44

Fig. 2.17. Varia#ia deforma#iei axiale n raport cu for#a axial!

2.2.3.2." Modelul liniar (King s.al., "992)

Pentru elementul de bar! din figura 2.18, rela#iile incrementale elastice deechilibru, utiliznd deforma#iile elementului, pot fi scrise astfel (King s.al., 1992):

!!!!

""""####$$$$

%%%%====

j

i

jjji

ijii

j

i

KK

KK

M

M

(2.53)

n care coeficien#ii matricei de rigiditate din ecua#ia de mai sus sunt (Goto & Chen1987):

EI

LPPL

L

EIKK

EI

LNNL

L

EIKK

jiij

jjii

25000

26

30

2

25000

44

15

24

32

32

========

++++++++======== (2.54)

"i reprezint! primii trei termeni din dezvoltarea n serie Taylor a func#iilor destabilitate elastic!.

Fig. 2.18. Elementul de bar! plan n sistemul coordonatelor de baz!.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Elastic-perfect plastic

CRC-Et

LRFD-Et

/p

N/N

p

Mi, i Mj, j

N, u (i)

(j)

(ij)

45

n rela#iile (2.54) efortul axial N este luat cu semnul minus n cazul compresiunii.n cazul form!rii unei articula#ii plastice la nodul "i" al barei "ij" rela#iile cedefinesc valorile momentelor ncovoietoare incrementale la capetele barei sunt:

0====++++==== jijiiii KKM (2.55 a)deoarece se consider! ca n nodul "i" se formeaz! o articula#ie obi"nuit!, "i prinurmare cre"terea de moment ncovoietor este zero, "i jjjijij KKM ++++==== (2.55 b)Determinnd pe i din ecua#ia (2.55 a) "i nlocuindu-l n ecua#ia (2.55 b) rezult!:

j

ii

ij

jiijjK

KKKM

==== (2.56)

astfel nct rela#ia incremental! de echilibru a elementului devine:

!!!!

""""####$$$$

%%%%====

j

i

jjj

i

KM

M

'0

00 (2.57)

unde:

ii

ij

jijjjjK

KKKK ====

' (2.58)

Pentru reprezentarea gradual! a plastific!rii sec#iunii corespunz!toare unui anumitstadiu intermediar de p!trundere a plastific!rii n sec#iune, pornind de la stadiulperfect elastic "i ajungnd la stadiul limit! corespunz!tor plastific!rii integrale asec#iunii, matricea de rigiditate a elementului, utiliznd deforma#iile acestuia, sepoate scrie:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

====

i

ii

ij

jijjijiji

iijijiiiii

K

KKKKK

KKKK

'

K (2.59)

unde cu i s-a notat parametrul scalar corespunz!tor unui anumit stadiuintermediar de plastificare a sectiunii "i", "i care poate lua valori ntre zero (perfectelastic, Mi

46

Pentru cazul general de comportare n domeniul elasto-plastic, n carearticula#iile plastice se pot forma la ambele capete ale elementului, rela#iileincrementale de echilibru se pot scrie sub urm!toarea form! matriceal!:

!!!!

""""

########$$$$

%%%%====

j

i

jjji

ijii

j

i

KK

KK

M

M

''

''

(2.61)

unde:

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))iiii

ij

jijjjj

jiijjiij

ij

jj

ji

ijiiii

K

KKKK

KKK

K

KKKK

====

========

====

1

11

1

'

''

'

(2.62)

Fig. 2.19. Plastificarea gradual! a sec#iunilor. Modelul liniar.

Rela#iile (2.62) introduc efectul plastific!rii graduale "i totale la ambele capeteale elementului. Spre exemplu: n cazul n care 0== ji , ambele capete ale elementului se afl! n

domeniul elastic, astfel, ecua#ia (2.61) se reduce la ecua#ia (2.53) n carecoeficien#ii de rigiditate sunt defini#i de rela#iile (2.54).

n cazul n care 1=i "i 0=j se consider! formarea articula#iei plastice lacap!tul "i" al elementului, n timp ce cap!tul "j" se afl! nc! n domeniulelastic, rela#ia (2.61) se reduce n acest caz la rela#ia dat! de ecua#ia (2.57).

47

n cazul n care 0=i "i 1=j se consider! formarea articula#iei plastice lacap!tul "j" al elementului, n timp ce cap!tul "i" se afl! nc! n domeniulelastic, rela#ia (2.61) se reduce n acest caz la o ecua#ie similar! cu cea dat! derela#ia (2.57). n cazul n care 1=i "i 1=j se consider! ca la ambelecapete ale elementului s-au format articula#ii plastice, matricea de rigiditate dinrela#ia (2.61) devine n acest caz:

====

00

00'

K (2.63)

n cazul n care 10 >>>++++

48

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

>>>>++++

49

prin intermediul parametrului conform urm!toarei ecua#ii parabolice (Liew s.al.,1992):

(((( )))) 5,0,145,0,1

>>>>====

====

(2.69)

Pot fi considerate "i alte ecua#ii mai complexe pentru parametrul de evaluare arigidit!#ii la ncovoiere, #innd seama de plastificarea gradual! a sec#iunilor, dar oexpresie simpl! de genul celor prezentate n figura 2.21, confer! acestei metodesimplitate "i eficien#!. De men#ionat faptul ca func#ia parabolic! (2.69) a fostob#inut! prin calibrare cu rezultatele ob#inute pe baza unor analize elasto-plastice"exacte" fundamentate pe modelul zonelor plastice (Liew, 1992; Liew ".al., 1992).Pentru reprezentarea gradual! a plastific!rii sec#iunii de la cap!tul "j" al barei "ij"(fig. 2.18), corespunz!toare unui anumit stadiu intermediar de p!trundere aplastific!rii n sec#iune, pornind de la stadiul perfect elastic "i ajunnd la stadiullimit! corespunz!tor plastific!rii integrale a sec#iunii, se pot scrie urm!toarelerela#ii incrementale de echilibru:

(((( ))))

!!!!

""""

########################

$$$$

%%%%

!!!!

""""####$$$$

%%%%

====

u

I

A

SS

SS

SS

L

IE

N

M

M

j

i

jj

jj

tj

i

00

0

01

12

21

22

1

(2.70)

n care semnifica#iile nota#iilor din rela#ia de mai sus au fost descrise anterior.Pentru cazul general corespunz!tor unei plastific!ri graduale la ambele capete aleelementului, rela#iile incrementale de echilibru, utiliznd deforma#iile elementului(fig.2.18), se pot scrie sub form! matriceal! n modul urm!tor:

(((( ))))(((( ))))

!!!!

""""

################################

$$$$

%%%%

!!!!

""""####$$$$

%%%%

!!!!

""""####$$$$

%%%%

====

u

I

A

S

SSS

SS

SS

L

IE

N

M

M

j

i

ijji

jiji

tj

i

00

01

01

1

22

12

21

22

1

(2.71)n leg!tur! cu ecua#ia (2.71) se pot face urm!toarele observa#ii:

n cazul n care 10

50

n cazul n care 1== ji , ambele capete ale elementului se afl! n domeniulelastic, matricea de rigiditate a elementului din ecua#ia (2.71) se reduce n acestcaz la urm!toarea form!:

=

I

A

SS

SS

L

IE

00

0

0

12

21

K (2.72)

n cazul n care 1=i "i 10

51

Fig. 2.21. Rela#ii de determinare a rigidit!#ii la ncovoire n domeniul elasto-plastic.

2.2.4 Efectul neliniarit%$ii geometrice locale. Func$ii de stabilitate

2.2.4." Integrarea ecua$iei diferen$iale a fibrei medii deformate

Se consider! cazul general al unei nc!rc!ri transversale constituit! dintr-o for#!uniform distribuit! q "i o for#! concentrat! Q care ac#ioneaz! la distan#a c decap!tul b al unei bare puternic comprimate, Fig. 2.22.

Fig. 2.22. Bara puternic comprimat! nc!rcat! cu for#e n lungul barei "i momentencovoietoare de cap!t.

ds dy

dx

P P

Mza

Mzb

Qy

qy

c L-c y

x

ds dz

dx

P P

Mya

Myb

Qz qz

c L-c z

x