CLASA a X-a - profesorjitaruionel.com · Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a Etapa Judet˘ean a/a...
3
Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a/a Sectoarelor Municipiului Bucure¸ sti, 16 martie 2019 CLASA a X-a Solut ¸ii ¸ si bareme Problema 1. S˘ a se determine funct ¸iile f : R → (0, ∞), cu proprietatea 2 -x-y ≤ f (x)f (y) (x 2 + 1)(y 2 + 1) ≤ f (x + y) (x + y) 2 +1 , oricare ar fi x, y ∈ R. Solut ¸ie.Ar˘at˘ amc˘a f (x)=2 -x (x 2 + 1) .......................................... 1p Dac˘ a x = y = 0 obt ¸inem 1 ≤ f (0) 2 ≤ f (0), de unde rezult˘ a f (0) = 1 .............. 1p Dac˘ a y =0ˆ ın relat ¸ia dat˘ a, obt ¸inem 2 -x ≤ f (x) x 2 +1 , (*) pentru orice x ...................................................................... 1p Pentru y = -x ˆ ın relat ¸ia din enunt ¸. avem 1=2 -x+x ≤ f (x) x 2 +1 · f (-x) x 2 +1 ≤ 1. ..................................................................................... 1p ˆ In final, folosind (*), rezult˘a c˘ a fiecare inegalitate din produsul de mai sus devine egalitate, deci f (x)=2 -x (x 2 + 1) .................................................... 3p Problema 2. Fie n ∈ N,n ≥ 3. a) S˘a se arate c˘ aexist˘a z 1 ,z 2 ,...,z n ∈ C astfel ˆ ıncˆ at z 1 z 2 + z 2 z 3 + ... + z n-1 z n + z n z 1 = ni. b) Care sunt valorile lui n pentru care exist˘a numere complexe z 1 ,z 2 ,...,z n , de acela¸ si modul, astfel ˆ ıncˆ at z 1 z 2 + z 2 z 3 + ··· + z n-1 z n + z n z 1 = ni? Solut ¸ie. a) Alegem z 1 = z 2 = ... = z n-1 =1¸ si c˘ aut˘am z = z n ∈ C care s˘a verifice relat ¸ia din enunt ¸. Obt ¸inem n - 2+ 1 z + z = ni, adic˘ a z 2 +(n - 2 - ni)z + 1 = 0, ecuat ¸ie care are r˘ ad˘ acini ˆ ın mult ¸imea C. ................................................... 2p. b) Presupunem c˘a exist˘a numerele z 1 ,z 2 ,...,z n ∈ C, de acela¸ si modul care verific˘ a relat ¸ia din enunt ¸. Numerele z 1 z 2 , z 2 z 3 ,..., z n-1 zn , zn z 1 au modulul 1 ¸ si din inegalitatea modulului rezult˘ a ca z 1 z 2 = z 2 z 3 = ... = z n-1 zn = zn z 1 = i. ............................................ 3p Prin ˆ ınmult ¸ire obt ¸inem i n = 1, deci n este multiplu de 4 ......................... 1p
Transcript of CLASA a X-a - profesorjitaruionel.com · Olimpiada Nat˘ional a de Matematic a Etapa Judet˘ean a/a...
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana/a Sectoarelor Municipiului Bucuresti, 16 martie 2019
CLASA a X-aSolutii si bareme
Problema 1. Sa se determine functiile f : R→ (0,∞), cu proprietatea
2−x−y ≤ f(x)f(y)
(x2 + 1)(y2 + 1)≤ f(x+ y)
(x+ y)2 + 1,
oricare ar fi x, y ∈ R.Solutie. Aratam ca f(x) = 2−x(x2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pDaca x = y = 0 obtinem 1 ≤ f(0)2 ≤ f(0), de unde rezulta f(0) = 1 . . . . . . . . . . . . . . 1pDaca y = 0 ın relatia data, obtinem
2−x ≤ f(x)
x2 + 1, (∗)
pentru orice x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pPentru y = −x ın relatia din enunt. avem
1 = 2−x+x ≤ f(x)
x2 + 1· f(−x)
x2 + 1≤ 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pIn final, folosind (*), rezulta ca fiecare inegalitate din produsul de mai sus devine
egalitate, deci f(x) = 2−x(x2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Problema 2. Fie n ∈ N, n ≥ 3.a) Sa se arate ca exista z1, z2, . . . , zn ∈ C astfel ıncat
z1z2
+z2z3
+ . . .+zn−1
zn+znz1
= ni.
b) Care sunt valorile lui n pentru care exista numere complexe z1, z2, . . . , zn, de acelasimodul, astfel ıncat
z1z2
+z2z3
+ · · ·+ zn−1
zn+znz1
= ni?
Solutie. a) Alegem z1 = z2 = . . . = zn−1 = 1 si cautam z = zn ∈ C care sa verificerelatia din enunt. Obtinem n− 2 + 1
z+ z = ni, adica z2 + (n− 2− ni)z + 1 = 0, ecuatie
care are radacini ın multimea C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p.b) Presupunem ca exista numerele z1, z2, . . . , zn ∈ C, de acelasi modul care verifica
relatia din enunt. Numerele z1z2, z2z3, . . . , zn−1
zn, znz1
au modulul 1 si din inegalitatea modululuirezulta ca z1
z2= z2
z3= . . . = zn−1
zn= zn
z1= i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p
Prin ınmultire obtinem in = 1, deci n este multiplu de 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Pentru n = 4k alegem k grupe de patru dintre numerele −i,−1, i, 1, care verificarelatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Problema 3. Fie a, b, c numere complexe distincte, cu proprietatea |a| = |b| = |c| = 1.Aratati ca daca |a+ b− c|2 + |b+ c− a|2 + |c+ a− b|2 = 12, atunci punctele de afixe a, b, csunt varfurile unui triunghi echilateral.
Solutie. Fie A,B,C punctele de afixe a, b, c, aflate pe cercul unitate cu centrul O.Afixul ortocentrului H al triunghiului ABC este a+ b+ c, deci mijlocul ω al segmentuluiOH are afixul 1
2(a+ b+ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Deducem ca Aω = |a+b+c2− a| = 1
2|b+ c− a|, deci |b+ c− a|2 = 4Aω2 si analoagele.
Rezulta Aω2 +Bω2 + Cω2 = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pDin teorema medianei, avem Aω2 = 1
4(2AH2+2AO2−OH2). Folosind relatiile OH2 =
9R2−(AB2+BC2+CA2), AH2 = 4R2−BC2 si analoagele, deducem Aω2 = 14(1+AB2+
AC2 −BC2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pde unde AB2 + BC2 + AC2 = 9, deci OH = 0. Rezlta O = H, adica ABC e
echilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Problema 4. Sa se gaseasca cel mai mic numar real strict pozitiv λ astfel ıncat,
pentru orice numere reale a1, a2, a3 ∈[0, 1
2
]si b1, b2, b3 ∈ (0,∞) cu
3∑i=1
ai =3∑
i=1
bi = 1,
avemb1b2b3 ≤ λ(a1b1 + a2b2 + a3b3).
Solutie. Fie functia f : (0,∞)→ R, f(x) =b1b2b3x
. Functia f este convexa . . . . . . 1p
Aplicam inegalitatea Jensen:b1b2b33∑
i=1
aibi
= f(3∑
i=1
aibi) ≤3∑
i=1
aif(bi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p
Presupunem ca b1 ≤ b2 ≤ b3. Atunci f(b1) ≥ f(b2) ≥ f(b3).Avem
b1b2b33∑
i=1
aibi
≤ a1f(b1) + a2f(b2) + a3f(b3)
≤ a1f(b1) + (a2 + a3)f(b2)
= a1f(b1) + (1− a1)f(b2)
= f(b2) + a1(f(b1)− f(b2))
≤ f(b2) +1
2(f(b1)− f(b2))
=1
2(b1 + b2)b3
≤ 1
2
(1
2
)2
=1
8.
In ultima inegalitate am folosit inegalitatea mediilor si conditia din enunt. . . . . . . . . . . . 3p
2
Se verifica usor ca pentru a1 = a2 = 12, a3 = 0 si b1 = b2 = 1
4, b2 = 1
2, se realizeaza
egalitatea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pConstanta λ ceruta este λ = 1
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p
3
