capitolul 8

234

CAPITOLUL VIII

INTEGRALA DE SUPRAFAŢĂ

8.1.Generalităţi

Definiţia1.

Se numeşte suprafaţă simplă mulţimea punctelor ( ) 3,, R∈zyxM cu

proprietatea că

( )yxfz ,= (1)

unde RR →⊂ 2: Df este o funcţie continuă pe D cât şi pe conturul lui D.

Suprafaţa dată prin ( )yxfz ,= poartă numele de ecuaţie explicită a

suprafeţei S.

Definiţia 2.

Suprafaţa S dată de relaţia ( )yxfz ,= cu ( ) Dyx ∈, este o suprafaţă netedă

dacă ( )DCf 1∈ .

Definiţia 3.

Suprafaţa S este definită parametric dacă mulţimea punctelor

( ) SzyxM ∈,, are coordonatele date de relaţiile :

( )( )( )

===

vuzzvuyyvuxx

,,,

cu ( ) Dvu ∈, . (2)

Definiţia 4.

Suprafaţa dată de (2) este simplă dacă funcţiile x, y şi z realizează o

bijecţie între D şi S şi este bicontinuă.

Definiţia 5.

Dacă funcţiile x, y şi z ( )DC 1∈ şi dacă

( )( )

( )( )vuD

xzDBvuDzyDA

,,,

,,

== şi ( )( )vuD

yxDC,,

=

235

au proprietatea că ( )( ) DvuCBA ∈∀≠++ ,0222 , atunci S poartă numele de

suprafaţă netedă.

Definiţia 6.

O suprafaţă netedă S este orientabilă dacă luând un sens determinant pe

normala într-un punct oarecare M al suprafeţei şi deplasând-o de-a lungul

unei curbe închise oarecare, normala revine în M cu acelasi sens.

O suprafaţă care nu are această proprietate este neorientabilă. O astfel de

suprafaţă este banda lui Möbius.

Definiţia 7.

Numim faţă superioară a unei suprafeţe S orientabilă, faţa care

corespunde normalei alese astfel ca această normală să formeze un unghi

γ ascuţit cu axa Oz. Faţa inferioară corespunde unghiului γ obtuz. Faţa

superioară va fi notată cu S+ , iar cea inferioară cu S-.

Observaţie.

Pentru faţa superioară, conturul C al suprafeţei S se parcurge în sensul

care, prin proiecţii pe planul xoy este sensul direct pe C.

8. 2. Integrala de suprafaţă în raport cu planele de coordonate

Vom considera o suprafaţă S simplă, orientabilă dată sub formă explicită

( )yxfz ,= (1)

cu ( ) Dyx ∈, şi f continuă pe D şi pe conturul C care mărgineşte pe D.

Vom considera o diviziune xy∆ a domeniului D realizată cu două familii

de drepte paralele cu ox şi cu oy care determină subdomeniile id cu

ni ,...,2,1= şi n

iidD

1=

= , iar ( ) ∑=

=⇒=n

iiDii aAdariaa

1

.

Această diviziune xy∆ determină pe S o diviziune ∆ a.î. n

iiSS

1=

= . (2)

Să considerăm o funcţie ( )zyxR ,, definită pe un domeniu tridimensional

care să conţină suprafaţa strâmbă S.

236

Fie ii dN ∈ şi ii SL ∈ punctul care se proiectează în Ni , adică ( ) iiii dyxN ∈,

iar ( )iiii zyxL ,, iS∈ şi are ( )iii yxfz ,= .

Definiţia 1.

Se numeşte sumă integrală Riemann în raport cu planul xoy a funcţiei

)z,y,x(R pe faţa superioară a suprafeţei S suma

( ) ( ) i

n

iixy aLRRSs ⋅=∆ ∑

=1,, . (3)

Suma integrală în raport cu planul xoy a funcţiei R pe faţa inferioară este

suma (3) luată cu minus.

Definiţia 2.

Numim norma diviziunii ∆ a suprafeţei S pe care o notăm cu

( ) ( ) ( ) ( ) n21 Sd...Sd,Sdmax=∆γ

unde ( ) ( ) iiiiii SNsiMNMdSd ∈= ,max iar ( )ii NMd , este distanţa dintre

iM şi iN .

Definiţia 3.

Se numeşte integrala de suprafaţă a funcţiei )z,y,x(R în raport cu axa xoy

pe faţa superioară a suprafeţei S, limita sumei ( )xy,R,Ss ∆ când ( ) 0→∆γ ,

dacă această limită există şi pentru orice alegere a punctelor iL şi se

notează cu:

( )( )( )

( )xyS dN

0,R,Sslimdxdyz,y,xR

ii

∆=∫∫+

∈∀→∆γ

. (4)

Integrala de suprafaţă a funcţiei R în raport cu xoy pe faţa inferioară va fi

( )( )( )

( )xyS dN

0,R,Sslimdxdyz,y,xR

ii

∆−=∫∫−

∈∀→∆γ

. (5)

Observaţie.

Integrala de suprafaţă a funcţiei R în raport cu planul xoy pe faţa

superioară se mai poate introduce şi cu ajutorul sumelor Darboux. Astfel:

237

( ) ∑=

⋅=∆n

1iiixyinf am,R,Ss şi ( ) ∑

=⋅=∆

n

1iiixysup am,R,Ss (6)

unde

( )iSLi LRinfm

ii∈= , iar ( )i

SLi LRsupm

ii∈= ,

atunci pentru orice alegere a punctelor ii SL ∈ avem că:

( ) iii mLRm ≤≤ pentru ( ) ⇒=∀ n,...,2,1i

( )∑ ∑ ∑= = =

⇒⋅≤⋅≤n

1i

n

1i

n

1iiiiiii amaLRam

( ) ( ) ( )xysupxyxyinf ,R,Ss,R,Ss,R,Ss ∆≤∆≤∆ . (7)

Definind

( )( )xinf

0S ,R,SslimI ∆=→∆γ

+ şi ( )

( )xsup0

S ,R,SsinfI ∆=→∆γ

+

rezultă că dacă R este integrabilă pe S, atunci din (7) rezultă că

( )dxdyz,y,xRIIS

SS ∫∫+

++ == .

Proprietăţi.

P1) ( ) ( )dxdyzyxRdxdyzyxRSS∫∫∫∫−+

−= ,,,, . (8)

P2) Dacă 21 SSS ∪= şi ⇒φ=∩ 21 SS

( ) ( ) ( )dxdyz,y,xRdxdyz,y,xRdxdyz,y,xR

21 SSS∫∫∫∫∫∫+++

+= (9)

(aditivitatea în raport cu suprafaţa).

P3) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ ∫∫ +=+S S

121 dxdyz,y,xRdxdyz,y,xRz,y,xR

( )∫∫+S

2 dxdyz,y,xR (10)

(Aditivitate în raport cu funcţiile).

P4) ( ) ( )dxdyz,y,xRKdxdyz,y,xRK

1SS∫∫∫∫+

⋅=⋅ (11)

238

(proprietatea de omogeneitate).

P5) Dacă S este o porţiune dintr-o suprafaţă cilindrică, cu generatoarea

perpendiculară pe xoy rezultă

( )∫∫+

=S

0dxdyz,y,xR .

Demonstraţiile se vor face destul de uşor pornind de la sumele Riemann

corespunzătoare.

Propoziţia 1.

Dacă S este o suprafaţă simplă, şi dacă R este continuă pe S, atunci există

limita sumelor Riemann (3) şi integrala (4) se calculează cu ajutorul

integralei duble:

∫∫ ∫∫+

=S D

dxdy))y,x(f,y,x(Rdxdy)z,y,x(R . (12)

Demonstraţie.

Punctul ( ) iiiii Sz,y,xL ∈ are pe )y,x(fz iii =

atunci: ( )( )∑=

=⋅=∆n

1iiiiiixy ay,xf,y,xR),R,S(s ( )( )( )∆,,,,, yxfyxRDs .

Cum f este continuă şi R continuă pe S, rezultă că h(x,y)=R(x,y,f(x,y)) cu

RDh →: este continuă, deci rezultă integrabilă, atunci

( )( )

( )( )( ) =∆∃⇒→∆γ

,y,xf,y,xR,Dslim0

( )( )∫∫D

dxdyyxfyxR ,,, .

În acelaşi mod se introduce şi noţiunea de integrală de suprafaţă în raport

cu planul yoz, pe faţa superioară a suprafeţei S. Adică vom considera

suprafaţa S care se poate explicita în raport cu x, adică: )z,y(gx = cu

'D)z,y( ∈ . Vom considera o diviziune a domeniului D’ notată cu yz∆ şi

diviziunea indusă pe S astfel încât: n

1i

'iSS

== şi

n

1i

'id'D

== , iar aria

domeniului D’ este : ∑=

=n

1i

'i'D aA unde )d(ariaa '

i'i = .

239

Fie P o funcţie mărginită într-un domeniu din 3R care include pe S şi ''ii dN ∈ , ''

ii SL ∈ unde ( )'''' ,, iiii zyxL cu ( )''' , iii zygx = iar ( ) iiii dzyN ∈''' , .

Putem să definim în acelaşi mod sumele integrale Riemann în raport cu

yoz a funcţiei P pe faţa superioară a suprafeţei S suma

( ) ( )∑=

⋅=∆n

iiiyz aLPPSs

1

'',, . (13)

Definiţia 4.

Se numeşte integrala de suprafaţă a funcţiei P în raport cu yoz pe faţa

superioară a suprafeţei S, dacă există limita sumelor Riemann dată de

(13) adică

( )( )

( )

( )∫∫+

∆=∈∀→∆

Syz

SL

PSsdydzzyxPii

,,lim,,''

0γ. (14)

În acelaşi mod se defineşte integrala de suprafaţă a funcţiei Q în raport cu

planul zox pe faţa superioară a suprafeţei S, adică

( )( )

( )

( )zx

SLS

QSsdzdxzyxQii

∆=∈∀→∆∫∫

+

,,lim,,""

0γ. (15)

În mod analog vom avea două propoziţii care ne dau modul de calcul al

integralelor (14) şi (15).

Propoziţia 2.

Dacă S este o suprafaţă simplă şi dacă P este continuă pe S, atunci există

limita sumelor Riemann (13) şi integrala (14) se calculează cu ajutorul

integralei duble:

( ) ( )∫∫ ∫∫+

=S D

dydzzyzygPdydzzyxP"

),,,(,, (16)

unde S poate fi explicitată x=g(y,z) cu (y,z)∈D’.

Demonstraţia se face în mod analog ca la Propoziţia 1.

Propoziţia 3.

Dacă S este o suprafaţă simplă şi dacă Q este continuă pe S, atunci există

limita sumelor date de (15) şi integrala (15) se poate calcula cu ajutorul

integralei duble:

240

( ) ( )( )∫∫ ∫∫+

=S D

dzdxzzxhxQdzdxzyxQ"

,,,,, (17)

unde S poate fi explicitată

( )zxhy ,= cu ( ) ", Dzx ∈ .

Definiţia 5.

Se numeşte integrală de suprafaţă pe faţa superioară a suprafeţei S în

raport cu planele de coordonate, pentru funcţiile P, Q şi R definite şi

continue pe S, integrala

( ) ( ) ( )def

S

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP =++∫∫+

,,,,,,

( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∫∫++ +

++=SS S

dxdyzyxRdzdyzyxQdydzzyxP ,,,,,, . (18)

Modul de calcul este cel dat de propoziţiile 1, 2, 3.

Rămâne să vedem modul de calcul al integralei (18) în cazul cînd S este

dată sub formă parametrică.

Propoziţia 4.

Dacă suprafaţă S este dată printr-o reprezentare parametrică

( )( )( )

( ) CDvuvuzzvuyyvuxx

∪∈

===

,,,,

(19)

şi dacă ( )( )

( )( )

( )( )vuD

yxDCvuDxzDB

vuDzyDA

,,,

,,,

,,

===

atunci integrala (18) pe faţa superioară se calculează cu ajutorul relaţiei

[∫∫ ∫∫+

+⋅=++S D

AvuzvuyvuxPdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP )),(),,(),,((),,(),,(),,(

]dudvCvuzvuyvuxRBvuzvuyvuxQ ⋅+⋅+ )),(),,(),,(()),(),,(),,(( . (20)

Demonstraţie. Vom calcula ∫∫+S

dxdyzyxR ),,( .

Având în vedere propoziţia 1 avem că

∫∫ ∫∫+

=S D

dxdyyxzyxRdxdyzyxR )),(,,(),,( (21)

241

unde D este proiecţia suprafeţei S pe planul xoy.

Din transformarea (19) rezultă că proiectând suprafaţa S pe planul xoy

obţinem D . Astfel: ( ) )),(),,(),,((, vuzvuyvuxMvuN → , iar

)),(),,((),( vuyvuxPvuNτ→

unde )),(),,((),( vuyvuxzyxzz == .

Fig. 1

Atunci putem obţine transformarea τ de la D la DDD →⇔ :τ

astfel ca:

Dvuvuyyvuxx

∈

==

),(),(),( .

Aplicând relaţiei (21) formula de schimbare de variabile obţinem că:

∫∫ ∫∫ =

=

D D

dudvvuDyxDvuzvuyvuxRdxdyyxzyxR),(),()),(),,(),,(()),(,,(

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫ ⇒⋅=D

dudvvuCvuzvuyvuxR ,,,,,,

( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫++

⋅=SS

CdudvvuzvuyvuxRdxdydzzyxR ,,,,,),,( . (22)

În mod analog vom obţine:

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫∫+

⋅⋅=S D

dudvAvuzvuyvuxPdydzzyxP ,,,,,,, (23)

N(u,v)

D

u

v

O

x (x,y)

M(x,y,z)

S

O y

z

τ

D

242

( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ∫∫+

⋅=S D

BdudvvuzvuyvuxQdzdxzyxQ ,,,,,,, . (24)

Adunând relaţiile (22), (23) şi (24) obţinem relaţia (modul de calcul) (20)

Observaţie.

În cazul cînd S netedă este dată sub formă explicită:

)y,x(fz = cu CD)y,x( ∪∈

şi )(),( 1 CDCyxf ∪∈ , unde curba C mărginită pe D, atunci putem

considera această suprafaţă ca un caz particular de suprafaţă dată sub

formă parametrică

CD)y,x()y,x(fz

yyxx

∪∈

===

.

Atunci

yzqB

xzpA

∂∂

=−=∂∂

=−= , iar 1C =

şi avem :

∫∫+

=++S

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(

][∫∫ ⋅+⋅−⋅−=D

dxdy))y,x(f,y,x(R))y,x(f,y,x(Qq))y,x(f,y,x(Pp . (20’)

8.3. Formula lui Stokes

Teoremă.

Dacă )(,, 1 DCRQP ∈ cu 3R⊂D şi dacă S este o suprafaţă netedă,

orientată şi situată în D şi mărginită de curba C închisă, simplă şi netedă

(pe porţiuni), atunci are loc relaţia:

∫ =++)(

),,(),,(),,(C

dzzyxRdyzyxQdxzyxP

∫∫

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=S

dxdyyP

xQdzdx

xR

zPdydz

zQ

yR . (1)

243

Demonstraţie.

Să considerăm pentru S reprezentarea parametrică

( )( )( )

( ) Dvuvuzzvuyyvuxx

∈

===

,,,,

unde

)(),(),,(),,( 2 DCvuzvuyvux ∈ cu D inclus în planul uOv

şi dacă 1C este curba care mărgineşte pe D şi este transformată în curba

(C) din D care mărgineşte suprafaţa S, care să fie simplă, închisă şi

netedă. Să presupunem că 1C are parametrizarea:

[ ]βα∈

==

,t)t(vv)t(uu .

Vom calcula ∫)C(

dx)z,y,x(P care este prima parte din (1), unde (C) este

parcursă în sens direct, atunci:

AdtxtvtuztvtuytvtuxPdxzyxPnot

C∫∫ =⋅⋅=β

α'))(),(()),(),((),(),(((),,(

)(

dar

dvvxdu

uxdx ⋅

∂∂

+⋅∂∂

=

pe care o înlocuim în

( )∫ =

⋅

∂∂

+⋅∂∂

⋅=1

),(),,(),,(C

dvvxdu

uxvuzvuyvuxPA

∫ =∂∂

+∂∂

=1

folosind

CGreen

dvvxPdu

uxP =

∂∂⋅

∂∂

−

∂∂⋅

∂∂

∫∫ dudvuxP

vvxP

uD

∫∫ =

∂∂

∂⋅−

∂∂⋅

∂∂

−∂∂

∂⋅+

∂∂⋅

∂∂

=D

dudvvuxP

ux

vP

uvxP

vx

uP 22

∫∫

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

D

dudvux

vP

vx

uP (3)

Dar

( ) ⇒= )),(),,(),,((,, vuzvuyvuxPzyxP

244

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

vz

zP

vy

yP

vx

xP

vP

uz

zP

uy

yP

ux

xP

uP

(4)

Relaţiile (4) le înlocuim în (3) şi rezultă:

−∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

+

∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

=∫ ∫∫ vx

uz

zP

vx

uy

yP

vx

ux

xPdxzyxP

C D1

),,(

=

∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂⋅

∂∂

− dudvux

vz

zP

ux

vy

yP

ux

vx

xP

( )( )

( )( )

∫∫

=

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

⋅∂∂

−

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

∂∂

=

==

1

,,

,,

D

CvuDyxDB

vuDxzD

dudvvx

uy

ux

vy

yP

nx

vz

vx

uz

zP

dxdyyPdzdx

zPdudvC

yPB

zP

SD∫∫∫∫ ∂

∂−⋅

∂∂

=

⋅

∂∂

−⋅∂∂

=1

.

Deci

∫ ∫∫+ ∂

∂−

∂∂

=C S

dxdyyPdzdx

zPPdx . (5)

Unde (C) este parcursă în sens direct, iar integrala de suprafaţă se face pe

faţa superioară a lui S. În mod anlog se obţine:

∫ ∫∫+

∂∂

−∂∂

=)(

),,(C S

dydzzQdxdy

xQdyzyxQ (6)

şi

∫ ∫∫+

∂∂

−∂∂

=C S

dzdxxRdydz

yRdzzyxR ),,( . (7)

Atunci adunând relaţiile (5), (6), (7) rezultă (1).

8.4. Integrala de suprafaţă în raport cu aria

Fie S o suprafaţă simplă şi netedă, dată de ecuaţia: ),( yxfz = cu Dyx ∈),(

cu f continuă şi care admite derivate parţiale continue de ordinul întâi pe

D şi pe conturul lui D care este curba C.

245

Vom considera o diviziune a domeniului plan D dată de o familie de

drepte paralele cu Oy: mkxx k ,...2,1== şi o familie de drepte paralele cu

Ox: pjyy j ,...,2,1== .Această diviziune este formată din subdomeniile

id cu ni ,...,2,1= şi n

iidD

1=

= , iar ∑=

=n

iiD aA

1

unde ( )ii dariaa = .

Această diviziune a lui D notată cu xy∆ , determină pe S o diviziune ∆

formată din iS unde n

iiSS

1=

= iar aria ( ) iiS σ= şi n

iiSA

1== σ .

Să considerăm o funcţie F definită pe un domeniu tridimensional Ω care

include pe S. În plus F să fie mărginită pe Ω . Să considerăm pe orice

suprafaţă iS este un punct iii SLL ∈⇔ .

Definiţia 1.

Numim sumă Riemann în raport cu aria a funcţiei F pe suprafaţa S suma:

( ) ( )∑=

⋅=∆n

iiiLFFSs

1,, σ . (1)

Definiţia 2.

Numim integrală în raport cu aria a funcţiei F pe suprafaţa S, limita

(dacă există) a sumei (1) când norma diviziunii ∆ tinde la zero pentru

orice alegere a punctelor ii SL ∈ şi se va nota cu:

( )

( )

( )∫∫ ∆=∈∀→∆

S SL

FSsdzyxFii

,,lim),,(0γ

σ . (2)

Observaţie.

Integrala de suprafaţă se poate introduce şi cu ajutorul sumelor Darboux,

adică ( ) ∑=

=∆n

iiimFSs

1inf ,, σ , unde ( )iSNi NFm

ii∈= inf (3)

şi ( ) ∑=∆ iimFSs σ,,sup , unde ( )iSN

i NFmii∈

= sup . (4)

Atunci

( ) ( ) ( )∆≤∆≤∆ ,,,,,, supinf FSsFSsFSs .

246

Notând integralele Darboux ( )( )

∆=

∆=

,,inf

,,sup

sup

inf

FSsI

FSsI

S

S , când 0)( →∆υ ,

atunci condiţia necesară şi suficientă ca să existe integrala de suprafaţă în

raport cu aria (2) este ca

∫∫==S

Ss dzyxFII σ),,( . (5)

Definiţia integralei de suprafaţă în raport cu aria ne arată că nu depinde de

faţa pe care se face integrarea.

Proprietăţi

P1)Dacă 21 SSS ∪= cu 21 SS ∩ = C (curbă simplă), atunci:

∫∫ ∫∫ ∫∫+=S S S

FdFdFd1 2

σσσ (aditivitatea în raport cu domeniul). (6)

P2) ( )∫∫ ∫∫ ∫∫+=+S S S

dFdFdFF σσσ 2121 (aditivitatea în raport cu funcţiile). (7)

P3) ∫∫ ∫∫=⋅S S

FdKFdK σσ (8)

(omogeneitatea integralei în raport cu înmulţirea cu scalari).

Demonstraţiile se vor face utilizând definiţia.

Modul de calcul al integralei de suprafaţă

Teorema 1.

Dacă S este o suprafaţă netedă şi dacă F este continuă pe S, atunci există

limita sumelor integrale (1), iar integrala (2) se calculează cu ajutorul

formulei

∫∫ ∫∫ ++⋅=S D

dxdyqpyxfyxFdzyxF 221)),(,,(),,( σ (9)

unde ),( yxfz = cu )(1 DCf ∈ , este ecuaţia suprafeţei S, iar xzp∂∂

= şi

yzq∂∂

= .

247

Demonstraţie.

Vom considera diviziunea ∆ a suprafeţei S cu n

iiSS

1=

= şi diviziunea care

o dă pe ∆ notată cu xy∆ astfel încât n

iidD

1=

= .

Vom considera relaţia care ne dă legătura între ( )ii Saria=σ şi ( )ii dariaa =

adică dxdyqpid

i ∫∫ ++= 221σ căreia îi aplicăm teorema de medie, adică

( )∃ un punct ii dN ∈' astfel încât

iiid

i aN

qpdxdyqp ⋅++=++= ∫∫ '2222 11σ . (10)

Vom nota cu 'i

i Nxzp∂∂

= şi 'i

i Nyzq∂∂

= , atunci înlocuind în (10) se

obţine:

( ) ( ) iiii aqp ⋅++=22

1σ . (11)

Vom considera punctele ( ) iiiii SzyxL ∈,, cu ni ,...,2,1= şi proiecţiile

acestor puncte notate cu ( ) iiii dyxN ∈, iar ),( iii yxfz = .

Atunci sumele integrale

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= =

=⋅++⋅=⋅=∆n

ii

n

iiiiii aqpLFLFFSs

1 1

221,, σ

( ) ( ) ( )∑=

⋅∂∂

+∂∂

+⋅=n

iiiii aN

yzN

xzLF

1

'2

'2

1 . (12)

Dacă notăm cu ( )ii Nxzp∂∂

= şi ( )ii Nyzq∂∂

= , atunci avem că ii pp ≠

deoarece 'iN nu coincide cu iN în toate cazurile, la fel şi ii qq ≠ .

În schimb dacă considerăm funcţia

22

1)),(,,(),(

∂∂

+

∂∂

+⋅=yz

xzyxfyxFyxg (13)

atunci

248

i

n

iiiiiiiyx aqpyxfyxFgDs ⋅++⋅=∆ ∑

=1

22, 1)),(,,(),,( . (14)

Dar F este continuă, S este o suprafaţă netedă ( ))(1 DCf ∈ , atunci:

xz

xf

∂∂

=∂∂

⇒ şi )(0 DCyz

yf

∈∂∂

=∂∂ .

Rezultă

)(1)),(,,( 022

DCyz

xzyxfyxF ∈

∂∂

+

∂∂

+⋅ . (15)

În aceste condiţii conform teoremei de la integralele duble rezultă că

există limita şirului sumelor integrale (13) după orice şir de diviziuni cu

norma tinzând la zero, adică ( ) ( ) 00 >∃>∀ εηε astfel încât ( ) ', ii NN∀ cu

proprietatea că ( ) εη<', ii NNd , atunci

( ) ( ) ⇔<− ε'ii NhNh ε<++−++

2222 11 iiii qpqp . (16)

Cu aceste două observaţii putem să calculăm diferenţa între sumele (12)

şi (13) în cazul când ( ) εηγ <∆ , adică

( ) ( ) ( ) ( ) i

n

iiiii

n

iiiiyx aqpLFaqpLFgDsFSs ⋅++⋅−⋅++=∆−∆ ∑∑

== 1

22

1

22

, 11,,,,

( ) ≤⋅

++−

++= ∑=

iii

n

iiii aqpqpLF 22

1

2211

( ) ∑∑==

⋅⋅=⋅≤++−++⋅⋅≤n

iDiiiii

n

iii AMaMqpqpaLF

116

152222

111 εε , ( ) 0>∀ ε .(17)

Atunci când ( ) 0→∆γ avem că ( )

( ) ( ) 0,,,,lim0

=∆−∆→∆ xygDsFSs

γ adică avem că

( ) ( )( ) dxdyqpyxfyxFdzyxFS D

221,,,,, ++⋅=∫∫ ∫∫τ c.c.t.d..

Teorema 2. Dacă S este o suprafaţă netedă dată printr-o reprezentare

parametrică ( )( )( )

( ) Dvuvuzzvuyyvuxx

∈

===

,,,,

249

iar F este continuă pe S, atunci

( )∫∫ =S

dzyxF τ,, ( ) ( ) ( )( )∫∫ ++⋅=D

dudvCBAvuzvuyvuxF 222,,,,, . (18)

Demonstraţie(indicatie).

Vom considera o diviziune ∆ a suprafeţei S a.î.

n

iiSS

1=

= şi ( )ii Saria=σ .

Această diviziune va determina pe domeniul D o diviziune uv∆ cu

n

iidD

1=

= şi ( )ii dariaa = .

Vom considera proiecţia suprafeţei S pe planul xoy pe care îl notăm cu D.

Fig. 2

Diviziunea Δ determină şi pe D o diviziune notată cu xy∆ a.î. n

iidD

1=

= şi

( )ii dariaa = . Să vedem care este legătura între ii a,σ şi ia .

Cum i

iii

at

γσ

cos=≈ (vezi calculul ariei unei suprafete în spaţiu cu

ajutorul integralei duble).

Dar

D Ni(ui,vi)

id

u

v

O’

x

z

y τ

Ni(xi,yi)

D

S Li Si

O

iv

250

kCjBiAv iiii +⋅+⋅=

unde

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) i

ii

iiii

iNvuD

yxDCNvuD

xzDBvuNvuD

zyDA,,,

,,,

,,,

=== .

Atunci

222vvcos

iii

i

i

ii

CBA

Ck

++±=

⋅=γ iar

i

iiiii

C

CBAa222

++⋅=σ . (19)

Am dori să exprimăm aria ia în funcţie de ia .

Dar de la D la D se trece prin transformarea

( )( ) ( ) Dvu

vuyyvuxx

∈

==

,,,

:τ

rezultă că există un punct ii dN ∈' cu ( ) ( )iiiiii vuNwtN ,,' ≠ astfel încât

( )( ) i

ii a

NnuDyxDa ⋅= ',

, . (20)

Dar dacă notăm cu ( )( ) ',

,

ii NvuD

yxDC = atunci avem iii aCa ⋅= .

Înlocuind în (19) rezultă că

iii

iiii aC

C

CBA⋅⋅

++=

222

σ . (21)

Să considerăm pe iS punctele ( ) iiiii SzyxL ∈,, unde

( )( )( )

===

iii

iii

iii

vuzzvuyyvuxx

,,,

şi să formăm sumele Riemann

( ) ( )∑=

=⋅=∆n

iiiLFFSs

1,, σ ( ) ii

n

i i

iiii aC

C

CBALF ⋅⋅++

⋅∑=1

222

. (22)

251

Considerăm funcţia

( ) ( ) ( ) ( )( ) 222,,,,,, CBAvuzvuyvuxFvug ++⋅=

atunci suma integrală

( )=∆ nugDs ,,, ( ) ( ) ( )( ) iiii

n

iiiiiii aCBAvuzvuyvuxF ⋅++∑

=

222

1,,,,, . (23)

Avînd în vedere că ( ) ( ) ( ) ( )DCvuCvuBvuA 0,,,,, ∈ , se va nota la fel ca la

teorema anterioară (utilizînd uniform continuitatea că şirul sumelor (22)

şi şirul sumelor (23) au aceeaşi limită) şi ţinînd cont că

( )( )

( ) =∆∀

→∆nu

N

gDsi

,0

,,limγ

( ) ( ) ( )( )∫∫ ++⋅D

dudvCBAvuzvuyvuxF 222,,,,,

rezultă că c.c.t.d..

8.5. Legătura între integrala de suprafaţă în raport cu aria şi

integrala de suprafaţă în raport cu planele de coordonate

Teorema 1.

Dacă S este o suprafaţă netedă iar P,Q şi R sunt continue pe S, atunci

∫∫+

=++S


( )∫∫ ++=S

dzyxRzyxQzyxP σγβα cos),,(cos),,(cos),,( (1)

unde γβα ,, sunt unghiurile făcute de normala la faţa superioară la

suprafaţa S cu axele Ox, Oy, şi Oy.

Demonstraţie.

Vom studia doar

∫∫+S

dxdyzyxR ),,( . (2)

Vom nota cu D proiecţia suprafeţei S pe planul xoy şi fie ∆o diviziune a

252

lui D cu n

iidD

1== şi )( ii dariaa = . Această diviziune va induce pe S o

diviziune xy∆ a.î.

n

iiSS

1== şi )( ii Saria=σ .

Vom considera în iS punctul ii SL ∈ pentru .,...,2,1 ni = Atunci avem sumele

Riemann care defineau pe (2) şi anume

∑=

⋅=∆n

iiixy aLRRSs

1)(),,( . (3)

Am văzut că diviziunea ∆ a lui D induce cu ajutorul planelor paralele cu

xoz şi yoz o diviziune a suprafeţei S notată cu xy∆ şi era dată de planele:

),...,2,1,,...,2,1( 2,1 mjyysimkxx jk ==== .

Aceste plane, intersectează planele tangente la iS în punctele iL , după

nişte paralelograme de arii it .

Făceam aproximarea ariilor iS cu aria it , adică ii t≈σ . Să considerăm

vectorul normal la iS în punctul iL pe care să-l notăm cu iV şi are forma

(expresia următoare)

( ) ( ) ( ) kji iiiii ⋅+⋅+⋅= γβα coscos(cosVV

unde iii γβα ,, sunt unghiurile făcute de iV cu axele yx 0,0 şi z0 . Atunci

proiecţia ariei it pe planul xoy este dată de relaţia iii at =⋅ γcos .

Dar

iiiii at σγσ ⋅=⇒≈ cos

(Menţionăm că iii γβα cos,cos,cos corespund punctului iL de pe iS .)

Atunci suma (3) devine:

( ) ∑=

=⋅⋅=∆n

iiiixy LRRSs

1cos)(,, σγ ( )∑ ∆⋅=⋅ xyi

ii RSs

LLR ,cos,cos)( γσγ (4)

Din faptul că S este netedă rezultă că funcţia

253

( ) ( )zyxzyxRzyxg

,,cos),,(,, γ⋅=

este continuă, rezultă că este integrabilă şi deci cînd ( ) 0→∆ xyγ , avem că

există limita şirului sumelor (14) şi se obţine:

∫∫ ∫∫+

⋅⋅=S S

dRRdxdy σγcos . (5)

Procedînd identic pentru celelalte plane rezultă şi relaţiile:

∫∫ ∫∫+

=S S

dPPdydz σαcos (6)

∫∫ ∫∫+

=S S

dQQdzdx σβcos (7)

Prin adunarea celor trei relaţii (5), (6), (7) rezultă (1).

Observaţia 1.

Dacă S este dată printr-o reprezentare parametrică

( ) ,,),(),(),(

Dvuvuzzvuyyvuxx

∈

===

atunci dacă notăm cu MvuD

yxDCşiMvuD

xzDBMvuD

zyDA),(),(

),(),(,

),(),(

===

avem că vectorul normal la S într-un punct ),( vuM este

( )kjiNCBAN kji γβα coscoscos ++⋅=++=

unde 222 CBAN ++= .

De aici rezultă că

222222222

coscos,cosCBA

CşiCBA

B

CBA

A

++±=

++±=

++±= γβα (8)

iar elementul de arie σd are expresia

dudvCBAd 222 ++=σ . (9)

Dacă produsul

( ) ( ) 010 >=⋅++⋅++⇔>⋅ CkyoiokCyBAikN

254

atunci vectorul normal N corespunde feţei superioare şi în faţa radicalilor

de la cosinusuri se va lua semnul +, iar dacă 0<C , atunci se va lua

semnul minus pentru că N corespunde feţei inferioare. Atunci înlocuind

pe (8) şi (9) în (1) obţinem următoarea formulă:

∫∫+

=++S


=++⋅⋅+

+⋅+⋅= ∫∫

dudvCBAvuzvuyvuxR

vuzvuyvuxQvuzvuyvuxPD

222]cos)),(),,(),,((

cos)),(),,(),,((cos)),(),,(),,(([

γ

βα

=++⋅+

+++⋅⋅+++⋅⋅= ∫∫

dudvCBAvuzvuyvuxR

CBAvuzvuyvuxQCBAvuzvuyvuxPD

]cos)),(),,(),,((

cos)),(),,(),,((cos)),(),,(),,(([

222

222222

γ

βα

[ ]dudvvuzvuyvuxRCvuzvuyvuxQBvuzvuyvuxPAD∫∫ ⋅+⋅+⋅= )),(),,(),,(()),(),,(),,(()),(),,(),,((

[ ]∫∫

∫∫

⋅+⋅+⋅=

=+++

D

S

dudvvuzvuyvuxRCvuzvuyvuxQBvuzvuyvuxPA

dxdyvuzvuyvuxRdzdxvuzvuyvuxQdydzvuzvuyvuxP

)),(),,(),,(()),(),,(),,(()),(),,(),,((

)),(),,(),,(()),(),,(),,(()),(),,(),,(( .

(10)

În cazul cînd (10) se face pe faţa −S , atunci în faţa integralei din membrul

drept se va pune minus, iar în cazul cînd nu se specifică faţa pe care se

face integrarea în membrul stîng, atunci vom avea formula

( )∫∫ ∫∫ ⋅+⋅+⋅±=++S D

dudvRCQBPARdxdyQdzdxPdydz (11)

cu menţiunea că se va lua minus cînd 0<c şi se va lua plus cînd 0>c .

Observaţia 2.

Dacă S este dată sub formă explicită Dyxcuyxfz ∈⋅= ),()(

atunci

1

1cos,1

cos;1

cos222222 ++

=++

−=

++

−=

qpqp

q

qp

p γβα

pentru faţa superioară a lui S.

255

Atunci

∫∫+

=++S

RdxdyQdzdxPdydz

[ ]dxdyyxfyxRyxfyxQqyxfyxPpD∫∫ +⋅−⋅−= )),(,,()),(,,()),(,,( (12)

iar

[ ]∫∫ ∫∫−

=+⋅−−−=++S D

dxdyyxfyxRyxfyxQqyxfyxpPRdxdyRdzdxPdydz )),(,,()),(,,()),(,,(

[ ]∫∫ −⋅+⋅=D

dxdyyxfyxRyxfyxQqyxfyxPp )),(,,()),(,,()),(,,( (13)

pentru faţa inferioară.

8.6. Aplicaţii geometrice şi mecanice ale integralelor de suprafaţă

A1. Aria unei suprafeţe din spaţiu (aplicaţie geometrică).

Dacă ( )S este dată printr-o ecuaţie explicită ),( yxfz = cu )(1 DCf ∈ cu

xoyD ⊂ şi D simplu conex, atunci din aplicaţiile integralei duble avem

∫∫

∂∂

+

∂∂

+=D

S dxdyyz

xzA

22

1 . (1)

Avînd în vedere modul de calcul al integralei de suprafaţă în raport cu

aria cînd 1),,( =zyxF , atunci avem că

( )∫∫=S

S dA σ . (2)

Această formulă se poate obţine pornind de la sumele Riemann

corespunzătoare funcţiei 1),,( =zyxF , cu .),,( Szyx ∈

Dacă ( )S este dată printr-o reprezentare parametrică

( ) ,,),(),(),(

Dvucuvuzzvuyyvuxx

∈

===

unde ( )DCzyx 1,, ∈ , atunci formula care ne dă aria suprafeţei ( )S este:

dudvCBAAD

s ∫∫ ++= 222 . (1’)

256

A2.Volumul unui corp (aplicaţie geometrică)

Dacă corpul este mărginit de suprafaţa ( )S (dată de ),,( yxfz = )(1 DCf ∈

şi Dyx ∈),( simplu conex) şi de cilindrul proiectat al ei pe xoy şi de planul

xoy , atunci ştim de la integrala dublă că

∫∫=D

dxdyyxfv ),( (dacă 0),( ≥yxf ) (3)

( )( ) Dyx ∈∀ , . Avînd în vedere modul de calcul al integralei de suprafaţă în

raport cu planele avem că

∫∫=S

zdxdyV . (4)

Dacă ( )S este o suprafaţă închisă (sau netedă pe porţiuni, care delimitează

un domeniu elementar D (corp), atunci volumul corpului D se poate

calcula cu ajutorul integralei de suprafaţă în raport cu planele de

coordonate.

∫∫=S

zdxdyV . (4’)

Justificare.

Vom proiecta domeniul elementar D pe planul xoy după domeniul D .

Atunci orice paralelă la oz prin ( ) Dyx ∈, va intersecta suprafaţa S în cel

mult două puncte 1z şi 2z şi va intersecta suprafaţa ( )S într-un singur

punct atunci cînd este tangentă la ( )S . În felul acesta suprafaţa ( )S se

împarte în două suprafeţe 1S şi 2S care sunt despărţite între ele de curba

( )γ care se proiectează pe planul xoy după curba (C) ce mărgineşte pe D .

Să presupunem că, 1S este dată de ( )yxfz ,11 = şi 2S de ( )yxfz ,22 = cu

( ) Dyx ∈, cu ( )DCff 121 , ∈ .

257

Fig. 3

Atunci volumul lui D va fi:

( ) ( )∫∫ ∫∫ =−=D D

dxdyyxfdxdyyxfV ,, 22

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫+ + + −

=+=−=

2 1 2 1S S S S

zdxdyzdxdyzdxdyzdxdy ∫∫S

zdxdy .

Aceasta pentru că la suprafaţa 1S integrala de suprafaţă se face pe faţa

superioară şi atunci ∫∫ ∫∫− −

−=

1 1S S

zdxdyzdxdy .

În final integrala de suprafaţă se face pe faţa exterioară.

A3.Masa unei plăci curbe în spaţiu (aplicaţie mecanică).

Să considerăm o placă curbă situată pe suprafaţa simplă ( )S netedă şi care

are densitatea punctuală ),,( zyxF , atunci masa sa sM se calculează cu

formula:

( )∫∫=S

s dzyxFM σ,, . (5)

Să considerăm o diviziune ∆ a suprafeţei (S) cu n

iiSS

1== şi ( )ii Saria=σ

),(2 yxz

),(1 yxz

x

y

z

(x,y) (C)

D

(S)

S1

S2

(γ)

D

258

atunci ∑=

=n

iiSA

1σ .

Pe fiecare iS să considerăm un punct ( )iiii zyxL :, în care să se afle

concentrată toată masa din iS pe care o vom nota cu iSm .

Vom presupune că densitatea plăcuţei iS este constantă şi egală cu

densitatea în punctul iL . Atunci:

( ) ( ) iiiiiiS zyxFLFmi

σσ ⋅=⋅≈ ,, .

Masa totală va fi

( )∑=

∆=⋅≈n

iiiiiS FSszyxFM

1),,(,, σ .

Cînd ( ) 0→∆ν , atunci obţinem (5).

A4.Centrul de greutate pentru o placă curbă (aplicaţie mecanică).

Dacă o placă curbă, situată pe suprafaţa ( )S simplă şi netedă, care are

densitatea punctuală ( )zyxF ,, , atunci centrul de greutate ( )GGG zyxG ,, al

plăcii are coordonatele:

( )

( )

( )

( )

( )

( )∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫ ⋅===

S

SG

S

SG

S

SG dzyxF

dzyxFzz

dzyxF

dzyxyFy

dzyxF

dzyxxFx

σ

σ

σ

σ

σ

σ

,,

,,,

,,

,,,

,,

,,. (6)

Vom considera o diviziune Δ a suprafeţei S cu

n

iiSS

1== şi ( )ii Saria=σ cu ∑

==

n

iiSA

1σ .

Vom considera în iS punctul ( )zyxL iii ,, , iar densitatea plăcuţei iS va fi

considerată constantă şi egală cu )( iLF şi concentrată masa iSm în punctul

iL . Atunci ( ) iiS LFmi

σ⋅≈ . Din mecanică ştim că:

( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=⋅

=⋅

⋅⋅= n

is

n

iSi

n

iii

n

iiii

G

i

i

m

mx

LF

LFxx

1

1

1

1

)( σ

σ

259

( )

∑

∑

=

=

⋅

⋅= n

iii

n

iiii

G

LF

LFyy

1

1

)( σ

σ

iar ( )

( )∑

∑

=

=

⋅

⋅⋅= n

iii

n

iiii

G

LF

LFzz

1

1

σ

σ.

În aceste rapoarte apar sume integrale Riemann:

( )

( )

( )

→∆

→∆⋅

⋅→∆⋅

→∆⋅

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

S

S

S

S

FdFDs

zFdFzDs

dyFFyDs

xFdFxDs

σ

ασ

σ

σ

,,

,,

,,

),,(

cînd ( ) 0→∆ν .

De aici rezultă (6).

Caz particular cînd ( ) kzyxF =,, (constant), atunci

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫⋅=⋅=S S S S

ydkyFdxdkxFd ,, σσσσ

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅=⋅=⋅=S S S S

sAkdkFdzdkzFd σσωσ ,

şi (6) devine

S

SG

SG

S

SG A

zdz

A

ydy

A

xdx

∫∫∫∫∫∫===

σσσ,,

3

. (7)

A5.Momentele de inerţie ale unei plăci curbe (aplicaţie mecanică).

Dacă o placă curbă, situată pe o suprafaţă (S) simplă şi netedă, de

densitatea punctuală ),,( zyxF , atunci momentele de inerţie sunt:

xyI (momentul de inerţie faţă de planul xoy),

zyI , ( momentul de inerţie faţă de planul yoz),

xzI ( momentul de inerţie faţă de planul xoz),

xI ( momentul de inerţie faţă de axa Ox),

260

yI ( momentul de inerţie faţă de axa Oy),

zI ( momentul de inerţie faţă de axa Oz),

0I ( momentul de inerţie faţă de origine)

care se calculează cu formulele:

∫∫ ⋅=S

x FdzI σ2 ; ∫∫=S

xz FdyI σ2 ; ∫∫=S

yz FdxI σ2 ; ( )∫∫ +=S

x FdzyI σ22 ;

( )∫∫ +=S

y FdzxI τ22 ; ( )∫∫ +=S

z FdyxI σ22 ; ( )∫∫ ++=S

FdzyxI τ2220 . (8)

Demonstraţia la fel ca la A4.

A6.Fluxul unui cîmp de viteze printr-o suprafaţă orientată.

Fie ( ) ( ) ( ) ( ) KzyxRyzyxQizyxPzyxF ⋅++= ,,,,,,,, cîmpul de viteze într-un

punct al unui fluid (cu densitatea constantă egală cu unu) în mişcare, ce

trece prin suprafaţa S netedă, orientabilă.Vom considera o diviziune ∆ a

suprafeţei ( )S astfel încât n

iiSS

1== .

Definiţie.

Vom numi flux elementar ca fiind cantitatea de fluid ce trece prin suprafaţa

iS în unitatea de timp, corespunzătoare cîmpului de viteze F şi va fi notat

cu iΦ .

Fluxul total al cîmpului F prin suprafaţa S va fi dat de suma fluxurilor

elementare (notat cu SΦ ).

În legătură cu calculul fluxului total avem următoarea propoziţie.

Propoziţie.

Fluxul total al cîmpului F prin suprafaţa ( )S netedă şi orientabilă este dat

de formula:

∫∫ ++=ΦS

S dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,( (9)

unde DScuDCRQP ⊂∈ )(,, .

261

Demonstraţie.

Vom considera o diviziune ∆ a suprafeţei ( )S astfel încât

n

iiSS

1== şi ii ariaS=σ şi vom lua ii SL ∈ .

Considerăm că fluidul ce trece prin suprafaţa iS are direcţia, sensul şi

viteza constantă cu cea a vectorului F calculat în iL adică )( iLF

( ) ( ) ( ) ( ) KLRjLQiLPLF iiii ⋅+⋅+⋅= .

Normală la suprafaţa iS o vom considera constantă şi egală cu cea

calculată în iL pe care o vom nota cu

( ) ( ) ( ) Kyiniii LLLi ⋅+⋅+⋅= γβα coscoscos

şi în plus 1=in (este versor).

Cu aceste notaţii şi simplificări, avem că fluxul elementar

( ) ( ) ( ) ( )[ ]⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅= KLRjLQiLPnLF iiiiiii σφ ( ) ( ) ( )[ ] =⋅⋅+⋅+⋅ iLLL Kjiiii

σγβα coscoscos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] iLiLiLi iiiLRLQLP σγβα ⋅⋅+⋅+⋅= coscoscos . (10)

Atunci fluxul total este:

=Φ= ∑=

n

iiS

1φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑

=⋅+⋅+

n

iiLiLiLi iii

LRLQLP1

coscoscos σγβα .

Făcînd ( ) 0→∆γ atunci obţinem că:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑

=→∆=++⋅=Φ

n

iiLiLiLiS iii

LRLQLP10

coscoscoslim σγβαγ

( )∫∫ ++=S

dzyxRzyxQzyxP σγβα cos),,(cos),,(cos),,( . (11)

Observaţie.

Normale in vor fi cele pentru faţa superioară.

Avînd în vedere formula de legătură între integrala de suprafaţă în raport

cu planele şi integrala de suprafaţă în raport cu aria obţinem:

( )∫∫ =++=S

S dzyxRzyxQzyxP σγβαφ cos),,(cos),,(cos),,(

262

∫∫+

++=S

dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,( .

Aplicaţii.

A1) Să se calculeze integrala de suprafaţă pe faţa exterioară:

∫∫ ++=extS

zdxdyydzdxxdydzI

unde

2222),,( RzyxzyxS =++= .

Să se calculeze direct şi apoi să se verifice cu formula Gauss-

Ostrogradski.

Soluţie.

Suprafaţa S are parametrizarea:

===

ϕθϕθϕ

cossinsincossin

RzRyRx

cu: [ ]πϕ ,0∈ şi [ ]πθ 2,0∈ .

Fig. 4

Calculăm vectorul normal la suprafaţa S care este:

kCjBiAN ⋅+⋅+⋅=

unde

x

y

z

1N

2N

k

k α

O

+1S

−2S

263

( )( ) θϕ

ϕθϕθϕ

θϕcossin

0sincossinsincos

,, 22R

RRR

DzyDA =

−⋅

== ,

( )( ) θϕ

θθϕϕ

θϕsinsin

sincoscos0sin

,, 22 ⋅=

−−

== RRR

RD

xzDB ,

( )( ) ϕϕ

θϕθϕθϕθϕ

θϕcossin

cossinsincossinsincoscos

,, 2R

RRRR

DyxDC =

⋅−

== .

Suprafaţa exterioară S este alcătuită din două suprafeţe 1S şi 2S care au

normalele 1N şi 2N .Unghiul făcut de 1N cu vectorul k (versorul axei

Oz) este mai mic de 900, atunci suprafaţa exterioară a lui 1S este suprafaţă

superioară şi se notează cu +1S .

Unghiul făcut de vectorul normal ( la suprafaţa exterioară a lui 2S care

este 2N ) cu versorul axei Qz este un unghi mai mare de 90, atunci faţa

exterioară a suprafeţei 2S este faţă interioară şi se notează cu −2S .

În aceste condiţii avem:

∫∫ ∫∫ ∫∫+ +

+=

extS S S1 2

.

Cele două suprafeţe au parametrizările:

===

ϕθϕθϕ

cossinsincossin

:1

RzRyRx

S

cu

( ) ( ) [ ]

∈

∈=∈ πθπϕθϕθϕ 2,0

2,0,, 1 siD ,

===

ϕθϕθϕ

cossinsincossin

:2

RzRyRx

S

cu

( ) ( ) ] [ ]

∈∈=∈ πθππϕθϕθϕ 2,0,

2,, 2 siD .

264

Calculăm:

∫∫+

=++=

1

1

S

zdxdyydzdxxdydzI

(∫∫ +⋅+⋅=1

2222 sinsinsinsincossincossinD

RRRR θϕθϕθϕθϕ

=⋅⋅+ θϕϕϕϕ ddRR )cossincos 2

)(∫∫ =⋅+⋅+=1

223233 cossinsinsincossinD

ddR θϕϕϕθϕθϕ

( )[ ]∫∫ =++=1

22233 cossinsincossinD

ddR θϕϕϕθθϕ

( )∫∫ ∫∫ =⋅

⋅=⋅=

1

2

0 2

0 33 sinsin

D

ddRddRπ

π

θϕϕθϕϕ 31

3 202cos2 RIR ππ

ϕπ =⇒

− .

Calculăm:

∫∫−

++=

2

2

S

zdxdyydzdxxdydzI

Avînd în vedere că integrala se calculează pe faţa inferioară, atunci cînd

se aplică formula de calcul al integralei de suprafaţă de primul tip, se va

pune semnul (-) în faţa integralei, dacă 02 >⋅KN .

În cazul de faţă 02 <⋅KN care corespunde feţei inferioară (care este cel

corect), atunci în faţa integralei se pune semnul +:

∫∫−

=++=

2

2

S

zdxdyydzdxxdydzI

( )∫∫ =⋅⋅+⋅+⋅+=2

22222 cossincossinsinsinsincossincossinD

ddRRRRRR θϕϕϕϕθϕθϕθϕθϕ

( )∫∫ ∫∫ =

⋅===

2

2

2

0 33 sinsin...

D

ddRddRππ

πϕϕθθϕϕ 33 2

2cos2 RR ππ

πϕπ =

−⋅ .

Atunci 321 4 RIII π=+= .

Aplicînd formula Gauss-Ostrogradski avem:

∫∫ ∫∫∫ =⋅==++=extS V

SfereiVoldxdydzzdxdyydzdxxdydzI .33 33

43

43 RR ππ=⋅

265

unde V este interiorul sferei de rază R

( ) 2222,, RzyxzyxV ≤++= .

A2) Să se calculeze I şi să se verifice cu formula Gauss-Ostrogradski

∫∫ ++=extS

zdxdyydzdxxdydzI

unde:

=++===

azyxzyx

S0;0;0

: .

Soluţie.

Suprafaţa exterioară S este alcătuită din patru suprafeţe, adică

4321 SSSSS ∪∪∪= .

Aceste suprafeţe au normalele corespunzătoare feţei exterioare a

suprafeţei S notate cu 4321 ,,, NNNN

Fig. 5

Suprafaţa 1S are parametrizarea:

=

≤+>>

=

=

normalvectorcu

0;0cu0

zzazx

zxy

xx

kCjBiAN 1111 ++=

x

y

z

2N

3N

1N

S3

S1

S2

A(a,0,0)

B(0,a,0)

C(0,0,a)

S4

4N

266

( )( )

( )( ) 1

0110

,,;0

,,

11 −=====zxDxzDB

zxDzyDA ; ( )

( ) jNyxDyxDC −=⇒== 11 0

,, .

Suprafaţa 2S dată de triunghiul OBC are parametrizarea:

≤+≥≥

===

azyzy

cuzzyy

x0;0

0

şi are vectorul normal: iN −=2 unde 0;0;1 222 ==−= CBA .

Fig. 6

Suprafaţa 3S dată de triunghiul OAB are parametrizarea

≤+≥>

===

00;0

03 yx

yxcu

zyyxx

S

şi are vectorul normal: kN ='3 cu 1;0;0 333 === CBA

care nu corespunde feţei exterioare.


( ) ( )

≤+=∈

≥≥

−−===

ayxyxDyxyx

cuyxaz

yyxx

,,0;0

4

Vectorul normal la suprafaţa 4S este: kCjBiAN 4444 ++= unde:

( )( ) 1

1110

,,

4 =−−

==yxDzyDA ; ( )

( ) 10111

,,

4 =−−

==yxDxzDB ;

( )( ) 1

1001

,,

4 ===yxDyxDC .

Atunci

A

C

O x

z

267

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫+++==extS S S S S

I1 2 3 4

.

Calculăm

∫∫ ++=1

1S

zdxdyydzdxxdydzI .


( ) ( ) 0,0,,0 1 ≥≥≤+=∈

===

zxsiazxzxDzxcuzz

yxx

.

Normala jN −=1 , unde ;0;1;0 111 =−== CBA

( )( ) 00101

0

1 ∫∫==⋅+−⋅+⋅⋅=

D

ydxdzzyxI .

Calculăm

∫∫ ++=2

2S

zdxdyydzdxxdydzI .


( ) ( ) 0;0;,,0

2 ≥≥≤+=∈

===

zyazyzyDzycuzzyy

x

are normala: iN −=2 unde 0;1 22 =−= BA şi 02 =C ,

atunci

( )( ) 00012

0

2 ∫∫==⋅+⋅+−⋅=

D

xdydzzyxI .

Calculăm

∫∫ ++=3

3S

zdxdyydzdxxdydzI .


( ) ( ) 0;0;,,0

3 ≥≥≤+=∈

===

yxayxyxDyxcuz

yyxx

268

şi are vectorul normal: kN ='3 unde ;0;0 33 == BA şi 13 =C care nu

corespunde faţei pe care se face integrarea. Atunci la calculul integralei

3I se va schimba semnul, adică:

0)100(0

33

=

=⋅+⋅+⋅−= ∫∫z

D

dxdyzyxI .

Calculăm

∫∫ ++=4

4S

zdxdyydzdxxdydzI .

Parametrizarea suprafeţei 4S este

( ) ( ) ayxyxyxDyxcuyxaz

yyxx

S ≤+≥≥=∈

−−===

;0;0,,: 44

şi are vectorul normal: kjiN ++=4 cu 11 444 ==== CBA .

Atunci

( )∫∫ =⋅+⋅+⋅=4

4 111D

dxdyzyxI ( )∫ ∫ =

++

−a xa

dxdyzyx0 0

( )∫ ∫ =

−−++=

−a xa

dxdyyxayx0 0

∫ ∫∫ =

−=

−a axadx

xayadxady

0 00 0

( )∫ =

−=−=

a axaxadxxaa0

2

02 22

322 aaaa =

− .

Verificare cu formula Gauss-Ostrogradski.

∫∫ =++=extS

zdxdyydzdxxdydzI2

33adxdydz

V

=∫∫∫

unde V este interiorul piramidei:

( ) azyxsizyxzyxV ≤++≥≥≥= 0;0;0,, .

Dar

∫∫∫ =V

dxdydz Volumul corpului 6

3aV =

269

A3. Să se calculeze direct ∫ ++=C

xdzzdyydxI unde

( ) 15,, 222 ==++= zsizyxzyxC

apoi să se verifice cu formula Stokes-Navier.

Soluţie.

Înlocuind pe 1=z în ecuaţia sferei se obţine

422 =+ yx şi 1=z ,

care are parametrizarea

( ) [ ]π2,01

sin2cos2

∈

===

tcuz

tytx

c şi

==−=

0cos2sin2

ztytx

Fig. 7

Atunci:

∫ =++=C

xdzzdyydxI ( )( )∫ =⋅+⋅+−⋅π2

0

0cos2cos21sin2sin2 dttttt

∫ ∫ =+−

−=π π2

0

2

0

cos22cos14 tdtdtt

=+

−− ∫ 0

2sin2

02

4sin

214

2

0

πππ

ttdt ππ 4224

−=⋅−

Deci: π4−=I .

Aplicînd formula Stokes-Navier avem că:

x

y

z

O

1=z

5 S1

270

∫ =++=c

xdzzdyydxI ∫∫ =−−−1S

dxdydzdxdydz ∫∫ ++−1S

dxdydzdxdydz

unde 1S este suprafaţa din sferă care se sprijină pe curba (C)

[ ]

∈

=++

5,1

5:

222

1z

zyxS

şi are parametrizarea:

=

=

=

ϕ

θϕ

θϕ

cos5

sinsin5

cossin5

z

y

x

cu ( ) ( ) [ ]

∈∈=∈

51arccos,02,0,, 1 ϕπθθϕθϕ siD .

Notăm 5

1arccos1 =ϕ .

Vectorul normal la suprafaţa 1S este: kCjBiAN 1111 ++= unde

( )( ) θϕθ

θϕcossin5cossin

,, 222

1 ⋅=== yRD

zyDA ;

( )( ) θϕθϕ

θϕsinsin5sinsin

,, 222

1 ⋅=⋅== RD

xzDB ;

( )( ) θϕ

θϕcossin

,, 2

1 RD

yxDC ==

şi

∈>=⋅

51arccos,00cossin2

1 ϕϕϕ pentruRkN .

Cum sensul normalei N1 coincide cu cel real, atunci în faţa normalei va fi

semnul +, adică:

( )∫∫ =+⋅+−=1

22 cossin5sinsin5cossin5D

ddI θϕϕϕθϕθϕ

−

−

−= ∫∫∫∫

1

0

22

0

1

0

22

0

sinsinsin5cosϕπϕπ

ϕϕθθϕϕθθ dddd

=

− ∫∫

1

0

2

0

cossin5ϕπ

ϕϕϕθ dd ( ) =−=⋅⋅− 121

2

sin502

sin25 ϕπϕϕπ

271

=

⋅−=

2

51arccossin5π =

−−

2

2

51arccoscos15π

ππ 45115

2

−=

−⋅−=

A4. Să se calculeze ( )∫∫ +=S

dyxI σ22 , unde S este sfera:

( ) 2222,, azyxzyxS =++= .

Soluţie.

Parametrizarea sferei (S) este:

( ) ( ) [ ] ( ) 2,0 ,,0 , ,cos

sinsincossin

πθπϕθϕθϕϕ

θϕθϕ

∈=∈

===

Dcuazayax

iar componentele vectorului normal N sunt:

θϕθϕ

cossin,(

),( 22 ⋅== aD

zyDA

θϕθϕ

sinsin),(),( 22 ⋅== a

DxzDB

ϕϕθϕ

cossin),(),( 2 ⋅== a

DyxDC .

Atunci ϕsin2222 aCBA =++ şi ϕ2222 sinayx =+ .

Înlocuind în integrală avem:

( )∫∫ ∫∫ =⋅=+=S D

ddaadyxI θϕϕϕσ sinsin 22222

∫∫ ∫∫ =

⋅

==

D

ddaddaππ

θϕϕθϕϕ2

003434 sinsin

( ) =

+−=−⋅⋅= ∫

π πϕϕπϕϕϕπ0

3424

03coscos2sincos12 ada

38 4aπ .

272

Tema 8.

1)Să se calculeze ∫∫ +S

dyx σ22 , unde (S) este faţa laterală a conului:

2

2

2

2

2

2

bz

ay

ax

=+ şi [ ]baz ,∈ .

2) Să se calculeze ∫∫ ++S

dcz

ay

ax σ2

2

2

2

2

2

, unde (S) este elipsoidul:

1222

=

+

+

cz

ay

ax , cu .ac <

3) Să se calculeze masa suprafeţei strîmbe în spaţiu (S) care are densitatea

( )222

,,yxa

zzyx++

=ρ

şi suprafaţa (S) este mărginită de suprafeţele: azyx 222 =+ şi hz = .

4) Să se determine coordonatele centrului de greutate ale suprafeţei (S):

0,0,0,2222 ≥≥≥=++ zyxazyx ştiind că densitatea punctuluală este

( ) zyxzyx ⋅⋅=,,ρ .

5) Să se calculeze ∫∫ ++=extS

dxdyzdxdyydydzxI 222

unde (S): 2222 azyx =++ şi 0≥z .

6) Să se calculeze ∫∫ ++=extS

dxdyzdxdzydydzxI 333 , unde

(S): 2222 azyx =++ .

7) Să se calculeze ( )∫∫ −+++=extS

dxdyyzxdzdxxyzdydzxI 2222 43 ,

unde (S) este faţa exterioară a suprafeţei închisă (S):

≤≥≥+= .1,0,0;49

22zyxyxz

8) Să se calculeze ∫∫ ++=S

dxdyzdzdxydydzxI ,222

unde (S) este mărginită de suprafeţele: zzyx 2222 =++ şi 222 zyx =+ .

273

9) Să se calculeze aria elipsoidului de rotaţie:

[ ]accucz

ay

ax ,01

222

∈=

+

+

.

10) Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al suprafeţei (S):

∈⋅=+

2,0,222 azzayx , care are densitatea punctuală ( ) 1,, =zyxρ .

11) Să se calculeze 0M şi zM pentru suprafaţa (S): 2222 Rzyx =++ şi

0≥z .

12) Să se calculeze volumul elipsoidului (sferei).

capitolul 8

Documents

Transcript of capitolul 8