1

CAPITOLUL 1

CARACTERIZAREA SISTEMELOR DISCRETE, LINIARE, INVARIANTE N TIMP N

DOMENIUL FRECVEN Obiectul capitolului de fa]\ `l constituie caracterizarea sistemelor discrete, liniare, invariante n timp (SDLIT) `n domeniul frecven]\. Se va ar\ta c\ un astfel de sistem este caracterizat `n domeniul frecven]\ de transformata Fourier a r\spunsului s\u la impuls. Aceast\ caracterizare conduce la opinia conform c\reia un SDLIT ac]ioneaz\ ca un filtru asupra diferitelor componente de frecven]\ ale intr\rii. n acest demers, semnalele de excitaie sunt exponenialele complexe i semnalele armonice. Caracterizarea SDLIT `n domeniul frecven]\ este realizat cu ajutorul unei func]ii de variabil\ , notat )(H i numit\ r\spuns `n frecven]\, care este `n leg\tur\ cu func]ia de sistem )(zH [i r\spunsul la impuls [ ]nh al sistemului [63]. R\spunsul `n frecven]\ caracterizeaz\ complet SDLIT [i permite determinarea r\spunsului sistemului la semnale de intrare care pot fi exprimate cu ajutorul semnalelor exponen]iale complexe [i armonice.

1.1. R\spunsul SDLIT la semnale exponen]iale complexe [i armonice

R\spunsul oric\rui SDLIT la un semnal de intrare arbitrar ][nx este dat de suma de convolu]ie [63]

[ ] [ ] [ ]

=

=k

knxkhny (1.1)

~n aceast\ rela]ie sistemul este caracterizat `n domeniul timp de r\spunsul la impuls [ ]{ }Znnh , .

2

Se presupune c\ sistemul este excitat de semnalul exponen]ial complex

ZneAnx nj = ,][ 0 (1.2) unde A este amplitudinea [i 0, frecven]a unghiular a semnalului discret de intrare din intervalul fundamental [ ] , . ~nlocuind (1.2) `n (1.1), se ob]ine

[ ] [ ] ( )[ ] [ ] njk

kj

k

knj eekhAeAkhny 000

==

=

=

(1.3)

Termenul din parantez\ din rela]ia (1.3) este transformata Fourier )(H a r\spunsului la impuls [ ]kh al sistemului

[ ]

=

=k

kjekhH )( (1.4)

evaluat la frecvena unghiular 0, a semnalului de intrare, adic

[ ]

=

=k

kjekhH 0)( 0 (1.4)

Func]ia H() exist\ dac\ sistemul este stabil `n sens MIME

(Mrginit la Intrare Mrginit la iEire) [63], adic\ dac\ [ ]

3

[ ] ( ) [ ]nunh n21= (1.6) dac\ semnalul de intrare este [ ] ZneAnx nj = ,2/ .

Solu]ie.

[ ] jn

njn

n

nj

eeenhH

=

=

=

==

21

0 11

21)( (1.7)

La 2/ = , (1.7) devine

( ) =+

= 6,26212 5

21

1 jej

H

[i secven]a de ie[ire este

[ ] ( ) ZneAeeAny njnjj =

= ,

52

52 6,26226,26 (1.8)

Se observ\ c\ singurul efect al sistemului asupra semnalului de intrare const\ `n scalarea amplitudinii cu 52 [i defazarea cu 26,6. Semnalul de ie[ire este, deci, o exponen]ial\ complex\ de frecven]\ /2, aceeai cu a semnalului de intrare, amplitudine 52A [i faz\ 26,6.

Dac\ se modific\ frecven]a semnalului de intrare, se schimb\ efectul sistemului asupra intr\rii [i, implicit, ie[irea. De exemplu, dac\ semnalul de intrare este o exponen]ial\ complex\ de frecven]\ , adic\

[ ] njeAnx = (1.9) atunci, la = ,

32

11)(

21

=

= jeH

[i ie[irea este [ ] ZneAny nj = ,32 (1.10)

Se observ\ c\ )(H este real, deci ie[irea este intrarea scalat\ cu 32)( =H [i nedefazat\.

~n general, H() este o func]ie complex\ de variabil\ , care poate fi exprimat\ `n coordonate polare, sub forma

)()()( jeHH = (1.11) Trecerile prin zero ale funciei de transfer conduc la salturi de faz de radiani, aa nct )( are discontinuiti n acele puncte. Din acest motiv, rspunsul n frecven se mai exprim sub forma

)()()(,)()()( )()( +=== Rj

Rj HeHeHH (1.11)

4

Deoarece H() caracterizeaz\ r\spunsul sistemului `n domeniul frecven]\, acesta se nume[te r\spunsul `n frecven]\ al sistemului. M\rimea )(H se nume[te r\spunsul de amplitudine sau de modul [i este modulul transformatei Fourier a r\spunsului la impuls, iar () = H() se nume[te r\spuns de faz\ [i este faza asociat\ transformatei Fourier H() a r\spunsului la impuls. Uneori, transformata Fourier mai este cunoscut\ sub numele de spectru Fourier sau, mai simplu, spectru, motiv pentru care se mai `ntlne[te terminologia de spectru de amplitudine sau de modul pentru a face referire la )(H [i spectru de faz\ pentru (). Uneori modulul este reprezentat logaritmic sub forma

2

1010 )(log10)(log20)( HHH dB == (1.12) Faza () din rela]ia (1.11) nu este unic determinat\, deoarece prin ad\ugarea oric\rui multiplu `ntreg de 2 la (), valoarea exponen]ialei complexe nu se modific\. Se define[te valoarea principal\ a lui (), notat\ cu ARG[H()], cea cuprins\ `n domeniul fundamental de valori ],[ . Dac faza depete acest interval, datorit periodicitii de 2 a acesteia, este necesar un salt de 2 pentru a o aduce napoi n intervalul fundamental. ~n unele situa]ii este `ns\ util a considera faza ca o func]ie continu\ de , numit\ func]ie total\ de faz\, pentru

5

)]([HARG (1.13) )(2)]([)( rHARGArg += (1.14)

unde r() este un `ntreg care poate fi diferit la diverse valori ale lui . Dac\ `n calculul r\spunsului de faz\ se folose[te valoarea principal\, atunci aceasta va fi o func]ie discontinu\. Discontinuit\]ile introduse de considerarea valorii principale vor consta `n salturi de 2 radiani. O proprietate important\ a lui H() este c\ aceast\ func]ie este periodic\, de perioad\ 2, ceea ce se observ\ din relaia (1.4).

)()2( HmH =+ , unde m este `ntreg oarecare. Rela]ia (1.4) este dezvoltarea `n serie Fourier a lui H(), [ ]kh fiind coeficien]ii dezvolt\rii. ~n consecin]\, r\spunsul la impuls [ ]kh se ob]ine cu rela]ia [63]

[ ] =

d)(21

kjeHkh (1.15)

n care integrarea s-a efectuat pe intervalul fundamental pentru frecvena unghiular discret ],[ . Pentru un SDLIT al c\rui r\spuns la impuls este real, modulul [i faza lui H() au propriet\]i de simetrie, dup\ cum urmeaz\:

[ ] [ ] [ ] ===

=

=

=

kkk

kj kkhjkkhekhH sincos)(

[ ])()(arctg22 )()()()( RI HHjIRIR eHHHjH +=+= (1.16) unde )(RH [i )(IH reprezint\ componenta real\, respectiv imaginar\ a lui )(H , adic\

=

=

=

=

kI

kR

knhH

knhH

sin][)(

cos][)( (1.17)

Se observ\ c\ )()( = RR HH (1.18)

[i )()( = II HH (1.19) adic\ )(RH este o func]ie par\, iar )(IH este impar\. Drept urmare,

)(H este o func]ie par\, iar )()(arctg)(

R

I

HH

= este o func]ie impar\.

6

Cu alte cuvinte, dac\ se cunoa[te )(H [i )( pentru 0 , atunci se cunosc aceste func]ii [i pentru 0 .

Propriet\]ile de simetrie satisf\cute de modulul [i faza lui )(H [i faptul c\ un semnal armonic poate fi exprimat ca suma sau diferen]a a dou\ func]ii exponen]iale complexe scalate corespunztor determin\ ca r\spunsul unui SDLIT la un semnal armonic s\ fie similar cu r\spunsul sistemului la o exponen]ial\ complex\. ~ntr-adev\r, dac\ intrarea este

[ ] njeAnx =1 (1.20) ie[irea este

[ ] njj eeHAny )(1 )(= (1.21) Dac\ intrarea este

[ ] njeAnx =2 (1.22) ie[irea este

[ ] njjnjj eeHAeeHAny == )()(2 )()( (1.23) Aplicndu-se proprietatea de liniaritate pentru SDLIT [63], se poate determina r\spunsul sistemului la semnalul de intrare

[ ] [ ] [ ]( ) nAnxnxnx cos21

21 =+= (1.24)

[ ] [ ] [ ]( ) [ ])(cos)(21

21 +=+= nHAnynyny (1.25)

Similar, dac\

[ ] [ ] [ ]( ) nAnxnxj

nx sin21

21 == (1.26)

r\spunsul sistemului este

[ ] [ ] [ ]( ) [ ])(sin)(21

21 +== nHAnynyjny (1.27)

Din cele prezentate pn\ acum se observ\ c\ H() sau, echivalent, )(H [i )( caracterizeaz\ complet efectul sistemului asupra

semnalului de intrare armonic, de frecven]\ arbitrar\. Dac\ semnalul de intrare este compus din mai multe componente armonice, r\spunsul sistemului se ob]ine cu ajutorul propriet\]ii de superpozi]ie a sistemelor liniare.

7

1.2. R\spunsul de regim permanent [i tranzitoriu al sistemelor discrete, liniare, invariante n timp la semnale de intrare armonice

Pentru a evidenia rspunsurile de regim permanent i tranzitoriu, se consider\ un sistem descris de o ecua]ie cu diferen]e de ordinul `nti, de forma

[ ] [ ] [ ]nxnyany += 1 (1.28) Cunoscut fiind condiia iniial ]1[y pentru sistem, rspunsul acestuia la o intrare ][nx aplicat la 0=n se poate determina recursiv pentru 0n , ca fiind

[ ] [ ] [ ] 0,10

1 += =

+ nknxayanyn

k

kn (1.29)

Se presupune c\ semnalul de intrare este exponen]iala complex\ [ ] 0, = neAnx nj (1.30)

care se aplic\ la momentul 0=n . ~nlocuind (1.30) `n (1.29) se ob]ine

[ ] [ ] [ ] ( )

[ ] 0,11

1

11

)1(11

0

1

0

)(1

+

=

=

+=+=

+++

=

+

=

+

neea

Aeea

eAaya

eeaAyaeaAyany

njj

njj

njnn

njn

k

kjnn

k

knjkn

(1.31)

R\spunsul sistemului este format din r\spunsul tranzitoriu [i r\spunsul permanent. Sistemul descris de (1.28) este stabil n sens MIME, dac 1

8

[ ] [ ] 0,1

1)1(1

1

= ++

+ neea

eaAyany njjnjn

ntr

(1.33)

care descrete la zero pentru n tinznd la infinit. Primul termen al r\spunsului tranzitoriu este r\spunsul de intrare zero al sistemului, `n timp ce al doilea termen se datoreaz\ semnalului exponen]ial de intrare. Se observ c rspunsul de regim tranzitoriu este determinat de sistem, prin parametrul a, semnalul de intrare, njeA , i condiia iniial ]1[y . ~n general, toate sistemele stabile `n sens MIME se comport\ similar atunci cnd sunt excitate cu exponen]iale complexe sau semnale armonice la un moment oarecare de timp finit, adic\ r\spunsul tranzitoriu tinde la zero, r\mnnd numai r\spunsul de regim permanent.

1.3. R\spunsul de regim permanent al SDLIT la semnale de intrare periodice

Se presupune c\ intrarea unui SDLIT stabil este un semnal periodic [ ]nx , de perioad\ fundamental\ N. Att timp ct un astfel de semnal exist\ pentru

9

Acest rezultat implic\ faptul c\ [i r\spunsul sistemului la semnalul de intrare periodic [ ]nx este, de asemenea, periodic, de aceea[i perioad\ N. Coeficien]ii seriei Fourier pentru [ ]ny sunt

1...,1,0,2 =

= Nk

NkHcd kk

(1.39)

~n concluzie, sistemul liniar poate modifica forma semnalului periodic de intrare prin scalarea amplitudinii, poate defaza componentele seriei Fourier, dar nu afecteaz\ perioada semnalului de intrare.

1.4. Rspunsul SDLIT la semnale de intrare aperiodice

~n continuare, se pune problema determin\rii r\spunsului sistemelor discrete, liniare, invariante `n timp la semnale aperiodice de energie finit\, demers `n care va fi folosit\ transformata Fourier pentru semnale discrete. R\spunsul unui SDLIT relaxat (care are condiii iniiale nule) la un semnal de intrare ][nx este dat de suma de convolu]ie dintre semnalul de intrare [i r\spunsul la impuls al sistemului

[ ] [ ] [ ]

==

kknxkhny (1.40)

Aplicnd transformata Fourier rela]iei (1.40), se ob]ine )()()( XHY = (1.41)

Rela]ia (1.41) caracterizeaz\ sistemul `n domeniul frecven]\, ar\tnd c\ spectrul semnalului de la ie[ire este egal cu spectrul semnalului de intrare multiplicat cu r\spunsul `n frecven]\ al sistemului. Rela]ia (1.41) poate fi scris\ `n form\ polar\

[ ])()()()( )()()()()( hxxh jjj eXHeXeHY +== (1.42) ~n consecin]\, modulul [i faza rspunsului Y() se determin\ cu rela]iile

)()()( XHY = (1.43) [i )()()( hxy += (1.44) Semnalul de intrare aperiodic, de energie finit\ are spectrul continuu, iar sistemul discret, liniar, invariant n timp, prin r\spunsul su `n frecven]\, atenueaz\ sau amplific\ unele componente ale semnalului de

10

intrare. Din alura lui )(H se observ\ care componente de frecven]\ sunt atenuate [i care amplificate. Faza lui H() indic\ defazajul pe care `l sufer\ componentele semnalului de intrare. De asemenea, se observ\ c\ ie[irea unui SDLIT stabil nu poate con]ine componente de frecven]\ care nu sunt con]inute `n semnalul de intrare, adic\ sistemul nu poate crea componente noi de frecven]\. ~n figura 1.2 este reprezentat schematic un SDLIT, care este descris de suma de convolu]ie `n domeniul timp, de func]ia de sistem H(z) sau de r\spunsul `n frecven]\ H().

Figura 1.2. Rela]ii intrare ie[ire pentru un SDLIT relaxat,

`n domeniile timp, Z [i frecven]\

Dac\ pentru un astfel de sistem se cunoa[te ie[irea Y() `n domeniul frecven]\, r\spunsul sistemului `n domeniul timp se determin\ cu rela]ia [63]

[ ] =

d)(

21 njeYny , (1.45)

integrarea efectundu-se pe domeniul fundamental al frecvenelor unghiulare discrete. Din (1.43) se ob]ine

222 )()()( XHY = (1.46) sau, echivalent

)()()( 2 xxyy SHS = (1.47) unde )(yyS [i )(xxS reprezint\ densitatea spectral de energie al semnalelor [ ]ny , respectiv [ ]nx , definite de relaiile [34].

2)()( YS yy = (1.48) 2)()( XS xx = (1.48)

Integrnd relaia (1.47) pe domeniul fundamental de frecven, se obine energia semnalului de ie[ire, de forma

11

==

d)()(

21d)(

21 22

xxy SHYE (1.49)

R\spunsul la impuls a L SDLIT conectate `n paralel este dat de [63]

[ ] [ ]=

=L

kk nhnh

1 (1.50)

unde [ ]nhk , k = 1, ... L, este r\spunsul la impuls al sistemelor individuale. Folosind proprietatea de liniaritate a transformatei Fourier, se g\se[te r\spunsul `n frecven]\ al sistemului echivalent

=

=L

kkHH

1)()( (1.51)

unde )(kH este r\spunsul `n frecven]\ corespunz\tor sistemului cu r\spunsul la impuls [ ]nhk . Dac\ cele L SDLIT sunt conectate `n cascad\, r\spunsul la impuls al sistemului echivalent este

[ ] [ ] [ ] [ ]nhnhnhnh L= 21 (1.52) Aplicnd transformata Fourier expresiei (1.52), se ob]ine

)()()()( 21 LHHHH = (1.53) Figura 1.3 ilustreaz\ interconectarea `n paralel [i `n serie a dou\ SDLIT.

Figura 1.3. Conectarea SDLIT `n (a) paralel [i (b) cascad\

12

1.5. Rela]ia `ntre func]ia de sistem [i r\spunsul `n frecven]\ al sistemului Dac\ func]ia de sistem H(z) converge pe cercul unitate, se poate

ob]ine r\spunsul `n frecven]\ al sistemului prin evaluarea lui H(z) pe cercul unitate [63].

nj

nez

enhzHH j

== == ][)()( (1.54)

Pentru cazul `n care H(z) este o func]ie ra]ional\, de forma

=

=

=

=

=

+== N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zp

zzb

za

zb

zAzBzH

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)()()( (1.54)

rezult\

=

=

=

=

=

+= N

k

jk

M

k

jk

N

k

kjk

M

k

kjk

ep

ezb

ea

ebH

1

10

1

0

)1(

)1(

1)(

(1.54)

unde coeficienii { } { }kk ba i sunt reali, iar { } { }kk pz i pot fi m\rimi reale i/sau complexe. Uneori este convenabil a se exprima p\tratul modulului lui H() `n func]ie de H(z).

)()()( *2 HHH = (1.55)

unde )(* H este mrimea complex conjugat a lui )(H . Dac\ H() se exprim\ prin (1.54''), rezult\

=

=

= N

k

jk

M

k

jk

ep

ezbH

1

*

1

*

0*

)1(

)1()(

, (1.56)

adic\ H*() se ob]ine din evaluarea lui H*(1/z*)

=

=

= N

kk

M

kk

zp

zzbzH

1

*

1

*

0**

)1(

)1()/1( (1.56)

pe cercul unitate.

13

Dac\ ]}[{ nh este real sau, echivalent, coeficien]ii { } { }kk ba i sunt reali, polii [i zerourile complexe apar `n perechi conjugate [i H*(1/z*)=H(z-1). ~n consecin]\, H*() = H(-) [i

jezzHzHHHHHH ==== )()()()()()()( 1*2 (1.57)

Conform teoremei de corela]ie pentru transformata Z [63], produsul H(z)H(z-1) este transformata Z a func]iei de autocorela]ie a secven]ei { }][mrhh a r\spunsului la impuls. Conform teoremei Wiener Hincin [34], rezult\ c\ 2)(H este transformata Fourier a lui { }][mrhh . Similar, dac )(/)()( zAzBzH = , expresiile )()()( 1= zBzBzD i

)()()( 1= zAzAzC sunt transformatele Z ale secvenelor de autocorelaie }{ lc i, respectiv, }{ ld , unde

MlMbbd

NlNaac

lM

klkkl

lN

klkkl

=

=

=+

=+

,

,

0

0 (1.58)

Deoarece parametrii sistemului }{ ka i }{ kb sunt reali, secvenele de autocorelaie sunt pare, adic ll cc = i ll dd = , ceea ce permite

exprimarea expresiei 2)(H ca o funcie polinomial n cos :

=

=

+

+= N

kk

M

kk

kcc

kddH

10

10

2

cos

cos)(

(1.59)

inndu-se cont c =

=k

m

mmk

0)(coscos .

Se noteaz\

=

=

== N

kkk

M

kkk

zpzp

zzzzbzHzHzC

1

*1

1

*1

20

**

)1)(1(

)1)(1()/1()()( (1.60)

Dac\ se cunoa[te 2)(H , `nlocuind je cu z se ob]ine C(z). Se

pune problema ce informa]ie se poate ob]ine din C(z) despre H(z). Se

14

observ\ c\ pentru fiecare pol pk al lui H(z), `n C(z) exist\ un pol pk [i unul (pk

*)-1. Similar, pentru fiecare zerou zk al lui H(z), exist\ o pereche de zerouri `n C(z) la zk [i (zk

*)-1. ~n consecin]\, polii [i zerourile lui C(z) apar `n perechi conjugate reciproce, cu un element din fiecare pereche asociat lui H(z) [i unul lui H*(1/z*). Mai mult, dac\ un element din fiecare pereche este `n interiorul cercului unitate, atunci cel\lalt (conjugatul inversat) va fi `n afara cercului unitate. Singura alt\ posibilitate ar fi ca ambele singulariti s\ fie pe cercul unitate, caz n care acestea au ordin de multiplicitate dublu `n aceea[i pozi]ie. Dac\ H(z) caracterizeaz\ un sistem stabil, atunci to]i polii s\i trebuie s\ fie `n interiorul cercului unitate, restric]ie care permite identificarea polilor lui H(z) dintre polii lui C(z). Numai cu aceast\ precizare, zerourile lui H(z) nu pot fi unic determinate dintre zerourile lui C(z).

Exemplul 1.2. Diagrama poli zerouri pentru C(z) este dat\ `n figura 1.4. S\ se

determine polii [i zerourile asociate lui H(z).

Figura 1.4. Diagrama poli - zerouri pentru un C(z) dat

Soluie. Perechile conjugate reciproce de poli [i zerouri pentru

care un element este asociat lui H(z) [i unul lui H*(1/z*) sunt: (p1, p4) (p2, p5), (p3, p6) [i (z1, z4) (z2, z5), (z3, z6). {tiind c\ H(z) corespunde unui sistem stabil [i cauzal, polii se aleg din fiecare pereche astfel `nct s\ fie `n interiorul cercului unitate. Asupra zerourilor nu se fac astfel de

15

restric]ii. Oricum, n cazul n care coeficien]ii { } { }kk ba i sunt reali, polii [i zerourile sunt reali [i/sau complex conjuga]i. ~n consecin]\, zerourile asociate lui H(z) sunt z3 sau z6 [i (z1, z2) sau (z4, z5). Cu considera]iile de mai sus, se observ\ c\, pentru exemplul considerat, exist\ patru sisteme cauzale, stabile, diferite cu trei poli [i trei zerouri pentru care diagrama poli - zerouri a lui C(z) este cea din figura 1.4 [i, echivalent, pentru care r\spunsul de amplitudine este acela[i. Dac\ { } { }kk ba i nu s-ar fi presupus reali, num\rul de variante ar fi fost mai mare. Mai mult, dac\ nu se fac restric]ii asupra num\rului de poli [i zerouri pentru H(z), num\rul de variante pentru H(z) ar putea fi nelimitat. Pentru a ar\ta aceasta, se

presupune c\ H(z) are un factor de forma 1

*1

1

az

az, adic\

1

*1

1 1)()(

=az

azzHzH . Factorul de aceast\ form\ se nume[te factor trece

tot, deoarece are r\spunsul `n amplitudine egal cu unitatea pe cercul unitate. ~n aceste condi]ii

)/1()(1

)/1(1

)()/1()()(

**11

***

11

*1

1**

zHzHza

azzHaz

azzHzHzHzC

=

=

==

(1.61)

adic\ factorul trece tot se anuleaz\ `n C(z) [i prin urmare, nu poate fi identificat din diagrama poli zerouri a lui C(z). ~n concluzie, dac\ num\rul polilor [i zerourilor lui H(z) este nespecificat, atunci pentru C(z) dat, orice alegere arbitrar\ a lui H(z) poate fi cascadat\ cu un num\r arbitrar de factori trece tot, cu polii `n interiorul cercului unitate ( 1

16

=

=

+= N

k

kjk

M

k

kjk

ea

ebH

1

0

1)(

(1.63)

Din (1.63) se observ\ c\ r\spunsul `n frecven]\ H() al sistemului caracterizat de (1.62) depinde numai de coeficien]ii { }ka [i { }kb . Din (1.63) deriv\ dou\ cazuri particulare:

a) Dac\ 0=ka , Nk ...,2,1= , rela]ia (1.63) se reduce la

=

=M

k

kjk ebH

0)( , (1.64)

sistemul fiind cu r\spuns finit la impuls (FIR) [63]. Comparnd (1.53) cu (1.64) rezult\ c\ `n cazul sistemelor FIR exist\ rela]ia

[ ] =

=restn,0

...,1,0, Mnbnh n (1.65)

b) Dac\ Mkbk ...,1,0 == , [i 00 b , sistemul este pur recursiv, cu rspuns infinit la impuls (IIR) i rela]ia (1.63) devine

=

+= N

k

kjk ea

bH

1

0

1)(

(1.66)

O metod\ alternativ\ de evaluare a r\spunsului `n frecven]\ al unui SDLIT, dat de (1.63) este metoda geometric\. Pentru explicarea acestei metode se noteaz\ cu z1, z2, , zM zerourile [i cu p1, p2, , pN polii sistemului liniar invariant `n timp. Cu aceste nota]ii, (1.63) devine

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )Njjj

Mjjj

MNj

pepepezezezeeGH

=

21

21)( (1.67)

unde G=b0 este c[tigul sistemului. ~n continuare, se exprim\ fiecare factor din (1.67) `n form\ polar\

)()( kjkkj eVze = (1.68)

[i )()( kjkkj eUpe = (1.69)

unde ( )kjkkjk zezeV )(,)( (1.70) [i ( )kjkkjk pepeU )(,)( (1.71) Modulul lui H() se ob]ine atunci cu rela]ia

17

)()()()()()()(

21

21

N

M

UUUVVVGH

= (1.72)

Acesta se mai poate calcula `n decibeli, cu relaia

==

+=N

kk

M

kk UVGH

110

11010dB

)(log20)(log20log20)( (1.73)

Faza lui H() este ( )

[ ])()()()()()()(

21

21

N

MMNGH+++

+++++=

(1.74)

Faza termenului de c[tig G este 0 sau , dup\ cum G este pozitiv sau negativ. ~n concluzie, dac\ se cunosc zerourile [i polii func]iei de sistem H(z), se poate evalua r\spunsul `n frecven]\ cu ajutorul rela]iilor (1.72) [i (1.74). Interpretarea geometric\ a m\rimilor din rela]iile (1.72) [i (1.74) rezult\ considernd polul pk [i zeroul zk plasa]i `n punctele A [i B ale planului z, ca `n figura 1.5a.

Figura 1.5. Interpretarea geometric\ a contribu]iei unui pol [i a unui zerou

Fie L punctul de pe cercul unitate corespunz\tor frecven]ei unghiulare . Fie, de asemenea, vectorii AL [i BL cu originea `n pol, respectiv `n zerou [i extremitatea `n punctul L. Din figura 1.5a rezult\

ALCACL += (1.75) BLCBCL += (1.76)

Dar jeCL = , kpCA = [i kzCB = , deci

kj peAL = (1.77)

[i kj zeBL = (1.78)

18

Combinnd rela]iile (1.77) [i (1.78) cu (1.68) [i (1.69), rezult\ )()( kjkk

j eUpeAL == (1.79) )()( kjkk

j eVzeBL == (1.80) Modulul )(kU este lungimea segmentului AL, adic\ distan]a de

la polul kp la punctul L, corespunz\tor lui je , `n timp ce modulul )(kV

este distan]a de la zeroul zk la punctul L. Fazele )(k [i )( k sunt unghiurile vectorilor AL [i BL cu axa

real\ pozitiv\, a[a cum este ilustrat `n figura 1.5b. Aceast\ interpretarea geometric\ este util\ pentru c\ pune `n eviden]\ influen]a pozi]iei polilor [i zerourilor asupra func]iei de transfer a SDLIT. Dac\, de exemplu, un zerou kz [i un pol kp sunt plasa]i pe cercul unitate, ca `n figura 1.6, se observ\ c\ la kz= , )(kV este egal cu zero [i, `n consecin]\, [i )(H devine zero. Similar, la kp= , )(kU devine zero [i )(H , infinit. Evaluarea fazei `n aceste cazuri nu are sens.

Figura 1.6. Un zerou pe cercul unitate determin\ kzH == la0)( [i un pol pe

cercul unitate are ca rezultat kpH == la)( Din cele prezentate pn\ acum se desprind urm\toarele observa]ii:

1. Prezen]a unui zerou `n apropierea cercului unitate va determina ca m\rimea modulului r\spunsului `n frecven]\, la frecven]e corespunz\toare punctelor de pe cercul unitate apropiate de acel punct, s\ fie mic, `n timp ce prezen]a unui pol `n apropierea cercului unitate va avea ca efect o valoare mare a modulului r\spunsului `n frecven]\, la frecven]e apropiate de acel punct. Polii [i zerourile au efecte contrare, astfel `nct plasarea unui zerou `n apropierea unui pol `i atenueaz\ efectul, [i invers. Prin

19

plasarea polilor [i zerourilor se poate determina o varietate de forme pentru )(H [i )(H , lucru exploatat `n proiectarea filtrelor digitale.

2. Singularit\]ile din origine nu afecteaz\ r\spunsul de amplitudine, ci numai pe cel de faz\.

3. R\spunsul de amplitudine este zero numai cnd func]ia de sistem are un zero pe cercul unitate la frecven]a respectiv\.

4. Salturile de faz\ de radiani se produc la fiecare trecere a frecven]ei printr-un zerou aflat pe cercul unitate. Pentru a ar\ta acest lucru, se presupune c\ exist\ un zerou la 0jez = [i fie

= 00 [i +=+

00 , pentru un 0> , suficient de mic, situa]ie redat\ `n figura 1.7. Se observ\ c\ valoarea fazei la

= 0 este cu radiani mai mic\ dect cea corespunz\toare lui += 0 . Dac\ `n 0

jez = exist\ un zerou multiplu, de ordin M, cnd trece de la 0 la

+0 faza va avea un salt de M radiani.

Evident, dac\ M este un num\r par, saltul va fi un multiplu de 2 radiani, caz `n care, pentru valoarea principal\ a fazei nu se observ\ nici o schimbare.

5. Cnd variaz\ de la 0 la faza generat\ de fiecare zerou plasat strict `n interiorul cercului unitate cre[te cu radiani. Faza generat\ de fiecare pol plasat `n interiorul cercului unitate descre[te cu radiani. Dac\ num\rul de astfel de zerouri este Nz [i de poli Np, cre[terea net\ de faz\, cnd variaz\ de la 0 la , este de (Nz-Np).

Figura 1.7. Evaluarea r\spunsului de faz\ `n jurul unui zerou plasat pe cercul unitate

20

1.7. Sisteme discrete, liniare, invariante `n timp v\zute ca filtre selective de frecven]\

Un sistem liniar invariant `n timp poate realiza o discriminare sau

filtrare a diferitelor componente de frecven]\ a semnalului aplicat la intarea sa. Natura ac]iunii de filtrare este determinat\ de r\spunsul `n frecven]\ al filtrului )(H , care, la rndul s\u, depinde de alegerea parametrilor sistemului }{ ka [i }{ kb . Prin alegerea adecvat\ a coeficien]ilor se pot proiecta filtre selective de frecven]\ care permit trecerea semnalelor cu spectrul `n anumite benzi [i atenueaz\ semnale ale c\ror componente de frecven]\ sunt `n alte benzi. ~n general, un sistem liniar invariant `n timp modific\ spectrul semnalului de intrare )(X , `n concordan]\ cu r\spunsul s\u `n frecven]\

)(H , pentru a produce ie[irea )()()( HXY = . ~n acest sens, )(H ac]ioneaz\ ca o func]ie de ponderare sau de formare spectral\ asupra diferitelor componente de frecven]\ ale semnalului. ~n acest context orice sistem liniar, invariant `n timp poate fi considerat ca un filtru care modific\ componentele de frecven]\ ale semnalului de la intrarea sa [i, `n consecin]\, cele dou\ no]iuni sunt sinonime. ~n prelucrarea numeric\ filtrarea este folosit\ `n multe scopuri, cum ar fi: atenuarea zgomotului, modificarea spectrului `n scopul egaliz\rii canalelor de comunica]ii, detec]ia semnalelor, analiz\ spectral\ e.t.c.

1.7.1. Caracteristicile filtrelor ideale

De obicei, filtrele sunt clasificate `n func]ie de caracteristicile lor `n domeniul frecven]\. Filtrele selective de frecven pot fi trece jos (FTJ), trece sus (FTS), trece band\ (FTB), opre[te band\ (FOB), trece tot (FTT) i multiband. Modulul r\spunsului `n frecven]\ [i func]ia de transfer a filtrelor ideale enumerate mai sus sunt ar\tate `n figura 1.8. Aceste filtre ideale au c[tig constant C (de obicei egal cu unitatea) `n benzile de trecere [i zero `n benzile de oprire. Pentru FTJ [i FTS, c reprezint\ frecven]a de t\iere, iar pentru FTB [i FOB, 1 [i 2 reprezint\ frecvenele capetelor benzilor de trecere, respectiv de oprire [69]. O alt\ caracteristic\ a unui filtru ideal este caracteristica de faz\ liniar\. Fie un filtru digital cu funcia de transfer

21

unde C i n0 sunt constante. Din compararea relaiilor (1.81) cu (1.11), se pot scrie relaiile:

CH =|)(| (1.82) [i

0)( n = (1.83) Din (1.83) rezult c faza este o funcie liniar de . Dac la intrarea unui astfel de filtru se aplic semnalul ][nx ale c\rui componente de frecven]\ sunt cuprinse `n domeniul 21

22

Derivata fazei `n raport cu frecven]a define[te `ntrzierea de grup a filtrului

dd

g)()( = (1.86)

Aceasta reprezint\ `ntrzierea pe care o component\ de frecven]\ a semnalului, o sufer\ la trecerea prin filtru. Dac\ )( este o func]ie liniar\ `n , atunci constantng == 0)( , adic\, toate componentele de frecven]\ ale semnalului sufer\ aceea[i `ntrziere.

Orice abatere a r\spunsului `n frecven]\ de la forma ideal\ dat\ `n (1.81) are ca rezultat distorsionarea semnalului. Dac\ modulul r\spunsului `n frecven]\ al sistemului variaz\ `n banda de frecven]e ocupat\ de semnal, atunci semnalul sufer\ distorsiuni de amplitudine. Dac\ r\spunsul de faz\ al sistemului nu este liniar `n banda de frecven]e a semnalului, atunci semnalul sufer\ distorsiuni de faz\.

n concluzie, filtrele ideale au caracteristica de modul constant, iar cea de faz, liniar n banda de trecere. n toate cazurile astfel de filtre sunt nerealizabile fizic, dar servesc ca idealizare matematic pentru filtrele practice ale cror caracteristici le aproximeaz destul de fidel pe cele ideale.

De exemplu, filtrul ideal trece jos are rspunsul la impuls

{ }

23

prezentat o metod grafic pentru calculul rspunsului n frecven, cunoscut fiind diagrama poli-zerouri a sistemului. Principiul de baz care caracterizeaz metoda plasrii polilor i zerourilor n planul Z este de a plasa polii i zerourile n apropierea punctelor de pe cercul unitate corespunztoare frecvenelor ce trebuie accentuate, respectiv atenuate sau suprimate. Mai mult, pentru un filtru cauzal trebuie ndeplinite urmtoarele condiii: 1. Toi polii trebuie s fie plasai n interiorul cercului unitate, pentru ca filtrul s fie stabil. 2. Polii i zerourile complexe trebuie s apar n perechi conjugate, asigurndu-se astfel coeficieni reali pentru filtru. Se reamintete c funcia de sistem )(zH a unui SDLIT poate fi exprimat sub forma

=

=

=

=

=

+= N

kk

M

kk

N

k

kk

M

k

kk

zp

zzb

za

zbzH

1

1

1

1

0

1

0

)1(

)1(

1)( (1.88)

unde 0b este un factor de ctig, astfel ales, nct s rezulte 1|)(| 0 =H (1.89)

unde 0 este o frecven din banda de trecere a filtrului. n cazul sistemelor cauzale, gradul polinomului de la numitor (N) trebuie s fie mai mare sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numrtor (M), astfel nct filtrul s aib mai muli poli nebanali dect zerouri [63]. ntr-adevr, dac filtrul este cauzal, din teorema valorii iniiale rezult

)()(lim)(lim)(lim]0[

zAzBzHzHh

zzz

+

=== (1.90)

Dac H+(z)=H(z) este o fracie raional, atunci gradul numrtorului, M, nu poate depi gradul numitorului, N, adic NM . Condiia este mai puin sever dect n cazul sistemelor analogice, unde

NM < (inegalitate strict).

1.8.1. Filtre trece jos, trece sus i trece band n proiectarea filtrelor trece jos digitale, polii trebuie plasai n

apropierea cercului unitate corespunztor frecvenelor joase (n apropiere de 0= ), iar zerourile n apropiere sau pe cercul unitate n puncte

24

corespunztoare frecvenelor nalte (aproape de = ). Situaia invers este valabil pentru filtrele trece sus. Figura 1.9 ilustreaz diagramele poli zerouri pentru trei FTJ i pentru trei FTS.

Figura 1.9. Diagrama poli zerouri pentru trei a) FTJ i b) FTS, fiecare din acestea cu un pol real, doi poli complex conjugai i, respectiv, un pol real, doi poli complex conjugai

i un zerou nebanal

Modulul i faza rspunsului filtrului cu un singur pol, cu funcia de sistem

11 11)(

=az

azH (1.91)

sunt ilustrate n fig. 1.10, pentru 9,0=a . Caracteristicile amplitudine frecven i faz frecven s-au obinut prin evaluarea funciei de sistem

)(1 zH pe cercul unitate. Ctigul G s-a ales a1 , astfel nct la 0= , 1|)0(| =H . Un zerou suplimentar la 1=z va atenua rspunsul filtrului la frecvene nalte. Acest zerou determin funcia de transfer

11

2 11

21)(

+

=azzazH (1.92)

Caracteristicile de amplitudine i faz sunt date tot n figura 1.10. Se observ c |)(| 2 H devine egal cu zero la = . Similar, se obin FTS simple prin reflectarea poziiei polilor i zerourilor FTJ fa de axa imaginar a planului Z, obinndu-se funcia de sistem

25

1

1

3 11

21)(

+

=azzazH (1.93)

pentru un FTS cu un pol i un zerou. Caracteristicile de amplitudine i faz pentru FTS sunt identice cu cele ale FTJ translate cu radiani.

Figura 1.10. (a) Reprezentarea modulului i (b) a fazei pentru un filtru cu un singur pol, )(1 zH , i un filtru cu un pol i un zerou )(2 zH

Exemplul 1.5.

S se proiecteze un FTJ cu un pol dublu, astfel nct rspunsul n

frecven s satisfac condiia H(0)=1 i 21

4

2

=

H .

Soluie. Funcia de sistem a filtrului este 210

)1()( =

pzbzH .

Trebuie determinai parametrii 0b i p.

La 0= H(0)= 1)1( 2

0 = pb

20 )1( pb =

La 4 =

2

2

2

2

2

4

2

221

)1(

4sin

4cos1

)1(

1

)1(4

+

=

+

=

=

jppp

jpp

p

pe

pHj

26

deci 21

221

)1(2

22

4

=

+

pp

p ppp 21)1(2 22 += p=0,32

Prin urmare 21 )32,01(46,0)(

=z

zH

Aceleai principii pot fi aplicate pentru proiectarea filtrelor trece band. FTB conin una sau mai multe perechi de poli complex conjugai plasai n apropierea cercului unitate, la frecvene apropiate de banda de trecere a filtrului.

Exemplul 1.6. S se proiecteze un filtru trece band cu doi poli, cu centrul benzii

de trecere la 2 = , rspunsul n frecven egal cu zero la 0= i

= i egal cu 2

1 la 9

4 = .

Soluie. Deoarece |)(| H este maxim la 2 , rezult c polii

sistemului sunt 22,1j

rep

= . Zerourile sunt 11 =z i 12 =z . n consecin, funcia de transfer este

22

2 1))((

)1)(1()(rz

zGjrzjrz

zzGzH+

=++

=

Factorul de ctig se determin din evaluarea rspunsului n

frecven )(H al filtrului la 2 = .

2

111

22

2

2

rGr

GH ==

=

.

Valoarea lui r se determin prin evaluarea lui )(H la 9

4 = .

( )21

)9/8cos(21)9/8cos(22

4)1(9/4 24

222 =

++

=

rr

rH , de unde 7,02 =r i

27

2

2

7,01115,0)(

+

=z

zzH .

Modulul i faza corespunztoare rspunsului n frecven sunt reprezentate n figura 1.11.

Figura 1.11. (a) Modulul i (b) faza funciei de transfer a filtrului trece band din

exemplul 1.6.

Trebuie subliniat faptul c scopul principal al acestei metodologii de proiectare a filtrelor digitale simple prin plasarea polilor i zerourilor este de a evidenia efectul pe care l au polii i zerourile asupra rspunsului n frecven al sistemelor, ea nefiind o metod potrivit pentru proiectarea filtrelor digitale cu caracteristici bine definite.

1.8.1.1. O transformare simpl a FTJ n FTS

Presupunnd c s-a proiectat un FTJ cu rspunsul la impuls ][nhlp , este posibil conversia sa fie ntr-un FTB, fie FTS, cu ajutorul proprietii de translare de frecven a transformatei Fourier [63]. n cele ce urmeaz, se prezint o transformare simpl, care permite conversia unui FTJ ntr-un FTS, i invers. Dac se noteaz cu ][nhlp rspunsul la impuls al unui FTJ, care are rspunsul n frecven )(lpH , se poate obine un FTS prin translarea lui )(lpH cu radiani, (adic nlocuirea lui cu ).

)()( = lphp HH (1.94) unde hpH este rspunsul n frecven al FTS. Deoarece translaia de frecven cu a funciei de transfer echivaleaz cu multiplicarea rspunsului la impuls cu nje , rspunsul la impuls al FTS rezult de forma

28

][)1(][)(][ nhnhenh lpn

lpnj

hp == (1.95)

Prin urmare, rspunsul la impuls al FTS se obine din rspunsul la impuls al FTJ prin schimbarea semnului eantioanelor impare ale lui

][nhlp . Evident, dac este cunoscut rspunsul la impuls ][nhhp al FTS, rspunsul la impuls al FTJ se determin cu relaia

][)1(][ nhnh hpn

lp = (1.96) Dac FTJ este descris de ecuaia cu diferene

==

+=M

kk

N

kk knxbknyany

01][][][ , (1.97)

rspunsul su n frecven este

=

=

+= N

k

kjk

M

k

kjk

lp

ea

ebH

1

0

1)(

(1.98)

nlocuind cu n (1.98) se obine funcia de transfer a FTS

=

=

+

= N

k

kjk

k

M

k

kjk

k

hp

ea

ebH

1

0

)1(1

)1()(

(1.99)

care corespunde ecuaiei cu diferene

==

+=M

kk

kN

kk

k knxbknyany01

][)1(][)1(][ (1.100)

1.8.2. Rezonatoare digitale Rezonatorul digital este un filtru trece band, cu doi poli complex

conjugai plasai n apropierea cercului unitate, cum se arat n figura 1.12.a.

Numele de rezonator se refer la faptul c rspunsul de amplitudine are valoare mare n apropierea polilor. Poziia unghiular a polilor determin frecvena de rezonan. n proiectarea unui rezonator digital cu un maxim de rezonan la sau n apropiere de =0, se alege perechea de poli complex conjugai 02,1

jrep = , 0 < r < 1. n plus, se selecteaz dou zerouri. Dei exist multe posibiliti de alegere a poziiei zerourilor, dou cazuri prezint interes mai special. Unul se refer la

29

plasarea zerourilor n origine i cellalt la plasarea zerourilor la z = 1 i z = -1. n acest ultim caz se elimin complet rspunsul filtrului la = 0 i = .

Funcia de transfer a rezonatorului digital cu zerouri n origine este

( ) ( )( )110

00 11 =

zrezreb

zH jj (1.101)

sau

( ) ( ) 22100

cos21 +=

zrzrb

zH

(1.102)

Figura 1.12 (a) Modelul poli zerouri, (b) rspunsul de amplitudine, (c) rspunsul de

faz al unui rezonator digital cu r=0,8 i r=0,95

Factorul de normalizare b0 se alege astfel nct |H(0)| = 1. Din (1.101) rezult

( )( )( )02

00 11

jrerbH

= (1.103)

i, deci

( )( )

12cos211 0

2

00 =

+=

rrr

bH (1.104)

30

Factorul de normalizare este atunci ( ) 020 2cos211 rrrb += (1.105)

i ( )H se poate exprima ca

( ) ( ) ( ) 210

uub

H = (1.106)

iar faza ( ) ( ) ( ) 212 = (3.107)

unde u1() i u2() reprezint modulele vectorilor orientai de la p1 i p2 la punctul pe cercul unitate, iar 1() i 2(), fazele lor.

( ) ( )( ) ( )

++=

+=

02

2

02

1

cos21

cos21

rru

rru (1.108)

Pentru o valoare oarecare a lui r, u1() atinge valoarea minim (1-r) la =0. Produsul u1()u2() atinge valoarea minim la frecvena

+= 0

2

cos2

1arccos rr

r , (1.109)

care reprezint frecvena de rezonan a filtrului. Pentru r foarte apropiat de unitate, 0 r , care este poziia unghiular a polilor. De asemenea, se observ c dac r se apropie de unitate, maximul de la rezonan devine mai abrupt, deoarece u1() variaz semnificativ n apropierea lui

0 . O msur cantitativ a ascuimii caracteristicii rezonatorului este dat de limea de band la 3 dB a filtrului, care, pentru valori ale lui r apropiate de unitate, este [49].

)1(2 r (1.110) n figurile 1.12b i 1.12c se prezint rspunsul de modul i de faz pentru dou rezonatoare digitale, unul cu 8,0,3/0 == r i cellalt cu

95,0,3/0 == r . Dac zerourile sunt plasate la z = 1, z = -1, funcia de transfer a rezonatorului este

( ) ( )( )( )( ) ( ) 22102

11

11

cos211

1111

00

+

=+

=zrzr

zGzrezre

zzGzH jj (1.111)

i rspunsul n frecven

31

( ) ( )[ ] ( )[ ]

+

=00 11

1 20 jj

j

rereebH (1.112)

Zerourile din 1=z afecteaz att rspunsul de amplitudine, ct i rspunsul de faz. Rspunsul de amplitudine este

( ) ( )( ) ( )

210 uu

NbH = (1.113)

unde ( ) ( ) 2cos12 =N (1.114)

n figura 1.13 sunt reprezentate rspunsurile de amplitudine i de faz pentru un rezonator digital cu zerouri n z=1 i z=-1 i r =0,8 i r=0.95. Datorit prezenei zerourilor, frecvena de rezonan i banda filtrului se modific fa de cele ale rezonatorului cu zerouri n origine.

Figura 1.13. Rspunsul de amplitudine i de faz a unui rezonator digital cu zerouri n

z=1 i z=-1 i r =0,8 i r=0.95

1.8.3. Filtre rejectoare (Notch) Un filtru rejector sau notch este un filtru a crui funcie de

sistem conine unul sau mai multe zerouri pe cercul unitate. Caracteristica amplitudine frecven a unui astfel de filtru va prezenta crestturi la

32

frecvenele corespunttoare zerourilor, situaie ilustrat n figura 1.14. Aceste filtre sunt utile n aplicaii unde anumite componente de frecven trebuie eliminate, cum se ntmpl de multe ori cu frecvena tensiunii de alimentare i armonicele acesteia.

Pentru a crea un nul n rspunsul n frecven al filtrului la frecvena 0, se introduce o pereche de zerouri complex conjugate pe cercul unitate la frecvena unghiular 0, adic 02,1

jez = .

Figura 1.14 Rspunsul n frecven al unui filtru notch

Funcia de sistem a unui filtru notch FIR este

( ) ( )( ) ( )2100110 cos2111 00 +== zzbzezebzH jj (1.115) n cazul filtrelor notch FIR, banda din zona nulului sau a

crestturii este relativ ntins i sunt atenuate i alte componente din jurul frecvenei de interes.

n figura 1.15 se prezint rspunsul n frecven pentru un filtru notch, care are un zerou la 4/ = .

Figura 1.15. Caracteristica de modul i de faz a unui filtru notch cu un zerou la

]cos21[)(;4/ 2100 +== zzGzH

33

Pentru a micora banda din jurul nulului, se introduc poli n funcia de transfer, 02,1

jrep = , cu r apropiat de unitate, al cror efect este de rezonan n vecintatea nulului i astfel se reduce limea de band a crestturii.

Funcia de transfer pentru filtrul realizat este

( ) 2210

210

0 cos21cos21

++

=zrzr

zzbzH

(1.116)

Caracteristicile de modul i de faz pentru dou filtre notch a cror funcie de sistem este dat de (1.116), unul cu 85,0=r i cellalt cu

95,0=r , sunt prezentate n figura 1.16.

Figura 1.16. Caracteristicile de modul i de faz pentru dou filtre notch cu funcia de

sistem ( )221

0

210

0cos21cos21

+

+=

zrzrzz

bzH

, pentru cazurile 85,0=r i 95,0=r .

1.8.4. Filtre pieptene (Comb) Simplificat, un filtru pieptene sau comb poate fi vzut ca unul notch, n care nulurile se produc periodic de-a lungul benzii de frecven.

34

Pentru a ilustra un filtru pieptene simplu, fie un filtru FIR care calculeaz media alunectoare, descris de ecuaia cu diferene [63]

[ ] [ ]=

+

=M

kknx

Mny

111 (1.117)

cu funcia de sistem

( )( )[ ]

( )11

0 11

11

11

+

=

+=

+= z

zM

zM

zHMM

k

k (1.118)

i rspunsul n frecven

( )2/sin

21sin

1

2/

+

+=

M

MeH

Mj

(1.119)

Din relaia (1.118) se observ c filtrul are zerourile pe cercul unitate la

Mkez Mkj

k ..., 2, 1, 12

== +

(1.120) Polul z = 1 este anulat de zeroul de la z = 1, astfel nct filtrul nu conine poli n afara originii. Reprezentarea caracteristicii de modul din relaia (1.119) ilustreaz c zerourile uniform spaiate din rspunsul n frecven sunt la k = 2k/(M+1), k = 1, 2,,M, situaie artat n figura 1.17, pentru M=8.

Figura 1.17. Rspunsul n amplitudine al unui filtru pieptene

Mai general, se poate obine un filtru pieptene, dintr-un filtru

FIR cu funcia de sistem

( ) [ ]=

=M

k

kzkhzH0

(1.121)

prin nlocuirea lui z cu zL, unde L este un ntreg pozitiv. Noul filtru FIR are funcia de sistem

35

( ) [ ]=

=M

k

kLL zkhzH

0 (1.122)

i rspunsul n frecven

( ) [ ] ( ) LHzkhHM

k

jkLL ==

=

0 (1.123)

n consecin, rspunsul n frecven HL() este o repetare de L ori a rspunsului H() n domeniul 0 2, cum este ilustrat n figura 1.18.

Dac se consider filtrul FIR descris de (1.118), filtrul pieptene rezultat are funcia de transfer

( )( )

L

ML

L zz

MzH

+

+=

11

11 1 (1.124)

i rspunsul n frecven

( ) ( )[ ]( )2/

2/sin2/1sin

11 LMj

L eLML

MH

+

+= (1.125)

cu zerourile pe cercul unitate )1(/2 += MLkjk ez

(1.126) pentru toate valorile ntregi pentru k cu excepia lui 0, L, 2L, , ML.

Figura 1.18. Filtru pieptene cu rspunsul n frecven HL() obinut din H().

36

1.8.5. Filtre trece tot

Un filtru trece tot (FTT) se definete ca un sistem care are modulul funciei de transfer constant pentru toate frecvenele, adic

( ) 0 1 =H (1.127) Cel mai simplu exemplu de filtru trece tot este un sistem de

ntrziere pur, descris de H(z) = z-k. Un filtru trece tot, mult mai general, este caracterizat de funcia de sistem

( ) 1a ,...1

...0

0

01

1

11

11 ==

+++++++

=

=

=

+

+

N

k

kk

N

k

kNk

NN

NNNN

za

za

zazazzazaazH (1.128)

cu coeficienii {ak} reali. Dac se definete polinomul

1a ,)( 00

== =

N

k

kk zazA (1.129)

relaia (1.128) se mai poate scrie

)()()(

1

zAzAzzH N

= (1.130)

Deoarece 1)()()( 12 ==

=

jez

zHzHH (1.131)

sistemul descris de (1.130) este trece tot. Mai mult, dac z0 este un pol al lui H(z), 1/z0 este un zerou al su (adic polii i zerourile sunt reciproce), cum se arat n figura 1.19.

Figura 1.19. Modelul poli-zerouri al unui FTT a) de ordinul I b) de ordinul II

O form mai general pentru funcia de transfer a unui filtru

trece tot cu coeficieni reali este

37

( )( )( )( ) =

=

=CR N

k kk

kkN

k k

kap zz

zzz

zzH1

1*1

*11

11

1

111)(

(1.132)

unde k reprezint polii reali, k i *k , polii complex conjugai, NR,

numrul de poli i zerouri reale, iar NC, numrul perechilor de zerouri i poli complex conjugai. Se observ c fiecrui pol complex i corespunde n factorul trece tot un zerou care este reciprocul conjugat al polului. Pentru sistemele cauzale i stabile [63], -1 < k < 1 i |k| < 1. Pentru un filtru trece tot cu un singur pol i un zerou, compleci, caracterizat de funcia de sistem

11

1*)(

=az

azzH ap , cu jrea =

i funcia de transfer

jjjj

jj

j

ap ereeree

aeaeH

=

=

11

1*)( ,

rspunsul de faz este

)cos(1

)sin(2)(

=

rrarctgap (1.133)

i ntrzierea de grup este

)cos(21

1)(2

2

+

=

=

rrr

dd ap

g (1.134)

Se observ c pentru un sistem cauzal i stabil, 1

38

22

11

0

1)( ++=

zazabzH (1.135)

i parametrii 2201 a ,cos2 rra == , are polii complex conjugai 0

2,1jrep = i rspunsul la impuls [63]

][)1sin(sin

][ 00

0 nunrbnhn

+= (1.136)

Pentru r = 1 i 00 sin= Ab , rezult ][)1sin(][ 0 nunAnh += , (1.136)

adic rspunsul la impuls al unui sistem de ordin II cu poli complex conjugai pe cercul unitate este un semnal sinusoidal, sistemul devenind un generator sinusoidal digital.

1.9. Sisteme inverse, deconvoluie i identificarea sistemelor

Rspunsul y[n] al unui SDLIT, caracterizat de rspunsul la impuls h[n], la un semnal de intrare x[n] este dat de convoluia dintre h[n] i x[n]. n unele probleme practice se dorete aflarea semnalului de intrare, cunoscndu-se semnalul de ieire al unui sistem cu caracteristici necunoscute. De exemplu, n transmisia datelor digitale la vitez mare pe canalele telefonice se tie c acestea distorsioneaz semnalul i cauzeaz interferen intersimboluri, ceea ce poate determina erori la refacerea datelor. n acest caz se pune problema proiectrii unui sistem corector care, cascadat cu sistemul original, s furnizeze o ieire care s corecteze distorsiunile canalului i, deci, s produc o replic a semnalului dorit. Acest sistem corector se numete egalizor. n contextul general al teoriei sistemelor liniare invariante n timp, sistemul corector se va numi sistem invers, deoarece, n principiu, rspunsul su n frecven este invers celui al sistemului ce provoac distorsiunile. Mai mult, deoarece sistemul care introduce distorsiunile produce o ieire ][ny care este convoluia dintre ][nx i ][nh , operaia sistemului invers care cunoate pe ][ny i produce pe ][nx se numete deconvoluie. Dac sistemul distorsiv este necunoscut, de obicei, este necesar, dac este posibil, a-l excita cu un semnal cunoscut, apoi s se observe ieirea i s se compare aceasta cu intrarea pentru a determina caracteristicile sistemului.

39

n problema descris, msurarea rspunsului n frecven al canalului se realizeaz transmind un set de sinusoide de amplitudine egal i frecvene diferite, cu faze specificate n banda canalului. Canalul va atenua i defaza fiecare din sinusoide. Din compararea semnalului recepionat cu cel transmis, receptorul obine informaii despre rspunsul n frecven al canalului, ce pot fi folosite n proiectarea sistemului invers. Procesul de determinare a caracteristicilor unui sistem necunoscut fie ][nh , fie )(H , prin msurtori efectuate aupra sistemului se numete identificare de sistem.

1.9.1. Inversarea sistemelor liniare, invariante n timp

Se spune c un sistem este inversabil dac exist o coresponden bijectiv ntre semnalele de la intrarea i ieirea sa. Aceast definiie implic faptul c, dac se cunoate secvena de ieire

40

Relaia (1.139) poate fi folosit pentru determinarea lui ][nhI , dac se cunoate ][nh . n domeniul timp, acest lucru este dificil de realizat. O soluionare mai simpl presupune transformarea lui (1.139) n domeniul Z i apoi de gsit 1H , adic, aplicnd transformata Z relaiei (1.139), rezult

1)()( =zHzH I (1.140) de unde

)(1)(

zHzH I = (1.141)

Dac )(zH este o funcie raional

)()()(

zAzBzH = (1.142)

atunci

)()()(

zBzAzH I = , (1.143)

ceea ce nseamn c zerourile lui )(zH devin poli pentru sistemul invers, i invers. Stabilitarea sistemului invers depinde de poziionarea zerourilor sistemului H(z) i va fi descutat ulterior. Mai mult, dac )(zH este un sistem FIR, atunci )(zH I este un sistem numai cu poli i dac )(zH este numai cu poli, )(zH I este FIR.

Exemplul 1.7. S se determine inversul sistemului care are rspunsul la impuls

][21][ nunh

n

= .

Soluie. 1

211

1)(

=z

zH , 21|:| >zRC .

Acest sistem este cauzal i stabil. Deoarece )(zH este numai cu poli, inversul su va fi un sistem FIR, cu funcia de sistem

1

211)( = zzH I . Rspunsul su la impuls este ]1[2

1][][ = nnnhI .

Exemplul 1.8. S se determine inversul sistemului care are rspunsul la impuls

41

]1[21][][ = nnnh .

Soluie. Acesta este un filtru FIR, a crui funcie de sistem este 1211)(

= zzH , 0|:| >zRC . Sistemul invers are funcia de sistem

211

2111

)(1)(

=

== z

zzzH

zH I ,

adic )(zH I are un zerou n origine i un pol n 2/1=z . n acest caz exist dou regiuni posibile de convergen i, deci, dou sisteme inverse posibile, dup cum se arat n figura 1.21.

Figura 1.21. Dou posibile regiuni de convergen pentru

21)(

=z

zzH .

Dac regiunea de convergen pentru )(zH I este 21|| >z ,

transformarea invers conduce la rspunsul la impuls

][21][ nunh

n

I

=

care caracterizeaz un sistem cauzal i stabil.

Dac, ns, regiunea de convergen se presupune a fi 21||

42

relaia (1.143), dac nu se specific regiunea de convergen pentru funcia de sistem a sistemului invers. Este posibil ca rspunsul la impuls ][nh s nu aib transformata Z exprimat ntr-o form analitic. O alternativ la aceast situaie este rezolvarea ecuaiei (1.139) cu ajutorul unui calculator numeric. Deoarece (1.139) nu are, n general, soluie unic, se presupune c att sistemul, ct i inversul su sunt cauzale, caz n care (1.139) se poate scrie ca

][][][0

nknhkhn

kI =

=

(1.144)

Prin convenie, 0][ =nh pentru 0n , se poate scrie

1]0[

1]0[ ==h

hI i ]1[][ = nhnh II , 1n , adic =]1[Ih , 2]2[ =Ih ,

43

, nI nh =][ , care corespunde unui sistem IIR cauzal, cum era de ateptat.

1.9.2. Sisteme de faz minim, maxim i mixt

n multe cazuri este util a impune restricia ca sistemul invers s fie, de asemenea, stabil i cauzal.

Inversarea SDLIT este strns legat de caracteristicile funciei de faz a sistemului. Pentru a ilustra acest lucru, fie dou sisteme FIR, caracterizate de funciile de sistem

+=+=

21

211)( 111 zzzzH (1.147)

+=+= 1

21

21)( 112 zzzzH (1.148)

Sistemul descris de (1.147) are un zerou la 21

=z i rspunsul

la impuls h[0]=1, h[1]=21 . Sistemul din (1.148) are un zerou la z=-2 i

eantioanele rspunsului la impuls h[0]=21 , h[1]=1, care sunt egale cu

cele care caracterizeaz sistemul din (1.147), dar n ordine invers. Acest lucru se datoreaz faptului c zerourile lui )(1 zH i )(2 zH sunt inverse unele altora. n domeniul frecven cele dou sisteme sunt caracterizate de rspunsurile de amplitudine

cos45|)(||)(| 21 +== HH (1.149)

i de faz

cos

21

sin)(1+

+= arctg (1.150)

cos2

sin)(2 ++= arctg (1.151)

Caracteristicile de modul ale celor dou sisteme sunt identice datorit relaiei ntre zerourile lui )(1 zH i )(2 zH . Rspunsurile de faz

)(1 i )(2 sunt reprezentate n figura 1.22 a i b.

44

Figura 1.22. Rspunsul de faz al sistemelor descrise de a) (1.147) i b) (1.148)

Se observ cum caracteristica de faz )(1 a sistemului cu zeroul

n interiorul cercului unitate ncepe la 0 pentru 0= i se termin tot la 0 pentru = , astfel nct schimbarea net de faz este

0)0()( 11 = . Pentru sistemul cu zeroul n afara cercului unitate schimbarea de faz este = )0()( 22 . Primul sistem este de faz minim, iar al doilea de faz maxim. Aceste definiii pot fi extinse pentru sisteme FIR cu M zerouri. Rspunsul n frecven al unui filtru FIR de lungime M+1 este

)1)...(1)(1()( 210 = jM

jj ezezezbH (1.152) unde 0b -costant arbitrar, iar Mizi ,1},{ = - zerourile filtrului.

Dac toate zerorile filtrului, reale i/sau complex conjugate, sunt n interiorul cercului unitate, fiecare termen real sau pereche de termeni complex conjugai din (1.152) va suferi o schimbare de faz egal cu 0 cnd variaz de la 0 la , adic

0)0()( = HH (1.153) motiv pentru care sistemul este de faz minim.

Dac zerourile sunt n afar cercului unitate, fiecare zerou real va determin o schimbare de radiani n raspunsul de faz, iar o pereche de zeroruri complex conjugate o schimbare de 2 radiani, adic

MHH = )0()( (1.154) sistemul fiind de faz maxim.

Deoarece derivata fazei este o msur a ntrzierii pe care componentele semnalului le sufer la trecerea prin filtru, un sistem de faz minim implic o ntrziere minim.

Fie un sistem FIR cu coeficieni reali. Ptratul rspunsului de modul este

jezzHzHH == |)()(|)(| 12 (1.155)

45

Aceast relaie implic faptul c dac un zerou kz al sistemului se

nlocuiete cu inversul su kz

1 , caracteristica de modul nu se schimb.

Aceasta nseamn c, dac 2)(H este ptratul modulului rspunsului n frecven al unui filtru FIR cu M zerouri, exist 2M configuraii posibile pentru cele M zerouri. O configuraie corespunde zerourilor din cercul unitate, care caracterizeaz un sistem de faz minim, o configuraie conine toate zerourile n afara cercului unitate i corespunde unui sistem de faz maxim, iar restul de 22 M configuraii corespund sistemelor de faz mixt. Nu toate cele 22 M configuraii de faz mixt corespund neaprat unor sisteme FIR cu coeficieni reali.

Proprietatea de faz minim a sistemelor FIR poate fi extins i asupra sistemelor IIR caracterizate de funcii de sistem raionale.

Un sistem IIR, stabil i cauzal, caracterizat de funcia de sistem

)()()(

zAzBzH = (1.156)

este de faz minim dac toi polii i zerourile sunt n interiorul cercului unitate.

Pentru un sistem stabil i cauzal (toate rdcinile lui A(z) n interiorul cercului unitate) sistemul este de faz maxim, dac toate zerourile sale sunt n exteriorul cercului unitate i de faza mixt sau neminim, dac unele zerouri, dar nu toate, sunt n exteriorul cercului unitate.

Din cele prezentate pn acum se evideniaz faptul c unui sistem cu poli i zerouri stabil, de faz minim, i se poate ataa are un sistem invers stabil care este, de asemenea, de faz minim.

)()()(1

zBzAzH = (1.157)

Aceasta nseamn c proprietatea de faz minim a lui H(z) asigur stabilitatea sistemului invers i stabilitatea lui H(z) implic proprietatea de faz minim a lui )(1 zH . Sistemelor stabile de faz mixt i maxim le corespund sisteme inverse instabile. Un alt mod de a caracteriza sistemele de faz minim se refer la rspunsul de faz. n paragraful 1.1.1. s-a definit Arg[H()] ca fiind ntregul rspuns de faz. Dac se cunoate valoarea principal a fazei, se poate construi funcia de faz total prin adugarea sau scderea valorii de

46

2 radiani n punctele de discontinutate, dup cum se arat n figura 1.1, procedur numit de desfurare a fazei. n paragraful 1.6. s-a artat c rspunsul de faz al filtrului este determinat de coninutul tuturor singularitilor din planul Z. Cnd variaz de la 0 la , un pol din interiorul cercului unitate scade rspunsul de faz cu radiani, n timp ce un zerou din interiorul cercului unitate crete faz cu radiani. Dac toate singularitile sunt n interiorul cercului unitate, cum este cazul sistemelor cauzale i stabile de faz minim, rspunsul de faz Arg[H()], care este o funcie continu de , are valoarea zero att pentru =0, ct i pentru =. Zerourile de pe cercul unitate determin salturi de radiani n rspunsul de faz. Dac pe cercul unitate sunt z zerouri, rspunsul de faz este z la =.

Dac pentru un sistem se cunoate

=

zH H(z)C(z) 1 i acel

sistem este de faz minim, atunci H(z) va avea polii i zerourile lui C(z) din cercul unitate. Din C(z) nu se poate determina n mod unic H(z), deoarece orice alegere care are modulul rspunsului n frecven dat poate fi cascadat cu o celul trece tot arbitrar, fr a-i schimba modulul (vezi exemplul 1.2).

Aceasta se ntmpl deoarece dac se schimb un zerou al funciei de sistem a unei celule trece tot din z=z0 n z=1/z0, nu se schimb rspunsul de amplitudine, ci numai cel de faz. Aceasta nseamn c un rspuns de amplitudine dat poate avea asociate mai multe rspunsuri de faz. Din analiza de mai sus se poate da urmtoarea definiie pentru sistemele de faz minim:

Pentru un rspuns de amplitudine dat, sistemul de faz minim este sistemul cauzal pentru care rspunsul de faz corespunztor are valoarea cea mai mic pentru toate valorile lui z de pe cercul unitate. n continuare sunt prezentate cteva aspecte care caracterizeaz sistemele de faz neminim.

1.9.2.1. Descompunerea sistemului cu poli i zerouri, de faza neminim

Un sistem poli zerouri de faz neminim se poate descompune

sub forma (z)H(z)HH(z) ap= min (1.158)

47

unde Hmin(z) este un sistem de faz minim i Hap(z) este un sistem trece tot. Acest lucru rezult uor pentru clasa sistemelor cauzale i stabile cu

funcie de transfer raional A(z)B(z)H(z) = . ntr-adevr, dac B(z) are una

sau mai multe rdcini n afar cercului unitate, fie factorizarea (z)(z)BBB(z) 21= , unde B1(z) are toate rdcinile n interiorul cercului

unitate, iar B2(z) are toate rdcinile n exteriorul cercului unitate. Atunci B2(z-1) are rdcinile n interiorul cercului unitate.

Cu consideraiile de mai sus, sistemul cu funcia de sistem

A(z)

)(zB(z)B)(H1

21min

=z (1.159)

este de faz minim, iar sistemul caracterizat de

)(

)()( 12

2= zBzBzH ap , (1.160)

este un sistem trece tot. Cu (1.159) i (1.160) rezult (1.158). Din (1.160) rezult c Hap(z) este stabil, trece tot i de faz maxim.

1.9.2.2. ntrzierea de grup a sistemelor de faz neminim Pe baza descompunerii din relaia (1.158), se poate exprima ntrzierea de grup pentru sistemul caracterizat de H(z), ca fiind

)()()( min apggg += (1.161)

Deoarece 0)( apg pentru 0 , rezult c

)()( min gg , pentru 0 . Din (1.161) se poate concluziona c dintre toate sistemele poli zerouri care au acelai rspuns de amplitudine, sistemele de faz minim au cea mai mic ntrziere de grup.

1.9.2.3. Energia parial a sistemelor de faz neminim Energia parial a unui sistem cauzal, cu rspunsul la impuls ][nh se definete ca

=

=n

kkhnE

0

2][][ (1.162)

Se poate arta c dintre toate sistemele poli zerouri care au acelai rspuns de amplitudine i aceeai energie total )(E , sistemele de faz minim au cea mai mare energie parial [25].

48

1.9.3. Identificarea sistemelor i deconvoluia Se presupune c un SDLIT necunoscut este excitat cu semnalul de intrare x[n] i se observ ieirea y[n]. Din observarea secvenei de ieire se dorete determinarea rspunsul la impuls al sistemului necunoscut sau funcia sa de sistem. Aceasta este o problem de identificare de sistem, care, n funcie de natura secvenelor de intrare i ieire, poate fi rezolvat prin urmtoarele metode:

1.9.3.1. Determinarea funciei de sistem Ieirea sistemului necunoscut, liniar i invariant n timp, este egal

cu convoluia dintre semnalul de intrare i rspunsul su la impuls. n domeniul Z, aceasta se scrie ca

)()()( zXzHzY = (1.163)

de unde X(z)Y(z)H(z) = (1.164)

X(z) i Y(z) fiind transformate Z ale semnalelor de intrare, x[n], i respectiv, de ieire, y[n]. Rezult atunci c aceast abordare este potrivit numai cnd exist forme analitice pentru X(z) i Y(z).

Exemplul 1.10.

Un sistem cauzal produce secvena de ieire

==

=restn,0

1,10/70,1

][ nn

ny

cnd este excitat de secvena de intrare

===

=

restn,02,10/11,10/70,1

][nnn

nx

S se determine rspunsul la impuls i ecuaia cu diferene a sistemului.

Soluie. Funcia de transfer poate fi determinat uor prin considerarea transformatelor Z pentru x[n] i y[n].

+=

+

+==

11

1

21

1

511

211

1071

101

1071

1071

zz

z

zz

z

X(z)Y(z)H(z)

49

Deoarece sistemul este cauzal, regiunea sa de convergen este

RC: 21

>z . Sistemul este, de asemenea stabil, deoarece polii si sunt n

interiorul cercului unitate. Ecuaia cu diferene corespunztoare este

]1[107][]2[

101]1[

107][ ++= nxnxnynyny

Rspunsul la impuls se obine din H(z) prin transformare Z invers

][n513

214][ unh

nn

= (1.165)

Se observ c relaia (1.164) determin n mod unic sistemul necunoscut, dac se cunoate c acesta este cauzal. Metoda folosit n exemplul precedent este funcional, dac secvenele de intrare i ieire sunt finite. Deoarece este foarte probabil ca rspunsul {y[n]} s fie infinit, aceast abordare este nepractic. 1.9.3.2. Aflarea rspunsului la impuls direct n domeniul timp

Pentru un sistem cauzal, caracterizat de rspunsul la impuls ][nh , rspunsul la un semnal de intrare, ][nx , este dat de suma de convoluie

=

=n

0k

k]x[nh[k]y[n] n 0 (1.166)

Din aceasta rezult

]0[]0[]0[

xyh = (1.167)

i

]0[

][][][][

1

0

x

knxkhnynh

n

k

=

= n 1 (1.168)

Aceast relaie recursiv necesit ca x[0]0. Dac {h[n]} este infinit n durat, aceast tratare nu este practic dac nu se trunchiaz h[n]. Datorit caracterului recursiv al relaiei (1.168), metoda poate fi uor implementat cu ajutorul calculatorului. Exemplul 1.11. n condiiile exemplului 1.10, s se gseasc rspunsul la impuls al sistemului, direct n domeniul timp.

50

Soluie. Cu datele din exemplul precedent, aplicnd relaiile (1.167) i (1.168), se obine ,....25/22]2[;5/7]1[;1]0[ === hhh , identice cu eantioanele obinute cu relaia (1.165). ntr-adevr, se observ necesitatea trunchierii lui ][nh .

1.9.3.3. Determinarea funciei de transfer a sistemului prin metode de corelaie O alt metod de identificare a unui sistem necunoscut se bazeaz

pe tehnici de corelaie. Pentru aceasta, se calculeaz densitatea spectral de energie, )(xxS , a semnalului de intrare ][nx i densitatea spectral de energie de intercorelaie, )(yxS , dintre semnalul de intrare ][nx i semnalul de ieire ][ny . )(xxS este transformata Fourier a secvenei de autocorelaie, ][lrxx , a semnalului de intrare ][nx , iar )(yxS este transformata Fourier a secvenei de corelaie ][lryx , dintre semnalul de intrare ][nx i semnalul de ieire ][ny [34]. Pentru un SDLIT, caracterizat de rspunsul la impuls ][nh , funcia de corelaie intrare-ieire este

===

=

=

= n knyx m]x[nk]x[nh[k]m]x[ny[n][m]r

0

=

=

=

=

=+=0 0k n k p

k]mx[px[p]h[k]m]x[nk]x[nh[k]

=

==0k

xxxx [m]rh[m]k][mrh[n] (1.169)

n domeniul frecven se poate scrie 2

yx )()()()()(S XHSH xx == (1.170)

de unde 2)

))

X(

(S(x)S(x)S

H( yxxx

yx == (1.171)

Dac se alege intrarea {x[n]} astfel nct densitatea sa spectral de energie s fie constant pentru toate valorile lui , adic KS xx /1)( = , atunci relaia (1.171) devine

)) (KSH( yx= (1.172) Echivalent, valorile rspunsului la impuls {h[n]} sunt egale cu

valorile secvenei de corelaie ]}[{ lryx , scalate cu valoarea K.

51

n unele cazuri, sistemul poate fi identificat prin calculul secvenei de autocorelaie a ieirii ][ny . Urmnd un mers de calcul similar relaiei (1.169), rezult

=

==n

xxhhyy mrmrmnynymr ][][][][][ (1.173)

n domeniul frecven se poate scrie )()()(S 2yy xxSH = (1.174)

Pentru un semnal de intrare cu densitatea spectral de energie plat, se poate scrie

KH = 2yy )()(S (1.175) sau, echivalent, n domeniul Z, pentru K=1

)()()(S 1yy= zHzHz (1.176)

Pentru H(z) funcie raional, )()()(

zAzBzH = , rezult

)()()()(

)()()( 1

1

==zAzAzBzB

zCzDzS yy (1.177)

Numrtorul i numitorul relaiei (1.177) prezint simetrie n oglind a rdcinilor. Pentru a determina H(z), se determin rdcinile lui D(z) i C(z), apoi acestea se grupeaz pentru a forma pe H(z). Soluia ecuaiei (1.176) nu este unic. Corespunztor, n domeniul frecven, aceast relaie are un singur rspuns de amplitudine, spre deosebire de cel de faz, care nu este unic. O soluie unic se poate obine prin impunerea unor constrngeri suplimentare asupra fazei sistemului. Exemplul 1.12. Densitatea spectral de energie a ieirii unui SDLIT cauzal i

stabil este

cos25,1cos4,004,1)(

+

=yyS . Sistemul este excitat cu un semnal a

crui densitate spectral de energie este unitar. S se determine funcia de transfer a sistemului. Soluie. Cu ajutorul relaiior trigonometrice, )(yyS se scrie

)(5,025,1)(2,004,1)(

jjjj

yy eeeeS

+++

= . nlocuind jez = n relaia anterioar i

innd cont de (1.176), se obine

52

)5,01)(5,0()2,01)(2,0(

15,212,54,0

)(5,025,1)(2,004,1)()(

11

11

2

2

1

11

++

=

=

+++

=+++

=

zzzz

zzzz

zzzzzHzH

n condiiile problemei, exist dou soluii pentru H(z). Pentru sistemul de

faz minim, funcia de transfer este )5,01()2,01()( 1

1

+

=zzzH , n timp ce,

pentru sistemul de faz neminim, )5,01()2,0()( 1

1

+

=z

zzH .