8/19/2019 cls6_lectia6

1/10

Cercul Judeţean de Excelenţă la Matematică Prof. Niculae Cavachi  Constanţa Colegiul Naţional Pedagogic “Constantin Brătescu”  Constanţa

ecţia !. Clasa a "#$a

%&.'%.('%) Mărimi direct *ro*orţionale. Mărimi invers *ro*orţionale.

+ir de ra*oarte egale. Pro*orţionalitate directă, *ro*orţionalitate inversă

 Definiţie ( D1): Trei sau mai multe rapoarte care au aceeaşi valoare formează un şir de rapoarte

egale:a1

b1=

a2

b2=…=

an

bn  .

Observaţie: Dacă notăm valoarea comună a rapoartelor cu+¿¿

k ∈Q¿  obţinem

  a1=b1∙k ,a2=b2 ∙k ,… ,a n=bn ∙ k  .

 Proprietatea fundamentală a şirului de rapoarte egale:

Dacăa1

b1

=a2

b2

=a

3

b3

=…=an

bn

=k   , atuncia1

b1

=a2

b2

=a

3

b3

=…=an

bn

=a1+a

2+…+an

b1+b2+…+bn=k  .

 Definiţie ( D2): Fiind date două mulţimi A= {a1 , a2 ,…,a n }  şi B   ¿ {b1 , b2 , … , bn }  vom spune că

ntre elementele acestora e!istă o de*endenţă direct *ro*orţională  (elementele  sunt direct 

 proporţionale) dacăa1

b1=

a2

b2=…=

an

bn=k  .

1

8/19/2019 cls6_lectia6

2/10

 Definiţie ( D3): Fiind date două mulţimi A= {a1 , a2 , … , an }  şi B   ¿ {b1 , b2 , … , bn } vom spune că

ntre elementele acestora e!istă o dependenţă invers proporţională (elementele  sunt invers

 proporţionale) dacă a1 b1=a2b2=…=an bn=k   sau

a1

1

b1

= a

2

1

b2

=…= an

1

bn  ¿k  .

Pro-leme reolvate/

%. "alculaţi valorile numerelor naturale nenule x, y şi z  ştiind că  x3+ y3+ z3=1728  şi

  x

2

 x2+9

=  y

2

 y2+16

=  z

2

 z2+25  .

  (G.M. Nr.4/2013)

 oluţie!  #vem: 1+ 9

 x2=1+

16

 y2 =1+

25

 z2 ≤¿

 x2

9=

 y2

16=

 z2

25   , deci

 x

3=

 y

4=

 z

5=k , x=3k , y=4 k şi z=5k . Din  x

3+ y3+ z3=1728,   obţinem k 3=8,k =2, deci

 x=6, y=8 şi z=10.

(. Fie  x , y , z∈ N ¿

  astfel nc$t numerele  x+2 y ,  y   +2 z şi z+2 x   sunt direct

 proporţionale cu numerele  y+ z , z+ x  respectiv  x+ y .

a0 "alculaţi valoarea e!presiei:( x+2 y ) ( y+2 z )( z+2 x )

( y+ z ) ( z+ x )( x+ y) .

-0 Dacă y este număr par, calculaţi paritatea numărului z  .  ("limpiada local#$ %onstanţa)

 oluţie!  a0 #plic$nd  ( D2) ⇒  x+2 y

 y+ z =

 y+2 z z+ x

 = z+2 x x+ y

 =3( x+ y+ z )2( x+ y+ z)

=3

2   , deci E=

(

3

2

)

3

%

27

8 .

2

8/19/2019 cls6_lectia6

3/10

-0  x+2 y

 y+ z =

3

2=¿2 x+ y=3 z .   Dacă  y  este număr par, atunci 3z  este număr par, deci  z este

număr par.

1. "alculaţi valoarea celui mai mic număr natural n  care se mparte n părţi direct

 proporţionale cu numerele 11

2,1

1

3şi1

1

4 , iar părţile obţinute sunt numere naturale.

 oluţie!  &ot$nd n=a+b+c ş iaplic â nd ( D2 ) a=3k 

2, b=

4 k 

3ş i c=

5k 

4     Deoarece

a , b , c∈ N =¿k  ⋮2,k  ⋮3,k  ⋮4,   deci k ⋮ [2,3,4 ] , k ⋮12k min=12   ¿>a=18,b=16,c=15, deci

nmin=49 .

). Fie numărul natural  A=3m

∙5n

, unde m ,n∈ N  . &otăm cu a! b şi  "  numărul

divizorilor numerelor  #! ' #  respectiv  # tiind că numerele a  şi b  sunt direct proporţionale cu numerele ' şi * iar numerele b şi " sunt invers proporţionale cu + şi +,calculaţi valoarea numărului #.

  (%oncurs &'ecreaţii matematice&$ 200)

 oluţie!  a=(m+1 ) (n+1) , b=(m+2 ) (n+1 )=a+n+1   şi c=(m+1) (n+2)=a+m+1   (+)- avem

a=3k , b=4k  , b= q

15şi c=

  q

16   ⇒  $%&   decic=

15k 

4 . Din '1(  avem

{   4k =3k +n+115k 4

=3k +m+1  , deci {   k =n+13k 4=m+1   (/). Din

a=3k , k =n+1şi a=(m+1) (n+1 )   obţinem

3 (n+1 )=(m+1 ) (n+1 )=¿m=2;   din (/) avem3

4∙ (n+1 )=3 , deci n%3⇒

 A=32∙53=9 ∙125=1125.

3

8/19/2019 cls6_lectia6

4/10

2. Fie a , b , c∈ N ¿

  astfel nc$ta

2013a+3=

  b

2013b+5=

  c

2013 c+7   . Determinaţi valorile

numerelor a! b şi "  ştiind că a2+b2+c2   divide pe 0*0.

 oluţie! #vem 2013+3

a=2013+

5

b=2013+

7

c=¿ a=3k , b=5k ş i c=7k ,unde k ∈ N ;  

obţinem 83k 2|83 ∙9 ,   deci k ∈ {1,3} - pentru k =1  obţinem: a=3,b=5 şic=7 - pentru

k =3  obţinem: a=9,b=15 şi c=21 .

!. Determinaţi valorile numerelor a , b , c ,d∈ N ¿

  ştiind că sunt direct proporţionale cu

numerele bc+1,ca+1 şiab+1 iar numărula

a+1+

  b

b+1+

  c

c+1   este natural.

  ("limpiada local# $ rad$ 2001)

 oluţie!  #plic$nd ( D2) ⇒ a

bc+1=

  b

ca+1=

  c

ab+1.

  Din

a

bc+1=

  b

ca+1=¿c (a2−b2 )+(a−b )=0

 

¿>(a−b ) (ac+bc+1 )=0 ! dar

ac+bc+1≠0

, deci

a=b ,  analo1 b=c   deci avem a=b=c   ⇒  (a+1 )|(3a+3 ) ș i (a+1 )|3a , deci

(a+1 )|3 - cum a∈ N ¿

, rezultă a=2 , deci  a=b=c=2 .

3. Demonstraţi că nu e!istă numere naturale  x , y şi z  direct proporţionale cu trei numere

naturale consecutive, astfel nc$t x+ y+ z

 să fie număr prim.  ( &'ecreaţii matematice&nr1/ 2003)

 oluţie! #plicăm metoda reducerii la absurd presupun$nd că x

n=

  y

n+1=

  z

n+2=

 x+ y+ z3 (n+1 ) , deci

3 y= x+ y+ z   cu  x+ y+ z   număr prim, deci  y=1   şi  x+ y+ z=3 . Din

4

8/19/2019 cls6_lectia6

5/10

 x

n=

  1

n+1b! inemx=

  n

n+1∈ N , contradicţie⇒ presupunerea făcută este falsă şi prin ne1area ei

obţinem o propoziţie adevărată.

&. 2n număr alcătuit din +/' de cifre este scris cu cifrele +, /, ' şi cu +/ cifre de . &umerele de apariţii al cifrelor +, / şi ' sunt direct proporţionale cu respectiv +, / şi '.Demonstraţi că numărul dat nu este pătrat perfect.

 oluţie!  Fie a, b  şi "  numărul de apariţii al cifrelor +, / şi '. #vem:

a=k , b=2k şi c=3k ,undea+b+c=1224   k =204,a=204,b=408şi c=612.  Fie n numărul

dat- suma cifrelor lui n=204 ∙1+408 ∙2+612 ∙3=204 (1+4+9 )=204 ∙14 - (/*   ∙14 )   ⋮3 , dar 

(204 ∙14) nu e"#e di$izibil cu9 , deci n ⋮3 şi nnue di$izibilcu9 , deci n  nu este pătrat

 perfect.

4. "alculaţi valorile numerelor naturale a ,b ,c ,d şi e ştiind că numerele a , b ş i c   sunt

invers proporţionale cu numerele 3,5 şi7,   numerele c ,d şie   sunt direct

 proporţionale cu numerele 3,5 şi7  şi sunt cele mai mici numere cu aceste proprietăţi.

 oluţie!  #plic$nd ( D2) ş i ( D3) obţinem:a= k 

3, b= k 

5, c= k 

7   şic=3q ,d =5q , e=7q ,

k 

7=3q=¿k =21q

 ! deci a=7q , b=21q

5, c=3q , d=5 qş i e=7q . 3bţinem cele mai mici

numere naturale nenule cu aceste proprietăţi pentru $%, deci

a=35,b=21,c=15,d=25 şi e=35  

Pro-leme *ro*use/

%. 2n şir de cinci numere naturale are proprietatea că primele trei sunt direct proporţionale cu

4,5   şi , iar ultimele trei sunt invers proporţionale cu 4,5   şi .

a0 "alculaţi valorile celor mai mici astfel de numere.-0 "alculaţi valorile numerelor dacă suma lor este e1ală cu *0.

 

5

8/19/2019 cls6_lectia6

6/10

(. 4edia aritmetică a cinci numere este e1ală cu ''. "alculaţi valorile numerelor ştiind că primul, al doilea şi al treilea sunt direct proporţionale cu /, 0 şi +/, iar al treilea, al patruleaşi al cincilea sunt invers proporţionale cu numerele ', * şi +. 

1.  &umerele a1 , a2 , a3 , … , an−1 şian   sunt direct proporţionale cu numerele:

1

6,  1

12,  1

20, … ,

  1

n ∙(n+1)re"pec#i$

  1

(n+1 ) ∙(n+2)   . Dacă

a1+a

2+a

3+…+an−1+an=5760   şi an−1−an=40 , calculaţi valorile numerelor 

n , a1

și an .

). "alculaţi valorile numerelor áb , scrise n baza +, ştiind că áb   şi b́a sunt direct

 proporţionale cu două numere naturale consecutive. ( G.M. nr.4/2013)

2. Determinaţi valorile numerelor naturale x !y şi z ştiind că2 x

2 x+6=

  5 y

5 y+25=

  4 z

4 z+16   şi

   xy+ yz+ zx=188  .

  ( G.M. nr.2/2013)

!.  &umerele naturale a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu numerele1

2,1

3   respectiv

15  .

Demonstraţi că numărul 30abc  este pătrat perfect.

  ( G.M. nr.3/2013)

3. Determinaţi valorile numerelor naturale nenule a , b ş i c   astfel nc$t să se verifice

e1alităţile :2a

2+a=

  3b

3+b=

  4c

4+c  .

&. 3 sumă de bani a fost distribuită la ' muncitori #, B şi " direct proporţional cu numerele1

6, 1

5şi 1

3 . 2nul dintre ei constată că primeşte astfel cu lei mai mult dec$t dacă

aceeaşi sumă s5ar fi distribuit invers proporţional cu numerele +/, + şi +. "alculaţi:a) valoarea sumei distribuite- b) suma primită de către fiecare muncitor.

6

8/19/2019 cls6_lectia6

7/10

4. "alculaţi valorile numerelor naturale  x! y şi  z  ştiind că suma lor este e1ală cu ' şi elesunt direct proporţionale cu trei numere naturale consecutive.

  %'. 6e ştie că : x

1

1+ x1=

  x2

2+ x2=

  x3

3+ x3=…=

  x2008

2008+ x2008  şi1

 x1

+ 2

 x2

+ 3

 x3

+…+2008

 x2008

=251.

a0 "alculaţi valoarea sumei %= x1+ x2+…+ x2008 .

-0 Demonstraţi că % ⋮41și % ⋮49 .

 

%%. Fie # mulţimea numerelor  x1, x2, x3, … , x1001 , cu proprietăţile

 x1+ x

2+ x

3+…+ x

1001=2002  şi

 x1

 x1+1=

  x2

 x2+3=

  x3

 x3+5=…=

  x1001

 x1001+2001 . "$te numere

naturale are mulţimea #7

%(. Fie a, b, c ,x , y, z∈ N ¿

 astfel nc$t a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu  x! y şi  z

Demonstraţi că numărul a+b+c+ x+ y+ z   nu este prim .

%1. Fie numerele a, b, c ,n∈ N ¿

  astfel nc$t a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu

n , n+1   respectiv n+2.  

a0 6ă se arate că b este media aritmetică a numerelor a şi "

-0 Demonstraţi că dacă a este divizibil cu n, atunci a+b+c  este divizibil cu '.

%). Dacă x! y şi  z  sunt numere raţionale pozitive nenule şi xy

 z ( x+ y )=

  xz

 y ( x+ z)=

  yz

 x ( y+ z) ,

demonstraţi că x

2 y

2+ x2 z2+ y2 z2

 xyz( x+ y+ z)  =1 .

%2. 6ă se determine numerele naturale prime a , b ş i c   ştiind căa+2b12

=b+c14

=2c+a18  .

7

8/19/2019 cls6_lectia6

8/10

%!. "alculaţi valorile numerelor naturale nenule  x , y şi z , a căror sumă este minimă, ştiind

că  x şi y   sunt direct proporţionale cu 0,0 (8 ) și0,(3) , iar  y  şi  z   sunt invers

 proporţionale cu numerele1

2și1

3 .

%3. Fie a , b∈ N ¿

  şi c∈Q , direct proporţionale cu  p1, p2 şi p3 , unde  p1¿ p2

8/19/2019 cls6_lectia6

9/10

((. "alculaţi valorile numerelor naturale x şi y! direct proporţionale cu numerele şi 0, ştiind

că2 x+ y−3 y− x+1

∈ N ¿

.

  ('M+$ nr.2/200,)

(1. "alculaţi valorile numerelor naturale  A=   ´abc  ştiind că

´abca   =

  ´bcab   =

  ´cabc .

  ('M+$ nr.3-4/200)

(). Determinaţi valorile numerelor naturale  x , y şi z astfel nc$t x

 x−2=

  y

 y−3=

  z

 z−6 şi

 x2+ y2+ z2=196 .

  ('M+$ nr.3-4/2013)

(2.   Fie numerele naturale nenule  x   şi 9, a=3 x+ y4 y+3

,b=4 y+1

9, c=

  11

3 x+ y . tiind că

a=b=c , calculaţi valorile numerelor x şi y 

(!. Fie a , b ş i c   numere naturale care verifică relaţia:

a+22b+c

=  b+22c+a

=  c+22a+b

 ,unde  a+22b+c

∈ N  .

Determinaţi elementele mulţimii  A=   x| x=a+b+c .

 em#! prolemele 3$ 4$ $ 10$ 11$ 1$ şi 21.

B#B#56789#E

%. #rtur Bălăucă 3;;>&A 5clasa a Cditura Taida , 4#T

8/19/2019 cls6_lectia6

10/10

>ditura Brc8i Timişoara , /+'.

1. Dan Br$nzei (coordonator) 4#T>4#T clasele clasa a Cditura &omina, =iteşti , /+/.

2. ;ucia