www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Combinatorica. Binomul lui Newton.

1. Produsul 123n il notam n! si se citeste n factorial. Prin conventie 0! = 1. 2. Proprietati:

a. (n+1)! = (n+1)n!, b. (n+1)! n! = nn!,

c. !n

1-

)!1n(

1

=

)!1n(

n

.

3 Fie A={a 1 ,a 2 , , a n } o multime nevida care contine n elemente. Se numeste permutare a

multimii A, o multime ce contine toate elementele lui A carora li s-au fixat un loc in aceasta multime. Multimea permutarilor lui A se noteaza cu P n si se calculeaza astfel P n = n! 4. Fie A ={a 1 ,a 2 , , a n } o multime nevida care contine n elemente. O permutare este un sir de

numere determinat de functia injectiva f:{1, 2, , n} A reprezentata prin tabloul,

ni21 a........a..........aa

n..........i............21 unde daca i j a i a j , care fixeaza locul fiecarui element

5. Fie A o multime nevida care contine n elemente. O submultime ordonata a lui A de k elemente (k n) se numeste aranjament de n luate cate k.

Numarul acestor submultimi se noteaza A kn si se citeste aranjamente de n luate cate k si se

calculeaza astfel A kn = n(n-1)(n-2)(n-k+1).

6. Formule uzuale:

a. A kn = n A1k1n

, A

kn = n(n-1) A

2k2n

;

b. A kn = )!kn(!n

;

c. A kn = (n-k+1) A1k

n ;

d. A nn = P n .

7. Fie A o multime nevida care contine n elemente. O submultime a lui A de k elemente (n k) se numeste combinare de n elemente luate cate k. Numarul acestor submultimi se noteaza C kn si se citeste combinari de n luate cate k si se

calculeaza astfel C kn =k

kn

P

A sau C kn = k...21

)1kn(...)1n(n

.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

8. Formule uzuale:

a. C 0n = Cnn = 1,

b. C kn = )!kn(!k!n

,

c. C kn = C

knn (C kn , C

knn combinari complementare);

d. C 1kn =

1k

kn

C kn ,

e. C kn = kn

C 1k 1n ,

f. C kn = C

k1n + C

1k1n

9. Binomul lui Newton: (a+b) n = C 0n a

n + C 1n a1n b+ C 2n a

2n b 2 + +C 1nn ab 1n + C nn b

n .

C 0n , C1n , C

2n , , C

1nn , C nn se numesc coeficienti binomiali.

10. Pentru n = 2 si n = 3 avem: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ; (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 11. (a-b) n = C 0n a

n - C 1n a1n b+ C 2n a

2n b 2 + + (-1) k C kn akn b k + + (-1) n C nn b

n . 12. Formule: C 0n + C

1n + C

2n + + C

1nn + C nn = 2

n .

C 0n + C2n + C

4n + = C

1n + C

3n + C

5n + = 2

1n . 13. Termenul de ordinul k+1 din dezvoltarea Binomului lui Newton (a + b) n se noteaza T 1k si

avem T 1k = Ckn a

kn b k . 14. Termenul de ordinul k+1 din dezvoltarea Binomului lui Newton (a - b) n se noteaza T 1k si

avem T 1k = (-1) k C kn a

kn b k . 15. Proprietati: a. Binomul lui Newton are n + 1 termeni, b. In fiecare termen suma puterilor lui a si b este egala cu n.