CERCUL

Cum exprimăm proprietăţile cercului în limbaj matematic? Cum descoperim, într-o configuraţie geometrică, proprietăţile cercului şi cum le adaptăm situaţiilor practice?

Care sunt relaliile cercului cu alte construcţii geometrice?

Definiţie. Fie O un punct în plan şi r un număr real pozitiv, mulţimea punctelor din plan, situate la distanţa r faţă de O se numeşte cerc de centru O şi rază r (punctul O centrul cercului).Notaţie: C(o,r)

Elemente:o Raza cercului este distanţa de la O la un

punct de pe cerc – [OP].o Segmentul determinat de două puncte ale

unui cerc se numeşte coarda – [AB].o Coarda care conţine centrul cercului se

numeşte diametru – [CD].o Capetele diametrului se numesc puncte

diametral opuse – C şi D. o Cercurile care au raze egale se numesc

cercuri congruente.

o Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor P din plan pentru care OP<r se numeşte interiorul cercului. Int C(O,r) ={P/OP<r}

o Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor Q din plan pentru care OQ>r se numeşte exteriorul cercului cercului. Ext C(O,r) ={Q/OQ>r}

Portiunea dintr-un cerc determinata de doua puncte distincte ale cercului se numeste arc de cerc.

Se numeste disc de centru O si raza r multimea punctelor cerculuiC (O,r) reunita cu interiorul cercului. Not:D (O,r)=C (O,r)∩IntC (O,r)

Un unghi care are varful in centrul cercului se numeste unghi la centru.

Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorul unghiuluiAOB reunite cu A si B se numeste arc mic si se noteaza ABMulţimea punctelor de pe cerc situate în exteriorul unghiului AOB, reunite cu A si B se numeste arc mare si noteaza ACB, unde C IntAOB .

Punctele A si B se numesc capetele arcelor.Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri.Masura arcului mic este egala cu a° ; masura arcului mare esteegala cu 360° − a° ; masura unui semicerc este 180° .Doua arce sunt congruente daca au aceeasi masura.

TEOREMA 1La arce congruente corespund coarde congruente(in acelasi cerc sau in cercuri congruente).Reciproca.La coarde congruente corespund arce mici congruente( in acelasi cerc sau in cercuri congruente)TEOREMA 2

Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in doua parti congruente.

TEOREMA 3Daca doua coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distantele de la centru la coarde sunt egale.TEOREMA 4Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc si punctul M apartine arcului determinat de ele, atunci masura arcului AB este egala cu masura arcului AMplus masura arcului MBTEOREMA 5

Daca [AB] si [CD] sunt doua coarde paralele ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate de aceeasi parte a diametrului perpendicular pe coarde atunci: arcele mici AC si BD suntcongruente ; coardele AC si BD sunt congruente.

DEFINITIEUnghiul BAC se numeste unghi inscris in cercul C(o,r) daca A,B si C apartin cercului C(o,r).Unghiurile BAC, MPQ si STV sunt unghiuri inscrise in cerc.Arcele mici BC, MQ, respectiv SV sunt arce cuprinse intre laturile unghiurilor inscrise.

DEFINITIESpunem ca triunghiul ABC este inscris in cerc daca varfurile sale apartin cercului.

TEOREMA 1Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale.TEOREMA 2Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi secanta,iar cealalta latura tangenta cercului, este jumatate din masuraarcului de cerc inclus in interiorul unghiului.

UNGHI CU VARFUL IN INTERIORUL CERCULUIUnghiul cu varful in interiorul cercului ATC ( care este congruent cu DTB fiind unghiuri opuse la varf) are camasura jumatate din suma masurilorarcelor cuprinse intre laturile sale.

UNGHI CU VARFUL IN EXTERIORUL CERCULUIUnghiul cu varful in exteriorul cercului, unghiul

APB are ca masura jumatate din diferenta arcelor cuprinse intre laturile sale.POZITIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FATA DE UN CERC.

1) Dreapta secanta fata de un cerc este dreapta care are doua puncte comune cu cercul: A si B.

2) Dreapta tangenta la cerc este dreapta care are un singur punct comun cu cercul: T. Dreapta tangenta la cerc este perpendiculara pe raza in punctul de intersectie al ei cu cercul.3) Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are puncte comune cu cercul.

DEFINITIEUn poligon convex cu toate laturile si toate unghiurile congruente se numeste poligon regulat.(Exemple cunoscute patratul, triunghiul echilateral.)TEOREMAOrice poligon regulat se poate inscrie intr-un cerc

DEFINITIESegmentul dus din centrul cercului circumscris unui poligon regulat, perpendicular pe latura poligonului, se numeste apotemaCALCULUL ELEMENTELOR IN POLIGOANE REGULATEVom calcula latura l si apotema a in functie de raza R a cerculuicircumscris.

LUNGIMEA CERCULUI. LUNGIMEA ARCULUI DE CERC.Valoarea raportului dintre lungimea unui cerc si lungimea diametrului sau se noteaza cu π . Acesta este un numar irational pe care il aproximam cu 3,14.Lungimea cercului este deci: L = 2πR

ARIA DISCULUI. ARIA SECTORULUI DE CERCAria unui cerc de raza r se calculeaza cu formula: A =πR²

APLICATII

1. Un cerc are raza R= 6cm. Atunci latura patratului este….. 2. Apotema unui triunghi echilateral are 4cm. Aria hexagonului regulat este3. Un patrat are diagonala 12 cm. Raza cercului inscris in acest patrat este :4. Masura unghiului unui pentagon regulat este…….5.O coarda a unui cerc cu raza de 20 cm are lungimea de 32 cm. Calcuati distanta de la centrul cercului la coarda.6.In figura apare un sfert de disc in care este inscris patratul ODCE. Daca raza discului este R=16cm, calculati aria portiunii hasurate 7. Patrulaterul ABCD este inscris intr-un cerc de centru O si raza R. Daca masurile arcelor AB, BC si CD sunt de 1200, 1000 si respectiv 800, sa se afle : a) masurile unghiurilor patrulaterului ; b) masurile unghiurilor formate de laturi cu diagonalele patrulaterului 

o Manual de matematică clasa a VII-a (George Turcitu, Ionică Rizea, Ion

Chiriac, Constantin Basarab, Maria Duncea, Petre Ciungu, Ed.Radical,

Bucureşti, 2003)o Algebră-geometrie clasa a VII-a, Artur Bălăucă, Ed.Taida, Iaşi

2006o Algebră-geometrie- clasa a VII-a, Dan Brânzei, Anton Negrilă,

Maria o Negrilă, Ed.Paralela 45, Bucureşti 2005o www.didactic.roo http://mate.info.ro/

Bibliografie