Cn.computer.arithmetic
2
Erori de reprezentare (”round-off errors”). Reprezentarea numerelor reale ˆ ın calculator. Erori de trunchiere. Propagarea erorilor. 1. Not˘ am prin valoarea lui ”epsilon-machine”. Mai precis daca x este un num˘ ar real oarecare, iar fl(x) noteaz˘ a aproximarea lui x ˆ ın virgul˘ a flotant˘ a (”floating point”), atunci eroarea relativ˘ aˆ ın aproximarea lu x satisface |fl(x) - x| |x| ≤ . (a) Folosit ¸i scriptul eps_machine.m si verificat ¸i operat ¸iile prezentate aici. (b) Schimbˆ and doar ordinea termenilor (f˘ ar˘ a operat ¸ii de asociere sau ˆ ınmult ¸ire) calculat ¸i E 1 () := 1 + 4 + 4 + 4 + 4 - 1. Explicat ¸i urm˘ atorul aspect: de ce enumerarea de mai sus a terme- nilor nu va conduce la r˘aspunsul corect E 1 ()= ¸ si de ce o anumit˘a reordonare a termenilor va conduce la r˘aspunsul corect? (c) Folosit ¸i codul de mai jos pentru a determina valoarea lui ˆ ın dubl˘ a precizie. deps = double(1.0); while (1<1+deps) deps = deps/2; end; deps=deps*2; Verificat ¸i c˘ a valoarea obt ¸inut˘ aˆ ın deps este aceea¸ si cu cea dat˘ a de constanta Octave/Matlab eps. (d) Determinat ¸i valoarea lui ”epsilon machine” ˆ ın single precision folosind cod similar celui de mai sus. 2. Se dore¸ ste determinarea valorii (aproximative) a integralei I n = Z 1 0 x n x + 16 dx, n ∈ N. Un calcul simplu ne conduce la urm˘ atoarea definit ¸ie recurent˘ a a lui I n : I n = 1 n - 16I n-1 , I 0 = ln 17 16 . (1)
-
Upload
gabriela-ivan -
Category
Documents
-
view
214 -
download
1
description
xc
Transcript of Cn.computer.arithmetic
-
Erori de reprezentare (round-off errors).
Reprezentarea numerelor reale n calculator. Erori de trunchiere.Propagarea erorilor.
1. Notam prin valoarea lui epsilon-machine. Mai precis daca x este unnumar real oarecare, iar fl(x) noteaza aproximarea lui x n virgula flotanta(floating point), atunci eroarea relativa n aproximarea lu x satisface
|fl(x) x||x| .
(a) Folositi scriptul eps_machine.m si verificati operatiile prezentate aici.
(b) Schimband doar ordinea termenilor (fara operatii de asociere saunmultire) calculati
E1() := 1 +
4+
4+
4+
4 1.
Explicati urmatorul aspect: de ce enumerarea de mai sus a terme-nilor nu va conduce la raspunsul corect E1() = si de ce o anumitareordonare a termenilor va conduce la raspunsul corect?
(c) Folositi codul de mai jos pentru a determina valoarea lui n dublaprecizie.
deps = double(1.0);
while (1
-
(a) Sa se calculeze exact valoarea lui In. Indicatie: prin schimbarea devariabila t := x+ 16 se obtine:
In =
n1k=0
(n
k
)(1)k16k 17
nk 16nkn k + (1)
n16n ln
(17
16
).
(b) Folositi scriptul integrala_recurenta.m pentru a calcula I16. Poatefi crezut rezultatul obtinut? Continuati prin a calcula I20 si I32.
3. Incercati urmatoarele evaluari. Explicati neconcordantele ce apar.
(a) Loss of significance 1.
>> my4 = sqrt(4)^2-4
>> my5 = sqrt(5)^2-5
(b) Loss of significance 2.
i. Calculati cu exactitate diferenta
dif1 = 1 0.9999987654321.
ii. Folositi Octave/Matlab pentru a calcula
ansexact = 1234567 dif1.
iii. Folositi Octave pentru a calcula ntreaga expresie. Mai precis,utilizati urmatoarea linie de cod pentru a obtine octaveAns, i.e.,
>> octaveAns = 1234567*(1-.9999987654321)
iv. Explicati diferenta ntre ansexact si octaveAns.
4. Cu o cautare Google folosind cuvintele cheie disasters caused by numer-ical errors se ajunge la paginahttp://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html.Cititi una sau mai multe din situatiile descrise acolo.
References
[1] L. N. Trefethen, D. Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
[2] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd edition, Wiley,1989.
[3] T. Young, M. J. Mohlenkamp, Introduction to Numeri-cal Methods and Matlab Programming for Engineers, 2014,https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/book.pdf.
2
