Incovoierea barelor drepte 216 8.5 Deformaiile grinzilor drepte solicitate la ncovoiere 8.5.1 Generaliti

Solicitate la ncovoiere grinzile drepte se deformeaz lund forme curbe. Aceast curbare poate fi oglindit cel mai reprezentativ de fibra medie deformat a grinzii, care nu sufer modificri de lungime, punctele ei suferind numai deplasri orizontale i verticale. In practic, deformaiile msurate pe orizontal sunt mult mai mici dect cele de pe vertical, care sunt cunoscute sub denumirea de sgei.

Fig. 8.22

Prin studiul deformaiilor de ncovoiere se urmrete fie stabilirea formei deformate a grinzii, fie determinarea deplasrilor produse n dreptul unor seciuni.

In Fig. 8.22 s-a reprezentat o grind deformat raportat la sistemul

de axe xOz (planul de ncrcare) cu originea n unul dintre punctele de rezemare.

Starea deformat din dreptul unei seciuni transversale oarecare situat la distana x, poate fi caracterizat prin urmtoarele caracteristici geometrice: -deplasarea transversal w, denumit sgeat, care rezult direct din ecuaia fibrei medii deformate, ca fiind ordonata w corespunztoare unei abscise x, ( )w f x= (8.11)

Incovoierea barelor drepte 217

- nclinarea fibrei medii deformate sau a seciunii transversale , denumit rotire, care se obine prin derivarea ecuaiei fibrei medii deformate,

dwtgdx

= (8.12) - raza de curbur a fibrei medii deformate sau curbura 1 , dat de cea de a doua derivat a ecuaiei fibrei medii deformate:

2

22

3 22 2

1

1

d wd w ddxdx dx

dwdx

= +

= (8.13)

Relaiile finale ale rotirii (8.12) i curburii (8.13) sunt aproximative. Ele se bazeaz pe ipoteza micilor deformaii care conduce n acest caz la erori neglijabile. In sistemul de referin ales, o sgeat pozitiv constituie o deplasare w orientat n jos (sensul pozitiv al axei Oz), iar o rotire pozitiv corespunde cu sensul orar.

In practic (angrenaje, cuplaje), este necesar de multe ori cunoaterea acestui unghi , care reprezint unghiul cu care se rotete seciunea considerat fa de poziia iniial a grinzii nedeformate.

Modul de curbare a grinzii, respectiv sensul de deplasare a punctelor i de rotire a unghiurilor, rezult din calcule, fiind funcie de modul de rezemare i de ncrcarea grinzii.

In calcule, deformaiile nu trebuie s depeasc anumite valori admisibile impuse de buna funcionare a sistemului, ceea ce presupune cunoaterea valorilor maxime ale deformaiilor seciunilor n care se produc.

Determinarea deformaiilor de ncovoiere este important n urmtoarele probleme:

-la calculul unor organe de maini unde sunt impuse condiii de rigiditate, ca de exemplu, raportul dintre sgeata maxim i deschiderea grinzii;

-ridicarea nedeterminrii statice cu ajutorul relaiilor de calcul ale deplasrilor;

-solicitri dinamice calcule n care intervin relaiile sgeilor i rotirilor.

Relaiile de calcul ale deformaiilor din ncovoiere se stabilesc pe baza ipotezelor de la solicitarea de ncovoiere pur (de la stabilirea relaiei

Incovoierea barelor drepte 218 NAVIER), adic se consider c grinda este confecionat dintr-un material omogen, izotrop, cu comportare liniar elastic.

In demonstrarea relaiei NAVIER s-a obinut expresia curburii fibrei medii deformate din paragraful 8.2:

1 iy

y

M

EI = (8.14) unde EIy reprezint modulul de rigiditate la ncovoiere al seciunii transversale. Din relaia curburii se observ c o grind de rigiditate constant

solicitat la ncovoiere pur ..y

EI const=iy

M const= , se va deforma sub forma unui arc de cerc, deoarece raza de curbur este constant - =const. Relaia (8.14) dei a fost determinat n condiiile ncovoierii pure, se poate utiliza i n cazul ncovoierii simple (momentul ncovoietor este nsoit de fora tietoare), deoarece influena forfecrii asupra deplasrilor din ncovoiere este mic. Utiliznd expresiile (8.12) i (8.14) se obine ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate:

2

2

1 iy

y

Md wdx EI (8.15)

Relaia (8.15) conine o nepotrivire de semn fa de sistemul de referin din Fig. 8.22, deoarece dac 0 , atunci o dat cu creterea variabilei x,

funcia

iyM >

dwdx

= scade, iar 2

2 0d d wdx dx = < , contrar celor afirmate de relaia n

discuie. Deci forma corect a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate n raport cu sistemul de referin ales este:

2

2iy

y

Md wdx EI

(8.16)

8.5.2 Integrarea analitic a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate Metoda analitic de integrare sau integrarea direct a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate se bazeaz pe ecuaia diferenial de ordinul doi (8.16).

Prin integrarea ecuaiei difereniale (8.16) se obin expresiile rotirilor i sgeilor.

Incovoierea barelor drepte 219

Prin integrare se obin i cte dou constante de integrare pentru fiecare regiune de grind, constante care se determin cu ajutorul condiiilor de legtur(rezemare) i al condiiilor de continuitate ale fibrei medii deformate. Condiiile de legtur exprim valoarea sgeii i rotirii fibrei medii deformate n dreptul legturilor. Astfel, n dreptul reazemelor, articulaiilor i al ncastrrilor rigide (Fig. 8.23) sgeile grinzilor sunt egale cu zero, iar n ncastrarea rigid fibra medie nu se nclin (rotirea este zero).

Fig. 8.23 Fig. 8.24 Condiiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprim continuitatea acesteia n dreptul seciunilor de trecere de la o regiune de grind la cea urmtoare. Chiar dac expresia momentului ncovoietor sau rigiditatea grinzii se schimb de la o regiune la alta, fibra medie este o curb continu i n dreptul seciunilor de trecere. Continuitatea se exprim prin egalitatea sgeilor i rotirilor de pe cele dou regiuni nvecinate (1) i (2) respectiv (2) i (3)(Fig. 8.24). Metoda analitic de integrare a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate poate fi utilizat pentru calculul deplasrilor elastice la orice grind dreapt solicitat la ncovoiere. Este avantajos ns s se utilizeze metoda integrrii directe a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate n cazul strilor simple de ncrcare cu una sau dou regiuni de ncrcare. In cazul existenei mai multor regiuni metoda devine greoaie, deoarece determinarea constantelor de integrare presupune un volum mare de calcule. 8.5.2.1 Aplicaii 1. Pentru grinda ncastrat solicitat de o for concentrat, aplicat la captul liber (Fig. 8.25) se cere s se determine sgeata maxim i rotirea maxim . Rezolvare

Incovoierea barelor drepte 220 Grinda se compune dintr-o singur regiune cu expresia momentului ncovoietor:

( )iM F l x= Cum rigiditatea la ncovoiere a grinzii este constant pe toat lungimea ei, prin integrarea ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate se obine succesiv:

(2 2 id wEI M F l xdx = = ) ; Ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate

2

12dw xEI F l xdx

= + C ; Expresia rotirii

2 3

12 6x x

2EIw F l C x C

= + + . Expresia sgeii

Deoarece grinda se compune dintr-o singur regiune, constantele de integrare se determin impunndu-se condiiile de legtur. In acest caz, condiiile de legtur sunt:

Pentru x=0 0w = i 0dwdx

= = Impunnd condiiile de legtur de mai sus n expresiile pentru rotire i pentru sgeat se vor obine:

1 20C C= =

Fig. 8.25

Pentru x=l rezult c sgeata i rotirea sunt maxime:

3

max 3FlwEI

= respectiv 2

max 2FlEI

= 2. Pentru grinda din Fig. 8.26 rezemat la capete i ncrcat cu o sarcin uniform distribuit, s se determine sgeata maxim i rotirea in reazeme. Bara are rigiditatea constant la ncovoiere.

Incovoierea barelor drepte 221

Fig. 8.26

Rezolvare: Reaciunile din legturi sunt egale ntre ele i fac echilibrul sarcinii uniform repartizate pe acest sistem cu simetrie geometric i de ncrcare

1 2 2qlV V= = .

Bara are un singur interval de variaie a eforturilor secionale; ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate n acest caz este:

( ) ( )2 22 2id w qEI M x x lxdx = Prin integrare se obine:

3 2

12 3 2dw q x xEI ldx

= + C Expresia rotirii

4 3

12 12 6q x x

2EIw l C x C

= + + Expresia sgeii

Condiiile de rezemare sunt: -Pentru x=0 ( )

10 0w x w= = =

-Pentru x=l ( )2

0w x l w= = = Cu aceste condiii, valorile constantelor de integrare sunt:

3

1 24qlC = i .

20C =

Sgeata maxim se afl la mijlocul grinzii; se nlocuiete (2lx = ) n

expresia sgeii:

Incovoierea barelor drepte 222

4 3

3

max

2 22 2 12 6 24

l ll q ql lEIw x EIw l

= = = + 2

4

max

524

qlwEI

= Rotirea fibrei medii are valori maxime n cele dou reazeme:

( ) ( ) 41 20 24qlx x l

EI = = = = = =

Pentru schemele simple de ncrcare din Fig. 8.27 i 8.28 sunt date doar valorile maxime pentru rotire i sgeat, obinute prin integrarea direct a ecuaiei difereniale a fibrei medii deformate. Constantele de integrare se obin prin impunerea condiiilor de rezemare (schema din Fig. 8.27) i prin impunerea att a condiiilor de rezemare ct i a condiiilor de continuitate (schema din Fig. 8.28). Rezultatele pentru poziia sgeii maxime corespunztoare celor dou scheme (Fig. 8.27 i Fig. 8.28) arat c ntr-un calcul practic, n cazul unei grinzi ncrcate cu fore de acelai sens, situate ntre cele dou reazeme ale grinzii, sgeata la mijlocul grinzii poate fi acceptat n mod aproximativ ca sgeat maxim a grinzii.

Fig. 8.27

Rotirile n reazeme:

01 3

M lEI

= 0 12 6 2

M lEI

= = Sgeata maxim ( )0.423x l

20

max 9 3

M lw

EI=

Fig. 8.28

Rotirile n reazeme: 2

1 2 16Fl

EI = = Sgeata maxim ( )0.577x l

3

max 48Flw

EI=

Incovoierea barelor drepte 223

8.5.3 Metoda parametrilor iniiali

Un algoritm mai simplu care elimin necesitatea scrierii condiiilor de continuitate n punctele de frontier dintre regiuni, reprezentnd n acelai timp o sistematizare a etapelor de rezolvare, se obine n metoda parametrilor iniiali. Parametrii iniiali n aceast metod sunt sgeata i rotirea n originea aleas (care sunt i singurele constante de integrare); parametrii n origine sunt deci sgeata n origine notat w0 i rotirea n origine notat 0. n metoda parametrilor iniiali se pornete de la ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate, n care pentru momentul ncovoietor se scrie o singur expresie valabil pentru ntrega grind, oricte regiuni ar avea aceasta.

S urmrim algoritmul metodei pe un caz general, n care o bar este acionat de mai multe ncrcri de acelai tip i anume: de momente concentrate Mi n seciunile , de forele concentrate F0ia > j n seciunile

i de ncrcrile uniform repartizate de intensitate q0j

b > k aplicate pe intervalele ( ),k kx c d 0 > (Fig. 8.29 a ) .

Incovoierea barelor drepte 224

Fig. 8.29

Pentru cuplurile exterioare Mi s-a considerat ca sens pozitiv sensul orar, iar pentru forele Fj i qk , sensul axei z (descendent).

Se pornete de la ecuaia diferenial aproximativ a fibrei medii deformate:

2

2y i

d wEI Mdx

y

Expresia momentului ncovoietor este:

( ) ( ) ( ) ( )( )

20

0 0

2

2!

2!

kiy i i j j k

i j k

kk

k

x cM x M T x M x a F x b q

x dq

= + +

+

+

(8.17) Ultimul termen din expresia momentului ncovoietor se refer la

contraponderea sarcinii distribuite pe regiunea pe care ea este extins pn la captul grinzii, extindere realizat datorit modalitii de scriere a unei expresii unice a momentului ncovoietor pentru ntreaga grind (Fig. 8.29 b).

Incovoierea barelor drepte 225

Expresia rotirii este:

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

0 00

3 3

2! 2!

3! 3!

jjii

i jy y y y

k kk k

k ky y

x bFM T Mxx x x aEI EI EI EI

x c x dq qEI EI

= +

+

(8.18)

Expresia sgeii:

( ) ( ) ( )( ) ( )

322 3

0 00 0

4 4

2! 3! 2! 3!

4! 4!

jjii

i jy y y y

k kk k

k ky y

x bFx aM T Mx xw x w xEI EI EI EI

x c x dq qEI EI

= + +

+

(8.19) Expresia forei tietoare este:

(8.20) ( ) ( ) ( ) (00 j j k k kj k k

T x T F x b q x c q x d= + )kForele exterioare care apar pe bar (inclusiv reaciuni) intervin n

expresiiile sgeii i rotirii din seciunile situate n dreapta celei n care acioneaz. Relaiile (8.18) i (8.19) se pot considera valabile pe toat lungimea barei, reinnd convenia ca termenii din sum s se adauge numai dac monoamele ( ) ( ),i jx a x b au valori strict pozitive.

Pentru a putea utiliza aceast regul, sunt menionai n expresiile momentului ncovoietor i forei tietoare monomul ( ) ( ),i jx a x b la puterea zero.

In aplicaii, se poate utiliza i separarea intervalelor de variaie ale

eforturilor secionale prin bare verticale (a se urmri primul exemplu de calcul de la metoda parametrilor iniiali).

Algoritmul general de rezolvare al unei probleme cu metoda

parametrilor iniiali pentru bara static determinat sau nedeterminat, conine urmtoarele etape:

Incovoierea barelor drepte 226

(a) analiza structurii statice i stabilirea condiiilor pe care sgeata i derivata sa (rotirea) urmeaz s le satisfac la extremitile barei i n reazemele intermediare;

(b) suprimarea legturilor cu terenul din reazeme intermediare (dar nu i reazemele de la extremiti) i introducerea reaciunilor necunoscute;

(c) scrierea expresiilor generale ale sgeii i rotirii pentru ntreaga grind n funcie de ncrcrile exterioare (aciuni i reaciuni intermediare) utiliznd relaiile de tip (8.17) pn la (8.20);

(d) prin impunerea condiiilor (a), se obine un sistem algebric avnd ca necunoscute parametrii iniiali i reaciunile intermediare;

(e) rezolvarea sistemului i stabilirea expresiilor deplasrilor pe intervale (la care se pot aduga eforturile pe intervale), cu ajutorul relaiilor (8.17) pn la (8.20).Acestea rezult numai din ncrcrile exterioare i din geometria barei, deoarece dup rezolvarea sistemului (d) toate valorile necunoscutelor depind doar de ncrcrile cunoscute i de dimensiunile barei.

Rezult c n rezolvare nu este neaprat necesar o etap distinct n care s se rezolve static bara (reaciuni i eforturi), fapt care este deosebit de important n cazul sistemelor static nedeterminate. Totui, atunci cnd este posibil (la sistemele static determinate) este indicat s se calculeze ntr-o prim etap reaciunile i eforturile, deoarece acest etap simplific calculele datorit faptului c d posibilitatea precizrii de la nceput a cel puin doi parametri iniiali (T0 i M0).

Metoda parametrilor iniiali este o metod simpl cu ajutorul creia se pot determina rotiri i sgei pentru bare cu rigiditate constant la ncovoiere, solicitate prin scheme complexe de ncrcare.

8.5.3.1 Aplicaii

1. Pentru grinda cu ncrcrile i dimensiunile din Fig. 8.30 se cere

s se scrie expresiile deformaiei unghiulare (rotirii) i sgeii n general i s se calculeze valorile lor n punctul 3.

Rezolvare: Bara din Fig. 8.30 este static determinat. Este recomandabil s se

calculeze reaciunile din legturi nainte de a se aplica metoda parametrilor iniiali.

( ) ( ) ( ) ( )21 2

0 : 2 2 2.5 2 0M qa a q a a qa a qa V a= + = Rezult

2

32

V q= a

Incovoierea barelor drepte 227

( ) ( ) ( ) ( )22 1

0 : 2 2 2 0.5 0M V a qa a qa a qa qa a= + + = Rezult

1

12

V = qa . Reaciunea V1 are sensul contrar celui presupus iniial (sensul considerat este cel al vectorului reprezentat cu linie ntrerupt).

Fig. 8.30

Expresia momentului ncovoietor considernd originea n articulaia 1 este:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

3213

202

24

1 3 22 2 2

22

i

xM x qa x q qa x a qa x

x aqa x a q

= + +

a

Pentru a putea urmri cu uurin expresiile momentelor ncovoietoare corespunztoare intervalelor de variaie de pe bar, acestea au fost separate prin bare verticale (s-ar fi putut renuna la delimitatea intervalelor folosind pentru identificare doar monoamele care apar). Deasemenea a fost nlocuit scrierea cu factoriale cu valorile acestora.

Expresia general a rotirii:

( ) ( )

( ) ( )

2 22 3

013 32

32

24

21 32 2 6 2 2 2

26

x a xdw x xEI EI qa q qa qadx

x aqa x a q

= + +

+ +

a

Expresia general a sgeii:

Incovoierea barelor drepte 228

( )

( ) ( ) ( )

33 4

0 013 32

3 2 42

24

12 6 24 6

2 232 6 2 24

x ax xEIw EIw EI x qa q qa

x a x a x aqa qa q

= + + +

+ +

Constantele de integrare 0

EI i 0

EIw se determin impunnd condiiile de rezemare n expresia general a sgeii: -Pentru x=0 Rezult: ( )

00w x w= = = 0

00EIw =

-Pentru x=2a ( )2w x a= = 0 adic: ( ) ( ) ( ) ( )

3 4

0

2 212 0 22 6 24

aEIw a EI a qa q= = + + a Rezult

3

0 12qaEI =

Rotirea n punctul 3 se obine nlocuind n relaia general a rotirii pe x=a:

( ) ( ) ( ) ( )2 33

3

1 012 2 2 6

a aqaEI x a EI a qa q = = = + = rezult c rotirea n punctul 3 este zero. Sgeata n punctul 3 se obine nlocuind n relaia general a sgeii pe x=a:

( ) ( ) ( ) ( )3 43

3

112 2 6 24

a aqaEIw x a EIw a qa q= = = + rezult 4

3 24qaw

EI=

Deplasarea transversal se va face n jos (w3 este pozitiv) iar tangenta la poziia deformat a barei este paralel cu axa nedeformat a barei (3=0). 8.5.4 Calculul deplasrilor prin suprapunere de efecte

In cazul ncrcrilor complexe, cnd pe grind se gsesc mai multe sarcini, principiul suprapunerii efectelor permite s se utilizeze relaiile de calcul ale strilor simple date n multe manuale inginereti. Pe baza principiului suprapunerii efectelor, starea complex de ncrcare poate fi considerat ca fiind format din suma mai multor stri simple (cu rezultate date n manuale). Astfel, deplasarea din dreptul unei seciuni se obine prin nsumarea deplasrilor corespunztoare strilor simple din dreptul aceleiai seciuni. Metoda suprapunerii efectelor este valabil n limitele valabilitii legii lui Hooke, a crei consecin este principiul suprapunerii efectelor. Aceast metod permite o rezolvare rapid a problemelor, ea putnd fi

Incovoierea barelor drepte 229

aplicat la toate solicitrile simple i compuse, indiferent de numrul sarcinilor aplicate. Pentru exemplificare s urmrim aplicaia urmtoare:

S se calculeze sgeata n punctul 3 la grinda din Fig. 8.33 (a) dac 2qlF = .

Se consider rigiditatea la ncovoiere constant.

Fig. 8.33

Rezolvare: Se aplic principiul suprapunerii efectelor ntre: - , sgeata n 3 datorat sarcinii F (Fig. 8.33 (c));

3w

- , sgeata n 2, datorit sarcinii uniform distribuite (Fig. 8.33 (b)); 3

w - , sgeata n 3, provenit din rotirea seciunii 2 cu unghiul

3w 2, n

urma aplicrii sarcinii uniform distribuite (Fig. 8.33 (b)).

3

3 3FlwEI

= ;

4

4

3

28 128

lqqlw

EI EI

= = ;

2

3

2

26 48

lqql

EI EI

= = ; 3 4

3 2 2 48 2 96l ql l qlw

EI EI = = =

3 4 4

3 3 3 3

713 128 96 192Fl ql ql Flw w w wEI EI EI EI

= + + = + + =3

cu 2qlF = .

Observaie: Formulele de calcul pentru sgeile intermediare i pentru rotirea n punctul 2 se pot stabili cu uurin aplicnd integrarea direct a ecuaiei difereniale aproximative a fibrei medii deformate.