Cap.3: Solu ii constructive de suspensiiț

Sistemul suspensiei autovehiculului este unul dintre cele mai complexe sisteme ce intră în compunerea autovehicului, atât datorită numărului relativ mare de elemente componente cât i datorită faptului că de performan ele si calită ile acesteia depind: buna func ionare aș ț ț ț celorlalte subansambluri componente; a autovehiculului în sine; men inerea în bună stare aț materialelor transportate; evitarea apari iei oboselii premature pentru personal (suspensiaț având o influen ă directă asupra ergonomiei autovehiculului, asupra conducătoruluiț vehiculului i personalului transportat); i, nu în ultimul rând, pentru autovehiculele militareș ș poate avea o influen ă majoră, poate chiar hotărâtoare, pentru buna îndeplinire a misiunilor,ț pe câmpul de luptă i în afara acestuia. Trebuie adăugat faptul că, numărul mare de elementeș care intră în compunerea sistemului suspensiei, are o influen ă negativă atât asupraț performan elor cât i a fiabilită ii întregului sistem i cre te foarte mult gradul deț ș ț ș ș complexitate al aparatului matematic folosit pentru studiu, lucru care îngreunează procesul de modelare i de determinare prealabilă a caracteristicilor func ionale.ș ț

Odată cu apari ia suportului de calcul electronic, procesul de proiectare al sistemelorț autovehiculelor a cunoscut o transformare radicală, fiind posibilă luarea în considerare a cât mai mul i parametri func ionali pentru fiecare element component i determinarea cu oț ț ș precizie ridicată a performan elor, concomitent cu reducerea resurselor utilizate, în urmaț modelărilor i a simulărilor fiind posibilă corectarea eventualelor deficien e înainte deș ț introducerea produsului final în baza de fabrica ie. Una dintre cele mai noi metode de analizăț a structurilor mecanice este i metoda elementelor finite, metodă ce va fi tratată înș continuare.

3.1) Considera ii privind modelarea numerică a structurilorț

Componentă a mecanicii solidului, mecanica structurilor con ine modelele fizice iț ș matematice pentru studiul stării de echilibru i pentru analiza stării de tensiune i deș ș deforma ie a structurilor i elementelor structurale. Proiectarea structurilor necesită calcululț ș tensiunilor i deforma iilor produse de ac iunile la care acestea sunt supuse, pe baza acestoraș ț ț evaluându-se răspunsul structurii – în regim static sau dinamic – i se dimensioneazăș elementele structurale pe baza criteriilor de siguran ă i somportare normală în exploatare.ț ș

Utilizarea calculului analitic în proiectarea structurilor mecanice oferă avantajul determinării solu iilor exacte în oricare punct al structurii dar în acela i timp are mareleț ș dezavantaj că procedura de calcul trebuie repetată pentru fiecare punct iar analiza completă a stării de deforma ie necesită un volum foarte mare de lucru. În plus, calculul analitic se poateț dovedi total neeconomic i foarte greu de condus în cazul unor forme ale sec iunilor sauș ț condi ii de rezemare dificil de modelat din punct de vedere matematic. Conceperea uneiț structuri mecanice care să satisfacă to i parametrii ce intervin în exploatare este dificilă i,ț ș din punct de vedere practic, imposibilă. Din acest motiv se admit o serie de simplificări care se referă la ac iuni, la comportarea materialelor i la alcătuirea structurii. Structura care rezultăț ș în urma acestor ipoteze simplificatoare constituie modelul fizic al structurii reale. Pe baza acestui model fizic se elaborează modelul matematic care, de regulă, poate fi afectat la rândul său de o serie de ipoteze simplificatoare vizând definirea matematică a problemei.

Un model fizic al unei structuri, căruia i se ata ează un model matematic pentru a-iș descrie comportarea, formează modelul de calcul al structurii. Cele două seturi de ipoteze simplificatoare conduc la u urarea calculelor, însă conferă rezultatelor un grad de aproximareș dependent de fine ea ipotezelor admise. Pe baza comparării rezultatelor experimentale,ț efectuate pe structuri reale, se verifică juste ea ipotezelor simplificatoare adoptate.ț

Implicarea tehnicii de calcul în analiza comportării structurilor mecanice permite o ridicare a calită ii i a gradului de fine e a ipotezelor simplificatoare admise în modelareaț ș ț fizică i în calculul structurilor apropiind modelul de calcul adoptat de structura reală.ș

Procedurile de calcul automat al structurilor se dezvoltă pe modele numerice de calcul, modele care constituie o aproximare a modelului de calcul exact care guvernează problema analizată i se ob ine în general în urma unui proces de discretizare, fizică sau matematică aș ț structurii.

Considerând aspectul matematic al problemei, este important să se studieze analogiile formale dintre modelele de calcul i modul în care acestea pot genera unele din altele, de laș modelul de calcul exact către modelele de calcul aproximativ. Baza i argumentele acestuiș studiu sunt furnizate de teoremele analizei func ionale în cadrul căreia se poate construi oț veritabilă teorie matematică a structurilor. Abordată din acest punct de vedere, teoria matematică a structurilor cuprinde trei grupuri de legi fundamentale i teoreme, după cumș urmează:

o modelul matematic elaborat pe baza legilor ce guvernează sistemul;o legile de generare ale modelelor de calcul aproximativ;o teoremele care stabilesc existen a i unicitatea acestor legi.ț șTeoria matematică a structurilor asigură cadrul general pentru formularea problemelor

din mecanică structurilor, furnizând algoritmul general i baza teoreticăpentru elaborarea,ș dezvoltarea i analiza modelelor numerice de calcul.ș

În general modelele de calcul aproximativ în cadrul cărora s-au dezvoltat metodele numerice din mecanica structurilor sunt modele discrete, discretizarea fiind de natură fizică sau matematică. Abordarea pe această cale a problemelor are avantajul că permite formularea matriceală a metodelor de calcul, condi ie absolut necesară pentru elaborarea algoritmilorț programelor de calcul automat.

Metodele exacte se folosesc la calculul structurilor în anumite cazuri particulare de ac iuni i geometrie a structurii, numărul problemelor care pot fi rezolvate cu metodeț ș analitice exacte fiind însă redus, aceste probleme având un caracter mai mult teoretic, exemplificativ. Dezvoltările teoretice de dată mai recentă au permis extinderea metodelor clasice ale mecanicii, care operează pe modele continue, la rezolvarea unor probleme definite pe modele discrete i/sau continue cu singularită i, dar este vorba în fapt de o tratare formalș ț continuă a domeniilor discrete.

Cele mai utilizate metode aproximative care s-au dezvoltat i se folosesc în analizaș structurilor mecanice sunt:

o metoda diferen elor finite;țo metoda elementelor de frontieră;o metoda elementelor finite.

3.1.1) Metoda diferen elor finitețMetoda diferen elor finite constă în esen ă în înlocuirea diferen ialelor cu diferen eț ț ț ț

finite foarte mici. Metoda este foarte generală i are un domeniu foarte vast de aplicabilitateș atât în analiza matematică cât i la rezolvarea problemelor de teoria elasticită ii i în calcululș ț ș structurilor. Aplicarea metodei pentru un model de calcul implică abordarea a două aspecte ale calcului propriu–zis: - aspectul matematic: constă în transformarea ecua iei diferen iale care descrieț ț modelul într-un sistem de ecua ii cu diferen e finite;ț ț

- aspectul fizic: constă în înlocuirea structurii reale cu un model simplificat, convenabil pentru calcul.

Pentru a aplica metoda diferen elor finite la calculul unei probleme de mecanicaț mediului continuu trebuie să se cunoască ecua ia diferen ială corespunzătoare, care se scrieț ț func ie de diferen ele finite calculate pe nodurile re elei de discretizare. Pentru un ir deț ț ț ș noduri ale re elei de discretizare derivatele de diverse ordine se pot exprima prin diferen eț ț finite în moduri diferite, cum este mai convenabil de la caz la caz.

Astfel derivatele unei func ii y(x) în punctul xț n sunt (nota iile în conformitate cu figuraț 3.1):

¿ = ( yn+1+ yn)

hsau ( Δ y

Δ x¿n=

( yn− yn−1)h

pentru derivate de ordinul I, i:ș

¿ ( yn+1−2 yn+ yn−1)

h2

pentru derivate de ordinal II. În aceste rela ii x nu este foarte mic, în sensul că nu tindeț Δ la zero, simbolul numindu-se operator de diferen ă finite.Δ ț

Scrierea cu diferen e finite a derivatelor par iale ale unei func ii z (x, y) în punctual O alț ț ț re elei uniforme, cu pasul ț h, ca în figura 3.2 se face folosind rela iile:ț

( ∂ z∂ x )0=z1−z32h

,( ∂ z∂ y )0=z2−z42h

, ( ∂2 z∂ x2 )0=z1+z3−2 z0

h2 , ( ∂2 z∂ y2 )0=

z2+z 4−2 z0h2

.

Rezolvarea cu metoda diferen elor finite a ecua iilor diferen iale care descriuț ț ț comportarea elemntelor de structuri duce în esen ă la ob inerea valorilor numerice aleț ț solu iei în nodurile re elei considerate. Pentru a ob ine valorile solu iei în puncte aflate întreț ț ț ț nodurile re elei, derivatele fun iei cae intervin în ecua ia diferen ială sunt approximate fieț ț ț ț prin derivatele unor polinoame de grad n care trec printr-un număr de puncte, fie prin dezvoltări în serie Taylor ale fun iei necunoscute. ț

3.2) Metode moderne de calcul şi proiectare pentru suspensiile autovehiculelor

Sistemul suspensiei autovehiculului este unul dintre cele mai complexe sisteme ce intră în compunerea autovehiculului, atât datorită numărului relativ mare de elemente componente cât şi datorită faptului că de performanţele şi calităţile acesteia depind: buna funcţionare a celorlalte subansambluri componente; a autovehiculului în sine; menţinerea în bună stare a materialelor transportate; evitarea apariţiei oboselii premature pentru personal (suspensia având o influenţă directă asupra ergonomiei autovehiculului, asupra conducătorului vehiculului şi personalului transportat); şi, nu în ultimul rând, pentru autovehiculele militare poate avea o influenţă majoră, poate chiar hotărâtoare, pentru buna îndeplinire a misiunilor, pe câmpul de luptă şi în afara acestuia. Trebuie adăugat aici faptul că, numărul mare de elemente care intră în compunerea sistemului suspensiei, are o influenţă negativă atât asupra performanţelor cât şi a fiabilităţii întregului sistem şi creşte foarte mult gradul de

complexitate al aparatului matematic folosit pentru studiu, lucru care îngreunează procesul de modelare şi de determinare prealabilă a caracteristicilor funcţionale.

Odată cu apariţia suportului de calcul electronic, procesul de proiectare al sistemelor autovehiculelor a cunoscut transformare radicală, fiind posibilă luarea în considerare a cât mai mulţi parametri funcţionali pentru fiecare element component şi determinarea cu o precizie ridicată a performanţelor, concomitent cu reducerea resurselor utilizate, în urma modelărilor şi simulărilor fiind posibilă corectarea eventualelor deficienţe înainte de introducerea produsului final în faza de fabricaţie. Una dintre cele mai noi metode de analiză a structurilor mecanice este şi metoda elementului finit, metodă ce va fi tratată în continuare.

3.2.1) Fundamentele teoretice ale analizei structurilor prin metoda elementului finit

Metoda elementelor finite reprezintă în momentul de faţă cel mai eficient instrument pentru calculul structurilor inginereşti, indiferent de formă şi de material. Aplicarea ei în practică nu se poate realiza, însă, decât cu suportul calculatoarelor electronice şi a programelor specializate.

Schema generală a metodei elementelor finite apare pentru prima dată într-o lucrare a lui Courant – Metode variaţionale pentru rezolvarea problemelor de echilibru şi vibraţii, din anul 1943 – referitoare la soluţionarea problemei torsiunii barelor. După formularea matriceală a calculului structurilor din bare de către Argyris – Teoria matricială a staticii, din anul 1957 – noţiunea de discretizare a continuului prin elemente finite este introdusă de Turner, Clough, Martin şi Topp (anul 1956) care soluţionează ecuaţiile problemei plane a teoriei elasticităţii utilizând elemente finite triunghiulare şi dreptunghiulare. Au urmat apoi perfecţionări în ceea priveşte formularea matriceală şi o utilizare pe scară largă a metodei în diferite variante, stimulată de lucrările mai multor autori (Zienkiewiecy, Oden, Cook, ş.a.).

La baza dezvoltării actuale a metodei elementelor finite stau, pe de-o parte faptul că această metodă permite abordarea unei game largi de probleme din domeniul mecanicii mediilor deformabile, a fizicii mediilor continue şi teoriei câmpurilor, iar pe de altă parte nivelul tot mai ridicat al tehnicii de calcul care oferă posibilitatea efectuării unui volum tot mai mare de calcule precum şi obţinerea unui nivel de precizie mărit pentru acestea.

În fapt, metoda elementelor finite reprezintă o implementare, la nivelul întregii structuri studiate, a rezultatelor şi relaţiilor matematice care stabilesc şi descriu starea de tensiune, şi variaţia acesteia, în jurul unui punct material infinitezimal din structură. În această idee, orice sistem fizic, raportat la un sistem cartezian Oxzy, poate fi caracterizat printr-o mulţime de variabile care sunt funcţii de coordonatele spaţiale x, y, z şi de timpul t. Sistemul este considerat staţionar dacă t=0 sau nestaţionar dacă t≠0. În plus, un număr r de variabile pot fi prestabilite: proprietăţile fizico-mecanice ale materialului, dimensiunile geometrice, încărcarea structurii (forţele aplicate), condiţiile la limită (rezeme sau restricţii de mişcare, etc.). Restul variabilelor, u, constituie necunoscutele problemei: deplasări, tensiuni, temperaturi, viteze, etc.

Structura care rezultă din această discretizare reprezintă modelul fizic de studiu pe baza căruia se elaborează modelul matematic, care, de regulă poate fi mai mult sau mai puţin afectat de ipoteze simplificatoare vizând definirea matematică a problemei. Un model fizic al unei structuri, căruia i se ataşează un model matematic pentru a-i descrie comportarea, formează modelul de calcul al structurii. Un model matematic al sistemului discretizat presupune stabilirea relaţiei dintre u şi r în urma aplicării legilor fizice caracteristice sistemului. Această relaţie generează un sistem de ecuaţii de definiţie de forma:

L(u1 , u2 , . .. , un , r1 , r2 , . .. , rm)=0 (3.2)

la care se ataşează setul de condiţii la limită:C (u1 , u2 , .. . ,un , r1 , r2 , .. . , rm)=0 (3.3)

Ecuaţiile de definiţie împreună cu condiţiile la limită formează ecuaţiile de guvernare ale sistemului şi au soluţii de forma:

u=u(r1 , r2 , .. . , rm) . (3.4)

Variaţia tensiunilor în jurul unui punct. Tensorul tensiunilor Înainte de tratarea problemelor specifice elementelor finite este necesară abordarea

conceptelor şi ecuaţiilor fundamentale ale mecanicii corpurilor deformabile, concepte preluate din teoria elasticităţii. Nici o analiză cu elemente finite în domeniul mecanicii structurale şi a continuului nu poate opera fără cunoaşterea şi utilizarea corectă a acestor noţiuni. Astfel, starea de tensiune într-un punct din interiorul unui corp, deformat sub acţiunea unor forţe exterioare, este caracterizată de tensiunile normale şi tangenţiale de pe planele de coordonate ale unui sistem cartezian Oxzy ce are originea în punctul considerat, adică:

în planul xOy: σz, τzx, τzy; în planul yOz: τxy, σx, τxz; în planul yOx: τyz, τyx, σy.

Datorită dualităţii tensiunilor tangenţiale (τzx=τxz, τzy=τyz, τxy=τyx) orice stare de tensiuni este definită de şase componente distincte care pot fi scrise sub forma unui tensor al tensiunilor:

[σ ]=[ σ x τ xy τ xyτ yx σ y τ yzτ zx τ zy σ z

].

(3.5)

Cunoscând cele şase componente ale stării de tensiune într-un punct al corpului deformat, se pot determina tensiunea normală , şi tensiunea tangenţială , pe orice elementσ τ de suprafaţă trecând prin punctul considerat (originea coordonatelor) şi definit prin cosinusurile directoare l, m, n ale normalei la respectiva suprafaţă, adică:

σ=l2σ x+m2 σ y+n

2σ z+2lm τ xy+2mn τ yz+2 ln τxzτ=√ p2−σ2

(3.6)

sau, sub formă matricială, dacă se ţine seama că: p2=px

2+ py2+ pz

2, atunci:

{ pxp ypz }=[ σ x τxy τ xzτ yx σ y τ yzτ zx τ zy σ z

] { lmn } (3.7)

unde px, py, pz sunt componentele paralele cu axele x, y, z ale tensorului p având direcţie oarecare şi acţionând pe elementul de suprafaţă luat în considerare.

În fiecare punct al unui corp deformat există trei plane perpendiculare între ele pe care tensiunile tangenţiale sunt nule. Aceste plane se numesc plane principale, σ1, σ2, σ3 iar tensiunile normale pe aceste plane poartă denumirea de tensiuni principale, direcţiile lor coincizând cu aşa-numitele direcţii principale determinate de intersecţia planelor principale. Prin urmare expresia (3.5) devine mai simplă:

[σ ]=[σ1 0 00 σ2 0

0 0 σ3] (3.1)

iar între tensiunile principale există următoarea relaţie de ordonare:

σ 1≥σ2≥σ3(3.9)

Pentru determinarea direcţiei planelor principale, cu ajutorul sistemului de ecuaţii (3.7), printr-o transformare corespunzătoare, se ajunge la forma:

[σ x−σ τ xy τxzτ yx σ y−σ τ yzτ zx τ zy σz−σ

]{ lmn }=0 (3.10)

iar, pentru ca soluţiile să fie compatibile, determinantul sistemului trebuie să fie nul, adică:

[σ x−σ τ xy τxzτ yx σ y−σ τ yzτ zx τ zy σz−σ

]=0 (3.11)

din dezvoltarea căruia rezultă ecuaţia:

σ 3−I 1σ2+ I 2σ−I 3=0

(3.2)

în care, invarianţii sistemului, I1, I2, I3 au următoarele definiţii:

I 1=σ x+σ y+σ z=σ1+σ 2+σ 3 ;

I 2=|σ x τ xyτ yx σ y

|+|σ y τ yzτ zy σ z

|+|σ z τ zxτ xz σ x

|=|σ1 0

0 σ2|+|σ2 0

0 σ3|+|σ3 0

0 σ1|

;

I 3=|σ x τ xy τxzτ yx σ y τ yzτ zx τ zy σ z

|=|σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

|

.

(3.3)

Toate rădăcinile ecuaţiei (3.12) sunt reale şi constituie tensiunile principale σ1, σ2, σ3.Aşa cum am precizat, pe planele principale tensiunile tangenţiale sunt nule, dar din teoria elasticităţii se demonstrează că valorile acestor tipuri de tensiuni sunt maxime pe plane la un unghi de 45° faţă de triedrul format de cele trei direcţii principale, şi sunt date de relaţiile:

τ12=±12(σ1−σ 2)

, τ 23=±1

2(σ 2−σ3 )

, τ13=±1

2(σ 1−σ3 )

.(3.14)

şi, având în vedere relaţia (3.9), tensiunea tangenţială maximă este τ13.În funcţie de dimensiunile tensorului , starea de tensiune dintr-un corp deformat subσ

acţiunea încărcărilor exterioare poate fi: spaţială (triaxială sau tridimensională): toate cele trei tensiuni principale sunt diferite

de zero;

plană (bidimensională): una dintre tensiunile principale este nulă; liniară (uniaxială): două dintre tensiunile principale sunt nule.

Variaţia deformaţiilor în jurul unui punct. Tensorul deformaţiilor Studiul deformaţiilor într-un punct al unui corp aflat sub acţiunea forţelor exterioare

conduce la formule analoge celor stabilite la teoria tensiunilor. Pentru aceasta, deplasările şi deformaţiile specifice ale unui punct oarecare al corpului solicitat, considerat omogen, continuu şi izotrop, se consideră că nu depind decât de punct. Dacă punctul are coordonatele x, y, z într-un sistem de coordonate ortogonal, iar în urma deformării punctul se deplasează într-o nouă poziţie caracterizată de coordonatele x+u, y+v, z+w, atunci, cu ajutorul noţiunilor fundamentale ale rezistenţei materialelor, se demonstrează că deformaţiile specifice liniare în punctul considerat sunt:

ε x=Δ(dx )dx

=

∂u∂ xdx

dx=

∂ u∂ x ,

ε y=Δ(dy )dy

=

∂ v∂ y

dy

dy=

∂ v∂ y ,

ε z=Δ (dz )dz

=

∂w∂ z

dz

dz=

∂w∂ z .

(3.15)

Aceste deformaţii specifice sunt adimensionale pozitive când reprezintă creşteri ale lungimilor respective şi negative când reprezintă micşorări.În baza aceloraşi ipoteze fundamentale ale rezistenţei materialelor se deduce şi se introduce noţiunea de deformaţie specifică unghiulară (lunecare specifică) care reprezintă în fapt modificarea unghiului drept format de axele de coordonate ale sistemului cartezian la care este raportat punctul considerat. Pentru cele trei plane ortogonale ale sistemului cartezian din punctul oarecare al corpului solicitat rezultă următoarele deformaţii specifice unghiulare:

γ xy=∂ v∂ x

+ ∂u∂ y ,

γ yz=∂w∂ y

+ ∂ v∂ z ,

γ zx=∂u∂ z

+∂w∂ x .

(3.16)

Având în vedere definiţiile (3.15) şi (3.16), printr-o aranjare corespunzătoare, se poate defini tensorul deplasărilor specifice într-un punct al corpului deformat:

T δ=[∂u∂ x

∂u∂ y

∂u∂ z

∂v∂ x

∂ v∂ y

∂ v∂ z

∂w∂ x

∂w∂ y

∂w∂ z

] (3.17)

care reprezintă un tensor oarecare de ordinul 2 ce poate fi descompus într-o sumă de doi tensori, unul simetric, altul asimetric, sub forma:

T δ=[∂u∂ x

12 ( ∂ u

∂ y+∂ v

∂ x ) 12 (∂u∂ z+∂w

∂ x )12 (∂ v∂ x

+ ∂ u∂ y ) ∂v

∂ y12 (∂ v∂ z +∂w

∂ y )12 (∂w∂ x +∂u

∂ z ) 12 (∂w∂ y +∂ v

∂ z ) ∂w∂ z

]++[ 0 −1

2 (∂ u∂ y−∂ v

∂ x ) 12 (∂ u∂ z−∂w

∂ x )12 (∂ v∂ x

− ∂u∂ y ) 0 −1

2 (∂ v∂ z−∂w∂ y )

−12 (∂w∂ x −∂u

∂ z ) 12 (∂w∂ y −∂v

∂ z ) 0 ](3.18)

Folosind relaţiile (3.15) şi (3.16), se deduce că primul termen al expresiei (3.18) - tensorul simetric - reprezintă tensorul deformaţiilor specifice, iar al doilea termen - tensorul asimetric - tensorul rotaţiilor rigide ale elementului. Cei doi tensori astfel rezultaţi se pot scrie sub forma:

- tensorul deformaţiilor specifice:

T ε=[ε ]=[ ε x12γ yx

12γ zx

12γ xy ε y

12γ zy

12γ xz

12γ yz ε z

] (3.19)

- tensorul rotaţiilor rigide:

Tω=[ 0 −ωz ω y

ωz 0 −ωx−ω y ωx 0 ] (3.20)

unde s-au folosit următoarele notaţii:

ωx=12 (∂w∂ y −∂ v

∂ z ) ; ω y=

12 (∂u∂ z−∂w

∂ x ); ωx=

12 (∂ v∂ x

− ∂u∂ y )

.(3.21)

Semnificaţia fizică a celor doi tensori anterior definiţi este dată de faptul că, pentru a ajunge la poziţia deformată, în care punctul considerat este caracterizat de deformaţiile specifice corespunzătoare termenilor tensorului simetric Tε, corpul poate efectua o rotaţie de corp rigid care nu va avea efect asupra caracteristicilor geometrice ale corpului (nu îl deformează).

Dacă corpul real se consideră alcătuit dintr-o infinitate de elemente infinitezimale, similare celor pentru care au fost făcute deducerile relaţiilor (3.15) i (3.21), totalitateaș deformărilor acestora, astfel încât corpul să-şi păstreze continuitatea, conduce la poziţia deformată a acestuia, din care rezultă deplasările u, v, w pentru orice punct.Relaţiile dintre deformaţiile specifice liniare sau unghiulare, reprezentate de tensorul deformaţiilor, Tε, şi deplasările u, v, w constituie aspectul geometric al problemelor de rezistenţa materialelor.

Analiza relaţiilor (3.19) şi (3.5) conduce la concluzia că între cei doi tensori există o relaţie de similitudine din punct de vedere al termenilor. Prin urmare, procedând similar analizei stării de tensiune din jurul unui punct, se pot defini: plane principale de deformaţie – în fiecare punct al corpului există trei astfel de plane perpendiculare, ale căror intersecţii formează aşa-numitele axe principale ale deformaţiei de-a lungul cărora deformaţiile specifice liniare se numesc deformaţii liniare principale, ε1>ε2>ε3; unghiurile de 90° dintre axele principale de deformaţie nu se modifică în urma deformării, deci, în planele principale de deformaţie lunecarea specifică este nulă; în mod analog cu relaţia (3.8), tensorul deformaţiilor poate fi scris în forma simplificată:

[ε ]=[ε1 0 00 ε2 0

0 0 ε3] (3.22)

Valorile deformaţiilor liniare principale, similar relaţiei (3.11), se determină cu ajutorul sistemului de ecuaţii:

[ε x−ε12γ yx

12γ zx

12γ xy ε y−ε

12γ zy

12γ xz

12γ yz εz−ε

]=0 (3.23)

care, prin dezvoltarea determinantului caracteristic, dă naştere la ecuaţia:

ε 3−I 1ε2+ I 2ε−I 3=0 (3.24)

ai cărei coeficienţi (invarianţi) sunt:

I 1=ε x+ε y+ε z=ε1+ε 2+ε 3 ;

I 2=|ε x

12γ xy

12γ yx ε y

|+|ε y

12γ yz

12γ zy ε z

|+|ε z

12γ zx

12γ xz ε x

|=|ε 1 00 ε 2

|+|ε 2 00 ε3

|+|ε3 00 ε 1

|

I 3=[ ε x12γ yx

12γ zx

12γ xy ε y

12γ zy

12γ xz

12γ yz ε z

]=|ε1 0 00 ε2 0

0 0 ε3

|

.

(3.25)

Pe plane înclinate cu 45° faţă de triedrul format de cele trei direcţii principale se produc deformaţii unghiulare extreme, deformaţii unghiulare principale, ale căror valori sunt:

γ 12=±(ε1−ε2 ) ; γ 23=±(ε2−ε 3) ;

γ 13=±(ε1−ε3 ) ; (3.26)

Având în vedere că ε1>ε2>ε3 (convenţional), deformaţia unghiulară maximă (lunecarea specifică maximă) va fi:

γmax=γ13=±(ε 1−ε3)=±(εmax−εmin ) . (3.27)

Drumul parcurs de un punct dintr-un corp între poziţia iniţială (corpul nedeformat) şi poziţia finală (corpul deformat) poartă denumirea de deplasare. Se presupune în mod implicit că faţă de un sistem cartezian Oxyz corpul socotit rigid este împiedicat să efectueze deplasări şi rotiri, astfel încât deplasările punctelor se datorează numai deformării corpului sub acţiunea forţelor exterioare. În mod curent, proiecţiile vectorului deplasării pe axele de coordonate, x, y, z, sunt notate în mod curent u, v respectiv w şi sunt denumite componentele deplasării:

u=u( x , y , z ); v=v ( x , y , z ) ; w=w( x , y , z ) , (3.28)

în care x, y, z sunt coordonatele punctului luat în consideraţie. În cazul general, între componentele deformaţiei specifice, liniare şi unghiulare, şi componentele deplasării există următoarele relaţii:

ε x=∂u∂ x

+ 12 [(∂u∂ x )2+(∂ v∂ x )

2

+(∂w∂ x )2 ]

,

ε x=∂ v∂ y

+ 12 [( ∂u

∂ y )2

+( ∂ v∂ y )

2

+(∂w∂ y )2]

,

ε x=∂w∂ z

+ 12 [(∂u∂ z )2+(∂ v∂ z )

2

+(∂w∂ z )2 ]

,

γ xy=∂u∂ y

+ ∂ v∂ x

+ ∂u∂ x

∂u∂ y

+ ∂ v∂ x

∂ v∂ y

+∂w∂ x

∂w∂ y ,

γ yz=∂ v∂ z

+ ∂w∂ y

+ ∂ u∂ y

∂u∂ z

+∂ v∂ y

∂ v∂ z

+ ∂w∂ y

∂w∂ z ,

γ zx=∂w∂ x

+∂ u∂ z

+∂ u∂ z

∂u∂ x

+∂ v∂ z

∂ v∂ x

+∂w∂ z

∂w∂ x .

(3.29)

În aceste relaţii au fost luaţi în considerare numai termenii de ordinul unui şi doi, ceilalţi fiind neglijaţi. Sub această formă relaţiile sunt folosite ori de câte ori deformaţiile specifice au valori mari, contribuţia termenilor reprezentând produse ale derivatelor parţiale fiind substanţială. Aceşti termeni se numesc neliniarităţi geometrice. În cazul în care deformaţiile specifice , sunt mici în raport cu unitatea, (deformaţii specifice mici) atunciε γ relaţiile (3.29) se simplifică, reţinând doar termenii de ordinul unu. Se obţin astfel relaţiile de legătură dintre deformaţii specifice şi deplasări care pot fi scrise sub formă matricială:

{ε }={ε xε xε xγ xyγ yzγ zx

}=[∂∂ x

0 0

0 ∂∂ y

0

0 0 ∂∂ z

∂∂ y

∂∂ x

0

0 ∂∂ z

∂∂ y

∂∂ z

0 ∂∂ x

]{uvw} (3.30)

Relaţii între tensiuni şi deformaţii Între eforturile unitare şi deformaţiile specifice din orice punct ale unui corp există o

dependenţă de natură fizică, funcţie de structura corpului. Pentru întinderea simplă, solicitare pentru care convenţional se consideră că produce o stare de tensiune uniaxială, dependenţa dintre eforturile unitare şi deformaţii specifice este liniară şi se exprimă prin relaţia:

σ=Eε (3.31)

denumită legea lui Hooke. Factorul de proporţionalitate din această relaţie poartă denumirea de modul de elasticitate longitudinală. Pentru solicitarea în care starea de tensiuni este caracterizată numai prin eforturi unitare tangenţiale poartă denumirea de forfecare pură iar legătura dintre eforturi şi deformaţii specifice este dată de legea lui Hooke pentru forfecarea pură:

τ=Gγ (3.32)

factorul de proporţionalitate în acest caz fiind modulul de elasticitate transversală G. Între modulul de elasticitate transversală şi modulul de elasticitate longitudinală există următoarea relaţie de legătură:

G= E2(1+ν )

(3.33)

în care este coeficientul lui Poisson şi caracterizează modul de variaţie al volumului odată cuν deformarea corpului (la corpurile perfect elastice, pentru care =0.5, deformarea are loc fărăν variaţia volumului, în timp ce pentru valori apropiate de =0 deformarea nu apare decâtν datorită modificărilor de volum).

Relaţiile (3.31) şi (3.32) pot fi folosite pentru a caracteriza starea de tensiuni în cazurile în care deformaţiile corpului se păstrează în limitele de proporţionalitate ale materialului - până la limita de elasticitate, adică în domeniul elastic.

Caracteristicile introduse ca factori de proporţionalitate în relaţiile anterioare, E şi G, depind de tipul materialului şi de structura corpului încărcat. În general, materialele utilizate în construcţia de autovehicule (cele de natură metalică), deci şi cele din construcţia suspensiei, sunt caracterizate de izotropie iar încărcările sunt limitate la un nivel care să nu producă depăşirea limitei de elasticitate. Un corp izotrop solicitat în limitele de elasticitate ale materialului îşi revine la forma şi dimensiunile iniţiale odată ce încărcările exterioare încetează, proprietăţile elastice manifestându-se identic în toate direcţiile. Pornind de la aceste premise, relaţiile (3.31) şi (3.32) se pot utiliza, pentru a determina legătura dintre

tensiuni şi deformaţii, indiferent de direcţiile pe care acţionează încărcările exterioare asupra corpului considerat.

Prin urmare, între tensiuni - reprezentate sub formă matricială de tensorul tensiunilor (3.5), şi deformaţii - reprezentate sub formă matricială de tensorul deformaţiile specifice (3.30), printr-o transformare corespunzătoare, se poate scrie următoarea relaţie de legătură:

{ε }=[C ] {σ } (3.34)

în care matricea de proporţionalitate C este:

C= 1E [C1 00 C2 ] ,

C1=[ 1 −ν −ν−ν 1 −ν−ν −ν 1 ]

,

C2=[2(1+ν ) 0 00 2(1+ν ) 00 0 2 (1+ν ) ]

.

(3.35)

Inversarea ecuaţiei matriciale (3.34) conduce la:

{σ }=[C ]−1 {ε }=[E ] {ε } , (3.36)

în care [E]=[C]-1 (bineînţeles, E≠[E]); în mod explicit:

[E ]=[C ]−1=B= E(1+ν )(1−2ν ) [B1 0

0 B2 ] ,

B1=[(1−ν ) ν νν (1−ν ) νν ν (1−ν ) ]

,

B2=[(1−2ν )2

0 0

0(1−2ν )2

0

0 0(1−2ν )2

].

(3.37)

Matricea (3.37) poate fi exprimată şi în funcţie de constantele lui Lamé, şi G, definiteλ de relaţiile:

λ= Eν(1+ν )(1−2ν ) ,

G= E2(1+ν ) .

(3.38)

obţinându-se:

[E ]=[λ+2G λ λλ λ+2G λλ λ λ+2G

0

0G 0 00 G 00 0 G

] (3.39)

Relaţiile (3.34) i (3.39) sunt relaţii generale pentru determinarea stării de deformaţieș dintr-un corp în funcţie de încărcarea acestuia. Ele se pot simplifica corespunzător, dacă încărcarea produce o stare de tensiune plană sau uniaxială, sau dacă starea de deformaţie este una plană sau uniaxială.

Pentru cazul corpurilor elastice anizotrope, adică cele la care proprietăţile elastice se manifestă diferit pe diverse direcţii, relaţiile de legătură dintre tensiuni şi deformaţii se complică foarte mult din punct de vedere matematic, nu însă şi în ceea ce priveşte capacitatea de rezolvare a acestor probleme prin metoda elementelor finite care este mult mai mare decât posibilitatea limitată de determinare a numeroaselor „constante de elasticitate” ce trebuie furnizate ca date de intrare pentru algoritmul de calcul. Determinarea experimentală a constantelor de elasticitate produce rezultate discordante atât în cazul în care se folosesc metode statice, situaţie în care transformările de stare trebuie să fie izoterme, cât şi atunci când se utilizează metode dinamice, acestea implicând existenţa unor transformări adiabatice de stare. Discordanţele nu sunt totuşi foarte mari, dar este de menţionat faptul că în procesul de fabricaţie a pieselor se pot induce stări de anizotropie ale materialului care, în stadiul de nesolicitare, erau izotrope. În consecinţă, evaluarea rezistenţei pe baza ecuaţiilor din teoria elasticităţii izotrope nu poate fi interpretată în mod riguros.

Pentru corpul elastic izotrop relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii pot fi formulate cu ajutorul a numai două constante de elasticitate, E şi (relaţia 3.34). În cazul corpului elasticν anizotrop extinderea legii lui Hooke conduce la o relaţie în care apar 21 constante de elasticitate distincte:

{σ }=[C11 C12 . .. C16C21 C22 . .. C26⋮ ⋮ . .. ⋮C61 C26 . .. C66

] {ε } (3.40)

În relaţia (3.40) simetria faţă de diagonala termenilor C11, C22, ..., C66 implică relaţiile C12=C21, C13=C31, etc. Pentru corpurile anizotrope axele principale ale tensiunilor diferă de axele principale ale deformaţiilor.

3.4) Formularea matematică a metodei elementelor finite

Metoda elementelor finite a apărut şi s-a dezvoltat rapid ca rezultat al creşterii puterii de calcul a mijloacelor electronice. Aceasta a deschis drumul unei noi abordări privind posibilitatea de a rezolva prin calcul numeric aproximativ probleme tot mai complexe şi mai dificile vizând evaluarea deformaţiilor, tensiunilor, temperaturilor, vitezelor, etc. în condiţiile utilizării unor materiale neomogene, având comportament neliniar, cu condiţii la limită complicate şi solicitate de forţe şi presiuni exterioare felurite.

Soluţiile analitice ale problemelor sunt expresii matematice care au meritul de a da valori necunoscutelor în oricare punct al corpului, dar astfel de soluţii nu pot fi obţinute decât în anumite cazuri simple. În situaţia utilizării metodei elementului finit, în locul calculului analitic se recurge la calculul numeric aproximativ, cu soluţii acceptabile pentru valorile necunoscutelor, nu într-o infinitate de puncte, ca în soluţiile analitice, ci într-un număr limitat de puncte selectate. Acest proces de selectare a punctelor din corp, în care în locul soluţiei exacte vom avea o soluţie aproximativă, poartă denumirea de discretizare. Schema discretizării este sarcina proiectantului care, ţinând seama de geometria întregului şi de numărul coordonatelor spaţiale independente necesare formulării problemei, grupează punctele selectate în configuraţii geometrice uni, bi sau tridimensionale. Prin această operaţie întregul este divizat într-un număr de regiuni mai mici, numite elemente finite, contururile acestora putând fi linii drepte sau curbe. Examinarea proprietăţilor ţi caracteristicilor unei regiuni mai mici se face mult mai uşor decât pentru corpul întreg.

Intersecţiile liniilor de contur se numesc noduri sau puncte nodale, iar frontiera dintre elementele finite se numeşte, după caz, linie nodală sau plan nodal. Uneori în discretizare sunt introduse şi noduri suplimentare fie pe liniile nodale fie în centrul elementului finit – noduri secundare sau noduri interne, deoarece acestea nu au legătură cu alte elemente finite.Este de precizat faptul că filozofia care stă la baza formulării metodei elementelor finite este în deplină concordanţă cu concepţia dialectică privind înţelesul celor două noţiuni corelate, parte şi întreg. Potrivit concepţiei dialectice întregul se manifestă ca totalitate omogenă fiind un ansamblu de părţi componente ce-i sunt subordonate şi integrate organic. Spre deosebire de concepţia mecanicistă, care priveşte întregul ca o sumă a părţilor, fiecare parte păstrându-şi neschimbate părţile individuale, concepţia dialectică recunoaşte existenţa unor raporturi de relativă independenţă între întreg şi parte. Ca manifestare a independenţei sale relative, elementul finit, considerat separat în afara corpului, are proprietăţi individuale radical diferite de proprietăţile de interacţiune pe care le are când este corelat cu celelalte elemente finite şi integrat în ansamblul căruia îi este subordonat. Reciproc, întregul îşi manifestă relativa sa independenţă prin aceea că, la acţiunea forţelor exterioare, calitatea răspunsului nu depinde nici de numărul elementelor finite în care corpul este divizat şi nici de specificul calitativ al elementelor finite dar, schimbarea poziţiei elementelor finite în întreg ca şi modificarea tipului interacţiunilor de corelaţie schimbă comportamentul calitativ al acestuia.Metoda elementelor finite a deschis calea rezolvării prin calcul numeric aproximativ a problemelor tot mai complexe şi mai dificile privind evaluarea tensiunilor, temperaturilor, presiunilor, vitezelor, etc., în condiţiile utilizării unor materiale neomogene, cu comportament neliniar, cu restricţii şi încărcări tot mai complicate.

În scopul deducerii ecuaţiei elementelor finite pentru probleme de mecanica structurilor în domeniul elastic, se folosesc procedee energetice sau reziduale. Dintre metodele energetice se foloseşte mai ales cea bazată pe teorema energiei potenţiale minime, în care caz parametrii problemei sunt deplasările. Metodele energetice folosesc principii variaţionale potrivit cărora ecuaţiile integrale, care exprimă echilibrul structurii, se obţin prin minimizarea unei mărimi funcţionale. Dacă se foloseşte teorema energiei potenţiale minime, funcţionala care trebuie minimizată este energia potenţială sau potenţialul elementului finit.

Teorema energiei potenţiale minime se enunţă astfel: dintre toate configuraţiile posibile pentru deplasări, care satisfac compatibilitatea internă şi condiţiile la limită, numai cele pentru care energia potenţială are o valoare minimă (staţionară) corespund poziţiei de echilibru. Potenţialul total al unui sistem elastic se compune din energia de deformaţie, U, şi potenţialul forţelor exterioare, Wp, adică:

Π p=U+W p (3.41)

Între lucrul mecanic al forţelor exterioare W şi potenţialul acestora Wp există relaţia W=-Wp, astfel încât potenţialul total se poate scrie sub forma:

Π p=U−W (3.42)

Energia de deformaţie pentru un element infinitezimal de volum Ve, dacă se ia în considerare şi energia de deformaţie corespunzătoare tensiunilor iniţiale, este:

U e=∫V

( 12 {ε }T [E ] {ε }+ {ε }T {σ0 })dV (3.43)

Forţele exterioare care produc lucru mecanic sunt forţele de volum, [F]={Fx, Fy, Fz} (ex. greutatea), forţe de suprafaţă, [Q]={Qx, Qy, Qz} (presiuni) şi forţe care acţionează în nodurile elementului finit, pe (forţe datorate încărcărilor exterioare). Lucrul mecanic al forţelor exterioare pentru un element finit este:

W e=∫Ve

[ f ] {F }dV +∫Se

[ f ] {Q }dS+[de ] {pe } (3.44)

relaţie în care s-a notat: [f]={u,v,w} – componentele deplasării, [de] – deplasările nodale. Prin urmare, pentru un element din cadrul structurii, potenţialul total – relaţia 3.42 – folosind

relaţiile (3.43) şi (3.44), se poate scrie ca (ţinând seama de modul de acţiune al fiecărui tip de forţă):

Π pe=∫Ve

12

[ε ] [E ] {ε }dV+∫Ve

[ε ] [σ0 ]dV−∫Ve

[ f ] {F }dV−∫Se

[ f ] {Q }dS−[de ] {pe } (3.45)

Un element finit este o entitate care, din punct de vedere al deformaţiilor sub acţiunea încărcărilor, este guvernată de legi proprii, intrinseci, denumite funcţii de formă (sau funcţii de interpolare sau modelare), astfel că, odată cunoscute deplasările nodale, pentru un punct oarecare din cuprinsul elementului finit acestea pot fi determinate cu ajutorul relaţiilor de legătură de forma:

[ f ]=[u v w ]=[N ] {de } (3.46)în care cu [N] s-a notat funcţia de interpolare a elementului.

Folosind relaţia (3.45), care exprimă valoarea energiei potenţiale pentru un element finit din cadrul structurii, atunci pentru întreaga structură potenţialul va fi suma potenţialelor tuturor celor m elemente finite:

Π p=∑1

m

Π pe (3.47)

Aplicarea teoremei energiei potenţiale minime presupune minimizarea funcţionalei (3.46) care descrie potenţialul structurii, adică anularea derivatei potenţialului în raport cu toate deplasările nodale:

∂Π p

∂ (d i )=0

, i=1,..,n(3.48)

unde n reprezintă numărul de grade de libertate ale structurii. Se obţine astfel un sistem de ecuaţii care, după transformări succesive, folosind relaţiile determinate la analiza stării de tensiune şi legătura dintre tensiuni şi deformaţii, se poate scrie sub forma concentrată:

[K ] {d }={F } (3.49)

care reprezintă ecuaţia fundamentală a analizei cu elemente finite. În relaţia (3.49) matricea [K] reprezintă matricea de rigiditate a structurii (suma rigidităţilor tuturor elementelor finite) iar {F} matricea încărcărilor.

Analiza cu ajutorul metodei elementului finit a unei structuri presupune însumarea matricelor de rigiditate şi a vectorilor forţelor pe elementele finite, operaţie care se face prin procedeul de asamblare.

Deoarece, la determinarea ecuaţiei fundamentale a elementelor finite nu s-au impus restricţii asupra felului încărcărilor, se poate concluziona că metoda elementului finit are un caracter de generalitate, adică se poate aplica cu succes indiferent de tipul încărcărilor structurii (încărcările avute în vedere la determinarea ecuaţiei fundamentale au un caracter general – forţe de volum, forţe de suprafaţă, forţe nodale).În principiu, studierea comportării structurilor mecanice cu ajutorul metodei elementului finit presupune parcurgerea următoarelor etape:

analiza structurii din punct de vedere geometric, al încărcărilor şi reazemelor (interacţiunea cu mediul exterior);

alegerea elementelor finite; discretizarea structurii cu ajutorul elementelor finite alese (stabilirea nodurilor

şi a legăturii dintre acestea); aplicarea încărcărilor; analiza propriu-zisă cu ajutorul programelor specializate – etapă ce implică un

algoritm de calcul care include: stabilirea matricei de rigiditate a structurii;

stabilirea matricei corespunzătoare încărcărilor structurii; asamblarea ecuaţiilor elementelor finite şi rezolvarea sistemului de ecuaţii

astfel format pentru determinarea deplasărilor; calculul deformaţiilor specifice şi al tensiunilor.

Prin similitudine cu clasificarea corpurilor în funcţie de dimensiunile lor geometrice, şi elementele finite pot fi clasificate după forma şi caracteristicile lor în :

unidimensionale (bare)–Figura 3.1; bidimensionale (plăci) – Figura 3.3; tridimensionale (solide)-Figura 3.2; şi, în plus, elemente finite

adimensionale (elemente de masă –care nu au dimensiuni geometrice).

Figura 3.3 Element finit bidimensional

Fiecare tip de element finit utilizat în modelare şi analiză este caracterizat de proprietăţi intrinseci, stabilite la alegerea acestuia, de anumite caracteristici geometrice, denumite constante reale, definite de proiectant (caracteristici geometrice ale secţiunii şi forma acesteia, puncte caracteristice, etc.) şi, de asemenea, fiecare tip de element finit are asociate caracteristici de material corespunzătoare celui din care este alcătuită structura. Apartenenţa la un anumit set de constante reale sau de proprietăţi de material este făcută de programul Cosmos/M printr-o metodă foarte simplă care ia în considerare ordinea şi locul definirii acestora. Din punctul de vedere al posibilităţilor de modelare oferite de programul Cosmos/M, acestea sunt acoperitoare pentru majoritatea problemelor de analiză structurală, şi anume: pot fi definite maxim 5000 de tipuri de elemente finite şi seturi de constante reale asociate; până la 5000 de seturi de proprietăţi de material; discretizarea nu trebuie să depăşească 256000 de puncte nodale (această valoare poate fi mai mică în funcţie de versiunea programului). În plus, fiecare situaţie de încărcare a structurii este luată în considerare separat, putându-se defini până la 50 de cazuri de încărcare principale şi 50 de cazuri de încărcare ce iau în calcul combinaţii ale celor principale.

Aşa cum arată şi relaţia (3.49), necunoscutele din ecuaţia fundamentală a elementului finit pot fi: deplasările nodale, reprezentate de matricea {d}, pentru cazul în care se cunosc

Figura 3.1 Element finit unidimensional

Figura 3.2 Element finit tridimensional

încărcările; forţele exterioare care încarcă structura, pentru cazul în care se cunosc deplasările nodale. În principiu, metoda elementului finit este una de determinare prin calcul numeric a acestor necunoscute, lucru ce presupune implicit o oarecare aproximaţie în determinarea valorilor. Acesta este motivul pentru care, funcţiile de aproximare utilizate au o foarte mare importanţă iar de alegerea lor depinde aplicarea cu succes a acestei metode în analiza structurilor. Este vorba aici bineînţeles de funcţiile de aproximare a câmpului deplasărilor (exemplificate în relaţia 3.46) Introducerea acestor funcţii de aproximare este determinată de necesitatea cunoaşterii câmpului deplasărilor pentru orice punct din cuprinsul elementului finit chiar dacă la rezolvarea ecuaţiei se determină numai deplasările nodurilor elementului finit considerat. Principalele cerinţe pe care funcţiile de aproximare ale deplasărilor, asociate cu un anumit tip de element finit ales pentru discretizare, trebuie să le satisfacă pentru a se putea obţine o imagine cât mai apropiată de realitate a comportării structurii sunt:

continuitatea: semnificaţia fizică a acestei cerinţe este legată de asigurarea unei variaţii line a câmpului deplasărilor, fie ele liniare sau unghiulare;

compatibilitatea şi conformitatea: cerinţă ce impune ca deformarea elementelor să nu implice separarea acestora de-a lungul frontierei comune sau întrepătrunderea acestora (escaladarea domeniului vecin);

complinirea: adică, funcţiile de aproximare satisfac această cerinţă dacă fac posibile modelarea pentru elementul finit atât a comportamentelor de corp rigid cât şi a stărilor de deformaţii constante;

invarianţa: este o proprietate suplimentară impusă funcţiilor de aproximare şi se traduce fizic prin necesitatea asigurării aceleiaşi stări de deformaţie indiferent de orientarea axelor în raport de care este formulată această stare (această proprietate poate fi definită deci ca o izotropie geometrică sau spaţială – invarianţa geometrică).

Rezultatele obţinute prin analiza structurilor cu ajutorul metodei elementelor finite depind de caracteristicile de material (introduse ca constante ale matricei de rigiditate) dar şi de caracteristicile şi dimensiunile elementelor finite utilizate pentru discretizare. Prin caracteristicile elementelor finite se au în vedere tipul acestora (uni, bi, sau tridimensionale) dar şi de numărul acestora. Programele de proiectare asistată de ultimă generaţie, ce folosesc această metodă de analiză, sunt în general mai puţin sensibile faţă de numărul de elemente finite folosite pentru discretizare. Totuşi, scăderea dimensiunilor elementelor finite utilizate pentru modelarea structurii, efect al măririi numărului de elemente utilizate, poate conduce la rezultate anormale ale comportamentului, deformării, stării de tensiune, etc. Pentru structuri complexe este recomandată studierea răspunsului structurii pentru mai multe cazuri de discretizare, (folosind un număr diferit de elemente finite) prin această operaţiune urmând să se stabilească numărul optim de elemente ce pot fi folosite astfel încât rezultatele obţinute să fie cât mai apropiate de realitate. Nu trebuie pierdut din vedere aici faptul că, odată cu creşterea numărului de elemente finite creşte şi volumul de calcule necesar pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii generat în urma discretizării.

3.5) Modelarea cu elemente finite a unor tipuri de suspensii ale autovehiculelor

Justeţea datelor obţinute din analiza structurilor cu ajutorul metodei elementului finit depind, în cea mai mare măsură, de corectitudinea şi profunzimea cu care se efectuează prima etapă a studiului, analiza structurii – atât din punct de vedere geometric cât şi funcţional – urmată de alegerea tipului de elemente finite utilizate pentru discretizare. Cu toate că clasificarea elementelor finite în funcţie de numărul de dimensiuni ale acestora cuprinde patru tipuri, (adimensionale, uni, bi şi tridimensionale) configuraţiile de elemente finite implementate în programele de analiză, în general, şi în programul Cosmos/M în particular, sunt foarte numeroase. Alegerea tipului de element finit folosit trebuie să ţină seama de avantajele asociate cu volumul şi timpul necesar pentru efectuarea calculelor, cu posibilitatea

modelării caracteristicilor funcţionale, principale şi adiacente, precum şi cu precizia necesară pentru rezultate.

În multe probleme de analiză cu metoda elementului finit însăşi forma geometrică a corpului sau structurii analizate constituie o indicaţie clară privind tipul optim de element finit ce urmează a fi folosit. Totuşi, alegerea optimă a elementului finit nu este întotdeauna atât de simplă pe cât pare după prima analiză a structurii ce urmează a fi analizată. Mai mult, o alegere care reflectă doar intuiţia proiectantului şi rutina se poate dovedi deficitară şi nesatisfăcătoare din punct de vedere al rezultatelor obţinute, al volumului de calcule necesar sau chiar al reprezentării şi modelării caracteristicilor funcţionale. Din acest punct de vedere, o foarte mare importanţă în modelarea cu elemente finite o are schematizarea funcţională a structurii (care trebuie să surprindă cât mai multe aspecte legate de caracteristici, parametri funcţionali şi geometrici, etc. astfel încât să descrie cât mai fidel şi mai aproape de realitate comportarea reală).

În general la alegerea tipului de element finit utilizat pentru discretizare trebuie ţinut seama de următoarele observaţii:

la orice opţiune a tipului de element finit problema are soluţie, dar aspectul economic (volumul şi timpul necesar pentru efectuarea calculelor) şi mărimea erorii soluţiei o pot face mai mult sau mai puţin acceptabilă;

pentru o eroare admisibilă prescrisă discretizarea necesară poate avea mai puţine elemente dacă se introduc 1-2 noduri intermediare de-a lungul liniilor nodale, lucru care conduce implicit şi la reducerea numărului total al necunoscutelor şi al volumului de calcule necesar pentru obţinerea soluţiei.

3.5.1) Modelarea cu elemente finite a elementului elastic de tip arc elicoidalArcurile elicoidale constituie elementul cel mai des utilizat ca suport elastic pentru

suspensia autovehiculelor, mai ales a autoturismelor, datorită durabilităţii mari, greutăţii reduse, execuţiei simple şi faptului că necesită operaţiuni minime de întreţinere pe timpul exploatării. Principalul dezavantaj al acestui tip de suspensie este legat de faptul că acestea nu pot prelua decât forţe ce acţionează de-a lungul axei lor, şi deci în construcţia suspensiei trebuiesc prevăzute elemente suplimentare de ghidare care să preia forţa de propulsie sau de frânare.

Pentru modelarea şi analiza cu elemente finite a arcului elicoidal s-a optat pentru suspensia autoturismului Dacia datorită faptului că reprezintă o soluţie constructivă foarte des utilizată, schema de principiu a acesteia poate fi foarte uşor extinsă pentru studiul altor tipuri constructive, şi, nu în ultimul rând, pentru această suspensie, în literatura de specialitate, există date constructive şi de exploatare foarte utile pentru compararea cu rezultatele obţinute.

Suspensia cu arc elicoidal – prezentată în Figura 3.4 – are următoarele caracteristici funcţionale şi dimensionale:

suspensia faţă este independentă cu arcul dispus între cadru şi amortizor iar suspensia spate este dependentă;

mecanismul de ghidare este format din două braţe transversale (notate cu 1 şi 2 pe figură) articulate la cadrul autovehiculului (prin intermediul unor articulaţii elastice metal–cauciuc aflate în acelaşi plan vertical) şi au următoarele dimensiuni: lungimea braţului superior – 215mm, lungimea braţului inferior – 242mm;

amortizorul suspensiei – 3 – este de tip hidraulic cu dublă acţiune şi face legătura între carcasă, prin intermediul unei articulaţii elastice din cauciuc ce permite deplasări

4

3

1

2

Figura 3.4 Suspensia faţă

unghiulare, şi braţul superior, prin intermediul unei bucşi tip metal cauciuc (articulaţie cilindrică cu axa dispusă longitudinal) ce permite deplasări unghiulare transversale faţă de axa autovehiculului – punctul de articulare la braţul superior se află la 134mm faţă de articulaţia la cadrul autovehiculului;

elementul elastic de tip arc elicoidal are următoarele caracteristici dimensionale: diametrul mediu de înfăşurare al spirei: Dm=132 mm; numărul de spire: 8 din care active n=7; lungimea în stare liberă L=410mm; lungimea arcului montat pe autovehicul l=215mm; diametrul spirei arcului: d=14.3 mm; pasul spirelor: p=51.25 mm

Analiza geometrică şi funcţională a arcului elicoidal ce intră în compunerea suspensiei conduce la concluzia că acesta poate fi abordat, pentru modelarea cu ajutorul elementelor finite, în două moduri:

ca structură solidă, caz în care discretizarea se face cu ajutorul elementelor finite tridimensionale;

schematizat, sub forma unei spirale fără volum, pentru discretizare putându-se utiliza elemente finite unidimensionale.

În timpul funcţionării arcul elicoidal se deformează sub acţiunea greutăţii autovehiculului şi, pe parcursul rulajului, datorită oscilaţiilor masei suspendate, fiind încărcat atât de forţe tăietoare cât şi de momente de torsiune. Având în vedere aceste aspecte, pentru o modelare corespunzătoare a arcului elicoidal, elementele finite utilizate trebuie să poată asigura preluarea tuturor încărcărilor elementului elastic, motiv pentru care se vor utiliza elemente tridimensionale tetraedrice cu şase grade de libertate pe nod – TETRA4R – pentru modelarea ca structură solidă (Figura 3.5) şi bidimensionale cu şase grade de libertate pe nod – BEAM3D – pentru modelarea schematizată (Figura 3.6). Bineînţeles, discretizarea arcului elicoidal se poate realiza şi cu alte tipuri de elemente finite dar utilizarea celor prezentate anterior se încadrează cel mai bine condiţiilor impuse de încărcări iar experienţa a dovedit că rezultatele obţinute sunt cele mai apropiate de realitate.

Elementul finit TETRA4R este un element tridimensional tetraedral solid (4 noduri) utilizat pentru analiza structurală. Pentru fiecare nod sunt luate în considerare trei mişcări de translaţie şi trei de rotaţie, lucru care permite conectarea facilă a acestui tip de element cu alte elemente ce ţin seama de mişcarea de rotaţie a nodurilor. Acest tip de element finit nu are caracteristici speciale intrinseci iar setul de caracteristici corespunzătoare constantelor reale permite definirea proprietăţilor de ortotropie sau anizotropie, pentru situaţia în care se folosesc astfel de materiale. Încărcările ce pot fi aplicate acestui tip de element se referă la solicitări termice, la solicitări datorate forţelor gravitaţionale şi forţelor mecanice.

Figura 3.5 Element finit tridimensional TETRA4R

Figura 3.6 Element finit bidimensional BEAM3D

BEAM3D este un element finit unidimensional cu două noduri, folosit pentru analiza structurilor tridimensionale, care permite luarea în considerare a 6 grade de libertate pentru fiecare nod, trei de translaţie şi trei de rotaţie. Caracteristicile acestui tip de element permit: luarea în considerare a modelului de material (liniar elastic, elasto-plastic, vâsco-elastic), stabilirea modului de integrare pentru neliniarităţile materialului şi a modului de formulare a deplasărilor. De asemenea, pentru elementele BEAM programul de calcul permite stabilirea tipului secţiunii, atât din punct de vedere al formei (simetrică, asimetrică, conică) cât şi al dimensiunilor acesteia. Prin intermediul constantelor reale asociate elementului, proiectantul poate stabili tipul secţiunii (circulară, pătrată, etc.), dimensiunile acesteia şi implicit momentele de inerţie. Pentru cazurile în care caracteristicile mecanice ale structurii depind de poziţionarea relativă a încărcărilor şi secţiunii, programul oferă posibilitatea stabilirii unui al treilea nod (notat cu 3 în Figura 3.6) faţă de care se va face orientarea elementului finit. Elementul BEAM3D permite preluarea încărcărilor mecanice, termice şi gravitaţionale.

În ceea ce priveşte proprietăţile de material, programul Cosmos/M pune la dispoziţie atât posibilitatea stabilirii acestora de către proiectant cât şi alegerea dintre cele existente în biblioteca de materiale. Proprietăţile de material utilizate pentru modelarea arcului elicoidal sunt: modulul de elasticitate transversal E=2.1 1011N/m2, modulul de elasticitate transversal G=0.81 1011N/m2, alese din biblioteca de materiale a programului, acestea fiind în deplină concordanţă cu caracteristicile oţelului utilizat pentru fabricarea elementului elastic.

În poziţie statică (autovehiculul în repaus) arcul elicoidal este încărcat şi se deformează sub acţiunea greutăţii autovehiculului. Ţinând seama de faptul că masa totală a autovehiculului este de aproximativ 1000kg, atunci, pe baza precizărilor (statistice) din literatura de specialitate, se poate considera că 100kg (10%) reprezintă masa nesuspendată (masa roţilor, punţilor, o parte a transmisiei punţii faţă, etc.), iar din totalul masei suspendate, 600kg revin punţii faţă şi 300kg punţii spate. Pentru stabilirea încărcării arcului elicoidal se va avea în vedere reducerea maselor suspendate şi nesuspendate la axa arcului, aceasta deoarece arcul este montat între braţul superior al mecanismului de ghidare şi carcasa autovehiculului.

Odată stabilite toate detaliile legate de analiza funcţională a mecanismului suspensiei şi a arcului elicoidal din compunerea acesteia, de tipul şi caracteristicile elementelor finite ce vor fi folosite, de proprietăţile materialului şi de încărcări, se poate proceda la modelarea elementului elastic. În această modelare s-a considerat că, atât în poziţie statică cât şi pe timpul funcţionării, singurul element care se deformează este arcul elicoidal, aspect care este foarte aproape de realitate având în vedere forma constructivă ce conferă o înaltă rigiditate braţelor mecanismului de ghidare şi carcasei.

În Error: Reference source not founda este prezentat modelul de discretizare cu elemente finite tridimensionale TETRA4R al arcului elicoidal iar în Error: Reference sourcenot foundb discretizarea acestuia cu elemente finite bidimensionale BEAM3D.

Analiza comparativă a celor două modele obţinute în urma discretizării cu elemente finite a arcului elicoidal este prezentată în tabelul 3.1 şi permite următoarele observaţii:

comportarea celor două modele sub aspectul deformării este aproximativ identică; starea de tensiune datorată deformării sub acţiunea greutăţii autovehiculului este

aproximativ egală pentru cele două modele de discretizare; numărul de noduri şi de elemente este sensibil mai mare pentru cazul în care arcul

elicoidal a fost considerat corp solid şi a fost discretizat cu elemente Tetra4R, aspect care conduce la un efort de calcul mult mai mare.

Tabelul 3.1 Detalii privind modelarea arcului elicoidal cu elemente finite .

DetaliiDiscretizarea cu

elemente TETRA4RDiscretizarea cu

elemente BEAM3DNumăr de puncte nodale 6491 363Număr de elemente 14400 360Săgeata statică (reală=195mm) 205 197

Tensiunea maximă von Mises 570 106N/m2 438 106N/m2

Rezultatele obţinute în urma modelării conduc la concluzia că oricare dintre cele două posibilităţi de discretizare poate fi folosită pentru studierea comportării arcului elicoidal. Totuşi, dacă nu se ia în calcul numai aspectul rezultatelor obţinute ci şi economicitatea şi posibilitatea extinderii studiului prin adăugarea altor componente ce intră în compunerea sistemului suspensiei, atunci, datorită numărului mai mic de noduri şi de elemente, varianta a doua de discretizare, cu elemente bidimensionale BEAM3D este de preferat în detrimentul celeilalte. Justificarea acestei alegeri este legată de faptul că numărul de noduri rezultat în urma discretizării este direct proporţional cu dimensiunile sistemului de ecuaţii (3.48) iar pe de altă parte, introducerea în studiu şi a altor elemente componente conduce implicit la mărirea numărului de noduri (şi elemente) şi deci la creşterea efortului şi a timpului de calcul. În plus, dacă numărul de componente este ridicat sau dacă discretizarea este mai fină, se poate ajunge la mărirea inutilă a timpului de calcul (sau chiar la depăşirea posibilităţilor de calcul ale programului) fără a obţine rezultate pe măsura aşteptărilor.

Discretizarea arcului elicoidal folosind elemente finite tridimensionale este utilă pentru studiul distribuţiei tensiunilor pentru diverse cazuri de încărcare. Pentru cazul static, sub acţiunea forţei de greutate a autovehiculului, această distribuţie este prezentată în Error:Reference source not found din care se observă că respectă legea de distribuţie stabilită pe cale teoretică. Deoarece arcul elicoidal folosit ca element elastic al sistemului suspensiei autovehiculelor nu poate prelua decât sarcini care acţionează pe direcţia axei acestuia, distribuţia tensiunilor va avea aceeaşi formă indiferent de solicitare, singura deosebire fiind aceea că tensiunea maximă, pe fibrele extreme ale secţiunii, va fi mai mare sau mai mică, în concordanţă cu mărimea sarcinii. Prin urmare, acesta este un motiv în plus care face ca discretizarea cu elemente solide a arcului elicoidal să fie evitată dacă se doreşte un studiu de ansamblu al sistemului suspensiei autovehiculului deoarece rezultatele obţinute nu vor fi diferite decât în ceea ce priveşte scara tensiunilor şi nu a distribuţiei acestora.

3.5.2) Modelarea cu elemente finite a elementului elastic de tip arc cu foiArcurile cu foi s-au impus ca elemente elastice în construcţia suspensiilor

autovehiculelor datorită faptului că au o foarte mare capacitate de încărcare şi necesită operaţiuni minime de întreţinere pe timpul exploatării. Dimensiunile de gabarit relativ mari şi

comportarea defectuoasă la sarcini dinamice constituie unele dintre principalele dezavantaje ale acestui tip de element elastic care îl fac impropriu pentru utilizarea în sistemul suspensiilor autoturismelor uşoare ci mai ales pentru autoturismele de teren şi pentru autovehiculele grele de transport marfă care nu au viteze de deplasare ridicate iar cerinţele de confort sunt relativ mai puţin restrictive.

Din punct de vedere constructiv arcul cu foi este alcătuit din mai multe lamele metalice de diferite lungimi, suprapuse unele peste altele şi prinse prin intermediul unor elemente de tip bridă astfel încât să constituie un tot unitar a cărui secţiune longitudinală se apropie de cea a grinzii de egală rezistenţă.

Din punct de vedere funcţional, elementul elastic de tip arc cu foi, asigură legătura elastică dintre cadrul autovehiculului şi punţile autovehiculului (ce asigură susţinerea echipamentului de rulare). În principiu, funcţie de soluţia constructivă, capetele arcului cu foi se pot sprijini pe cadrul autovehiculului, caz în care la partea de mijloc a acestuia se află prinsă puntea (soluţia clasică), sau punţile sunt prinse la capetele arcului, caz în care partea din mijloc arcului este prinsă prin intermediul unei articulaţii la cadrul autovehiculului (soluţie constructivă cu arc în balansier). Indiferent de soluţia constructivă, funcţionarea arcului în foi ca element elastic este asigurată prin încovoierea acestuia datorită greutăţii autovehiculului şi interacţiunii dintre calea de rulare şi roţile autovehiculului.

Studiul şi analiza cu elemente finite a arcurilor cu foi se va face pentru suspensia unui autocamion a cărui soluţie constructivă este una foarte larg răspândită, pentru alte soluţii constructive modelul obţinut putând fi foarte uşor adaptat. Suspensia punţii faţă este dependentă iar elementul elastic este de tip arc lamelar, cu 11 foi, articulat la cadrul autovehiculului prin intermediul unei articulaţii fixe la un capăt şi a unei articulaţii mobile la celălalt capăt (această articulaţie nu permite capătului de arc decât deplasări longitudinale pentru a nu împiedica alungirea arcului în timpul funcţionării). Pentru amortizarea şocurilor şi atenuarea vibraţiilor în compunerea suspensiei este prevăzut un amortizor de tip hidraulic cu dublă acţiune.

Greutatea proprie a autocamionului este de 9940daN din care repartizată pe puntea faţă 4640daN iar pe puntea spate 5300daN. Sarcina utilă a autocamionului este de 5000daN caz în care repartiţia sarcinii este următoarea: pe puntea faţă 5000daN iar pe puntea spate 10000daN.

Caracteristicile geometrice ale arcului în foi ce intră în compunerea suspensiei autocamionului sunt prezentate în tabelul 3.2 iar schema de principiu a suspensiei este reprezentată schematic în Figura 3.7.

Tabelul 3.2. Caracteristicile geometrice ale foilor de arc din compunereasuspensiei autocamionului.

Elementul elastic Lungime [mm] Lăţime[mm] Grosime[mm]Foia nr. 1 1600 80 11Foia nr. 2 1600 80 11Foia nr. 3 1620 80 11Foia nr. 4 1390 80 11

Figura 3.7 Suspensie de autocamion

suprafaţa de contact

Foia nr. 5 1240 80 11Foia nr. 6 1090 80 11Foia nr. 7 940 80 11Foia nr. 8 790 80 11Foia nr. 9 640 80 11Foia nr. 10 420 80 11Foia nr. 11 335 80 11

Analiza funcţională, geometrică şi dimensională a arcului în foi conduce la concluzia că studiul şi modelarea acestuia se poate face în două moduri: considerând foile arcului ca elemente prismatice tridimensionale sau considerând foile arcului ca elemente plane bidimensionale (elemente de tip lamelă pentru care grosimea este introdusă în calcule de proiectant). Ţinând seama de aceste aspecte şi de tipul încărcărilor arcului cu foi în timpul funcţionării (încovoiere), elementele finite alese pentru analiză trebuie să asigure o modelare corespunzătoare a elementului elastic. Din biblioteca de elemente finite a programului Cosmos/M, în urma studiului caracteristicilor acestora, se pot alege pentru discretizare elemente finite tridimensionale de tip TETRA4R (Figura 3.5) sau elemente finite bidimensionale SHELL4T, care asigură câte şase grade de libertate pe nod (trei de translaţie şi trei de rotaţie) şi ţin seama de efectul produs de forţa tăietoare. Caracteristicile principale ale elementului finit de tip TETRA4R au fost prezentate în capitolul anterior.

Elementul finit SHELL4T este un element patrulater cu capacităţi de a modela încovoierea sau comportamentul de membrană pentru studierea structurilor mecanice bidimensionale şi tridimensionale. Elementul ţine seama de efectul forţei tăietoare iar pentru analiza structurilor fiecare nod este luat în considerare prin şase grade de libertate (trei de translaţie şi trei de rotaţie). Caracteristicile elementului sunt completate cu constantele reale specificate de proiectant, printre care şi grosimea acestuia.

Un fenomen important ce apare în timpul funcţionării arcului cu foi (la deformarea arcului) este alunecarea relativă a foilor de arc. Luarea în considerare a acestui fenomen şi modelarea lui se poate realiza cu ajutorul elementelor finite de tip interstiţiu – GAP (prezentat schematic în Error: Reference source not found). Elementele GAP sunt entităţi speciale în cadrul tipurilor de elemente finite implementate în programul Cosmos/M deoarece nu au

dimensiuni geometrice şi sunt folosite pentru a realiza şi modela contactul între două elemente ale unei structuri. Elementele GAP pot fi folosite atât în probleme de analiză structurală bidimensională cât şi tridimensională putând fi asemănate cu elemente bidimensional cu două

Figura 3.8 Element finit bidimensional SHELL4T.

Foaia n

Elemente detip GAP

Foaia n+1

Figura 3.9 Exemplu de modelare a contactului dintre două foi arc cu elemente GAP

noduri care se comportă similar unei legături rigide care rezistă fie la compresiune fie la întindere, în funcţie de setul de constante reale ce sunt specificate de proiectant. În funcţie de distanţa dintre cele două noduri ale elementului – introdusă de proiectant odată cu modelarea – elementul GAP poate fi rezistent la compresiune – distanţa mai mare ca zero – sau rezistent la întindere – distanţa mai mică decât zero. De asemenea, elementele de tip GAP iau în considerare şi fenomenul de frecare, ce apare între elementele pe care le leagă, ca produs dintre forţa normală la suprafaţa sau linia de contact şi coeficientul de frecare. În cazul în care structura modelată are elemente componente cu suprafeţe în contact, programul Cosmos/M permite crearea automată a discretizării interstiţiilor de tip GAP prin folosirea elementelor de contact de tip nod-linie sau nod-suprafaţă. Una dintre cele mai importante restricţii pe care utilizarea acestui element o impune este legată de faptul că nodurile interstiţiilor GAP nu preiau şi nu permit aplicarea încărcărilor.Modelarea contactului dintre două foi de arc presupune introducerea a câte unui element GAP între două noduri adiacente aparţinând unul unei foi şi celălalt celeilalte foi. În Figura 3.9 este prezentat schematic un model de discretizare cu elemente finite a două foi de arc pentru care s-a luat în considerare contactul şi frecarea dintre ele. Acest tip de modelare al contactului dintre cele două foi prezintă inconvenientul că presupune menţinerea celor două noduri ale interstiţiului în contact ori, în cazul real, odată cu fenomenul de lunecare relativă nodurile culisează pe suprafaţa foilor de arc. Astfel, dacă iniţial distanţa dintre cele două noduri este nulă, în urma deformării aceasta poate să crească, iar dacă distanţa este mai mare ca zero, deformarea arcului poate produce o variaţie a interstiţiului în sensul măririi şi micşorării acestuia. Pentru a apropia cât mai mult modelul cu elemente finite de funcţionarea reală a arcului se vor utiliza, pentru modelarea contactului, elemente GAP de tip nod-linie (pentru modelul schematizat bidimensional) şi elemente GAP nod-suprafaţă (pentru modelul tridimensional). Aceste tipuri de elemente au o funcţionare similară cu a elementelor GAP cu două noduri numai că un nod al interstiţiului, aflat pe elementul contactor, (sursa de contact) va menţine contactul cu o linie (linie formată din minim trei noduri) respectiv o suprafaţă (formată din minim patru sau maxim nouă noduri) de pe elementul contactat („ţintă”). În figura ... sunt prezentate schematic două exemple de modelare al contactului dintre două foi de arc folosind elemente GAP nod-linie şi nod-suprafaţă.

Foaia n - elemente contactoare

1 2 3 4

Elemente GAPNod-linie

5 6 7 8 9 10

Foaia n+1 - elemente contactate (tinta) a.

1 5-6-72 6-7-83 7-8-94 8-9-10

Nodurile linieide contact

Nod contactor

Foaia n - elemente contactoare

a b

3 6 9 12

25 8 11

14 7 10

Foaia n+1 - elemente contactate (tinta)

Elemente GAPNod-suprafata

b.

Pentru nodul a: 1-3-9-7Pentru nodul b: 4-6-12-10

Nodurile ce formeazasuprafetele de contact

Figura 3.10 Exemple de modelare a contactului dintre două foi de arca-folosind elemente GAP de tip nod-linie, pentru schematizarea bidimensionalăb-folosind elemente GAP de tip nod-suprafaţă, pentru modelul tridimensional.

Proprietăţile de material utilizate pentru modelarea arcului elicoidal sunt: modulul de elasticitate transversal E=2.1 1011N/m2, modulul de elasticitate transversal G=0.81 1011N/m2, valori alese din biblioteca de materiale a programului şi care corespund cu cele ale oţelului utilizat pentru fabricarea elementului elastic.

În procesul clasic de proiectare, de cele mai multe ori, estimarea parametrilor funcţionali se face cu relaţii empirice care nu întotdeauna respectă condiţiile reale de funcţionare. Această abordare „clasică” conduce în cele mai multe cazuri la proiectarea unor sisteme de suspensie care asigură decât parţial cerinţele de confort impuse, corectarea efectelor negative fiind foarte greoaie, sau chiar imposibilă, şi întotdeauna mari consumuri de resurse. Complexitatea structurală a sistemul suspensiei autovehiculului, nu face evident modul în care trebuie modificate diferite elemente componente, atât sub aspectul formei cât şi al dimensiunilor, pentru ca aceasta să răspundă cât mai bine cerinţelor impuse la proiectare. Proiectarea este, prin urmare, un proces de creaţie, în care se sintetizează capacitatea tehnică şi experienţa proiectantului, pentru a obţine o soluţie care să răspundă în condiţii optime solicitărilor şi cerinţelor de ordin tehnic.

Calculul şi proiectarea sistemelor şi componentelor autovehiculelor este un proces complex în care trebuie ţinut seama atât de restricţii legate de rezistenţa elementelor componente cât şi de o serie de factori adiacenţi impuşi de reglementări stricte pe plan internaţional privind interacţiunea om-autovehicul-mediu. Sistemul suspensiei poate fi considerat unul de importanţă majoră pentru funcţionarea autovehiculului în ansamblul său, dacă se ţine seama de faptul că performanţele dinamice ale acestuia sunt limitate în primul rând de calităţile şi performanţele suspensiei ce îl echipează şi în al doilea rând de performanţele (puterea) motorului de tracţiune, fiind în plus, factorul principal în asigurarea confortabilităţii autovehiculului.

Structura de rezistenţă trebuie proiectată în aşa fel încât să fie sigură pentru valori ale parametrilor funcţionali riguros definite, în condiţiile îndeplinirii unor cerinţe severe şi adesea contradictorii privind costul, aspectul estetic, tehnologia de execuţie, dimensiunile de gabarit, fiabilitatea, durabilitatea (de exemplu, un aspect contradictoriu poate fi cel determinat de limitarea tensiunilor maxime, dimensiunile de gabarit şi greutatea sistemului, pentru că în general tensiunea este invers proporţională cu secţiunea componentei solicitate iar greutatea depinde direct proporţional de secţiunea acesteia). Mai trebuie avute in vedere de asemenea şi diferite moduri de rupere, momentele de inerţie, stabilitatea maximă precum şi prevederile diferitelor legi, norme şi standarde.

Scopul primordial al proiectării este acela de a obţine cel mai bun sistem posibil pentru un ansamblu de cerinţe impuse, cerinţe rezultate din solicitările specifice condiţiilor de funcţionare şi din necesitatea satisfacerii anumitor cerinţe ce nu sunt în strictă legătura cu cele funcţionale. Pentru aceasta, algoritmul clasic de calcul de rezistenţă presupune ca, un eventual sistem care răspunde cel mai bine la aceste condiţii, „sistem posibil”, să fie studiat sub aspectul comportării la solicitări, iar dacă satisface cerinţele funcţionale sistemul este considerat bun. În acest mod de abordare este posibil ca anumite soluţii constructive rezultate să nu fie cele mai bune din punct de vedere funcţional, ci doar corespunzătoare. În procesul de proiectare sunt implicate profund şi alte aspecte legate de: stabilirea formelor optime, posibilităţile tehnologice, materialele folosite, etc. În Figura 3.11 sunt prezentate sugestiv corelaţiile dintre majoritatea factorilor care concură la o bună proiectare a sistemelor de suspensie pentru autovehicule.

Foaia n - elemente contactoare

1 2 3 4

Elemente GAPNod-linie

5 6 7 8 9 10

Foaia n+1 - elemente contactate (tinta) a.

1 5-6-72 6-7-83 7-8-94 8-9-10

Nodurile linieide contact

Nod contactor

Foaia n - elemente contactoare

a b

3 6 9 12

25 8 11

14 7 10

Foaia n+1 - elemente contactate (tinta)

Elemente GAPNod-suprafata

b.

Pentru nodul a: 1-3-9-7Pentru nodul b: 4-6-12-10

Nodurile ce formeazasuprafetele de contact

Figura 3.10 Exemple de modelare a contactului dintre două foi de arca-folosind elemente GAP de tip nod-linie, pentru schematizarea bidimensionalăb-folosind elemente GAP de tip nod-suprafaţă, pentru modelul tridimensional.

3.6) Concluzii

Comparativ cu metodele clasice de proiectare i analiză utilizate în construc iaș ț autovehiculelor, metoda elemntelor finite î i manifestă pe deplin superioritatea, lucruș sus inut i de cele câteva exemple concrete ce au fost studiate. Cei mai mul i specialist dinț ș ț domeniul ingineriei mecanice consideră această metoda de calcul numeric în analiza structurilor, indifferent de tipul i complexitatea acestora, ca fiind una dintre cele maiș performante.

Adoptarea unui model de calcul adecvat, bazat pe în elegerea corectă a problemei deț rezolvat i nu în ultimul rând pe cuno tin ele privind tipurile i caracteristicile elementelorș ș ț ș finite, a procedurilor de lucru i modurilor de analiză, va conduce în final la Rezolvareaș corectă a problemelor de analiză a structurilor prin metoda elemnetelor dinite. Din momentul stabilirii corecte a modelului de studio, celelalte elemnte, cum ar fi: alegerea tipurilor de elemte finite, discretizarea domeniilor, procedurile de lucru i tipurile de analiză nu maiș ridică problem deosebite ci depend doar de experien a proiectantului în utilizarea produsuluiț software avut la dispozi ie.ț

Acestea sunt motivele care, în practică, recomandă ca orice analiză, static sau dinamiză, care să ină seama de toate încărcările să fie precedată de o analiză simplificată – încărcări iț ș restric ii aplicate partial – care să ofere posibilitatea validării modelului cu elemente finite.ț Unul dinter avantajele utilizării metodei elementelor finite îl reprezintă i posibilitatea de aș simula cu u urin ă diverse situa ii reale ce pot apărea în timpul func ionării.ș ț ț ș

Datorită ritmului debordant de dezvoltare al tehnicii de calcul, atât în domeniul hardware cât i software, mărimea problemei de rezolvat nu mai reprezintă un impedimentș pentru proiectant decât sub raportul timpului necesar pentru ob inerea rezultatului.ț

Aspectele men ionate au o importan ă majoră mai ales în domeniul construc iei deț ț ț autovehicule în care, modificările diferitelor solu ii constructive, fie numai pentru prototipuri,ț sunt mari consumatoare de resurse financiare i materiale. Dacă prototipul realizat nu seș dovede te eficient, atunci apare evident faptul că investi ia este total neeconomică.ș ț

Iată de ce metoda elementelor finite ca metoda de studiu i cercetare în domeniulș structurilor mecanice poate fi considerată ca o metoda de viitor, performantă, cu ajutorul căreia se pot ob ine rezultate teoretice foarte apropiate de cele deduse pe cale experimentală. ț

Rezistenta Rol functionalRigiditateVibratii Schema functionalaÎncalzire

Durabilitate MaterialAspect economicCalcule specifice

Volumul fabricatieiDesenul produsului

Posibilitati de fabricatie

Ca

lcu

l de

p

roie

cta

re

FormaDimensiuni Procedee tehnologice

Figura 3.11 Corelaţia dintre factorii care concură la proiectarea unui sistem