Capitolul 2ESTIMAREA STRII STATICE

2.1. Definirea estimatorului de stare

Starea static a unui sistem electroenergetic (SEE), poate fi complet determinat cu ajutorul unui setminimal de mrimi fizice denumite variabile de stare, care constituie componentele vectorului de stareX . Pentru un SEE cu n noduri, vectorul de stare, definit ca un vector real, are dimensiunea 12 n .Componentele lui sunt constituite din modulele tensiunilor n toate nodurile i argumentele tensiunilor n

1n dintre noduri. n ipoteza c nodul n este nodul de referin, atunci 0n , iar 1 2 1 2 1, ,..., , , ,..., Tn nU U U X .n capitolul 1 au fost studiate metodele clasice pentru calculul regimului permanent, utilizate off-

line att n activitatea de exploatare ct i n studiile de planificare a SEE.Problema estimrii strii statice privete direct implementarea conducerii n timp real a proceselor

din SEE. n acest context, operatorii din centrele de monitorizare i control trebuie s dispun npermanen de informaii suficient de precise despre starea sistemului pentru a adopta decizii corecte nconducerea operativ n scopul meninerii parametrilor de regim ntre limitele admise i al asigurriisecuritii sistemului.

Estimarea strii statice se realizeaz prin prelucrarea, pe calculatoare de proces adecvate, ainformaiilor primare obinute prin telemsurtori n diverse puncte ale reelei sistemului i a informaiilorprivind structura i parametrii acesteia. Datele privind structura se asigur prin telesemnalizarea poziieintreruptoarelor i separatoarelor.

Estimatorul de stare este algoritmul care, pe baza informaiilor colectate n timp real printelemsurri i telesemnalizri, conduce la o estimare de maxim ncredere a vectorului de stare X.

Starea static a SEE este caracterizat de variaia ei lent n timp, astfel nct informaiiletelemsurate, prelucrate de estimatorul de stare, se transmit periodic la intervale de timp egale t,cuprinse ntre 5 s i 60 s. ntr-un interval t se estimeaz vectorul de stare X i se determin circulaiile deputeri n reea.Observaie. O problem aparte n conducerea SEE o constituie controlul rapid al proceselor. n acest caz

se pune problema estimrii strii dinamice a SEE. Implementarea on-line a estimatorilor destare dinamic reclam exigene deosebite relativ la viteza de colectare i procesare a datelori nu va fi abordat n cadrul acestui curs.

La elaborarea estimatorului de stare static se adopt urmtoarele ipoteze:(i) Semnalele, constituind rezultatele msurtorilor, se obin i se transmit simultan ctre

sistemul de calcul central, fiind considerate constante pe intervalul de eantionare t.(ii) Sistemele de teletransmisie a datelor msurate nu se influeneaz reciproc.(iii) Proprietile statistico-probabiliste ale erorilor de msurare sunt cunoscute.Informaiile primare, numite i informai brute, furnizate calculatorului de proces prin

telemsurare i telesemnalizare sunt afectate de erori. Astfel, pe lng erorile normale de msurare, pot sapar i erori grosolane care nrutesc profund rezultatul estimrii. Acestea sunt de dou categorii:

Erori grosolane de msurare datorate defectelor intempestive ale unor traductoare de msur saucanale de teletransmisie, defecte ce pot cauza indisponibilitatea unor msurtori;

Erori grosolane de topologie, datorate defectelor de telesemnalizare a poziiei ntreruptoarelor,avnd drept consecin percepia eronat a topologiei reelei.n aceste condiii, informaiile preluate de ctre estimatorul de stare mai nti se supun unui proces

de filtrare n scopul suprimrii datelor eronate. Cum un asemenea proces conduce inevitabil la o pierderede informaii se impune ca msurtorile s fie redundante, adic numrul mrimilor fizice cunoscute sdepeasc numrul variabilelor de stare estimate.

2-2

ntr-un SEE avnd n noduri i l laturi (linii electrice i transformatoare) numrul maxim deinformaii este constituit din:

n - puteri active injectate n noduri;n - puteri reactive injectate n noduri;n - tensiuni nodale (n cadrul estimatoarelor clasice nu se msoar defazajele);4l - puteri de circulaie pe cele l laturi ale sistemului;

Prin urmare, numrul msurtorilor disponibile este: m=3n+4l >> 7n >> 2n-1 deoarece, de regul,l >n. Deci, numrul msurtorilor redundante este: mr= m-(2n-1).

Este uor de remarcat faptul c o redundan mare asigur ansa estimatorului, acesta putnd eua laun numr mic de informaii sau la o reprezentare neuniform a acestora.

Conceptul de observabilitateUn sistem este observabil dac se poate determina vectorul de stare cu un estimator dat.

Imposibilitatea determinrii vectorului de stare calific sistemul drept neobservabil fapt care se poatedatora numrului mic de informaii, repartizrii defavorabile a acestora sau performanelor estimatorului.

n concluzie, redundana msurtorilor, judicios stabilit, reprezint principalul factor care asigureficiena detectrii i identificrii erorilor mari i, n consecin creterea acurateii strii estimate.

2.2. Modelul strii statice a unui SEE stabilit pe baz de msurtoriModelul strii statice a unui SEE asupra crui opereaz estimatorul, este reprezentat de un sistem de

ecuaii algebrice neliniare, care exprim relaiile dintre mrimile de stare msurate n timp real ivariabilele de stare incluse n vectorul X.

Mrimile msurate, preluate de estimator, sunt: modulele tensiunilor n anumite noduri; injeciile de putere activ i reactiv n unele noduri; puterile active i reactive care circul prin anumite laturi msurate la extremitile acestora. n

general este ineficient s se includ n msurtori circulaiile de puteri la ambele capete aleunei laturi.

n schimb, printre mrimile msurate trebuie s se afle n mod obligatoriu tensiunea U a nodului dereferin. Se remarc faptul c dintre cele 2n-1 componente ale vectorului variabilelor de stare X, numai nsunt msurabile i anume modulele tensiunilor nodale.

Un estimator de stare poate prelucra i pseudomsurtori reprezentnd valori prognozate (tensiuni,puteri nodale, rapoarte de transformare, etc).

Dac m este numrul de mrimi msurate;zi valoarea msurat a mrimii i;hi expresia aceleiai mrimi n funcie de componentele vectorului variabilelor de stare

static xi;i eroarea de msurare;atunci modelul de stare static cu necunoscutele xk, 12,1 nk se poate scrie sub forma:

mixxxhz inii ,1.....,, 1221 (2.1)sau sub form matricial

Z h X (2.2)n care: mRZ este vectorul mrimilor msurate;

2 1nR X vectorul variabilelor de stare; 2 1: n mR R h X vectorul care exprim dependena mrimilor msurate de variabilele de

stare;mR vectorul erorilor.

2-3

Pentru exemplificare, se consider reeaua de transport a unui SEE cu 3 noduri i 3 linii, prezentatn figura 2.1.

1

3

2

U3

U2

P Q1 1

P Q21 21 msurare puterimsurare tensiuni

Fig. 2.1. Schema SEE utilizat pentru exemplificarea modelului matematical estimatorului strii statice

Nodul 3 este nodul de referin, iar valorile mrimilor msurate sunt: 21,UU

- tensiunile nodurilor 2 i 3; 1 1 ,P Q - puterile activ i reactiv injectate n nodul 1; 21 21 ,P Q - puterile activ i reactiv pe linia 1-2 la nodul 2.

Pentru simplificare s-a ales un grad redus de redundan, iar vectorii [X] i [Z] sunt:

1 12 23 34 15 2

x Ux Ux Uxx

X i

1 22 33 14 15 21

6 21

z Uz Uz Pz Qz Pz Q

Z

Prin urmare modelul strii statice este

1 2 1

2 3 2

3 1 3

4 1 4

5 21 5

6 21 6

z xz x

z Pz Qz Pz Q

XXXX

(2.3)

Avnd n vedere expresiile puterilor nodale:

31 1 1 1 1 1

13

1 1 1 1 1 11

cos sin

sin cos

nk k k k k

kn

k k k k kk

P U U G B

Q UU G B

X

X respectiv pe cele ale circulaiilor de puteri pe laturi:

2-4

221 12 210 2 2 1 12 2 1 12 2 1

221 12 210 2 2 1 12 2 1 12 2 1

( ) cos sin( ) sin cos

XX

P g g U U U g bQ b b U U U g b

n care: ik ik ikY G jB este termenul (i,k) din matricea admitanelor nodale;ik ikiky g jb - admitana longitudilal a laturii (i,k): n exemplul considerat i =2 i k =1 (a

se vedea figura 2.2);0 00 ik ikiky g jb - admitana transversal, conectat la nodul i, a laturii (i,k);0 00 ki kikiy g jb - admitana transversal, conectat la nodul k, a laturii (i,k),

rezult un sistem de 6 ecuaii neliniare cu 5 necunoscute ale cror valori urmeaz a fi estimate.i=2 yik=g +jbik ik

yik0=g +jbik0 ik0 yki0=g +jbki0 ki0

k=1

Fig. 2.2. Schema echivalent a liniei electrice i k

2.3. Estimarea vectorului de stareEstimarea strii const n determinarea valorilor cele mai probabile X ale variabilelor de stare

(modulele i argumentele tensiunilor nodale). n esen, aceasta este o problem de optimizare care poatefi rezolvat prin mai multe metode i anume:

metoda celor mai mici ptrate ponderate; metode de programare liniar i neliniar.

Metoda celor mai mici ptrate ponderateReprezint o metod tradiional folosit pentru soluionarea unor probleme de genul estimrii strii

statice i se bazeaz pe ipoteza c erorile de msurare sunt variabile aleatoare cu distribuie normal.n cadrul acestei metode se caut determinarea vectorului de stare X care minimizeaz funcia:

2 2 2 21 1 2 21

...m

m m i ii

F w w w w

X (2.4)reprezentnd suma ptratelor erorilor de msurare, Xi i iz h , ponderate.

Relaia (4) poate fi scris sub forma matricial: 2

1 1

m m Ti i i i i i i i

i iF w z h z h w z h

X X X X Z h X W Z h X (2.5)

n care [W] este matricea diagonal a coeficienilor de pondere i are dimensiunea (mm)1

1

...( ,..., )

...i m

m

w

w diag w w

w

W

Se poate demonstra faptul c dac matricea de pondere W este egal cu inversul matricei decovarian a erorilor de msurare C se obine cea mai bun estimare a vectorului variabilelor de stare X.

2-5

Deoarece s-a fcut ipoteza c msurtorile sunt independente, adic nu se influeneaz reciproc,atunci matricea de covarian a erorilor de msurare este:

21

2 221

2

...( ,..., )

...mi

m

diag

C

n care , 1,i i m este dispersia variabilei aleatore i , adic media ptratelor abaterilor.Prin urmare, din condiia W = C-1 rezult valorile coeficienilor de pondere

21 1,ii

w i m In continuare, pornind de la de la un set de msurtori Z i o estimare iniial (0)X a vectorului de

stare, se caut o nou estimare (1)X care s reprezinte soluia problemei de optim (4).In acest sens se liniarizeaz funciile ih X n jurul punctului (0)X i se neglijeaz termenii de

ordin superior, obinndu-se: 2 1(0)

1

n ii i kk k

hh h xx

X X (6)sau sub form matriceal

(0) (0) h X h X J X (6)n care (0)J este matricea Jacobian, de dimensiune (m 2n-1) ale crei elemente au valorile:

(0)1, , 1,2 1iik

khJ i m k nx X X

innd cont de relaia (6), relaia (2) poate fi scris sub forma: (0) (0) (0) (0) Z h X Z h X J X Z J X (7)

n care (0) (0) Z Z h XIn aceste condiii expresia funciei obiectiv F(X) devine:

(0) (0) (0) (0)TF X Z J X W Z J X (8)Dac X este vectorul ale crui elemente (0) (0) , 1,2 1i i ix x x i n minimizeaz funcia (8) atunci

derivatele pariale ale lui F(X) n raport cu ix sunt nule, adic: 0, 1,2 1i

F i nx X X

X

(9)Avnd n vedere relaia (8) i innd cont de regulile de derivare, setul de condiii (9) poate fi scris

sub urmtoarea form matriceal:

(0) (0) (0) (0)2 0T J W Z J X (10)din care rezult:

(0) (0) (0) (0) (0)T T J W Z J WJ X (11)respectiv:

(0) (0) (0) G X D (11)

2-6

n care: (0) (0) (0) (0) 1 (0)T T G J WJ J C J , iar (0) (0) (0) 1T T D J W Z J C ZPentru a justifica forma matriceal (10) a setului de condiii (9) se consider un caz ipotetic n care avem 3 msurtori

i dou variabile de stare:

1 (0)1 102 (0)2 13z x xz z x xx xz

Din , 1,2,3i i iz h i X rezult:

0 0

0 (0) (0) (0) (0) (0)1 1 2 2 1 1 2 2

1 21,2,3i ii i i i i ih hz h x x x x z J x J x ix x

X X X XX

respectiv

2 2 21 1 2 2 3 3

2(0) (0) (0)1 1 11 1 1 12 2 2

2(0) (0) (0)2 2 21 1 1 22 2 2

2(0) (0) (0)3 3 31 1 1 32 2 2

F w w ww z J x x J x xw z J x x J x xw z J x x J x x

X

(2.12)

n care:11 12

(0)21 2231 32

J JJ JJ J

J

este matricea Jacobian.Avnd n vedere expresia (12) a funciei obiectiv i innd cont c 0 , 1,2,3i i ix x x i , rezult:

(0)11 1 1 1 11 1 12 2

1(0)

21 1 2 2 21 1 22 2(0)

31 1 3 3 31 1 32 2

2

2 2 0

F J x w z H x H xxH x w z H x H xH x w z H x H x

i

(0)12 2 1 1 11 1 12 2

2(0)

22 2 2 2 21 1 22 2(0)

32 2 3 3 31 1 32 2

2

2 2 0

F J x w z H x H xxH x w z H x H xH x w z H x H x

Simplificnd fiecare relaie cu ix , rezult:

01 11 1 12 2

11 1 21 2 31 3 02 21 1 22 2

12 1 22 2 32 3 03 31 1 32 2

0 0 0 0

2

2 0T

z J x J xJ w J w J w z J x J xJ w J w J w z J x J x

J W Z J X

Prin rezolvarea sistemului de ecuaii liniare (11) se obin coreciile (0)X din cadrul primului pasde calcul iterativ, respectiv un nou vector de stare:

(1) (0) (0) X X X (13)Acesta reprezint estimaia cutat X numai dac este ndeplinit condiia:

2-7

(1)max i xx (14)n care x este eroarea sau precizia de calcul impus, suficient de mic. In general, calculul estimaiei Xeste un proces iterativ care necesit mai multe iteraii, efectuate conform relaiilor:

1

Tp p p p

p p p

G X J W ZX X X

(15)

n care p este pasul curent de calcul, adic indexul iteraiei.Determinarea iterativ a coreciilor pX , respectiv a estimaiei 1pX este condiionat de

necesitatea ca matricea Tp p pG J W J (16)

numit matrice de ctig s fie inversabil. Prin urmare, alegerea matricei de ctig constituie o problemesenial n cadrul procesului de estimare a strii statice.

Forma cea mai complet a matricei de ctig este definit de relaia: 1Tp p pG J C J (17)

i asigur cea mai bun convergen.n practic, pentru reducerea timpului de calcul necesar estimrii strii statice se admit diverse

ipoteze simplificatoare pentru calculul matricelor G i J dintre care se menioneaz: alegerea unei matrice de ctig constant determinat pe baza estimaiei iniiale 0X , adic:

0 01Tp G J C J (18) decuplarea (P ) i (Q U) pentru calculul elementelor matricei Jacobian J.n conformitate cu definiia conceptului de observabilitate (sistemul este observabil dac se poate

estima vectorul de starecu un estimator dat) rezult c matricea de ctig G constituie un indicator alobservabilitii. Astfel, dac matricea de ctig este singular atunci sistemul nu este observabil.

Prin urmare, avnd n vedere legtura dintre matricele G i J rezult c sistemul este observabildac rangul matricei J este (2n-1).

Analiza observabilitii sistemului cu ajutorul matricelor G i J permite formularea unor concluziiutile referitoare la amplasarea punctelor de msur.

Validarea unor estimaii X , furnizate de ctre estimatorul de stare necesit aplicarea unor tehnicispeciale de detecie i identificare a erorilor mari de msurare i a celor de structur.

Detecia urmrete punerea n eviden a existenei erorilor i se bazeaz pe calculul valorilor F X , care n condiii normale de estimare nu trebuie s depeasc un prag h. Valoarea acestui prag sedetermin n funcie de numrul msurtorilor redundante, numite i grade de libertate, i deprobabilitatea ga de a grei o msurtoare sau de a avea o semnalizare fals. Avnd n vedere c F Xurmeaz o distribuie de tip 2 atunci valoarea de prag h este:

ar gmh ,2 (19)Dac rm (practic mr 30) distribuia 2 se poate aproxima cu o distribuie normal de tip

Gauss.Dac se detecteaz existena erorilor atunci se declaneaz procesul de identificare a acestora. n

acest sens, se calculeaz reziduurile asociate msurtorilor: 1,i i ir z h i m X (20)se normeaz valorile i se efectueaz o analiz complex a acestora.

Msurtorile afectate de erori mari sunt eliminate sau nlocuite cu pseudomsurtori i se reiaprocesul de estimare.