Circuite electrice în regim sinusoidal

Circuite electrice n regim armonic permanent 81 E 2012

1Cap. 3. Circuite electrice n regim sinusoidal

3.1. Elemente de circuit n valori instantanee 3.1.1. Mrimi sinusoidale Mrimile sinusoidale de interes n cazul circuitelor electrice sunt: tensiunea electric u(t), tensiunea electromotoare e(t), intensitatea curentului electric i(t) i curentul electromotor al surselor de curent is(t). Orice dintre aceste mrimi sunt de forma )tsin(X)t(x m += unde:

x(t) - se numete valoarea instantanee a mrimii sinusoidale, Xm - este valoarea maxim a mrimii, t + [rad] - se numete faza mrimii sinusoidale, [rad] - este faza iniial a mrimii,

f2T2 == [rad/s] - este pulsaia mrimii sinusoidale,

f12T =

= [s] - este perioada mrimii,

T1

2f =

= [Hz] - este frecvena mrimii sinusoidale.

Pentru mrimile periodice cu perioada T se definete mrimea: = T0 2 dt)t(xT1X numit valoare efectiv sau eficace. Pentru mrimile sinusoidale valoarea efectiv este egal cu:

2XX m= , astfel nct

valoarea instantanee a unei mrimi sinusoidale se mai poate scrie sub forma: )tsin(2X)t(x += . 3.1.2. Dipolul electric n regim sinusoidal Dipolul electric, care poate fi desenat ca n Fig. 1 a) sau b), are la borne tensiunea i intensitatea curentului n valori instantanee cu sensuri de referin la fel orientate cu expresiile:

)tsin(2U)t(u u+= , )tsin(2I)t(i i+=

i va primii o putere instantanee, conform legii transformrilor energetice n procesul de conducie, cu expresia: )tsin()tsin(UI2)t(i)t(u)t(p iu ++== care se poate scrie sub forma:

)t2cos(UI)cos(UI)t(p iuiu ++= . Dispozitivele electromagnetice din componena dipolilor preiau valoarea medie a puterii, care se

poate calcula pe o perioad:

++== T0 iuiuT0 dt)t2cos(TUI)cos(UIdt)t(pT1P . == cosUI)cos(UIP iu [W] se numete putere activ i se msoar n wai.

u(t)i(t)p(t)

a) u(t)

i(t)

p(t) b) Fig. 1.

U este valoarea efectiv a tensiunii, I este valoarea efectiv a intensitii curentului iar iu = este unghiul de defazaj al tensiunii naintea curentului. Exist urmtoarele cazuri:

iu,0 >> , tensiunea este defazat naintea curentului, iu,0 == , tensiunea este n faz cu curentul,

Bazele electrotehnicii 81E 2012 2 iu,0


3 d) Sursa ideal de tensiune electromotoare

Sursa ideal de tensiune este caracterizat de tensiunea electromotoare e(t). )t(i )t(e

p(t))t(u )tsin(2U)t(u u+=

)tsin(2I)t(i i+=

)t(e)t(u = , )tsin(2E)t(e e+= , orice valoare a curentului )tsin(2E)tsin(2U eu +=+ ,

EU = , eu = , ]2,0[iue == ecosEIP = putere activ cedat (rezult pozitiv sau negativ);

= sinEIQ putere reactiv cedat (rezult pozitiv sau negativ). d) Sursa ideal de curent

Sursa ideal de curent este caracterizat de curentul electromotor is(t) i are la borne tensiunea us(t).

p(t)

i)t(i s= ( )t

us )t()t(u = )tsin(2U)t(u u+=

)tsin(2I)t(i i+=

)tsin(2I)t(i isss += , orice tensiune )t(u)t(u s= )tsin(2I)tsin(2I issi +=+ ,

sII = , isi = , ]2,0[ius == sss cosIUP = putere activ cedat (rezult pozitiv sau negativ); sss sinIUQ = putere reactiv cedat (pozitiv sau negativ).

3.1.4. Teoremele lui Kirchhoff n regim sinusoidal

=jk n

k 0il

j = 1, 2, .............(n-1),

=

++hkhk b

kb

skk

kkkk eudtiC

1dt

diLiRll

, h = 1, 2, .............(l-n+1).

Rezult un sistem de ecuaii integro - difereniale greu de rezolvat.

3.2. Elemente de circuit n valori complexe 3.2.1. Reprezentarea n complex a mrimilor sinusoidale O mrime sinusoidal are o imagine n complex un numr complex care are ca modul valoarea efectiv a mrimii i ca argument faza iniial a mrimii sinusoidale.

)sinj(cosXXjXeXX)tsin(2X)t(x irj +=+==+= cu 1j =

numrul imaginar unitate i 2i2r XXX += i X

XarcsinX

XarccosXXarctgXarg ir

r

i ====

3.2.2. Dipolul electric n regim sinusoidal reprezentat n complex Dipolul pasiv Fig. 2

u(t)i(t)p(t)

a)

I

U

S Z

b) Fig. 2. Dipolul electric a - n valori instantanee; b - n complex

)tsin(2U)t(u u+=

)tsin(2I)t(i i+= iu =

ujeUU = ijeII =

=== j)(j* eSeIUIUS iu puterea complex jQP)sinj(cosIUeSS j +=+===

IZU = , UYI =

Bazele electrotehnicii 81E 2012 4

XjR)sinj(cosZeZeIU

eIeU

IUZ j)(jj

jiu

i

u +=+=====

impedana complex

22** I)XjR(IZIIZIUS +==== , 222 QPZIUIS +=== ,

QParctg

SQarcsin

SParccosSarg iu ===== ,

2RIcosUI}S{P === Re puterea activ consumat de dipol, 2IXsinIU}S{Q === Im puterea reactiv consumat de dipol,

== cosZ}Z{R Re rezistena echivalent a dipolului, == sinZ}Z{X Im reactana echivalent a dipolului,

22 XRZ += impedana echivalent a dipolului, BjG)sinj(cosYeYe

UI

eUeI

UI

Z1Y j)(jj

jiu

u

i =======

admitana complex,

2222 XRXj

XRR

XjR1Y ++=+= ,

2222

BGXR

1Z1

UIY +=

+=== [S - siemens],

22 XRRcosY}Y{G +=== Re [S] conductana echivalent a dipolului,

22 XRXsinY}Y{B +=== Im [S] susceptana echivalent a dipolului.

3.2.3. Elemente ideale de circuit n complex a) Rezistorul ideal n complex

R)t(i

)t(up(t)

I

US

ZR

UIu= i

+j

+1 = 0 iRu = ,

)tsin(2RI)tsin(2U iu +=+

iu jj eIReU = , IRU = RZ = , iu = , 0=

SPIRIZS 22 ====0Q =

b) Bobina ideal n complex

L)t(i

)t(up(t)

I

US

ZL

U

I

+j

+1

ui=/2

dtdiLu = ;

)2

tsin(2IL

)tsin(2U

i

u

++==+

iu jj eILjeU = , IXjU L= ; 2iu

+=

LXjLjZ == ; 2=

L2

L2 QjIXjIZS === ,

SUIIXQ 2LL === 0PL =

c) Condensatorul ideal n complex

C

)t(u

)t(i

p(t)

I

US

ZC

U

I

+j

+1u

i

= -/2


5

= idtC1u ;

)2

tsin(2IC

1)tsin(2U

i

u

+==+

iu jj eICj

1eU = ;

IXjU C= ; 2iu= ,

CXjC1jZ == ; 2

= ,

C2

C2 QjIXjIZS === ,

SUIIXQ 2CC === 0PC =

d) Sursa de tensiune electromotoare n complex

)t(i )t(e

p(t))t(u U S

EI

)tsin(2E)t(e e+= ; orice valoare a

curentului )tsin(2I)t(i i+= )tsin(2E)tsin(2U eu +=+

eu jj eEeU = , EU = , EU = eu = , i - orice valoare, iee = , ]2,0[e orice valoare

QjPIES * +== , ecosIEP =

esinIEQ =

d) Sursa de curent n complex

p(t)

i)t(i s= ( )t

us )t()t(u = S UsU =

I Is=

)tsin(2I)t(i isss += ; orice valoare a

tensiunii )tsin(2U)t(u u += )tsin(2I)tsin(2I issi +=+

isi js

j eIeI = , sII = , sII = isi = , u - orice valoare, isus = ,

]2,0[s orice valoare

QjPIUS *s +== , ss cosIUP = ss sinIUQ =

Bazele electrotehnicii 81E 2012 6 3.2.4. Elemente reale de circuit dipolare n complex Elementele de circuit reale dipolare liniare au scheme echivalente realizate cu elemente de circuit ideale legate n serie i/sau n paralel i constituie o mare diversitate. A) Dipolul impedan serie cu surs de tensiune electromotoare poare constitui schema echivalent pentru:

o surs real de tensiune electromotoare care are i rezisten intern; o latur de circuit schema generator echivalent de tensiune a unui circuit dipolar orict de complex.

Acest dipol (Fig. 3.) are ecuaiile de funcionare funcie de asocierea sensurilor de referin ale tensiunii i curentului la borne i de sensul tensiunii electromotoare, distingndu-se trei cazuri.

Sensurile de referin pentru curent i tensiune sunt alese n sensul tensiunii electromotoare caz ntlnit n mod special cnd sensul de referin implicit al tensiunii este considerat acelai cu cel al curentului (i nu se mai marcheaz cu sgeat). Ecuaiile de funcionare sunt date de relaiile:

EIZU = () sau )EU(YI += ()

relaie dat de legea conduciei electrice numit i legea lui Ohm.

U

I

S SE

E

SZ

Z

Fig. 3

Dipolul este la borne 'receptor' deci sensul de referin implicit al puterii P este 'putere primit' (i, de regul nu se mai marcheaz prin sgeat):

Ez2* SSIEIZIUS === ()

unde SZ are sensul de referin 'putere consumat' iar SE are sensul de referin 'putere generat'. Bilanul puterilor pentru acest dipol se poate enuna sub forma: "puterea complex primit pe la

borne de dipol plus puterea generat de surs este egal cu puterea care se consum n impedana dipolului

1. regim de scurtcircuit caracterizat de:

,0U = scII = i ,0S = ()

unde valoarea EYZEI sc == ()

se numete curentul de scurtcircuit al dipolului i are semnificaia de valoare a curentului care trece prin rezistor i surs dac se pun n contact bornele dipolului.

2. regim de mers n gol caracterizat de:

,0I = gUU = i ,0S = () unde valoarea EU g = ()

se numete tensiunea de mers n gol a dipolului i are semnificaia de valoare a tensiunii la bornele dipolului cnd acestea nu sunt n contact cu bornele altui dipol.

B) Dipolul rezistor paralel cu surs de curent electromotor poare constitui schema echivalent pentru:

o surs real de curent electromotor care are i conductan intern;


7 schema generator echivalent de curent a unui circuit dipolar orict de complex.

IS I

S

SS

SZ

U=USY(Z)IZ

Fig.4. Acest dipol (Fig. 3.2.xxx) are ecuaiile de funcionare funcie de asocierea sensurilor de referin ale

tensiunii i curentului la borne i de sensul curentului electromotor, distingndu-se trei cazuri.

Sensurile de referin pentru curent i tensiunea la borne sunt alese n sensul curentului electromotor caz ntlnit n mod special cnd sensul de referin implicit al tensiunii este considerat acelai cu cel al curentului (i nu se mai marcheaz cu sgeat). Ecuaiile de funcionare sunt date de (28) i (29):

SSZS UYIIII +=+= ; SUU = ()sau )II(ZIZU SZ == ()

care este o alt form a relaiei dat legea lui Ohm.

Dipolul este la borne 'receptor' deci sensul de referin implicit al puterii P este 'putere primit' (i, de regul nu se mai marcheaz prin sgeat):

ZS*ZS

*SS

* SSIUIUIUS +=+== (29)unde SS are sensul de referin 'putere consumat' iar SZ are sensul de referin 'putere consumat'.

Bilanul puterilor pentru acest dipol se poate enuna sub forma: "puterea complex primit pe la borne de dipol este egal cu puterea complexa consumat de surs plus puterea complex consumat n impedana dipolului".

1. regim de scurtcircuit caracterizat de:

,0U = 0I Z = deci scII = i ,0S = (34)

unde valoarea Ssc II = (35)

se numete curentul de scurtcircuit al dipolului i are semnificaia de valoare a curentului care trece prin bornele dipolului dac acestea se pun n contact una cu cealalt.

2. regim de mers n gol caracterizat de:

,0I = gUU = i ,0S = (36)

unde valoarea SSg IZ

YIU == (37)

se numete tensiunea de mers n gol a dipolului i are semnificaia de valoare a tensiunii la bornele dipolului cnd acestea nu sunt n contact cu bornele altui dipol.

Echivalena ntre dipolul generator echivalent de tensiune i dipolul generator echivalent de curent este posibil dac cei doi dipoli au acelai curent de scurtcircuit i aceeai tensiune de mers n gol. Egalnd relaiile (25) i (35) respectiv (27) i (37) rezult relaiile de echivalare ntre cei doi dipoli:

YIE S= i

Y1Z = (38)

Bazele electrotehnicii 81E 2012 8

respectiv ZEI S = i Z

1Y = (39)

Relaiile de echivalen (38) i (39) permit transfigurarea circuitelor electrice mai complicate n circuite mai simple urmrindu-se rezolvarea mai uoar i revenirea la circuitul iniial utilizndu-se ecuaiile date de legea lui Ohm i de teoremele Kirchhoff I i II.

3.2.4. Latura de circuit n complex a) Latur cu rezistor - bobin - condensator - surs de t.e.m.

Rk

uk(t)

ik(t) ek(t)Lk Ck

pk(t)

Ik

UkSk

Zk Ek

SZk SEk

++= kk

kkkk edtiC

1dtdiLikR)t(u kkkkk

kkkk EIZEI)C

1jLjR(U =+=

kkkCkLkk

kkk XjR)XX(jRC1jLjRZ +=+=+= cu CkLkk XXX =

kkEkZk*kk

2kk

*kkk QjPSSIEIZIUS +====

*kk

2kkC

2kkL

2kk

*kk

2kk

2kkk IE)IXIX(jIRIEIXjIRS +=+=

kkk2kkkkkk cosIEIRcosIUP == , kkk2kkkkkk cosIEIXsinIUQ ==

2kkRk IRP = , kLk2kkZk QQIXQ == , cu 2kLkLk IXQ = i 2kCkCk IXQ =

Deoarece Uk Ik sensul de referin al puterilor este "putere primit" de dipol. Rezult c sensurile fizice (reale) sunt: 0P kR > , putere consumat, transformat ireversibil n cldur, 0QLk > - putere consumat pentru magnetizare mediului din interiorul bobinei, 0QCk < - putere generat de condensator. b) Latur cu surs de curent n serie cu alte elemente de circuit

Rk

uk(t)

ik(t) ek(t)Lk Ck

pk(t)usk(t)

isk(t)

Ik

UkSk

Zk Ek

SZk SEk

Usk

Isk

Ssk )t(i)t(i Skk =

skkk

kkkk uedtiC

1dtdiLikR)t(u ++=

skk II = , skkkkk UEIZU = kkkksk UEIZU =

kkkCkLkk XjR)XX(jRZ +=+= *skkk IUS = , 2skkZk IZS = , *kkEk IES = , *sksksk IUS =

kkSkEkZk*sksk

*kk

2kk

*kkk QjPSSSIUIEIZIUS +====

skskskkskk2skkkskkk cosIUcosIEIRcosIUP == ,

skskskskskk2skkkskkk sinIUsinIEIXsinIUQ == .

3.2.5. Teoremele lui Kirchhoff n complex

=jk n

k 0Il

j = 1, 2, .............(n-1),

=

+hkhk b

kb

skkk

kkkk EUIC1jILjIR

ll , h = 1, 2, .............(l-n+1).


9

=jk n

k 0Il

j = 1, 2, .............(n-1),

=hkhkhk b

kb

skb

kk EUIZlll

, h = 1, 2, .............(l-n+1).

3.2.6. Teorema conservrii puterilor n complex. Bilanul puterilor Teorema conservrii puterilor pentru un circuit n regim sinusoidal izolat, deci care nu poate primii

putere din exterior se poate enuna:

Suma puterilor instantanee pk primite de toate laturile deci puterea total primit de circuit n regim armonic permanent cvasistaionar este nul.

Reprezentnd toate mrimile n complex teorema se poate enuna: Suma algebric a puterilor complexe consumate de toate laturile unui circuit n regim armonic permanent cvasistaionar este nul.

=

=l

1k0)t(p 0IUS

1k

*kk

1kk ==

==

ll

Pentru simplificarea i uurarea memorrii bilanului de puteri se recomand enunul teoremei sub forma: Suma puterilor consumate de toate elementele pasive din circuit este egal cu suma algebric a puterilor generate de toate elementele active ( sursele) cu expresia matematic:

===

+=lll

1k

*sksk

1k

*kk

1k

2kk IUIEIZ - bilanul puterilor complexe

unde termenii din membrul al doilea au semnul "plus" dac tensiunile electromotoare i curenii au acelai sens de referin Ek Ik, iar tensiunile i curenii surselor de curent au sensuri de referin contrare Usk Isk deci puterile SEk i SSk au sensurile de referin (implicite) puteri generate. Bilanul puterilor se poate efectua i separat pentru puterile activ i reactiv.

===

+==lll

1kskskskek

1kkk

1k

2kk cosIUcosIEIRP - bilanul puterilor active

=====

+===lllll

1kskskskek

1kkk

1k

2kCk

1k

2kLk

1k

2kk sinIUsinIEIXIXIXQ - bilanul puterilor reactive

n cazul n care n circuit nu exist surse de curent, ecuaiile corespunztoare bilanului de puteri au forma:

==

=ll

1k

*kk

1k

2kk IEIZ - bilanul puterilor complexe ()

ek1k

kk1k

2kk cosIEIRP

====

ll - bilanul puterilor active ()

ek1k

kk1k

2kCk

1k

2kLk

1k

2kk sinIEIXIXIXQ

=======

llll - bilanul puterilor reactive ()

n cazul unui circuit interconectat cu alte circuite prin intermediul a m pori, teorema conservrii puterilor se poate enuna: Suma puterilor complexe Sk primite de toate laturile deci puterea total primit de circuit este egal cu suma algebric a puterilor complexe Spj primite de circuit pe la toate porile

= =

=l

1k

m

1jpjk SS ()

nlocuindu-se puterile la bornele laturilor cu expresia lor n funcie de puterile elementelor de pe latur, pentru circuite interconectate prin intermediul unor pori teorema conservrii puterilor se poate enuna sub forma:

Bazele electrotehnicii 81E 2012 10 Suma puterilor consumate de toate elementele pasive din circuit este egal cu suma algebric a puterilor generate de toate elementele active ( sursele) plus suma algebric a puterilorprimite de circuit pe la toate porile. Expresia matematic a bilanului de puteri se poate scrie:

====

++=m

1j

*pjpj

1k

*sksk

1k

*kk

1k

2kk IUIUIEIZ

lll ()

unde sensurile se referin ale tensiunilor Upj i curenilor Ipj la pori trebuie s fie la fel orientate pentru ca, la aceste pori, circuitul s fie receptor.

3.2.8. Calculul tensiunii electrice ntre dou puncte Pentru calculul unei tensiuni necunoscute UAB ntre dou puncte A i B, se scrie a doua teorem

Kirchhoff n variabile tensiuni, pe orice bucl (curb nchis) care trece prin sgeata tensiunii necunoscute n sens contrar acesteia:

=ABk

ABk 0UU ()

Rezult c tensiunea necunoscut are expresia:

=ABCk

kAB UU ()

adic: valoarea complex a tensiunii electrice UAB, ntre dou puncte A i B este egal cu suma algebric a valorilor complexe ale tuturor tensiunilor pe orice cale CAB care pleac din punctul A i ajunge n punctul B. Evident c trebuie aleas calea astfel nct toate tensiunile dealungul acesteia s fie cunoscute.

3.2.9. Calculul potenialului electric al unui nod

Potenialul electric este o mrime relativ, definit ntr-un punct (nod) M, dar n raport cu un punct (nod) de referin arbitrar M0, caracterizat de un potenial de referin opional. n cazul circuitelor de curent alternativ de frecven industrial (regim cuasistaionar), tensiunea electric UAB ntre dou puncte A i B este egal cu diferena potenialelor VA i VB calculate n raport cu acelai punct de referin, deci n valori complexe:

BAAB VVU = () n particular dac n loc de A avem punctul M iar n loc de B avem punctul M0 atunci relaia se scrie:

00 MMMM VVU = () iar expresia potenialului unui punct M devine:

00 MMMM UVV += () Deoarece potenialul de referin (opional ales) se consider de regul nul, potenialul unui punct M se calculeaz ca tensiunea electric de la punctul M la punctul de referin, adic ca sum algebric a tensiunilor, pe orice cale, de la acel punct la punctul de referin:

dac 0V0M

= , atunci: 0MMM UV = . ()

Circuite electrice în regim sinusoidal

Documents

Transcript of Circuite electrice în regim sinusoidal