7/24/2019 Cateta

1/13

7/24/2019 Cateta

2/13

Teorema catetei:

ntr-un triunghi dreptunghic,lungimea unei catete este medie

geometric ntre lungimeaipotenuzei i a proieciei sale peipotenuz.

7/24/2019 Cateta

3/13

OBS!"#$%:

n triunghiul dreptunghic #B&, nlimea este #',iar proieciile catetelor pe ipotenuza B& sunt B'i '&.

&oncluzia pro(lemei poate ) scris i su( *orma:

#B+B&B' pentru cateta #B/#&+B&&' pentru cateta #&/,

sau su( *orma unor proporii:

AC

DC

AB

BD

BC

AB==

BC

ACi

7/24/2019 Cateta

4/13

%potez:

0#B&

m#/122

#'3B&'45B&6

&oncluzie:

#B+B&B'

Sau

AB

BD

BC

AB=

7/24/2019 Cateta

5/13

'emonstraie:A

BC

D

Triunghiurile ABD i CBA sunt asemenea pentru c:ADBBAC( unghiuri drepte)ABDABC(unghi comun).

7/24/2019 Cateta

6/13

'in asemnarea triunghiurilor rezult care loc :

Sau *olosind proprietatea *undamentala proporiilor, putem scrie:

#B+B'B&7.e.d./

AB

BD

BC

AB =

7/24/2019 Cateta

7/13

!eciproca teoremei catetei:

'ac ntr-un triunghi #B&, o cateteste medie geometric ntreipotenuz i proiecia catetei peipotenuz , atunci triunghiul este

'!8T9;

7/24/2019 Cateta

8/13

&on*orm cazului + de asemnare,triunghiurile #&' i B sunt asemenea

pentru c:

B=#&'& este unghi comun/ i

AB

CD

BC

AC=

7/24/2019 Cateta

9/13

'in 0#&' >0B rezult c:

'=&B#

mB#&/ mB#'/? m'#&/

'#B i &B# sunt complementare rezult

c i ' i '#B suntcomplementare.

#tunci a@em:

mB#&/122'e unde rezult c triunghiul #B& este

dreptunghic n #.

7/24/2019 Cateta

10/13

A.ntr-un triunghi dreptunghic lungimeaipotenuzei este dm i a unei catete deACcm. 'eterminai lungimile proieciilor

catetelor pe ipotenuz.

7/24/2019 Cateta

11/13

A

B CD

Aplicm teorema catetei astfel: AB2BD!BC

"nlocuim:

#$2 BD !%&

#' BD !%& de unde BD *'2cm.

DC %& + *'2 $&,cm

#$cm

%& cm

7/24/2019 Cateta

12/13

+. O catet a unui triunghidreptunghic are lungimea de Acm, iar proiecia sa pe ipotenuzeste de 1 cm. S se aDe lungimea

proieciei celeilalte catete peipotenuz.

7/24/2019 Cateta

13/13

A

BC D

Aplicm teorema catetei astfel: AB2BD!BC

"nlocuim:#%2 '!BC22% '!BC de unde BC 2%cm.

DC 2% + ' #cm

#%cm

'cm