Capitol I. Cuadrice pe ecuaţii reduse

1.1 Scurt istoric

Arhimede (sec.3.î.e.n) cunoştea paraboloidul de rotaţie, hiperboloidul de rotaţie cu două

pânze şi elipsoidul de rotaţie, determinând forma, ariile secţiunilor şi volumele limitate de

secţiuni perpendiculare pe axă.

Philippe Lahire a introdus în 1679 geometria analitică a spaţiului. El a reprezentat

punctele spaţiului prin trei coordonate şi a dat ecuaţia paraboloidului de rotaţie: z=x2+ y2.

Antoine Parent a scris, în 1705, ecuaţia sferei şi a planului tangent într-un punct. El a

arătat, în 1713, că o dreaptă care se roteşte în jurul altei drepte generează un hiperboloid cu o

pânză.

Leonhard Euler a iniţiat în 1728, teoria generală a cuadricelor, aducându-le la forma

canonică: a x2+b y2+c z2+d=0. El a evidenţia conul asimptot, a clasificat cuadricele după genul

lor, în elipsoizi, hiperboloizi cu una sau două pânze, paraboloizi eliptici şi hiperbolici. A

determinat în 1765, direcţiile axelor cuadricei.

Lagrange a introdus, în 1773, ecuaţia in s , care determină axele unei cuadrice:

|a11−s a12 a13

a12 a22−s a23

a13 a23 a33−s|=0

Lagrange a arătat că ecuaţia în s are totdeauna rădăcini reale.

Gaspard Monge a studiat generatoarele rectilinii ale cuadricelor, arătând că prin fiecare

punct al unui hiperboloid cu o pânză şi al unui paraboloid hiperbolic trec două generatoare.

Monge a extins teoria polarei în raport cu o cuadrică.

1

El a arătat, în 1799, că dreptele spaţiului care se sprijină pe trei drepte date sunt

generatoare ale unei cuadrice şi că mulţimea conjugatelor unui punct în raport cu o cuadrică

este un plan.

Jean Hachette a demonstrat, prin procedeele geometriei descriptive, mai multe

proprietăţi proiective ale cuadricelor. Cităm câteva teoreme ale sale, din 1804:

Planul tangent al unei cuadrice riglate, taie cuadrica după două generatoare.

Două cuadrice care au o generatoare comună se intersectează după o cubică

strâmbă.

Două cuadrice care au în comun o conică se mai taie după o conică.

Charles Dupin a arătat, în 1813, că o dreaptă care coincide cu duala ei în raport cu o

cuadrică, este situată pe o cuadrică. A introdus în 1813, conicele focale ale unei cuadrice; sunt

trei conice care conţin focarele comune tuturor cuadricelor unui sistem omofocal.

Gabriel Lamé a arătat, în 1816, că toate cuadricele care trec prin şapte puncte, trec şi

prin al optulea. De asemenea a demonstrat, în 1818, că într-un fascicol de cuadrice trec patru

conuri. Într-adevăr, ecuaţia fascicolului de cuadrice fiind liniară în λ , în raport cu fiecare

coeficient şi condiţia de degenerare a cuadricei, ∆=0 , fiind de gradul al patrulea, există patru

valori ale lui λ, pentru care obţinem cuadricele degenerate, adică conuri. Lamé a scris, în 1834,

ecuaţia cuadricelor omofocale sub forma:

x2

a− λ+ y2

b−λ+ z2

c−λ=1 , a>b>c .

Joseph Gergonne a arătat, în 1826, că locul centrelor cuadricelor tangente la şapte plane,

este un plan. El a mai arătat că o cuadrică se transformă prin dualitate într-o cuadrică.

Augustin Cauchy a scris,în 1826, prin asimilare cu teoria formelor pătratice, ecuaţiile

cuadricelor sub forma actuală, introducând, pentru simetria formulelor dedublate, coeficientul 2

în termenii liniari şi ai dublului produselor, adică a scris ecuaţia unei cuadricei sub forma:

2

f ( x , y , z )=ax2+2bxy+c y2+2dxy+2eyz+ f z2+2 lx+2my+2nz+ p=0.

El a scris ecuaţiile care dau centrul cuadricei, sub forma:

∂ f∂ x

=0 ,∂ f∂ y

=0 ,∂ f∂ z

=0.

Jacob Steiner a arătat, în 1827, că înălţimile unui tetraedru sunt generatoarele unui

hiperboloid.

Etiènne Bobillier a arătat, în 1827, că planele polare ale unuipunct în raport cu

cuadricele unei reţele trec prin acelaşi punct.

Într-adevăr o cuadrică a unei reţele are ecuaţia de forma:

f +λg+μh=0 , f=0 , g=0 , h=0 ;

fiind ecuaţiile cuadricelor de bază.

Michel Chasles a arătat, în 1828, că dintr-un punct putem duce şase normale unei

cuadrice; ele aparţin unui con de gradul al treilea şi picioarele normalelor sunt situate pe o

suprafaţă de gradul al treilea.

Într-adevăr o cuadrică a unei reţele are ecuaţia de forma:

f +λg+μh=0 , f=0 , g=0 , h=0 ;

fiind ecuaţiile cuadricelor de bază.

În 1846, Julius Plücker a asimilat conul asimptot al unui hiperboloid, ca un con tangent

cuadricei după conica de la infinit. El a exprimat în 1851, condiţia că o cuadrică să fie

degenerată, prin acumularea determinantului ∆ ale coeficienţilor ei.

Ferdinand Joachimstahl a dovedit, în 1859, că dreptele perpendiculare pe feţele unui

tetraedru în ortocentrele lor, aparţin hiperboloidului determinat de cele patru înălţimi.Centrul

hiperboloidului este punctul Monge.

3

4