Capitolul 3

DREAPTAPROBLEME.

3.1. Probleme rezolvate

Epură, urme, intersecţia cu plane bisectoare

3.1.1. Să se reprezinte în dublă proiecţie ortogonală dreapta D(d, d’), dată de punctele A(46, 26, 34) şi B(17, 15, 10). Să se reprezinte punctul M de depărtare 18 mm, respectiv punctul N de cotă 30mm, astfel încât ambele să aparţină dreptei D(d, d’).

Fig.3.1.1. Reprezentarea dreptei. Puncte pe dreaptă.

Rezolvare (Fig. 3.1.1.): Se reprezintă în dublă proiecţie punctele A(a, a’) şi B(b, b’). Unind proiecţiile orizontale a şi b se obţine proiecţia orizontală a dreptei d, respectiv unind proiecţiile verticale a’ şi b’ se obţine proiecţia verticală a dreptei d’. Pentru a reprezenta punctul M de pe dreaptă, se duce o paralelă la linia de pământ la depărtarea de 18mm şi la intersecţia cu proiecţia orizontală d se obţine m. Cu linie de ordine din m se obţine m’ pe d’. Similar, pentru a reprezenta N pe dreaptă, se duce o paralelă la Oz la cota de 30 mm care taie d’ în n’. Cu linie de rapel rezultă n pe d.

3.1.2. Se dă dreapta (D) prin punctele A(36, 14, 8) şi B(22, 7, 20). Să se reprezinte urmele dreptei şi să se specifice diedrele străbătute de dreapta (AB).

Rezolvare (Fig.3.1.2.): Se reprezintă în triplă proiecţie punctele A(a, a’, a’’) şi B(b, b’, b’’), rezultând astfel proiecţiile (d, d’, d’’) ale dreptei. Urmele dreptei reprezintă punctele în care dreapta înţeapă planele de proiecţie după cum urmează: H(h, h’, h’’) este urma orizontală, V(v, v’, v’’) este urma verticală şi W(w, w’, w’’) este urma laterală. In epură, la intersecţia d’ cu linia de pământ se obţine h’ şi cu linie de ordine hd. Intersecţia proiecţiei orizontale d cu Ox ne dă urma v, iar cu linie de ordine se obţine v’d’. De asemeni, d intersectat cu Oy (sau prelungirea) dă urma laterală w, respectiv d’ intersectat cu Oz dă w’. Proiecţiile laterale ale urmelor h’’, v’’ şi w’’ se obţin aplicând regulile de reprezentare a punctelor (conţinute în planele de proiecţie), în triplă proiecţie. Observăm că h, v, wd; h’, v’, w’d’ respectiv h’’, v’’, w’’d’’.

Geometrie descriptivă. Teorie, aplicaţii, teste.

Fig.3.1.2. Urmele dreptei şi diedrele străbătute de dreaptă.

În cazul cel mai general o dreaptă străbate 3 diedre. Între urmele H(h, h’) si V(v, v’) este un diedru, în stânga lui (h, h’) alt diedru, iar în dreapta lui (v, v’) alt diedru. Alegând câte un punct arbitrar în cele trei poziţii menţionate, în funcţie de semnul depărtării şi al cotei se stabileşte diedrul parcurs de dreaptă. Pentru cazul studiat, acestea s-au indicat în Fig. 2.1.2.

3.1.3. Se dă dreapta D(d, d’) definită de urmele H(40, 10, 0) şi V(62, 0, -21). Să se determine urma laterală a dreptei W(w, w’, w’’) şi punctele de intersecţie ale dreptei cu planele bisectoare I şi K. Să se specifice diedrele străbătute de dreaptă.

Fig.3.1.3. Urmele dreptei şi intersecţia cu planele bisectoare.

34

Capitolul 3. Dreapta.

Rezolvare (Fig.3.1.3.): Se reprezintă punctele date şi proiecţiile dreptei, adică prin v şi h va trece d, iar v’ şi h’ va defini d’. După procedura anterior explicată va rezulta proiecţia laterală a dreptei d’’ şi urma laterală. Punctul I(i, i’) de intersecţie al dreptei (D) cu planul bisector BI-III se obţine în unul din modurile următoare:

în h’ se construieşte simetricul proiecţiei d’ faţă de Ox care intersectează d în i; i’ rezultă cu linia de ordine pe d’;

în v se construieşte simetricul proiecţiei d faţă de Ox care taie pe d’ în i’; i rezultă cu linie de rapel pe d.

Punctul K(k, k’) în care dreapta (D) înţeapă planul bisector BII-IV se obţine la intersecţia proiecţiei orizontale şi verticale, astfel încât kk’. În Fig. 2.1.3. s-au stabilit funcţie de semnul coordonatelor, diedrele parcurse de dreaptă.

3.1.4. Să se determine urmele următoarelor drepte particulare – paralele cu planele de proiecţie – şi intersecţia lor cu planele bisectoare: a) orizontala (AB) A(25, 6, 10), B(8, 22, 10); b) frontala (AB) A(22, 20, 8), B(5, 20, 30); c) dreapta de profil (AB) A(15, 10, 28), B(15, 30, 11).

Fig.3.1.4.Determinarea urmelor şi a punctelor de intersecţie cu planele bisectoare a dreptelor paralele cu planele de proiecţie.

35

Geometrie descriptivă. Teorie, aplicaţii, teste.

Rezolvare (Fig. 3.1.4.): În Fig. 3.1.4.a s-a reprezentat orizontala (AB). Deoarece, orizontalele sunt paralele cu planul [H], acestea nu vor intersecta planul orizontal de proiecţie, deci vom avea numai urmă verticală şi laterală.

În Fig. 3.1.4.b s-a reprezentat frontala (AB), care evident nu va intersecta planul vertical de proiecţie, fiind paralel cu aceasta, deci urma verticală este aruncată la infinit. Intersecţia cu planele bisectoare se determină ca şi în cazul dreptelor oarecare.

În Fig.3.1.4.c s-a reprezentat dreapta de profil (AB). Aceasta fiind paralelă cu planul [W], urma W(w, w’, w’’) va fi aruncată la infinit. În acest caz, intersecţia dintre dreapta de profil şi planul bisectoarelor I-III rezultă în proiecţia laterală, respectiv i’’, iar apoi cu linie de ordine pe proiecţiile corespunzătoare ale dreptelor se obţine i, i’.

Poziţia relativă a două drepte

3.1.5. Se dă dreapta () definită de punctele A(40, 16, 7) şi B(8, 32, 32) şi punctul M(15, 10, 15), exterior dreptei. Se cere să se construiască prin M o dreaptă (D1) concurentă cu () şi o dreaptă (D2) paralelă la ().

Fig. 3.1.5.Construcţia unei drepte concurente şi a unei paralele, printr-un punct exterior M(m,m’).

Rezolvare (Fig. 3.1.5.): S-a reprezentat în triplă proiecţie ortogonală punctul M şi dreapta (, ’, ’’). Vom trasa prin m’ o proiecţie d1’ aleatoare; la intersecţia proiecţiilor ’ şi d’1, se obţine proiecţia verticală i’ a punctului de concurenţă. Cu linie de ordine din i’ pe se obţine proiecţia orizontală i, respectiv pe d’’ se obţine i’’. Pentru construcţia unei paralele prin M la dreapta () se ştie că două drepte sunt paralele dacă proiecţiile de acelaşi tip sunt paralele. Astfel, se duce d2 prin m, d’2 ’ prin m’, respectiv d2’’ ’’ prin m’’.

3.1.6. Se dă dreapta (, ’) prin punctele A(10, 10, 38) şi B(50, 20, 8) şi punctul M(15, 10, 15) exterior dreptei. Să se construiască prin M o dreaptă disjunctă cu dreapta ().

Rezolvare (Fig. 3.1.6.): S-au reprezentat în dublă proiecţie punctele A şi B care definesc dreapta şi punctul M. O dreaptă disjunctă cu o dreaptă dată, nu va fi nici concurentă, nici paralelă cu aceasta. Astfel se duce proiecţia verticală d’ prin m’ şi i’, iar proiecţia orizontală d prin m şi k. Proiecţiile i’ şi k nu se vor găsi pe aceeaşi linie de ordine.

36

Capitolul 3. Dreapta.

Fig. 3.1.6.Construcţia unei drepte disjuncte faţă de o dreaptă dată.

3.1.7. Se dă dreapta (D) prin punctele A(49, 28, 13) şi B(15, 50, 40). Să se ducă prin punctul M(24, 21, 20) exterior o orizontală (G), o frontală (F) şi o dreaptă de profil () concurentă cu (D).

Fig. 3.1. 7.Construcţia unor drepte paralele cu planele de proiecţie, concurente cu o dreaptă dată.

Rezolvare (Fig. 3.1.7.): S-au reprezentat în triplă proiecţie punctele A şi B care definesc dreapta (d, d’, d’’) şi punctul M. La cota punctului M, respectiv prin m’ se duce o paralelă la linia de pământ care întâlneşte proiecţia d’ în 1’. Punctul (1, 1’, 1’’) reprezintă punctul de concurenţă dintre (G) şi (D). Astfel, 1 şi 1’’ se obţin cu linie de ordine pe d, respectiv d’’. Punctul (m, m’, m’’) şi punctul (1, 1’, 1’’) definesc complet orizontala (G). Cunoaştem prin definiţie că o frontală este o dreaptă de depărtare constantă. Deci, prin m

37

Geometrie descriptivă. Teorie, aplicaţii, teste.

vom duce o paralelă la linia de pământ care intersectează dreapta d în punctul 2. Acesta este punctul de concurenţă al frontalei (F) cu dreapta (D), astfel încât proiecţiile 2’, 2’’ se obţin cu linii de origine pe d’, respectiv d’’. Unind proiecţiile m şi 2, m’ şi 2’, m’’ şi 2’’ obţinem proiecţiile f, f’, f’’. Dreapta de profil este o dreaptă de abscisă constantă. Prin m, respectiv m’ se duce o perpendiculară pe linia de pământ (paralelă la axa verticală) obţinând proiecţia orizontală , respectiv verticală ’ a dreptei de profil. Proiecţiile , ’ intersectează proiecţiile d, d’ în punctul (3, 3’) care reprezintă punctul de concurenţă al acestor drepte. Cu linie de ordine se obţine 3’’ pe d’’. Proiecţia laterală ’’ va fi definită de m’’ şi 3’’.

Adevărata lungime a unui segment de dreaptă. Perpendiculara pe o dreaptă.

2.1.8. Se dă segmentul de dreaptă (AB). Să se determine adevărata mărime a segmentului (AB) şi unghiurile , pe care le face segmentul (AB) cu planele de proiecţie. a) A(46, 15, 8); B(21, 30, 22); b) A(52, 7, 22); B(22, 24, 10).

Fig. 3.1.8. Adevărata mărime a unui segment

Rezolvare (Fig. 3.1.8.): Un segment paralel cu un plan de proiecţie se proiectează în adevărată mărime pe acel plan. Dacă segmentul are o poziţie oarecare faţă de planul de proiecţie atunci se reconstituie trapezul din spaţiul cuprins între segment, proiectante şi proiecţie.

Astfel, în epură, în fig.3.1.8.a, pe perpendiculara în a s-a măsurat cota punctului A, respectiv pe perpendiculara în b s-a măsurat cota punctului B. Prin unirea extremităţilor astfel obţinute, se obţine A0B0 adevărata mărime a segmentului (AB) în spaţiu. O altă modalitate de obţinere a adevăratei mărimi a segmentului A0B0 este prin măsurarea pe perpendicularele în a’, b’ a depărtărilor punctelor A şi B.

În aplicaţii, se utilizează evident, una dintre variante. Se observă că prin trasarea unei paralele la proiecţia orizontală se obţine unghiul pe care îl face segmentul (AB) cu [H], respectiv ducând o paralelă la proiecţia verticală d’ se obţine unghiul pe care îl face segmentul (AB) cu [V]. Aceasta se numeşte regula trapezului. În fig. 3.1.8.b, s-a folosit regula triunghiului. Pe perpendiculara în a pe ab s-a măsurat diferenţa de cote a punctelor

38

Capitolul 3. Dreapta.

A şi B, obţinându-se adevărata mărime a segmentului A0B0 şi unghiul pe care segmentul îl face cu [H].

În funcţie de opţiune, se poate determina adevărata mărime a segmentului ridicând o perpendiculară în b’ pe a’b’ de lungime egală cu diferenţa depărtărilor punctelor B şi A. Între proiecţia verticală şi A0B0 se măsoară unghiul pe care îl face segmentul (AB) cu [V].

3.1.9. Să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M la dreapta (AB) în următoarele cazuri: a) A(58, 20, 15); B(22, 8, 15); M(38, 27, 30); b) A(54, 24, 37); B(14, 24, 12); M(46, 11, 17); c) A(20, 38, 6); B(20, 10, 26); M(38, 10, 10).

Fig. 3.1.9. Distanţa de la un punct la o dreaptă.

Rezolvare (Fig.3.1.9.): Distanţa de la un punct la o dreaptă este de la acel punct pe dreaptă. Un unghi se proiectează în adevărată mărime dacă ambele laturi ale acestuia sunt paralele cu planele de proiecţie. În cazul unghiului drept, acesta se conservă dacă una din laturi este paralelă cu un plan de proiecţie.

Astfel, în fig.3.1.9.a s-a reprezentat orizontala (AB) şi punctul M, având coordonatele de la subpunctul a. În acest caz unghiul drept va fi nedeformat în proiecţie orizontală, deoarece latura ab este proiectată în adevărată mărime. Ducem din m, o perpendiculară pe

39

Geometrie descriptivă. Teorie, aplicaţii, teste.

(ab) şi se obţine piciorul perpendicularei p, care, fiind punct de concurenţă, se ridică cu linie de ordine pe (a’b’) obţinându-se p’. Distanţa de la punctul M la dreapta (AB) este segmentul MP’(mp, m’p’), a cărui adevărată mărime s-a determinat prin regula triunghiului, aplicat în proiecţie verticală.

În fig.3.1.9.b observăm că (AB) este o frontală astfel încât unghiul drept se va conserva în proiecţie verticală. Ducem m’p’ perpendicular pe a’b’, iar p se obţine cu linie de ordine pe ab. Pentru a nu se crea confuzii, adevărata mărime M0P0 s-a determinat în proiecţie orizontală.

În fig. 3.1.9.c dreapta (AB) este o dreaptă de profil, paralelă cu [W], astfel încât unghiul drept se va proiecta în adevărata mărime în proiecţie laterală. În acest caz problema se rezolvă în triplă proiecţie. Astfel, se trasează perpendiculara m”p” pe a”b”, iar apoi se revine cu linii de ordine pentru a obţine p pe ab, respectiv p’ pe a’b’. Adevărata mărime a distanţei M0P0 se poate determina în proiecţie verticală sau orizontală cu una din regulile explicate la problema 3.1.8. În acest caz s-a aplicat regula triunghiului în proiecţie orizontală.

3.1.10. Se dă dreapta D(d, d’) prin proiecţii şi punctul M(22, 6, 8) exterior dreptei. Să se ducă prin punctul M o dreaptă (, ’) concurentă şi perpendiculară pe dreapta oarecare (D).

Fig. 3.1.10. Construcţia unei drepte perpendiculare şi concurente cu o dreaptă dată.

Rezolvare (Fig. 3.1.10.): Prin punctul M(m, m’) se duce orizontala (MA) şi frontala (MB) concurente cu dreapta oarecare (D). Se determină triunghiul MAB în care putem construi înălţimile B2 ştiind că b2 este perpendicular pe am, respectiv A1, cu menţiunea că a’1’ perpendicular pe b’m’. Se obţine astfel punctul I(i, i’) care este ortocentrul triunghiului MAB.

Prin punctele M şi I se construieşte a treia înălţime a triunghiului care reprezintă soluţia problemei. Se observă că (MI) este concurentă cu (AB) în punctul 3, iar condiţia de perpendicularitate este evidentă.

40

Capitolul 3. Dreapta.

3.2. Probleme propuse

3.2.1. Să se reprezinte în triplă proiecţie ortogonală dreapta D(d, d’, d’’) dată de punctele A şi B. Să se determine urmele H(h, h’, h’’), V(v, v’, v’’), W(w, w’, w’’), punctele I şi K în care dreapta înţeapă planele bisectoare. Să se specifice pe epură diedrele străbătute de dreapta:

a) A(15, 10, 20); B(70, -65, 50); b) A(50, 5, -40); B(15, 25, 0); c) A(15, -10, -20); B(70, 65, -50).

3.2.2. Prin punctul M să se construiască o orizontală (G), o frontală (F) si o dreaptă de profil () concurente cu dreapta (D) definită de punctele A şi B:

a) M(35, 25, 10); A(20, 60, 40); B(70, 5, 5);b) M(15, -15, -15); A( 50, 5, -40); B(15, 25, 0); c) M(0, 15, 10); A(0, 25, 5); B(30, 10, 25).

3.2.3. Să se determine urmele dreptei (AB) şi punctele I şi K în care dreapta înţeapă planele bisectoare:

a) A(10, 5, 15); B(45, 25, 15); b) A(45, 10, 15); B(10, 10, 25);c) A(20, 60, 50); B(20, 20, 10).

3.2.4. Se dă punctul M exterior dreptei (AB). Se cere să se determine adevărata mărime a distanţei de la punctul M la dreapta (AB):

a) A(20, 60, 30); B(70, 15, 30); M(25, 20, 40); b) A(5, 30, 10); B(40, 30, 50); M(20, 50, 10); c) A(15, 5, 55); B(15, 55, 5); M(30, 0, 0).

3.2.5. Reprezentaţi un segment de dreaptă de lungime 30 mm din toate tipurile de drepte particulare (paralele cu planele de proiecţie, respectiv perpendiculare pe planele de proiecţie).

3.2.6. Să se determine urmele H(h, h’, h’’), V(v, v’, v’’), pentru dreptele reprezentate în epurele de mai jos. Să se specifice pe epură diedrele străbătute de drepte:

41

Geometrie descriptivă. Teorie, aplicaţii, teste.

TEST.

42