CALCULUL SEISMIC AL REZERVOARELOR CILINDRICE

SEISMIC DESIGN OF CYLINDRICAL TANKS

ADRIAN FLORIN IORGULESCU1, EMILIAN URSU

2

Rezumat: Asigurarea integrității structurale a rezervoarelor și bazinelor, în cazul evenimentelor

seismice, este foarte importantă, dată fiind importanța post-seism a acestora sau pentru a se evita

eventualele accidente ce ar putea să apară . În țara noastră, multe dintre rezervoarele construite în

trecut au fost proiectate doar la acțiunea hidrostatică, lucru care se mai întâmplă și în prezent,

deoarece nu este conștientizată importanța calculului la acțiunea presiunilor hidrodinamice care

apar în timpul unui cutremur. În cazul rezervoarelor metalice, din cauza efectelor de interacțiune

fluid-structură, efectul acțiunii seismice este mai accentuat decât în cazul celor din beton armat, iar

acest lucru este exemplificat printr-un studiu de caz.

Cuvinte cheie: calcul seismic rezervoare cilindrice, presiuni hidrodinamice.

Abstract: Ensuring the structural integrity of tanks for liquid storage in case of seismic events is

highly important, given their post-earthquake importance or in order to avoid eventual accidents. In

our country, many of the tanks built in the past have been designed only for hydrostatic action, thing

that happens in our days also, because the importance of hydrodynamic pressure design is not fully

acknowledged. In the case of metallic tanks the effect of seismic motion is even more pronounced

than for the reinforced concrete case, and this is illustrated in a case study.

Keywords: seismic design of cylindrical tanks, hydrodynamic pressures.

1. Introducere

În urma evenimentelor seismice anterioare s-a constatat că o categorie vulnerabilă de construcții o

reprezintă rezervoarele pentru înmagazinarea lichidelor, în special cele din industria petrolieră și din

industria chimică. Prima lucrare importantă cu privire la calculul seismic al rezervoarelor îi aparține

inginerului american George Hounser. Acesta a formulat o metodă pentru estimarea răspunsului lichidului

din rezervoarele supuse acțiunii seismice. Modelul Housner propune împărțirea masei de lichid din

interiorul rezervorului în două componente, în funcție de comportarea acesteia în timpul actiunii seismice.

Prima componentă este masa impulsivă, considerată ca fiind legată rigid de pereții rezervorului – mișcare

de corp rigid; a doua componentă o reprezintă masa convectivă, care are o mișcare oscilatorie,

considerându-se legată elastic de pereții rezervorului [1].

În cazul rezervoarelor metalice s-a pus în discuție corectitudinea metodei Housner pentru determinarea

presiunilor hidrodinamice. Astfel, au fost efectuate numeroase studii pentru a se determina efectul

1 Drd. Ing. Universitatea Tehnică de Construcții București, (PhD.c. Eng. Technical University of Civil Engineering

Bucharest), FCCIA – Departamentul de Construcții din Beton Armat, e-mail: adrian.florin.iorgulescu@gmail.com 2 Drd. Ing. Universitatea Tehnică de Construcții București, (PhD.c. Eng. Technical University of Civil Engineering

Bucharest), FCCIA – Departamentul de Construcții Metalice, e-mail: ursuemilian@yahoo.com

Fig. 1 - Reprezentarea modelului de calcul Housner

flexibilității pereților asupra distribuției presiunilor. Prof. Anestis Veletsos de la University of Houston,

Texas a propus determinarea presiunii hidrodinamice diferit pentru cazul rezervoarelor rigide (rezervoare

din beton armat) față de cele flexibile (rezervoare metalice) [2]. Abordarea introdusă de acesta stă la baza

metodei de calcul prezentată în EN 1998 – partea 4.

În cazul rezervoarelor metalice, din pricina efectelor

hidrodinamice pot să apară urmatoarele tipuri de avarii [3]:

avarii de tip „genunchi de elefant” sau „talpă de

elefant”, ce reprezintă pierderea stabilității în domeniul elasto-

plastic a pereților de oțel ai rezervorului sub acțiunea

momentului de răsturnare;

pierderea stabilității în domeniul elastic a pereților

rezervorului - diamond buckling;

cedări la nivelul acoperișului produse de componenta

convectivă – efect de „sloshing”;

cedări la nivelul fundațiilor.

2. Calculul conform cu EN 1998-4:2006, Anexa A

Pentru rezervoarele circulare verticale, fixate de fundație, metodele de calcul se diferențiază funcție de

rigiditatea pereților rezervorului. În cazul componentei orizontale a acțiunii seismice, pentru rezervoarele

rigide, se calculează presiunile impulsivă (1) și convectivă (3), iar pentru rezervoarele flexibile se adaugă

suplimentar și presiunea impulsiv-flexibilă (6). În cazul componentei verticale a acțiunii seismice, pentru

rezervoarele rigide avem o singură componentă (11), iar pentru cazul rezervoarelor cu pereți flexibili se

adaugă suplimentar și contribuția datorată deformabilității mantalei (12) [4].

Efectele diferitelor componente se combină printr-o metodă acceptată: SRSS sau însumarea valorilor

maxime absolute.

2.1. Metoda de calcul pentru rezervoarele circulare, fixate de fundație

Pentru calculul rezervoarelor circulare se utilizează un

sistem de coordonate cilindrice: r, z, θ cu originea în

centrul fundului rezervorului și axa z verticală. Pentru

localizarea diferitelor puncte din interiorul rezervorului se

folosesc coordonatele adimensionalizate ξ=r/R , respectiv

ζ=z/H. Înălțimea suprafeței libere a lichidului și raza

rezervorului sunt notate cu H și respectiv R, conform

figurii alăturate.

2.1.1. Presiunea impulsivă

Conform [4], expresia presiunii impulsive este:

( ) ( ) ( ) ( )

Coeficientul Ci oferă distribuția pe înălțime și distribuția radială pentru presiunea impulsiv-rigidă și se

determină cu următoarea relație:

( ) ∑( )

(

)

( ) (

) ( )

Fig. 2 - Avarie de tip “talpă de elefant”

Fig. 3 - Sistemul de axe de coordonate

H – reprezintă înălțimea coloanei de lichid din rezervor;

R – reprezintă raza rezervorului;

I1(● ) si I1’(● ) reprezintă funcția Bessel modificată de ordinul I și

derivata acesteia;

ρ - reprezintă densitatea lichidului înmagazinat;

Ag(t) - reprezintă accelerația terenului funcție de timp (valoarea

de vârf fiind reprezentată de ag).

2.1.2. Presiunea convectivă

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

J1 – reprezintă funcția Bessel de ordinul I;

Se poate observa că presiunea convectivă (3) rezultă din suma

mai multor termeni, corespunzători modurilor de vibrație

convective ale lichidului. În [4] se consideră că doar primele 3

moduri de vibrație sunt suficiente pentru evaluarea răspunsului

convectiv. Astfel sunt oferite valorile λk ale primei derivate a

funcției Bessel de ordin 1 doar pentru primele 3 moduri proprii:

λ1 = 1,841; λ2 = 5,331; λ3 = 8,536.

Acn(t) reprezintă accelerația de răspuns a unui sistem cu un singur

grad de libertate dinamică, având o perioada proprie de vibrație

Tcn și o fracțiune din amortizarea critică corespunzatoare pentru

lichidul care oscilează. Aceasta se consideră de regulă ξ=0.5%.

Perioada proprie de vibrație Tcn a modului convectiv “n” se

determina cu relatia urmatoare [4]:

√

( ) ( )

2.1.3. Presiunea impulsiv-flexibilă

Presiunea corespunzătoare vibrației sistemului rezervor-fluid rezultă din contribuția unui număr infinit de

moduri de vibrație ale rezervorului, dar în determinarea presiunii impulsiv-flexibile este suficientă

considerarea primului mod de vibrație circumferențială.

Presupunându-se că modurile de vibrație ale sistemului sunt cunoscute, expresia pentru presiunea

impulsiv-flexibilă este următoarea [4]:

( ) ∑ ( ) ( )

( )

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

ζ=z/

H

pc / Rag γ=0,5 γ=1,0 γ=3,0

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0

ζ=z/

H

pi / Rag γ=0,5 γ=1,0 γ=3,0

Fig. 5 - Distributia presiunii convective

Fig. 4 - Distribuția presiunii impulsive

∫ ( ) [

( )

∑ ( )

]

∫ ( ) [ ( ) ( ) ∑ ( )

]

( )

( ) (

)

(

) ( )

∫ ( ) ( ) (

)

(

) ( )

( ) – reprezintă accelerația de răspuns a unui oscilator simplu având perioada si fracțiunea din

amortizarea critică corespunzătoare modului “n” de vibrație;

( ) – reprezintă forma modală, care este funcție de parametrul ζ;

– reprezintă densitatea materialului din care sunt confecționați pereții rezervorului;

( ) – reprezintă grosimea pereților.

Componenta impulsiv-flexibilă se determină printr-un procedeu iterativ, utilizând modelul “adăugării-

masei”. Acest model presupune că pereții sunt încarcați iterativ cu o masă adițională corespunzătoare

porțiunii de lichid ce este “activată” (porțiunea de lichid ce interacționează cu pereții rezervorului). Acest

procedeu iterativ propune alegerea unei forme modale ( ) inițiale (o forma proporțională cu se

consideră o bună aproximare); se calculează componenta presiunii impulsiv-flexibilă corespunzătoare

pasului inițial cu relația (6) și apoi se determină valoarea densitații “efective” a mantalei cu următoarea

relație [4]:

( )

( )

( ) ( ) ( )

În pasul următor, cu noua valoare a densitații mantalei se determină forma modală corespunzatoare

acestui pas, formă modală ce va fi folosită pentru determinarea noii valori a componentei impulsiv-

flexibilă. Procesul se repetă până când expresia pentru forma modală din pasul i+1 este aproximativ

aceeași cu cea din pasul i.

Calcul pentru determinarea presiunii impulsiv-flexibile este un calcul iterativ ce presupune cuplarea unui

software specializat pentru rezolvarea expresiilor matematice cu un program de calcul ce utilizează

metoda elementului finit [5].

Fig. 6 - Reprezentarea procesului iterativ pentru determinarea presiunii impulsiv-flexibile

(Holtschoppen et. al., 2011)

2.1.4. Presiunea dată de componenta verticală a acțiunii seismice

Componenta datorată mișcării de corp rigid se determină cu urmatoarea expresie [4]:

( ) ( ) ( ) ( )

Componenta datorată deformabilității mantalei se determină cu următoarea expresie [4]:

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( ) ( )

În cazul rezervoarelor rigide prezintă interes doar prima componentă. În cazul rezervoarelor cu pereți

flexibili, prezintă interes ambele componente, pentru care metoda de combinare este SRSS:

√( ) ( ) ( )

Av(t) reprezintă accelerația verticală a terenului ( valoarea maximă fiind reprezentată de av).

Avf(t) reprezintă răspunsul unui oscilator simplu, ce are urmatoarea frecvență fundamentală [4]:

√

( )

( ) ( )

( )

( )

E si ν reprezintă modulul lui Young și respectiv coeficientul lui Poisson pentru materialul din care este

realizat rezervorul.

3. Studiu de caz

Pentru acest studiu de caz au fost analizate două tipuri de rezervoare, cu aceleași caracteristici geometrice

și cu aceleași condiții de amplasament, dar realizate din materiale diferite. În prima ipoteză a fost analizat

un rezervor din beton armat, iar în cea de-a doua un rezervor metalic. S-a urmărit creșterea presiunilor

hidrodinamice datorită fenomenelor de interacțiune fluid-structură în cazul rezervorului cu pereți flexibili.

3.1. Cazul rezervorului din beton armat (rigid):

Se consideră un rezervor cilindric, neacoperit,

cu următoarele caracteristici:

- pereții rezervorului sunt confecționați din

beton armat, cu grosimea de 35 cm;

- înălțimea rezervorului este 11,0m,

diametrul interior este 20,0m; rezervorul

este umplut cu apă pe o înalțime de

10,0m;

- rezervorul este amplasat într-o zonă

seismică caracterizată de o accelerație

maximă a terenului pe amplasament,

ag=0,24g și perioada de colț, Tc=1,0 sec. Fig. 7 - Schema rezervorului analizat

După efectuarea calculului conform cu [4], au fost obținute următoarele valori pentru componentele

presiunii hidrodinamice. În grafice a fost reprezentată doar valoarea presiunii pentru direcția paralelă cu

sensul acțiunii seismice (θ = 0°).

Pentru obținerea presiunilor maxime se va folosi regula de compunere SRSS:

√( ) ( ) ( )

( )

În final, obținându-se următoarea distribuție pentru presiunea hidrodinamică maximă:

17.4 kPa

17.0 kPa

15.6 kPa

13.1 kPa

8.7 kPa

0.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 3 5 8 10 13 15 18 20

ζ=z/

H

pi [kPa]

3.1 kPa

3.4 kPa

4.1 kPa

5.5 kPa

8.1 kPa

14.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15

ζ=z/

H

pc [kPa]

2.1 kPa

2.1 kPa

2.1 kPa

2.1 kPa

2.1 kPa

2.1 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1 2 3

ζ=z/

H

pw [kPa]

16.5 kPa

13.2 kPa

9.9 kPa

6.6 kPa

3.3 kPa

0.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

ζ=z/

H

pvr [kPa]

25.8 kPa

23.5 kPa

20.7 kPa

17.4 kPa

13.9 kPa

14.1 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30

ζ=z/

H

pmax [kPa]

Fig. 8 - Distribuția presiunii impulsive Fig. 9 - Distribuția presiunii convective

Fig. 10 - Distribuția presiunii dată de inerția

pereților

Fig. 11 - Distribuția presiunii dată de componenta

verticală a acțiunii seismice

Fig. 12 - Presiunea hidrodinamică maximă (θ = 0°)

3.2. Cazul rezervorului metalic (pereți flexibili):

Se consideră un rezervor metalic cilindric cu aceleași caracteristici geometrice cu rezervorul din beton

armat, dar cu pereții confecționați din tablă de oțel cu grosimea de 8 mm. Oțelul folosit pentru realizarea

mantalei este S235.

Componentele impulsivă și convectivă sunt identice cu cele de la rezervorul cu pereți rigizi. În

continuare, pentru componenta orizontală a acțiunii seismice este prezentată doar distribuția presiunii

impulsiv-flexibile (fig. 15). Pentru componenta verticală a acțiunii seismice este indicată presiunea

rezultată din compunerea, conform expresiei (14), a contribuției datorată mișcării de corp rigid (11) și cea

datorată deformabilității mantalei rezervorului (12) (fig. 16).

Pentru obținerea presiunilor maxime se va folosi regula de compunere SRSS:

√( ) ( )

( ) ( )

( )

100 kPa

80 kPa

60 kPa

40 kPa

20 kPa

0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150

ζ=z/

H

phidrostatica [kPa]

126 kPa

103 kPa

81 kPa

57 kPa

34 kPa

14 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150

ζ=z/

H

phidrostatica + hidrodinamica [kPa]

10.0 kPa

13.9 kPa

17.1 kPa

17.5 kPa

13.3 kPa

0.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20

ζ=z/

H

pf iteratia 3[kPa]

40.5 kPa

37.6 kPa

31.5 kPa

22.7 kPa

11.9 kPa

0.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60

ζ=z/

H

pv [kPa]

45.3 kPa

43.6 kPa

39.3 kPa

32.0 kPa

21.4 kPa

14.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60

ζ=z/

H

phidrodinamică max[kPa]

145.3

kPa

123.6

kPa

99.3 kPa

72.0 kPa

41.4 kPa

14.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 50 100 150 200

ζ=z/

H

p hidrostatica + hidrodinamica[kPa]

Fig. 13 - Presiunea hidrostatică Fig. 14 - Presiunea hidrostatică + hidrodinamică

Fig. 15 - Presiunea impulsiv-flexibilă (iterația 3) Fig. 16 - Presiunea dată de componenta verticală a

acțiunii seismice

Fig. 17: Presiunea hidrodinamică maximă Fig. 18: Presiunea hidrostatică + hidrodinamică

Influența flexibilității pereților asupra presiunilor hidrodinamice este evidențiată printr-o paralelă între

valorile obținute pentru cazul rezervorului rigid și cazul rezervorului flexibil:

4. Concluzii

Se poate observa că în cazul ambelor tipuri de rezervoare, majorarea presiunilor determinate de efectele

hidrodinamice este importantă - între 25 si 45%. Este evident astfel faptul că acest tip de calcul nu poate fi

neglijat în practica de proiectare curentă. Pe de altă parte, pentru cazul studiat, influența interacțiunii

fluidului cu pereții flexibili ai rezervorului asupra valorilor presiunilor hidrodinamice nu este neglijabilă.

În cazul rezervorului metalic se constată o majorare a presiunilor cu aproximativ 15% față de cazul

rezervorului din beton armat.

Bibliografie

[1] Housner, G. – The dynamic behavior of water tanks, Bulletin of the Seismological Society of America,

February 1963

[2] Veletsos, A., Yang, J. – Earthquake response of liquid storage tanks, Japan, 1976

[3] ESDEP WG 17 – European Steel Design Education Programme, The Steel Construction Institute, UK, 1994

[4] EN 1998-4, 2006 – Design provisions for earthquake resistance of structures, Part 4 – Silos, tanks and pipelines,

European Committe for Standardisation, Brussels

[5] Meskouris, K., Holtschoppen, B., Butenweg, J., Rosin, J. – Seismic analysis of liquid storage tanks, Greece,

2011

[6] Iorgulescu, A. – Calculul rezervoarelor circulare la acțiunea seismică, Lucrare de disertație, Universitatea

Tehnică de Construcții București, 2013

45.3 kPa

43.6 kPa

39.3 kPa

32.0 kPa

21.4 kPa

14.0 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 20 40 60

ζ=z/

H

phidrodinamica - metal [kPa]

25.8 kPa

23.5 kPa

20.7 kPa

17.4 kPa

13.9 kPa

14.1 kPa

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30

ζ=z/

H

phidrodinamica - beton armat [kPa]

Fig. 19: Presiunea hidrodinamică maximă

(rezervor din beton armat)

Fig. 20: Presiunea hidrodinamică maximă

(rezervor metalic)