Capitolul 3 Funcții 3.1 Conceptul de funcţie. Determinări de funcţii prin condiţii date

3.1.1. Se dau funcţiile { }, : 1,0,1f g − →� , definite prin:

( ) ( ) ( )2 1 4 2 2 1 22 1, 2 1n n nf x ax a x g x ax x ax

+ + += + − + = + − + , unde a ∈� şi

n ∈� . a) Să se arate că f g= ;

b) Să se arate că nu există nici o funcţie { }: 1,0,1h − →� de forma

( ) 2 , 0h x bx cx d b= + + ≠ astel încît h f g= = .

(Augustin Coţa, Olimpiadă locală, Cluj, 1979) 3.1.2. Fie :f →� � o funcţie oarecare. Să se arate că:

a) ( ) ( ), ,a x y∀ ∈ ∃ ∈� � astfel încît ( ) ( ) ( )af xy xf y yf x= + ;

b) ( ) ( ), ,a x y∀ ∈ ∃ ∈� � astfel încît ( ) ( ) ( )af x y xf x yf y+ = + .

(M. Dicu, 19611*, G.M. 3/1983) 3.1.3. a) Există funcţii :f →� � astfel încît ( ) ( ) ( )1 1,f x f x x+ − = ∀ ∈� ? Dar

( ) ( ) ( )1 ,f x f x x x+ − = ∀ ∈� ?

b) Să se determine funcţia :f →� � care verifică relaţia

( ) ( )2 1 1f x f x x+ − = + , ( ) x∀ ∈� .

(Ion Cheşcă, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1984) c) Aceeaşi cerinţă pentru relaţia ( ) ( ) ( )2 3 1 4 1,f x f x x x+ − = − ∀ ∈� .

3.1.4. Determinaţi funcţiile :f →� � care au proprietatea că:

( ) ( ) ( )4 , ,f x y f x y xy x y+ − − = ∀ ∈� .

3.1.5. Funcţia :f →� � satisface condiţia ( ) ( ) ( )1 2 1,m f x n f x x x− + − = + ∀ ∈� .

Să se determine m şi n astfel încît ( )2 5f − = şi ( )1 1f = .

3.1.6. Să se determine funcţia :f →� � care verifică relaţia

( ) ( ) ( )4 3 ,f x f x c x x+ − = ∀ ∈� unde c ∈� . Reprezentaţi grafic funcţia

determinată. 3.1.7. Să se găsească funcţia :f →� � care îndeplineşte condiţiile:

i) ( ) ( ) ( )1,f x f x x⋅ − ≥ ∀ ∈� ;

ii) ( ) ,m n∗∃ ∈� astfel ca ( ) ( ) ( ),nf x mf x m n x+ − = + ∀ ∈� .

(Vasile Zidaru, 19381, G.M. 9-10/1982) 3.1.8. Fie numerele , ,m n m n∗∈ >� . Să se determine funcţiile , :f g →� � care satisfac relaţiile:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1

mf x nf x g x

m nf x g x x

m n

g x g x

+ − =

+ −+ = ⋅

− = − −

(Alexandru Isar, 19770, G.M. 7/1983)

3.1.9. Să se determine funcţia :f →� � cu proprietatea că:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,xf x x f x x x+ − − = + ∀ ∈� .

(I. Cicu, Olimpiadă locală, Giurgiu, 1984) 3.1.10. Să se determine funcţia :f →� � avînd proprietatea că

( ) ( ) 2 21 1 , , , ,af x bf x cx a b c a b− + − = ∈ ≠� . Să se studieze şi cazurile a b= şi

a b= − . (MvŞ, 1964; 8735, G.M.B. 2/1968) 3.1.11. Fie :g →� � o funcţie dată şi a ∈� fixat. Să se determine funcţia

:f →� � care verifică relaţia ( ) ( ) ( ) ( )3 2 ,f a x f x a g x x− + − = ∀ ∈� .

(Liviu Pîrşan, 16930, G.M. 11/1977) 3.1.12. Să se determine toate funcţiile :f →� � aşa încît

( ) ( ) ( )2 41 2 ,x f x f x x x x+ − = − ∀ ∈� .

(Olimpiadă, Austria, 1985) 3.1.13. a) Să se determine toate funcţiile :f →� � care verifică inegalităţile

( ) ( ) ( )1 1,f x x f x x+ ≤ ≤ + ∀ ∈� .

(Laurenţiu Panaitopol, Olimpiadă judeţeană, 1979) b) Generalizare: să se determine toate funcţiile :f →� � astfel încît

( ) ( ) ( ),f ax b ax f ax b x− ≤ ≤ − ∀ ∈� , unde , , 0a b a∈ ≠� .

(19492, G.M. 12/1982) 3.1.14. Să se găsească toate funcţiile :f →� � astfel încît:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ), ,f x

f x f y f x f y x yf y

⋅ = + − ∀ ∈� .

(Adrian Cîmpeanu, 16768, G.M. 8/1977) 3.1.15. Să se determine toate funcţiile :f →� � cu proprietatea că există o

funcţie neconstantă :ϕ →� � astfel ca ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y f x y f y x yϕ+ = + ∀ ∈� .

(Liviu Vlaicu, 19578, G.M. 2/1983) 3.1.16. Să se determine funcţiile :f ∗ ∗→� � cu proprietatea că:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )

( )2 2 ,f x f y

f x f y xf y yf x xy x yf y f x

∗

⋅ = + − + ∀ ∈

�

(Augustin Semenescu, 17004*, G.M. 1/1978) 3.1.17. Fie ( ) ( ): 0; 0;f ∞ → ∞ o funcţie astfel încît ( )f x x≤ şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0;f xy f x f y x y≤ ⋅ ∀ ∈ ∞ . Să se arate că ( ) ( ) ( ), 0;f x x x= ∀ ∈ ∞ .

(Dorinel Anca, 18529*, G.M. 12/1980) 3.1.18. Există funcţii :f →� � astfel încît ( ) ( )1984 1983,f x x x= ∀ ∈� ?

(Dumitru Calotă, 20258, G.M. 11/1984) 3.1.19. Să se determine toate funcţiile [ ] [ ]: ; ; , ,f a b a b a b→ ∈� , cu proprietatea

( ) ( ) ( ) [ ], , ;f x f y x y x y a b− ≥ − ∀ ∈ .

(Olimpiadă locală, Galaţi, 1984) 3.1.20. a) Să se demonstreze că dacă ( ) ( ), 0;x y z z− ≤ ∀ ∈ ∞ , atunci x y= .

b) Să se găsească funcţiile :f →� � care satisfac condiţia:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 1 1 , ,y f x f x x yx yx x y− ≤ − + ∀ ∈� .

(Mihai Piticari, Olimpiadă locală, Suceava, 1985) 3.1.21. Fie a ∈� astfel încît 4 1 0a + ≤ şi :f →� � o funcţie cu proprietatea

( ) ( ) ( )1 ,f x a x x≤ − ∀ ∈� . Să se arate că ecuaţia ( )2f x ax= are cel mult o

rădăcină reală, aceasta fiind independentă de a . (Dan Seclăman, Olimpiadă judeţeană, 1985) 3.1.22. Dacă funcţiile , :f g →� � verifică simultan condiţiile:

i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 1 3 1 6 , ,f x f x g x g y x y x y+ − + − = + − ∀ ∈�

ii) ( )0 0g =

să se arate că f g= . (Olimpiadă locală, Bucureşti, 1986) 3.1.23. Se consideră funcţia :f →� � cu proprietăţile:

i) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,f x x f x f x x x+ = + ∀ ∈� ;

ii) ( )1 1f = ;

iii) ( ) ( )2

1 1, 0f f x x

x x

= ∀ ≠

.

Să se calculeze ( )2005f .

3.1.24. Să se găsească funcţiile :f +→� � care verifică relaţia

( ) ( ) ( )2 1,f x f x x⋅ − = ∀ ∈� . (Dorel Miheţ, 17909*, G.M. 9/1979)

3.1.25. Fie :f →� � o funcţie cu proprietatea ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈�

Să se determine mulţimea ( ){ }F x f x x= ∈ =� ştiind că are un număr finit de

elemente. (Concurs Oţelu Roşu, 1984) 3.1.26. Fie funcţia :f →� � satisfăcînd relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈�

a) Calculaţi ( )0f .

b) Determinaţi toate funcţiile care satisfac relaţia dată. (Marcel Chiriţă, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1984)

3.1.27. Să se determine funcţia :f →� � care îndeplineşte următoarele condiţii:

( ) ( ) ( ) ( ), ,f x f y f x y xy x y+ = + − ∀ ∈� şi ( )1 1f = .

(Maria Zară, E:8599*, G.M. 6/1985) 3.1.28. Să se determine funcţiile :f →� � cu proprietatea

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ), , ,f x y f x f y

x y x yf x y f x f y

+ += ∀ ∈ ≠

− −� astfel încît ( )1 1f = .

(Liliana Niculescu, 17238, G.M. 6/1978) 3.1.29. Fie :g →� �astfel încît ( ) ( ) ( ) ( ), ,g x y g x g y x y+ ≥ + ∀ ∈� şi

( ) ( )1 1 1g g= − = . Să se arate că ( )0 0g = şi ( )2 2g = .

(V. Matrosenco, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1985) 3.1.30. Se consideră funcţia ( ): 0;f ∞ →� şi 0a > astfel încît ( ) 1f a = . Să se

demonstreze că dacă ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , , 0;a a

f x f y f f f xy x yx y

+ = ∀ ∈ ∞

, atunci

f este constantă. (Titu Andreescu, 18455*, G.M. 10/1980)

3.1.31. Să se arate că nu există funcţii :f →� � astfel ca ( ) ( )2 2 2 1 0xf x f+ + =

pentru orice x ∈� . (I.V. Maftei, Sorin Rădulescu, Olimpiadă judeţeană, 1979)

3.1.32. Fie :f →� � astfel încît există a ∈� pentru care

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y a f x f y f a x y+ + = + + ∀ ∈� . Să se arate că:

( ) ( ) ( ) ( ), ,f x y f a f y x y+ = + ∀ ∈� .

(Laurenţiu Panaitopol, 19170, G.M. 4/1982) 3.1.33. Determinaţi funcţiile :f →� � care verifică relaţiile ( )0f α= , cu α ∈�

dat şi ( ) ( ) ( ), , \f x y x f y x y+ = + ∀ ∈� � .

(M. Codiţă, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1985) 3.2 Funcţii injective, surjective, bijective. 3.2.1. Fie { }0,1A = şi { }, ,B a b c= . Să se determine toate funcţiile :f A B→ ; cîte

dintre acestea sunt injective ? 3.2.2. Să se determine mulţimile A şi B ştiind că { }1 2 3 4, , ,A B a a a a∩ = şi

( ) ( ) { }5 6,A B A B a a∪ − ∩ = , ştiind că se poate defini o funcţie bijectivă :f A B→ .

(Ilie Stănescu, 9501, G.M.B. 3/1969) 3.2.3. Se consideră mulţimile ,A B şi C , care satisfac condiţiile exerciţiului 2.3.12. Se cere:

a) Cîte funcţii :f A B→ injective se pot defini ? b) Cîte funcţii :g C C→ injective se pot defini ?

(Ilie Stănescu, 9214, G.M.B. 10/1968) 3.2.4. Să se determine numărul elementelor mulţimii finite A astfel încît să existe bijecţii 2:f A →P ( )A . Cîte astfel de bijecţii există ?

(Horea Banea, 16186, G.M. 6/1976)

3.2.5. Fie :f A B→ o funcţie; notăm ( ) ( ){ }f A f x x A A A′ ′ ′= ∈ ⊆ fiind o

submulţime a lui A . ( ( )f A′ se numeşte imaginea submulţimii A′ prin funcţia

f ) Să se arate că:

a) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f X Y f X f Y X Y A∪ = ∪ ∀ ⊆ ;

b) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f X Y f X f Y X Y A∩ ⊂ ∩ ∀ ⊆ ;

c) Funcţia f este injectivă dacă şi numai dacă:

( ) ( ) ( ) ( ), ,f X Y f X f Y X Y A∩ = ∩ ∀ ⊆ . Caz particular: f este

injectivă dacă şi numai dacă ( ) ( )f X f Y∩ = ∅ , oricare ar fi submulţimile

,X Y A⊂ astfel încît X Y∩ = ∅ . (Cazul particular: Emil Moldoveanu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1985)

3.2.6. Fie A B C= ∪ şi funcţia :f P ( )A →P ( )A ×P ( )A , definită prin

( ) ( ),f X X B X C= ∪ ∪ . Să se demonstreze că f este injectivă dacă şi numai

dacă B C∩ = ∅ . (Dorel Miheţ, Olimpiadă judeţeană, 1984) 3.2.7. Fie A o mulţime finită şi :f A A→ o funcţie. Să se arate că f bijectivă

f⇔ injectivă f⇔ surjectivă. 3.2.8. Să se construiască:

a) o funcţie :f →� � injectivă, dar nesurjectivă; b) o funcţie :g →� � surjectivă, dar neinjectivă.

3.2.9. Să se construiască o funcţie :f ∗ ∗→� � surjectivă, care ia orice valoare

n∗∈� de exact n ori.

3.2.10. Să se arate că nu există nici o funcţie surjectivă de la o mulţime X la mulţimea părţilor sale P ( )X . Deduceţi că nu există nici o mulţime X astfel încît

P ( )X X⊂ .

3.2.11. Să se definească o bijecţie ( ] ( ): 0,1 0,1f → .

3.2.12. Fie :f →� � o funcţie injectivă astfel încît

( ) ( ) ( ) ( )1 ,f x f x f ax b x− = + ∀ ∈� unde ,a b ∈�

Să se arate că: a) 0a = b) ( )1 1f b− = c) f nu este surjectivă.

(Maria Elena Panaitopol, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1983) 3.2.13. Studiaţi injectivitatea funcţiilor

( ) ( ) ( )4 3 3 3, , : , 2 3 4, 1, 1f g h f x x x g x x x h x x x→ = + + = + + = − +� � .

3.2.14. Să se demonstreze că funcţia ( ) 3 2: ,f f x ax bx cx d→ = + + +� � este

injectivă dacă şi numai dacă 2 3 0b ac− ≤ , cu restricţia 0c ≠ în cazul 0a = . (Nicolae Crainic, 19851, G.M. 9/1983) 3.2.15. Să se arate că funcţia ( ) 2 2 1: , n n

f f x ax bx c−→ = + +� � , unde , ,a b c ∗∈�

şi n∗∈� nu este injectivă.

(Liviu Pîrşan, 16412, G.M. 2/1977) 3.2.16. Demonstraţi că:

a) funcţia ( ) ( ) ( )2

: 0; , 1f f x x x∞ → = +� este injectivă;

b) funcţia ( ] ( )1 1

: 1;1 ; ,2 1

g g xx

− → ∞ = +

este surjectivă.

(C. Gîdea, 18933*, G.M. 10/1981)

3.2.17. Să se studieze injectivitatea funcţiei ( ) ( )1

: 0; ,f f x xx

∞ → = +� .

(Gh. Albu, 19738*, G.M. 6/1983)

3.2.18. Fie funcţia ( )( ]

( )

1, ;2: ,

3, 2;

x xf f x

mx x

+ ∈ −∞→ =

− ∈ ∞� �

a) Să se determine m astfel încît punctul ( )3,3A să aparţină graficului funcţiei;

b) Să se studieze (pe cazul general) injectivitatea funcţiei f . (Gh. Măntoiu, Olimpiadă locală, Dîmboviţa, 1979)

3.2.19. Să se cerceteze injectivitatea funcţiilor:

a) ( )3 1, 0

: ,1, 0

x xf f x

x x

− ≤→ =

+ >� �

b) ( )22 1, 0

: ,2, 0

x xf f x

x x

− ≤→ =

− + >� �

3.2.20. Să se arate că funcţia :f →� � definită prin:

( ) ( )0, 0

2 1 2 1 , 0

nf n

n n n n

==

+ − − >

este injectivă.

3.2.21. a) Să se arate că funcţia ( ) ( ): , 1n

f f n n→ = + −� � este bijectivă.

(Doru Ştefănescu, 19055*, G.M. 1/1982) b) Să se determine funcţiile surjective :g →� � cu proprietatea că

( ) ( ) ( )1 ,n

g n n n≥ + − ∀ ∈� . (Marius Burtea, 1986)

3.2.22. Să se cerceteze surjectivitatea funcţiilor:

a) ( )2 1, 0

: ,1, 0

x xf f x

x x

+ ≤→ =

− >� �

b) ( )2 1, 0

: ,1, 0

x xf f x

x x

− ≤→ =

+ >� �

3.2.23. Pentru orice ,m n ∈� se consideră funcţia:

( ), ,

, 0: ,

, 0m n m n

x m xf f x

nx m x

− ≤→ =

+ >� �

Să se determine valorile lui m şi n pentru care ,m nf este: a) injectivă; b)

surjectivă; c) bijectivă. (Matematică, 1984)

3.2.24. Fie ( ), 0

: , ,, 0

ax b xf f x a b

bx a x

+ ≤→ = ∈

+ >� � � .

a) Să se determine funcţia ( ) ( ): , 1g g x f x→ = +� � .

b) Care este condiţia necesară şi suficientă pe care trebuie să o îndeplinească a şi b astfel încît f să fie injectivă ? (I.V. Maftei, 1984)

3.2.25. Să se determine a şi b astfel încît funcţia [ ]: 0;3f →� ,

( )

2

2

, 0 1

2 , 1 2

, 2 3

x x

f x x x

ax b x

≤ <

= ≤ ≤ + < ≤

să aibă proprietatea că oricare [ ]0;8y ∈ să fie imaginea prin f a unei singure

valori [ ]0;3x ∈ . (Olimpiadă judeţeană, 1976)

3.2.26. Să se arate că funcţia ( ) ( )2

2

5 1 2 3: 1;0 ; ,

11 2 5 6

xf f x

x

+ − → =

+ este strict

crescătoare şi surjectivă. (Liviu Pîrşan, 18329*, G.M. 7/1980)

3.2.27. Să se arate că funcţia [ ] [ ] ( )( ) ( )

2

1: 0;1 0;1 , ,

1

x x af f x a

x

+ +→ = ∈

+� este

bijectivă. (Maria Elena Panaitopol, 16348*, G.M. 1/1977)

3.2.28. Fie funcţia :f E → � dată de ( )( )( )

2

2

ax a b x bf x

bx a b x a

+ + +=

+ + +, unde

, ,a b a b∗∈ ≠ ±� . a) Să se precizeze mulţimea E ⊂ � pe care poate fi definită f ; b) Arătaţi că f este injectivă; c) Arătaţi că se poate defini o funcţie bijectivă � � ( ) ( ) ( ): , ,f E F f x f x x E→ = ∀ ∈ , determinînd mulţimea de valori F ⊂ � .

(Gh. Albu, Olimpiadă locală, 1978) 3.2.29. Se consideră funcţia :f →� � , definită prin relaţia

( ) ( )( )1 1 0xy a xy x yα − + − + + = , unde , 0a α∈ >� .

a) Să se stabilească domeniul D de definiţie al funcţiei şi imaginea sa ( )E f D= ;

b) Să se arate că funcţia � � ( ) ( ) ( ): , ,f D E f x f x x D→ = ∀ ∈ este bijectivă şi să

se determine inversa sa; c) Să se determine punctele fixe ale funcţiei �f (punctele 0x D∈ cu proprietatea

că � ( )0 0f x x= ). (E. Isac, 9711, G.M.B. 7/1969, enunţ adaptat)

3.2.30. Există funcţii :f →� � injective astfel încît ( ) ( ) ( )2 2 1,

4f x f x x− ≥ ∀ ∈� ?

(Titu Andreescu, Olimpiadă naţională, 1981) 3.2.31. Există funcţii injective :f →� � cu proprietatea că:

( ) ( ) ( ) ( )3 5 4 3 2 5 4 3 43 4,f x x x f x x x f x x− + − − + ≥ + ∀ ∈� ?

(D.M. Bătineţu, 19107, G.M. 2-3/1982) 3.2.32. Funcţia :f →� � verifică relaţia ( ) ( ) ( ) ( )2 4 16 1,x x xf f f x+ + = ∀ ∈� . Să

se arate că f este neinjectivă.

3.2.33. Fie a∗∈� . Să se arate că există funcţii bijective :f →� � astfel încît

( )( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 0a f a x af x a+ − + + ≤ pentru orice x ∈�dacă şi numai dacă

{ }1,1a ∈ − . (Olimpiadă judeţeană, 1988)

3.2.34. Se consideră funcţia ( ): 0;f ∞ →� îndeplinind condiţiile:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0;f xy f x f y x y= + ∀ ∈ ∞ ;

b) ( ) ( ) ( ) { }0, 0; \ 1f x x≠ ∀ ∈ ∞ .

Să se arate că f este injectivă. (18120*, G.M. 2/1980)

3.2.35. Să se determine toate funcţiile [ ): 1;f → ∞� surjective care verifică

relaţia ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 , ,f x f y f x xf y f y x y+ = + + ∀ ∈� .

(Florica Vornicescu, 1985) 3.2.36. Fie funcţia { }: \ 1,0f − →� � cu proprietăţile:

( )1 0f = şi

( ) ( ) ( ) { }1

, , \ 1,0 ,x

f f x f y x y x yy k

= − ∀ ∈ − ≠

� , unde { }\ 1,0,1k ∈ −� .

a) Să se exprime ( )nf x în funcţie de ( )f x pentru orice n ∈� ;

b) Să se arate că funcţia f nu este injectivă; c) Să se dea exemple de funcţii cu proprietatea din enunţ.

(C. Scheau, 20145*, G.M. 7/1984)

3.3 Compunerea funcţiilor 3.3.1 Definiţia compunerii 3.3.1. Fie funcţiile : , :f A B g B C→ → şi :h C D→ . Ştiind că g f� este surjectivă şi h g� este injectivă, să se arate că g este bijectivă, f este surjectivă şi h este injectivă. (N.C. Manolache, 10063, G.M.B. 12/1969) 3.3.2. Fie funcţiile : , :f A B g B C→ → şi :h C A→ . Ştiind că dintre funcţiile

,g f h g� � şi f h� una este injectivă, alta surjectivă şi cea de-a treia bijectivă, să se arate că funcţiile , ,f g hsunt bijective.

(N.C. Manolache, 10064, G.M.B. 12/1969) 3.3.3. Fie , , ,A B C D patru mulţimi, iar , , ,f g u v patru aplicaţii astfel încît diagrama

de mai jos să fie comutativă ( )v f g u=� � . Să se arate că dacă u este surjectivă,

iar v este injectivă, atunci există o aplicaţie unică :h B C→ astfel încît h u f=� şi v h g=� . (Dan Radu, 18401, G.M. 8/1980) Figura 3.1 La problema 3.3.3. 3.3.4. Fie A o mulţime cu cel puţin trei elemente. Considerăm mulţimea

{ }: bijectivăAS f A A f= → . Să se arate că dacă Af S∈ are proprietatea

( ), Af g g f g S= ∀ ∈� � , atunci 1Af = (funcţia identică a mulţimii A ).

(C. Năstăsescu, 18373, G.M. 8/1980) 3.3.5. Pentru , , 0a b a∈ ≠� , definim funcţia ( ), ,: ,a b a bf f x ax b→ = +� � . Arătaţi

că: a) ,a bf este funcţie bijectivă;

b) ( ), , , , , , , 0, 0a b c d ac ad bf f f a b c d a c+= ∀ ∈ ≠ ≠� � . Deduceţi condiţia pe care

trebuie să o verifice , , ,a b c d astfel încît , , , ,a b c d c d a bf f f f=� � .

c) Pentru , , 0a b a∈ ≠� , găsiţi ,α β ∈� astfel încît , , 1a bf fα β = �� .

3.3.6. Se dau funcţiile ( ) ( ), : , 2, 2f g f x ax g x x a→ = + = +� � , unde { }\ 2a ∈� .

Să se determine a astfel încît . f g g f=� � . (Olimpiadă locală, Hunedoara, 1979)

3.3.7. Fiind dată funcţia ( ) 2: , 1f f x x→ = +� � , să se determine funcţia de

gradul întîi :g →� � astfel încît ( ) ( )2g x x g x= + − şi ( )( ) ( )2 ,g f x x x= ∀ ∈� � .

(Ion Cicu, Olimpiadă locală, Giurgiu, 1984)

h g

v

f

A B

C D

u

3.3.8. Fie ( ) ( ) 2, : , ,f g f x ax b g x Ax Bx C→ = + = + +� � . Să se determine

condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească numerele reale , , , , , 0a b A B C aA ≠ , astfel încît f g g f=� � . Caz particular 1a A= = . (D.M. Bătineţu) 3.3.9. Să se rezolve în ×� � sistemul:

( ) ( ) ( )1

016

f g f x g f g

= − =

� � � � , unde , :f g →� � , ( )f x ax b= + şi

( )g x bx a= + . (Nicolae Păuna, 19252, G.M. 6/1982)

3.3.10. Să se determine numerele întregi nenule , , ,a b A B astfel încît funcţiile

( ) ( )2 3, : , ,f g f x ax b g x Ax Bx→ = + = +� � să comute la compunere (adică

f g g f=� � ). (Liviu Pîrşan, 20343*, G.M. 2/1985)

3.3.11. Fie ( ) 2, : , 2 2f g f x x x→ = + +� � şi ( ) 2 2g x x x= − + . Să se arate că

ecuaţia ( )( ) ( ) ( )f g x g f x=� � nu are rădăcini reale.

(Constantin Caragea, Olimpiadă locală, Constanţa, 1988) 3.3.12. Fie :f →� � o funcţie astfel încît ( ) ( ) ( )1 ,af x bf x x x+ − = ∀ ∈� , unde

,a b ∈� cu 0a b+ ≠ . Să se arate că:

a) ( ) ( ) ( )1 ,f x f x a b x+ − = + ∀ ∈� ;

b) Dacă a b≠ , atunci ( ) 2 2

1 bf x x

a b a b= −

− −.

(D. Buşneag, Olimpiadă judeţeană, 1980) 3.3.13. Se consideră mulţimile

( ){ }2: , 0A f f x ax bx c a= → = + + ≠� �

( ){ }4 3 2

4 3 2 1 0 4: , 0B g g x a x a x a x a x a a= → = + + + + ≠� �

a) Să se arate că oricare ar fi funcţiile ,u v A∈ , avem u v B∈� ;

b) Să se determine g B∈ astfel încît ( ) ( ) ( )1 1 ,g x g x x− = + ∀ ∈� ;

c) Fie mulţimea { },C u v u v A= ∈� . Să se arate că B C− ≠ ∅ .

(Olimpiadă locală, Bucureşti, 2004) 3.3.14. Se consideră mulţimea finită E , avînd un număr impar de elemente şi funcţia :f E E→ , cu proprietatea că 1Ef f =� . Să se demonstreze că funcţia

f are cel puţin un punct fix (adică un punct 0x E∈ astfel încît ( )0 0f x x= ).

(Gheorghe Ionescu, Olimpiadă judeţeană, 1977) 3.3.15. Fie M ≠ ∅ şi :f M M M× → astfel încît ( )( ) ( ), , , ,f f x y x y x y M= ∀ ∈ .

Să se arate că ( )( ) ( ), , , ,f x f y x y x y M= ∀ ∈ .

(Concurs Oţelu Roşu, 1984) 3.3.16. Fie :f →� � astfel încît ( )( ) ( ),f f x x x= − ∀ ∈� � .

a) Există o astfel de funcţie ? (Cristian Secrieru, 18204, G.M.B. 4/1980)

În caz afirmativ, să se arate că: b) f este bijectivă; c) f nu este strict monotonă; d) ( )0 0f = .

(S. Dăscălescu, Olimpiadă locală, Prahova, 1986) 3.3.17. Există funcţii :f →� � bijective astfel încît ( ) ( ) ( ),f f x x x= ∀ ∈� � ?

(Silviu Birăuaş, Olimpiadă locală, Timiş, 1984) 3.3.18. Se consideră funcţia [ ] [ ]: 0;1 0;1f → cu proprietatea ( )1f f f=� .

a) Dacă [ ]0;1c ∈ are proprietatea ( )1

2f c = , să se afle

1

2f

;

b) Să se determine funcţia f , ştiind că este surjectivă; c) Să se arate că şi funcţia definită prin:

( )[ ]

( ]

, 0;

, ;1

x x kf x

k x k

∈=

∈, unde ( )0;1k ∈ are proprietatea ( )1 .

(Olimpiadă, Olanda, 1966; 8152, G.M.B. 4/1967) 3.3.19. Fie :f →� � o funcţie cu proprietatea că

( )( ) ( )( ) ( ),f f f x f f x x x= + ∀ ∈� � � � .

Să se arate că f este injectivă şi să se calculeze ( )0f .

3.3.20. Să se determine toate funcţiile :f →� � ştiind că ( )( ) ( ),f f x x x= ∀ ∈�

şi că funcţia ( ) ( ): ,g g x x f x→ = +� � este bijectivă.

(Concurs Oţelu Roşu, 1984) 3.3.21. Se consideră funcţiile ( ) ( )2 2, : , 2, 2f g f x x x g x x x→ = + + = − +� � . Să

se arate că nu există nici o funcţie :h →� � astfel încît să avem: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),h f x h g x g f x x+ = ∀ ∈� � � � .

(Eliade Hristu, 16900, G.M. 10/1977) 3.3.2 Compunerea funcţiilor „cu ramuri”

3.3.22. Fie funcţia ( ): , 1f f x x→ = −� � . Să se determine f f� .

3.3.23. Calculaţi f g� şi g f� pentru următoarele perechi de funcţii:

a) ( ) ( )2 2, 02 1, 1

, : ,3 , 01, 1

x xx xf g f x g x

x xx x

+ ≤ + ≤ → = =

>− > � �

b) ( ) ( )2 1, 02, 3

, : ,, 02 1, 3

x xx xf g f x g x

x xx x

+ ≤ + ≤ → = =

>+ > � �

c) ( ) ( )22 3, 0 , 2

, : ,7 , 0 2 1, 2

x x x xf g f x g x

x x x x

− ≤ ≤ −→ = =

> − > − � �

(Olimpiadă locală, Constanţa, 1985) 3.3.24. Fie 0 a b< < şi funcţiile:

( )( )

( )( )

2

2

, 0, 0, : ,

, 0, 0

x a xx a b x ab xf g f x g x

x a b x ab xx b x

+ < − + + < → = =

− + + ≥+ ≥ � �

Să se determine f g� şi g f� . (Marcel Chiriţă, 17870, G.M. 8/1979)

3.3.25. Se dau funcţiile ( ) ( ) ( )

1, 03, 1

, : , 1, 0;32 , 1

2, 3

x xx

f g f x x x g xx a x

x

+ ≤≤

→ = − + ∈ = + >− ≥

� �

Să se determine valorile lui a ∈� astfel încît funcţiile f g� şi g f� să fie constante. Pentru valoarea minimă determinată, să se reprezinte grafic funcţiile f şi g . (Olimpiadă locală, Cluj, 1983)

3.3.26. Se dau funcţiile ( ) ( )3, 1 3, 2

, : ,2 , 1 3 , 2

x x x xf g f x g x

x m x x n x

+ ≤ − + ≤ → = =

+ > − + > � �

Să se determine m şi n astfel încît funcţiile g şi f g� să fie bijective. Determinaţi în acest caz f g� . (V. Băghină, Olimpiadă locală, Prahova, 1986) 3.3.27. Fie funcţia :f →� � care satisface condiţia

( ) ( )3, 1

3, 1

x xm f x n f x

x x

− − ≤+ − =

+ >

a) Să se determine m şi n astfel încît ( )2 1f = − şi ( )2 3f − = − .

b) Să se afle funcţia f care verifică relaţia ( ) ( )3, 1

23, 1

x xf x f x

x x

− − ≤+ − =

+ >

3.3.28. Fiind dată funcţia ( )3 1, 1

: ,3 , 1

x xf f x

x x

− ≤→ =

− >� � , se cere:

a) Să se determine funcţia ( ) ( ): , 1h h x f x→ = −� � ;

b) Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea ( ) ( ) 1f x h x+ = ?

(M. Haivas, Olimpiadă locală, Timiş, 1979) 3.3.29. Se consideră funcţiile :

( ) ( )21, daca , daca

, : ,0, daca \ 0, daca \

x x xf g f x g x

x x

∈ ∈→ = =

∈ ∈

� �� �

� � � �

Să se determine f g� şi g f� . 3.3.3 Compuneri iterate. Exerciţii diverse 3.3.30. Fie a ∈� şi :f →� � o funcţie pentru care:

1) ( ) ( ) ( )4 3,f f x x x= + ∀ ∈� �

2) ( )( ) ( )8 ,f f f x x a x= + ∀ ∈� � �

a) Să se determine a ∈� şi funcţia de gradul întîi care satisface condiţiile 1) şi 2);

b) Să se arate că singura funcţie :f →� � care satisface condiţiile 1) şi 2) este funcţia determinată la punctul a).

(M. Chiriţă, V. Matrosenco, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1983) 3.3.31. Se consideră funcţiile 0 1, , , nf f f… definite prin:

( ) ( )( )0 1

1 1, , 0, 1

2 1k

k

f x f x k nx f x

+= = = −− −

a) Să se determine domeniile maxime de definiţie ale funcţiilor 0 1, , , nf f f… ;

b) Pentru 1979n = , să se determine o funcţie { }: \ 2h →� � astfel încît

1979 0f h f=� . (Adrian Ghioca, Olimpiadă judeţeană, 1979)

3.3.32. Fie mulţimea { }\ 0,1E = � şi funcţia ( )1

: ,1

g E E g xx

→ =−

.

a) Să se arate că funcţia g este surjectivă;

b) Să se determine funcţia ( ) ( ) ( )2005 2005

2005 ori

: , ...g g x g g g x→ =� � � � ���

;

c) Să se determine funcţia :f E E→ astfel încît ( ) ( ) ( ) ( ),f x f g x x x E+ = ∀ ∈� .

(Ion Solomon, 19814, G.M. 8/1983; Olimpiadă locală, Constanţa, 1984) 3.3.33. Să se determine funcţiile :f →� � pentru care:

( ) ( ) { }1 1

1, \ 0x

f f x x xx x

− + = − + ∀ ∈

�

(Th. Dăneţ, Olimpiadă naţională, 1983)

3.3.34. Fie 1

\ 0, 1, ,1, 22

D

= −

� . Să se determine funcţiile :f D → �pentru care

( ) ( )1 1

1 ,1 1

xf x f x D

x x x

− − = ∀ ∈

+ − . (Aurelia Catană, 1986)

3.3.35. Fie a∗∈� şi funcţia { } { }: \ \g a a→� � , astfel ca

( ) ( )1 , 0a

g x a a xx

+ = + ∀ ≠

. Să se calculeze ( )( )

ori

,

n

g g g x n∗∈� �…� �

��.

(Gh. Miculescu, 19691*, G.M. 5/1983) 3.3.36. Să se determine funcţiile ( ): , , ,f f x ax b a b→ = + ∈� � � , astfel încît

( )( ) ( )( ) ( ) ori ori

0,

n n

f f f x f f f x x+ − = ∀ ∈� �…� � �…� ��� ��

.

(I. Ursu, 18703*, G.M. 4/1981) 3.3.37. Fie :f →� � , ( )f x ax b= + cu , 0a b ≠ . Definim ( ) ( )( )1f x f f x= ,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 1 3 2,f x f f x f x f f x= = etc. Să se cerceteze dacă există valori pentru

a şi b astfel încît ( ) ( )nf x f x= , unde n∗∈� este precizat.

(Gh. D. Simionescu, 18988*, G.M. 11/1981)

3.3.38. Se dau funcţiile : ,n nϕ ∗→ ∈� � � , definite prin ( ) ( ),n x nx u nϕ ∗= + ∀ ∈� ,

unde u este o constantă reală. Se definesc funcţiile :ng →� � astfel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 1 1, , , n n ng x x g x g x g x g xϕ ϕ ϕ ϕ + −= = =� � … � .

Să se determine expresia funcţiei ( )ng x şi să se demonstreze rezultatul găsit

prin inducţie matematică. (D. Stemer, 6395, G.M.B. 6/1964) 3.3.39. Fie funcţia ( ): , 1f f x x→ = −� � . Să se rezolve ecuaţia:

( )( ) ori

,

n

f f f x x n∗= ∈� �…� �

��. (Concursul anual G.M, 1981)

3.3.40. Să se determine funcţia :f ∗ ∗→� � care satisface egalitatea:

( )( ) ( )

( )

21 3 99 23

9 3

m x xf x f

x m x m

− + − + + − = +

+ , oricare ar fi { }\ 3x

∗∈ −� şi

0m ≠ , parametru întreg. Să se afle apoi valorile întregi ale lui x şi m pentru care ( )f x ∈� . (Vasile Chiriac, 21612, G.M. 11-12/1988)

3.3.41. Fie { }\ 1,0,1D = −� . Să se determine toate funcţiile :f D D→ cu

proprietatea că ( ) ( )2 164 ,

1

xf x f x x D

x

− ⋅ = ∀ ∈

+ .

(Olimpiada americano-iberică, 1987) 3.3.42. a) Se consideră funcţia :f →� � cu proprietatea că există n

∗∈� astfel încît ( )( ) ( )

ori

... 2 1,

n

f f f x x x= − ∀ ∈� � � ���

. Să se calculeze ( )1f .

(Dorel Miheţ, C:3, G.M. 1/1980) b) Generalizare: Fie , :f g →� � astfel încît

orin

g f f f= � �…���

, cu n∗∈� . Se ştie

că există un unic 0x ∈� cu proprietatea ( )0 0g x x= . Să se arate că ( )0 0f x x= .

(Ionel Moş, 19892*, G.M. 10-11/1983) 3.3.43. Să se găsească o funcţie :f →� � , diferită de funcţia identică, cu proprietatea

ori

1 , , 2

n

f f f n n= ∈ ≥�� �… ���

.

(Olimpiadă locală, Argeş, 1984) 3.3.44. Fie :f →� � o funcţie cu proprietatea ( ) ( ) ( )2 1,f f x x x x= − + ∀ ∈� � . Să

se arate că: a) ( )1 1f = ;

b) Funcţia ( ) ( )2: , 1g g x x xf x→ = − +� � nu este injectivă.

(Olimpiadă locală, Dolj, 1983)

3.3.45. Fie ( ) 2: , 3 1g g x x x→ = + +� � . Să se arate că oricare ar fi funcţia

:f →� � cu proprietatea f g g f=� � , există 0x ∈� astfel încît ( )0 0f x x= .

(Valentin Matrosenco, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1984) 3.3.46. Fie , ,a b c ∈� şi o funcţie :f →� � cu proprietatea:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ,f ax bx c af x bf x c x+ + = + + ∀ ∈� .

a) Să se demonstreze că ecuaţia ( )( )f f x x= are cel puţin o soluţie dacă

0a = şi 1b ≠ . b) Să se arate că proprietatea de la punctul a) se păstrează pentru orice

, ,a b c ∈� care verifică inegalitatea 2

1

2

bac

− <

(Titu Andreescu, Olimpiadă naţională, 1984) 3.3.47. Se consideră funcţia injectivă :f →� � , al cărei grafic taie prima bisectoare într-un singur punct. Să se arate că dacă

( ) 2: ,g g x ax bx c→ = + +� � , cu , , , 0a b c a∈ ≠� are proprietatea că f g g f=� � ,

atunci ( )2

1 4b ac− = . (D.M. Bătineţu, 20480, G.M. 7/1985)

3.3.48. Fie , :f g →� � două funcţii cu proprietatea că există ,a b ∗∈� astfel încît

( )( ) ( ) ( ) ( )3 ,g g x ag x bf x x= + ∀ ∈� � . Să se arate că dacă f este injectivă, atunci

şi g este injectivă. (D.M. Bătineţu-Giurgiu, 1985)

3.3.49. Fie funcţiile ( ) ( ) ( ) { }2, : , 1 2 3 1, \ 1f g f x m x m x m m→ = + + + + + ∈ −� � � ,

astfel încît g f f g=� � .

a) Rezolvaţi ecuaţia ( )f x x= ;

b) Arătaţi că există α ∈� astfel încît ( )g α α= .

(I. Olaru, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1985) 3.3.50. Fie :f →� � o funcţie cu proprietatea că ( ) ( ) ( )1,f f x x x= + ∀ ∈� � . Să

se demonstreze că funcţia ( ) ( ): ,h h x f x x→ = −� � nu este injectivă.

(Dan Seclăman, 19696, G.M. 5/1983) 3.3.51. Să se arate că nu există funcţii :f →� � astfel încît

( )( ) ( )1,f f x x x= + ∀ ∈� � .

(Olimpiadă naţională, 1988, enunţ parţial) 3.3.52. Să se determine funcţiile , , :f g h →� � cu proprietatea:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 , , ,h g f x y z g f y z f z x y z x y z+ + + + + = + + ∀ ∈� � � � .

(Viorel Băndilă, 19695*, G.M. 5/1983) 3.3.53. Fie funcţia :f →� � cu proprietatea că ( )( ) ( ) ( ),f f x xf x x= ∀ ∈� . Să se

calculeze ( )0f . Dacă ( ) ( )0,f x x∗≠ ∀ ∈� , să se arate că funcţia f este injectivă.

(I. Cucurezeanu, 22269*, G.M. 2/1991)

3.3.54. Fie ( ) ( ): 0; 0;f ∞ → ∞ o funcţie astfel încît ( )( ) ( ) ( )2 , 0;f f x x x= ∀ ∈ ∞� .

Să se arate că:

a) f este bijectivă; b) ( ) ( ) ( ) ( ), 0;f x f x x= ∀ ∈ ∞ .

(Pal Dalyay, Olimpiadă judeţeană, 1982) 3.4 Funcţia inversă 3.4.1 Definiţie. Interpretare geometrică. 3.4.1. Arătaţi că dacă , :f g D D→ sunt două funcţii astfel încît g este bijectivă şi

f f g=� , atunci f este bijectivă şi 1 1f f g− −= � . (Gh. Pleş, 20855, G.M. 8/1986) 3.4.2. Se consideră funcţia ( ): , 3 1f f n n→ = +� � . Să se construiască o funcţie

:g →� � astfel încît 1g f = �� . Să se arate că pentru orice asemenea funcţie,

1f g ≠ �� . (Matematică, 1986)

3.4.3. Să se determine funcţia de gradul întîi ( ): , , 0f f x ax b a→ = + ≠� � , ştiind

că ( )f a b= − şi ( )1f a b

− − = .

3.4.4. Determinaţi funcţia ( ): , , 0f f x ax b a→ = + ≠� � , astfel încît

( ) ( ) ( ) ( )11 1 ,f x f x f x x x−− + + + = ∀ ∈� .

(Gh. Marghescu, 17477, G.M. 11/1978) 3.4.5. Se dă funcţia ( ): ,f f x ax b→ = +� � , cu 0 1a< ≠ . Există funcţii :g →� �

de gradul întîi pentru care 1f g g −=� . (Aurel Doboşan, 20066, G.M. 4-5/1984)

3.4.6. Se consideră funcţiile , :f g →� � astfel încît ( ) 1 1f x a x b= + şi

( )( ) 2 2g f x a x b= +� . Să se determine expresia funcţiei g .

(Valentin Matrosenco, lucrare scrisă, 1977)

3.4.7. Se dă funcţia ( ) ( ) ( )1

: ;4 1; , 32

f f x x−∞ → ∞ = − + .

a) Să se arate că f este bijectivă;

b) Să se determine inversa 1f − , să se reprezinte grafic şi să se determine coordonatele punctului comun celor două grafice.

(Toma Pamfil, lucrare scrisă, 1977) 3.4.8. Fie funcţiile , :f g →� � , astfel încît ( )( ) ( )2 3,f g x x x= + ∀ ∈� � .

a) Să se afle ( )g x , ştiind că ( ) 3 2f x x= − .

b) Să se afle ( )f x , ştiind că ( ) 5 1g x x= + . (18037*, G.M. 12/1979)

3.4.9. Se consideră funcţiile bijective , :f h →� � , date de ( ) 2,f x x= + respectiv

( ) 2 3h x x= − . Să se determine funcţiile inverse 1 1,f h− − şi funcţiile 1 2, :g g →� �

astfel încît 1 2,f g h g f h= =� � .

(Matematică, septembrie 1984) 3.4.10. Să se determine funcţiile , :f g →� � ştiind că:

( ) ( )

( )( )

26 2 2 15

2

25 4

2

xf x g x

xx

f g x x

++ + + =

∀ ∈+ + + = +

�

(C. Ionescu-Ţiu, 16524, G.M. 2/1977)

3.4.11. Fie { } { } ( )2 1

: \ 2 \ 2 ,2

xf f x

x

−→ =

−� � . Să se arate că f este bijectivă şi să

se rezolve ecuaţia ( ) ( )1 0f x xf x−+ = .

(Ionel Atanasiu, 18326, G.M. 7/1980) 3.4.12. Să se determine inversa funcţiei de la exerciţiul 3.2.9. 3.4.13. Să se determine ,a b ∈� astfel încît funcţia:

( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 2: , , ,f f x x ax x x bx→ = + +� � să fie bijectivă. În acest caz, să

se calculeze inversa 1f − . (Vladimir Marina, 22243*, G.M. 1/1991) 3.4.2 Inversarea funcţiilor „cu ramuri”

3.4.14. Să se arate că funcţia ( )( )

1, 0

: , 14 1 , 0

2 2

m

f f m mm m

m

=

→ = + − ≠

� � este

bijectivă şi să se determine 1f − .

3.4.15. Fie funcţia ( )3, 4

: ,2 7, 4

x xf f x

x x

− ≤→ =

− >� � . Să se arate că f este

inversabilă, să se calculeze 1f − şi să se reprezinte f şi 1f − în acelaşi sistem de coordonate.

3.4.16. Fie funcţia ( )( )

[ )

4, ; 2

: ,3, 2;

2

x x

f f x xx

+ ∈ −∞ −

→ = + ∈ − ∞

� �

a) Să se arate că f este inversabilă şi să se afle inversa;

b) Să se reprezinte grafic funcţiile f şi 1f − în acelaşi sistem de coordonate. (Doina Gârbou, 16787, G.M. 8/1977)

3.4.17. Se dă funcţia ( )2, 1

: , ,3, 1

x xf f x m

mx x

− + <→ = ∈

+ ≥� � � . Să se determine

m astfel încît funcţia f să fie bijectivă; în acest caz, să se calculeze 1f − .

3.4.18. Fie ( ) ( ) { } ( )

1, 0

: ; 1 1; 0 , 0, 0

1, 0

x x

f f x x

x x

− <

→ −∞ − ∪ ∞ ∪ = = + >

� .

a) Să se arate că f este bijectivă. b) Să se găsească inversa lui f . (A.S.E, 1989)

3.4.19. Se consideră funcţia ( )

1, 0

: , , 0

, 0

x x

f f x a x

x b x

− <

→ = = + >

� � , unde ,a b ∈� .

a) Să se determine a şi b astfel încît funcţia f să fie injectivă; b) Pentru ce valori ale lui a şi b funcţia f este inversabilă ? În acest caz, să se

determine inversa 1f − . (Gr. Bănescu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1982)

3.4.20. Se consideră funcţia :f →� � dată prin ( )2 , 0

, 0

ax xf x

bx x

<=

≥. Să se

determine numerele reale a şi b astfel încît f să fie bijectivă şi în acest caz să se

determine inversa 1f − .

3.4.21. Fie funcţia { }: \ 1f →� � , astfel încît

( ) ( )

( ]

3, ;1 2;

2 11

71, 1;2

1

xx

xf

xxx

x

+∈ −∞ ∪ ∞ −

+ = −− ∈

−

a) Să se găsească expresia funcţiei f ;

b) Să se arate că funcţia ( )( ) { }, \ 1

: ,1, 1

f x xg g x

x

∈→ =

=

�� � este inversabil㠺i

să se determine inversa 1g − . 3.4.22. Să se determine parametrul real a pentru care funcţia

( ) ( ): , 1 1 2 1f f x a x x a x a→ = + + − + − − −� � este bijectivă. În acest

caz, să se arate că inversa 1f − este de forma ( )1 1 1f x x x xα β γ δ− = + + − + + şi

să se determine parametrii , , ,α β γ δ în funcţie de a . (Journal de mathematiques elementaires, 1969; 9893, G.M.B. 10/1969)

3.4.23. Fie ( ),

: ,, \

ax b xf f x

cx d x

+ ∈→ =

+ ∈

�� �

� � Să se determine toate funcţiile

f de această formă, egale cu inversele lor. (Viorica Răileanu, 19734, G.M. 6/1983) 3.4.3 Exerciţii diverse

3.4.24. Funcţia :f →� � verifică relaţia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,f x f y xf x yf y xy x y⋅ = + − ∀ ∈� . Să se demonstreze că, dacă

:g →� � este o funcţie cu proprietatea că g g f=� , atunci g este bijectivă. (D.M. Bătineţu, lucrare scrisă, 1976; 17621, G.M. 2/1979)

3.4.25. Fie p un număr natural nenul. Determinaţi funcţia :f →� � care satisface relaţia:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1

1 2 2 1 , ,2

y xf x f y x p f x f y y p x y⋅ − + − ⋅ − + = + − ⋅ ∀ ∈�

Arătaţi că f este inversabilă şi determinaţi 1f − . (I. Olaru, Olimpiadă locală, Călăraşi, 1986) 3.4.26. Se consideră numerele reale , , , 0a b c c ≠ şi funcţiile

, , : \ \a a

f g hc c

→

� � , legate prin relaţiile ( )

( )( )

a h x bf x

c h x a

⋅ +=

⋅ − şi

( ) ( )( ) ( ), \a

h x f g x xc

= ∀ ∈

� � . Să se arate că dacă funcţia f este injectivă,

atunci g este bijectivă. (Marius Dădîrlat, 16253, G.M. 12/1976)

3.4.27. Se dau ( ), 1

: ,, 1

ax b xf f x

cx d x

+ ≤→ =

+ >� � şi ( ): , 2 1g g x x→ = −� � . Să se

arate că o condiţie necesară şi suficientă pentru ca să existe o funcţie :h →� � astfel încît h f f h g= =� � este ca 1a b c d+ = + = şi 0ac > .

(I.V. Maftei, M. Piticari, Olimpiadă judeţeană, 1984)

3.4.28. Fie { } { } ( )2 1

: \ 1 \ 2 ,1

xf f x

x

−− → =

+� � .

a) Să se arate că f este bijectivă şi să se calculeze 1f − .

b) Să se determine numărul elementelor mulţimii { } { }1 2 1, , , \ 1nA x x x x= ∈ −… � ,

unde ( ) ( ) ( ) ( )2 1 3 2 1 1, , ,n n nx f x x f x x f x x f x−= = = =… . Ce condiţie trebuie să

îndeplinească 1x pentru a se forma mulţimi de forma lui A ?

c) Să se determine funcţiile de forma ( )ax b

f xa x b

+=

′ ′+pentru care mulţimile de

forma lui A au numai două elemente. (Olimpiadă locală, Constanţa, 1989)

3.4.29. a) Fie funcţia ( ) 3: ,f f x x x→ = +� � . Să se arate că f este bijectivă şi

să se rezolve în � ecuaţia ( ) ( )1f x f x

−= .

b) Aceeaşi problemă pentru ( ) 3 3: ,

4f f x x x→ = +� � .

(Ionel Atanasiu, 18741*, G.M. 5/1981) 3.4.30. Ştiind că orice ecuaţie de gradul al treilea cu coeficienţi reali admite cel puţin o rădăcină reală, să se determine valorile parametrului real a pentru care

funcţia ( ) 3: ,f f x ax x→ = +� � este inversabilă. În acest caz, să se rezolve

ecuaţia ( ) ( )1f x f x

−= . (D.M. Bătineţu, 18339, G.M. 7/1980)

3.4.31. Fie :f →� � o funcţie cu proprietatea că

( )( )( )( )

( )9

2 6 4 2,

1 2 1

xf f x x

x x x x= ∀ ∈

+ + + +� . Să se arate că există un

număr unic a ∈� astfel încît ( )f a a= .

(Sorin Rădulescu, Ioan Tomescu, Baraj, 1982) 3.4.32. Fie funcţia :F × →� � � , dată de formula ( ) 3 2, 2 3 6F x y y y y x= + + − . Să

se determine E ⊂ � şi funcţia :f E → � care satisfac simultan următoarele condiţii: i) ( )( ) ( ), 0,F x f x x E= ∀ ∈ ;

ii) E este domeniul maxim de definiţie pentru f ; iii) f este bijectivă. Să se determine apoi inversa funcţiei f . (Buma Abramovici, C:172, G.M. 12/1981)