Cap 3 Cuadrice+Generari

5/10/2018 Cap 3 Cuadrice+Generari - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/cap-3-cuadricegenerari 1/24

CUADRICE

3.1. Definiţie

3.2. Cuadrice pe ecuaţii reduse

i. Sfera

ii. Elipsoidul

iii. Hiperboloidul cu o pânză

iv. Hiperboloidul cu două pânze

v. Paraboloidul eliptic

vi. Paraboloidul hiperbolic

vii. Cilindrul

3.3 Gener ări de suprafeţe. Suprafeţe riglate şi de rotaţie

3.1. Definiţie

Fie spaţiul punctelor E 3 şi fie , , ,O i j k

un reper cartezian.

Defini ţ ie. Se numeşte cuadrică mulţimea punctelor M ( x, y. z ) din spaţiu cu proprietatea:

a11 x2 + a22 y

2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0, (1)

unde aij , 1,4i , 1,4 j , iar a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toţi nuli.

Deoarece cuadricele sunt definite de ecuaţii polinomiale de gradul al doilea în variabilele

x, y, z , cuadricele se numesc suprafe ţ e algebrice de ordinul al doilea.

i. Sfera

Sfera este locul geometric al punctelor din E 3 egal depărtate de un punct fix, numit

centrul sferei C (a, b, c).

Sfera este cuadrica de ecuaţie redusă:

( x – a)2 + ( y – b)2 + ( z – c)2 = R2

cu centrul în punctul C (a, b, c) şi rază R.

Dacă centrul este în originea O(0, 0, 0), ecuaţia se scrie:



2

x2 + y

2 + z 2 – R2 = 0.

Orice ecuaţie de forma:

x2 + y

2 + z 2 + mx + ny + pz + q = 0

reprezintă o sfer ă de centru C (– m/2, – n/2, – p/2) şi rază

2 2 2

4

m n pr q

.

ii. Elipsoidul

Elipsoidul este cuadrica de ecuaţie redusă:

2 2 2

2 2 21 0

x y z

a b c ,

a, b, c > 0. Intersecţia cu planele de coordonate:

2 2

2 2

0

: 01 0

z

xOy z x y

a b

elipsă

2 2

2 2

0

: 01 0

y

xOz y x z

a c

elipsă

2 2

2 2 1 0: 0

0

y z

yOz x b c

x

elipsă

Intersecţia cu planele paralele cu planele de coordonate:



3

plan || xOy: z = z 0 0

22 20

2 2 21 0

z z

z x y

a b c

, z 0 [– c, c]2 20 0c z

pentru 0 z c nu intersectează suprafaţa.

În mod similar se studiază intersecţia cu celelalte plane.

Intersecţia cu axele de coordonate:

(Ox): 0

0

y

z

2

21 0

x

a x = a

punctele de intersecţie A(a, 0, 0) şi A'(– a, 0, 0)

(O y):0

0

x

y

punctele de intersecţie B(0, b, 0) şi B'(0, – b, 0)

(O z ):0

0

x

y

punctele de intersecţie C (0, 0, c) şi C '(0, 0, –c)

Punctele (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) se numesc vârfurile elipsoidului.

Elipsoidul este o mulţime mărginită de paralelipipedul [– a, a] × [– b, b] × [– c, c], decieste o mulţime închisă.

Dacă a = b, atunci intersecţia elipsoidului cu planele z = z 0 reprezintă cercuri şi în acest

caz elipsoidul se numeşte de revoluţie.



4


Hiperboloidul cu o pânză este cuadrica de ecuaţie redusă:

2 2 2

2 2 2 1 0

x y z

a b c , a, b, c > 0

Intersecţia cu planele de coordonate:

2 2

2 2: 0 1

x y xOy z

a b 0 elipsă

2 2

2 2: 0 1

x z xOz y

a c 0 hiperbolă

2 2

2 2: 0 1

y z yOz x

b c

0 hiperbolă

Intersecţia cu planele paralele cu planele de coordonate:

plan || xOy: z = z 0 22 20

2 2 21

z x y

a b c elipsă

2 2

2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 0 x y

a c b c

z c z c

2 2 2 22 2 z c z c x y 0 02 2 2 2

:a b c c

2 2

2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 0 x y

a c b c

z c z c

plan ||Oz : y = y0 22 20

2 2 21

y x z

a c b hiperbolă

plan || yOz : x = x0 22 20

2 21

2

x y z

b c a hiperbolă


(Ox): x = a punctele A(a, 0, 0) şi A'(– a, 0, 0)0

0

y

z



5

(Oy) y = b punctele B(0, b, 0) şi B'(0, – b, 0)0

0

x

z

(Oz ) 0

0

x

y

2

1 z

c z 2 = – c Oz (nu intersectează axa Oz ).

Hiperboloidul cu o pânză admite 3 axe de simetrie şi 3 plane de simetrie.

iv. Hiperboloidul cu două pânze

Hiperboloidul cu două pânze este cuadrica de ecuaţie redusă:

2 2 2

2 2 21 0

x y z

a b c , a, b, c > 0.


(Ox): 0

0

y

z

2

21 0

x

a Ox (nu intersectează axa Ox)

(Oy) 0

0

x

z

2

21 0

y

b Oy (nu intersectează axa Oy)

(Oz ) z = c punctele A(0, 0, c) şi A'(0, 0, –c)

0

0

x

y


2 2

2 2: 0 1

x y xOy z

a b 0 Oy (nu intersectează planul xOy)



6

2 2

2 2: 0 1

x z xOz y

a c 0 hiperbolă

2 2

2 2; 0 1

y z yOz x

b c 0 hiperbolă

Intersecţia cu plane paralele cu planele de coordonate:

plan || xOy; z = z 0 22 20

2 2 21

z x y

a b c ≥ 0 z 0 (– α, – c] [c, +)

0 z c

pentru 0 z c nu intersectează.

Deci dacă:

0 z c intersecţia este o elipsă imaginar ă, deci nu intersectează,

0 z c intersecţia este o elipsă reală

0 z c punctele de intersecţie (0, 0, c) şi (0, 0, – c).

Deci semiaxele cresc când 0 z creşte.

plan ||Oz ; y = y0 22 20

2 21

2

y x z

a c b hiperbolă

plan || yOz x = x0 22 20

2 21

2

x y z

b c a hiperbolă



7

v. Paraboloidul eliptic

Paraboloidul eliptic este cuadrica de ecuaţie redusă:

2 2

2 22

x y pz

a b , a, b > 0

După cum p > 0 sau p < 0, paraboloidul eliptic este orientat în partea pozitivă, respectiv

negativă a axei Oz .

Consider ăm p > 0.


: xOy z = 0 x = 0 y = 0 0(0, 0, 0)

: xOz y = 0 2

22

x pz

a parabolă

:Oz x = 0 2

22

y pz

b parabolă

Intersecţia cu plane paralele cu planul de coordonate:

plan || xOy; z = z 0 2 202 2

2 x y pz a b

0. (1)

Dacă :

z 0 > 0, intersecţia este o elipsă reală;

z 0 < 0 intersecţia este o elipsă imaginar ă, deci planul nu intersectează paraboloidul;

z 0 = 0 atunci şi x = 0, y = 0, deci punctul de intersecţie este originea O(0, 0, 0).

plan || xOz ; y = y0 220

22

2

x pz

a b parabolă

plan || yOz x = x0 220

22

2

x y pz

b a parabolă



8

Deci paraboloidul eliptic admite:

• o axă de simetrie paralelă cu Oz

• două plane de simetrie xOz şi yOz .

Observa ţ ie: Dacă a = b, relaţia (1) reprezintă un cerc şi în acest caz paraboloidul se

numeşte de revoluţie.

vi. Paraboloidul hiperbolic

Paraboloidul hiperbolic este cuadrica de ecuaţie:

2 2

2 2 2

x y

pz a b , p > 0


: xOy z = 0 2 2

2 20

x y

a b 0

x y x y

a b a b

dreapta

0

0

z

x ya b

sau

dreapta

0

0

z

x ya b

: xOz y = 0 2

22

x pz

a parabolă



9

:Oz x = 0 2

22

y pz

b parabolă

Intersecţia cu plane paralele cu planele de coordonate:

plan || xOy: z = z 0 2 2

02 22

x y pz

a b ,z0 > 0 hiperbolă

plan || xOz : y = y0 220

2 22

y x pz

a b parabolă cu axa de simetrie paralelă cu Oz

plan || yOz : x = x0 220

2 22

x y pz

b a parabolă cu axa de simetrie paralelă Oz şi

deschiderea orientată către z negativ


Ox: x = 00

0

y

z

Oy: y = 00

0

x

z

Oz : z = 00

0

x

y

Observa ţ ii

1. Cuadrica este nemărginită.

2. două drepte în planul xOy situate pe suprafaţă.



10

vi. Cilindrul

Cilindrul este cuadrica de ecuaţii:

a. Cilindrul eliptic generat de o dreaptă variabilă numită generatoare paralelă cu Oz care

se sprijină pe curba elipsă (numită curbă directoare).

2 2

2 21

0

x y

a b

z

b. Cilindrul hiperbolic

2 2

2 21 0

0

x y

a b z

c. Cilindrul parabolic

2 2

0

y p

z

x

Cilindrul este reprezentat de o ecuaţie de gradul al doilea în care lipseşte variabila z şi are

proprietatea că dacă un punct M apar ţine cilindrului, atunci orice dreaptă care-l conţine pe

M şi este paralelă cu Oz este la rândul ei închisă în cilindru.

3.3 GENERĂRI DE SUPRAFEŢE

SUPRAFEŢE RIGLATE ŞI DE ROTAŢIE

3.3.1. Suprafeţe riglate

i. Suprafeţe cilindrice

ii. Suprafeţe conice




11

iv. Paraboloidul hiperbolic

v. Suprafaţa conoidală

3.3.2. Suprafeţe de rotaţie

3.3.1. Suprafeţe riglate

Definitie Se numeşte suprafaţă riglată o suprafaţă generată prin deplasarea unei drepte

care se sprijină pe o curbă dată.

Exemple

• Suprafaţa cilindrică

• Suprafaţa conică • Hiperboloidul cu o pânză

• Paraboloidul hiperbolic

• Suprafeţele conoidale

i. Suprafeţe cilindrice

Suprafaţa cilindrică este suprafaţa riglată generată de o dreaptă variabilă ( g ), numită generatoare, ce se deplasează r ămânând paralelă cu o direcţie fixă şi se

sprijină pe o curbă fixă (), numită curba directoare.

, ,d l m n

Fie curba directoare. O dreaptă care trece prin O(0, 0, 0) şi este

paralelă cu are ecuaţiile:

, , 0:

, , 0

F x y z

G x y z

, ,d l m n

(d ) y z

l m n , sau .0

0

nx lz

ny mz

Generatoarea va fi o dreaptă paralelă cu (d ) ale cărei ecuaţii sunt:

( g ) .nx lz

ny mz



12

Condiţia ca generatoarea să se sprijine pe curba directoare revine la asigurarea

compatibilităţii sistemului:

, , 0

, , 0

nx lz

ny mz

F x y z

G x y z

Se elimină x, y, z din 3 dintre ecuaţiile sistemului, în funcţie de şi μ şi se înlocuiesc în

cea de-a patra ecuaţie obţinându-se condiţie de compatibilitate:

(, μ) = 0.

Înlocuind în condiţia de compatibilitate şi μ cu valorile date de ecuaţiile lui ( g ) se

obţine ecuaţia:

(nx – lz , ny – mz ) = 0, care reprezintă ecuaţia cilindrului generat.

Caz particular

(C) Se află într-un plan de coordonate, iar generatoarele sunt perpendiculare pe plan.

Fie planul xOy, deci:

0

, 0

z C

f x y

Generatoarea xOy este deci paralelă cu k (versorul axei Oz ), deci generatoarele

paralele cu axa Oz .

Avem:

0 0 1

x y z ,

deci generatoarea:(planul || )

(planul || )

yOz

xOz

Avem ecuaţia de compatibilitate: f (, μ) = 0.

Deci ecuaţia suprafeţei este:

f ( x, y) = 0,

deci un cilindru paralel cu Oz .



13

Exemplu

x2 + y

2 = R2 cilindru cu generatoarea paralelă cu Oz .

g ( x, z ) = 0 cilindru cu generatoarea paralelă cu Oy.

h( y, z ) = 0 cilindru cu generatoarea paralelă cu Ox.

ii. Suprafeţe conice

Suprafaţa conică este suprafaţa riglată generată de o dreaptă variabilă ( g ) numită

generatoare, ce trece printr-un punct fix V (a, b, c), numit vârful conului şi se deplasează

sprijinindu-se pe o curbă fixă (), numită curbă directoare.

Fie

, , 0:

, , 0

F x y z

G x y z

curba directoare. O dreaptă oarecare care trece prin V (a, b, c) are ecuaţiile:

x a y b z c

l m n

, cu l 2 + m2 + n2 0.

Dacă presupunem că n 0, împăr ţim numitorii lui ( g ) la n şi notăm: ,l m

n n , iar

ecuaţiile generatoarei devin:

1

x a y b z c

Condiţia ca generatoarea să se sprijine pe curba directoare revine la asigurarea

compatibilităţii sistemului:

, , 0

, , 0

x a y b z c

F x y z

G x y z

Se elimină x, y, z din 3 dintre ecuaţiile sistemului, în funcţie de şi μ, şi se înlocuiesc în

cea de a patra ecuaţie obţinându-se condiţia de compatibilitate: (, μ) = 0. Înlocuind



14

în condiţia de compatibilitate şi μ cu valorile date de ecuaţiile lui ( g ) se obţine ecuaţia

, x a y b

z c z c

0

, care reprezintă ecuaţia conului generat.

Observa ţ ie. Ecuaţia omogenă de grad II în x, y, z , reprezintă ecuaţia unei suprafeţe

conice.

Exemplu:

2 2 2

2 2 20

x y z

a b c reprezintă un con cu vârful în origine.


Suprafaţa:

2 2 2

2 2 21 0

x y z

a b c

reprezintă o suprafaţă riglată.

Generatoare rectilinii pentru hiperboloidul cu o pânză

Propozi ţ ie: Hiperboloidul cu o pânză este o suprafaţă riglată.

Demonstra ţ ie:



15

Avem2 2 2

2 2 21 0

x y z

a b c ,

adică 2 2

2 2 21

2 x z

a c b

y, (1)

sau 1 1 x z x z y y

a c a c b b

.

Relaţia (1) se mai poate scrie:

1

1

x z y

a c b y x z

b a c

,

cu

1 0 y

b

şi

0 x z

a c

.

Avem deci familia de generatoare G:

G:

1

11

z y

a c b z y

a c b

ceea ce reprezintă nişte drepte.

Dacă y = b, avem:

1 0

0

y

b

x z a c

deci dreapta trece prin punctul , ,c

B x b xa

.

Relaţia (1) se mai poate scrie şi:



16

1

1

x z y

a c b y x z

b a c

,

cu1 0

y

b

şi

0 x z

a c

.

Avem familia generatoarei μ:

Gμ:1

11

x z y

a c b

x z y

a c b

Dacă 1y

b 0

0

b

x z

a c

ceea ce reprezintă o dreaptă.

Propriet ăţ i

1) Două generatoare din aceeaşi familie nu se intersectează;

2) Două generatoare din familii diferite se intersectează;

3) Prin oricare punct al suprafeţei trec două generatoare (una din G şi una din Gμ).

iv. Paraboloidul hiperbolic

Suprafaţa:

2 2

2 22

x y p z

a b

este riglată.

Generatoare rectilinii pentru paraboloidul hiperbolic



17

În planul xOy există două generatoare:

1

0

0

x y

g a b

z

2

0

0

x y

g a b

z

Deci:

2 x y x y

z a b a b

Cu z 0.

Avem fie:

•1

2

x y

a b x y pz

a b

2

1

x y p z

a bG

x y

a b

fie:

•2

1

x y pz a b

x ya b

1

2

x y

a bG

x y pz

a b

Generatoarele rectilinii ale paraboloidului hiperbolic au aceleaşi proprietăţi ca cele ale

hiperboloidului cu o pânză.

v. Suprafaţa conoidală

Suprafaţa conoidală sau conoidul este suprafaţa riglată generată de o dreaptă variabilă

( g ) numită generatoare, ce se deplasează r ămânând paralelă cu un plan fix (), numit



18

plan director, se sprijină pe o curbă fixă (), numită curba directoare şi pe o dreaptă

fixă (d ).

Fie () Ax + By + Cz + D = 0 şi 1

2

0

0d

. Generatoarea ( g ) fiind paralelă cu planul

(), se găseşte într-un plan (3) Ax + By + Cz + D = şi pentru că se sprijină pe dreapta

(d ), se găseşte şi într-un plan din fascicolul generat de (d ), (μ) 1 = μ2.

Deci, curba generatoare are ecuaţiile: 3

1 2

g

.

Fie

, , 0

, , 0

F x y z

G x y z

curba directoare. Condiţia ca generatoarea să se sprijine pe curba

directoare revine la asigurarea compatibilităţii sistemului:

3

1 2

, , 0

, , 0

F x y z

G x y z

.

Se elimină x, y, z din 3 dintre ecuaţiile sistemului, în funcţie de şi μ şi se înlocuiesc în

cea de-a patra ecuaţie obţinându-se condiţia de compatibilitate: (, μ) = 0.

Înlocuind în condiţia de compatibilitate şi μ şi 3, respectiv cu 1

2

, se obţine ecuaţia

13

2

,

0 , care reprezintă ecuaţia conoidului generat.

3.3.2. Suprafeţe de rotaţie

Defini ţ ie. Suprafa ţ a de rota ţ ie este suprafaţa obţinută prin rotirea unei curbe în jurul unei

drepte fixe numită axă de rotaţie.



19

Fie dreapta fixă:

0 0: 0 x x y y z z D

e m n

,

iar curba:

, , 0:

, , 0

f x y z C

g x y z

Cercul generator: Cerc de rază variabilă cu centrul pe ( D) şi situat în plan perpendicular

pe ( D).

Cerc generator:

2 2 2 20 0 0 x x y y z z

lx my nz

, , 0( ) :

, , 0

f x y z C

g x y z

Obţinem condiţia de compatibilitate:

F (, μ) = 0 2 2 2

0 0 0 , 0 F x x y y z z lx my nz

Exemplu:



20

Curba (C ) apar ţine unui plan de coordonate, iar axa de rotaţie este o axă din acest plan.

Avem:

0:

, 0

xC

f y z

Cerc generator:

2 2 2 2

2 2 2 2

0:

, 0

x y z

z y y

xC

f y z

2

2 2

, 0 f

Obţinem deci acuaţia de compabilitate:

Ecuaţia suprafeţei este deci:

2 2 , 0 f x y z



21

Exerci ţ ii

1) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d ) x + y = 0, z = 0

şi curba directoare (C ) x2 – 2 y2 – z = 0, x – 1 = 0.

Solu ţ ie: Generatoarea cilindrului este o dreaptă paralelă cu dreapta (d ) şi se sprijină pe

curba (C ). Orice dreaptă paralelă cu (d ) este dată prin ecuaţii de forma x + y = şi z = μ.

Condiţia ca o astfel de dreaptă să se sprijine pe curba (C ) (adică dreapta şi curba să aibă

un punct comun) este ca sistemul:

2 22 0

1 0

x y

z

x y z

x

să fie compatibil. Condiţia de compatibilitate se obţine eliminând pe x, y, z din acest

sistem. Deoarece x = 1, y = – 1, z = μ, din a treia ecuaţie a sistemului se obţine:

1 – 2( – 1)2 – μ = 0 sau 22 – 4 + μ + 1 = 0 (condiţia de compatibilitate).

Deci, dacă şi μ verifică această relaţie, atunci dreapta x + y = , z = μ generează, când

se deplasează paralel cu ea însăşi şi se sprijină pe curba (C ), un cilindru. Ecuaţia

cilindrului se obţine eliminând pe şi μ între ecuaţiile:

22 4 1

x y

z

0

deci este: 2( x + y)2 – 4( x + y) + z + 1 = 0 sau 2 x2 + 2 y2 + 4 xy – 4 x – 4 y + z +1 = 0.

2. Să se scrie ecuaţia suprafeţei conice cu vârful în V (0, – a, 0) şi curba directoare

x2 + y2 + z 2 = a2, y + z = a, a > 0.

Solu ţ ie: Generatoarea conului este o dreaptă ce trece prin punctul V şi se sprijină pe curbadirectoare dată. O dreaptă de direcţie arbitrar ă ce trece prin V este dată de ecuaţiile:

x = z , y + a = μ z . Condiţia ca această dreaptă să se sprijine pe curba directoare (adică

dreapta şi curba directoare să aibă un punct comun), este ca sistemul:



22

2 2 2

x z

y a z

2 x y z a

y z a

să fie combatibil. Condiţia de compatibilitate se obţine eliminând pe x, y, z din acest

sistem. Deoarece y = μ z – a, din ultima ecuaţie a sistemului se obţine:2

1

a z

. Rezultă:

2

1

a x

şi

1

a y

a

. Cu aceste valori ale lui x, y şi z , a treia ecuaţie a sistemului

devine:

22 2 22

2 2

4 4

11 1

a aa aa

sau 2 – μ + 1 = 0 (condiţia de compatibilitate). Deci dacă şi μ verifică această relaţie,

atunci dreapta dată de ecuaţiile x = z , y + a = μ z generează prin deplasarea ei în jurul

punctului V sprijinindu-se pe curba directoare, un con. Ecuaţia conului se va obţine

eliminând şi μ între ecuaţiile:

2 1 0

x z

y a z

deci este:

2

21 0

x y a

z z

sau x2 + z 2 – ( y + a) z = 0.

3) Să se scrie ecuaţia conoidului generat de o dreaptă care se sprijină pe dreapta x = 2, y =

0, este paralelă cu planul xOy şi întâlneşte hiperbola ( H )2 2

1

4 9

x z , y = 2.

Solu ţ ie: O dreaptă care se sprijină pe dreapta x = 2, y0 şi este paralelă cu planul xOy este

dată prin ecuaţii de forma: x – 2 = y, z = μ. Condiţia ca o astfel de dreaptă să întâlnească

hiperbola dată este ca sistemul:



23

2 2

2

14 9

2

x y

z

x z

y

să fie compatibil. Deoarece x = 2 + 2, z = μ, din a treia ecuaţie a sistemului se obţine:

2 22 2

14 9

sau 9(1 + )2 – μ2 = 9 (condiţia de compatibilitate). Dacă şi μ

verifică această relaţie, dreapta x – 2 = y, z = μ generează în deplasarea sa conoidul.

Ecuaţia conoidului se va obţine eliminând pe şi μ între ecuaţiile:

2 2

2

9 1 9

x y

z

deci este:

2

229 1 9

x z

y

, sau 9( x + y – 2)2 – z 2 y2 – 9 y2 = 0.

4) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta de direcţie (3, 4, 5)

şi curba directoare y2 – z 2 – 1 = 0 şi x = 0.

Solu ţ ie: (3 y – 4 x)2 – (3 z – 5 x)2 – 9 = 0.

5) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d )1 1

2 3 1

y z

şi curba directoare (C ) xy = a2, z = 0.

Solu ţ ie: ( x + 2 z )( y + 3 z ) = a2.

6) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d ) x = y = z şi curba

directoare (C ) x = y2, z = 0.

Solu ţ ie: ( y – z )2 = x – z .



24

7) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta de direcţie (1, 1, 1)

şi curba directoare 2 x + y – 4 z = 0 şi x2 + y2 + z 2 = a2.

Solu ţ ie: (3 x + y – 4 z )2 + (2 x + 2 y – 4 z )2 + (2 x + y – 3 z )2 = a2.

8) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d )

1 2

5 3 2

1 x y z şi curba directoare cercul (C ) x2 + y

2 = 25, z = 0.

Solu ţ ie:2 2

5 325

2 2 x z y z

.

9) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d )

1 2 3

x y z şi

curba directoare parabola (C ) y2 = 4 x, z = 0.

Solu ţ ie: (3 y – 2 z )2 – 12(3 x – z ) = 0.

10) Să se scrie ecuaţia cilindrului care trece prin curba: ( x – 1)2 + ( y + 3)2 + ( z – 2)2 = 25,

x + y + z = –2 şi are generatoarele paralele cu:

a) axa Ox;

b) dreapta de ecuaţii x = y şi z = 2.

Solu ţ ie: a) 2 y2 + 2 z 2 – 2 yz + 12 y – 10 z – 3 = 0

b) x2 + y2 + 3 z

2 – 2 xy – 8 x + 8 y – 8 z – 26 = 0.

11) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d ) x = y = z şi

curba directoare (C ) x2 + y2 – a2 = 0, z = 0.

Solu ţ ie: ( x – z )2 ( y – z )2 = a2.

12) Să se scrie ecuaţia cilindrului cu generatoarele paralele cu axa Oz şi curba directoare

(C ) x2 + y2 – 4 x + 2 y – 4 =0, z = 0.

Solu ţ ie: x2 + y2 – 4 x + 2 y – 4 = 0.

Cap 3 Cuadrice+Generari

Documents

Transcript of Cap 3 Cuadrice+Generari