Erori de reprezentare (round-off errors).

Reprezentarea numerelor reale n calculator. Erori de trunchiere.Propagarea erorilor.

1. Notam prin valoarea lui epsilon-machine. Mai precis daca x este unnumar real oarecare, iar fl(x) noteaza aproximarea lui x n virgula flotanta(floating point), atunci eroarea relativa n aproximarea lu x satisface

|fl(x) x||x| .

(a) Folositi scriptul eps_machine.m si verificati operatiile prezentate aici.

(b) Schimband doar ordinea termenilor (fara operatii de asociere saunmultire) calculati

E1() := 1 +

4+

4+

4+

4 1.

Explicati urmatorul aspect: de ce enumerarea de mai sus a terme-nilor nu va conduce la raspunsul corect E1() = si de ce o anumitareordonare a termenilor va conduce la raspunsul corect?

(c) Folositi codul de mai jos pentru a determina valoarea lui n dublaprecizie.

deps = double(1.0);

while (1

(a) Sa se calculeze exact valoarea lui In. Indicatie: prin schimbarea devariabila t := x+ 16 se obtine:

In =

n1k=0

(n

k

)(1)k16k 17

nk 16nkn k + (1)

n16n ln

(17

16

).

(b) Folositi scriptul integrala_recurenta.m pentru a calcula I16. Poatefi crezut rezultatul obtinut? Continuati prin a calcula I20 si I32.

3. Incercati urmatoarele evaluari. Explicati neconcordantele ce apar.

(a) Loss of significance 1.

>> my4 = sqrt(4)^2-4

>> my5 = sqrt(5)^2-5

(b) Loss of significance 2.

i. Calculati cu exactitate diferenta

dif1 = 1 0.9999987654321.

ii. Folositi Octave/Matlab pentru a calcula

ansexact = 1234567 dif1.

iii. Folositi Octave pentru a calcula ntreaga expresie. Mai precis,utilizati urmatoarea linie de cod pentru a obtine octaveAns, i.e.,

>> octaveAns = 1234567*(1-.9999987654321)

iv. Explicati diferenta ntre ansexact si octaveAns.

4. Cu o cautare Google folosind cuvintele cheie disasters caused by numer-ical errors se ajunge la paginahttp://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/wi211/disasters.html.Cititi una sau mai multe din situatiile descrise acolo.

References

[1] L. N. Trefethen, D. Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

[2] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, 2nd edition, Wiley,1989.

[3] T. Young, M. J. Mohlenkamp, Introduction to Numeri-cal Methods and Matlab Programming for Engineers, 2014,https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/book.pdf.

2