7/21/2019 Compunerea Acceleratiilor

http://slidepdf.com/reader/full/compunerea-acceleratiilor 1/4

Miscarea relativa a punctului material 

 În capitolele 8 si 9 s-a studiat miscarea unui punct material sau a unui rigid în raport cuun reper fix (adica miscarea absoluta). 

Vom considera în cele ce urmeaza miscarea unui punct material (capitolul 10) în raportcu un reper mobil aflat, la rândul lui, în miscare fata de un reper fix. Se pune în acest cazproblema determinarii parametrilor cinematici (traiectorie, viteza, acceleratie) cecaracterizeaza miscarea punctului sau a rigidului în raport cu reperul fix, daca se cunoscparametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea punctului sau a rigidului în raport cu reperulmobil si parametrii cinematici ce caracterizeaza miscarea reperului mobil în raport cu cel fix. 

10.1. Definitii si exemple 

Miscarea punctului material în raport cu sistemul fix se numestemiscare absoluta.Viteza (respectiv acceleratia) punctului în aceasta miscare se numeste  viteza

absoluta (respectiv acceleratie absoluta) si se noteaza cu (respectiv ). 

Miscarea punctului material în 18118q1618s raport cu sistemul mobil senumeste miscare relativa. Viteza (respectiv acceleratia) punctului în aceasta miscare se

numeste viteza relativa (respectiv acceleratie relativa) si se noteaza cu (respectiv ). 

Se numeste miscare de transport  miscarea în raport cu sistemul fix a punctului solidarcu reperul mobil si care în momentul considerat coincide cu punctul a carui miscare sestudiaza. Viteza (respectiv acceleratia) punctului în aceasta miscare se numeste viteza de

transport  (respectiv acceleratie de transport ) si se noteaza cu (respectiv ). 

Exemplu: Se considera o bara OA aflata în miscare de rotatie în jurul capatului articulat

O în planul fix  (figura T 10.1). În timp ce bara se roteste, un punct material M (uncursor) aluneca în lungul barei de la O spre A. Miscarea absoluta este miscarea punctului fata

de reperul fix . Punctul deplasându-se pe OA (considerata ca axa Ox a reperuluimobil Oxy ) iar bara rotindu-se în jurul lui OA traiectoria punctului va fi o curba de tip spirala.

Miscarea relativa este miscarea punctului fata de reperul mobil Oxy , deci o miscare rectiliniepe OA. Miscarea de transport este miscarea punctului M considerat imobil fata de reperul mobilsi aflat în miscare fata de cel fix. Ea este o miscare circulara pe cercul cu centrul în O si deraza OM. 

7/21/2019 Compunerea Acceleratiilor

http://slidepdf.com/reader/full/compunerea-acceleratiilor 2/4

 

Figura T 10.1 Figura T 10.2 

10.2. Derivata absoluta si derivata relativa a unui vector  

Fie vectorul definit prin proiectiile sale pe axele reperului mobil Oxyz: 

(10.1) 

Derivând relatia (10.1) în raport cu timpul t obtinem: 

(10.2) 

Membrul stâng al relatiei (10.2) reprezinta derivata totala sau absoluta a vectorului

. Prima paranteza din membrul drept reprezinta derivata vectorului fata de sistemul mobil

ca si cum acesta ar fi fix (adica versorii , si nu-si schimba directia). Aceasta derivata

se numeste derivata locala sau relativa a vectorului si se noteaza cu , cu observatia caaceasta notatie nu reprezinta o derivata partiala. Ţinând seama de formulele lui Poisson: 

, ,

a doua paranteza capata forma: 

(10.3) 

Relatia (10.2) devine: 

(10.4) 

 Aceasta relatie reprezinta formula de obtinere a derivatei absolute (fata de reperul fix)

a unui vector dat prin proiectiile sale pe axele reperului mobil. 

10.3. Compunerea vitezelor  

7/21/2019 Compunerea Acceleratiilor

http://slidepdf.com/reader/full/compunerea-acceleratiilor 3/4

  Fie un punct material M aflat în miscare fata de reperul fix  si reperulmobil Oxyz   (figura T 10.2). Pozitia punctului fata de reperul fix este data prin vectorul de

pozitie iar fata de reperul mobil prin vectorul . Între cei doi vectori exista relatia: 

(10.5) 

unde este vectorul de pozitie al originii triedrului mobil fata de cel fix. 

Derivând în raport cu timpul relatia (10.5) obtinem: 

(10.6) 

Dar: 

- este viteza absoluta (în raport cu reperul fix); 

- este viteza absoluta a originii O a reperului mobil;  

- este viteza relativa (în raport cu reperul mobil ca si cum acesta ar fi fix). 

Observând ca  reprezinta viteza unui punct solidar cu triedrul mobil si care

coincide la momentul de timp considerat cu punctul M, adica viteza de transport , obtinem

urmatoarea formula de compunere a vitezelor în miscarea relativa a punctului material:  

(10.7) 

10.4. Compunerea acceleratiilor  

Consideram relatia (10.7) scrisa sub forma: 

pe care o derivam în raport cu timpul t : 

7/21/2019 Compunerea Acceleratiilor

http://slidepdf.com/reader/full/compunerea-acceleratiilor 4/4

  (10.8) 

Dar: 

- este acceleratia absoluta a punctului M; 

- este acceleratia absoluta a punctului O; 

; ; 

; 

- este acceleratia relativa a punctului M. 

Suma reprezinta acceleratia unui punct solidar cu triedrul mobilsi care coincide la momentul de timp considerat cu punctul M, adica acceleratia de

transport a punctului M. Termenul se numesteacceleratie Coriolis  siexprima influenta simultana a miscarii de rotatie a triedrului mobil fata de cel fix si a miscariirelative a punctului asupra acceleratiei absolute a punctului material. Ţinând cont de acesteobservatii obtinem urmatoarea formula de compunere a acceleratiilor în miscarea relativa apunctului material: