Capitolul 2

Cuadrice

Definitia 2.1. Se numeste cuadrica o suprafata ın spatiu definita ın reperul

cartezian ortonormat {O;Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } printr-o ecuatie algebrica de gradul aldoilea de forma

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3,4}, j ≥ i, iar coeficientii termenilor de gradul aldoilea a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toti nuli.

Asadar o cuadrica este o multime de puncte ın spatiu ale caror coordonate(x, y, z) verifica o ecuatie de gradul al doilea de forma celei de mai sus.

� cuadricele se mai numesc si suprafete algebrice de ordinul al doilea

� exemple de cuadrice: sfera, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi

2.1 Cuadrice pe ecuatii reduse

2.1.1 Sfera

Definitia 2.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) si R > 0 un numar real fixat.Sfera de centru C si raza R este locul geometric al punctelor M(x, y, z)care satisfac egalitatea

∥

ÐÐ→

CM∥ = R. (2.1)

AvemÐÐ→

CM = (x − a)Ð→

i + (y − b)Ð→

j + (z − c)Ð→

k , deci (2.1) se rescrie

√

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R

1

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (2.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei de centru C(a, b, c)si raza R.

Efectuand calculele ın ecuatia (2.2) obtinem:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (2.3)

unde d = a2+b2+c2−R2. Se pune problema daca orice ecuatie de forma (2.3)reprezinta ecuatia unei sfere. Cum (2.3) este echivalenta cu

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = a2 + b2 + c2 − d,

distingem urmatoarele cazuri:

1. daca a2 + b2 + c2 − d > 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3)

reprezinta sfera cu centrul C(a, b, c) si raza R =

√

a2 + b2 + c2 − d;

2. daca a2 + b2 + c2 − d = 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3) sereduce la punctul de coordonate (a, b, c);

3. daca a2 + b2 + c2 − d < 0 atunci multimea punctelor care satisfac (2.3)este multimea vida.

Ecuatia (2.3) ın care a2 + b2 + c2 − d > 0 se numeste ecuatia generala asferei.

Fie M(x, y, z) un punct din spatiu si M ′(x, y,0) proiectia lui M pe planul

xOy. Introducem notatiile:

� ρ = ∥

ÐÐ→

OM∥ - distanta de la M la origine

� θ ∈ [0, π] - unghiul dintre Oz siÐÐ→

OM

� ϕ ∈ [0,2π) - unghiul dintre Ox siÐÐ→

OM ′

Numerele reale ρ, θ,ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M .Relatiile de legatura ıntre coordonatele carteziene si coordonatele sferice alepunctului M sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sin θ cosϕ

y = ρ sin θ sinϕ

z = ρ cos θ

, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

2

Considerand coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonatecu centrul ın C(a, b, c) si axele paralele cu cele initiale, obtinem ecuatiileparametrice ale sferei cu centrul ın C si raza R:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a +R sin θ cosϕ

y = b +R sin θ sinϕ

z = c +R cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

Consideram un plan (p) si notam cu d distanta de la C la acest plan. Avemurmatoarele situatii posibile:

� d > R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este vida, deci planul esteexterior sferei;

� d = R⇒ intersectia dintre plan si sfera este un punct, deci planul estetangent la sfera;

� d < R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este un cerc, deci planul estesecant la sfera.

2.1.2 Elipsoidul

Definitia 2.3. Se numeste elipsoid o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Fie M(x0, y0, z0) un punct pe elipsoid. Atunci:

� punctele de coordonate (x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0) apartinelipsoidului, deci planele xOy,xOz, yOz sunt plane de simetrie ale elip-soidului;

� punctele de coordonate (x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0) apartinelipsoidului, deci axele Ox,Oy,Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului;

� punctul de coordonate (−x0,−y0,−z0) apartine elipsoidului, deci O estecentru de simetrie al elipsoidului.

Intersectiile elipsoidului de ecuatiex2

a2+

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0 cu planele si axele

de coordonate sunt:

3

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2+

y2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu xOz(y = 0):x2

a2+

z2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu yOz(x = 0):y2

b2+

z2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′

(−a,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′

(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0):z2

c2− 1 = 0⇒ C(0,0, c),C ′

(0,0,−c)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Daca a = b = c, elip-soidul este o sfera. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a sin θ cosϕ

y = b sin θ sinϕ

z = c cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

4

2.1.3 Hiperboloidul cu o panza

Definitia 2.4. Se numeste hiperboloid cu o panza o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazul elipsoidului, avem:

� planele de coordonate sunt plane de simetrie

� axele de coordonate sunt axe de simetrie

� originea este centru de simetrie

Tot hiperboloizi cu o panza sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2−

y2

b2+

z2

c2− 1 = 0 sau

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2+ 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu o panza de ecuatiex2

a2+

y2

b2−

z2

c2− 1 = 0 cu

planele si axele de coordonate sunt:

5

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2+

y2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

� intersectia cu xOz(y = 0) :x2

a2−

z2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola

� intersectia cu yOz(x = 0):y2

b2−

z2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′

(−a,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′

(0,−b,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): −z2

c2− 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+

y2

b2−

z20c2

+ 1 = 0 ⇒

elipsa

2.1.4 Hiperboloidul cu doua panze

Definitia 2.5. Se numeste hiperboloid cu doua panze o cuadrica pentrucare exista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2+ 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

6

Ca si ın cazurile anterioare, avem:

� planele de coordonate sunt plane de simetrie

� axele de coordonate sunt axe de simetrie

� originea este centru de simetrie

Tot hiperboloizi cu doua panze sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2−

y2

b2+

z2

c2+ 1 = 0 sau

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2− 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu doua panze de ecuatiex2

a2+

y2

b2−

z2

c2+ 1 = 0

cu planele si axele de coordonate sunt:

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2+

y2

b2+ 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu xOz(y = 0):x2

a2−

z2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola

� intersectia cu yOz(x = 0):y2

b2−

z2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2+ 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2+ 1 = 0⇒ ∅

� intersectia cu Oz(x = y = 0): −z2

c2+ 1 = 0⇒ C(0,0, c), C ′

(0,0,−c)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+

y2

b2−

z20c2

+ 1 = 0 ⇒

elipsa sau punct sau ∅

2.1.5 Conul

Definitia 2.6. Se numeste con o cuadrica pentru care exista un reper or-togonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

7

Ca si ın cazurile anterioare, avem:

� planele de coordonate sunt plane de simetrie

� axele de coordonate sunt axe de simetrie

� originea este centru de simetrie

Tot conuri sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2−

y2

b2+

z2

c2= 0 sau

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2= 0.

Intersectiile conului de ecuatiex2

a2+

y2

b2−

z2

c2= 0 cu planele si axele de

coordonate sunt:

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2+

y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu xOz(y = 0):x2

a2−

z2

c2= 0⇒ doua drepte

� intersectia cu yOz(x = 0):y2

b2−

z2

c2= 0⇒ doua drepte

8

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): −z2

c2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+

y2

b2−

z20c2

= 0⇒ elipsa

2.1.6 Paraboloidul eliptic

Definitia 2.7. Se numeste paraboloid eliptic o cuadrica pentru care existaun reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+

y2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2+

z2

c2= 2y sau

y2

b2+

z2

c2= 2x.

9

Intersectiile paraboloidului eliptic de ecuatiex2

a2+

y2

b2= 2z cu planele si

axele de coordonate sunt:

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2+

y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu xOz(y = 0):x2

a2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu yOz(x = 0):y2

b2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+

y2

b2= 2z0 ⇒ elipsa

(pentru z0 > 0)

2.1.7 Paraboloidul hiperbolic

Definitia 2.8. Se numeste paraboloid hiperbolic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2−

y2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

� planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

� axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2−

z2

c2= 2y sau

y2

b2−

z2

c2= 2x.

Intersectiile paraboloidului hiperbolic de ecuatiex2

a2−

y2

b2= 2z cu planele

si axele de coordonate sunt:

10

� intersectia cu xOy(z = 0):x2

a2−

y2

b2= 0⇒ doua drepte

� intersectia cu xOz(y = 0):x2

a2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu yOz(x = 0): −y2

b2= 2z ⇒ parabola

� intersectia cu Ox(y = z = 0):x2

a2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oy(x = z = 0):y2

b2= 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)

� intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2−

y2

b2= 2z0⇒ hiperbola

2.1.8 Cilindri

Definitia 2.9. 1. Se numeste cilindru eliptic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata areecuatia canonica

x2

a2+

y2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

11

2. Se numeste cilindru hiperbolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2−

y2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

3. Se numeste cilindru parabolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

y2 = 2px, unde p ∈ R.

12

2.1.9 Generatoare rectilinii

Conul si cilindrii sunt suprafete riglate, adica pot fi scrise ca reuniunea uneifamilii de drepte. In afara de acestea, hiperboloidul cu o panza si paraboloidulhiperbolic sunt de asemenea suprafete riglate.

Ecuatia hiperboloidului cu o panza

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2− 1 = 0

se poate rescrie sub forma

x2

a2−

z2

c2= 1 −

y2

b2⇔ (

x

a+

z

c) ⋅ (

x

a−

z

c) = (1 +

y

b) ⋅ (1 −

y

b) (2.4)

Consideram familia de drepte dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(

x

a+

z

c) = β (1 +

y

b)

β (

x

a−

z

c) = α(1 −

y

b)

unde α si β

nu sunt simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiper-boloidul cu o panza anterior.

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ dα,β, deci

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(

x0a+

z0c) = β (1 +

y0b)

β (

x0a−

z0c) = α(1 −

y0b)

.

� daca αβ ≠ 0, atunci ınmultind ecuatiile anterioare si ımpartind prin αβ

obtinemx20a2 +

y20b2 −

z20c2 − 1 = 0 deci M0 este pe hiperboloid;

� daca α = 0, β ≠ 0⇒ 1+ y0b = 0, x0

a −z0c = 0, asadar ın (2.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

� daca α ≠ 0, β = 0⇒ 1− y0b = 0, x0

a +z0c = 0, asadar ın (2.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

Asadar orice dreapta din familia dα,β este inclusa ın hiperboloid.Reciproc, se poate arata ca petru orice punct M0(x0, y0, z0) de pe hiperbo-

loid exista α,β ∈ R astfel ıncat

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(

x0a+

z0c) = β (1 +

y0b)

β (

x0a−

z0c) = α(1 −

y0b)

asadar M0 ∈ dα,β.

Dreptele din familia dα,β se numesc generatoare rectilinii ale hiper-boloidului cu o panza.

13

O alta familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panzax2

a2+

y2

b2−

z2

c2− 1 = 0 este

dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(

x

a+

z

c) = µ(1 −

y

b)

µ(

x

a−

z

c) = λ(1 +

y

b)

.

In mod analog gasim pentru paraboloidul hiperbolicx2

a2−

y2

b2= 2z urmatoarele

familii de generatoare rectilinii:

dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(

x

a+

y

b) = 2βz

β (

x

a−

y

b) = α

si dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(

x

a+

y

b) = µ

µ(

x

a−

y

b) = 2λz

.

2.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica

Fie cuadrica definita prin ecuatia generala

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y,z)

= 0,

Ca si ın cazul conicelor, pentru orice cuadrica se poate determina un repercartezian ortogonal convenabil ın raport cu care ecuatia cuadricei are formacea mai simpla, numita forma canonica sau redusa. La aceasta formase poate ajunge printr-o translatie si o rotatie adecvata a reperului initial

{O;Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k }.Un punct C se numeste centru de simetrie al cuadricei daca simetricul

oricarui punct M al cuadricei ın raport cu C apartine de asemenea cuadricei.Elipsoidul, hiperboloizii si conul sunt cuadrice cu centru, iar paraboloizii

sunt cuadrice fara centru.Cautam o translatie a sistemului Oxyz astfel ıncat originea noului sistem

de coordonate C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie al cuadricei. Relatiile

dintre coordonatele x, y, z din reperul initial {O;Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } si coordonatele

x′, y′, z′ din sistemul translatat {C;Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

z = z0 + z′

14

Inlocuind ın ecuatia initiala a cuadricei obtinem

a11x′2+a22y′2+a33z′2+2a12x

′y′+2a13x′z′+2a23y

′z′+2a′14x′+2a′24y

′+2a′34z′+a′44 = 0,

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′14 = a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14a′24 = a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24a′34 = a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34

, iar a′44 = f(x0, y0, z0).

Pentru ca C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie, trebuie ca ecuatia ın noilecoordonate sa nu contina termeni de gradul 1, asadar a′14 = a

′24 = a

′34 = 0, deci

(x0, y0, z0) sunt solutii ale sistemului

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 = 0

a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24 = 0

a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34 = 0

.

Daca δ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR

≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ecuatia

cuadricei este

a11x′2+ a22y

′2+ a33z

′2+ 2a12x

′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y

′z′ + f(x0, y0, z0) = 0.

Daca a12 = a13 = a23 = 0, atunci cuadrica este ın forma canonica.Daca cel putin unul din coeficientii a12, a13, a23 este nenul, atunci efectuam

o rotatie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor si vectorilor proprii.Consideram forma patratica Φ ∶ R3

→ R,

Φ(x′, y′, z′) = a11x′2 + a22y′2 + a33z′2 + 2a12x′y′ + 2a13x

′z′ + 2a23y′z′

Se determina valorile proprii λ1, λ2, λ3 ale matricei

A =

⎛

⎜

⎝

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

⎞

⎟

⎠

,

precum si vectorii proprii ortonormati corespunzatori Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3 .

In reperul cartezian {C;Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}, cuadrica are ecuatia canonica

λ1X2+ λ2Y

2+ λ3Z

2+ f(x0, y0, z0) = 0

iar relatiile dintre coordonatele x′, y′, z′ si X,Y,Z sunt

⎛

⎜

⎝

x′

y′

z′

⎞

⎟

⎠

= SBB′⎛

⎜

⎝

XYZ

⎞

⎟

⎠

15

unde SBB′ este matricea de trecere de la baza B = {

Ð→

i ,Ð→

j ,Ð→

k } la baza B′=

{Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3}.

Daca δ = 0, atunci cuadrica este fara centru. In acest caz se efectueazamai ıntai o rotatie folosind metoda valorilor si vectorilor proprii, urmata deo translatie adecvata.

2.2.1 Exemple

1. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

5x2 + 7y2 + 5z2 + 2xy + 2xz + 2yz − 6y + 4z + 1 = 0.

� a11 = a33 = 5, a22 = 7, a12 = a13 = a23 = 1,a14 = 0, a24 = −3, a34 = 2, a44 = 1

� δ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR

=

RRRRRRRRRRRRRR

5 1 11 7 11 1 5

RRRRRRRRRRRRRR

= 160 ≠ 0

� centrul de simetrie:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

5x0 + y0 + z0 = 0

x0 + 7y0 + z0 − 3 = 0

x0 + y0 + 5z0 + 2 = 0

⇒ C (0, 12 ,−12)

� translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 0 + x′

y = 12 + y

′

z = −12 + z

′

� 5x′2 + 7y′2 + 5z′2 + 2x′y′ + 2x′z′ + 2y′z′ − 32 = 0

� valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

5 − λ 1 11 7 − λ 11 1 5 − λ

RRRRRRRRRRRRRR

= 0⇒ λ1 = 4, λ2 = 5, λ3 = 8

� vectorii proprii Ð→v1 = (1,0,−1),Ð→v2 = (1,−1,1),Ð→v3 = (1,2,1)

� rotatia⎛

⎜

⎝

x′

y′

z′

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜⎜

⎝

1√2

1√3

1√6

0 −1√3

2√6

−1√2

1√3

1√6

⎞

⎟⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

XYZ

⎞

⎟

⎠

� ecuatia canonica

4X2+ 5Y 2

+ 8Z2−

3

2= 0⇔

X2

38

+

Y 2

310

+

Z2

316

− 1 = 0

deci cuadrica este un elipsoid.

16

2. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x − 5 = 0.

� a11 = a33 = 0, a22 = 2, a12 = 2, a13 = −4, a23 = −2, a14 = 3, a24 = a34 = 0, a44 = −5

� δ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR

=

RRRRRRRRRRRRRR

0 2 −42 2 −2−4 −2 0

RRRRRRRRRRRRRR

= 0

� valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

−λ 2 −42 2 − λ −2−4 −2 −λ

RRRRRRRRRRRRRR

= 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = −4

� vectorii proprii Ð→v1 = (−1,2,1),Ð→v2 = (1,1,−1),Ð→v3 = (1,0,1)

� rotatia⎛

⎜

⎝

xyz

⎞

⎟

⎠

=

⎛

⎜⎜

⎝

−1√6

1√3

1√2

2√6

1√3

01√6

−1√3

1√2

⎞

⎟⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

x′

y′

z′

⎞

⎟

⎠

� 6y′2 − 4z′2 −√

6x′ + 2√

3y′ + 3√

2z′ − 5 = 0

� 6(y′ +

√

3

6)

2

− 4(z′ −3√

2

8)

2

−

√

6(x′ +35

8√

6) = 0

� translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X = x′ +35

8√

6

Y = y′ +

√

3

6

Z = z′ −3√

2

8� ecuatia canonica

6Y 2− 4Z2

−

√

6X = 0

deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic.

2.3 Generari de suprafete

Prin ecuatia unei suprafete ın spatiu se ıntelege o ecuatie ın 3 variabile deforma

F (x, y, z) = 0, unde F ∶D ⊂ R3→ R,

ecuatie care este satisfacuta de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafataın raport cu un reper fixat, dar nu este satisfacuta de coordonatele nici unuialt punct din afara suprafetei.

17

Orice curba ın spatiu poate fi privita ca intersectia a doua suprafete carecontin acea curba si care nu mai au alte puncte comune. Asadar o curba ınspatiu poate fi definita prin doua ecuatii de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Exemple: o dreapta este intersectia dintre doua plane , un cerc este intersectiadintre o sfera si un plan, etc.

2.3.1 Suprafete cilindrice

Definitia 2.10. Fie Ð→v = lÐ→

i +mÐ→

j +nÐ→

k ≠ 0 si o curba (C) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Se numeste suprafata cilindrica o suprafata generata prin miscarea uneidrepte de directie Ð→v , numita generatoare, care se sprijina pe curba C,numita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare de directie Ð→v

x − x0l

=

y − y0m

=

z − z0n

pot fi rescrise sub forma de intersectie de plane

dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

nx − lz = λ

ny −mz = µ,λ,µ ∈ R. (2.5)

Suprafata cilindrica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acelevalori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

nx − lz = λ

ny −mz = µ

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.6)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (2.7)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata cilindrica este formata dintoate dreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de

18

compatibilitate (2.7), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfacecuatia

Φ(nx − lz, ny −mz) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia cilindrului avand curba directoare de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − y2 = z

x + y + z = 0iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul curbei.

�Ð→v =

Ð→

i +Ð→

j +

Ð→

k ⇒ generatoarele

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − z = λ

y − z = µ

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − z = λ

y − z = µ

x2 − y2 = z

x + y + z = 0

este compatibil

� conditia de compatibilitate (2λ − µ)2 − (2µ − λ)2 + 3(µ + λ) = 0

� ecuatia suprafetei cilindrice

x2 − y2 − 2xz + 2yz + x + y − 2z = 0

2.3.2 Suprafete conice

Definitia 2.11. Fie V (x0, y0, z0) si o curba (C) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se

numeste suprafata conica o suprafata generata prin miscarea unei drepte,numita generatoare , care trece prin punctul fix V si se sprijina pe curbaC, numita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare care trece prin V

x − x0l

=

y − y0m

=

z − z0n

pot fi rescrise sub forma

dλ,µ ∶x − x0λ

=

y − y0µ

=

z − z01

, λ =l

n, µ =

m

n∈ R. (2.8)

Suprafata conica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele

19

valori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0λ

=

y − y0µ

=

z − z01

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.9)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (2.10)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata conica este formata din toatedreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia decompatibilitate (2.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satis-fac ecuatia

Φ(

x − x0z − z0

,y − y0z − z0

) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia conului cu varful ın origine si curba

directoare de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 = 1

z = 1.

� generatoarelex

λ=

y

µ=

z

1

� sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x

λ=

y

µ=

z

1x2 + y2 = 1

z = 1

este compatibil

� conditia de compatibilitate λ2 + µ2= 1

� ecuatia suprafetei conice

(

x

z)

2

+ (

y

z)

2

= 1⇔ x2 + y2 = z2

2.3.3 Suprafete de rotatie

Definitia 2.12. Fie o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se numeste suprafata de

rotatie o suprafata generata prin rotirea curbei C ın jurul unei drepte d, numitaaxa de rotatie.

20

Presupunem ca axa de rotatie are ecuatiile

d ∶ x − x0l

= y − y0m

= z − z0n

.

Prin rotirea ın jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numitcerc generator) care se afla ıntr-un plan perpendicular pe d si are centrul pe d. Unastfel de cerc poate fi scris ca intersectia dintre o sfera cu centrul pe d si un planperpendicular pe d:

Cλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µ(2.11)

Suprafata de rotatie este generata de acele cercuri din familia Cλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valoriale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(2.12)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λ si µ

Φ(λ2, µ) = 0 (2.13)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata de rotatie este formata din toatecercurile Cλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compa-tibilitate (2.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx +my + nz) = 0.

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia suprafetei obtinute prin rotirea dreptei de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + z = 2

y = 0ın jurul dreptei de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − 2 = 0

y − 2 = 0.

● cercurile generatoare

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µ

● sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µx + z = 2

y = 0

este compatibil

● conditia de compatibilitate 2µ2 − λ2 + 4 = 0

● ecuatia suprafetei de rotatie

(x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 = 4

21

2.4 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatia sferei ın urmatoarele cazuri:

(a) C(1,−2,2), R = 3

(b) C = O, R =√

2

(c) C = O si trece prin punctul A(3,−1,2)(d) C(2,−1,3) si trece prin punctul B(−2,0,1)(e) Punctele A(1,2,−1) si B(3,4,5) sunt extremitatile unui diametru

(f) C(1,2,3) si este tangenta planului 6x + 7y − 6z + 31 = 0

(g) Sfera trece prin O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,5,0), C(0,0,3)R: a = 1, b = 5

2 , c =32

2. Sa se determine centrul si raza sferelor:

(a) x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z + 5 = 0

(b) x2 + y2 + z2 − 8x − 4y + 2z + 17 = 0

(c) x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 11 = 0

(d) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 4z + 1 = 0

(e) 2(x2 + y2 + z2) + 4x − y + 2z − 5 = 0

3. Fie sfera de ecuatie

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0

si planul (p) ∶ 2x − 2y − z + 9 = 0.

(a) Sa se afle centrul si raza sferei

(b) Sa se arate ca S ∩ p ≠ ∅(c) Sa se afle centrul si raza cercului de intersectie a sferei S cu planul p

R: C(3,−2,1),R = 10,C1(−1,2,3), r = 8Aceleasi cerinte pentru:

(a) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 6z + 1 = 0, (p) ∶ x + 2y − z − 3 = 0

(b) (S) ∶ (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 − 36 = 0, (p) ∶ 3x + y − z − 9 = 0

4. Sa se scrie ecuatiile planelor tangente la sfera

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 8 = 0

ın punctele de intersectie ale sferei cu dreapta

(d) ∶ x − 1

1= y

−1= z − 1

2

R: S ∩ d = {M1(1,0,1),M2(3,−2,5)}

22

5. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

9+ z

2

16− 1 = 0. Sa se afle:

(a) curbele de intersectie ale elipsoidului cu planele de coordonate

(b) intersectiile elipsoidului cu axele de coordonate

(c) ecuatiile parametrice ale elipsoidului dat

6. Sa se afle pozitia dreptei d fata de elipsoidul

x2

16+ y

2

12+ z

2

4− 1 = 0

unde (d) ∶ x − 4

2= y + 6

−3= z + 2

−2.

7. Sa se scrie ecuatia planului tangent la elipsoidul x2+ y2

9+ z

2

4−1 = 0 ın punctul

M0(1,0,0). Sa se reprezinte grafic elipsoidul dat.

8. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

3+ z

2

9− 1 = 0 si dreapta (d) ∶ x = y = z. Sa se scrie

ecuatia planului tangent la elipsoid ın punctele de intersectie ale elipsoiduluicu dreapta d.

9. Fie hiperboloidul cu o panza x2 + y2

4 − z2

9 − 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y+2

0 = z−11

(c) sa se scrie ecuatiile planelor tangente la hiperboloid ın puncteleA(1,2,3), B(2,2,6)

10. Fie hiperboloidul cu doua panze x2 + y2

4 − z2

9 + 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y−3

1 = z−63

(c) sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata ın punctul M(2,4,−9)

11. Fie conul x2 + y2

4 − z2

9 = 0.

(a) sa se afle intersectiile cu planele de coordonate si cu axele de coordonate

(b) sa se afle intersectiile conului cu planele z = 3 si z = −3

(c) sa se reprezinte grafic

12. Fie suprafetele x2

4 + y2

9 = 2z si x2

4 − y2

9 = 2z.

(a) sa se reprezinte grafic cele doua suprafete

23

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x2 =

y3 =

z1

13. Fie suprafata x2

2 + y2

4 = 9z si dreapta x = y = z. Sa se scrie ecuatiileplanelor tangente la suprafata data ın punctele de intersectie ale suprafeteicu dreapta.

14. Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii ale suprafetei S care trec prinpunctul M ın urmatoarele cazuri:

(a) S ∶ x2 + y2 − z2 = 1, M(1,1,1)(b) S ∶ 16x2 + 36y2 − 9z2 − 144 = 0, M(6,2,8)(c) S ∶ 4x2 + 9y2 − 36z2 − 36 = 0, M(6,−2,2)

(d) S ∶ x2

9 − y2

4 + z2

5 − 1 = 0, M(3,2,√

5)(e) S ∶ 4x2 − 9y2 = 36z, M(3,0,1)(f) S ∶ 4x2 − z2 = y, M(1,3,−1)(g) S ∶ 4y2 − z2 = 2x, M(6,2,2)

15. Sa se recunoasca urmatoarele cuadrice:

(a) x2 + 2y2 + 3z2 − 4 = 0

(b) x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(c) x2 − 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(d) x2 − 2y2 − 3z2 = 0

(e) x2 − 2y − 3z2 = 0

(f) x2 − 2y + 3z2 = 0

(g) x2 − 2y = 0

(h) x2 − 2y2 − 4 = 0

(i) x2 + 3z2 − 4 = 0

24