cls6_lectia6

download cls6_lectia6

of 5

Transcript of cls6_lectia6

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    1/10

    Cercul Judeţean de Excelenţă la Matematică Prof. Niculae Cavachi  Constanţa Colegiul Naţional Pedagogic “Constantin Brătescu”  Constanţa

    ecţia !. Clasa a "#$a

    %&.'%.('%) Mărimi direct *ro*orţionale. Mărimi invers *ro*orţionale.

    +ir de ra*oarte egale. Pro*orţionalitate directă, *ro*orţionalitate inversă

     Definiţie ( D1): Trei sau mai multe rapoarte care au aceeaşi valoare formează un şir de rapoarte

    egale:a1

    b1=

    a2

    b2=…=

    an

    bn  .

    Observaţie: Dacă notăm valoarea comună a rapoartelor cu+¿¿

    k ∈Q¿  obţinem

      a1=b1∙k ,a2=b2 ∙k ,… ,a n=bn ∙ k  .

     Proprietatea fundamentală a şirului de rapoarte egale:

    Dacăa1

    b1

    =a2

    b2

    =a

    3

    b3

    =…=an

    bn

    =k   , atuncia1

    b1

    =a2

    b2

    =a

    3

    b3

    =…=an

    bn

    =a1+a

    2+…+an

    b1+b2+…+bn=k  .

     Definiţie ( D2): Fiind date două mulţimi A= {a1 , a2 ,…,a n }  şi B   ¿ {b1 , b2 , … , bn }  vom spune că

    ntre elementele acestora e!istă o de*endenţă direct *ro*orţională  (elementele  sunt direct 

     proporţionale) dacăa1

    b1=

    a2

    b2=…=

    an

    bn=k  .

    1

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    2/10

     Definiţie ( D3): Fiind date două mulţimi A= {a1 , a2 , … , an }  şi B   ¿ {b1 , b2 , … , bn } vom spune că

    ntre elementele acestora e!istă o dependenţă invers proporţională (elementele  sunt invers

     proporţionale) dacă a1 b1=a2b2=…=an bn=k   sau

    a1

    1

    b1

    = a

    2

    1

    b2

    =…= an

    1

    bn  ¿k  .

    Pro-leme reolvate/

    %. "alculaţi valorile numerelor naturale nenule x, y şi z  ştiind că  x3+ y3+ z3=1728  şi

      x

    2

     x2+9

    =  y

    2

     y2+16

    =  z

    2

     z2+25  .

      (G.M. Nr.4/2013)

     oluţie!  #vem: 1+ 9

     x2=1+

    16

     y2 =1+

    25

     z2 ≤¿

     x2

    9=

     y2

    16=

     z2

    25   , deci

     x

    3=

     y

    4=

     z

    5=k , x=3k , y=4 k şi z=5k . Din  x

    3+ y3+ z3=1728,   obţinem k 3=8,k =2, deci

     x=6, y=8 şi z=10.

    (. Fie  x , y , z∈ N ¿

      astfel nc$t numerele  x+2 y ,  y   +2 z şi z+2 x   sunt direct

     proporţionale cu numerele  y+ z , z+ x  respectiv  x+ y .

    a0 "alculaţi valoarea e!presiei:( x+2 y ) ( y+2 z )( z+2 x )

    ( y+ z ) ( z+ x )( x+ y) .

    -0 Dacă y este număr par, calculaţi paritatea numărului z  .  ("limpiada local#$ %onstanţa)

     oluţie!  a0 #plic$nd  ( D2) ⇒  x+2 y

     y+ z =

     y+2 z z+ x

     = z+2 x x+ y

     =3( x+ y+ z )2( x+ y+ z)

    =3

    2   , deci E=

    (

    3

    2

    )

    3

    %

    27

    8 .

    2

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    3/10

    -0  x+2 y

     y+ z =

    3

    2=¿2 x+ y=3 z .   Dacă  y  este număr par, atunci 3z  este număr par, deci  z este

    număr par.

    1. "alculaţi valoarea celui mai mic număr natural n  care se mparte n părţi direct

     proporţionale cu numerele 11

    2,1

    1

    3şi1

    1

    4 , iar părţile obţinute sunt numere naturale.

     oluţie!  &ot$nd n=a+b+c ş iaplic â nd ( D2 ) a=3k 

    2, b=

    4 k 

    3ş i c=

    5k 

    4     Deoarece

    a , b , c∈ N =¿k  ⋮2,k  ⋮3,k  ⋮4,   deci k ⋮ [2,3,4 ] , k ⋮12k min=12   ¿>a=18,b=16,c=15, deci

    nmin=49 .

    ). Fie numărul natural  A=3m

    ∙5n

    , unde m ,n∈ N  . &otăm cu a! b şi  "  numărul

    divizorilor numerelor  #! ' #  respectiv  # tiind că numerele a  şi b  sunt direct proporţionale cu numerele ' şi * iar numerele b şi " sunt invers proporţionale cu + şi +,calculaţi valoarea numărului #.

      (%oncurs &'ecreaţii matematice&$ 200)

     oluţie!  a=(m+1 ) (n+1) , b=(m+2 ) (n+1 )=a+n+1   şi c=(m+1) (n+2)=a+m+1   (+)- avem

    a=3k , b=4k  , b= q

    15şi c=

      q

    16   ⇒  $%&   decic=

    15k 

    4 . Din '1(  avem

    {   4k =3k +n+115k 4

    =3k +m+1  , deci {   k =n+13k 4=m+1   (/). Din

    a=3k , k =n+1şi a=(m+1) (n+1 )   obţinem

    3 (n+1 )=(m+1 ) (n+1 )=¿m=2;   din (/) avem3

    4∙ (n+1 )=3 , deci n%3⇒

     A=32∙53=9 ∙125=1125.

    3

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    4/10

    2. Fie a , b , c∈ N ¿

      astfel nc$ta

    2013a+3=

      b

    2013b+5=

      c

    2013 c+7   . Determinaţi valorile

    numerelor a! b şi "  ştiind că a2+b2+c2   divide pe 0*0.

     oluţie! #vem 2013+3

    a=2013+

    5

    b=2013+

    7

    c=¿ a=3k , b=5k ş i c=7k ,unde k ∈ N ;  

    obţinem 83k 2|83 ∙9 ,   deci k ∈ {1,3} - pentru k =1  obţinem: a=3,b=5 şic=7 - pentru

    k =3  obţinem: a=9,b=15 şi c=21 .

    !. Determinaţi valorile numerelor a , b , c ,d∈ N ¿

      ştiind că sunt direct proporţionale cu

    numerele bc+1,ca+1 şiab+1 iar numărula

    a+1+

      b

    b+1+

      c

    c+1   este natural.

      ("limpiada local# $ rad$ 2001)

     oluţie!  #plic$nd ( D2) ⇒ a

    bc+1=

      b

    ca+1=

      c

    ab+1.

      Din

    a

    bc+1=

      b

    ca+1=¿c (a2−b2 )+(a−b )=0

     

    ¿>(a−b ) (ac+bc+1 )=0 ! dar

    ac+bc+1≠0

    , deci

    a=b ,  analo1 b=c   deci avem a=b=c   ⇒  (a+1 )|(3a+3 ) ș i (a+1 )|3a , deci

    (a+1 )|3 - cum a∈ N ¿

    , rezultă a=2 , deci  a=b=c=2 .

    3. Demonstraţi că nu e!istă numere naturale  x , y şi z  direct proporţionale cu trei numere

    naturale consecutive, astfel nc$t x+ y+ z

     să fie număr prim.  ( &'ecreaţii matematice&nr1/ 2003)

     oluţie! #plicăm metoda reducerii la absurd presupun$nd că x

    n=

      y

    n+1=

      z

    n+2=

     x+ y+ z3 (n+1 ) , deci

    3 y= x+ y+ z   cu  x+ y+ z   număr prim, deci  y=1   şi  x+ y+ z=3 . Din

    4

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    5/10

     x

    n=

      1

    n+1b! inemx=

      n

    n+1∈ N , contradicţie⇒ presupunerea făcută este falsă şi prin ne1area ei

    obţinem o propoziţie adevărată.

    &. 2n număr alcătuit din +/' de cifre este scris cu cifrele +, /, ' şi cu +/ cifre de . &umerele de apariţii al cifrelor +, / şi ' sunt direct proporţionale cu respectiv +, / şi '.Demonstraţi că numărul dat nu este pătrat perfect.

     oluţie!  Fie a, b  şi "  numărul de apariţii al cifrelor +, / şi '. #vem:

    a=k , b=2k şi c=3k ,undea+b+c=1224   k =204,a=204,b=408şi c=612.  Fie n numărul

    dat- suma cifrelor lui n=204 ∙1+408 ∙2+612 ∙3=204 (1+4+9 )=204 ∙14 - (/*   ∙14 )   ⋮3 , dar 

    (204 ∙14) nu e"#e di$izibil cu9 , deci n ⋮3 şi nnue di$izibilcu9 , deci n  nu este pătrat

     perfect.

    4. "alculaţi valorile numerelor naturale a ,b ,c ,d şi e ştiind că numerele a , b ş i c   sunt

    invers proporţionale cu numerele 3,5 şi7,   numerele c ,d şie   sunt direct

     proporţionale cu numerele 3,5 şi7  şi sunt cele mai mici numere cu aceste proprietăţi.

     oluţie!  #plic$nd ( D2) ş i ( D3) obţinem:a= k 

    3, b= k 

    5, c= k 

    7   şic=3q ,d =5q , e=7q ,

    7=3q=¿k =21q

     ! deci a=7q , b=21q

    5, c=3q , d=5 qş i e=7q . 3bţinem cele mai mici

    numere naturale nenule cu aceste proprietăţi pentru $%, deci

    a=35,b=21,c=15,d=25 şi e=35  

    Pro-leme *ro*use/

    %. 2n şir de cinci numere naturale are proprietatea că primele trei sunt direct proporţionale cu

    4,5   şi , iar ultimele trei sunt invers proporţionale cu 4,5   şi .

    a0 "alculaţi valorile celor mai mici astfel de numere.-0 "alculaţi valorile numerelor dacă suma lor este e1ală cu *0.

     

    5

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    6/10

    (. 4edia aritmetică a cinci numere este e1ală cu ''. "alculaţi valorile numerelor ştiind că primul, al doilea şi al treilea sunt direct proporţionale cu /, 0 şi +/, iar al treilea, al patruleaşi al cincilea sunt invers proporţionale cu numerele ', * şi +. 

    1.  &umerele a1 , a2 , a3 , … , an−1 şian   sunt direct proporţionale cu numerele:

    1

    6,  1

    12,  1

    20, … ,

      1

    n ∙(n+1)re"pec#i$

      1

    (n+1 ) ∙(n+2)   . Dacă

    a1+a

    2+a

    3+…+an−1+an=5760   şi an−1−an=40 , calculaţi valorile numerelor 

    n , a1

    și an .

    ). "alculaţi valorile numerelor áb , scrise n baza +, ştiind că áb   şi b́a sunt direct

     proporţionale cu două numere naturale consecutive. ( G.M. nr.4/2013)

    2. Determinaţi valorile numerelor naturale x !y şi z ştiind că2 x

    2 x+6=

      5 y

    5 y+25=

      4 z

    4 z+16   şi

       xy+ yz+ zx=188  .

      ( G.M. nr.2/2013)

    !.  &umerele naturale a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu numerele1

    2,1

    3   respectiv

    15  .

    Demonstraţi că numărul 30abc  este pătrat perfect.

      ( G.M. nr.3/2013)

    3. Determinaţi valorile numerelor naturale nenule a , b ş i c   astfel nc$t să se verifice

    e1alităţile :2a

    2+a=

      3b

    3+b=

      4c

    4+c  .

    &. 3 sumă de bani a fost distribuită la ' muncitori #, B şi " direct proporţional cu numerele1

    6, 1

    5şi 1

    3 . 2nul dintre ei constată că primeşte astfel cu lei mai mult dec$t dacă

    aceeaşi sumă s5ar fi distribuit invers proporţional cu numerele +/, + şi +. "alculaţi:a) valoarea sumei distribuite- b) suma primită de către fiecare muncitor.

    6

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    7/10

    4. "alculaţi valorile numerelor naturale  x! y şi  z  ştiind că suma lor este e1ală cu ' şi elesunt direct proporţionale cu trei numere naturale consecutive.

      %'. 6e ştie că : x

    1

    1+ x1=

      x2

    2+ x2=

      x3

    3+ x3=…=

      x2008

    2008+ x2008  şi1

     x1

    + 2

     x2

    + 3

     x3

    +…+2008

     x2008

    =251.

    a0 "alculaţi valoarea sumei %= x1+ x2+…+ x2008 .

    -0 Demonstraţi că % ⋮41și % ⋮49 .

     

    %%. Fie # mulţimea numerelor  x1, x2, x3, … , x1001 , cu proprietăţile

     x1+ x

    2+ x

    3+…+ x

    1001=2002  şi

     x1

     x1+1=

      x2

     x2+3=

      x3

     x3+5=…=

      x1001

     x1001+2001 . "$te numere

    naturale are mulţimea #7

    %(. Fie a, b, c ,x , y, z∈ N ¿

     astfel nc$t a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu  x! y şi  z

    Demonstraţi că numărul a+b+c+ x+ y+ z   nu este prim .

    %1. Fie numerele a, b, c ,n∈ N ¿

      astfel nc$t a , b ş i c   sunt direct proporţionale cu

    n , n+1   respectiv n+2.  

    a0 6ă se arate că b este media aritmetică a numerelor a şi "

    -0 Demonstraţi că dacă a este divizibil cu n, atunci a+b+c  este divizibil cu '.

    %). Dacă x! y şi  z  sunt numere raţionale pozitive nenule şi xy

     z ( x+ y )=

      xz

     y ( x+ z)=

      yz

     x ( y+ z) ,

    demonstraţi că x

    2 y

    2+ x2 z2+ y2 z2

     xyz( x+ y+ z)  =1 .

    %2. 6ă se determine numerele naturale prime a , b ş i c   ştiind căa+2b12

    =b+c14

    =2c+a18  .

    7

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    8/10

    %!. "alculaţi valorile numerelor naturale nenule  x , y şi z , a căror sumă este minimă, ştiind

    că  x şi y   sunt direct proporţionale cu 0,0 (8 ) și0,(3) , iar  y  şi  z   sunt invers

     proporţionale cu numerele1

    2și1

    3 .

    %3. Fie a , b∈ N ¿

      şi c∈Q , direct proporţionale cu  p1, p2 şi p3 , unde  p1¿ p2

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    9/10

    ((. "alculaţi valorile numerelor naturale x şi y! direct proporţionale cu numerele şi 0, ştiind

    că2 x+ y−3 y− x+1

    ∈ N ¿

    .

      ('M+$ nr.2/200,)

    (1. "alculaţi valorile numerelor naturale  A=   ´abc  ştiind că

    ´abca   =

      ´bcab   =

      ´cabc .

      ('M+$ nr.3-4/200)

    (). Determinaţi valorile numerelor naturale  x , y şi z astfel nc$t x

     x−2=

      y

     y−3=

      z

     z−6 şi

     x2+ y2+ z2=196 .

      ('M+$ nr.3-4/2013)

    (2.   Fie numerele naturale nenule  x   şi 9, a=3 x+ y4 y+3

    ,b=4 y+1

    9, c=

      11

    3 x+ y . tiind că

    a=b=c , calculaţi valorile numerelor x şi y 

    (!. Fie a , b ş i c   numere naturale care verifică relaţia:

    a+22b+c

    =  b+22c+a

    =  c+22a+b

     ,unde  a+22b+c

    ∈ N  .

    Determinaţi elementele mulţimii  A=   x| x=a+b+c .

     em#! prolemele 3$ 4$ $ 10$ 11$ 1$ şi 21.

    B#B#56789#E

    %. #rtur Bălăucă 3;;>&A 5clasa a Cditura Taida , 4#T

  • 8/19/2019 cls6_lectia6

    10/10

    >ditura Brc8i Timişoara , /+'.

    1. Dan Br$nzei (coordonator) 4#T>4#T clasele clasa a Cditura &omina, =iteşti , /+/.

    2. ;ucia