Capitolul 4 Microeconomie-Stelian Stancu

Capitolul 4 Efectul de substituie

i efectul de venit

Prof. dr. Stelian STANCU

4.1. Funciile de utilitate indirect i de cheltuieli i proprietile acestora

Fie problema de optim:

1 1 2 2

[max] ( )

pe restricia de buget

xU x

p x p x V

(4.1)

din rezolvare se obine cererea necompensat din cele dou bunuri, i anume:

),,( 21*1

*1 Vppxx

),,( 21*2

*2 Vppxx

nlocuind pe 1x i 2x n funcia de utilitate direct ),( 21 xxU cu *1x i

*2x ,

se obin funcia de utilitate indirect ),,( 21* Vppu , pentru cererea necompen-

sat: ),,(),( 21**

2*1 VppuxxU (4.2)

i, respectiv, funcia cheltuielilor:

),,(),,(),,( 21*2221

*1121

* VppxpVppxpVppV

Fie problema de optim:

1 2

1 1 2 2,

1 2

[min]{ }

pe restricia:

( , )

x xp x p x

U x x u

(4.3)

din care se obine cererea compensat din fiecare bun:

),,( 21**

1**

1 uppxx

),,( 21**

2**

2 uppxx

i deci

Microeconomie. Comportamentul agenilor economici. Teorie i aplicaii

152

- funcia de utilitate indirect, ),,( 21** uppu , pentru cererea

compensat. - funcia cheltuielilor, cu:

),,(),,(),,( 21**

2221**

1121** uppxpuppxpuppV (4.4)

Proprieti ale funciei cheltuielilor ),,( 21** uppV

Proprieti ale funciei ),,( 21** uppV

)1P Funcia de cheltuieli ),,( 21** uppV este omogen de grad 1 n

preuri

),,(),,( 21**

21** uppkVukpkpV .

)2P Funcia cheltuielilor ),,( 21** uppV este cresctoare n u

),,(),,( 21**

121** uppVuppV , cu uu 1

sau 0),,( 21

**

u

uppV (4.5)

)3P Funcia cheltuielilor este concav n vectorul preurilor:

Fie

- ),( 21 ppp pentru care ),,( 21** uppV reprezint venitul minim necesar

obinerii nivelului de utilitate u ;

- )',(' 21 ppp pentru care ),,( 21** uppV reprezint venitul minim necesar

obinerii nivelului de utilitate u ;

- '2'121"2"1 ,1,, pppppp pentru care ),,( 21** uppV reprezint venitul minim necesar obinerii nivelului de utilitate u ;

cu [0,1] Atunci:

),,()1(),,(),,( '2'1

**21

**21

** uppVuppVuppV (4.7)

Capitolul 4. Efectul de substituie i efectul de venit

153

)4P Lema Shephard Alegerea optim de tip Hicks este egal cu derivata

funciei cheltuielilor minime n raport cu preul bunului, adic:

i

ip

uppVuppx

),,(),,( 21

**

21** , 2,1i (4.8)

)5P Funcia cheltuielilor ),,( 21** uppV este cresctoare n raport cu

preul fiecrui bun i este strict cresctoare numai dac:

.21)(021 , i, )u,,p(px**i

Proprieti ale funciei de utilitate indirect:

)1P Utilitatea marginal indirect n raport cu venitul V este egal cu

multiplicatorul Lagrange:

V

Vppu ),,( 21*

(4.10)

)2P Utilitatea marginal indirect n raport cu preul unui anumit bun se

calculeaz dup relaia:

i

j

j

i

j

ji

p

Vppxp

p

Vppx

x

xxU

p

Vppu

j

j

),,(

),,(),(),,(

21*

21*

2121*

2

1

2

1

(4.11)

)3P Identitatea lui Roy:

),,(),,(

21*21

*

Vppxp

Vppui

i

, 2,1i (4.12)

cu: 0.),,( 21

*

V

Vppu


154

4.2. Efectul de substituie i efectul de venit de tip Slutsky

Presupunnd c preul bunului 1 scade, dreapta de buget se va deplasa la dreapta, ca n figura urmtoare:

2x

2p

V dreapta iniial a bugetului

noua dreapt a bugetului

2p

V A B

C ES EV

0 1p

V

1p

V

1p

V

1x

Figura 4.4. Efectul de substituie i efectul de venitde tip Slutsky

Alegerea optim iniial: punctul ),( *2*1 xxA , unde ),,( 21

*1 Vppx i ),,( 21

*2 Vppx .

Presupunem c 11 pp .

Fie V venitul ce pstreaz nemodificat puterea de cumprare iniial:

),,(),,( 21*2221

*11 VppxpVppxpV (4.13)

Definiia 4.1. Numim efect de substituie de tip Slutsky modificarea cererii marshalliene din bunul i , ca urmare a modificrii preului bunului i sau al unui alt bun din pachetul de bunuri, n condiiile n care puterea de cumprare rmne nemodificat (adic rmne cea optim iniial). Pentru bunul 1:

),,(),,( 21*121

*1

*

1VppxVppxSx (4.14)

CA ES

Punctul C este de coordonate ),,(),,,( 21*221*1 VppxVppx . Definiia 4.2. Numim efect de venit de tip Slutsky modificarea cererii marshalliene din bunul i , ca urmare a modificrii venitului nominal, preul fiind cel nou. Pentru bunul 1:


155

),,(),,( 21*121

*1

*1 VppxVppxx

V (4.15)

,BC EV cu B de coordonate:

),,(),,,( 21*221*1 VppxVppxB Efectul total de tip Slutsky va fi pentru bunul 1:

),,(),,( 21*121

*1

*1

*1

*1 VppxVppxxxx

VS (4.16)

sau grafic:

BCA EVES ET (efectul total)

Ecuaia lui Slutsky pe caz continuu tem

Ecuaia generalizat a lui Slutsky

C.N.O. pentru problema

1 1 2 2

[max] ( )

pe restricia de buget

xU x

p x p x V

sunt date de:

Vxpxp

ipx

xxUi

i

2211

21 2,1 ,),(

Difereniem fiecare ecuaie a ultimului sistem n jurul punctului de optim:

0][

2,1 ,0]),([

2211

21

xpxpVd

ipxxUd ii

cu 1 2( , )i

i

UU x x

x

de unde:

2

1

2

121

0][

2,1 ,0),(

iiiii

jiij

ij

dxpdpxdV

idpdpdxxxU

unde: .21,)(

)(21

212

21 , i,jxx

,xxU,xxU ij


156

Forma matriceal a sistemului este:

dV

dp

x

I

d

dx

p

pU T

T

TH

1

0

0

2

(4.17)

unde:

,2

1

x

xx

2

1

dx

dxdx , ),,( 21 ppp ),( 21 dpdpdp , =scalar,V = scalar

HU = matricea hessian a funciei de utilitate, cu

22

2

12

221

2

21

2

)()(

)()(

x

xU

xx

xU

xx

xU

x

xU

U H

Notnd cu

0p

pUA

TH

, soluia ecuaiei matriceale este:

dV

dp

x

IA

d

dx T

T 1

021

(4.17)

cu condiia ca matricea A s fie inversabil.

Determinarea matricei 1A prin metoda Frobenius-Shurr:

- fie matricea 1A de forma:

cb

aBA 1

unde, B - matrice ptratic; a - vector coloan; b - vector linie; c - scalar.

- Din relaia

10

0

2,1

1,221I

AA , cu ji,0 reprezentnd matricea cu i linii

i j coloane (cu elemente nule), avem:


157

10

0

0 2,1

1,22I

cb

aB

p

pU TH

sau, mai mult:

1

0

0

2,1

1,2

2

pa

pB

cpaU

IbpBUTH

TH

sau echivelent:

1)(

0)()(

)(

)()(

1

2,111

1

11

cpUp

UpbpUp

cpUa

UbpUB

TH

HTH

TH

HTH

cu soluiile:

TH

HTH

TH

H

TH

TH

TH

pUp

UppIUB

pUp

Upb

pUp

pUa

pUpc

1

1

21

1

1

1

1

1

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

1

(4.18)

Observaii:

1) 1 2( )H TB U I p b

2) Din Tba , avem:

dVdpx

dp

cb

bB

dV

dp

x

I

cb

bB

d

dxTT

TTT

T

T

1

02

unde: dx reprezint modificarea cererii din fiecare bun ca urmare a schimbrii preului fiecrui bun i de asemenea a venitului consumatorului;


158

d modificarea preului umbr ataat restriciei de buget.

Relaia: )( dVdpxbBdpdx TTTT (4.19) reprezint ecuaia generalizat a lui Slutsky, cu

- efectul de substituie: TS Bdpdx (4.19)

- efectul de venit: )( dVdpxbdx TTTV (4.19)

4.3. Efectul de substituie i efectul de venit tip Hicks

- efectul de substituie de tip Hicks pune n eviden modificarea cererii dintr-un bun ca urmare a modificrii preurilor bunurilor, pstrnd nemodificat nivelul de utilitate corespunztor alegerii optime iniiale.

Presupunm o reducere a preului bunului 1 la 11' pp .

2x

2p

V dreapta iniial a bugetului


2p

V A B

C ES EV

0 1p

V

1p

V

1p

V

1x

Figura 4.5. Efectul de substituie i efectul de venit de tip Hicks Concluzie: Efectul total de tip Slutsky este egal cu efectul total de tip Hicks.


159

n funcie de poziia celor trei puncte, A, C i B, fa de axa 10x , avem

clasificare a bunurilor: - bun normal este acela pentru care scderea preului su duce la creterea

cererii din acel bun att ca urmare a efectului de substituie, ct i ca urmare a efectului de venit; 2x

B bun Giffen bun inferior

2p

V

B A

2pV

bun normal C B ES

0 1p

V '

1p

V '

1p

V 1x

Figura 4.6. Categorii de bunuri dup cele dou efecte,

n funcie de poziionarea punctului optim B - bun inferior este acela pentru care scderea preului su duce la o

cretere a cererii, ca urmare a efectului de substituie, i la scderea cererii din acelai bun, consecin a efectului de venit, efectul total fiind totui pozitiv;

- bun Giffen este acela a crui cerere crete ca urmare a scderii preului

su, ca urmare a efectului de substituie, si de asemenea scade cererea din acelai bun ca urmare a efectului de venit.

Observaie: Orice bun Giffen este un bun inferior. Reciproca este fals.


160

4.4. Exemple de efect de substituie i efect de venit de tip Slutsky, n funcie de natura preferinelor. Legea cererii pentru un bun normal

tem

1a ) Cazul bunurilor perfect substituibile

2x

C noua dreapt a bugetului 21 pp iar 21' pp

2pV

B

dreapta iniial a bugetului EV=0 ES A

0 1p

V 1p

V 1x

Figura 4.7. n cazul bunurilor perfect substituibile

nu exist efect de venit 0*1 Vx

Efectul de substituie este dat de segmentul [A0]. Efectul de venit este zero.


161

2a ) Cazul bunurilor perfect complementare

2x


2

'pV

2p

V

A C B 11' pp , ES=0

EV dreapta iniial a bugetului 0

1p

V 1

'pV

1pV

1x

Figura 4.8. n cazul bunurilor perfect complementare nu exist efect de substituie

Efectul de substituie este nul. Efectul de venit este de la C la B. Propoziia 4.1. (Legea cererii pentru un bun normal sau teorema

fundamental a opiunii consumatorului) Dac la o cretere a venitului consumatorului cererea dintr-un bun crete,

atunci cererea din acel bun va scdea atunci cnd preul su va crete.

- pentru un bun normal: VS xxx 111

( - ) ( - ) ( - )

4.5. Variaia compensatorie (VC) i variaia echivalent de venit (VE)

Fie un consumator cu:. ix - cantitatea consumat din bunul i, i=1,2;


162

),( 21 ppp vectorul preurilor

V venitul su.

Presupunem c 1p < 1'p

- funciile de cerere marshallian: - pentru starea iniial:

21)( 21* ,, i,V,ppxi

- pentru starea final:

21)'( 21* ,, i,V,ppxi

Definiia 4.3. Numim variaie compensatorie de venit (VC) modificarea venitului unui consumator n condiiile n care se modific vectorul preurilor bunurilor, utilitatea rmnnd cea optim iniial ( 1u ):

),'(),( 1**

1** upVupVVC (4.21.a)

sau ca acea schimbare n venit necesar a menine nivelul de utilitate optim iniial nemodificat, n condiiile n care se modific vectorul preurilor bunurilor:

1** ),'(),( uVCVpuVpu (4.21.b)

Definiia 4.4. Numim variaie echivalent de venit (VE) acea modificare a venitului unui consumator n condiiile n care se modific vectorul preurilor bunurilor, utilitatea fiind cea optim din starea final ( 1'u )

)','()',( 1**

1** upVupVVE (4.22.a)

sau ca acea schimbare n venit necesar pentru a face ca utilitatea obinut cnd preul este 'p i venitul V s fie aceeai cu cea obinut atunci cnd preul este p i

venitul tot V.


163

4.6. Alegerea optim ntre timpul pentru munc i timpul liber la nivelul consumatorului (gospodriei)

Presupunem:

- o gospodrie reprezentativ;

- funcia de utilitate:

),([max],

LCULC

unde: C - reprezint cantitatea consumat la nivelul gospodriei respective dintr-un bun sau

vectorul cantitilor consumate din pachetul de bunuri; L - reprezint timpul destinat producerii bunului respectiv. C curba de indiferen a utilitii L (ore) T (timpul total din perioada analizat)

Figura 4.11. Reprezentarea grafic a curbei de indiferen

ULCU ),( , cu U dat

Restricia problemei este: 0CwLpC


164

Rezolvarea problemei:

,

0

[max] ( , )

pe restricia de buget:

C LU C L

pC wL C

(4.23)

se realizeaz cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange:

- fie )(),(),,,( 0 pCCLwLCULCL

Condiiile de ordinul 1 sunt:

00

0,

0

0

0

0

0

CLwpC

wL

U

pC

U

CwLpC

wL

U

pC

U

L

L

L

C

L

(4.24)

sau, altfel scris:

0

UwL

U pC

pC wL C

(4.24)

Din rezolvarea sistemului (4.24) se deduc ** , LC i, de asemenea, * .

Observaie: Notnd cu T timpul total ntr-o perioad de analiz, iar cu R timpul pentru repaus avem c: RLT , de unde RTL . Problema de optim devine:

0

,

buget de restrictia pe

),([max]

CwTwRpC

LCULC

i soluia este ),( ** RC , dup care se poate afla *L .

Capitolul 4 Microeconomie-Stelian Stancu

Documents

Transcript of Capitolul 4 Microeconomie-Stelian Stancu