Cap 4 Rasucirea

Cap. 4. Rsucirea barelor drepte

Capitolul 4

SOLICITAREA LA RSUCIRE A BARELOR DREPTE

O bar dreapt este solicitat la rsucire (torsiune) dac n seciunea transversal torsorul de reducere a forelor interioare are o singur component, un moment al crui vector este dirijat n lungul axei barei, tM .

Piese tipice solicitate la rsucire sunt arborii mainilor, arborii cutiilor de viteze, elementele elastice de tip bar de torsiune din suspensiile automobilelor precum i barele structurilor spaiale cu capetele ncastrate.

Studiul rsucirii este simplificat n cazul barelor cu seciune circular sau inelar, la care este valabil ipoteza seciunii plane, i la barele cu perei subiri, la care se consider c tensiunile tangeniale sunt constante pe grosimea peretelui.

Unele aspecte calitative privind deformarea barelor solicitate la torsiune pot fi evideniate prin experiene simple. Probele supuse ncercrii se pot obine din tuburi cu perei subiri confecionate din material plastic. Se constat c n cazul barei cu seciune nchis (Fig. 4.1) se respect ipoteza lui Bernoulli

Fig.4.1 Fig.4.2

Punctele unei seciuni deschise a unei bare (Fig.4.2) au deplasri axiale diferite. Dac asupra acestor deplasri nu sunt impuse restricii, solicitarea este numit rsucire liber (Fig. 4.2.b). Bara din figura 4.2.c este supus la rsucire mpiedicat deoarece are un capt ncastrat, la care nu se produc deplasri axiale. n condiii de rsucire mpiedicat, n bare apar tensiuni suplimentare, normale i tangeniale.

n cazul tuburilor cu seciune inelar nchis i al barelor cilindrice masive rmne valabil ipoteza lui Bernoulli chiar dac o seciune este ncastrat (fig. 4.1.c), deci i in cazul rsucirii mpiedicate.

4.1. EforturiAtunci cnd asupra unei bare acioneaz mai multe cupluri exterioare, avnd

vectorul dirijat n lungul axei barei, este necesar construcia unei diagrame de momente de rsucire.

Momentul de torsiune ntr-o seciune oarecare se obine prin nsumarea efectelor forelor i cuplurilor exterioare i de legtur (reaciuni) care acioneaz la stnga sau la dreapta seciunii considerate.

Pentru exemplificare se consider arborele din figura 4.3,a pentru care s-a trasat diagrama de momente de torsiune din figura 4.3,b.

1


n ncastrare apare reaciunea M5, care se determin din condiia de echilibru (ecuaia de momente fa de axa barei):( ) 0420 5000 =++= MMMM:M x . Rezult 05 MM = .

Aplicnd principiul seciunii se determin eforturile- momentele de rsucire pe fiecare poriune a barei.

De exemplu, pe intervalul 2-3, conform figurii 4.3,c, momentul de torsiune este 000 24223 MMMM t == sau 005 223 MMMM t == .

a)

b)

c)

Fig.4.3

Dac un arbore transmite puterea P (kW) la turaia n (rot/min), momentul de rsucire se calculeaz cu relaia

nPM t =

pi

30 . (4.1)

4.2. Rsucirea barelor drepte cu seciune circular sau inelar

4.2.1 Tensiuni Dac pe suprafaa unei bare cilindrice se traseaz generatoare i cercuri paralele,

formnd o reea de ptrate curbilinii (Fig.4.1,a), dup solicitarea barei la rsucire (Fig.4.1,b i c) ptratele devin romburi, lungimea laturilor rmnnd neschimbat. De asemenea, aa cum s-a menionat mai sus, seciunile transversale rmn plane. Se deduce c un element de bar din vecintatea suprafeei laterale este solicitat numai de tensiuni tangeniale, altfel tensiunile normale ar fi produs alungirea laturilor. Se spune c elementul este solicitat la forfecare pur .

n virtutea principiului dualitii, aceste tensiuni trebuie s aib direcia tangentei la conturul seciunii, n vecintatea acestuia. ntr-adevr, dac ntr-o seciune a unei evi, n apropierea conturului exterior sau interior, ar exista tensiuni tangeniale pe direcie radial, atunci ar trebui s acioneze tensiuni pereche de acelai module re i ri pe suprafeele exterioar i interioar (Fig.4.4). Dar aceste suprafee sunt suprafee libere de tensiuni (pe care nu sunt aplicate sarcini), adic re = ri = 0.

2


Ca urmare, se admite c ntr-un punct oarecare al unei seciuni, situat la distana r de axa barei, tensiunea produs de momentul de rsucire tM are direcia tangentei la cercul de raz r .

Fig.4.4

Se fac urmtoarele ipoteze:a. bara este dreapt i are seciune constant pe toat lungimea;b. momentul de torsiune este constant pe toat lungimea barei;c. seciune transversal iniial plan, rmne plan i dup rsucirea barei (este valabil

ipoteza lui Bernoulli);d. seciunile sunt indeformabile i se rotesc ca un rigid n jurul axei barei i, ca urmare, o

linie radial (raz ) trasat ntr-o seciune transversal rmne dreapt n timpul rsucirii barei;

e. materialul barei este omogen, izotrop i liniar elastic (este valabil legea lui Hooke)

G= . (4.2)Dou seciuni, aflate la distana dx una fa de alta, au o rotire relativ

12 =d . Dintr-o bar ncastrat la un capt, solicitat la rsucire, se decupeaz un

element central de raz r i lungime dx (Fig. 4.5). n urma solicitrii, generatoarea CB ocup poziia CB', iar raza OB se rotete n poziia OB'. Unghiul BCB' este unghiul de lunecare specific iar unghiul BOB', d, este unghiul cu care se rotesc relativ cele dou seciuni, situate la distana dx una fa de alta.

Fig. 4.5.

3


Astfel, avnd n vedere c este un unghi foarte mic, se deduce relaia aproximativ

( ) dxdxtandr , (4.3)care se scrie sub forma

== rxd

dr . (4.4)

S-a notat cu xdd = unghiul de rsucire specific : unghiul cu care se rotesc una fa

de cealalt dou seciuni situate la o distan egal cu unitatea de lungime.Substituind (4.4) n legea lui Hooke (4.2) se deduce relaia

rG = , (4.5)

care arat c ntr-o seciune transversal a barei tensiunea variaz liniar cu raza. Ca urmare, condiia de echivalen static ntre eforturi i tensiuni se scrie sub

forma (Fig. 4.6)

= At dArM , (4.6)unde dA este fora interioar ce acioneaz pe suprafaa elementar drdrdA = , pe direcia tangentei la cercul de raz rdr,r + 50 .

nlocuind (4.5) n (4.6), se obine

pAt IGdArGM == 2 , (4.7)n care intervine o caracteristic geometric a seciunii numit moment de inerie polar, care se calculeaz cu formula

= Ap dArI 2 . (4.8)

Fig. 4.6.

Din (4.7) se obine expresia rsucirii specifice

p

tIG

M= , (4.9)

care are la numitor mrimea GIp numit modul de rigiditate la rsucire.

4


Din (4.5) i (4.9) se deduce formula pentru calculul tensiunilor

rIM

p

t= , (4.10)

cu care se determin tensiunea maxim pentru maxrr =

p

tmax

p

tmax W

MrIM

== , (4.11)

ce depinde de cuplul tM i de modulul de rezisten polar al seciunii barei

max

pp r

IW = . (4.12)

n cazul solicitrii la rsucire condiia de rezisten se scrie sub forma :

ap

tmax W

M = (4.13)

Ca i n cazul solicitrii axiale, pe piesele solicitate la rsucire pot s apar concentratori de tensiune (modificri de diametru, degajri inelare, canale de pan, guri transversale etc.).

Dac n seciunea analizat se manifest un efect de concentrare a tensiunilor a crui intensitate este evaluat prin valoarea coeficientului Kt atunci condiia de rezisten se scrie sub forma

ap

ttmax W

MK = . (4.14)

Prin condiia de rigiditate se impune ca rsucirea specific maxim s nu depeasc o valoare admis a : amax , (4.15)

3.2.2. Caracteristicile geometrice Ip i Wp

a) Seciunea circular plinn relaia (4.8) se nlocuiete aria inelului circular de grosime dr (Fig.4.6) drrdA pi= 2 . Rezult:

==2

0

42

322

/dp

ddrrrI pipi ; (4.16)

162

323

4

dd

d

rI

Wmax

pp

pipi

=== . (4.17)

b) Seciunea inelarSe noteaz cu di=2Ri i de=2Re diametrul interior i, respectiv, cel exterior al

seciunii transversale a barei (fig.4.7).

5


Fig.4.7

Atunci: ( ) == 22

442

322

/d

/d

iep

e

i

dddrrrI pipi ; (4.18)

( ) ( ) ( )161

162

324344

44

kdd

ddd

dd

rI

W ee

iee

ie

max

pp

=

=

==

pipipi

(4.19)

S-a notat cu k factorul dimensional e

idd

k = .

4.2.3. Deformaii la rsucirePentru un element de bar de lungime dx, din relaiile (4.5) i (4.10) se obine

unghiul de rsucire

dxGIMdxd

p

t== (4.20)

Pentru o bar cu lungimea l unghiul cu care se rotesc relativ cele dou seciuni de la capete este:

==l

p

tl

dxGIM

d00

. (4.21)

Dac pe lungimea l a barei momentul de torsiune tM i rigiditatea la rsucire

pGI sunt constante atunci:

p

t

GI

lM= . (4.22)

4.3. Energia de deformaie la rsucirePentru un element de bar de lungime dx, lucrul mecanic efectuat de momentul

tM , a crui valoare crete liniar cu rotirea d, este

6


p

tp

tt

tGI

dxMGIdxM

MdM

L222

2

=

=

=

. (4.23)

Lucrul mecanic este nmagazinat de elementul de bar sub form de energie potenial de deformaie

LdU = . (4.24)Atunci, energia de deformaie nmagazinat de toat bara este

==l

p

tl

GIdxMdUU

0

2

0 2. (4.25)

Dac pe lungimea l momentul de torsiune i rigiditatea la rsucire pGI sunt constante, atunci:

p

tGI

lMU2

2= (4.26)

3.4. Calculul arcurilor cilindrice elicoidale

Arcul cilindric elicoidal este o bar curb n spaiu (Fig.4.8). S-au utilizat urmtoarele notaii:

R- raza de nfurare; d- diametrul seciunii spirei; 0- unghiul de nclinare a spirei; H0- nlimea arcului.

Sub aciunea forei F (Fig.4.8,b) se modific unghiul de nclinare a spirei i nlimea arcului cu f , numit sgeat.

Dac nclinarea spirelor este mare, atunci fora P, redus n centrul de greutate al seciunii transversale(Fig. 4.8, c), produce toate cele patru solicitri simple (ntindere, forfecare, ncovoiere i rsucire), eforturile corespunztoare fiind proieciile pe axa spirei i pe normala la aceasta a componentelor FR i MR (componentele torsorului de reducere a forei F n centrul de greutate al seciunii)

fora axial: sinFsinFN R == ; fora tietoare: cosFcosFT R == ;momentul ncovoietor : sinFRsinMM Ri == ; momentul de torsiune: cosFRcosMM Rt == .

Fig.4.8

7


La arcurile cu spire strnse, la care nclinarea elicei este foarte mic (0b (Fig. 4.9) sunt :- momentul de inerie polar echivalent

3bhI t = , (4.30)- modulul de rezisten polar echivalent

2bhWt = , (4.31)unde coeficienii i se iau din tabelul 4.1, sau se calculeaz cu formulele aproximative

)(231

2

++ ;

+

8,131

, hb = (4.32)

8


Fig. 4.9.

Rsucirea specific se calculeaz cu o relaie de forma (4.9)

t

tIG

M= , (4.33)

iar tensiunea tangenial maxim (la mijlocul laturii mari), cu formula

t

tmax,zx W

M= . (4.34)

La mijlocul laturii mici apare tensiunea max,zxmax,yx = , (4.35)

n care se introduce coeficientul , luat din tabelul 4.1 sau calculat cu formula

50121357

11 32 ,)( +

. (4.36)

Tabelul 4.1 : Valori ale coeficienilor , , h/b 1 1,2 1,5 1,75 2 2,5 3 4 10 1 0,833 0,666 0,571 0,5 0,4 0,333 0,25 0,1 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,312 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,312 1 0,93 0,86 0,82 0,79 0,77 0,75 0,74 -

3.6. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri deschise

n cazul barei cu seciune dreptunghiular ngust, numit i platband (Fig. 4.10), avnd raportul hb /= foarte mic tensiunile yx au valori neglijabile, iar zx variaz liniar pe grosimea profilului. n aceste condiii, la aplicarea formulelor (4.33) i (4.34) se va ine seam c din (4.30)-(4.32) rezult

31

= , 331 hbIt ,

231 hbWt = . (4.37)

Geometria seciunii unui profil subire (Fig. 4.11) se definete prin forma i dimensiunile liniei mediane (care trece pe la mijlocul grosimii, pe fiecare poriune, figurat cu linie-punct n desen).

9


Fig. 4.10. Fig. 4.11.

Calculul unui profil deschis se bazeaz pe urmtoarele ipoteze simplificatoare: seciunea transversal se deplaneaz datorit deplasrilor axiale ale punctelor

sale, dar nu se modific proiecia liniei sale mediane pe un plan normal pe axa barei; pe fiecare ramur se pot aplica formulele (4.37).Seciunea din figura 4.11 este compus din n dreptunghiuri cu lungimi mari fa

de grosimi si >> i (i = 1, 2, ... , n). Se noteaz cu tiM momentul de rsucire preluat de ramura i a profilului i se scrie condiia de echivalen

=

=

n

itti MM

1. (4.38)

unde tM este efortul de rsucire din seciunea analizat.n baza primei ipoteze simplificatoare, rsucirile specifice pentru ntregul profil i

pentru ramurile componente sunt considerate egale

n21 ... ==== . (4.39)Avnd n vedere (4.33) i (4.37), aceast condiie se scrie sub forma

t

tn

iii

n

iti

nn

tnttIG

M

sG

M

sG

M...

sG

M

sG

M ======

=

=

1

3

133

22

2311

1

31

31

31

31

, (4.40)

n care intervine o caracteristic geometric a seciunii, momentul de inerie polar echivalent (momentul de inerie convenional la torsiune)

=

=

n

iiit sI

1

331 . (4.41)

Din (4.40) se deduce

t

tkkkt I

MsM 3

31 = .

Tensiunea maxim pe ramura k a profilului se calculeaz pe baza relaiilor (4.34) i (4.37), astfel

kt

t

kk

tk

tk

tkkmax, I

M

s

MWM

===

231 . (4.42)

10


Se constat c tensiunea maxim apare n zona de grosime maxim a profilului. Ca urmare, condiia de rezisten la rsucire este

at

tmax

t

tmax W

MI

M == , (4.43)

unde modulul de rezisten convenional la torsiune pentru profilele subiri deschise este

max

tt

IW

= . (4.44)

3.7. Rsucirea liber n cazul profilelor subiri nchise

n continuare va fi prezentat o soluie aproximativ a problemei rsucirii libere n cazul barei tubulare cu perei subiri a crei seciune (Fig. 4.12) are ca linie median o curb nchis .

Ca i la profilele deschise se accept ipoteza conform creia proiecia liniei mediane a profilului pe un plan normal pe axa barei nu se modific datorit solicitrii (se rotete ca o linie rigid). Se accept, de asemenea i ipotezele lui Bredt:

tensiunile tangeniale au direcia tangentei locale la curba i se consider constante pe segmente normale la linia median a profilului;

fluxul de forfecare t, definit prin relaia t = , este constant de-a lungul curbei , adic ... 11 == 22 .

Dup cum rezult din figura 4.12, tensiunile const = repartizate pe suprafaa dsdA = se reduc n centrul de greutate al seciunii la o for dAdF = i un cuplu

dArdM t = , (4.45)unde r este distana de la centrul de greutate al seciunii la suportul forei dF.

Reducnd toate forele elementare care acioneaz n seciune n centrul de greutate al acesteia se obine o rezultant nul i un moment de rsucire egal cu efortul Mt din bar.

Integrnd (4.45) pe toat lungimea liniei mediane i avnd n vedere c const = , se obine

== 2tdsrM t , (4.46)unde este aria nchis de curba .

S-a inut seam de faptul c produsul dsr este dublul suprafeei triunghiului format n figura 4.12 (cu baza ds i nlimea r), ceea ce conduce la concluzia c

= 2dsr .Din relaia de definire a fluxului de forfecare i din (4.46) rezult

==

2tMt . (4.47)

De aceea, condiia de rezistena a tubului la rsucire se va scrie sub forma

at

t

min

tmax W

MM

=

=

2 . (4.48)

n concluzie, modulul de rezisten convenional la torsiune pentru profilele subiri nchise se calculeaz cu relaia :

mintW = 2 (4.49)

11


Fig. 4.12

n continuare va fi stabilit formula pentru calculul rsucirii specifice . Dac seciunea este constant de-a lungul barei, atunci momentul de rsucire Mt (aplicat static), produce lucrul mecanic

lMML tt 21

21

== , (4.50)

unde l este lungimea barei, iar este rotirea relativ a capetelor sale.Energia potenial U acumulat de profil prin torsionare se calculeaz avnd n

vedere ipotezele lui Bredt i expresia volumului elementar dxdsdxdAdV == . Rezult

( ) ==== dxdsGdVGdVUl

VV 0

22

21

22

===

ds

GlMds

Gldxds

Gt

l

2

222

0

22

8221

. (4.51)

n condiiile unei ncrcri lente nu se produc vibraii i se poate considera c lucru mecanic efectuat de cuplul aplicat barei este acumulat ca energie potenial de deformaie ( L=), rezultnd

t

tt

IGMds

GM

=

= 24 . (4.52)

A fost utilizat notaia

=

dsIt

24. (4.53)

Dac seciunea barei are n poriuni cu grosimi constante i (i=1,2, ... ,n) pe segmente de lungimi si ale liniei sale mediane, atunci formula anterioar devine

=

=

=

= n

i i

isn

i i

t sds

Ii

1

2

01

2 4

1

4

. (4.54)

12


Exemple de calcul

4.1. S se determine momentul de torsiune maxim ce s-ar putea transmite printr-un ax cu geometria din figura 4.13,a, dac este realizat din OLC 60, cu rezistena admisibil =a190 N/mm2 i modulul de elasticitate transversal G = 8,1104 N/mm2. Se accept o rotire relativ maxim de o5,0 ntre capetele axului ( o5,0=a ).

Modelul de calcul (fig. 4.13,b) conine poriunea dintre capetele prevzute cu canale de pan ale axului. n intervalul 1-2 bara are seciunea inelar cu diametrele: d=25 mm la interior i D=30 mm la exterior. innd seam de raportul d/D=0,8333 cu au fost calculate caracteristicile geometrice

=12pI 41172 mm4 i =12pW 2744,8 mm3.n zona central, cu seciune circular de diametru D=30 mm, momentul de inerie

polar este =23pI 79521,5 mm4. Caracteristicile geometrice ale seciunii (25) n zona 3-4 sunt =34pI 38349,5 mm4 i =34pW 3067,9 mm3 .

Fig. 4.13.

Tensiunea maxim pe intervalul 1-2 are expresia

tp

t MWM

== 4

1212max 10643,3 .

La dreapta seciunii 3 (pe poriunea 3-4) se evalueaz nivelul solicitrii innd seam de efectul de concentrare a tensiunilor prin coeficientul

++

++

+=

23

2 1)1(134,3

11tK,

n care rd2

= , rdD

2

= , ( r - raza de racordare).nlocuind valorile numerice d=25 mm, D=30 mm i r = 2 mm au fost obinute

25,6= , = 1,25 i =tK 1,4 . Ca urmare t

p

tt MW

MK == 434

34max 10563,4 .

13


Din condiia de rezisten

( ) atM == 434max12maxmax 10563,4,maxrezult 5

4

max 1016,4563,410

=

=a

tM

N mm .

Avnd n vedere formula (4.5) se calculeaz rotirea relativ a capetelor barei

=

++==++=

= +

+

834,31

952,74,0

117,41

1043

1 1,

1,34231214 G

lMIG

lM ti iip

iit

tt MMGl 84 10839,610554,0 == ,

unde au fost considerate valorile numerice al lungimilor celor trei tronsoane1003412 === lll mm i 404,023 == ll mm.

Rotirea relativ maxim admis a capetelor axului este

rad10726,8rad180

5,05,0 3o === pi a .

Din condiia de rigiditate atM = 814 10839,6 , se obine

55

max 10275,1839,610726,8

=

=tM N mm .

n consecin, soluia problemei este 5maxmaxmax 10275,1),(min == ttt MMM N mm .

4.2. S se compare un profil deschis (fig. 4.14, a) cu profilul nchis care se obine din el prin sudare (fig. 4.14, b), din punct de vedere al momentului maxim de torsiune ce se poate aplica i al rigiditii. Se consider cunoscute caracteristicile materialului a , G i raportul hr / =10 . Tensiunea admisibil este aceeai n cordonul de sudur i n materialul de baz al profilului.

n figura 4.14 sunt precizate dimensiunile liniei mediane i grosimile pereilor profilului. Momentele de inerie convenionale la torsiune sunt:

- pentru profilul deschis

[ ] 3333 611,4)6,1(225,1231 hrhrhrhrIt =++= pi

- pentru profilul nchis

hr

hr

hr

rIt3

42618,9

6,12)5,2()25,125,0(4

=

++

+=

pipi

.

Din condiia de rezisten pentru profilul deschis

at

t

t hhr

MI

M=

=

= 6,1611,4 3

maxmax

maxmax ,

rezult at hrM 2

max 88,2 = .

14


Fig. 4.14

Analog se determin momentul maxim de torsiune n cazul profilului nchis. Din condiia

attt

hr

M

hr

MM

pi =

=

+

=

= 2max

2max

min

maxmax

14,8)25,125,0(22 ,

s-a obinut at hrM 2

max 14,8 = .

Rsucirile specifice se calculeaz pentru ambele profile cu relaii de forma )/( tt IGM= .

Pentru comparaie se calculeaz rapoartele momentelor maxime i rsucirilor specifice (calculate pentru acelai efort Mt ) innd seam c s-a impus hr / =10 .

Rezultatele obinute

26288262 ,hr,

MM

maxt

maxt==

i

2080822

=

=

=

hr,

MIG

IGM

t

t

t

t

arat c profilul nchis este mult mai rezistent i mai rigid la rsucire liber fa de un profil deschis cu seciune avnd aceeai form i aceleai dimensiuni.

15

Fig. 4.14

Cap 4 Rasucirea

Documents

Transcript of Cap 4 Rasucirea