CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF … · 2013-06-25 · a) Să se arate că dintre...

www.neutr

ino.ro

CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale şi protecŃia mediului

Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

CLASA a IX-a 1. Un elev doreşte să cumpere 33 ciocolate, dintr-un magazin unde acestea sunt ambalate în cutii de câte 6, 9 şi respectiv 20 bucăŃi, fără ca acestea să poată fi vândute la bucată. a) În câte moduri poate elevul să realizeze acest lucru? b) În aceleaşi condiŃii, poate elevul să cumpere 43 ciocolate? 2. Numerele reale pozitive 1 2 3 10, , , ...,a a a a , sunt, în această ordine, în progresie aritmetică de raŃie 0>r şi pentru care 1 18⋅ =r a . DeterminaŃi termenii progresiei astfel încât suma termenilor acesteia să fie minimă?

3. Fie , , ∈ℝa b c astfel încât 2 2 2 1+ + =a b c şi sistemul de ecuaŃii: 2

2

2

− =

− = − =

x y a

y z b

z x c

Să se arate că pentru orice soluŃie (x, y, z) a sistemului avem 2 2 2 1+ + ≤x y z . 4. Considerăm triunghiul ABC, având laturile =AB c şi =AC b . În planul

acestuia se consideră punctele M, N, D astfel încât: , = ⋅ = ⋅�� AM b AB AN c AC ,

= ⋅ + ⋅�� AD b AB c AC . DemonstraŃi că : a) ( ) ( )≡AM AN ;

b) Patrulaterul AMDN este paralelogram;

c) (AD este bisectoarea unghiului �BAC .

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Profil real, specializarea ştiinŃele naturii

Notă: Timp de lucru 3 ore

Toate subiectele sunt obligatorii

Fiecare subiect este notat cu punctaje de la 0 la 7

CLASA A IX A

1. Fie N ab= un număr natural de două cifre (în baza 10). DeterminaŃi N, dacă numerele

a, b şi 1

N3⋅ sunt în progresie geometrică.

2. Se consideră triunghiul ABC cu �( )m A 90= � şi �( )m C 30= � . Fie D∈(BC) şi P∈(AB)

astfel încât BD 1

,DC 3

=AP 3

,PB 2

= iar E este piciorul bisectoarei din B. DemonstraŃi că

dreptele CP, AD şi BE sunt concurente. Gazeta Matematică 7-8-9/2009

3. Doi brazi, unul cu înălŃimea de 28m, iar celălalt cu înălŃimea de 15m, se află unul faŃă

de altul la distanŃa de 13m. Un iepure este situat la 35m faŃă de vârful bradului mai înalt şi la 25m faŃă de vârful bradului mai scund. La ce distanŃă se află iepurele faŃă de dreapta care uneşte bazele celor doi brazi ? 4. Pe tablă este scris de douăzeci de ori numărul zecimal 1,1 şi de douăzeci numărul zecimal 1,11. Lucică cel obraznic a şters câteva numere dintre cele patruzeci aflate pe

tablă. StabiliŃi câte numere a şters Lucică, ştiind că suma numerelor rămase pe tablă este 19,93.

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera tehnologică : profil tehnic

Nota: Timp de lucru 3 ore


Fiecare subiect este notat de la 0 la 7

CLASA A IX-A

1. Se consideră mulŃimea M {1,2,3,...,10}= .

a) Câte progresii aritmetice cu trei elemente si cu raŃia pozitivă, se pot forma cu elementele mulŃimii M ? b) Câte progresii geometrice cu trei elemente si cu raŃia supraunitară, se pot forma cu elementele mulŃimii M ?

2.

a) Să se arate că dintre toate dreptunghiurile de perimetru constant, pătratul are aria

maximă. b) Să se arate că dreptunghiul de arie maxima înscris într-un cerc este pătratul.

3. Spunem că perechea de numere naturale (a, b) este ideala dacă 2 2a 2b 1− = . a) DaŃi exemple de două perechi de numere naturale ideale

b) ArătaŃi că ,dacă perechea (a, b)este ideala, atunci şi perechea ( )2 22 ,2a b ab+ este

ideala.

4. S-au tăiat bârne pentru lemne de foc. S-au făcut 1510 tăieturi şi s-au obŃinut 2010 bucăŃi. Câte bârne au fost la început ?

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010

Filiera teoretică, profil umanist




CLASA A IX-A 1. a) DeterminaŃi funcŃia f : →ℝ ℝ astfel încât

2 f (x) 3f (1 x) 2x 1, x+ − = − ∀ ∈ℝ .

b) Fie funcŃia f : , f (x) 2x 1→ = − +ℝ ℝ . DeterminaŃi: aria triunghiului mărginit de

graficul funcŃiei şi axele de coordonate, tangenta unghiului format de graficul funcŃiei si axa Ox, precum si distanŃa de la originea axelor la graficul funcŃiei f.

2. a) Dacă 0 ≤ α ≤ β demonstraŃi că 1 1

α β≤

+ α +β .

b) Dacă a,b,c 0≥ astfel încât 0 a b c≤ ≤ + , demonstraŃi că

a b c

1 a 1 b 1 c≤ +

+ + +.

3. a) Să se arate că mulŃimea

{ } { }2 2 2A x \ x 2mx 9 0 x \ 2x 12x m 9 0= ∈ + + = ∪ ∈ + + + =ℝ ℝ

are unul sau două elemente. b) CalculaŃi suma numerelor naturale mai mici sau egale decât 2010, care împărŃite la

5 dau restul 4. Care este probabilitatea ca alegând un număr natural mai mic sau egal decât 2010 acesta să fie divizibil cu 5 dar să nu fie divizibil cu 10?

4. a) Dorind să-şi cumpere un laptop un elev constată că în cel de-al doilea magazin preŃul este de 110% din preŃul de la primul magazin, iar la al treilea magazin preŃul este 90% din preŃul de la al doilea magazin. De la care din cele trei magazine ar trebui cumpărat calculatorul?

b) Un cub are muchia de 8 cm. Pentru vopsirea lui se folosesc 160g vopsea. Dacă s-ar tăia cubul vopsit in cuburi cu latura de 2 cm câtă vopsea ar mai fi necesară pentru

suprafeŃele noi apărute?

www.neutr

ino.ro






CLASA a X-a

1. Avem dispoziŃie un număr nelimitat de jetoane pe care sunt scrise numerele

5, 7 sau 11. Un număr ∗∈ℕn se numeşte norocos dacă găsim un număr de

jetoane astfel încât suma numerelor scrise pe ele să fie egală cu n. a) DemonstraŃi că numărul 13 nu este norocos. b) ArătaŃi că numerele:14, 15, 16, 17 şi 18 sunt norocoase. c) DemonstraŃi că orice număr natural 14≥n este norocos.

2. Fie ( ) { }, , , 0, \ 1∈ ∞a b c A şi , ,α β γ ∗∈ℝ astfel încât : ( ) ( ) ( ) 2α β γ= = =ab bc ac A .

DemonstraŃi că :

1 1 1 1 1 1

log log log α β γ+ + = + +

a b cA A A.

3. Se dă funcŃia ( ) ( )3 1: , log 7 2

−⊂ → = − −ℝ ℝf D f x x x .

a) ArătaŃi că domeniul de definiŃie este )0,9 4 2= −D .

b) GăsiŃi punctele de coordonate întregi situate pe graficul funcŃiei f. 4. a) DemonstraŃi că:

1 sin 1 sin 2, + + − ≤ ∀ ∈ℝx x x .

b) RezolvaŃi în ℝ ecuaŃia:

1 sin 1 sin 2 2−+ + − = +x xx x .

www.neutr

ino.ro




CLASA A X A

1. Considerăm expresia ( ) 1 1E x .

x 1 x x 1 x= −

− − + −

a) DeterminaŃi valorile reale ale lui x pentru care este bine definită expresia E(x).

b) DemonstraŃi că ( ) 2 1 x 1 1E x , x 0, ,1 .

2x 1 2 2

− = ∀ ∈ ∪ −

c) RezolvaŃi inecuaŃia ( )E x 0.≤

2. CalculaŃi suma ( ) ( ) ( ) ( )S lg tg1 lg tg2 lg tg3 ... lg tg89 .= + + + +� � � �

3.

a) DaŃi un exemplu de trei numere complexe nenule z1, z2, z3 astfel încât 2 2 21 2 3z z z 0+ + =

b) Fie w1, w2, w3 ∈ ℂ astfel încât 1 2 3w w w 0,+ + ≠2 2 21 2 3w w w 0+ + = şi

1 2 3w w w 1.+ + = DemonstraŃi că 1 2 3w w w 2+ + = .

4. Un disc este împărŃit în şase părŃi egale prin trei diametre. În fiecare dintre sectoarele formate se află câte un pion. La o mutare, alegem doi pioni, pe care îi deplasăm în sectoare vecine celor din care pleacă. Există un şir finit de mutări în urma cărora toŃi pionii să ajungă într-un acelaşi sector? JustificaŃi răspunsul.

Gazeta Matematică 10/2009

www.neutr

ino.ro



Nota: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect este notat de la 0 la 7

CLASA A XI-A

1. Se da matricea

1 2 3

A 4 5 6

7 8 9

=

. Sunt premise următoarele doua operaŃii:

� Adunarea numărului 1 la fiecare dintre elementele oricărei linii. � Scăderea numărului 1 din fiecare dintre elementele oricărei coloane.

a) Este matricea A inversabila? b) Plecând de la matricea A si utilizând operaŃiile date, se poate obŃine transpusa acestei matrice? JustificaŃi răspunsul.

2. În planul raportat la sistemul ortogonal de axe de coordonate se considera punctele

2 *nA (n 1,n 2n 4),n ℕ+ + + ∈

a) CalculaŃi aria triunghiului 1 2 3A A A . b) ArătaŃi ca aria triunghiului 1 1n n n

A A A− + este independenta de n. 3.

a) Să se calculeze x 0

sin xlim

1 x 1→ + −

b) Să se determine x 0

sin x sin 2x ... sin 2010xlim

1 x 1→

+ + +

+ −

.

4.

a) Să se determine L(m) = 2

22 x

x 0

| m |lim(cos x x ) ,m

2ℝ

→− ∈ .

b) Să se arate ca : 1 2 1 2 1 2

1L(m ) L(m ) L(m m ), m ,m

eℝ⋅ ≤ ⋅ + ∀ ∈ .

www.neutr

ino.ro


ETAPA JUDEłEANĂ - 13 martie 2010 Filiera teoretică, profil umanist


CLASA A X A 1. Fie a, b, c numere reale pozitive. Să se demonstreze că:

a) ab a b

a b 4

+≤

+.

b) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

+ ++ + ≤

+ + +. În ce condiŃii are loc egalitatea?

c) Să se rezolve în � ecuaŃia x x x x x x

x x x x x x

6 15 10 2 3 5

2 3 3 5 2 5 2

+ ++ + =

+ + +.

2. a) Se consideră funcŃia

( )2

2 1 24m

1 1f : D f (x) = x 1 2log m x 1 2log

log 2 m → − + + +

� ,

DeterminaŃi m 0, m 1> ≠ astfel încât D = � .

b) RezolvaŃi în 2� sistemul

2 2

x y y x 30

x y xy 2900

− =

+ =

. 3. a) Folosind inducŃia matematică demonstraŃi egalitatea

2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 ... n , n

6∗+ +

+ + + + = ∈� .

b) CalculaŃi suma tuturor numerelor naturale pătrate perfecte mai mici decât 2010 şi care nu sunt divizibile cu 3. 4. a) Un bijutier are trei piese din aur de formă circulară şi de diametre diferite. Cele trei diametre sunt: 6 cm, 8 cm şi 10 cm. Grosimea pieselor este aceeaşi la toate cele trei piese. Cum poate împărŃi în patru părŃi egale în greutate cele trei piese, fără să le topească sau să le cântărească ( doar prin măsurare şi tăiere)? JustificaŃi. b) Doru şi Remus construiesc un mozaic pătrat din plăci de gresie pătrate identice.

Remus pune o placă neagră in centru. Doru pune 8 plăci albe în jurul ei, formând un al doilea pătrat. Remus pune 16 plăci negre în jurul acestora, formând al treilea pătrat. De câte plăci are nevoie Remus pentru a completa cel de-al unsprezecelea pătrat? Câte plăci a pus Doru dacă în total au fost 20 de pătrate?

www.neutr

ino.ro






CLASA a XI-a

1. O matrice ( )2∈ ℝA M verifică condiŃiile: ( )2det 3 4− =A I şi ( )2det 2 9+ =A I ,

2I fiind matricea unitate de ordinul al doilea.

DemonstraŃi că : 2

22= −A A I .

2. Un determinant de ordin 2≥n are ( )2 2− +n n elemente egale. DemonstraŃi

că determinantul este nul.

3. Se dă funcŃia { } ( ) 1

1: \ 0,1 ,

2 2

→ =−

ℝ ℝ

x

f f x .

a) DeterminaŃi limitele laterale ale funcŃiei f în punctele 0 0=x şi 1 1=x .

b) CalculaŃi : 1 lim −

→∞ = ⋅

x x

xl e e şi 2 lim −

→∞ = ⋅

x x

xl e e , unde [ ]a reprezintă partea

întreagă a numărului real a, iar e este baza logaritmului natural.

4. ArătaŃi că nu există polinoame P, Q, cu coeficienŃi reali,

( ) 1

0 1 0... , 0−= + + + ≠n n

nP x a x a x a a şi ( ) 1

0 1 0... , 0−= + + + ≠m m

mQ x b x b x b b şi

, ∗∈ ℕm n , astfel încât: ( ) ( )2 1 , = + ⋅ ∀ ∈ℝP x x x Q x x .

www.neutr

ino.ro






CLASA A XI A

1. Se consideră matricea a b

Ac d

= ∈

M2( )ℤ şi funcŃia f : M2,1( )ℤ → M2,1( )ℤ ,

f(X) = A·X, 1

2

xX

x

∀ =

∈ M2,1( )ℤ .

a) Dacă detA ≠ 0, demonstraŃi că funcŃia este injectivă.

b) Dacă detA ∈{-1, 1}, demonstraŃi că funcŃia este bijectivă.

2. Fie A ∈M3( )ℂ o matrice, At transpusa sa, iar B = A - A

t ∈ M3 ( )ℂ .

a) ArătaŃi că B = - Bt .

b) DemonstraŃi că det B = 0.

3. Se consideră şirul ( )n nT

∈ℕ de triunghiuri dreptunghice isoscele din figura de mai jos.

Notăm cu si şi pi aria, respectiv perimetrul triunghiului Ti, i∈ℕ . Definim şirurile

( )n nS

∈ℕ şi ( )n n

P∈ℕ

prin n

n i

i 0

S s ,=

=∑ respectiv n

n i

i 0

P p=

=∑ . AflaŃi limitele şirurilor ( )n nS

∈ℕ şi

( )n nP

∈ℕ.

4. Se consideră şirul ( ) *n na

∈ℕ definit prin *

n

1 1 1 na ... , n

21 2 n= + + + − ∀ ∈ℕ .

a) DemonstraŃi că şirul ( ) *n na

∈ℕ este strict crescător.

b) ArătaŃi că există *n∈ℕ pentru care na 2010.>

c) Este şirul considerat convergent? JustificaŃi răspunsul!


www.neutr

ino.ro




CLASA A XI-A

1. Se da matricea

1 2 3

A 4 5 6

7 8 9

=

. Sunt premise următoarele doua operaŃii:

� Adunarea numărului 1 la fiecare dintre elementele oricărei linii. � Scăderea numărului 1 din fiecare dintre elementele oricărei coloane.

a) Este matricea A inversabila? b) Plecând de la matricea A si utilizând operaŃiile date, se poate obŃine transpusa acestei matrice? JustificaŃi răspunsul.

2. În planul raportat la sistemul ortogonal de axe de coordonate se considera punctele

2 *nA (n 1,n 2n 4),n ℕ+ + + ∈

a) CalculaŃi aria triunghiului 1 2 3A A A . b) ArătaŃi ca aria triunghiului 1 1n n n

A A A− + este independenta de n. 3.

a) Să se calculeze x 0

sin xlim

1 x 1→ + −

b) Să se determine x 0

sin x sin 2x ... sin 2010xlim

1 x 1→

+ + +

+ −

.

4.

a) Să se determine L(m) = 2

22 x

x 0

| m |lim(cos x x ) ,m

2ℝ

→− ∈ .

b) Să se arate ca : 1 2 1 2 1 2

1L(m ) L(m ) L(m m ), m ,m

eℝ⋅ ≤ ⋅ + ∀ ∈ .

www.neutr

ino.ro





CLASA A XI-A

1. Din totalul elevilor unei şcoli 70% participă la cercul de matematică, iar 45% la cercul de informatică. Ştiind că fiecare elev participă la cel puŃin un cerc şi 42 de elevi participă la ambele cercuri aflaŃi câŃi elevi sunt în şcoala. 2. La teza de matematică de pe trimestrul I la clasa a X-a A s-au obŃinut următoarele note:

Nota 5 6 7 8 9 10 Număr elevi

2 5 5 5 5 2

În clasa a X-a B s-au obŃinut următoarele note:

Nota 4 5 6 7 8 9 10 Număr elevi

1 2 4 2 7 8 6

a) Care clasă este cea mai bună?(are media mai mare) b) Care clasă are dispersia mai mică?(este mai omogenă)

3. a) Pentru graful planar alăturat demonstraŃi relaŃia:

Nr. Noduri+Nr. Circuite elementare=Nr. Muchii+1.

b) DemonstraŃi că un graf complet cu 5 noduri nu este graf planar. 4. Un profesor a corectat la examenul de bacalaureat 50 de lucrări. Făcând media notelor a obŃinut 5,02. Un coleg i-a atras atenŃia că nu a adunat punctul acordat din oficiu la fiecare lucrare. Ce medie va obŃine la lucrări după adăugarea acelui punct?

www.neutr

ino.ro






CLASA a XII-a

1. Pe mulŃimea ( )1,G = − ∞ , se defineşte legea de compoziŃie internă dată prin

, ,x y x y xy x y G∗ = + + ∀ ∈ .

a) DemonstraŃi că ( ),G ∗ este grup abelian.

b) RezolvaŃi, în G, ecuaŃia

... 1, , 2∗∗ ∗ ∗ ∗ = ∈ ≥ℕ��n ori

x x x x n n .

c) ArătaŃi că mulŃimea { }2 1/H a a ∗= − ∈ℚ este subgrup al grupului ( ),G ∗ .

2. a) Folosind substituŃia 1

tu

= , să se demonstreze că 1

1

2 21, 0

1 1x

x

dt dtx

t t= ∀ >

+ +∫ ∫ .

b) ArătaŃi că: 1

, 02

arctg x arctg xx

π+ = ∀ > .

c) CalculaŃi: ( ) 1

, 1

a

a

arctg xI a dx a

x= >∫ .

3. CalculaŃi: a)

( )3 2

2

30 2

4 6 8 3

1

x x xI dx

x x

− + −=

− +∫ .

b) ( )1

11

xxI x x e dx

x

+ = + − ∫ , unde e este baza logaritmului natural , iar ( )0,x∈ ∞ .

4. Un elev colorează puncte de coordonate întregi ale planului, raportat la

reperul ortogonal ( )xOy . Fiind colorate două puncte A şi B, elevul poate colora

simetricul lui A faŃă de B şi simetricul lui B faŃă de A. ArătaŃi că dacă iniŃial, în

plan, erau colorate punctele ( ) ( ) ( )0,0 ; 1,0 ; 1,1 ;O A B şi ( )0,1C , atunci elevul

poate colora toate pnctele de coordonate întregi ale planului.

www.neutr

ino.ro




CLASA A XII A

1. Se consideră funcŃiile ( )f ,F : 0, ,∞ →ℝ ( ) 2

1 1f x ln 1 ,

x x = +

iar ( ) 1 1F x 1 1 ln 1

x x

= + − + .

a) DemonstraŃi că F este primitivă a funcŃiei f.

b) CalculaŃi ( ) ( )e

1f x F x dx.∫

2. Fie (G1, *) şi (G2, � ) două grupuri abeliene. Pe mulŃimea produs cartezian G = G1×G2, definim operaŃia pe componente „·” prin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2x , y x , y x * x , y y , x , y , x , y G.⋅ = ∀ ∈�

a) DemonstraŃi că ( )G,⋅ este grup abelian.

b) Dacă (G1, *) = (G2, � ) = ( )2 ,+ℤ , stabiliŃi dacă grupurile ( )4 ,+ℤ şi ( )2 2 ,× +ℤ ℤ sunt

sau nu izomorfe.

3. Întrucât operaŃia de scădere pe ℤ nu este asociativă, nu are element neutru şi nu este

comutativă, vom spune că este de tip ( )A,E,C . Dacă o altă operaŃie, definită pe o

mulŃime M, ar fi asociativă, cu element neutru şi necomutativă, am spune că este de tip

( )A,E,C .

DaŃi exemple de operaŃii, pe mulŃimi alese corespunzător, care să fie de tip ( )A,E,C ,

( )A,E,C , ( )A,E,C , ( )A,E,C , ( )A,E,C , ( )A,E,C , ( )A,E,C . În fiecare dintre cele

şapte situaŃii, aduceŃi o minimă argumentare în sprijinul afirmaŃiei facute.

4. CalculaŃi ( )

9

1

ln xdx

x x 3+∫ .


www.neutr

ino.ro






CLASA A XII-A

1.

a) DemonstraŃi că 2

x 1 1 3 1

x 4 4 x 2 x 2

+ = + − − +, x∀ ∈ℝ .

b) Să se calculeze 2

2

x x 3dx

x 4

+ −−∫ , ( )x 2,∈ ∞ .

2. Fie : →ℝ ℝf , 2

x 3,x 1f (x)

ax x 2,x 1

+ <= + + ≥ , a ∈ℝ .

a) Să se determine a astfel încât f să fie continuă pe ℝ .

b) Pentru a determinat anterior, să se calculeze f (x)dx∫ .

3. Fie (G, ·) un grup cu 5 elemente şi e∈G, elementul neutru al grupului.

a) Să se dea un exemplu de asemenea grup.

b) Se admite că G e comutativ şi că x5 = e, x G∀ ∈ . Fie { }y G e∈ − .

Să se arate că { }2 3 4 5G y, y , y , y , y= .

4. Fie

0 0 1

A 1 0 0

0 1 0

=

.

a) Să se calculeze 2A şi 7A .

b) Să se arate că (G, ·)e grup comutativ, unde { }n *G A / n= ∈ℕ .

www.neutr

ino.ro







CLASA A XII-A

1. Considerăm matricea

0 0 0 1

1 0 1 1A

1 0 0 1

1 0 1 0

=

, care este matricea asociată unui graf.

a) Să se reprezinte graful asociat matricei date;

b) Câte drumuri de lungime trei conŃine graful ?

2. Se consideră matricea ( )1 2 3

2,3

1 2 3

a a aA M R

b b b

= ∈

, transpusa sa ( )t

3,2A M R∈ ,

tB AA= şi punctele ( ) { }k k kP a ,b , k 1,2,3∈ .

a) Să se calculeze matricea B în cazul ( ) ( ) ( )1 2 3P 1,2 , P 2,4 , P 3, 6− − ;

b) Să se arate că det(B) 0≥ , oricare ar fi punctele 1 2 3P ,P ,P .

3. Perechea de numere întregi (a, b) se numeşte ideală dacă 2 2a 3b 1− = .

a) DeterminaŃi a Z∈ pentru care perechea (a, 15) este ideală;

b) Definim compunerea a două perechi de numere întregi prin

( ) ( ) ( )a,b c,d ac 3bd,ad bc∗ = + + . DemonstraŃi că dacă (a, b) şi (c, d) sunt perechi

ideale atunci şi compunerea lor este o pereche ideală.

4. Pe o tablă sunt scrise numerele 1,2,3,...99,100. Un elev şterge două numere, fie ele a

şi b şi scrie în locul lor numărul a b ab 2a 2b 6∗ = − − + . Ce număr va rămâne pe tablă

după 99 de paşi?

CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF … · 2013-06-25 · a) Să se arate că dintre...

Documents

Transcript of CONCURSUL NAłIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF … · 2013-06-25 · a) Să se arate că dintre...