Probleme de matematică demonstrate în aplicația

GeoGebra

Clasa a VIII a

Semestrul II

Material realizat în cadrul programului Digitaliada, cu contribuția profesorilor de matematică din școlile incluse în

program, sub coordonarea Expertului Educațional Adina Roșca

Textul și ilustrațiile din acest material sunt licențiate de Fundația Orange conform termenilor și condițiilor licenței AttributionNonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) care poate fi consultată pe pagina web https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ . Ilustrațiile din acest material reprezintă capturi din aplicațiile recomandate pentru utilizare. Coperta, ilustrațiile, mărcile înregistrate, logo-urile Fundația Orange, Digitaliada și orice alte elemente de marcă incluse pe copertă sunt protejate prin drepturi de proprietate intelectuală exclusive și nu pot fi utilizate fără consimțământul anterior expres al titularilor de drepturi.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

1 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

Cuprins

CUBUL ............................................................................................................................................................................ 2

PRISMA........................................................................................................................................................................... 5

PIRAMIDA ....................................................................................................................................................................... 7

CORPURI ROTUNDE ...................................................................................................................................................... 9

BIBLIOGRAFIE ..............................................................................................................................................................12

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

2 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

CUBUL

1. Se consideră un cub . În planul bazei se consideră cercul cu diametrul Fie un punct pe

acest cerc, mijlocul segmentului , mijlocul laturii , intersecția dreptei cu planul bazei .

a) Arătați că suma este constantă când M descrie cercul.

b) Demonstrați că este paralelogram.

c) Demonstrați că proiecția lui pe planul bazei este un romb sau un segment.

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

3 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

2. Fie cubul , este simetricul punctului față de punctul este piciorul perpendicularei din pe

dreapta , iar este centrul pătratului . Arătați că punctele sunt coliniare.

3. Fie un cub, mijloacele muchiilor respectiv , iar centrele fețelor respectiv

a) Demonstrați că b) Determinați sinusul unghiului dintre dreptele

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

4 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

4. Fie un cub cu muchia egală cu , iar centrul feței a) Calculați cosinusul unghiului dintre dreptele b) Calculați distanța de la punctul la planul

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

5 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

PRISMA

1. În prisma hexagonală regulată construim , proiecțiile punctului pe segmentele respectiv , și proiecțiile punctului pe segmentele respectiv

a) Determinați măsura unghiului dintre planele

b) Arătați că

2. În paralelipipedul dreptunghic notăm cu centrul feței Notăm cu proiecțiile lui pe

dreptele și respectiv Demonstrați că: a) ;

b) Dacă , atunci

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

6 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Se consideră o cutie din carton care are forma unei prisme triunghiulare regulate cu şi

a) Calculați cotangenta unghiului determinat de planele și

b) O furnică se deplasează pe fețele prismei, în linie dreaptă, pe traseul unde și sunt mijloacele muchiilor şi respectiv Arătaţi că lungimea traseului parcurs de furnică este mai mic decât

.

4. O prismă dreaptă are bazele triunghiuri echilaterale cu latura de lungime . Știind că dreptele și

sunt perpendiculare, să se afle: a) lungimea muchiei laterale;

b) o funcție trigonometrică a unghiului format de planele și unde este mijlocul muchiei .

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

7 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

PIRAMIDA

1. Se consideră piramida patrulateră regulată a cărei înălțime este cât jumătate din muchia bazei. Știind că punctul este simetricul punctului față de , demonstrați că:

a) dreapta este paralelă cu planul b) dreapta este perpendiculară pe planul

2. Se consideră piramida hexagonală regulată de vârf , în care este mijlocul lui , este centrul bazei { } astfel încât . Demonstrați că:

a) dreapta este paralelă cu planul

b) sunt drepte concurente, fiind mijlocul lui

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

8 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Demonstrați că într-un tetraedru paralelele prin la medianele fețelor opuse care pornesc din sunt

concurente.

4. În piramida triunghiulară regulată considerăm punctul pe latura astfel încât și mijlocul lui

. Demonstrați că mijlocul înălțimii aparține dreptei .

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

9 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

CORPURI ROTUNDE

1. Un con circular drept are ca bază un cerc de centru și rază . Distanța de la centrul la o generatoare este egală cu 12 cm. Calculați:

a) generatoarea și înălțimea conului;

b) volumul conului.

2. O sferă și un con circular drept sunt înscrise într-un cilindru circular drept de rază n. Arătați că

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

10 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

3. Se consideră sfera și o rază a sa. Prin punctul trece un plan care formează cu dreapta un unghi de . Calculați aria secțiunii determinate de plan în sfera . Metoda I.

Metoda a II-a

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

11 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

4. Un cilindru circular drept de rază este înscris într-o sferă . Dacă

aflați raportul dintre volumul cilindrului

și volumul sferei.

5. Trei puncte A, B și C sunt situate pe o sferă și formează un triunghi echilateral cu latura √ . Aflați volumul sferei,

știind că distanța de la centrul sferei la planul este de .

Probleme de matematică demonstrate în aplicația GeoGebra - Clasa a VIII-a

Semestrul II

12 Material realizat în cadrul programului Digitaliada.

BIBLIOGRAFIE

1. Fianu, M., Perianu, M., Balica, I., Matematică Clasa a VIII-a, Editura Art Educațional, București, 2019.

2. Negrilă, A., Negrilă, Maria, Matematică Algebră Geometrie, clasa a VIII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2019.

3. Pop, C.P., Pop, Simona, Olimpiada satelor din România pentru clasele VI-VIII, Editura Nomina, Pitești, 2018.

4. Păduraru, V., Constructii geometrice cu rigla si compasul_Abordari metodice, Editura Ștef, Iași, 2018.

5. *** 18 editii ale concursului interjudetean de matematica Dimitrie Pompeiu, clasele III-XI, Editura Taida, Iași, 2019.

6. ***http://mate.info.ro/acasa.html