STAREA DE TENSIUNI A CORPULUI

Corpul supus acţiunii unei forţe exterioare este caracterizat printr-o stare de tensiuni (omogenă dacă tensiunile au aceiaşi valoare în orice punct al corpului):

S

Fp (2.1)

unde F este rezultanta forţelor ce acţionează pe suprafaţa S a corpului deformat.

Fie un plan în care considerăm sistemul de coordonate xOy şi o direcţie AB în el (fig.2.1), iar N - normala la această direcţie. Dacă tensiunea p, care acţionează într-un punct de pe AB, este orientată după o direcţie oarecare faţă de AB, ea se descompune în componentele (normală) şi (tangenţială), între care există relaţia:

2 + 2 = p2 (2.2)

A

B

O x

y N

y

x

xy

xy

py

p

px

Fig.2.1

Capitolul 2

Starea plană de tensiuni

În multe cazuri de prelucrare prin deformare, corpul supus deformării poate fi considerat plan (are una dintre dimensiuni - grosimea - mult mai mică decât celelalte două), forţele de deformare acţionând în acest plan (al tablei). În acest caz starea de tensiuni poate fi analizată într-un sistem de coordonate în plan - stare plană de tensiuni (cazul din figura anterioară).

Conform celor stabilite la Rezistenţa materialelor (vezi şi fig.2.1), există relaţiile:

cossinp

sincosp

xyyy

xyxx

2cos2sin2

2sin2cos22

xyyx

xyyxyx

(2.3)

(2.4)

Starea spaţială de tensiuni

În cazul în care corpul supus deformării este solicitat de un sistem de forţe în spaţiu, starea de tensiuni dintr-un punct oarecare considerat este descrisă prin toate componentele tensiunilor normale şi ale celor tangenţiale (fig. 2.2), care formează tensorul tensiunilor:

X

Y

Z

x

y

z

zx

yx

xy

xz

zy

yz

Fig.2.2

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

(2.5)

Tensiuni într-un plan înclinat

Cunoscând componentele tensorului tensiunilor, se pot determina tensiunile dintr-un plan oarecare (înclinat) ABC (fig.2.3), a cărui poziţie este dată prin normala N la plan, caracterizată prin cosinusurile directoare (l, m, n).

Ecuaţiile de echilibru conduc la:

X

Y

Z

x

y

z

zx

yx

xy

xz

zy

yz

N(l,m,n)

p

A

B

C

Fig.2.3

px = l.x + m.xy + n.xz

py = l.xy + m.y + n.yx

pz = l.zx + m.zy + n.z

(2.6)

şi 2z

2y

2x pppp (2.7)

Tensiunea normală pe suprafaţa (înclinată) ABC va fi:

).n.m.n.l.m.l(2

nmlnpmplp

yzxzxy

z2

y2

x2

zyx

(2.8)

Tensiunea tangenţială se determină cu relaţia:

22p (2.9)

Tensiuni normale principale

In orice punct al corpului se pot defini trei direcţii reciproc perpendiculare: 1, 2, 3, după care tensiunile normale sunt maxime iar cele tangenţiale sunt nule. Cele trei tensiuni normale după direcţiile 1, 2, 3, sunt denumite tensiuni normale principale: 1, 2, 3 (cu convenţia:

1>2>3).

In raport cu sistemul de axe principale, tensorul tensiunilor se scrie:

3

2

1

00

00

00

T1

In sistemul de axe principale, tensiunea p din planul înclinat poate fi scrisă prin componentele sale: p1 = l.1; p2 = m.2; p3 = n.3,

iar componentele tensiunii pe planul înclinat vor fi:

(2.10)

(2.11)

)nml(nmlp

nml

32

22

122

322

222

1222

32

22

12

(2.12)

Tensiuni tangenţiale maxime

Pentru stabilirea tensiunilor tangenţiale maxime se porneşte de la relaţia (2.12) din care, prin ridicare la pătrat şi înlocuirea unuia dintre cosinuşii directori, se obţine o funcţie pentru care punând condiţia de maxim rezultă valorile cosinuşilor directori cu care se vor determina tensiunile tangenţiale maxime. Toate acestea sunt prezentate centralizat în tabelul 2.1.

l m n

1 0

2 0

3 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2332

1 2

3113

2 2

1221

3 2

Tabelul 2.1

Dacă se consideră condiţia: 1 > 2 > 3, atunci:

231

2max

Tensiunile tangenţiale maxime acţionează pe plane perpendiculare pe un plan principal care formează un unghi de 450 cu celelalte plane principale (fig.2.4).

1

2

3

1 1

2

2

3

1

2

3

1 1

3

3

2

1

2

32

2

3

3

1

Fig.2.4

(2.13)

Tensiuni octaedrice

Octaedrul este corpul geometric care are toate cele opt feţe egal înclinate faţă de axele principale (fig.2.5). Pentru o faţă a octaedrului - suprafaţă octaedrică:

3

1nml (2.16)

Cu relaţiile (2.12) şi (2.16) rezultă tensiunile care acţionează în planul octaedric sub forma:

mmed321

oct 3

(2.17)

21

3

O

AB

C

suprafataoctaedricã

l = m = n, (2.14)

Ştiind că: l2 + m2 + n2 = 0, (2.15)

rezultă:

)(9

1)(

3

1321

23

22

21oct

213

232

221 )()()(

3

1

(2.18)

Rezută că tensiunea normală octaedrică care acţionează pe cele opt feţe egal înclinate ale octaedrului, este egală cu media tensiunilor normale principale din punctul considerat.

Fig.2.5

Deviatorul şi invarianţii tensiunilor

Dacă tensiunile normale principale sunt egale cu valoarea medie m , tensorul tensiunilor

capătă forma:

m

m

m

00

00

00

T0

(2.19)

şi se numeşte tensorul sferic al tensiunilor.

Diferenţa între tensorul tensiunilor T şi tensorul sferic al tensiunilor T0 se denumeşte

deviatorul tensiunilor D:

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

0TTD

(2.20)

sau în funcţie de tensiunile normale principale:

m3

m2

m1

00

00

00

TTD1

(2.21)

Tensorul sferic al tensiunilor reprezintă acea parte din câmpul de tensiuni care modifică volumul corpului, iar deviatorul tensiunilor - acea parte care contribuie la modificarea formei corpului.

Dacă planul înclinat ABC (fig.2.3) are o asemenea poziţie încât tensiunea p să fie orientată după normala N (p coincide cu ), atunci:

px = l.; py = m.; pz = n., (2.22)

iar din relaţiile (2.6) va rezulta:

0n).(m.l.

0n.m).(l.

0n.m.l).(

zzyzx

yzyyx

xzxyx (2.23)

Pentru ca acest sistem de ecuaţii cu necunoscutele l, m şi n să aibă soluţii nenule, trebuie ca determinantul său caracteristic să fie nul. Rezolvându-l pe acesta, se obţine o ecuaţie de gradul trei în , de forma:

s3 – I1s2 + I2s – I3 = 0, (2.24)

în care, coeficienţii I au forma:

)(2I

)(I

I

2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3

2zx

2yz

2xyxzzyyx2

zyx1

(2.25)

Deoarece axele faţă de care se determină tensiunile au fost alese arbitrar, coeficienţii I1,

I2 şi I3 nu variază în funcţie de poziţia axelor - ei se denumesc invarianţii tensiunilor.

Exprimaţi în funcţie de tensiunile normale principale, aceşti invarianţi capătă forma:

3213

1332212

3211

I

I

I

(2.26)

Ecuaţiile diferenţiale de echilibru

x

y

z

In corpul care se deformează plastic, valoarea tensiunii este diferită de la un punct la altul (fig.2.6a).

Stabilirea acestei valori (variaţii) se poate face prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale de echilibru relativ la un volum elementar al corpului, la care se adaugă şi alte relaţii legate de procesul de deformare considerat.

Fig.2.6a

Ecuaţiile de echilibru în coordonate carteziene

Din corpul solicitat de un sistem de forţe exterioare se consideră un volum elementar orientat după axele de coordonate carteziene Oxyz, de laturi dx, dy, dz. Acest volum elementar va fi încărcat cu componentele tensiunilor după cele trei axe de coordonate, respectiv cu variaţiile acestora determinate prin derivatele parţiale ale componentelor respective (fig.2.6). Asupra ele-mentului se poate considera că acţionează şi forţa masică (cu componentele X, Y, Z - în centrul său de greutate), care poate fi însă neglijată.

y

x

z

z

x

y

yz

zy

xy

xz

zx

yx

dyy

yy

dz

zz

z

dxx

xx

dyyzy

zy

dz

zyz

yz

dzzxz

xz

dyyxy

xy

dxxzx

zx

dxxyx

yx

Fig.2.6

Proiectând toate componentele tensiunilor care solicită elementul de volum pe direcţia axelor de coordonate se obţine sistemul ecuaţiilor diferenţiale de echilibru (ale lui Cauchy) de forma:

0Zzyx

0Yzyx

0Xzyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

(2.27)

Ecuaţiile de echilibru în coordonate cilindrice

In unele cazuri (procese de deformare plastică sau forme de piese sau semifabricate) este mai convenabilă considerarea unui sistem de coordonate cilindrice (z, , , fig.2.7). Scriind ecuaţiile de echilibru ale tensiunilor care solicită un element de volum al corpului după bisectoarea unghiului - proiecţii pe direcţia (cu aproximările corespunzătoare pentru unghiurile mici) şi după axele şi z, rezultă sistemul ecuaţiilor de echilibru (în care s-au neglijat forţele masice):

z

dz

d

d

dzz

zz

dz

z

d

d

dzz

zz

d

d

dz

z

dzz

zz

Fig.2.7

0z

1

02

z

1

0z

1

zzzz

z

z

(2.28)

Pentru o stare de solicitare axial simetrică în raport cu axa z, tensiunile şi deformaţiile sunt independente de unghiul , = z = 0, iar ecuaţiile diferenţiale de echilibru capătă forma:

0z

0z

zzz

z

In cazul stării plane de tensiuni, sistemul de coordonate cilindrice se transformă într-un sistem de coordonate polar (plan), iar ecuaţiile de echilibru capătă forma:

021

01

Pentru starea plană de tensiuni axial simetrică ( = 0), ecuaţiile (2.32) se reduc la:

0

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Schemele stăriilor de tensiuni

Pentru o apreciere calitativă mai uşoară a comportării la deformare a materialului solicitat în condiţiile diferitelor operaţii de prelucrare, se consideră un volum cubic elementar solicitat cu tensiunile normale principale, acestea reprezentând schemele stărilor de tensiuni. Starea de tensiune poate fi liniară, plană sau spaţială (volumică), după cum două, una sau nici una dintre tensiunile normale principale este egală cu zero (fig.2.8).

1

2 3

1 1

1 1 1

11 1

1

2

2 2 2 2

3 3

33 3

3

liniarã

planã

spaþialã

+ compresiune

- întindere

+ -

+ + - - - +

+ + + - - - - - + + + -

Fig.2.8

2 = 3 = 0

1 0

2 = 3 = 0

1 3 0

1 3 3 0

Analiza schemelor stărilor de tensiune, coroborată cu datele obţinute din practica prelucrării metalelor prin deformare plastică la rece, relevă că:

plasticitatea maximă a metalului se obţine în cazul compresiunii multilaterale neuniforme;

cu cât tensiunile de compresiune au o pondere mai mare în schema stării de tensiune iar cele de întindere o pondere mai mică, cu atât metalul prezintă o capacitate mai mare de a se deforma plastic;

deformarea plastică este imposibilă în cazul egalităţii tensiunilor normale principale (volumul respectiv de material este în echilibru din punctul de vedere al solicitării);

forţa exterioară aplicată pentru realizarea deformării plastice depinde de schema stării de tensiuni - la tensiuni spaţiale de acelaşi semn vor fi necesare forţe de deformare mai mari decât în cazul stării de tensiuni cu semne diferite.