Capitol 1_Ec Dif Ord I_Prob Propuse

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL I - MARIANA ZAMFIR 1

CC AA PP II TT OO LL UU LL 11

EECCUUAAŢŢIIII DDIIFFEERREENNŢŢIIAALLEE DDEE OORRDDIINNUULL II

Probleme propuse

I. ECUAŢII DIFERENŢIALE CU VARIABILE SEPARABILE

1. 21x y y ; : arctg ln tg lnR y C x y C x

2. 21x y y x ; 2 22: x yR C x e

3. 2 21 1 0y x x y ; 2 2: 1 1R x y C

4. 2 21 1 0y y x x y 2 2: 1 1R x y C

5. 21 2 1 0x y x y ; 2: 1 2 1R y x C

6. sin sin 0y y x ; cos cos cosy x C

7. 1sin 2 1 cos ,

4 2y x y x y

; 2: 2 1 4sinR y x

8. tg 0y x y ; : sinR y C x

9. cos sin 0x y y y ; : arcsinC

R yx

10. 2 21 1

0x y

yx y

; 2 22

2: x yy C

R ex

11. 2 22 1x y y x ; 2 1:R y x C

x

12. 2 4 0x y y ; 4 2:

2

xR y C

x

13. 2 2cos ctg sin tg 0x y y y x ; 2 2: ctg tgR y x C

14. 2 2cos tg cos tg 0y y x x y ; : tg tgR y x C

15. sin ln 0,2

y x y y y e

;

tg2:

xC

R y e

2 CAPITOLUL 1

16. ctg 2, 0 1x y y y ;

17. 1, 1 0x ye y y ; 1

: ;y x y x eR e e C e e

e

18. 2 21 1x y x y y ; 2 2 2: 1 1R x y C x

19. 2 2 2 2 0x x y y y xy ;

20. 2 2 0y x y y x xy ;

21. 2 21y x xy x ;

22. 21y x y xy x

23. 21 1y x y ;

24. 2 21 1y x y ;

25. 2 2x y y xy x y y ; 2 2: 1 1R x y C

26. 2 2 0x y y xy x y y ; 2 2: 1 1R x y C

27. 2 2 0, 0 1x y y y y xy x y ; 2 2: 1 1R x y C , cu 2 21 1 2x y

28. 3xy y y ; 2

:1

yR C x

y

29. 2 23 6 2 1y x xy y x y x y ; 2

10 3: 3 ln 3 12

xR x y x y C

30. 2 0xy y xyy ; 2: yR x ye C

31. 1 ; 0 1x xe yy e y ; 2 1

: ln 12

xyR e

32. 2 2

1 1 11

2 2y

x y x y

; : arctg lnR y y x x C


II. ECUAŢII DIFERENŢIALE OMOGENE

1. 2 0y y x ; : lnx

R C y xy x

2. 2 2x y y y x ; 2 2 1

:2

x CR y

C

3. 2 2x y y x y ; 2 2 2:R y x y C x

4. 2 2y x x y y

;

5. 2 22 3xyy x y ; 2 2 3:R x y C x

6. 2 22 3 0, 1 2xyy x y y ; 2 2 3: 3R y x x

7. 2 22 3 0, 0 1xyy y x y ;

8. 2 0x y y x y ; :

x

yR C x e

9. 2 0x y x y y ;

10.

y x yy

x y x

; : lnR y x C x y

11. 2 2 2x y y x y x ; : tg lnR y x C x

12. 2 2 2x y y x y x ; 2 2:R x y C x x y

13. y x y x y ; 2 2: ln arctgy

R x y Cx

14. 0x y x y ; : 2R x x y C

15. 2

2

x yy

x y

; 2 2 3 7 2: ln 2 arctg

7 7

y xR C x y xy

x

16. arctgy

xy y xx

; arctg 2 2:

y y

x xR e C x y

17. 2 22 4 , 1 1x y x y y y ; 22

:1

xR y

x

18. 3 2 32 3 , 1 1x y x y y y ; 2 2 21:

2R y x x y

4 CAPITOLUL 1

19. 3 2 32 2x y x y y ; : lnR x y C x

20. 2 2 2y x y xy ; 2 2:R x y C y

21. lny

x y yx

; 1: C xR y xe

22. ln 0x

x y yy

; 1: C yR y xe

23.

y

xx y y xe ; : ln lnR y x C x

24.

y

x yy e

x ;

1: ln lnR y x

C x

25. 1 ln lny

y y xx

; : C xR y xe

26. ln yx y y x y

x ; :

x yR C x

x

27. cos cos 0y y

x y x yx x

; sin

:

y

xR xe C

28. 3 4 2 2 44 4x y y y x y x ; 2 2

2 2:

y xR C x

y x

29. 1 1 0, 1 1

x x

y y xe e y y

y

; : 1

x

yR x y e e

30. cosy

x y x x yx

;

31. siny

x y x yx

;

32. 2 0x y

yy x

; : lny

R x Cx

33. tgy y

yx x

; : siny

R C xx

34. 2 0y xy x y ; : lnx

R y Cy


35. 2 2 2 24 3 4 3 0x xy y y xy x y ; 3 22 2:R x y x y C

36. 2 2 2 23 2 3 2 0x xy y y xy x y ; 3 2 2 3:R x x y xy y C

III. ECUAŢII DIFERENŢIALE REDUCTIBILE LA OMOGENE

1. 3 7 3 3 7 7x y y y x (caz I); 2 5: 1 1 1R y x y x C

2. 1 2 2 1 0x y dx x y dy (caz II); : 2 3ln 2R x y x y C

3. 2 5

2 4

x yy

x y

(caz I); 2

3:

1 1

y xR C

x x y

4. 2 1

2 4 3

x yy

x y

(caz II); : 4 8 ln 4 8 5R x y x y C

5. 1

3

x yy

x y

(caz I); 2 2: 1 2 2R x y y C

6.

2

2

2 2

1

yy

x y

(caz I);

22arctg

3: 2

y

xR e C y

7. 2 4 0x y dx x y dy (caz I); 2 2: 2 8 4R y xy x y x C

8. 2 3 5 3 2 5 0x y x y y (caz I); 2 2: 3 5 5R y xy x y x C

9. 3 2

2 3

x yy

x y

(caz I); 2 2: 3 3R y xy x y x C

10. 2 1

4 2 3

x yy

x y

(caz II); : ln 2 1 2R x y x y C

11. 2 1 3 6 2 0x y dx x y dy (caz II); : 3 ln 2R x y x y C

12. 2 5

2 4

x yy

x y

(caz I); 3: 1 3R x y C y x

13. 3 3 1 1 0x y dx x y dy (caz II); 2: 3 ln 1R x y x y C

14. 1 1 0x y dx x y dy (caz I);

15. 2 5

2 1

x yy

x y

(caz II); : 3 3 4ln 6 3 7R x y x y C

6 CAPITOLUL 1

4. ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE DE ORDINUL I

1. 2x y y x ; 2:R y C x x

2. x y y x ; : lnR y C x x

3. 1x y y x ; : 12

C xR y

x

4. 32y y x

x ;

4

2:

6

C xR y

x

5. 2

2 1yy

x x ;

2

1:

CR y

xx

6. 23x y y x ; 2

3:

5

C xR y

x

7. 2 12 , 0

4y y x y ; 21 1

:2 2

R y x x

8. 32y xy x ; 221

:2

xR y x Ce

9. 32y xy x x ; 221

:2

xR y x Ce

10. 1cos , 0

2y y x y ; 1

: sin cos2

R y x x

11. 2 sin cos 0x y y x x x ; : cos sinR y x C x x

12. sin cos 0x y y x x x ; : cosR y C x x

13. tg cosy y x x ; 1 sin 2

:cos 2 4

x xR y C

x

14. 1tg , 0 0

cosy y x y

x ; :

cos

xR y

x

15. ctg 2cosy y x x ; : sinsin

CR y x

x

16. 1

tg tg

yy

x x ; : sin 1R y C x

17. cos sin cos , 0 1y y x x x y ; sin: 2 sin 1xR y e x

18. sin 1 cosy x y x ; : tg2

xR y x C


19. 11

yx y x

x

;

1: 2ln

1

xR y x x C

x x

20. ln , 1 1x y y x y ; : ln 1R y x

21. ln

xx y y

x ; : ln lnR y x C x

22. 3ln 3ln 1x x y y x x ; 3: lnR y C x x

23. 22 21 2 1x y x y x ; 2: 1R y x x C

24. 21 1 0x y x y ; 2: 1R y C x x

25. 21 2 4 0x y x y x ; 2: 1 2R y C x

26. 2

1 21

xy y

x

;

12: 1xR y x Ce

27. 21

1 , 0 01

y y x yx

; 21 1: 1 arcsin

2 1

xR y x x x

x

28. 22

2 2, 0 31

y y x yx

; 2 1: 2 3

1

xR y x x

x

29. 22 1 2 2x x y x y x ; 2: 2 2R y C x x

30. 2 2 1 1 1x x y x y x ; 2: 2 1R y C x x x

31. 35 2 xy y e ; 5 81:

4x xR y Ce e

32. 2

2 2 xy x y xe ; 2 2: xR y e x C

33. 21 3 xx y x y x e ; 3: xR x y x C e

34. xx y x y e ; : lnxR y e x C

35. , 0 1xx y y e y ; 1: 1xR y e

x

36. 11

xyy e x

x

; : 1 xR y x e C

37. 2 22 1 2 1x y x y x .

8 CAPITOLUL 1

5. ECUAŢII DIFERENŢIALE BERNOULLI

1. 2 2 0x y y x y ;

1:R y

x C x

2. 2 22 4 , 1 1x y x y y y ; 22

:3

xR y

x

3. 2 3 2 22 1 2x y x y y x ; 2:

1x

xR y

C xe

4. 4x y y x y ; 2

2:2

xR y C x

5. 24x y y x y

6. 4 22 2x y y x y ; 2 2

1:R y

x C x

7. 3 0y xy xy ; 22: 1 1xR y C e

8. 3 22 2y xy x y ; 2 2: 1 1 0xR y Ce x

9. 2 lnx y y y x ; 1

:ln 1

R yC x x

10. 2 33 0y y y x ; 3: 1 0xR y Ce x

11. 22 ln 0xy y xy x ;

12. 2 lnxy y xy x ; : 1 ln 1R y C x x

13. 32y y x y ; 2

3 21 3: 3 3

2 2xR y Ce x x x

14. 34 2xy y x y ; 22 3:R y C x x

15. 22 0, 1 1y

y x y yx

; 3

3:

2 1

xR y

x

16. 22 0y

y yx

;

17. 3 2 3yy x y

x ;


18. 2 2

1yy

x x y ;

1

321 3:

2R y C x

x

19. 3y x

yx y

;

20. 2 22 3x y y x y ;

21 4tg cosy y x y x ; 3

3 21

:cos 3sin cos

R yC x x x

22. 2tgy y x y ;

23. 3cos sin 2y y x y x ; 22sin

1:

1 3sinxR y

C e x

24. 22 xy y y e ; 2

1:

x xR y

C e e

25. 5 32 0xxy y x y e ;

24

1:

2 xR y

x e C

26. 2 22 1

x xy y

yx

; 2 2 2: 1 1R y C x x

27. 2 2 3 239 1 , 0 0y x y x x y y ; 3

332 2 1

:3 3 3

xR y e x

28. 231

0y

y yx x

;

29. 2 2 1xy y x y ; 2

: 12

x CR y

x

30. 4 12xy y x y ; 2

2: 2

CR y x

x

31. 2 2x y xy y . 2

2:

2 1

xR y

C x

6. ECUAŢII DIFERENŢIALE RICCATI

1. 22

1 12 0, py y y

xx ; : 1 2 ln 2R xy C x

10 CAPITOLUL 1

2. 2 2 2 1, pa

x y x y xy yx

; 1 1

:ln

R yx C x x x

3. 2 2 2 11, px y x y xy y

x ;

1 1:

lnR y

x C x x x

4. 2 2 2 24 0, px y x y xy y

x ;

5

2 4:

4R y

x C x x

5. 2 2 2 14 4 0, px y x y xy y

x ;

2

3

1 3:

3

xR y

x C x

6. 2 2 2 2, pa

x y x y yx

;

3

3

2 3:

3

x CR y

x x C

7. 2 29 0, 3py

y y x y xx

; 23

6: 3

6 1x

xR y x

C e

8. 2 22 5 , 2py y xy x y x ; 4

4: 2

1xR y x

Ce

9. 21 sin cos cos sin 0, cospy x x y x y x y x ; cos 1

:sin

C xR y

C x

10. 2 sin 2 cos2 , tgpy y y x x y x ;

11. 2 2ctg sin 0, sinpy y y x x y x ; 2 cos

2: sin 1

2 1xR y x

C e

12. 2 22 sin sin cos 0, sinpy y y x x x y x ; 1

: sinR y xC x

13. 22

2sin 1sin ,

coscosp

xy y x y

xx ;

3

3

2cos:

cos cos

C xR y

x C x

14. 2 22 ,x x x xpy y e y e e y e ;

1: xR y e

C x

15. 1 2 3

3 2 2 2 11 2 , , , 1p p px y y x y x y x y y x

x ; 2: 1R y C x C x

16. 2

4 32

3, p

y yy x y x

xx ;

17. 2 3 22 1, py xy x x y y x


18. 2 22 2 0, py x x x x y y x y x ; 2

:x x

R y xC x

19. 4 2

2 35 5 5

2 30,

1 1 1p

x x xy y y y x

x x x

;

3

2

1:

C xR y

x C

20. 1 2

21 4 1 40, 1, 2

2 1 2 1 2 1 p px

y y y y y xx x x x x

; 21 2

:1

C xR y

C x

21. 2 22 2 2 2 21 4 8 1 2 1 0, 1px y xy xy x x x y x ;

2

22

1: 1

1 2

C xR y x

C x

.

22. 1 2

2 2 2 3 2 2 211 4 2 3 4 4 1 0, 1 ,

2p px y xy xy x x x y x y x ;

22 2

2

11

2:

1

x C xR y

C x

.

7. ECUAŢII DIFERENŢIALE CU DIFERENŢIALE TOTALE EXACTE

1. 2 2 2 22 2 4 2 0x xy y dx x xy y dy ; 3 3

2 22: 2

3 3

x yR x y xy C

2. 3 2 3 23 3 0x xy dx y x y dy ; 4 2 2 4: 6R x x y y C

3. 3 2 2 3 0x xy dx x y y dy ; 4 2 2 4: 2R x x y y C

4. 2 2 2 33 6 6 4 0x xy dx x y y dy ; 3 2 2 4: 3R x x y y C

5. 3 2 2 23 2 3 0x xy dx x y y dy ; 4 3

2 23: 2

4 2 3

x yR x y x C

6. 2 22 0xydx x y dy ; 3

2:3

yR x y C

7. 2 2 2 0x y dx xydy ; 3

2:3

xR xy C

8. 2 3 2 2 22 3 0x xy dx x y y dy ;

12 CAPITOLUL 1

9. 0x y dx x y dy ; 2 2

:2 2

x yR xy C

10. 2 0x y dx x y dy ; 2

2:2

xR xy y C

11. 21 3 0x y dx x y dy ;

12. 2 22 2 0x x y dx xydy ; 3

2 2:3

xR x xy C

13. 2 2

2 30

x y xdx dy

y y

;

2

2: ln

2

xR y C

y

14. 2 2

3 4

2 30

x y xdx dy

y y

; 2 2 3:R x y C y

15. 2 2 3

2 33 2 5

0x y x y

dx dyy y

;

3

25

:x

R x Cyy

16. 2 2 2 2

2 22 0

x y x yx dx dy

x y x y

; 2:

x yR x C

y x

17. 2 2

20

x y ydx dy

x y x y

; : ln

yR x y C

x y

18. 1 1 0

x x

y y xe dx e dy

y

; :

x

yR x ye C

19.

2 22

2 10

11

y yx e edx dy

xx

;

2

1:1

yeR C

x

20. 24 2 0xy xyye xy dx xe x dy ; 2: 2xyR e x y C

21. 3

23 1 ln 2 0x

x y dx y dyy

; 3 2: 1 lnR x y y C

22. 2 1 cos

2 0sin cos2 1

x yxdx dy

y y

; 2 1

: 22sin

xR x C

y


23. 2

2sin 2 sin

0x x

x dx y dyy y

; 2 2 2sin

:2

x x yR C

y

24. 22 2 2 2

1 1 10

x y xdx dy

x y y yx y x y

; 2 2: ln

xR x y xy C

y

25. 2 2 2 2

0x y

y dx x dyx y x y

; 2 2:R x y x y C

8. ECUAŢII DIFERENŢIALE CARE SE REZOLVĂ CU FACTOR INTEGRANT

1. sin cos 0,yx e dx x dy y ; : cosyR e x x C

2. 2 22 3 3 0,x ydx y x dy y ; 2 23 3

:x y

R Cy

3. 2 3 22 3 7 3 0,x y y dx xy dy y ; 2 7: 3R x xy C

y

4. 2 22 0,x y y dx y x y dy y ; 2: lnx

R x y y Cy

5. 2 21 1 0,x y dx y x dy y ;

6. 1 0,y x y dx xdy y ; 2

:2

x xR C

y

7. 3 ln 0,y

dx y x dy yx

; 2ln

:2

x yR C

y

8. 2 2 22 ln 1 0,xy y dx x y y dy y

; 3

2 2 21: ln 1

3R x y y C

9. 21 3 sin ctg 0,x y dx x ydy y ; 3:sin

xR x C

y

10. 3 4sin 2 cos 0,x y y dx x y x dy x ; 3 2: sin 0R x y y C x

11. sin cos cos sin 0,x y y y dx x y y y dy x ;

: sin sin cosxR e x y y y y C

12. sin sin cos 0,x x y dx ydy x ;

14 CAPITOLUL 1

: 2sin 2 1 sin cosxR e y x x x C

13. 2 21 1 0,x y x dx x x dy x

; 2: 1R x x y C

14. 2 0,x y dx xdy x ; :y

R x Cx

15. 2 0,x y dx xdy x ; :y

R x Cx

16. 2 2 2 2 0,x y x dx ydy x ;

17. 2 32 2 5 2 2 0,x y y dx x x dy x ; : 5arctg 2R x x y C

18. 2 2 2 0,x y dx x ydy x ; 2 2:R x y C x

19. 2 2 31 0,x y dx x y x dy x ; 2 2: 2 2R x y x y C x

20. 3

2 2 22 0,3

yxy x y dx x y dy x

;

22:

3x y

R ye x C

21. 2 20,x y dx y x dy x y ; 2 2:ln arctgx

R x y Cy

22. 2 20,x y dx x y dy x y ; 2 2:ln arctgy

R x y Cx

23. 2 2 20,x xy dx x y dy x y ; 2 2

1:

yR C

x y

24. 2 2 2 21 2 0,x y dx x ydy x y ; 2 2: 1R x y C x

25. 3 2 2 32 2 0,x y y dx x y x dy xy ; 2 2 1:R x y C

xy

26. 2 2 0,xy dx x y x dy xy ; : lnR x y y C

27. 3 2 2 3 0,x y y dx x y x dy xy ; 2 21

:2 2

x yR C

xy

28. 3 2 2 2 3 2 2 22 2 2 0,xy x y y dx x y x y x dy xy ;


1 2: xyR e C

x y

29. 2 21 1 0,x y dx x y dy x y ;

2 3

2 3

1:

2 3

y yR C

x y x y

30. 3 2 2 3 3 2 2 32 3 2 3 0,x x y y y dx y x y x x dy x y ;

3 3:

x x y yR C

x y

31. 2 2 23 2 4 5 0,x y y dx x xy y dy x y ; 22:R x y x y C

32. 2 3 23 2 6 0,y x dx y x y dy x y ; 22 2:R C x y x y

9. ECUAŢII DIFERENŢIALE LAGRANGE

1. 2 2y x y y ;

2

2

2

2

2

1:

1

1

p p Cx

pR

p Cy

p

2. 2 33y xy y y ;

32 2

12 3 2

2 3

5 7:

1 23

5 7

x p p C p

R

y p p C p

3. 2 312

3y y y x y y ;

3 22

2

1 1 1

3 2:

2 11 2

6

x C p pp

R

y C p pp

4. 21y x y y ;

2

2 1:

1 2

p

p

x C e pR

y C p e p

16 CAPITOLUL 1

5. 2 2 0y y xy y ;

2

21

:2

px C

pR

Cy

p

6. 2 lny xy y ; 2

1

:2

ln 2

Cx

p pR

Cy p

p

7. 22 4yy x y ;

8. 22 2y y x y ;

9. 1

2y xyy

;

21

ln

:2ln 2 1

x p Cp

Rp C

yp

10. 2 siny xy y ;

2 2cos sin

:2 2cos sin

C p px

pR

C p p py

p

11. 2 1y xy

y

;

2

22

2

2

2 1

2 1:

2 1 1

2 1

Cp px

p pR

Cp py

pp p

12. 22

,a

y xy ay

; 2

3 2

:

4 27

ay C x

CR

y ax

13. 22 1y xy y ;

2 2

2

2

2 1 ln 1

2:

2 ln 1

C p p p px

pR

C p py

p


14. 22y x y y ;

2

2

2

3:

2

3

Cx p

pR

p Cy

p

15. 12

2y y x y ;

2

1

3:

12

6

Cx p

pR

y C p p

16. 2

1

1

yx y

y

;

2

2

2 2

2

1 2

1:

1 2 1

1

C px

pR

p C py

p

10. ECUAŢII DIFERENŢIALE CLAIRAUT

1. 33y xy y ; 3

2 3

3:

81 4

y C x CR

y x

2. 3y xy y ; 3

:3 2

y C x CR

y x

3. 2y xy y ; 2

2:

4

y C x CR

y x

4. 2y xy y ; 2

2:

4

y C x CR

y x

5. lny xy y ; ln

:ln 1

y C x CR

y x

6. lny xy y y ; 1

ln:

x

y C x C CR

y e

7. yy xy e ; :ln

Cy C x eR

y x x x

18 CAPITOLUL 1

8. 1

y xyy

; 2

1

:

4

y C xCR

y x

9. 2 1 0x y yy ; 2

1

:

4

y C xCR

y x

10. 2y xy y ; 2

:1

y C x CR

xy

11. 2

1y xy

y

;

2

3 2

1

:

4 27

y C xCR

y x

12. 22 1y y xy ; 2

3 2

1

2:

8 27

y C xCR

y x

13. siny xy y ; 2

sin:

arccos 1

y C x CR

y x x x

14. cosy xy y ; 2

cos:

arcsin 1

y C x CR

y x x x

15. cosy xy y ;

16. 1

1y xy

y

;

2

1

1:

4

y C xCR

x y x

17. 24 1y xy y ; 2

2 2

4 1:

16

y C x CR

x y

18. 21y xy y ; 2

2 2

1:

1

y C x CR

x y

19. 21 ,y xy a y a ; 2

2 2 2

1:

y C x a CR

x y a


20. 2

,1

ayy xy a

y

;

2

2 2 2

3 3 3

1:

aCy C x

CR

x y a

21. 21 ,y xy a y a ; 2

3 2

1:

4 4

y C x a CR

x ay a

22. 2 2 1y x y y ;

23. 2 1 0y x y y ;

Capitol 1_Ec Dif Ord I_Prob Propuse

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