Functia f:R→(0,+∞) , f(x)=ax ,a>0, a≠1 se numestefunctie exponentiala.

Pentru a=1 se obtine functia f:R→(0,+∞) , f(x)=1 care nu prezinta un interes special.

Functia exponentiala f:R→(0,+∞), f(x)= ax , a>0 ,

a≠1 verifica relatia functionala f(x+y)=f(x)*f(y),

x,yЄR.

Relatia face legatura intre adunarea numerelor reale siinmultirea numerelor reale pozitive.

f(-x)= [f(x)]-1

f(-x)=a-x=1/ax=1/f(x)=[f(x)]-1

f(x-y)=f(x)/f(y)

f(x-y)=ax-y=ax/ay=f(x)/f(y)

f(nx)=[f(x)]n

f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n

f(x1+x2+…+xn)=f(x1)*f(x2)*…*f(xn)

I etapa de verificare:

II etapa de demonstratie:

p(k)→p(k+1)

p(k)=f(x1+x2+…+xk)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)

p(k+1)=f(x1+x2+…+xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk+1)

f(x1+x2+…+xk+1)=f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]

f(x1+x2+…+xk)*f(xk+1)=f(x1)*f(x2)*…*f(xk)*f(xk+1)

din I si II =>p(n) adevarat , n≥2.

Compararea valorilor functiei

exponentiale cu 1

Fie f,g:R→(0,+∞), f(x)= f(x)=8x ,g(x)= (1/2)x .

Asociem acestor functii urmatoarele tabele de valori:

Lecturand tabelele de valori ale functiilor f si g se observa ca:

a) Pentru x=0,f(0)=1 si g(0)=1;

b) Pentru x>0,f(x)>1 si g(x)<1;

c) Pentru x<0,f(x)<1 si g(x)>1.

In general, are loc urmatoarea proprietate de comparare cu 1 a valorilor functiei exponentialef:R→(0,+∞), f(x)= ax , aЄ(0,1)∪(1,+∞):

x -∞ -2 -1 0 1/3 1/2 5/3 2 3 +∞

f(x) 0,015625 0,125 1 2 2√2 32 64 512

x -∞ -2 -1 0 1 2 3 4 +∞

g(x) 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625

Daca 0<a<1, atunci f(x)<1 daca x>0;

f(x)>1 daca x<0.

Daca aЄ(0,+∞), atunci f(x)>1 daca x>0;

f(x)<1 daca x<0.

Studiul monotoniei functiei exponentiale

Din tabelele de valori ale functiilor exponentiale f(x)=8x sig(x)=(1/2)x se observa ca valorile functiei f cresc daca x creste, iar ale functiei g descresc cand x creste. Acesteobservatii particulare ne sugereaza tipul de monotoniepentru cele doua functii exponentiale in functie de bazaputerii.

Fie f:R→(0,+∞), f(x)= ax ,aЄ(0,1) ∪(1,+∞). Atunci :

a)daca a>1,functia exponentiala este strict crescatoare pe R;

-fie aЄ(1,+∞) si X1,x2 Є R, x1<x2. Sa aratam ca ax1<ax2. Din relatia x1<x2, rezulta ca exista k Є (0,+∞) astfelincat x2=x1+k. Se obtine succestiv: ax2-ax1=ax1+k-ax1*(ak-1)>0,avand in vedere proprietatea“proprietatea valorilor functilor functieiexponential cu 1”. In concluzie f(x1)<f(x2) si f estestrict crescatoare pe R.

b)daca aЄ(0,1),functia exponentiala este strict descrescatoare pe R.

Daca a<1 =>f(x)=ax ↑

Daca 0<a<1 => f(x)=ax ↓

Studiul injectivitatii si

surjectivitatii functiei

exponentialeFunctia exponentiala este strict monotona

,ceea ce implica injectivitatea acesteia.

Asadar din egalitatea ax =ay , aЄ(0,1)

∪(1,+∞) rezulta ca x=y.

Injectivitatea functiei exponentiale este utila

in cazut rezolvarii unor tipuri de ecuatii

exponentiale.

Referitor la surjectivitatea functiei exponentiale afirmam ca functia exponentiala este surjectiva ,fara a demonstraaseasta. In concluzie retinem ca functia exponentiala estebijectiva.

Graficul functiei

Reprezentarea geometrica a graficului functieiexponentiale se numeste curba exponentiala.

f(x)= ax intersecteaza axa ordonatelor in punctul de coordonate (0,1) si nu intersecteaza axa absciselor.

Graficul functiei exponentiale este o curba convexa.

Axa Ox este asimptota la graficul functiei spre -∞ daca a>1 , si la +∞ daca a<1 [aЄ(0,1)].

Cazul a>1

f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata deasupra

axei Ox.

Pentru x=0,f(0)=1; pentru x<0,f(x)<1; pentru x>0,f(x)>1.

Functia exponentiala este strict crescatoare pe R.

Functia exponentiala este bijectiva (injectiva si surjectiva),deciorice paralela dusa la axa Ox dusa prin punctele codomeniuluiintersecteaza curba exponentiala intr-un singur punct.

Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.

Cazul 0<a<1

f(x)= ax >0, xЄR ; curba exponentiala este situata

deasupra axei Ox.

Pentru x=0,f(0)=1;pentru x<0,f(x)>1; pentru x>0,f(x)<1.

Functia exponentiala este strictdescrescatoare pe R.

Functia exponentiala este bijectiva (injectiva sisurjectiva),deci orice paralela dusa la axa Ox dusa prinpunctele codomeniului intersecteaza curba exponentialaintr-un singur punct.

Axa Ox este asimptota orizontala spre +∞.

Convexitatea si concavitatea

functiei exponentiale

Graficul functiei exponentiale are forma convexa.

Acest fapt se poate aproba usor in cazul general studiindvalabilitatea inegalitatii lui Jensen:

f[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R.

Avem {[f(x)+f(y)]/2} – f[(x+y)/2]=[(ax+ay)/2-a(x+y)/2=(ax+ay-2√ax+ay)/2=1/2(√ax-√ay)2≥0, x,y Є R si astfel inegalitateaf[(x+y)/2≤{[f(x)+f(y)]/2}, x,y Є R ,are loc.

In concluzie functia exponential este convexa.

Aplicatii3) (1/3)7 (1/3)-7

f(x)=(1/3)x

7>-7 => f(7)<f(-7) => (1/3)7<(1/3)-7

2) 25/2 23/5

f(x)=2x crescatoare

5/2 > 3/5 => f(5/2)>f(3/5) => 25/2 > 23/5

3) (3/7)-2/3 (√3)1/2 1

f(x)=(3/7)x descrescatoare -2/3<0 => f(-2/3)>1

f(x)=(√3)x crescatoare 1/2>0 => f(1/2)>1 => √31/2>1

4) 22a-1 2a+2 a ЄR

f(x)=2x crescatoare

2a-1<a+2 => a<3 => f(2a-1)<f(a+2) =>22a-1 < 2a+2

5) (1/2)5a-1 23-2a

(1/2)5a-1 = 21-5a

f(x)=2x crescatoare

1-5a<3-2a

-2<3a => a>-2/3

Daca a>-2/3 => 1-5a<3-2a => f(1-5a)<f(3-2a)=> 21-5a<23-2a

Daca a<-2/3 => 21-5a>23-2a

6) f:R→R, f(x)=15x-3*5x-3x+10

I injectivitate:

X1,x2 apartin R , f(X1)=f(x2)=> X1= x2

f(0)=1-3-1+10=7

f(1)=15-15-3+10

=>f nu este injectiva

=>f nu e bijectiva.

Surse de inspiratie:

-manual

-caiet

-internet