CAPITOLUL __

CONSIDERATII METODICE

La finalul acestei lucrări vom da câteva consideraţii metodice privind rezolvarea unor probleme, proiecte didactice, precum şi cateva teste de evaluare.

NUMERE REALE

SCOATEREA FACTORILOR DE SUB RADICAL.INTRODUCEREA FACTORILOR SUB RADICAL.RATIONALIZAREA NUMITORULUI.

√a2 b= |a|√b, b≥0√a2 b= a√b, a≥0, b≥0

a√b=√a2 b, a≥0, b≥0 a√b=−√a2 b, a≤0, b≥0

Exemple

√700=√7 ∙100=√7 ∙√100=10√7 √180=√36 ∙5=√36 ∙√5=6√5

√ 1825

=√ 9∙ 225

=√9∙√25 =3√2

5 √72∙√2=√144=12 5√3−√12+2√108=5√3−√4 ∙3+2√36 ∙3=5√3−2√3+12√3=15√3

Definiţie. Transformarea unei fracţii cu numitor număr iraţional într-o fracţie cu numitor număr raţional, prin amplificare, se numeşte raţionalizarea numitorului.a√b= a√b

√b∙√b=a√bb

b>0

Exemple 7

√7 =7√77 =√7

5√3√6 =5√3 ∙√6

√6 ∙√6 = 5√3 ∙√3 ∙√26 =5∙3√2

6 = 5√22

ORDINEA EFECTUĂRII OPERAŢIILORDacă într-un exerciţiu apar operaţii de ordin diferit se efectuează:

Operaţiile de ordinul III – ridicarea la putere şi extragerea rădăcinii pătrate Operaţiile de ordinul II – înmulţirea şi împărţirea Operaţiile de ordinul I – adunarea şi scăderea Dacă apar paranteze, se efectuează calculele din paranteze, după regula

ştiută deja.Exemplu.

(5√2− 6√2 ): √2−3

( 4−√27 )∙√3+9=(5√2−6√2

2 ): √2−3

( 4−√9 ∙3 )∙√3+9= (5√2−3√2 ) :√2−3

( 4−3√3 ) ∙√3+9= 2√2 :√2−3

4 √3−3∙ 3+9=2−34√3=

−14 √3= −1 ∙√3

4 √3 ∙√3=−√312

NUMERE REALERădăcina pătrată.

Rădăcina pătrată a unui număr raţional pozitiv.

X 5 0,4 -11 -1,0(3) 23

|−8|

X2 25 0,16 121 961900

49

64

Observăm că pătratul unui număr raţional este un număr pozitiv. Pătratul unui număr natural este pătrat perfect dacă este pătratul unui număr

întreg.Definiţie. Numărul raţional |x| se numeşte rădăcina pătrată a numărului a dacă

a=x2.Se scrie √a=|x|

Semnul √ se numeşte radical. În cazul rădăcinii pătrate acesta este radical de ordinul 2.(Mai există şi radicali de ordin superior lui 2.)

Exemple.

EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATE DINTR-UN NUMĂR NATURAL PĂTRAT PERFECT.Pentru a calcula rădăcina pătrată avem mai multe metode.

Descompunem numărul în factori primi şi scriem numărul ca putere(de 2 sau mai mulţi multipli de 2). Baza puterii este rădăcina pătrată.1024=210=(25 )2=> √1024=25=32144=24 ∙ 32=(22 ∙ 3)2=> √144=22∙3=12576=32 ∙ 26=(3 ∙ 23) => √576 = 3∙23=24

Avem un algoritm de extragere a rădăcinii pătrate.√1764..... se desparte numărul în grupe de câte două cifre de la dreapta la stanga.√1764 4 ..... căutăm numărul cel mai mare al cărui pătrat este foarte 16 apropiat de 17. 1√1764 4 ..... lângă primul rest 1 coborâm grupa de două 64 şi dublăm 16 8 primul cât 4. 164

√1764 4 ............Vedem de câte ori se cuprinde 8 în 16(de 2 ori) şi-l 16 82∙ 2=164 adăugăm lângă numărul dublat, apoi înmulţim cu el. 164 164 ===Ne dă restul 0 la scădere şi deci am obţinut √1764=42.

Exerciţii.Să se extragă rădăcina pătrată din următoarele numere.2704; 3600; 4225; 12321; 46225

EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATE DINTR-UN NUMĂR RAŢIONAL SCRIS SUB FORMĂ DE FRACŢIE ORDINARĂ.

Dacă avem fracţia ireductibilăab , a,b∈N, b≠0 şi ∃c,d∈N, a=c2, b=d2=> √ a

b=√ c2

d2=√( cd )

2

=cd

Exemple.

√ 1625 =√ 42

52 =45

√ 121576 =√( 11

24 )2

=1124

EXTRAGEREA RĂDĂCINII PĂTRATE DINTR-UN NUMĂR RAŢIONAL SCRIS SUB FORMĂ DE FRACŢIE ZECIMALĂ.

√382,5936 19,56 1. Se desparte numărul de la virgulă spre stânga 1 29∙9=261 şi de la virgulă spre dreapta în grupe de câte 282 385∙5=1925 două cifre. 261 3906∙6=23436 2. Se aplică acelaşi procedeu ca la numerele fără=2159 virgulă. 1925 −¿ 3. Se poate întâmpla să nu putem face grupe de câte = 23436 două cifre de la virgulă spre dreapta şi în acest 23436 caz se completează cu cifra 0. 4. Dacă numărul raţional din care extragem rădăcina

pătrată nu este pătrat perfect, de obicei se extrag două zecimale după virgulă.

Exerciţii. Să se extragă rădăcina pătrată din următoarele numere:1,44; 10,5625; 27,04; 7,(3); 16,64.

APROXIMĂRINumerele învăţate până acum sunt numere raţionale, adică numerele care se pot scrie sub forma a

b , b≠ 0, a,b∈ΖExistă şi numere care nu se pot scrie sub forma de mai sus şi anume fracţiile zecimale infinite neperiodice. Să luăm de exemplu √2=1.41142135..... sau √3

=1.7320508..... Aceste numere nu sunt raţionale, căci nu se pot scrie sub forma ab şi

ele formează mulţimea numerelor IRAŢIONALE, notată cu I.În calcule fiindcă nu putem scrie valoarea exactă a lor, le aproximăm, adică le scriem sub formă de fracţie zecimală cu una, două sau mai multe zecimale.De exemplu: √2 ≈1,41; √3≈ 1,73.Aceste aproximări pot fi prin lipsă sau prin adaos.√2 Prin lipsă Prin adaosAproximaţie de o zecime 1,4 1,5Aproximaţie de o sutime 1,41 1,42Aproximaţie de o miime 1,414 1,415Aproximaţie de o unitate 1 2√3Aproximaţie de o zecime 1,7 1,8Aproximaţie de o sutime 1,73 1,74Aproximaţie de o miime 1,732 1,733Aproximaţie de o unitate 1 2

Numerele iraţionale pot fi aproximate şi prin rotunjire.√11=3,3166... Rotunjire la prima zecimală 3,3 Rotunjire la a doua zecumală 3,32 Rotunjire la a treia zecimală 3,317

Ultima zecimală la care se face rotunjirea rămâne neschimbată dacă după ea urmeaza 0,1,2,3,4.

Ultima zecimală la care se face rotunjirea se măreşte cu 1 dacă după ea urmează 5,6,7,8,9.

În concluzie putem face o schemă cu mulţimile de numere învăţate până acum.

N ∈ Z ∈ Q

∈ R

I

R

Q

Z

I

1) Cu care din numerele din următoarele trebuie să amplificăm fracţia:1

2−3√2+3 3√4 pentru raţionalizarea numitorului?

A) – 4+3√2+3 3√4 B) 4−¿33√2+ 3√4 C) – 4−5 3√2+ 3√4 D) – 4−5 3√2−3√4 E) nici unul din răspunsurile A)-D) nu este corect.

Soluţie. Sigur că o variantă este să înmulţim numitorul fracţiei pe rând cu fiecare din numerele propuse, oprindu-ne dacă rezultatul este raţional. În caz că nici unul din cele patru produse nu e raţional, răspunsul corect este E). Această metodă de forţă brută contravine însă spiritului logic al matematicii. Fie a+b3√2+c3√4, a,b,c∈Q numărul căutat. Efectuăm produsul:(a+b 3√2+c 3√4 ) (2−3√2+3 3√4 )=2a+6b−¿2c+(−a+2b+6 c ) 3√2+(3 a−b+2c ) 3√4Acest număr este raţional dacă şi numai dacă:

{−a+2 b+6 c=03 a−b+2c=0 {–a+2b=−6 c

3a−b=−2 c {– a+2 b=−6c6 a−2b=−4 c a=−2 , b=−4 c

Cum nici unul dintre numerele A)-D) nu satisface aceste condiţii, răspunsul corect este E).

2) Câte elemente are mulţimea: D= {x∈Z|√ x2−17∈N}A) două B) patru C) unul D) nici unul E) trei.

Soluţie. Fie y=√x2−17∈N → y2=x2−17 x2−¿y2=17 (x+y)(x−¿y)=17

Deci, numerele întregi x+y şi x−¿y trebuie să se găsească printre divizorii lui 17. Posibilităţile sunt:i) {x+ y=17

x− y=1 x=9 , y=8

ii) { x+ y=1x− y=17 x=9 , y=−8. Aceasta nu este o soluţie, deoarece y trebuie să fie

pozitiv.

iii) {x+ y=−17x− y=−1 x=−9 , y=−8. Nici aceasta nu este soluţie.

iv) { x+ y=−1x− y=−17 x=−9 , y=8. După D={−¿9,9}. Răspunsul corect este A).

3) Se dau numerele:a=0,(5)b=−1

6 √4+2√4

c=π2

d=√ 786

e=0,12345678910111213....(după virgulă sunt scrise toate numerele naturale).Care dintre acestea sunt raţionale?A) a şi e B) a,b şi e C) doar a D) niciunul E) a şi b

Soluţie. Este clar că a este raţional. La fel de clar este că numerele c şi d sunt iraţionale. Rămân în discuţie doar b şi e. În cazul lui b, dacă efectuăm calculele, rezultă:b=−1

63√8=−1

3 care este evident raţional.Numărul e are o reprezentare zecimală infinită, care însă nu este periodică. Prin urmare, nu este raţional. Răspunsul corect este deci E).

Modulul numerelor reale

Desigur că rezolvarea ecuaţiilor de gradul I este acoperită de programa claselor V-VIII. Nu este lipsit însă de interes să considerăm unele exemple care presupun considerarea mai multor cazuri, în funcţie de valorile unor parametri.

Ex. 1. Să se rezolve şi să se discute ecuaţiile:a) 4m2x+6=4m+9x

b) m+12 x+1= 3+2x

4 x2−1

Soluţie. a)După sepatarea necunoscutelor şi factorizare, ecuaţia se scrie:(4m2−¿9)x=4m−¿6 (2m+3)(2m−¿3)x=2(2m−¿3)

În cazurile în care coeficientul lui x este nenul, adică pentru m∈R\{± 32 }, rezultă

soluţia unică x=2(2 m−3)

(2 m+3 )(2m−3)= 2

2 m+3 .Să considerăm acum situaţiile în care coeficientul lui x se anulează:i) m=3

2 . Ecuaţia devine 0=0, aică identitate. Orice x real este o soluţie a ecuaţiei.

ii) m=−32 . Ecuaţia divine 0=−12, propoziţie falsă. În acest caz, ecuaţia nu are

soluţie(mulţimea soluţiilor sale este vidă).Cele trei cazuri distinct prezentate mai sus pot fi sintetizate în următorul table:

m∈R\{± 32 } x= 2

2m+3 solutie unică

m=32

x∈ R

m=−32

x∈∅

b) Primul aspect care trebuie avut în vedere atunci când în ecuaţie apar numitori este includerea unor condiţii ca aceştia să nu se anuleze. În exemplul de

faţă, aceste condiţii sunt 2 x+1 ≠ 0, 4 x2−1≠ 0 şi ele conduc la x∈R\{± 12 }. După

amplificarea primei fracţii cu2 x−1 şi eliminarea numitorilor, ecuaţia devine (m+1 ) (2x−1 )=3+2x 2 (m+1 ) x−2 x=3+m+1 2 mx=m+4 (*)

Dacă m∈R\{0 }, rezultă x=m+42m . Nu suntem însă siguri că această soluţie a

ecuaţiei (*) verifică şi ecuaţia iniţială. Trebuie să ne asigurăm că nu se anulează numitorii din ecuaţia iniţială. Procedăm prin negarea condiţiei şi rezolvăm pe rând ecuaţiile:m+42 m

=12 2m+8=2 m 8=0m∈∅

m+42 m

=−12

2m+8=−2 m4 m=−8m=−2

Am determinat deci valoarea m=−2, pentru care soluţia ecuaţiei(*)nu verifică ecuaţia iniţială.

Mai rămâne de analizat cazul m=0. Ecuaţia (*) devine 0=4 şi este imposibilă. Sintetizând, rezultă tabelul:

m∈R\{−2,0 } x=m+42m soluţie unică

m∈ {−2,0 } x∈∅

Ex. 2. Să se rezolve şi să se discute inecuaţia x−m1−mx

≥1 , m∈R. (G.M.B., 1974)

Observaţie. Să reamintim înainte de toate semnul funcţiei de gradul întâi f : R → R , f ( x )=ax+b , a ,b∈R , a≠ 0.x −∞ −b

a∞

ax+b, a>0 −−−−−−−−−−−−0+++++++++++++++¿

ax+b, a<0 ++++++++++++0−−−−−−−−−−−−−−−¿

Soluţie. Existenţa numitorului impune 1−mx≠ 0. Pentru m≠ 0, aceasta revine la x∈

R\{ 1m }; pentru m=0, condiţia este 1≠0 şi se verifică pentru orice x real. Se trece 1 în

membrul stâng, aducând la acelaşi numitor:x−m

1−mx−1 ≥ 0 x−m−1+mx

1−mx≥ 0 (m+1 ) ( x−1 )

1−mx≥ 0 (*)

Distingem trei cazuri:a) Dacă m>−1m+1>0, inecuaţia revine la x−1

1−mx≥ 0

b) Dacă m←1 m+1<0, avem x−11−mx

≤0

c) Pentru m=−¿1, rezultă 0≥0, adevărat oricare ar fi x∈R\{−1 }Cazul m=0 îl vom considera separat. Să tratăm pe rând cazurile a) şi b) (mai puţin situaţia în care m=0). Se observă că numărătorul se anulează în x=1, iar numitorul în x= 1

m . Se impune deci ordonarea acestor puncte pe dreapta reală. Am putea

rezolva inecuaţia 1¿ 1m(cu ajutorul unui tabel), dar intuitiv este mai simplu să

observăm că:i) Dacă m<0 1

m<0<1;

ii) Dacă m∈ (0,1 ) 1m

>1;

iii) Dacă m>1 1m

<1;

iv) Dacă m=1 1m

=1.Ţinând cont de aceste observaţii, rezultă următoarele cazuri:a1) m∈ (−1,0 ). Avem de rezolvat inecuaţia x−1

1−mx≥ 0, iar 1

m<0<1. Se alcătuieşte

tabelul:

x −∞ 1m 1

∞

x-1 −−−−−−−−−−−−−−0++++++++++++¿

1-mx −−−−−−−−−0+++++++++++++++++¿x−1

1−mx+++++++¿

Rezultă soluţia x=(−∞ , 1m )∪ [1 , ∞¿.

a2) m∈ (0,1 ). Avem de rezolvat aceeaşi inecuaţie x−11−mx

≥ 0, dar 1m

>1. Se alcătuieşte

un tabel similar celui de mai sus, rezultând soluţia x∈[1 , 1m )(atenţie la semnul

numitorului).a3) m=1. Inecuaţia revine la x−1

1−x≥ 0−1≥ 0 x∈∅.

a4)m∈(1 ,∞). În acest caz, 0< 1m

<1. Alcătuind un tabel ca mai sus, rezultă x∈( 1m

, 1 ].

În cazul b), avem de rezolvat inecuaţia la x−11−mx

≤0, iar 1m

<0<1. Se alcătuieşte

un tabel, obţinând soluţia x∈( 1m

, 1 ].

În fine, a rămas de stabilit ce se întamplă când m=0. Inecuaţia iniţială devine x≥ 1 x∈ [1 , ∞ ).

Pentru a trece în revistă toate cazurile(şi sunt ceva la număr!), alcătuim tabelul:m Soluţia inecuaţieim∈ (−∞ ,−1 ) x∈( 1

m, 1 ]

m=−1 x∈R\{−1 }m∈ (−1,0 ) x=(−∞ , 1

m )∪ [1 , ∞¿

m=0 x∈ [1, ∞ )m∈ (0,1 )

x∈[1 , 1m )

m=1 x∈∅m∈ (1 , ∞ ) x∈( 1

m, 1 ]

Nu considerăm că un astfel de exerciţiu trebuie să facă parte din setul de subiecte de bacalaureat. Rezolvarea lui pune foarte bine în evidenţă abilitatea de a distinge între mai multe posibilităţi; de aceea, îl considerăm util în pregătirea candidaţilor.

Ex. 3. Să se rezolve:

a) ecuaţia ‖x−2|x‖+|2−x‖=1

b) sistemul { |x|+5= y|x−5|+|y−5|=9

Soluţie. a) Notăm cu u(x) cantitatea din interiorul modulului mare. Ecuaţia se scrie |u ( x )=1| u ( x )=± 1. Se observă însă că u ( x ) este suma a două module, deci u ( x )≥ 0 u ( x )=1. Ecuaţia devine deci:|x−2|x‖+|2−x|=1.

Se explicitează modulul interior şi rezultă:|x−2|x‖={ |x−2|=|−x|=|x|=x ,dacă x≥ 0

|x+2|=|3 x|=3|x|=−3 x , dacă x<0. Explicitând şi

|2−x|=|x−2|={x−2 , dacăx ≥ 22−x , dacă x<2 , rezultă cazurile:

i) x<0 −3 x+2−x=1−4 x=−1 x=14∉(−∞ , 0)

ii) x∈ [0 , 2 ) x+2−x=1 2=1 x∈∅

iii) x≥ 2 x+x−2=1 2x=3 x=32∉ [2, ∞ )

Rezultă că ecuaţia dată nu are soluţiib) Din prima ecuaţie, observăm că y ≥5 |y−5|= y−5=|x|+5−5=|x|. Cea de-a doua ecuaţie devine:|x−5|+|x|=9. Se explicitează modulele, rezultând cazurile:i) x<0 5−x−x=9−2 x=4 x=−2ii) x∈ [0 , 5 )5−x+x=9 5=9 x∈∅iii) x≥ 5 x−5+x=92 x=14 x=7Pentru x=−2 y=5+|x|=7 ; pentru x=7 y=12. Soluţiile sistemului sunt deci elementele mulţimii:∑ ¿ {(−2,7 ) ; (7,12 ) }.

Exerciţii propuse. Să se rezolve şi să se discute(acolo unde e cazul) ecuaţiile şi inecuaţiile următoare:1) m (mx+2 )−a2 x=2a ,m , a∈R

2) 1x= m

n−x, m, n∈R

3) 3,5 x−7

x7−x6−64=0

4) ax+b>3−2 x ,a , b∈R

5) 3 x−25−3 x

>1

6) 3 ax+3 x−a+1ax−4 x+a

≤ 0 , a∈R

7) |3−x|−|x−2|x+1‖=x+|1−x|

8) |x−12 |≥|4|x|−10

5 |9)

2 x−6(|8−x|−5 x ) (10−3 x )

≥ 0

10) {|x− y|=2|x|+|y|=4

11) Să se determine parametrul real m astfel încât ecuaţia:m−2x+1

+ m−5x−4

−m−3x+2

=0 să fie echivalentă cu o ecuaţie de gradul I. Să se reyolve în

acest caz ecuaţia.

Alte exerciţii se pot găsi în diverse culegeri.

Numerele reale. Inegalităţi

I. Dacă x,y>0 să se arate că:a) x3+ y3≥ x2 y+xy2

b) xy2 +

yx2 ≥ 1

x+ 1

y

c) x+ y1+ x+ y

< x1+x

+ y1+ y

d) ( x+ y )( 1x+ 1

y )≥ 4

Soluţie:

a) x3+ y3≥ x2 y+xy2 ( x+ y ) ( x−xy+ y2 )≥ xy ( x+ y )

(x= y ) (x− y )2≥ 0 , evident.

b) xy2 +

yx2 ≥ 1

x+ 1

yx3+ y3

x2 y2 ≥ x+ yxy

x3+ y3 ≥ xy ( x+ y ), evident, conform a)

c) x+ y1+ x+ y

= x1+x+ y

+ y1+ x+ y şi deoarece { x

1+x+ y< x

1+xy

1+x+ y< y

1+ y

x+ y1+ x+ y

< 1x+ 1

y .

d) (x+ y )( 1x+ 1

y )≥ 4 1+ yx+ x

y+1≥ 4 x

y+ y

x≥ 2x2+ y2 ≥2 xy (x− y )2≥ 0, evident.

II. Dacă x,y,z≥0 să se arate că:

a) (x+ y )( y+ z)(z+x)≥ 8xyz

b) x+ y+z≥√ xy+√ yz+√zxc) (x+1)( y+1)(z+x)( y+z )≥ 16 xyz

Soluţie:

a) x+ y≥ 2√xyy+z≥ 2√ yz (x+ y )( y+ z)(z+x)≥ 8√x2 y2 z2(x+ y)( y+z )(z+x )≥ 8 xyz (x,y,z≥ 0)

z+x≥ 2√zx

b) x+ y≥ 2√xyy+z≥ 2√ yz 2(x+ y+z)≥ 2(√xy+√ yz+√ zx)(x+ y+z )≥√ xy+√ yz+√zxz+x≥ 2√z x

c) x+1≥ 2√x y+1≥2√ y x+z≥ 2√xz (x+1)( y+1)(z+x)(z+ y )≥ 16 xyz. y+z≥ 2√ yz

III. Fie x,y>0 astfel încât xy=1. Să se arate că (1+x)(1+y)≥ 4

Soluţie:(1+x ) (1+ y ) ≥ 4 1+x+ y+xy≥ 4 x+ y ≥ 2x+ 1

x≥2

x2+1≥ 2 (x−1 )2≥ 0

IV. Fie x,y≥ 0 astfel încât x+y=1. Să se arate că:a) x2+ y2≥ 1

2

b) x4+ y4 ≥ 18

Soluţie:a) x2+ y2≥ 1

2 x2+ y2+2 xy ( x+ y )2≥ 12+2 xy1≥ 1

2+2xy

xy ≤ 14

xy ≤( x+ y2 )

2

( x− y )2 ≥0, evident.

b) x4+ y4 ≥ 18

x4+ y4+2x2 y2 ≥ 18+2 x2 y2 ( x2+ y2 )2 ≥ 1

8+2x2 y2.

Dar x2+ y2≥ 12

şi este suficient să arătăm că:14

≥ 18+2 x2 y2 1

16≥ x2 y2 xy≤ 1

4 , inegalitate demonstrată la a)

Fişă de lucruOrdinea efectuării operaţiilor

1. Să se efectueze:a) 3,14∙10+2,5= e) 4,23∙10+10,04=b) 5,52-10,5:10= f) 10:4+6,3:2=c) 1,3∙2+0,55= g) (0,5)2+(0,3)2∙2=d) 9,1:3,25+2,3= h) 78:1,2-(1,2)2=

2. Rezolvaţi:a) 2,45∙1,2-0,7963=b) 20,7+10,5∙20,7=c) 2,14+2,14:2=d) 1+7,5:0,8=e) 10∙[0,57+(20,03-7,5):0,1]=f) 1,2∙(7,1+5,9)=g) (3,27+0,73)∙0,31=h) 1,35:1,5+5,4:1,35+0,4∙0,2∙(4,4-1,37)=

TEST DE VERIFICARE a CUNOŞTINŢELOR

Clasa a VI-a (Numere întregi)

1. Fie mulţimile A={x∈Z/-3≤x≤7}, B={x∈Z/-2¿x¿5}. Calculaţi A ∩ B , A−B , B−A.

2. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:a) -7+(-5)<7+5b) (5+2-8)+(-3+4)=-1+1c) 2∙(-5)=10d) (-100): (-10)=10e) 15-(-15)=20+(-1)2006+(-1)2007

3. Rezolvaţi în Z ecuaţia: 3x-1=5

4. Fie numerele: a=-3+(-7); b=(-2)∙(-7):(-14); c=|+9|−|−13|. Calculaţi: a,b,c şi a∙b:c.

5. Determinaţi numerele întregi x pentru care 152 x−1

∈Z.

6. Calculaţi:-4∙{-5-[(-1)∙(-2)-(-6)+(-8)]∙[(-3)∙(-7)+(-45)∙(+3)]}

Barem de notare.

1. 1p; 2. 1,25p; 3. 0,75p; 4.1p; 5.1p; 6.1p; Oficiu 4p

NUMERE ÎNTREGI – evaluare Clasa a VI-a

1. Dintre numerele întregi: -34; +76; 91; -24; -59; 0; -239; 1007, sunt positive: ……………………………………………………………… sunt negative: ………………………………………………………………

2. Completaţi tabelul următor:x Opusul lui x |x| |−x|

-73

1732

-20-21

-56-100

20219

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Numele şi prenumele elevului …………………………………….

Test de evaluare“Nr. Reale – Calcule cu radicali”

Clasa a VII-aTestul 1

1. Folosind algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate, calculate:a) √285156; b) √42,3801;2. În coloana A sunt date mai multe cerinţe numerotate a,b,…, iar în coloana B sunt

date răspunsuri numerotate 1,2,…. .Asociaţi fiecărei litere din coloana A cu cifra din coloana B corespunzătoare răspunsului corect(vezi exemplul dat).Scrie pe foaia de răspuns toate asocierile care exprimă enunţuri matematice adevărate.

A B Răspunsuri:a) Aproximarea prin lipsă până la zecimi a nr. 2.3451 este

1. √5 (a, ……)

b) |−√5|=¿ 2. 0,388 (b, 1)c) Aproximarea prin adaos până la sutimi a nr. π este

3. 1,73 (c, ……)

d) √3 4. 2,3 (d, ……)e) Rotunjirea la miimi a nr. 0,3876 este

5. 0,67 (e, ……)

f) [-4,78]= 6. 3,15 (f, ……)g) {125,67}= 7. -5 (g, ……)

3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:a) √2∈Q; b) -√36∈Q; c) √3∈R−Q; d) √9+16=√9+√16; e−√25∉R; f) √1,21=1,1

4. a) introdiceţi factorii sub radicali: 4 √5; −2√3; (-3)2√7; −25 √ 75

4.

b) scoateţi factorii de sub radicali: √22 ∙ 5 ∙72; √484; √1960

c) raţionalizaţi numitorii: −3√6 ; 2√5

3√2;

6√72 .

5. Calculaţi: a) 2√3 ∙√3; b) 6√14 : (−3√7 )+3√2; c) √172−152−√182.6. Calculaţi media geometrică a numerelor 7+4√3 şi 7-4√3.Punctaj: 3p din oficiu

1. 1p; 2. 1,2p; 3. 1p; 4. a)0,8p; b)0,75p; c)0,75p; 5. 1p; 6. 0,5p

Test de evaluare“Nr. Reale – Calcule cu radicali”

Clasa a VII-aTestul 2

1. Folosind algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate, calculate:a) √378456; b) √68,0625;2. În coloana A sunt date mai multe cerinţe numerotate a,b,…, iar în coloana B sunt

date răspunsuri numerotate 1,2,…. .Asociaţi fiecărei litere din coloana A cu cifra din coloana B corespunzătoare răspunsului corect(vezi exemplul dat).Scrie pe foaia de răspuns toate asocierile care exprimă enunţuri matematice adevărate.

A B Răspunsuri:a) Aproximarea prin lipsă până la zecimi a nr. 3,45121 este

1. √3 (a, ……)

b) |−√3|=¿ 2. 0,288 (b, 1)c) Aproximarea prin adaos până la sutimi a nr. π este

3. 2,23 (c, ……)

d) √3 4. 3,4 (d, ……)e) Rotunjirea la miimi a nr. 0,2876 este

5. 0,76 (e, ……)

f) [-5,87]= 6. 3,15 (f, ……)g) {251,76}= 7. -6 (g, ……)

3. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiilor:a) √3∈Q; b) -√49∈Q; c) √2∈ R−Q; d) √25−16=√25−√16; e−√36∉R; f) √1,69=1,3

4. a) introdiceţi factorii sub radicali: −4√5; 2√3; (-3)2√7; −32 √ 8

18.

b) scoateţi factorii de sub radicali: √32 ∙ 7 ∙ 52; √484; √1690

c) raţionalizaţi numitorii: −2√10

; 2√53√2

;7

√98.

5. Calculaţi: a) 2√5 ∙√5; b) 6√14 : (−3√7 )+3√2; c) √172−82+√172−√152.6. Calculaţi media geometrică a numerelor 5+2√6 şi 5-2√6.Punctaj: 3p din oficiu

1. 1p; 2. 1,2p; 3. 1p; 4. a)0,8p; b)0,75p; c)0,75p; 5. 1p; 6. 0,5p

Nume şi prenume elev ……………………………..Clasa …………………………..

TESTClasa a VIII-a

(Ridicarea la putere cu exponent număr întreg)

1. Efectuaţi:

a) ( 23 )

2

−15

b) (0.75)2: 916

2. Calculaţi:

a) 2 , (6 ) ∙√ 36006400

+4 69

:√ 19681

−3,4 :√0,0289

b) -32+(-3)4:(-3)2

Punctaj: - 2p oficiu- 2p fiecare exerciţiu

Timp de lucru: 15 min

Test de evaluare cls. a VIII-a, semestrul I

1. a) Scrieţi sub formă de interval mulţimile:A={ x∈R /−2≤ x≤ 5 }B= {x∈R/−1<x<3 }b) Efectuaţi: A∪B , A ∩ B , A−B ,B−A

2. Efectuaţi:a) −2√3−(2√3−4 )=¿b) √12−2√6+√24−√72+6 √2=

c)1

√48− 3

√27=¿

d) ( 2√35 )

2

=¿

e) (√3−√2 ) (√3+√2 )=¿3. Fie A=3 x+2 y şi B=x− y+2 calculaţi:

a) A+Bb) A−Bc) A ∙ B

TEST SUMATIV NUMERE REALE – CLASA a VIII-a

NOTA 5.

Calculaţi: a) 23+ 5

6∙0 , (6 )=¿

b) 49−3

8∙0 , ( 48 )=¿

c) 551

∙{56

∙ 1825

−76

:[0 , (6 )−0 , (4 ) ∙ 2732 ]}=¿

NOTA 7.

Calculaţi: a) √3 (√3−2 )−4 (√3−1 )=¿b) √18 (2√882+3√128−4√772−5√648 )=¿c) 2√10 (2√2−3√5 )−2√5 (3√2−√10 )+4 √2 (3√10−√5 )=¿

NOTA 9.

Calculaţi: a) {[0,1(5)]2∙(−57 )

3

+21−1}∙ (−3 )3=¿

b) [ (√5 )−4+(√5

√3 )−2] ∙ (−5 )3

27 =¿

c) (2√6+ √23+√8

−√3+√23−√8

+ 4√8 ): 1

2√2+3√3=¿

NOTA 10.

Calculaţi: a) (√2−1√2

+ √3−√2√6

+ √4−√3√12

+…+ √10−√9√90 ): √10−1

√10=¿

b) (-1)K+1+(-1)K+2+(-1)K+3+(-1)K+4= , K∈Z.

c) a=[2 ∙3n+(−3)n ] : (√3 )n; n∈N .

Test sumativ – clasa a VIII-a

Calcule cu numere reale reprezentate prin litere

NOTA 5. 1. Reduceţi termenii asemenea:2x+5y-x+6y-9+6x-3y

2. a) Amplificaţi cu 5x2 raportul: 2 x3 x−1.

b) Simplificaţi raportul: 16 x−x3

4 x+x2 .

NOTA 7. 1. Efectuaţi: 3√27 xy−2√108 xy+5√3xy−7√12 xy. 2. Desfaceţi parantezele şi reduceţi termenii asemenea:

5-a-(3-4a)+(-7a+2). 3. Calculaţi aria unui pătrat cu lungimea laturii egală cu (√5−√3) cm. 4. Calculaţi aria unui dreptunghi cu dimensiunile de (3√2−1) şi respectiv (√2+1

)(u.l.). 5. Completaţi spaţiile punctate cu numerele care lipsesc:

(x+……)2=x2+…..+49(2x-…..)2=……-…..+36.

6. Efectuaţi (5x-2)2-3(x-1)(2x+3)+(x-1)2= 7. Descompuneţi în factori primi:

a) 9a2(a+1)2+6a(a+1)2+(a+1)2=b) (a-2)2-4=c) 49x2+28x+4=d) 2a2+14√2a+49=e) x4-81=

NOTA 9. 1. Arătaţi că propoziţia: a2+12a+36,5>0 este adevărată ∀a∈R. 2. Determinaţi valorile reale a şi b pentru care expresiile iau valoare minimă:

a) a2+30a+226;b) 9a2-12a+4b2+4b+5;

NOTA 10. 1. Fie expresia: E(x)=( 12 x−1

+ 31−4 x2−

22 x+1 ) :( 4 x2+1

4 x2−1+1)(x+ 1

2 )=¿

a) Aduceţi expresia la forma cea mai simplă;b) Determinaţi valorile lui x pentru care expresia are sens;

c) Calculaţi E(√2); 2. Determinaţi a şi b astfel încât √a2−8 a+17+√4 b2−4 b+26=6.

3. Ştiind că x+ 1x=7 să se calculeze x

2+ 1x2

Numere reale

A. Comparaţi:

a) −723 şi −25

89 ;

b) 9−5√5 şi−√5;

c) 3√5+6

şi 6−√510 ;

d) √224+15 şi√900;e) 2540 şi 12527;f) 3,14 şi π;g) -7,87(89) şi -7,8(789);

h) 374

şi 5123 ;

i) -270 şi -530.

B. Demonstraţi:

1) aba+b

+ bcb+c

+ aca+c

≤ a+b+c2

, pentru a>0 , b>0 , c>0;

2) a (b2+c2 )+b (a2+c2 )+c (b2+a2 ) ≥6 abc , pentru a>0 ,b>0 , c>0;3) –x2+6x-8≤1, x∈R;4) x2+y2-8x+10y+41≥0, x,y∈R;

5) x+ 4x

≥ 4 , x∈R;

6) (a+b+c )( 1a+ 1

b+ 1

c )≥ 9 , a ,b , c∈R;

7) √5005 ∙√4995 ≤ 500;

8) ( x+ y+z )2≤ 3 ( x2+ y2+z2 ) , x , y , z∈ R.

Test de evaluare (40 min) R1

Partea I

1.Transformaţi în fracţie ordinară: a) 2,5 (3p) b) 0,(3) (3 p) c) 0,1(6) (3 p)

2.a) [2,3]=………… (3 p)b) [-2,3]=……….. (3 p)c) {2,3}=………… (3 p)

3.Fie numărul a=2,645. a) aproximarea cu o eroare mai mică de 110 prin lipsă a

numărului a este ………… . (3 p)

b) aproximarea cu o eroare mai mică de 1100 prin adaos a numărului a este ……...; (3

p)c) rotunjirea la a doua zecimală a numărului a este ………. (3 p).

4.Dacă a=−√2, atunci: a) opusul numărului a este………. (3 p)b) valoarea absolută a numărului a este ……… (3 p)c) Reprezentarea pe axă(folosind aproximările zecimale) a numărului a este ……(3 p)

5.Scrieţi sub formă de interval mulţimile:a) A={ x∈ R/−3 ≤ x ≤3 } (3p)b) B={ x∈ R/−3<x<3 } (3 p)c) C={ x∈ R/ x>3 } (3 p)

Partea a II-a

6.Fie A={1;√2 ;−2 , (6 ) ;−34

;√9; π ;2,5 ;1,0 (6 );−62 }. Calculaţi: a) A∩N; b) A∩Z; c)A∩Q;

d) A∩(R-Q); e) A∩R. (20 p)

7.Fie A={x∈R/|x−2|<3}; B={x∈Z¿/−3< 5 x+84

≤ 7}; 8.C={x∈ N /2 x+5

x−2∈N , x≠ 2}.

a) Determinaţi mulţimile A şi B.b) Reprezentaţi pe axa numerelor mulţimile determinate la punctul a.c) Efectuaţi A∪B ; A ∩ B ; A−B. (15 p)

9.Arătaţi că numărul a) √1+3+5+7+…+23∈Q ; b) √5 n+7∈R−Q. (10 p)

Notă: Se acordă 10 p din oficiu.

Test de evaluare (40 min) R2

Partea I

1. Transformaţi în fracţie ordinară: a) 2,32 (3p) b) 1,(3) (3 p) c) 2,0(6) (3 p)

2.a) [3,8]=………… (3 p)b) [-3,8]=……….. (3 p)c) {3,8}=………… (3 p)

3.Fie numărul a=3,4731. a) aproximarea cu o eroare mai mică de 110 prin lipsă a

numărului a este ………… . (3 p)

b) aproximarea cu o eroare mai mică de 1100 prin adaos a numărului a este ……...; (3

p)c) rotunjirea la a doua zecimală a numărului a este ………. (3 p).

4.Dacă a=−√3, atunci: a) opusul numărului a este………. (3 p)b) valoarea absolută a numărului a este ……… (3 p)c) Reprezentarea pe axă(folosind aproximările zecimale) a numărului a este ……(3 p)

5.Scrieţi sub formă de interval mulţimile:d) A={ x∈ R/−2 ≤ x ≤2 } (3p)e) B={ x∈ R/−2<x<2 } (3 p)

f) C={x∈ Rx

>−3} (3 p)

Partea a II-a

6.Fie A={10 ;√2 ;−2,0 (6 ) ;−34

;√16 ;π ;2,15 ;1,0 (6 ) ;−82 }. Calculaţi: a) A∩N; b) A∩Z; c)A

∩Q; d) A∩(R-Q); e) A∩R. (20 p)

7.Fie A={x∈R/|2 x−7|≤ 3 }; B={x∈Z¿/−1< 3 x+78

≤ 2}; C={x∈ N / x+2

x−1∈N , x≠ 1}.

d) Determinaţi mulţimile A şi B.e) Reprezentaţi pe axa numerelor mulţimile determinate la punctul a.f) Efectuaţi A∪B ; A ∩ B ; A−B. (15 p)

8.Arătaţi că numărul a) √1+3+5+7+…+37∈Q ; b) √5 n+2∈ R−Q. (10 p)

Notă: Se acordă 10 p din oficiu.