tot întregi.

Mai mult, e timpul să aflaţi, băieţi isteţi şi fetiţe deştepte că tot întreg este şi o mulţime de fiinţe sau obiecte. Iată, tot un întreg este, să ştii, şi o mulţime de copii. Clasa voas-tră întreagă la număr se numeşte când nici un copil din grup nu lipseşte. Iată acum ceva ce ne uimeşte! Dacă totuşi se lipseşte, după cum ştii, vor fi mai puţini copii. Despre nu-mărul lor, al absenţilor, care decât numărul total de copii al clasei este mai mic, poţi să zici că-i un în-treg mai pitic! Un întreg, nu te mira, de fapt un nou întreg, chiar aşa, cu care ai putea să faci ceva. De exemplu într-o clasă putem vorbi de numărul de copii care au spus la şcoală poezii în timp ce alţi copii din acea clasă lipseau. Aceşti copii ce poezii la şcoală recitau un nou întreg formau, din care i-am scos pe copiii ce lipseau. De fapt mulţimea copiilor din lume este mare. Păi ce, numai ea se numeşte întreg, oare ? Desigur, nu! Îţi dai seama şi tu! Este foarte important când despre întregi vor-bim să spunem foarte clar la care întreg ne referim. Mulţimi de fiinţe şi obiecte în lume sunt foarte mul-te, fiecare fiind formată din elemente multe şi mă-runte. Când despre acestea informaţii oamenilor le oferi, trebuie să fie clar la care obiect, fiinţă sau mulţime te referi. Dacă încă nu ai înţeles, cu sigu-ranţă ai să reuşeşti. Pe desenul următor să priveşti.

189

Acum sper că înţelegi cum e cu aceşti întregi. Chiar da-

că este mai mic sau mai mare, tot întreg se numeşte, fră-ţioare. Pe acel întreg despre care tu vrei să spui ceva, tot în-treg îl vei considera. Spuneam că o fracţie înseamnă parte

190

(sau părţi) dintr-un întreg. Imediat pe această enigmă o să ţi-o dezleg. Înainte de aceasta trebuie să fii sigur ma-tale că îl poţi împărţi pe acel întreg în păr ţi egale. Multe, puţine, două, trei, câte vrei, pot fi şi o mie, egale între ele să fie!!! Apoi din toate părţile care îl formează pe acel întreg una sau mai multe părţi am să aleg. Acea parte (sau acele părţi) aleasă (sau alese) de mine din întreg sunt fracţia mea. Aceas-ta-i explicaţia! Priveşte pe desenul în continuare prezentat. Ghici ce am colorat ? De fapt nu trebuie să ghiceşti, ci să intuieşti, să gândeşti! Deci am co-lorat pe părţile pe care din întreg le-am luat. Deci le-am luat prin ... colorat! Aici, la noi, întregii sunt figuri geometrice, vedeţi şi voi. Atenţie mare la precizările următoare. Nu mereu ceea ce am luat prin colorare este la fel de mare. Poate pare ciudat ceea ce s-a întâmplat, deşi din întregi tot atâtea părţi am luat. Mai mult, fiecare din cei doi întregi cu aceeaşi formă şi alăturaţi, negreşit, în tot atâtea părţi egale a fost împărţit. Şi totuşi cum de ceea ce am luat prin colorare nu este la fel de mare ? O in-formaţie importantă trebuie să fie în minte la tine. Întregii nu au aceeaşi mărime!

Priveşte cu atenţie şi să reţii mata. Partea din întreg luată, adică de noi colorată sau păr ţile lua-te, adică cele din întreg colorate, fii atent mata, aceea este fracţia!

191

Acum te voi învăţa, ca să ştii cum pe fracţii să le scrii. Fii atent, fracţia s-o scrii te aşteaptă. O vei scrie folosind

192

două numere şi-o liniuţă dreaptă. Un număr este pe altul co-coţat iar între ele stă liniuţa dreaptă, neapărat!

1 2 Liniuţa aceasta care între cele două numere se găseşte,

linie de fracţie se numeşte. Numărul de sub linia de fracţie numitor este numit şi îţi arată în câte părţi egale întregul a fost împărţit. Numărului de deasupra liniei de fracţie numele de nu-mărător îi este dat şi arată câte părţi din acel întreg ai luat, ai considerat (noi le-am arătat, le-am marcat prin colorat). Uneori vei întâlni scrierea aşa: ½ Iată şi numele acestei fracţii, ca să-l ştiţi şi voi: 1 supra 2 (sau 1 pe 2 sau o doime). Atenţie mare la scrierea fracţiei care în faţa ochilor îţi apare. În exemplul cu fracţia 1 supra 2, mai înainte prezentat sau în cazul altei fracţii ce poate fi dat, nu cele două numere, unul pe altul cocoţate şi o liniuţă ce le desparte), nu acestea sunt fracţia, dragii mei. Ele ajută doar la scrierea ei! Atunci unde-i fracţia? Eşti mirat ? Nu te teme. Înapoi la de-sene!!! La fiecare întreg fracţia îţi este arătată prin zona colorată! Iar zona colorată a unui întreg este formată, iată, dintr-o singură parte din întreg colorată sau din mai multe păr ţi din acel întreg colorate. Sănătate!

Ce se-ntâmplă am să explic Când din întreg nu iei nimic!

După cum îţi spuneam matale, mai întâi trebuie să îm-

părţim întregul în păr ţi între ele egale!

193

Atenţia mereu să te-nsoţească Şi fracţia n-o să te păcălească!

1 1 Întotdeauna = ca şi cuvânt, dragule

2 2 frate, în sensul că o jumătate = o jumătate. Sper să nu fii cu atenţia la pământ şi să sesizezi că este vorba de acelaşi cuvânt. Şi dacă să fii atent ai ales, bine ai ales, căci cele

194

două cuvinte, o jumătate şi iar o jumătate, au aici acelaşi înţeles. Numeric vorbind, deci cantitativ, nu am nici un motiv 1 1 să vă informez eu că mereu = 2 2 ♦ Dacă şi pe cei doi întregi egali îi alegi, atunci şi nume-ric, adică cantitativ ai cu adevărat un motiv să spui că o ju-mătate dintr-un întreg = o jumătate din celălalt întreg. Aşa este, nu neg! Atunci e adevărată egalitatea celor două fracţii scrisă mai sus, nu am nimic de spus. ♦ Dacă pe cei doi întregi inegali îi alegi, atenţie, că atunci 1 1 nu mai este egal cu chiar dacă este vor- 2 2 ba de aceeaşi fracţie, adică aceeaşi parte (jumătate) se ia din fiecare întreg din cei doi, să ştiţi şi voi! Păi chiar aşa, fii atent mata, o doime, deci o jumătate dintr-o furnic ă nu este egală cu o jumătate din-tr-o pisică, deoarece nici ca întregi, furnica nu este la fel de mare ca pisica! O fi vorba tot de o jumă-tate, e adevărat, dar ce înseamnă o jumătate (din- tr-un întreg) nu poate sta pe picior de egalitate cu ceea ce înseamnă o jumătate (din celălalt întreg). Fiecare jumătate este, să ştiţi, din întregi în mărime diferiţi. Deci fiecare jumătate înseamnă în canti-tate, în număr altceva, fii atent mata! La fel, din

195

întregul 100 o jumătate nu înseamnă aceeaşi canti-tate cu o jumătate din întregul 1000, se ştie. O fi vorba tot de o jumătate, da, dar fiecare jumătate înseamnă altceva, atunci când fiecare jumătate din întregi inegali se ia. Doar despre jumătăţile aceluiaşi întreg poţi spune cu siguranţă matale că întotdeauna sunt în-tre ele egale!!!

Am luat exemplul cu fracţia 1 pentru că este 2

mai uşor pentru voi. De fapt, orice fracţie ai lua, lucrurile se petrec tot aşa.

Atenţie mare la cum sunt între ei întregii frăţioare! Ei pot fi egali sau nu. Pentru ca păcălit să nu fii tu, atenţie ma-re, uneori cuvintele pot fi înşelătoare (jumătate, doime, tre-ime, pătrime, cincime etc.). La matematică adevărul stă cu necesitate în numerele exacte!

Să ai gânduri înalte!

Aflarea unei fracţii dintr-un întreg Dragi copii, unul din exerciţiile pe care trebuie să le re-

zolvaţi vă solicită ca pe o fracţie dintr-un întreg să o aflaţi. Împreună cu tine pe această enigmă o s-o dezleg. Prin ceva atractiv pe atenţia ta de mine vreau s-o leg. Vei vedea că voi încerca cu răbdare să te fac să înţelegi această procedură de rezolvare în vreme cât mai puţină cu ajutorul jocului „ Bila pe trambulină “. Prin primele două drumuri ale sale bila te va ajuta, iar tu, în viitor astfel de exerciţii şi probleme vei putea rezolva. Deci atenţie mare la mişcările următoare: bi-

196

la-i aruncată, pe trambulină pică şi în sus iar se ridică. Mai întâi, cu atenţie mare priveşte figura următoare!

197

Sarcina de lucru 3 Aflaţi cât înseamnă din 100 de mere. 4 Iată, un copil stă pe un loc ce seamănă cu un fel de bloc. Blocul întreg e alcătuit din mai multe părţi egale (le poţi asemui cu etajele sale). Să mai spun că acest bloc întreg nu e obligatoriu să fie mereu 100, să aibă mereu aceeaşi mări-me, iar uneori e împărţit în mai multe părţi egale, alteori în mai puţine. La parterul blocului am aşezat o scândură (de unde pri-veşti tu se vede ca o şină), o trambulină. De pe acoperişul blocului, pe ea, un copil o bilă va arunca. Bila pe scândură o va lovi şi apoi în sus va sări, mai încet sau mai tare, depinde de forţa de aruncare. Hai acum încet s-o luăm şi pe sarcina de lucru să o rezolvăm. Blocul întreg este deci cât 100 de mare. Copilul se pregă-teşte de aruncare şi stă pe blocul împărţit în 4 părţi egale. Copilul aruncă bila, iar când bila pe scândură o loveşte, a ajuns în dreptul părţii de bloc care (o) pătrime se numeşte.

100 : 4 = 25 (de mere)

Dar bila cu putere s-a aruncat, fiindcă ¾ ( 3 supra 4, adi-că 3 pătrimi) din 100 erau de aflat. Aşa că, după ce pe scân-dura trambulinei bila a lovit, negreşit, în sus a pornit. Buclu-

caşa bilă s-a oprit din urcat chiar în dreptul celor ¾ de aflat.

Şi cum ¼ ( o pătrime, un sfert ) este 25 de mere, căci am

aflat, cât înseamnă ¾ e uşor de calculat. 25 × 3 = 75 (de mere)

Desigur, bila şi alte sărituri a mai efectuat, dar eu doar de primul ei salt am fost interesat.

198

Deci 3 din 100 de mere înseamnă 75 de mere 4

La celelalte exemple lucrurile se întâmplă la fel. Când bila pe scândură prima dată o loveşte, ea indică o singură parte din întreg, fireşte. Această singură parte se nu-meşte diferit, depinde în câte părţi egale întregul e împărţit. Deci se poate numi jumătate ( sau doime ), treime, pătrime ( sau sfert ), cincime, şesime, şeptime, optime, noime, zecime şi tot aşa poţi continua. Ştiind cât înseamnă o singură parte din întreg, e uşor pe enigmă s-o dezleg. Ştiind cât reprezintă o singură parte, poţi afla cât reprezintă 2 părţi sau 3 sau câte vrei. Să fii atent că în al ei prim salt, după ce pe scândură o loveşte venind din înalt – şi astfel cât reprezintă o singură parte din întreg îţi va arăta, singură parte pe care prin îm-păr ţirea numărului ce reprezintă întregul la câte părţi are el o vei afla – bila se va ridica, cum spuneam, exact până la etajul de care nevoie aveam. Acel etaj va indica neapărat fracţia din întreg de aflat. La acel etaj numărul de deasupra liniei de fracţie, numărătorul fracţiei te luminează câte părţi din întreg te interesează. Şi cum pe o parte din întreg o cu-noşti, fiindcă ai aflat-o prin împăr ţire, pentru a afla cât în-seamnă fracţia vei folosi operaţia de înmulţire – cât în-seamnă o singură parte din întreg × câte părţi din acel întreg trebuie să afli îndată (şi pe care numărătorul fracţiei ţi le arată). Fiţi atenţi că nu doar acel etaj, nu doar el singurel re-prezintă toată fracţia a cărei scriere este pe el. Scrierea frac-ţiei care la un etaj apare se referă la toate părţile de sub acel etaj, frăţioare! Mă refer la toate părţile din bloc ce sunt între

199

acel etaj şi pământ. Deci priveşti scrierea fracţiei de la un etaj, iar fracţia respectivă este tot ceea ce apare sub acel etaj. Dacă vei crede că fracţia înseamnă doar acel etaj, vei a-vea un miraj, adică va fi o păcăleală, o iluzie, o confuzie! Deci când bila coboară foloseşti împăr ţirea, apoi când urcă, de înmulţire te vei folosi. Procedând astfel, nu vei greşi! Sper că ai înţeles cum e cu acest bloc. Noroc!

200

201

202

ELEMENTE DE GEOMETRIE

Dragi copii, elevii de vârsta voastră trebuie să ştie, pe lângă alte cunoştinţe, şi nişte elemente de geometrie. Vom pleca într-o scurtă călătorie prin marea şi frumoasa geometrie, aşa că vom face primul pas mărunt şi vom vorbi despre punct.

Punctul

Probabil un gând să mă întrebi te îndeamnă: «Punct ce înseamnă ?» Îţi voi explica, dar vreau să-ţi mai spun ceva. Am început această călătorie prin geometrie cu un punct mărunt, deoarece acel om care pe geometrie poate să o înţe-leagă ştie că ea e cuprinsă între punct şi lumea întreagă şi chiar mai departe prin înalt. Atenţie mare, e important! Elevii de clasa a-III-a ştiu de la obiectul «Ştiinţe», dacă au citit, că orice corp dintr-o substanţă este alcătuit. Dacă decât elevii de clasa a-III-a eşti mai mititel, nu e nici o pro-blemă, îţi voi explica altfel. Corp înseamnă orice obiect, lu-cru sau fiinţă veselă sau tristă care în lume există. Toate cor-purile din lumea noastră, de aici, sunt alcătuite din bucăţi mai mici. Bucăţi multe, multe, multe şi mărunte, mici, foar-te mici, ca firele de nisip poţi să zici. De fapt (vouă pot să vă spun, fiindcă sunteţi isteţi şcolari), să ştiţi însă că firele de nisip sunt încă mari! Ba chiar şi firele de praf sunt mult mai mari, dragi şcolari, decât bucăţelele care stau multe, foarte multe împreună, toate cu un scop anume, să alcătuiască cor-purile din această lume! Totuşi cu mărimea firelor de nisip pe aceste bucăţele le vom asemăna, ca să le putem şi noi ve-dea. Dar să ştiţi că firele de nisip sunt uriaşi voinici pe lângă alte multe, foarte multe bucăţele şi mai mici. Da, nu te mira,

203

există foarte, foarte multe bucăţele şi mai mici, la o adică, decât ochii de furnică! Tocmai acele bucăţele foarte, foarte mici le alcătuiesc, pot spune, pe toate corpurile din această lume! Dacă am vrea să rupem, să fragmentăm, să divizăm, să tăiem un corp, mai întâi în două, apoi în trei şi tot aşa în câte vrei, atunci ce poţi să zici? Normal, vom obţine bucă-ţele din ce în ce mai mici. Şi tot aşa şi tot aşa, ştiu că eşti curios mata, oare ce va urma? Ne vom mai opri undeva? Din fericire avem un răspuns acum, pentru că s-a gândit şi a dovedit un înţelept om că ne vom opri la atom! Atomii sunt bucăţele mici, mici, foarte mici, mult mai mici decât ochii de furnici. Aceşti atomi în număr foarte mare se găsesc şi pe toate corpurile din această lume le alcătuiesc. Ca să-ţi dai seama ce mici sunt aceşti atomi, uite, îţi voi spune că pe suprafaţa, pe întinderea rotundă a unui mic ban sunt mai mulţi atomi decât picături de apă într-un ocean!!! Şi fii a-tent, frăţioare, un ocean este mult mai mare decât o mare, adică mult, mult, mult mai multă apă într-un ocean poate să încapă! Dacă ai putea să te faci mititel şi în lumea atomilor să te cobori niţel, toţi atomii ţi s-ar părea la fel, i-ai vedea particule, bucăţele mărunte asemănătoare cu nişte puncte! Iar dacă pe atomi aş vrea să-i desenez, atunci va trebui cam mult să exagerez, adică să-i reprezint, deşi mărunt cât un punct, mult mai mari decât în realitate sunt! Dar, copii, am exagerat, deoarece am un motiv bine întemeiat. Privirea mea de om nu poate sesiza, vedea un atom, oricât aş fi eu de a-tent, deşi atomul există, evident! Este foarte, foarte mic vreau să zic, de aceea pentru a lui vizualizare îl vom mări prin exagerare! Hai să formăm mărunt un punct! S-ar putea să pui o în-trebare: «Ce este punctul, oare ?» Ochi de furnică, vârful ghearei de pisică, o pasăre în zarea depărtată ori o steluţă-n

204

bolta înnoptată. Sper c-ai înţeles acum ceea ce am vrut să spun. Pe toate acestea de vei încerca a le desena, vei observa că toate trebuie reprezentate mărunt sub forma unui punct. În geometrie punctul este un mic semn pe o suprafaţă, întin-dere reprezentat, pe hârtie, dar nu neapărat. Punctul este deci un semn scris, deloc mare cum ai putea crede, ci mic, încât abia se vede. Cât de mic? Uite-ţi zic! Mai mare un pic decât atunci când n-ai mai vedea nimic! Ei, acum stai li-niştit, căci n-o să fii la privire chinuit şi forţat, cum poate crezi, ca pe ochiul furnicii să-l desenezi exact aşa cum mări-mea lui este şi cu ochiul tău liber să-l mai şi vezi. De aceea o să te pun să exagerezi! O să te pun să exagerezi când pe ochiul furnicii ai să-l desenezi. Deci vei desena mărunt un punct. Dar cum apare punctul desenat? Că uite, asta nu te-am învăţat! Gândeşte-te că suprafaţa de desenat e ca un câmp pentru arat. Pe acest câmp aterizează precis vârful unui instrument de scris. Dar după ce a aterizat şi pe foaie acest vârf s-a aşezat puţin apăsat într-un loc, din acel loc vârful nu s-a mai mişcat deloc. Dacă după ce a aterizat – şi pe foaie a contactat puţin apăsat – vârful nu s-a mai mişcat, înseamnă că a rămas nemişcat. Nu e deloc complicat. Vârful instrumentului de scris, cum am zis, s-a aşezat pe foaie puţin apăsat, aici puţin timp a stat, timp în care urma vârfului pe foaie s-a imprimat. Dacă vârful instrumentului de scris pe foaie tot rămânea şi rămânea, nici un punct privirea ta nu mai vedea. Când vârful instrumentului de scris de pe foaie a fost ridicat, punctul a putut fi imediat vizualizat. Asta dacă vrei ca punctul să fie desenat, reprezentat neapărat, precum am zis, cu vârful unui instrument de scris. Că de exemplu, pe o suprafaţă, întindere bună de dese-nat, se poate ca şi o muscă să fi aterizat! Doar atât, a ate-rizat, căci în rest nu s-a mişcat. Era ruptă de oboseală şi avea

205

picioruşele unse cu cerneală, fiindcă, iată, era prima oară când era să se înece într-o călimară. Dar pe hârtie musca mult timp nu a stat. După ce pe foaie a aterizat şi aici picio-ruşele şi-a fixat, a rămas un timp până s-a mai întremat. Da-că ţi-am spus că pe foaie picioruşele şi-a fixat, înseamnă că alte mişcări musca nu a mai executat. Dar după un timp musca a .. decolat, adică în aer s-a înălţat! Ce-i drept, ea ar mai fi stat, dar ceva a speriat-o, mâna unui copil care a alun-gat-o. În urma ei, pe hârtie, în locurile unde se fixaseră pi-cioruşele ei mărunte, au rămas nişte puncte. Dacă pe un punct l-ai desenat, trebuie neapărat lângă el să scrii clar o literă mare de tipar! Aşa se face anume, ca şi cum i-ai da un nume! A . B . C . . D S .

M . L . G .

O .

E . H .

P . R . X .

206

Dreapta

Drag copil care acum pe aceste rânduri le citeşti şi deja mai luminat sper că eşti, pentru ca şi pe dreaptă să o înţelegi pe deplin, pentru ca să fii deştept, trebuie să ştii foarte bine ce înseamnă drept. Să ştii tu că în acest cuvânt mai multe înţelesuri sunt. Uite, spun ca să se ştie, vă voi explica ce în-ţeles are cuvântul drept la geometrie. Atenţie, nu vreau să fac multă teorie! De aceea voi da exemple din lumea voas-tră, atât de fascinantă, interesantă, frumoasă şi firească, adi-că din lumea ... copilărească. Şi pentru ca pe deplin lămuriţi să fim, pe terenul de sport puţin o să poposim. Vă este cu-noscut acest loc, n-aveţi de ce să vă miraţi, aici pe orele de educaţie fizică le desfăşuraţi. Când ora de educaţie fizică în-cepe, voi pe orice alte activităţi le încetaţi şi v-aliniaţi! Să nu-mi spuneţi că nu ştiţi ce înseamnă aşa ceva, fiindcă mă voi supăra! Păi normal, neapărat, măcar câteva ore de edu-caţie fizică trebuia să fi desfăşurat sau măcar la ele ai asistat. Oricum, chiar dacă nu s-a întâmplat aşa ceva, iată, îţi voi ex-plica! Aliniere înseamnă un anumit fel de aranjare, ordona-re. Sunt în lumea noastră, oare, asemenea treburi necesare? Ce mare realizare e şi cu această ordonare? Gândeşte-te la cât mai multe lucruri folositoare din lumea aceasta mare! Dacă alimentele ar fi amestecate în dezordine, fără o ordo-nată preparare, ar ieşi bună mâncare? Dar dacă croitorul ar lucra la întâmplare? Cum ar ieşi hainele, oare? Şi ce-ai simţi dacă în multe locuri parchetul pe care calci ar fi strâmb ca un dâmb? Iată de ce socot că ordinea este necesară peste tot nu doar la geometrie, se ştie! Desigur, poţi să aranjezi, să ordonezi orice obiecte sau fiinţe vrei, dar acum vă veţi alinia voi, ca nişte soldăţei!

207

Fiţi atenţi acum, nu vă veţi alinia oricum! Vom face a copiilor aranjare după modelul din figura următoare.

208

Dacă un singur copil nu ar fi cu ceilalţi aliniat, cel din margine ar observa aceasta imediat. Dar li-niştiţi voi să staţi. Toţi copiii sunt bine aliniaţi. Pe mine mă chinuie acum o întrebare: « Cum de vede cel din margine un singur copil, oare ? » Bine, bine, la cunoştinţă am luat, toţi copiii s-au aliniat, totuşi ce se întâmplă de fapt, care e misterul, ce se întâm-plă acolo subtil, astfel încât din margine se observă un singur copil ? Când am spus subtil m-am referit că pentru a înţelege ceea ce se întâmplă, pentru a fi pe deplin lămurit, trebuie să fii la minte ascuţit. Şi atent, evident! Deci în imaginea celui din margine cum oare de un singur copil apare? Iată de ce! Fii înţelept! Şirul copiilor e drept!!! A şa că oricât de mulţi copii ar fi, chiar şi mii, atâta timp cât ei vor fi astfel aliniaţi, cel din margine, cu privirea sa un sin-gur copil va vedea. Explicaţia e aceeaşi. Fii înţe-lept! Şirul este drept. Dar ce e aceasta până la ur-mă, dacă bine te gândeşti, dacă ai ambiţie ? Păi, e o propoziţie!

Şirul este drept.

Întrebare: Cine este drept ? Răspuns : Şirul . Întrebare: Ce se spune despre şir ? Răspuns : Este drept.

209

Iată deci că acest cuvânt, drept, nu ne arată un obiect. În cazul nostru, aici, fiţi pe al atenţiei fir, despre şir vă dau de veste, cuvântul drept ne arată cum el este. Bineînţeles, şirul putea fi şi altfel, nu neapărat drept, în linie ordonat, dacă de exemplu u-nii copii nu erau aliniaţi sau dacă unii copii se ur-cau pe un dâmb, şirul apărea cam strâmb! Cu alte cuvinte, să ştii, şirul nostru e o mulţime de copii, cu toţii într-un anumit fel ordonaţi, în linie dreaptă ali-niaţi. Puteam şi altă ordine să fi ales, nu neapărat în linie dreaptă, bineînţeles. Puteam să încerc să-i ali-niez în formă de cerc. Dar atunci nu mai aveai vreo margine în care să te duci ca să priveşti şi un sin-gur copil să zăreşti. La aşa ceva mă aştept numai când şirul este drept! Dar care este al alinierii rost? De ce şi voi la orele de educaţie fizică astfel aliniaţi aţi fost ? De ce nu este aşezat fiecare aşa cum vrea să stea sau la întâmplare ? Ştim că pentru această aliniere un efort se cere. De fapt sunt sigur că voi isteţi sunteţi şi prea mult aici nu am ce explica. În dezordine lecţia nu se poate desfăşura! O aliniere se cere!!! Priveşte, în continuare îţi voi arăta nişte imagini care te vor mira. Mă refer la faptul că s-ar putea să crezi că unele din şirurile ce vor urma, drepte nu ar fi, dar sunt drepte, să ştii, aceste şiruri de copii!!! Copiii din fiecare şir sunt tot ordonaţi, tot în linie dreaptă aliniaţi, chiar dacă ţi se va părea că nu e

210

adevărat aşa ceva. Fii înţelept, fiecare din cele trei şiruri este drept, chiar dacă, e adevărat, fiecare şir pe altă direcţie este orientat.

211

Dar nu doar şirurile de copii pot să-ţi arate ce înseamnă drept, să ştii! Iată, pot să mă dau huţa pe un fir, dar nu nea-părat, adică pe fir pot să stau doar agăţat. Păi, ia spune tu atunci, cum va sta firul, dacă eu sunt cam greu, deci corpul meu îl trage pe fir tot în jos ? Spune tu, copil frumos, dar fii înţelept! Firul va fi, desigur, drept! Atenţie mare, chiar da-că firul este (sau nu) în legănare, în orice direcţie ar fi în-dreptat când eu cu el m-am legănat, el tot drept este, nea-părat! Îţi voi şi explica de ce se întâmplă aşa ceva. Sunt greu eu şi agăţat de el stau înadins, deloc de pământ nu m-am atins, deci firul este bine întins.

212

Iată, am luat-o înainte şi am ajuns pe malul unui iaz unde şi pe voi vă aştept, ca să vă arăt un alt obiect drept. După ce un pescar dă momeală la peşte, ce se întâmplă când peştele în cârlig este? Răspunde înţelept! Peştele va fugi cu tot cu cârlig, eu de bucurie pot sau nu să strig, pescarul pe loc stătea, peştele disperat tot alerga şi astfel distanţa dintre el şi pescar se tot mărea până ce egală cu lungimea firului devenea. Astfel firul de la undiţă se întindea şi până la urmă drept ajungea.

Dragi copii, în lumea în care noi trăim şi alte corpuri drepte o să întâlnim! Tocmai pentru că unele sunt drepte, de ele putem să ne folosim. Gândeşte-te la şinele de cale ferată şi spune, iată, ce s-ar întâmpla dacă ele drepte nu s-ar fabri-ca? Roţile trenului n-ar mai putea înainta sau trenul rău s-ar scutura şi de pe şine până la urmă ar deraia, ar cădea. Din

213

fericire însă şinele drepte s-au fabricat şi orice transport în siguranţă poate fi efectuat. Iată, prin desenul pe care în con-tinuare îl voi prezenta, vreau să vă mai arăt ceva. Căile fera-te pot veni şi pot pleca aproape din/în orice direcţie vrei ma-ta, aşezate pe poduri sau pe pământ, tot drepte sunt.

În lumea în care noi trăim alături de multe obiecte drepte bine ne simţim. Gândeşte-te la cum te-ai simţi dacă nici un perete din camera ta drept nu ar fi! De asemenea, gândeş-te-te la cum ar fi dacă prin cartiere nici o margine, nici o

214

muchie a unui bloc nu ar fi dreaptă deloc. Ce-ai simţi mata? Că oamenii în acel bloc trăiesc ca într-o peşteră, zău aşa! Dar dacă muchiile de la cărţi şi de la caiete nu ar fi drep-te? Ce-aţi simţi voi? Că parcă acele cărţi şi caiete au fost scoase din lada cu gunoi sau că au participat la un război! Dar cine mai este drept, oare? Iată o rază de lumină că-lătoare! Orice rază de lumină călătoare care pleacă de la un corp cu lumină şi spre tine sau în altă parte vrea să vină, va călători, fii înţelept, mergând pe un drum drept. E adevă-rat, noi nu vedem pe fiecare rază, dar din rază cu rază lumi-na se formează. Iar o rază este subţire, subţire, nu e deloc groasă. Faţă de o rază, o aţă este mult mai groasă, la fel şi fi-rul de la a păianjenului plasă. Poate-ţi pare curios, dar decât o rază, firul păianjenului este mult mai gros. Acum s-ar pu-tea să te întrebi cam aşa: «Bine, bine, atunci cât de groasă o fi ea, raza mea?» Băieţel curios, şi tu, fetiţă curioasă, ade-vărul este că raza nu prea e groasă. E atât de subţire, încât nu poate fi cuprinsă de a ta privire. Ceea ce vezi tu este mul-ţimea lor, a razelor adunare luminătoare. Dar o rază grosi-me nu prea are! Adică, dacă doar o singură rază ar lumina, te-ai uita la ea şi nimic nu ai vedea, deşi ea acolo ar exista! De fapt raza este atât de subţirică, încât puţin mai avea şi ... dispărea, adică chiar nu mai exista. Dar chiar dacă de tot dispărea, nimic n-o oprea să existe-n mintea mea! Dacă o minge foarte mare de foc lumină în jurul ei răspândeşte (ea stea se numeşte), de la ea, toate razele de lumină drepte vor pleca! Ba chiar în toate direcţiile or să se îndrepte razele drepte. Iar apoi călătoresc, călătoresc şi cu siguranţă cât timp eu trăiesc ele nu se mai opresc. Astfel ele devin lungi, lungi, încât până la urmă doar cu gândul poţi să le mai ajungi.

215

Dragi copii, până acum mai multe exemple am tot dat şi ce înseamnă drept am explicat. Am studiat mai multe o-biecte şi pe una din însuşirile lor, aceea de a fi drepte. Am studiat şirurile drepte, firele drepte, şinele drepte şi razele

216

drepte. Sper că minţile vă sunt acum mai înţelepte! Înţele-gând ceea ce înseamnă însuşirea de a fi drept, cu siguranţă vei fi mai deştept. Acum este timpul să aflăm că pe această însuşire putem să o şi ... desenăm! Pentru aceasta de o riglă o să ne ajutăm. Îţi mai trebuie, precis, un instrument de scris. Desigur, in-strumentul de scris trebuie mai întâi pe foaie să se aşeze pentru a putea să deseneze. Când acest instrument de scris pe foaie prima dată se aşează, chiar în acel moment ce dese-nează? Aminteşte-ţi de acel puricel mărunt. Aminteşte-ţi de punct! Atenţie, când pe punct îl desenează instrumentul de scris (stilou, creion, cariocă sau pix) stă pe foaie fix! Poate fi doar mai tare pe foaie apăsat, nu e voie în vreo direcţie să fie deplasat. Atunci când pe un punct îl desenează, vârful instrumentului de scris nu are voie deloc pe foaie locul să-şi schimbe! E timpul ca instrumentul de scris puţin să se plimbe! După ce pe foaie (lângă riglă) a fost aşezat şi pe un punct l-a desenat, eu am decis ca instrumentul de scris (tot cu vârful pe foaie) locul să-şi schimbe şi puţin pe foaie să se plimbe, căci lipit de rigla mea dreaptă, aşa ceva abia aşteaptă! Iată ce a desenat vârful instrumentului de scris, pentru că lipit de rigla dreaptă a fost plimbat pe foaie aşezat.

Dacă eşti înţelept, ai priceput că a mers pe un drum drept, precis, vârful instrumentului de scris. Şi-uite-aşa, di-recţia drumului vârfului ce scrie fiind desenată, am repre-

217

zentat o linie dreaptă. Ce s-a întâmplat însă când vârful instrumentului de scris pe foaie s-a plimbat? Fiţi atenţi, neapărat, în timp ce pe vârful instrumentului de scris pe foaie l-am plimbat, în urma lui o înşiruire de puncte pe foaie s-a imprimat. Mulţimea aceasta de puncte pe care a înşiruit-o vârful instrumentului de scris este dreaptă, adică nu şerpuieşte nici un pic, nu se curbează deloc vreau să zic. E dreaptă aşa, ca firul de care un om se agăţa şi în jos îl trăgea, chiar dacă pe el se legăna sau nu se legăna. E dreaptă aşa, ca şinele de cale ferată sau ca raza luminată. Dacă nu crezi că linia dreaptă desenată pe care o vezi este o înşiruire de multe, multe puncte mărunte, ia o lupă şi priveşte la imaginea ce se măreşte. Acolo le vei vedea pe punctuleţe cum vor ele să te păcălească, bine ascunse, ca privirea ta să nu le găsească. Dar chiar de sunt ele bine pitite, tu vei şti că de fapt sunt puncte înşiruite . E adevărat că, fiind foarte mici aceste puncte şi multe, multe foarte, privirea ta nu le mai sesizează pe fiecare în parte, ochii tăi nu mai insistă, ca să vadă mica distanţă ce între punctele acelea există şi uite aşa în faţa ta apare linia. Dacă ştii că dreapta este a punctelor înşiruire, îţi dai seama cât e de subţire? Că doar atunci când vei pricepe că ea, dreapta, este cu mult, cu foarte mult mai subţire decât un fir de păr, vei fi aproape de adevăr! De fapt, un fir de păianjen, decât o dreaptă este mult mai gros, vorbesc serios! Când pe dreaptă noi o desenăm, de fapt cam mult o în-groşăm şi astfel exagerăm. Facem aşa, ca să o pu-tem vedea!

218

Deci dreapta este ca un drum format din puncte între care nu este liber loc cam deloc, punctele fiind înşiruite şi unul de altul lipite. Înşiruite sunt mărunt, unul după altul, unul după altul într-o succesiune cu o singură dimensiune. Adică dacă pe dreaptă să o desenezi vrei, vei desena doar o parte din a ei ne-sfârşită lungime, căci ea nu are şi grosime, lăţi-me. Fii liniştit, dacă cumva ai desenat-o pe dreaptă puţin mai groasă, nu mă supăr, lasă, eşti la început şi poate bine nu ai reţinut. Să ştii însă că nu trebuie să o îngroşi deloc, ci doar atât cât are nevoie privi-rea ta ca să o poată vedea! Trebuie să reţii că înşiruirea de puncte din care este alcătuită dreapta ta niciodată nu se va termina! Deci întotdeauna vei desena doar o parte din dreap-ta ta. Spuneam că atunci când pe dreaptă o dese-năm, noi (oricât de subţire am face-o) de fapt prea mult o îngroşăm. Dacă n-am face aşa, n-am putea-o vedea! Dar chiar dacă noi n-am putea-o vedea, ea tot acolo ar exista!!! Nu noi, oamenii, o creăm, ci doar o marcăm, ca s-o vizualizăm. Direcţia pe care merge ea, dreapta ta, chiar acum există oricum. Pe direcţiile, pe drumurile prin spaţiu nu noi le-am fă-cut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut! Iar spaţiul, negreşit, este nesfârşit. De aceea şi dreapta ta, înşiruirea ta de puncte pe o anumită direcţie, îţi dau de veste, tot nesfârşită este.

219

Dacă pe o dreaptă noi o desenăm, trebuie pe urmă un nume să-i dăm. Ca şi la denumirea punctelor, se folosesc li-tere, numai că la drepte, aici, vom folosi litere de tipar mici.

Segmentul de dreaptă

Pentru ca să îţi prezint şi aceste informaţii clar, elocvent, mai întâi îţi voi explica ce înseamnă «segment». Ei bine, acest segment de dreaptă, fiind deci segment, din dreaptă este doar o parte, doar un fragment. Acest segment fiind un fragment, adică o parte din dreaptă, este o bucată finită din dreapta care este nemărginită, nesfârşită, deci infinită. Seg-mentul de dreaptă este o bucată mai mică sau mai mare din dreapta ta, adică până la urmă tot se va termina. El are un început şi are şi un sfârşit, adică este la cele două capete

220

mărginit. La fiecare din cele două capete ale segmentului de dreaptă locuieşte mărunt câte un punct. Priveşte pe urmă-torul desen şi vei vedea că pe cele două puncte le-am marcat şi cu două litere mari de tipar le-am notat. A B | | Să fii atent că punctul A şi punctul B sunt bine pitite pe dreaptă şi să le vezi te aşteaptă exact în locurile unde cu cele două mici liniuţe am marcat că acolo pe dreaptă am tăiat. Desigur că între punctele A şi B există o înşiruire de foarte multe alte puncte mărunte. Important este să reţii că această înşiruire nu este nesfârşită, ci finită. Deci în mintea ta să fie lumină, segmentul de dreaptă începe şi se termină. A B | | Cu alte cuvinte, când pe segmentul de dreaptă l-am năs-cut, altceva nu am făcut decât din dreaptă o parte, o bucată, un fragment, adică un segment să luăm, deoarece cu nemăr-ginirea dreptei nu putem în lumea noastră să lucrăm.

Linia frânt ă închisă şi deschisă

Spuneam mai înainte că în locurile unde pe dreapta noastră am tăiat, cu două liniuţe acolo am bifat. Vorbind de tăiere, gândul tău s-ar putea duce la fierăstrău. Desigur, pe asemenea instrument noi nu l-am utilizat, dar el este intere-sant de studiat. Iată, o întrebare nu-mi dă pace şi vine la mi-ne: «Cum de fierăstrăul taie-atât de bine ?» Unii oameni ar răspunde negreşit: «Pentru că e ascuţit!» Desigur, dreptate ar avea, dar tu gândeşte-te şi la altceva! La forma sa! Dacă

221

tăişul fierăstrăului ar fi drept, poate fi el oricât de ascuţit, (mai ceva ca un cuţit!), o zi întreagă ai să stai, pe o bucată de lemn mai groasă ca s-o tai! Aşadar hai să ne gân-dim la forma lui , la forma lamei fierăstrăului!

După cum vezi, lama fierăstrăului nu este dreaptă, ci zimţată fiind astfel alcătuită din colţuri ascuţite, ca şi cum ar fi vârfuri de cuţite. Aceste colţuri ascuţite sunt dinţii lui, dinţii fierăstrăului, spaima lemnului. Lama aceasta nu este construită aşa la întâmplare, rolul ei este foarte mare. Oame-nii care pe fierăstrău l-au construit, mai întâi bine s-au gân-dit, căci iată, având această formă lama sa, mai repede şi mai uşor poate tăia. Dragi copii, dar această formă de zigzag am zărit-o şi la gardul vecinului meu drag.

222

Îşi construise partea de sus a gardului aşa, ca hoţii să se poată înţepa. Măi copii zglobii, văzând eu pe forma lui, a fierăstrăului şi pe forma lui, a gardului, văzând deci pe aceste forme în zigzag, mi-am adus aminte de un muscoi ce nu-mi este prea drag. Mai deunăzi mă chinuia, mă bâzâia, astfel încât nu mă puteam pe deplin relaxa. Îmi cam dau eu seama ce este a-

223

cum în capul tău. O întrebare ar putea să fie acum în capul tău: « Ce legătură e între muscă, gard şi fierăstrău ? » Iată, dacă răspunsul ţi se pare prea greu, îţi voi explica eu. După cum ţi-am spus, musca mă cam chinuia, căci zbura şi bâzâ-ia. Ce mai, de cap îşi făcea prin camera mea! Am suportat eu cât am suportat, dar deodată m-am enervat şi cu palmele spre muscă m-am aruncat. Sigur că musca s-a speriat! Eu continuam şi din mâini repede dădeam, fiindcă încercam ceva nu tocmai uşor, voiam s-o prind din zbor. Atunci mus-ca zbura ca împuşcată şi îşi schimba direcţia deodată. Când spre stânga, când spre dreapta, zbura ca apucata, deodată-n sus şi deodată în jos schimbând direcţia periculos. Periculos pentru mine era, căci încercând să o prind aşa cum doream, era să dau cu palma-n geam. La un moment dat şi musca ta-re s-a enervat. A început să bâzâie mai tare şi în zigzag să zboare. De nimic muştii nu-i mai era drag şi zbura în zig- zag. Mai jos eu am desenat drumul pe care musca zbura când foarte nervoasă era.

Desigur, musca proceda aşa şi ca să mă poată deruta. Să lăsăm musca să zboare şi să privim la acest desen cu atenţie mare! Ei, s-a luminat acum în capul tău ? Pricepi ce legătu-ră e între muscă, gard şi fierăstrău ? Drumul pe care musca mea zbura are forma lui, a tăişului fierăstrăului, precum şi forma lui, a gardului care avea partea de sus în forma unor ţepe, pentru ca hoţii să se înţepe. Vă mai fac o precizare de o importanţă mare. Drumul prin aer pe care musca zbura, desigur, nu se vedea, dar el oricum exista. Pe acel drum nici

224

noi, nici musca nu l-a creat, ci doar printr-un desen l-am marcat, pentru a putea fi vizualizat. Acel drum pe care mus-ca zbura, oricum dinainte exista, musca atunci doar pe el zbura. Pe drumurile, pe direcţiile prin spaţiu nu noi le-am făcut, ele existau cu multă vreme înainte ca noi să ne fi năs-cut. Haideţi înapoi la desen, că ne aşteaptă. Vă rog să obser-vaţi segmentele de dreaptă! Drumul muştei după care am alergat, din segmente de dreaptă este format. Iată că le-am şi notat! Trebuie neapărat să ai habar că în punctul unde se întâlnesc două segmente de dreaptă se scrie o literă mare de tipar. F L B D H J A C E G I K M

Şi uite-aşa marcând acest drum pe care a zburat o vieţui-toare din lumea celor care nu cuvântă, am descoperit-o pe li-nia frântă. Să o studiem pe această linie frântă cu atenţie mare gândindu-ne la zborul acestei mici vieţuitoare. Negre-şit, musca aşa de uşor nu s-a oprit nici din călătorit, nici din bâzâit, căci nervii ei nu s-au potolit. Cum spuneam, de ni-mic nu-i mai era drag şi continua să zboare în zigzag. Fiţi atenţi ce se întâmpla. Pe aceste porţiuni ca segmentele de dreaptă din calea sa, musca drept zbura. Apoi, cu nervi fiind încărcată, îşi schimba direcţia de deplasare îndată, fulgeră-tor, brusc, rapid, cu viteză de bolid. Încă o dată pe atenţia ta vreau să o atrag la acest zigzag. Pe drumul muştei în zigzag noi l-am desenat pentru a-l putea vizualiza îngroşând linia.

225

Această linie îţi arată ce mult musca în zbor se frământă şi se numeşte linie frânt ă. Chiar dacă pe drumul ei în zigzag, pe această linie frântă noi nu ne apucam a-l desena, nu te speria, el tot exista şi chiar dacă nu-l puteai vedea, ţi-l puteai imagina cu mintea ta. Dar cu ajutorul unor segmente de dreaptă noi l-am desenat, pentru a fi mai uşor de identificat prin vizualizat. Şi-uite-aşa, negreşit, pe linia frântă am des-coperit. Să mai privim o dată al muştei drum, cu ajutorul segmentelor de dreaptă desenat, marcat şi care ne arată zborul muştei frământat. F L B D H J A C E G I K M Această linie formată din mai multe segmente de dreaptă seamănă şi cu dinţii de la fierăstrăul construit de o minte deşteaptă. Mai bine vei tăia cu un astfel de fierăstrău, zău! De asemenea, are forma părţii de sus a gardului, forma unor ţepe, ca hoţii să se înţepe. Tot această linie frântă seamănă cu dreapta mea ce-a fost ruptă, vai de ea! Dar această linie frântă, cu cine mai seamănă, oare ? Cu vârfurile munţilor văzute din depărtare! Pe o astfel de linie frântă o vom numi linie frân-tă deschisă, neapărat, atât timp cât musca nu s-a mai întors la locul de unde a plecat şi nici a doua oară nu a mai ...„călcat“ printr-un loc pe unde a zburat (adică pe drumul ei nu şi l-a tăiat). Fii atent, ca să vezi ce s-a întâmplat când, după zborul acesta frământat, musca a revenit în locul de unde a

226

plecat. După ce a revenit în punctul, în locul de unde a plecat, cum am zis, linia frântă s-a închis. Dacă la locul de unde a plecat musca nu revenea sau măcar o dată pe drumul ei nu şi-l tăia, linia frântă nu se închidea. Dar pentru că linia frântă s-a închis (fără zăvor!), este acum o linie frânt ă în-chisă, puişor. Îţi voi desena îndată cum o linie frân-tă închisă arată. I A K G L J H B F C

D E Din ce este format aici al muştei drum? Desi-gur, din tot ceea ce am spus şi până acum, adică tot din segmente de dreaptă este format, numai că între ele s-a creat, s-a format un spaţiu izolat, încuiat. A-ceastă figură geometrică seamănă cu o bucată de foaie întâmplător decupată, dar cu marginile în linie dreaptă. Mai seamănă cu creasta unui cocoş ... şifo-nată după o luptă aprig disputată. Creasta şifonată a lui, a cocoşului şi bucata de foaie după diferite di-recţii tăiată (cu marginile în linie dreaptă) sunt, de-sigur, lucruri diferite, dar au ceva asemănător: for-

227

ma lor. Forma lor, mai înainte desenată, este evi-denţiată, arătată prin nişte segmente de dreaptă care parcă formează o încăpere bine ferecată. Dacă o pi-sică ar fi ca un punct mărunt şi în interiorul figurii geometrice ar fi aşezată, atunci de restul lumii ar fi izolată şi cu toată căutarea ei, eventual vânzolire, n-ar găsi nici o ieşire. Pe această linie frântă închisă trebuie să o cunoască orice om şi să ştie că se nu-meşte poligon. Îţi dau această informaţie care îţi va folosi la o lecţie care «Poligoane» se va numi. A F

E B

C D

228

Linia curb ă închisă şi deschisă

Chiar din acest titlu, iată, o parte din lecţie îţi este cla-rificată. Mă refer la faptul că ştii deja că tot despre o linie vom discuta. Această linie şerpuieşte ca suprafaţa apei în care înoată un peşte.

229

Şi tot această linie seamănă bine, la o adică, cu aţa deşi-rată de pisică atunci când o chem şi-i dau să se joace cu un ghem.

După ce mâţa pe ghem bine l-a flocăit, desigur că aşa ceva a ieşit. Această aţă deşirată e ca o linie curbă, iată, care cu siguranţă nu este dreaptă! Când văd cum îşi schimbă ea direcţia încetişor, îmi aduc aminte de drumul pe care mergea un melcuşor. Ţie nu ştiu despre ce îţi aminteşte, dar uite, îţi dau câteva su-gestii utile, fireşte. Linia aceasta curbă te poate fa-ce să te gândeşti la firele lungi de păr haihui aflate în bătaia vântului, la firele de curent electric dezor-donate ale unui prelungitor aflat la tine-n dormitor sau la nişte fierte macaroane aflate în castroane. Dragi copii, este uimitor cum linia curbă îşi schimbă direcţia încetişor. Prin aceasta ea se şi deo-sebeşte de linia care frântă se numeşte. Iată, din li-

230

nia curbă am să iau o bucată care va fi de noi mai atent studiată. Vă spuneam că această linie curbată mie îmi aminteşte de mersul lui, al melcului. Dar acum nu doar spun, ci şi ex-plic ceea ce vreau să zic. Drumul melcului e lin cum e şi melcul calin (să ştii matale, adică moale). A mers melcul cât a mers drept şi la un moment dat el spre stânga a virat, adică direcţia de deplasare şi-a modificat. Însă atenţie mare la această modificare a direcţiei de deplasare! El nu şi-a modi-ficat direcţia de deplasare brusc, rapid, fulgerător, deodată (ca musca disperată), ci şi-a modificat direcţia de deplasare lin, încet, abia, abia, de parcă pe-o roată mergea. Să ştiţi voi că şi această linie curbă este alcătuită tot din puncte multe, multe şi înşiruite după cum era alcătuită şi so-ra sa, linia ce dreaptă se numea. Şi dacă aşa este, totuşi ce le deosebeşte? Bine, bine, vedem noi ce le deosebeşte prin desen, vedem noi că nu sunt la fel, dar vreau să şi înţelegem niţel. Am dat de ştire că dreapta, ca şi segmentul de dreaptă este a punctelor înşiruire ordonată, pe o anumită direcţie da-tă. Este treaba ta care vrei să fie direcţia. Poţi să o alegi la întâmplare sau nu, cum vrei tu! O dată însă ce direcţia a fost aleasă, pe acea dreaptă sau segment de dreaptă punctele

231

trebuie să stea înşiruite în şirul lor drept perfect permanent, evident. Nici un punct nu iese din şirul drept, nici măcar ni-ţel, toate punctele respectă alinierea dreaptă fidel! Imediat ce un punct mărunt din alinierea segmentului de dreaptă a ieşit, fie şi la o distanţă puţină, în acel loc segmentul de dreaptă se termină sau, fii atent mata, linia sa începe să-şi schimbe direcţia. Linia curbă este alcătuită din puncte multe, mul-te, unul după altul înşiruite din care unele au deve-nit cam plictisite de atâta aliniere în linie dreaptă, astfel încât unele puncte au ieşit din rândul, şirul drept, au ieşit tiptil, uşor, modificând astfel direcţia drumului lor. După cum se vede, iată, nu numai ali-nierea copiilor poate fi uneori cam ... indisciplinată, ci şi alinierea lor, a punctelor, care din alinierea li-niei drepte uşor au ieşit şi astfel pe linia curbă au alcătuit. Am subliniat acest cuvânt, uşor, pentru ca să nu fii tu întrebător, căci şi la linia frântă multe puncte din alinierea liniei drepte ieşeau, şi totuşi linii curbe nu alcătuiau! Acelea o linie frânt ă for-mau. Numai că la linia frântă punctele ieşeau din alinierea liniei drepte brusc, rapid, fulgerător, deo-dată, aşa cum îşi schimba direcţia de zbor musca disperată. Poţi să te întorci şi să priveşti desenul cu linia frântă încă o dată. Dar mai bine ţi le reamin-tesc eu pe amândouă, iată!

232

La liniile închise vârful instrumentului de desenat se în-toarce în locul de unde a plecat sau taie o dată drumul mar-

233

cat pe care deja s-a deplasat! Ia naştere astfel repejor al fi-gurii geometrice interior. Acest interior este izolat, de restul lumii separat. De altfel, pe desen aceasta e uşor de sesizat! Dar să revenim la ceea ce spuneam anterior, la cum îşi schimbă linia curbă direcţia uşor, deci nu deodată ca musca disperată! Pentru a-ţi arăta cum linia curbă îşi schimbă di-recţia uşor, mai am un exemplu edificator. Gândeşte-te la şoferii care trebuie la curbe să-i schimbe maşinii direcţia de deplasare din mişcare. Spune tu ce s-ar întâmpla dacă direcţia de deplasare a maşinii rapid, brusc, deodată s-ar schimba? Desigur, maşina s-ar răsturna! Deci dacă maşina o viteză destul de mare are, direcţia ei de deplasare nu se va schimba deo-dată, brusc, rapid, fulgerător, ci cu atenţie, uşor. Fa-ce altfel cine-i cascador!

Vă spuneam anterior că unele puncte să stea ali-niate în linia dreaptă s-au cam plictisit, astfel încât din alinierea liniei drepte uşor au ieşit şi astfel pe linia curbă au alcătuit. «Ce puncte dezordonate, ce indisciplinate!» ar spune unii... Cu dreptate ? Sau nu? Ce spui tu? Poate răspunsul îţi pare greu, aşa că te voi ajuta eu. Am folosit expresia «puncte indis-ciplinate», dar spre marea noastră mirare, uneori,

234

această indisciplină e ...folositoare. Gândeşte-te că pe direcţia ta de deplasare care este dreaptă, une-le obstacole te aşteaptă. Bine să gândeşti! Ce faci, te izbeşti? Nu, atunci, fireşte, ocoleşte! Desigur, de foarte multe ori nu este nevoie să ocoleşti ca musca disperată, să-ţi schimbi direcţia de deplasare brusc, rapid, deodată (mintea în cap îţi poate fi rău zdruncinată!) Înţelept vei fi mata şi pe un drum ca o linie curbă atunci te vei deplasa! Chiar te poate relaxa aşa ceva! E adevărat, puţin mai lung va fi atunci drumul tău, dar ai scăpat de un lucru rău. Atenţie mare, şi linia curbă este folositoare! Ca să nu mai spun că o imagine nu prea are cum să fie frumoasă fără linia curbă cea sinuoasă, adică şer-puitoare. Păi cum ai desena o floare? Dar să-ţi vorbesc puţin de un obiect cu largă uti-lizare în lumea toată numit roată. Demult, demult, o mare invenţie a schimbat lumea toată, căci s-a in-ventat prima roată. De atunci şi până acum roţile trăiesc şi în multe locuri oamenii le folosesc. Roţi-le, fiecare, au o importantă utilizare. Sunt folosite pentru a obţine mişcare. Desigur, orice roată este un corp mai uşor sau mai greu, mai mic sau mai mare şi care are şi o anumită culoare. Referitor la a-ceste însuşiri ale lor, putem spune că în mărime, în culoare sau în greutate roţile între ele sunt mult di-ferenţiate.

235

Şi totuşi, ia fii tu atent niţel! La toate roţile ce este la fel? Dacă atent vei fi, nu vei privi întrebător. Desigur, forma lor! La fel este forma lor, a tuturor roţilor, chiar dacă unele

236

sunt mai mici, altele mai mari, unele mai grele, altele mai uşoare. Atenţie mare! «Toate au forma rotundă!» am spu-ne noi sperând să ne ajungă ( să ne ajungă cât am învăţat, fiindcă mulţi cred că au terminat de învăţat, că altceva nu mai poţi să înveţi despre roţi ). Dar mai fii tu atent un pic, ce este aceea formă voi încerca să-ţi explic. În lumea noastră orice corp ( fiinţă sau obiect, lucru) mai mare sau mai mic trebuie să fie mărginit, altfel ar fi infinit. Din fericire (uneori din păcate), corpurile de pe pământ sunt limitate. Marginile lor, de jur împrejur, le formează corpurilor un anumit contur. Aceste margini ale corpului care îi formea-ză conturul şi îi dau forma lui, a corpului, îl separă pe acel obiect de lumea înconjurătoare, adică de al-te obiecte sau fiinţe din lume îl detaşează, şi pe mă-rimea lui o limitează. Dacă marginile, conturul (ce îi dau corpului forma) pe acel corp de alte corpuri nu l-ar separa, nu l-ar limita, mărimea acelui corp nu s-ar mai termina. Desigur, nu e posibil aşa ceva, căci vă dau de veste, realitatea, lumea în care trăim nu-i ca în poveste. Acest contur, această formă a lor, a corpurilor, poate fi la fel, chiar dacă un obiect e mai mare şi altul mai mititel, chiar dacă unele obiecte sunt grele şi altele mai uşoare, chiar dacă au sau nu aceeaşi culoare. Iată ce au toate roţile la fel: forma lor pe care să o desenez şi eu am să încerc, ea numindu-se cerc.

237

Această formă geometrică este foarte frumoasă şi când e desenată se foloseşte o linie curbă închisă a cărei grosime a fost mult exagerată, pentru a fi de noi vizualizată. Iată, pe acest contur te poţi plimba cu privirea de jur împrejur roată şi ai putea să nu te opreşti niciodată. Nu contează că un cerc este mai mare şi altul este mai mititel, căci forma e la fel. Priveşte! Această formă geometrică cerc se numeşte! Acest cerc, acest contur este ceea ce rămâne după ce culoarea şi toate bucăţelele care pe o roată o formau (stând una lângă alta grupate, adunate), au fost înlăturate, îndepărtate! Deci din roată, tot ce însemna culoare, tot ce însemna material ca-re o alcătuia a fost aruncat, înlăturat şi doar pe forma ei noi am păstrat. În mintea oamenilor forma roţii continuă să tră-iască, de aceea oamenii pot şi alte roţi sau alte obiecte rotun-de să mai construiască. Sper că reuşesc să te fac să înţelegi ceea ce încerc. Această formă se numeşte cerc! Atenţie! Pe acest drum cu forma geometrică de cerc nu linia noastră cur-bă închisă îl crea, ci doar îl marca, îl evidenţia, îl desena, ca noi să-l putem vedea. Pe drumurile, pe direcţiile, pe locurile

238

prin spaţiu, ( pe unde se pot afla punctele ) nu noi le-am fă-cut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut. Cercul desenat este format din nişte puncte într-o înşiruire de-a lungul unui drum foarte, foarte subţire, curbat, pe care ajungi până la ur-mă în locul de unde ai plecat. Pe acest contur, de jur îm-prejur noi doar l-am marcat îngroşând exagerat mulţimea punctelor de pe linia curbă ce le-a evidenţiat. Dacă la îngro-şarea acelei linii curbe închise noi nu am exagera, pe acea formă, pe acel contur noi nu l-am vedea, deşi el tot acolo s-ar afla, ar exista şi l-aş putea vedea cu ...mintea mea! Dar aşa, mai îngroşat, forma, conturul, cercul, poate fi de privi-rea noastră sesizat.

Dacă tu te vei aşeza în centrul lui, al cercului, toate punctele care pe al lui contur îl alcătuiesc, la aceeaşi distan-ţă de tine se găsesc. Şi mai bine vei înţelege aşa ceva când cât un punct te vei imagina şi atunci o să te pui fix în centrul cercului! Mie-mi place acest contur, hai să mai dăm pe el un tur, un ocol încă o dată, cu privirea roată. La fel poţi să-ţi roteşti privirea o dată, de două ori sau de trei sau de câte ori vrei şi pe forma conturată de la o mai mică sau mai mare roată, pe conturul care pe toată roata o mărginea şi forma de cerc îi dădea. Dar această formă, oare, o fi de o importanţă aşa ma-re ? Că despre ea, negreşit, destul de mult am vorbit. Ce o fi

239

atât de deosebit ? Păi, hai să luăm un biscuit. Indiferent de a lui formă, dacă are sau nu contur de cerc, eu tot să-l mănânc am să încerc. Şi la urma urmei, indiferent de forma şi chiar de mărimea lui, a biscuitului, că e mare sau mai mititel, gus-tul lui este la fel. Deci dacă ţi-e poftă şi vrei să-l mănânci, fii pe fază, forma lui nu contează, nu te interesează. Bine, bine, de biscuit eu acum am vorbit, dar n-ar strica să-mi bucur a mea gură cu o bucăţică de prăjitură. La această prăjitură cu gust delicat, de forma ei sunt eu interesat ? Dar mai las-o în-colo de formă, să i-o dea bucătarul cum o vrea, pe mine mă interesează altceva. Mă interesează al ei conţinut cu gustul acela plăcut dat de substanţele din care e făcut. Mă mai inte-resează chiar şi a prăjiturii culoare, căci îmi stimulează pofta de mâncare. Hai, înţelegeţi, că nu este greu! Păi, pe formă o mănânc eu? Desigur, nu, dar fii atent tu! Să nu gândeşti întotdeauna aşa, pentru că fiecare formă geometrică are im-portanţa sa. E adevărat, uneori forma unui obiect chiar nu te interesează, dar de multe ori ea foarte mult contează. Vreau să ştiţi, neapărat, că tocmai o anumită formă pe traiul oame-nilor l-a schimbat. Orice om înţelege după ce gândeşte că fără forma pe care o are, o roată nu se roteşte! Iată, să vă explic încerc cât de importantă este forma de cerc! Păi ce, mărimea roţii sau greutatea ei îi dădea voie la învârtire? Culoarea ei cum-va îi permitea să facă vreo rotire? Desigur, nici vorbă de aşa ceva. Rotirea roţii se putea datorită formei pe care roata o avea. Forma ei îi permitea să fie rotită, rostogolită cât vrea. Şi-uite-aşa roţile se învârteau, o dată, de două ori sau de trei sau de câte ori vrei, ca să poată şi maşina mică sau mare să realizeze mişcare, deplasare şi astfel noi să facem cu ea o plimbare. Salutare!

240

Poligoane

O muscă enervată deveni foarte supărată pentru că de peste tot era alungată, astfel că a aterizat uşor pe marginea ecranului de la calculator. Monitorul de la calculator funcţiona, iar lumina de la el pe muscă o cam atrăgea. De aceea chiar pe marginea, muchia lui, a monitorului musca s-a aşezat şi s-a apucat de plimbat.

Bineînţeles că musca mergea pe un drum care nicidecum nu se forma acum, el exista deja, musca doar îl străbătea. Deoarece repede din picioruşe dădea, nu după mult timp, ba chiar imediat, musca a ajuns în locul de unde a plecat. Eu tot o urmăream pe musca aceasta vioaie şi îmi închipuiam că ea e vârful creionului pe o foaie. Şi-uite-aşa, în imaginaţia mea, în urma muştei, în urma sa o linie frântă închisă rămânea. Această cale în formă de linie frântă închisă pe care musca mergea nestingherită, din patru segmente de dreaptă este al-cătuită: AB, BC, CD şi DA.

241

A D

B C Aminteşte-ţi că linia subţire este a punctelor mărunte în-şiruire şi oricât de subţire tu o vei desena, tot vei exagera, adică mult mai groasă o vei trasa cu necesitate decât este ea în realitate. Desigur, procedezi aşa, ca să o poţi vizualiza. În realitate linia este de o aşa subţirime, încât nu are deloc gro-sime, lăţime, ci doar lungime mai mică sau mai mare, depin-de de a punctelor înşirare. Observă că pentru a arăta, a mar-ca, a evidenţia, pentru a vizualiza al muştei drum, noi am exagerat îngroşând-o puţin acum. Dacă pe această linie frân-tă închisă noi nu o îngroşam, noi nu o mai vedeam şi deci nici pe drumul străbătut de această mică făptură nu-l mai vedeam sub formă de geometrică figură! Dacă eşti atent, vei observa uşor că drumul stră-bătut de muscă e forma ecranului de la calculator. Este şi logic să fie aşa, doar musca se plimbase pe marginea sa, pe marginea lui, a monitorului, pe al lui contur, de jur împrejur. În ordinea inversă mer-sului acelor de ceasornic musca se plimba şi când la colţurile ecranului ajungea, ea spre stânga sa vira cu o rapiditate uimitoare schimbându-şi brusc di-recţia de deplasare.Vreau să vă mai spun ceva. Dru-mul pe care musca s-a deplasat nu a fost nici de

242

noi, nici de muscă creat. Pe drumurile, pe direcţiile prin spaţiu nu noi le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut. Adică chiar dacă în îngroşarea liniei frânte închise eu nu exageram pentru a o pu-tea vizualiza, chiar dacă nu o puteam vedea, ea tot acolo exista şi o puteam vedea cu ...mintea mea. E ca şi cum din ecranul monitorului pe tot con-ţinutul lui l-ai arunca şi ar rămâne doar forma sa. Copii, când musca mergând fără să se întoarcă pe acelaşi drum (şi nu l-a tăiat) a ajuns în locul de un-de a plecat, drumul ei era în formă de pătrat .

Atenţie, îţi spun dumitale, observă că pătratul are toate laturile în lungime egale. (De fapt aceste 4 laturi, segmente de dreaptă, să mai fie egale şi în altceva nici nu mai puteau, pentru că doar lungime au!) Hai să vedem acum ce putem spune despre al muştii drum prin această figură geometrică marcat, desenat, evidenţiat sub formă de pătrat . În afară de locurile, punctele în care musca spre stânga brusc, rapid îşi schimba direcţia, în rest ea drept mergea.

243

Observă, neapărat, că în acest drum al ei musca în patru direcţii s-a deplasat.

Dacă pe figura geometrică de mai sus, din partea dreaptă, cu atenţie te-ai uitat, probabil că deja ai şi aflat din ce este format un pătrat . În primul rând un pătrat este o linie frântă închi-să şi orice linie frântă închisă formează o figură geometrică numită poligon, măi pui de om! Şi cum tu eşti o fiinţă deşteaptă, vei pricepe că laturile poligonului sunt segmente de dreaptă. Un poligon poate avea câte laturi vrei, dar nu mai puţin de trei! Priviţi cu atenţie mare la poligoanele următoare:

244

245

Astfel de forme pot avea bucăţile care au căzut după ce s-au rupt dintr-un geam ce ţăndări s-a făcut cu un zgomot acut. Atenţie deci la forma lor, a poligoanelor, ca o creastă de cocoş la ... coafor. Mai râdem puţin, să învăţăm cu spor. După cum spuneam, pătratul este şi el un poligon. El are patru laturi, poate vedea orice om (AB, BC, CD şi DA). Spune şi tu repede: Pătratul ABCD! Cele patru segmente de dreaptă sunt laturile lui, ale pătratului şi toate între ele sunt în lungime egale. Dar vreau să-ţi mai spun eu ceva matale. Fii atent cum sunt aşezate una lângă alta laturile sale. A D B C Ele cad una pe cealaltă după o direcţie dreaptă. Adică, pentru ca mai bine să înţelegi dumneata, un exemplu îţi voi da. Dacă în mâna ta ţii lini ştit un obiect, apoi îl laşi să cadă, va cădea ... drept. Fără să-şi ia nici un elan, nici un avânt, se va duce direct, drept spre pământ. Ei, vezi matale, cam tot aşa cad unele pe altele laturile sale, laturile lui, ale pătratu-lui.

246

Şi să ştii că nu contează mărimea pătratului, adică dacă este mai mic sau mai mare, forma lui de pătrat e aceeaşi, frăţioare! După ce musca s-a săturat de plimbat repejor pe margi-nea ecranului de la calculator, în bucătărie s-a mutat prin zburat la o mică distanţă, pe o placă de faianţă. Deoarece lu-ciul plăcii de faianţă nu-i prea plăcea, fiindcă pe el puţin a-luneca şi încă o muscă în el ca într-o oglindă se mai vedea, musca din imagine s-a plimbat pe margine. Pe marginea ei, a plăcii de faianţă, dragii mei! Ce-i drept, pe marginea plăcii de faianţă nu avea de parcurs prea multă distanţă. Aici a în-ceput plimbarea repejor, ca şi pe marginea ecranului de la calculator. Ca şi acolo, când drumul ei în jurul plăcii era o dată încheiat, el era în formă de pătrat .

Nu contează că acum acest drum în formă de pătrat, ca lungime este mai mititel, forma lui de pătrat este la fel!

247

Deci să fie clar, pătrat mare sau pătrăţel, forma lui este la fel!

Acum, pentru ca puţin să vă relaxaţi în timp ce învăţaţi, vă rog să căutaţi o sârmă cât mai subţire, asemănătoare cu ale părului fire. Pentru sârmuliţă pe părinţii voştri să-i rugaţi, să nu cumva să vă apu-caţi ceva să demontaţi şi să stricaţi. După ce pe sâr-muliţă aţi obţinut, fiţi atenţi ce aveţi de făcut. O veţi lua pe sârmuliţă şi o veţi îndoia bine şi cu atenţie cu o anumită intenţie, în aşa fel încât să obţineţi ceea ce vă zic: un pătrat mai mare sau mai mic. De fapt veţi construi forma geometrică a lui, a pătratului. E ca şi cum pe tot conţinutul unui ecran, monitor de calculator l-ai arunca şi ar rămâne doar forma sa. Vedeţi ce interesant? Chiar dacă pe obiect l-ai des-

248

fiin ţat, forma lui, a pătratului rămâne în lume să vieţuiască pentru ca după ea, oamenii şi alte obiecte să construiască! E şi normal să se întâmple aşa, de-oarece forma geometrică dinaintea obiectului exis-ta. Pe drumurile, pe direcţiile din spaţiu, nu noi, oa-menii, le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut! Pe un pătrat tu poţi să îl aşezi în ce poziţie vrei, denumirea de pătrat n-ai cum să i-o iei! D P M A O C N B Acum, după ce te-am învăţat, sper să nu fii ... cap pătrat! Eu aş vrea ca această formă geometrică în gândurile tale bine să locuiască, iar mintea ta despre ea să gândească! După un timp, prin zburat, musca pe marginea unei cărţi s-a mutat. Cu siguranţă nu pentru citit, ci pentru că pe mar-ginea plăcii de faianţă s-a plictisit. Imediat iar s-a apucat de plimbat, tot aşa, pe a cărţii muchie, pe a cărţii margine, după cum se poate vedea şi în următoarea imagine.

249

După ce această muscă pe toate marginile cărţii o dată s-a deplasat, a ajuns până la urmă în locul de unde a plecat. Iată, eu am desenat drumul pe care musca pe marginile căr-ţii s-a deplasat.

250

Dacă eşti atent, vei observa fără doar şi poate că drumul străbătut de muscă e forma cărţii prezentate. E şi logic să fie aşa, doar musca se plimbase pe marginea sa, pe marginea ei, a cărţii, dragii mei, pe al ei contur, de jur împrejur. În ordi-nea inversă mersului acelor de ceasornic musca se plimba şi când la colţurile cărţii ajungea, ea spre stânga sa vira cu o rapiditate uimitoare schimbându-şi direcţia de deplasare. Vreau să vă mai spun ceva. Drumul pe care musca s-a de-plasat nu a fost nici de noi, nici de muscă creat. Pe drumu-rile, pe direcţiile prin spaţiu, nu noi le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut. Adică chiar dacă în îngroşa-rea liniei frânte închise noi nu exageram pentru a o putea vi-zualiza, chiar dacă nu o puteam vedea, ea tot acolo exista şi o vedeam cu ...mintea mea. E ca şi cum din carte pe tot conţinutul ei l-ai arunca şi ar r ămâne doar forma sa. La un moment dat musca noastră, să ştii, a zburat pe marginea unei fotografii. Deoarece i-a plăcut de persoanele care erau prezentate în ea, a început să se plimbe pe margi-

251

nea sa. Apoi pe marginea altor fotografii s-a mutat şi bine-înţeles, iar s-a plimbat. Eu vă rog cu atenţie să priviţi forma lor, a fotografiilor. Desigur, puteţi privi şi imaginile, nu mă împotrivesc, căci din fotografii fiinţele frumoase vă zâm-besc.

Observaţi că deşi o fotografie este mai mică şi alta mai mare, chiar dacă s-a fotografiat de aproape sau din depărta-re, oricum a ieşit chipul omului pozat, mai mare sau mai mi-titel, şi indiferent că s-a pozat o femeie, un bărbat sau un bă-

252

ieţel, forma tuturor fotografiilor este la fel. Mai mult, forma tuturor fotografiilor este la fel ca forma cărţii pe marginea căreia musca mergea. Chiar aşa! Să nu cumva să te inducă în eroare poziţia pozei, culcată sau în picioare. Forma este la fel şi o vom studia niţel.

253

Studiază bine acest contur desenat. Seamănă cu un pă-trat ... lăbărţat. Desigur, nu este pătrat, fiindcă după cum vezi matale, nu toate cele patru laturi sunt între ele egale. Laturile lui, ale conturului, să le studiezi te aşteaptă. E vorba de patru segmente de dreaptă. Fiecare latură, care e un segment de dreaptă (AB, BC, CD şi DA ), este egală (du-pă cum vezi mata) doar cu aceea din faţa sa, nu şi cu aceea de lângă ea! A D B C

254

În rest, ca şi la pătrat, ele, laturile cad una pe cealaltă du-pă o direcţie dreaptă. Adică, pentru ca mai bine să înţelegi dumneata, un exemplu îţi voi da. Dacă în mâna ta ţii nemiş-cat un obiect, apoi îl laşi să cadă, acel obiect va cădea pe un drum drept. Fără să-şi ia nici un elan, nici un avânt, se va duce direct, drept spre pământ! Vezi matale, tot aşa cad unele pe altele laturile sale, laturile lui, ale dreptunghiului! A D B C Acum este timpul să aflaţi, fireşte, că o astfel de figură geometrică dreptunghi se numeşte. Laturile sale cad drept una pe cealaltă, după cum v-am arătat şi vouă şi sunt egale două câte două. Atenţie, ca să nu fii înşelat, cele patru laturi nu sunt toate egale între ele ca la pătrat. Două laturi sunt egale între ele şi sunt mai mititele, de aceea se numesc lăţimi (segmentele de dreaptă AB şi CD) şi două laturi care sunt tot egale între ele, sunt mai lungi, ca nişte prăjini şi se numesc lungimi (segmentele de dreaptă AD şi BC). Spune-i

255

şi tu numele repede: dreptunghiul ABCD! (Atenţi să fi ţi, ca să aveţi habar, în punctul unde se întâlnesc două segmente de dreaptă se scrie o literă mare de tipar!) Vreau să vă mai spun că poţi pe dreptunghi să-l aşezi în ce poziţie vrei, denu-mirea de dreptunghi n-ai cum să i-o iei. Mai mult, chiar da-că vei încerca tu să-l desenezi mai mare sau mai mititel, for-ma lui de dreptunghi va rămâne la fel!

Dragi copii, nu ştiu voi ce-aţi simţit, dar eu când le-am văzut pe aceste dreptunghiuri, la feţele de la cutiile cu chi-brituri m-am gândit. Desigur, forma lor te poate face să te gândeşti şi la forma unui bloc sau la cărţile de joc şi după cum mai înainte ne-am lămurit, chiar la forma cărţilor pen-tru citit. Vouă, băieţeilor care în mod special fotbalul vă pla-ce, atenţi să fiţi! Dacă fotbalişti doriţi să deveniţi, cât puteţi să vă feriţi de acel obiect pe care îl are domnul arbitru, care este în formă de dreptunghi şi care vă poate supăra ca un

256

junghi. Atenţie mare băieţaş, să nu iei vreun cartonaş! Că dacă acel cartonaş e puţin mai mic sau puţin mai mare, dacă are galbenă sau roşie culoare, aceasta chiar nu va conta pen-tru forma sa, el tot formă de dreptunghi va avea şi te va su-păra când ţi se va acorda, adică ţi se va da de către arbitru prin a mâinii lui ridicare pentru a ta rea purtare. Acum, pentru ca puţin să vă relaxaţi în timp ce învăţaţi, vă rog să căutaţi o sârmă cât mai subţire, asemănătoare cu ale părului fire. Pentru sârmuliţă pe părinţii voştri să-i ru-gaţi, să nu cumva să vă apucaţi ceva să demontaţi şi să stricaţi! După ce pe sârmuliţă aţi obţinut, fiţi atenţi ce aveţi de făcut. O veţi lua pe sârmuliţă şi o veţi îndoia bine şi cu atenţie având ca intenţie să obţineţi ceea ce vă zic, adică un dreptunghi mai mare sau mai mic. De fapt veţi construi forma geometrică a lui, a dreptun-ghiului. E ca şi cum pe tot conţinutul unei cărţi, al unei fotografii, al unui cartonaş cu această formă l-ai arunca şi ar rămâne doar forma sa. Vedeţi ce in-teresant? Chiar dacă pe obiect l-ai desfiinţat, forma lui, a dreptunghiului rămâne în lume să vieţuiască pentru ca după ea, oamenii şi alte obiecte să con-struiască! E şi normal să se întâmple aşa, deoarece forma geometrică dinaintea obiectului exista. Pe drumurile, pe di-recţiile din spaţiu nu noi le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut. Ştiţi unde această formă geometrică mai locuieşte? În mintea omului care la ea se gândeşte! La un moment dat musca s-a oprit din plimbat şi din ca-să a zburat pe furiş aterizând pe al casei acoperiş. Cum vân-tul prea tare nu bătea, pe a acoperişului muchie musca spre vârf tot urca.

257

Precizez că până pe vârf unde habar nu avea ce o aşteap-tă, musca se deplasase în linie dreaptă pe muchia lui, a aco-perişului. După ce în vârful acoperişului s-a văzut cocoţată şi-a schimbat direcţia de deplasare îndată. A continuat să se deplaseze mergând tot în linie dreaptă, dar pe muchia cealal-tă. Deci tot în linie dreaptă mergea numai că acum cobora. Desigur, şi pe această parte, la un moment dat acoperişul s-a terminat, deoarece, negreşit, este un corp finit. Deodată musca cu capul în jos s-a trezit, cred că v-aţi lămurit, ea mergea acum pe sub baza lui, a acoperişului. Baza acope-rişului este acea parte din acoperiş ce se află în partea de jos a lui (priveşte pe desen bine) şi care pe tot acoperişul îl ţine. Şi pe sub baza sa musca tot în linie dreaptă se deplasa. Şi s-a tot deplasat până a ajuns în locul de unde a plecat. Apoi musca a zburat către un copil care într-o cameră lucra şi curioasă o făcea. Adevărul e că îşi dorea o plimbare pe o bucăţică de mâncare. Obiectul pe care acel copil îl lu-

258

cra, mâncare însă nu era ( deşi musca la aşa ceva spera), ci coif se numea.

Musca curioasă de data aceasta a luat plasă. Ce rău este să fii muscă şi să nu ai habar că nu poţi mânca o bucată de ziar! Şi dacă acest coif nu era bun de mâncare, măcar se pu-tea face pe el o plimbare. Aflaţi voi că şi pe acest coif ce nu era bun de mâncat, musca la fel ca pe acoperiş s-a plimbat. Acum priviţi cu atenţie la cele două obiecte pe care mus-ca s-a plimbat: la acoperiş şi la coiful de copil lucrat. Este clar că între ele este diferenţă mare. Totuşi, nu cumva este şi-o importantă asemănare? Dacă încă mai eşti întrebător, studiază cu atenţie forma lor. Studiaţi cu atenţie mare (iată, fac la voi o chemare, un apel), şi observaţi că forma acestor obiecte este la fel! Dacă pe muscă, pe al ei drum cu vârful creionului pe marginea acoperişului o urmăream şi astfel cu creionul pe marginea acoperişului desenam, la sfârşitul drumului ei ce desen vedeam? Păi vedeam conturul sau forma lui, a acope-rişului, dar şi conturul sau forma lui, a coifului.

259

E ca şi cum pe tot conţinutul acoperişului (tablă, ţiglă, cuie etc.) l-ai arunca şi ar rămâne doar forma sa. De aseme-nea, este ca şi cum pe tot conţinutul lui, al coifului (hârtie, culoare, texte din ziar) l-ai arunca şi ar rămâne doar forma sa, forma lui pe marginea căreia musca nu mergea deloc haihui, ci ca o muscă deşteaptă, mergea în linie dreaptă. Vreau acum ca această figură geometrică să fie bine de noi privită, pentru a vedea din ce este alcătuită. Mai întâi de toate poate vedea orice om că figura geometrică este un po-ligon. Un poligon cu câte laturi, dragii mei? Fix cu trei! A-ceste trei laturi să le spui numele te aşteaptă: segmente de dreaptă! Poate ce este un segment de dreaptă ai uitat. Atunci revezi acea lecţie, neapărat! Pe aceste segmente de dreaptă, când le-am desenat, noi am cam exagerat şi le-am îngroşat. Am procedat aşa, ca să le putem vedea. Dar chiar dacă noi nu le-am putea vedea, ele tot acolo ar exista, ca şi cum mus-ca pe nişte fire invizibile mergea. Ei, şi dacă nu le-ai vedea, nu te speria, ţi le-ai imagina! Doar musca pe loc nu a stat, ea a mers cu adevărat! Pe drumurile, pe direcţiile prin spa-ţiu nu noi le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi năs-cut. Cum spuneam, dacă pe drumul muştei desenat nu-l ve-

260

deam, cu mintea mea mi-l imaginam. Dar l-am îngroşat exagerat şi astfel drumul ei poate fi vizualizat. Astfel am ob-ţinut această geometrică figură care are forma, conturul dru-mului străbătut de mica făptură. C A B Află acum pui de om că acest poligon care să-l studiezi te aşteaptă şi are ca laturi trei segmente de dreaptă se nu-meşte triunghi şi seamănă cu forma unui obiect cu care ai putea să-l faci pe un om să simtă un junghi. Dacă pe un om cu un obiect cu astfel de formă îl vei împunge, o durere pe corpul lui îl va străpunge. Dar să lăsăm acum în pace pe orice obiect de acest fel şi să studiem figura geometrică ni-ţel. Spune şi tu numele figurii geometrice repede: Triun-ghiul ABC! Desigur, pe această figură geometrică atunci când o priveşti, la multe obiecte poţi să te gândeşti. Nu ştiu voi la ce obiect v-aţi gândit, dar mie în minte mi-a venit un ... cuţit. Mai bine zis m-am gândit la vârful lui, al cuţitului.

261

Ia gândeşte-te tu niţel. Oare de ce are cuţitul forma ast- fel? Un cuţit nu doar taie, ci mai şi împunge şi poate stră-punge. De exemplu pe unele cutii de conserve nu prea poţi să le desfaci prin tăiere defel, dacă mai întâi nu le împungi niţel. Sigur, e adevărat însă că nu orice cuţit are vârful ascu-ţit. Văzând pe această figură geometrică un alt om se poate gândi la un ... avion.

Dacă şi tu la aşa ceva te-ai gândit, stai liniştit, nu ai greşit. La vârf este mai ascuţit un avion sau un planor pentru a putea zbura mai uşor. La fel şi un spărgător. Nu mă refer la un spărgător ...infractor, ci la spărgătorul de gheaţă folosit pe apele, mările care îngheaţă. Spărgătorul de gheaţă e tot un vapor, negreşit, care are în faţă această parte ca un bot ascuţit. Spune tu la ce e folosit! De asemenea, privind la această figură geometrică, gân-dul pot să-mi port pe la forma unui cort.

262

Ca şi la forma acoperişului, forma cortului are avantajul că nu-i dă voie apei de la ploaie să facă acelaşi lucru ca în cada de la baie, adică să se acumuleze şi să stagneze. Acum la părinţii voştri puteţi să mergeţi şi să îi rugaţi, pentru ca o bucăţică de sârmă să împrumutaţi şi pe forma unui triunghi să o confecţionaţi. Sârma să fie foarte subţire, asemănătoare cu ale părului fire. Insist, pentru sârmuliţă pe părinţii voştri să-i rugaţi, să nu cumva să vă apucaţi ceva să demontaţi şi să stricaţi. După ce pe sârmuliţă aţi obţinut, fiţi atenţi ce aveţi de făcut. O veţi lua pe sârmuliţă şi o veţi în-doi bine şi cu atenţie având în intenţie să obţineţi ceea ce vă zic: un triunghi mai mare sau mai mic. Atenţi să fi ţi, pe sârmă bine să o îndoiţi, să iasă pe cele trei laturi dreaptă şi să vedeţi segmentele de dreaptă. De fapt veţi construi forma geometrică a lui, a triunghiului. E ca şi cum pe tot conţi-nutul unui acoperiş mai înainte prezentat, al unui coif, al unui vârf de cuţit cu această formă l-ai arun-ca şi ar rămâne doar forma sa. Vedeţi ce intere-sant? Chiar dacă pe obiect l-ai desfiinţat, l-ai arun-cat, forma lui, a triunghiului rămâne în lume să vie-ţuiască pentru ca după ea, oamenii şi alte obiecte să construiască! E şi normal să se întâmple aşa, deoarece forma geometrică dinaintea obiectului exista. Pe drumu-rile, pe direcţiile din spaţiu, nu noi le-am făcut, ele existau înainte ca noi să ne fi născut. Ştiţi unde această formă geo-metrică mai locuieşte? În mintea omului care la ea se gândeşte! Vă voi prezenta şi alte triunghiuri în continuare, pentru ca voi să aveţi o experienţă şi mai mare. Trebuie neapărat să aveţi habar că în punctul unde se întâlnesc două segmente de dreaptă se scrie o literă mare de tipar.

263

264

Aşadar oricum ar fi linia frântă închisă care formează pe această figură geometrică, adică pe poligon, dacă orice om poate vedea clar că din trei segmente de dreaptă poligonul este alcătuit, atunci triunghi se numeşte, negreşit! Să fii iubit!

UNITĂŢI DE MĂSURĂ

Unităţi pentru măsurarea lungimilor

Copii, în lumea în care trăim există foarte multe obiecte, după cum ştim. Ele însă nu ar exista deloc, dacă în lume nu ar avea şi loc. Din fericire, în lume există loc, există spaţiu, iată, aşa că ele au unde să încapă. Spaţiul acesta este mare şi dacă îţi arunci privirea roată, vei vedea că în el încape lumea toată. Tu, băiat, şi tu, fată, atenţie mare că, uite, şi voi aveţi libertate de mişcare. Spaţiul fiind mare, între obiecte există o anumită depărtare. Ea are mare importanţă şi se mai nu-meşte distanţă. Păi, gândiţi-vă la voi şi la coşul de gunoi. E clar că este bine ca între el şi tine să fie o anumită distanţă, lungime. Uneori însă cauţi cu înfrigurare să fie distanţa cât mai mică, frăţioare. Gândeşte-te la cum ai vrea să fie distan-ţa dintre o prăjitură şi gura ta! Sau, desigur, gândeşte-te cum ai vrea să fie distanţa dintre tine, băiat sau fată, şi o cio-colată. Normal, mică ai vrea să fie, frăţioare, fiindcă pofta-ţi este mare! Ei, acum, ca să arătaţi că sunteţi băieţi deştepţi şi fetiţe deştepte, daţi şi voi exemple de distanţe dintre obiecte.

[ Distanţa dintre..........şi.........., etc.] Desigur, despre o distanţă oarecare putem spune dacă e mică sau mare. Totuşi, aceste expresii, « distanţă mare » şi «distanţă mică» prea bine nu ne pică şi vă voi demonstra aceasta, la o adică. De exemplu, eu te întreb curios cum e

265

distanţa de la ochii tăi până pe sol, jos. Pentru tine este o distanţă, desigur, mică, dar pentru furnică? Ei, vezi, acum mă crezi? Cum îţi spuneam, e ciudăţenie mare, aceeaşi dis-tanţă e şi mică, e şi mare, depinde de cine se prinde să facă pe ea o ...plimbare. Aşa că vom lăsa cuvintele la o parte, de-oarece noi vrem exactitate, claritate. Iată de ce e nevoie ma-re de o măsurare! Mai întâi ne întrebăm: „Ce măsurăm?“ Trebuie să ştim de unde pornim şi unde ne oprim. Ia seama bine, vom măsura o distanţă, o lungime. Apoi trebuie să precizăm în ce unitate de măsură expri-măm acea distanţă, este de mare importanţă. În sfârşit, negreşit, pentru o bună procedură, ai nevoie şi de un instrument de măsură. Şi ca să fie totul clar, un e-xemplu vei primi în dar. Vom măsura distanţa de la un punct mărunt de pe tablă şi până la peretele din spatele clasei, la zona albă. Cum spu-neam, pentru această procedură avem nevoie de o unitate de măsură. Această unitate de măsură să nu vă provoace vreo sperietură, deoarece ea este tot o distanţă, tot o lungime, pentru ca oamenii să exprime numeric cu claritate dis-tanţele ce trebuie măsurate. A măsura înseamnă a vedea de câte ori se cuprinde unitatea de măsură a ta în distanţa, lungimea pe care o vei măsura. Unitatea de măsură se cu-prinde, „intră“ deci de un număr de ori în distanţa, lungi-mea pe care o măsori. Există, să ştiţi, mai multe astfel de unităţi de măsură, dar în lumea toată doar una este mai mult aplicată, utilizată. Unitatea aceasta de măsură pentru lun-gimi metru ( m ) se numeşte, iar lumea des o foloseşte. Să ştii, deoarece este de o mare importanţă, metrul la urma ur-mei nu este altceva decât tot o distanţă! Să nu te încurce cumva această denumire a lui de unitate de măsură sau

266

să-ţi provoace vreo sperietură. Acest metru, dragă fetiţă şi drag băieţel, se cuprinde, „intră“ de un număr de ori în dis-tanţele, lungimile mai mari decât el! Deci priviţi bine, de unde şi până unde metrul ţine. Roagă-i pe ai tăi părinţi, pe a ta soră sau pe un mai mare frate să ţi-o arate. Dacă nu se poate aşa ceva, cu siguranţă învăţătoarea/învăţătorul ţi-o va arăta. Distanţa aceasta nu a fost de om creată, ci doar fixată, în spaţiu delimitată şi cu denumirea de metru ...„botezată“. Tu priveşte-o bine, ca să ştii a ei lungime, s-o ştii bine, atât cât ţine. Ea nu e mare şi nici mică. Pentru tine e, desigur, mică, dar gândeşte-te la furnică... Şi fi ţi lini ştiţi, pe de rost nu trebuie să ştiţi de unde începe şi până unde ţine această lungime. Va ţine minte altcineva în locul tău. Zău, va şti permanent, fii atent, este vorba de un anumit instrument! Instrumentul de măsurat ştie şi-ţi poate arăta şi ţie cât e metrul de lung, până unde capetele lui ajung. Acest instru-ment de măsură pentru lungimi care pe dimensiunea metru-lui o ştie poate fi rigla gradată, ruleta, metrul de croitorie ori de tâmplărie. Mai sunt şi altele, eu le ştiu, dar voi le veţi învăţa mai târziu. Din ce este fabricat instrumentul de măsu-ră, ce culoare are acest instrument nu ne interesează, lungi-mea metrului contează! Toate instrumentele de măsură o vor indica pe această distanţă, pe lungimea metrului la fel, mereu fidel. Repet, deoarece este de o mare importanţă, me-trul, la urma urmei, nu este altceva decât tot o distanţă! Să nu te încurce cumva această denumire a lui de unitate de măsură sau să-ţi provoace vreo sperietură. Acest metru se cuprinde, „intră“ de un număr de ori în distanţele, lungimile pe care le măsori şi care sunt mai mari decât el, dragă fetiţă şi drag băieţel!

267

268

269

270

Unităţi de măsură pentru capacitatea vaselor Copii, există nişte substanţe în această lume făcute parcă anume să nu aibă formă fixă, să fie la formă schimbătoare, fiindcă sunt curgătoare. Acasă la voi le găsiţi prin blide. Nu au formă fixă, căci nu sunt solide, ele curg şi se numesc li-chide. Între apă, lapte, ulei, oţet, suc şi vin există vreo ase-mănare? Desigur, toate sunt curgătoare! Dacă vrei însă să le ţii în frâu, să nu curgă ca un râu, trebuie să le aşezi în niş-te locuri ca nişte găuri scobite, mai largi sau mai adâncite, mai înalte sau mai joase numite vase. În vas lichidele nu mai sunt de capul lor, pot să se agite cât vor, vasul le ţine pe toate, deoarece are această capacitate. Doar dacă vasu-i gă-urit, lichidul poate curge, negreşit! Unele vase au capacitate mai mică, cum este, de exemplu, cel din care bea lapte o pi-sică. Alte vase au capacitate mare, de exemplu, oala pentru mâncare. Totuşi, expresiile « vas de capacitate mare », « vas de capacitate mică » nu te ajută prea mult, la o adică, fiindcă oamenii vor cu necesitate mai multă exactitate. Păi, aşa şi este, elevule silitor, să zicem că te duci la un vânzător şi spui că vrei ulei mult/puţin. Vânzătorul te va întreba numai-decât: „Bine, bine, mult/puţin, dar cât ?“ . Ei, vezi, ai nevo-ie şi aici, la lichide, da, de o unitate de măsură, chiar aşa! Că dacă această unitate de măsură pentru capacitatea vaselor nu ar exista, cu acel vânzător te vei certa. Acea tranzacţie cu el chiar poate fi un chin, ce înseamnă pentru tine mult, pen-tru el poate fi puţin, şi tot aşa, problema n-o vei rezolva. Deci este nevoie de o unitate de măsură clară şi precisă, de toată lumea admisă. Ea este ca un fel de arbitru, iar oamenii i-au spus litru ( l ) Litrul ne ajută să măsurăm cu exactitate a vaselor capacitate, indiferent dacă prin vase, prin blide există sau nu lichide! Rugaţi-i pe părinţii voştri cu vorbe

271

civilizate un vas să vă arate, dar nu la întâmplare, ci pe unul care capacitatea de 1 litru are. Priviţi cu atenţie mare la acel vas care capacitatea de 1 litru are! Poate să vi se pară mic sau mare, după cum crede fiecare. Pe mine mă interesează să-l priviţi bine, cu ochii voştri să-l fotografiaţi şi pe această capacitate în minte s-o înregistraţi, pentru a putea şi singuri s-o aproximaţi. Atunci, de multe ori, chiar şi fără un vas in-strument de măsură, vă veţi descurca într-o încurcătură. Deci priviţi bine la vasul cu capacitatea de 1 litru , pentru a observa şi înregistra în memoria ta capacitatea sa!

272

273

Unităţi pentru măsurarea masei corpurilor Copii, ştiţi că orice obiect mai mic sau mai mare are u-nele însuşiri de formă, de culoare. E timpul să aflaţi, poate nu ştiaţi, că fiecare obiect, de o mai mare sau mai mică im-portanţă, este alcătuit dintr-o anumită substanţă, din ceva. Aceea e materia pe care o poţi vedea şi uneori chiar gusta. Substanţele au diferite denumiri şi complicate alcătuiri. A-cum nu aceasta ne interesează, ci existenţa lor contează. Fă-ră substanţa care pe un obiect îl formează, el în realitate, în lumea noastră nu se întruchipează. Fără substanţa care pe un obiect îl formează, cum am zis, obiectul există doar în gând, în vis. Unele obiecte sau fiinţe sunt din mai multă substanţă, materie formate, ceea ce le conferă mai multă greutate. La

274

altele, substanţa, materia ce le alcătuieşte, cantitate mare nu are, astfel încât acele obiecte sunt mai uşoare. Hai să ne gândim cu atenţie mare la musca cea zburătoa-re. Cantitatea de substanţă din care este ea alcătuită e mică, ceva mai mult decât la o furnică. Şi hai să ne gândim acum la elefantul care tropăie pe drum, la elefantul gigant care es-te foarte greu nu pentru că este foarte înalt! El este greu la călcat, fiindcă din mai multă substanţă este ...fabricat. După cum vedeţi, fiin ţele, obiectele din lumea înconju-rătoare sunt mai grele sau mai uşoare în funcţie de cantita-tea de materie din care este alcătuit fiecare. Mărimea lui nu contează neapărat, el poate fi mic, pipernicit, dar din multă substanţă alcătuit şi deci greu, vă spun eu (cum ar fi o bilă de fier cât capul tău de mică, dar atât de grea, încât nimeni n-o ridică). De asemenea, obiectul poate fi mare, impunător şi totuşi ...uşor! Negreşit, din puţină substanţă este alcătuit. Gândeşte-te la un balon, frăţioare, că nu e atât de greu, pe cât e de mare! Ei, acum aflaţi, copii, şi fi ţi pe fază, deoarece adeseori această cantitate de substanţă ne interesează. De exemplu, la piaţă cumpărăm adeseori substanţă în cantitate mai mică sau mai mare pentru mâncare. Să zicem că vrei să cumperi cartofi, mere sau pere. Nefiind vorba deci de mă-runtul mărar, pe aceste legume şi fructe amintite vânzătorul le va pune pe cântar şi va verifica cu eleganţă cantitatea lor de substanţă. Pe substanţa, pe materia acelor legume o cum-părăm noi, puişor, nu pe greutatea lor! Noi nu consu-măm greutatea lor, mai mică sau mai mare, din substanţa, materia lor preparăm mâncare. Aşadar, masa noastră, puişor, este preparată din masa lor! Fii atent, tu, băieţel, şi tu, fetiţă frumoasă, la cele două sensuri ale cuvântului «masă»! Să ştiţi, copii,

275

când de masa unui obiect ne interesăm şi vrem să o aflăm, nu ne ajunge să ştim că e mică sau mare, că nu mergem pe aproximate, noi vrem exactitate. Să zicem că vă duceţi la piaţă pentru produsele de care aveţi nevoie fiecare pentru mâncare. Dacă veţi cere vânzătorului «mulţi/puţini cartofi» sau «multă/puţi-nă carne», chiar dacă veţi vorbi frumos, el se va uita la voi curios, nedumerit şi, negreşit, vă va întreba numaidecât: „Bine, bine, mult/puţin, dar cât?“. Şi aceasta nu pentru că ar avea el toane, el vrea să-i spui clar câte kilograme! Am tot dat până acum din gură, dar nu vă spusei că a masei corpurilor unitate de măsură se numeşte kilogram . În el exprimam şi vom mai exprima masa corpu-rilor, zău aşa! Şi ca să nu spui tu aşa, la întâmplare, câte kilograme un corp are, vorbind fără rost, cântarele inventate au fost. Că de aceea e cântar, ca să arate clar câte kilograme un corp cântăreşte şi astfel să indice masa corpului (sau corpurilor) , fireşte! Despre numărul acestor kilograme, părerile pot fi diferite, că sunt multe sau puţine, fiecare poate să exprime cum ştie mai bine. Pe noi mai puţin ne va interesa părerea sa. Multe, puţine, tu trebuie să vezi la cântar foarte clar, la o adică, câte kilograme el indică. Abia atunci ai făcut treabă serioasă aflând a corpului masă!

276

277

278

279

280

281

282

283

284

Unităţi de măsură pentru timp Ei, dragii mei elevi, timpul nu este ceva pe care să-l ob-servi şi pe care să pui mâna, ca să vezi, de exemplu, cât e de lungă săptămâna. Sunt sigur că de aşa ceva voi aţi mai auzit, însă nu ştiu dacă v-aţi lămurit cum e cu timpul cel de neo-prit. S-ar părea că, neputându-l auzi şi nici vedea, timpul nici n-ar exista. Evident, nu e aşa, iar efectele, urmările tre-cerii sale uşor le poţi constata. Ca să înţelegi ce este timpul, priveşte în jur cu atenţie mare şi vei vedea că lumea e trecătoare! Nimic nu stă me-reu pe loc, pentru că pământul se mută din loc în loc prin univers fără să se oprească deloc din mers şi odată cu al său mers-învârtire fără oprire se învârt şi celelalte planete călă-toare ca nişte titirezuri zburătoare. O planetă este ca o minge mare, dar nu sare, ci se învârte în jurul unui glob de foc foarte mare, numit Soare. Ei, asta e, de, planetele prin uni-vers se plimbă, iar lumea se tot schimbă. Iar lumea aceasta schimbătoare este mereu, vă spun eu. De fapt, cu fiecare moment, cât de mititel, şi tu te schimbi, nu rămâi la fel. Poate nu ştii ce înseamnă moment, aşa că îţi voi explica, fii atent! Momentul e o perioadă de timp, o durată mică, adică atât timp cât merge o furnică pe un pătrăţel din al tău caieţel. În acel moment cu siguranţă n-o să te plictiseşti pe furnică s-o urmăreşti.

De când pe pătrăţică a păşit şi cu mersul ei grăbit, nea-bătut pe toată pătrăţica ea a străbătut, puţin timp a trecut! A trecut o perioadă de timp mică, adică tot cam atâta vreme

285

cât îţi trebuie ca să rosteşti cuvântul «furnică». Deşi acest moment e scurt, în lume multe întâmplări s-au petrecut! Hai atenţi să fim şi să ne gândim. În timp ce furnica mergea pe pătrăţel, vântul legăna un copăcel, maşini pe stradă mer-geau, mulţi oameni vorbeau, păsări prin văzduh zburau, mă-car un copil învăţa, în uzine se muncea, pământul se învâr-tea, iarăşi lumea se schimba! Ei, dar furnica, pe foaia din caietul de matematică a tot mers, pentru că i-a plăcut, astfel încât şi alte pătrăţele ea a străbătut.

De câte ori peste o pătrăţică ea trecea, în lume câte un moment se scurgea! Ea din loc în loc se muta, fiindcă o vi-teză avea şi se putea deplasa. Hai încă o dată să vedem ce se întâmpla! Spaţiu exista (foaia), furnica se deplasa, căci o viteză avea, iar de câte ori peste o pătrăţică ea trecea, câte un mo-ment în toată lumea se scurgea. Ei, dar să ştiţi că eu am pus-o pe furnică să meargă, ca elevii să înţeleagă cum e cu scurgerea lor, a momentelor. Chiar dacă furnica se va opri oleacă, timpul , momentele vor continua să treacă! Mi şcarea din lume, timpul nu se opreşte, chiar dacă furnica puţin leneveşte. Şi poate furnica pe loc să stea cât vrea, să se scurgă, să treacă, timpul, momentele vor continua! Unul după altul, unul după altul, fără nici o oprire şi nici măcar cu vreo încetinire. Şi tot aşa, negre-şit, la nesfârşit!

286

După cum aţi văzut, am studiat într-un moment, din lu-me o bucăţică, mersul de furnică pe pătrăţică. Dar lumea e mare şi chiar într-un singur moment, mare e a ei schimbare. Ei, acum gândeşte-te ce transformări, ce multe schim-bări în lume s-au petrecut în timp de un minut! Numai dacă te gândeşti la câţi s-au născut, vei vedea de câte ori lumea a început! Probabil că pe chipul tău o urmă de nedumerire a apărut când am folosit cuvântul minut. Acum, probabil gân-dul te îndeamnă să mă întrebi ce înseamnă. Minutul este o perioadă de timp, o durată, adică tot cam atâta vreme cât îi trebuie furnicii să străbată 60 de pătrăţele lipite între ele. Din foaia de la caietul de matematică cu foarfecele pe 60 de pătrăţele le-am decupat, apoi unul lângă altul le-am alăturat şi astfel le-am potrivit, încât unul de altul le-am lipit. Uite, ca pe explicaţia mea mintea ta mai uşor a înţelege să poată, voi aşeza pătrăţelele în formă de roată. Furnica se deplasea-ză pe ele în formă de roată şi îi trebuie un timp până pe toate să le străbată. Evident, dragii mei, furnica se deplasează cu viteza ei. Încercaţi şi voi acum să v-o amintiţi, fiindcă sigur o ştiţi. Ce s-ar întâmpla însă, oare, dacă furnica ar avea o vi-teză foarte mare? Dacă furnica ar avea viteza cu care zboa-ră o săgeată, ar străbate toate pătrăţelele roată îndată, într-un moment, evident! Dacă această furnică cu viteza unui melc se deplasa, era serios pusă la încercare răbdarea ta. Te plic-tiseşti pe furnică s-o urmăreşti, deoarece acum, normal, mai mult timp îi trebuie să ajungă până la final. Dar furnica are viteza ei, dragii mei, viteză pe care o ştiţi, de aceea timp cam de un minut , cu siguranţă n-o să vă plictisiţi!

287

FURNICA

PA

RC

UR

GE

CE

LE 6

0 DE PÃTRATE MICI PENTRU FURN

ICI ÎN

TIM

P DE

UN

MINUT

Iar despre câte schimbări s-au petrecut în lume într-o zi, nici nu mai pot vorbi...atât de multe sunt pe acest Pământ! Iar într-o săptămână, lună sau an, mai multe schimbări sunt pe lume decât picături de apă într-un ocean. Acum cred că v-aţi mai lămurit ce drum lung e de la moment până la timpul nesfârşit... Dar după cum vă spuneam, deşi e mic, să nu consideraţi momentul nimic, căci pic cu pic în adunare ele formează timpul mare! Ca să nu mai vorbesc de faptul că şi într-un

288

moment puţin, mărunt, lumea se transformă mult! Chiar şi într-un moment tu creşti şi deşi acum mirat eşti şi îţi pare că stai pe loc, nu e aşa deloc! Păi dacă în fiecare moment vite-za ta de creştere zero ar fi, peste câţiva ani tot aşa te-aş găsi, căci nu ai mai creşte deloc tu. Logic, nu? Deci chiar dacă viteza ta de creştere e foarte mică, cu mult mai mică decât viteza de furnică, ea nu e 0 şi se petrece cu fiecare clipă care trece! Până pe la 20 de ani vei creşte, iar apoi organismul, chiar dacă nu se mai lungeşte, tot lucrează şi schimbări cre-ează. Vor fi alte transformări, schimbări, în fiecare moment, în fiecare clipă mii se creează, bucăţică cu bucăţică orga-nismul se maturizează. Dacă vei fi atent niţel, vei vedea că nimeni nu rămâne la fel! Vrem, nu vrem, schimbarea, trans-formarea nu se opreşte, organismul până la urmă îmbătrâ-neşte, căci el trăieşte. Şi chiar când trupul va muri, timpul nu se va opri! Uite, încă un exemplu ţi-am mai adus, cu luna de sus, galbena minge ce cu raza ei atinge sferic pe negrul întu-neric. Sferic, sferic atinge, adică are forma ca o minge! În-tr-un moment, dacă o vezi, că stă pe loc tu crezi. Dar mintea ce gândeşte îţi spune că ea te păcăleşte. Chiar în acel mo-ment luna repede aleargă în jurul pământului, mingea noas-tră dragă. Mintea poate ţi-e întrebătoare şi greu ţi se pare să înţelegi cum oare se poate ea mişca permanent, adică în fie-care moment din loc în loc, când tu o vezi că stă pe loc, că nu se mişcă deloc. Iată explicaţia în cuvintele următoare. Distanţa dintre ochiul tău şi ea e foarte mare, de aceea mişcarea ei îţi pare... stătătoare. Aminteşte-ţi, dacă ai mers cu trenul sau cu maşina pe câmpie, iar în zare alte maşini păreau furnici călătoare. Părea că ele merg încet, dar aşa era oare? Desigur, nu, e vorba de distanţa foarte mare dintre ti-ne şi ele, ai înţeles tu! Cu cât acea distanţă e mai mare, cu

289

atât se pare că obiectul sau fiinţa care cu mare viteză călă-toreşte... leneveşte. Nu e aşa, fireşte! Doar gândirea noastră pe adevăr îl stabileşte! Important este să reţinem, fireşte, că trecerea timpului nu se opreşte. Atenţie mare, lumea e în continuă mişcare! În lumea în care noi ne aflăm este nevoie ca şi pe timp să-l măsurăm. Acum poate te vei întreba de ce este nevoie să facem aşa ceva. Citeşte, te rog, răbdător, pe exemplul urmă-tor. Vreau să fii conştient, poate pentru prima oară, că viaţa omului în timp se desfăşoară. Şi viaţa ta, şi viaţa mea, şi viaţa oricui altcuiva care a fost, este sau va exista! Dacă încă nu ai fost, poate vei pleca într-o excursie la munte sau la mare cu familia ta. Acolo, pe lângă multe alte bucurii pentru băieţi şi fete, există şi centre pentru închi-rierea de biciclete. A o închiria înseamnă a o împrumuta pu-ţin, pentru a te folosi de ea ca şi cum ar fi a ta. Pentru aceas-ta, o sumă de bani noi dăm, chiar dacă pe bicicletă nu o cumpărăm. Un timp te foloseşti de ea ca şi cum ar fi a ta. După ce trece acel timp, trebuie să înapoiezi neapărat lucrul pe care tu l-ai împrumutat de la acel om care te-a bucurat când ţi l-a închiriat. Când vei afla tu de acel magazin cu biciclete de închi-riat, cu siguranţă îţi va veni cheful de plimbat. Să zicem că te vei duce la acel magazin şi îi vei spune omului de acolo senin că vrei şi tu să te plimbi puţin. Sau dacă iubeşti plim-batul pe bicicletă mai de demult, îi poţi spune că ai vrea să închiriezi bicicleta pentru un timp mai mult. Dacă te vei adresa folosind expresiile „timp mult“ sau „timp puţin“ către omul care pe biciclete le dă la închiri-at, el se va uita la tine, desigur, mirat şi te va între-ba numaidecât: „Bine, bine, mult/puţin timp, dar

290

cât?“ Aşadar, după cum îţi spuneam, în lumea în care ne aflăm trebuie ca pe timp să-l măsurăm. Deja eu ţi-am vorbit despre unele unităţi de măsură pentru timpul cel nesfârşit : despre minut, zi, săptă-mână, lună, an, când vorbeam de schimbările care se petrec în lume şi al lor mare noian. Cel mai cunoscut instrument cu care măsurăm timpul trecut sau până la un moment din viitorul a-propiat rămas se numeşte ceas. Există şi alte instru-mente cu care timpul se măsoară: clepsidra, crono-metrul, calendarul bunăoară. Atenţie! Ceasul, pe timp nu îl creează, ci doar îl precizează, trecerea îi marchează. El îţi arată, ca să ştii cât este ora într-o anumită zi ( o zi = 24 de ore = 1440 de minute =86400 de secunde ). Desigur, tim-pul ar continua să treacă fără încetare, chiar dacă s-ar opri toate ceasurile din lumea mare. Atenţie mare! Fără măsurare vom ajunge să lucrăm în viaţa noastră cu ceea ce ni se pare! De aceea în cazul tuturor unităţilor de măsură, instru-mentul cu care măsor îmi este un important ajutor. Dacă nu-i defect, el va fi drept, corect şi va indica exact ceea ce măsor de fapt. Dacă, de exemplu, la televizor tu te-ai uita, iar eu te-aş întreba: „Cât timp a trecut de când desene-le animate au început?“ Ţi se va părea că puţin timp a trecut, pentru că în acel interval de timp ai făcut ceva ce ţi-a plăcut. Vei spune că a trecut timp

291

puţin, iar când desenele animate se vor termina, va fi ca un chin. Doar ceasul îţi va arăta exact cât timp a trecut de fapt! Hai să zicem că pe părinţi nu-i as-culţi, pentru că de vreo două ore în continuu la de-senele animate te uiţi. Ştiu că două ore au zburat, căci ceasul mi-a indicat! Altădată, să zicem că pe cei ce te învaţă nu i-ai ascultat, căci pe dinţi nu te-ai spălat, astfel încât durerea unei carii rău de tot te-a supărat. Şi doare, şi doare! «Dar cât mai ţine, oa-re?» va fi o întrebare la fel de chinuitoare. Să zi-cem că timp de două ore durerea în pace nu te-a lă-sat, adică tot atâta timp cât pe desenele animate tu le-ai vizionat. Ştiu că două ore, căci tot ceasul mi-a arătat! Dar în aceste două ore în care dinţii te-au durut ţi se va părea că mult mai mult timp a trecut, pentru că în acest interval de timp s-a petrecut ceva ce nu ţi-a plăcut! Doar ceasul păreri nu are, el a fă-cut şi face cu exactitate a timpului măsurătoare! El arată fidel că timpul a trecut la fel! Două ore, adică timpul cât la desene animate te-ai uitat şi tot două ore cât durerea în pace nu te-a lăsat! Deci tot atâta timp a trecut, chiar dacă ţie nu aşa ţi s-a părut! Părerea ta percepe timpul adevă-rat eronat, adică denaturat, falsificat, adică altfel decât a trecut cu adevărat!!! Aşa că lasă-ţi deoparte părerea ta şi pentru ca în aprecierea timpului să nu greşeşti, de un ceas bun trebuie să te foloseşti!

292

293

294

295

Unităţi pentru măsurarea valorii

Ei, copii, poate aţi auzit voi că oamenii, ca să trăiască, trebuie să muncească. Însă vă rog să nu consideraţi obligato-riu adevărat de la bun început ceea ce vă spune lumea sau eu convingător, chiar de sunt învăţător. Mintea ta să fie mereu întrebătoare şi mereu să te întrebi: „De ce se întâmplă aşa, oare?“. Dacă îţi vei pune şi acum, aici această întrebare: „Chiar aşa, de ce oamenii trebuie să muncească?“ n-o vei lăsa pe minte, pe gândire să lenevească. În cazul de faţă se poate răspunde fără ezitare, deoarece omul multe nevoi are. Aşa este lumea construită, încât mai întâi fiinţa trebuie hră-nită. Dacă mâncarea din cer ar cădea, capul nu ne-ar mai durea! Dar pentru ca mâncare să găseşti, normal, trebuie să munceşti . Ei, copii, dar orice fiinţă, mai are nevoie şi de o locuinţă. În cazul oamenilor, ca să le construiască, iarăşi trebuie să muncească. Iar dacă îţi vei folosi a ta minte, vei vedea că avem nevoie şi de îmbrăcăminte, de încălţăminte. Pentru ca oamenii şi pe acestea să le dobândească, din nou trebuie să muncească. Dar pentru ca pe toate acestea să le creeze, oamenii trebuie să înveţe mai întâi cum să lucreze! Şi uite aşa, prin nevoile principale de existenţă ale oame-nilor dând noi o tură, am ajuns la învăţătur ă! Chiar şi ca să se distreze, oamenii trebuie ca mai întâi să lucreze. Dar da-că unii oameni nu ar munci din greu veghind la a ta sănăta-te, nu te-ai putea bucura de acestea toate. Aşadar omul nu poate în lume să trăiască fără să munceasc! Niciodată să nu îi crezi pe acei oameni care vorbe urâte aruncă despre muncă! Dacă îţi va spune cineva că omenirea poate trăi fără să muncească, e clar că aruncă o vorbă prostească ori în-cearcă să te păcălească! Uite aşa, datorită nevoilor oameni-lor şi prin a lor muncă, sudoare, lucrurile capătă valoare. Şi

296

să ştiţi voi, copii, că nu se poate ca un singur om să le facă pe toate. Fiecare îşi ştie a sa meserie. El îi ajută pe alţii să trăiască, iar ceilalţi pot şi trebuie şi ei să-l răsplătească. Poa-te vrei să-mi pui o întrebare, deoarece nu ai înţeles ce e ace-ea valoare. Înainte de toate, să ţii minte ce îţi spun, valoarea este ceva bun. Îţi spun direct că ea e o însuşire a unui obiect sau a unei fapte de o importanţă mare, folositoare! Însuşirea îţi arată cum este acel obiect sau faptă. Dar să nu te încurc cu prea multe pe care ţi le spun, mă refer la cum este acel obiect, rău sau bun. Pentru noi, oamenii, este bun tot ceea ce ne ajută bine şi frumos să trăim, veseli şi sănătoşi să fim. Din păcate, e adevărat că unii oameni au cam reuşit pe alţii să-i păcălească muncind pentru a produce lucruri despre ca-re ei cred că o să le folosească. Şi chiar dacă de multe ori pe răul din acele lucruri să-l înţeleagă reuşesc, totuşi de ele ei se folosesc! Vorbim aici despre ţigări, droguri, arme şi alte cele, toate fiind folosite pentru lucruri rele! Ei, copii, aceste produse fabricate de oameni, toate, au un scop, o utilitate , căci fiecare din noi avem multe nevoi. Din fericire, spre bucuria noastră mare, cele mai multe pro-duse muncite de oameni sunt într-adevăr utile, folositoare. Cum spuneam, fiecare om de multe produse nevoie are, dar nu le poate el fabrica pe fiecare! E nevoie mare de alţi oa-meni care să muncească, pe a lui nevoie să o împlinească. Şi să ştii tu, da, că şi mai demult tot aşa se petrecea. De exem-plu, dacă poţi să socoţi, de haine nevoie aveau toţi, dar nu-mai croitorul fabrica foarte bine aşa ceva. La sănătate, da, toată lumea avea nevoie de ea, dar dintre oameni numai vraciul, doctorul ţi-o putea înapoia sau să te ajute spre a ţi-o păstra! De alimente toată lumea, desigur, nevoie avea, dar doar producătorii lor obţineau aşa ceva. Acum poate te în-trebi cum oare fiecare reuşea să aibă ceea ce dorea, fiindcă o

297

nevoie în pace nu-l lăsa. Iar eu, ca să-ţi răspund mai repede şi prin cuvinte mult să nu mă plimb, îţi voi zice: „Făceau schimb! “. Fiecare dădea celuilalt ceea ce el avea (oferea) şi ceea ce celălalt poftea (cerea). În acest fel fiecare pe fie-care îl mulţumea. Se putea face aşa ceva atâta vreme cât fie-care muncea şi treaba cu seriozitate îşi făcea, astfel încât a-vea ce să dea. Aceste schimburi au mers la început, dar apoi au devenit obositoare, deoarece numărul produselor începu-se să devină tot mai mare, iar ele nu aveau aceeaşi valoare. Uneori, la un schimb erau discuţii multe, multe, iar în final putea ieşi chiar scandal. Cu timpul lumea s-a dezvoltat şi tot mai multe produse oamenii au fabricat. Oamenii s-au înmul-ţit şi nevoi noi s-au ivit! Aşa că lumea simţea nevoia mare ca pe valoarea produselor şi faptelor bune s-o măsoare! În felul acesta, în urmă cu mai mulţi ani oamenii au inventat primii bani! Prin bani oamenii au încercat să măsoare a produselor şi faptelor valoare. Pe bani, să ştii tu bine, nu-i poate fabrica orişicine! Într-o ţară, doar unii oameni au această putere şi această însemnătate, să păstreze ordine în societate! Doar dacă există produse şi fapte bune în număr mare, mulţimea banilor e folositoare!

Oricare om ce să gândească poate, Va înţelege că în societate Degeaba milioane sunt aduse, Dacă e penurie de produse... Banii aceştia, dragii mei, Deşi sunt importanţi şi ei, Au rolul să ne amintească: Toată lumea să muncească!

298

Dragi copii, acum ar trebui să spun că am terminat, dar întotdeauna la matematică mai este ceva de învăţat, de repe-tat, de lucrat şi consolidat. Oricum, sper că până acum chiar te-am ajutat. Poţi oricând să reciteşti şi cu mare atenţie să gândeşti la aceste poezii şi povestioare cu poveţe compuse ca bine să te înveţe. Sper că ai înţeles cum ţi-am explicat eu, nu e chiar atât de greu, iar dacă te apuci serios de studiat, nu va fi foarte complicat. Eu nu vreau să-ţi fie matematica un chin, ci vreau să înveţi cu zâmbetul senin! Cu drag, al tău prieten mai mare, Florin!

299

CUPRINS

I. OPERAŢII CU NUMERE NATURALE DE LA 0 LA 1000 Scăderea unui număr format numai din unităţi dintr-un număr mai mic decât 20, fără trecere peste ordin.........................................12 Adunarea unui număr mai mic decât 20 cu un număr format nu-mai din unităţi, fără trecere peste ordin.......................................15 Aflarea unui termen necunoscut dintr-un exerciţiu de adunare sau scădere cu doi termeni în concentrul 0 - 10 când se cunoaşte su-ma/diferenţa şi celălalt termen....................................................17 Adunarea a doi termeni în concentrul 0 – 20 cu trecere peste or-din................................................................................................25 Scăderea în concentrul 0 – 20 cu trecere peste ordin.................28 Adunarea numerelor naturale de la 0 la 100 cu trecere peste or-din................................................................................................32 Proba operaţiilor de adunare şi scădere.......................................37 Aflarea termenului necunoscut folosind proba operaţiei.............40 Aflarea descăzutului când se cunoaşte scăzătorul şi restul..........44 Scăderea din 100 a unui unui număr format din zeci şi unităţi....46 Scăderea numerelor cuprinse între 100 şi 1000 cu trecere peste ordinul unităţilor şi al zecilor.......................................................50 Scăderea cu trecere peste ordin în concentre mai mari decât 1000.............................................................................................60 Înmulţirea numerelor naturale.....................................................73 Înmulţirea unui factor cu o sumă.............................................. ..77 Deşi pe factori altfel îi grupăm,/Produsul e acelaşi, îl păstrăm!.......................................................................................92 Înmulţirea unui număr format din zeci şi unităţi cu un număr de o cifră cu trecere peste ordinul unităţilor şi al zecilor...........105 Înmulţirea a două numere formate din zeci şi unităţi................109 Împărţirea în părţi egale.............................................................121 Împărţirea prin cuprindere.........................................................130 Aflarea deîmpărţitului când se cunoaşte împărţitorul şi câtul...139 Aflarea factorului necunoscut când se cunoaşte produsul şi celălalt factor.............................................................................141

300

Împărţirea cu rest.......................................................................145 Proba împărţirii cu rest – relaţia dintre deîmpărţit, împărţitor, cât şi rest – condiţia restului............................................................148 Împărţirea unei sume la un număr de o cifră diferit de 0..........152 Ordinea efectuării operaţiilor matematice în exerciţii...............160 II. NUMERELE NATURALE DE LA 0 LA 1000..................173 Cifre şi numere..........................................................................180 Activităţi didactice premergătoare formării noţiunii de fracţie.......................................................................181 Fracţii şi scrierea fracţiilor.........................................................187 Aflarea unei fracţii dintr-un întreg.............................................195 III. ELEMENTE DE GEOMETRIE..........................................202 Punctul.......................................................................................202 Dreapta.......................................................................................206 Segmentul de dreaptă.................................................................219 Linia frântă închisă şi deschisă..................................................220 Linia curbă închisă şi deschisă. Cercul......................................228 Poligoane ( pătratul, dreptunghiul, triunghiul ).........................240 IV. UNITĂŢI DE MĂSURĂ...................................................264 Unităţi pentru măsurarea lungimilor.........................................264 Unităţi de măsură pentru capacitatea vaselor............................270 Unităţi pentru măsurarea masei corpurilor................................273 Unităţi de măsură pentru timp...................................................284 Unităţi pentru măsurarea valorii................................................295

301