CALCULUL SEISMIC AL REZERVOARELOR CILINDRICE
SEISMIC DESIGN OF CYLINDRICAL TANKS
ADRIAN FLORIN IORGULESCU1, EMILIAN URSU
2
Rezumat: Asigurarea integrității structurale a rezervoarelor și bazinelor, în cazul evenimentelor
seismice, este foarte importantă, dată fiind importanța post-seism a acestora sau pentru a se evita
eventualele accidente ce ar putea să apară . În țara noastră, multe dintre rezervoarele construite în
trecut au fost proiectate doar la acțiunea hidrostatică, lucru care se mai întâmplă și în prezent,
deoarece nu este conștientizată importanța calculului la acțiunea presiunilor hidrodinamice care
apar în timpul unui cutremur. În cazul rezervoarelor metalice, din cauza efectelor de interacțiune
fluid-structură, efectul acțiunii seismice este mai accentuat decât în cazul celor din beton armat, iar
acest lucru este exemplificat printr-un studiu de caz.
Cuvinte cheie: calcul seismic rezervoare cilindrice, presiuni hidrodinamice.
Abstract: Ensuring the structural integrity of tanks for liquid storage in case of seismic events is
highly important, given their post-earthquake importance or in order to avoid eventual accidents. In
our country, many of the tanks built in the past have been designed only for hydrostatic action, thing
that happens in our days also, because the importance of hydrodynamic pressure design is not fully
acknowledged. In the case of metallic tanks the effect of seismic motion is even more pronounced
than for the reinforced concrete case, and this is illustrated in a case study.
Keywords: seismic design of cylindrical tanks, hydrodynamic pressures.
1. Introducere
În urma evenimentelor seismice anterioare s-a constatat că o categorie vulnerabilă de construcții o
reprezintă rezervoarele pentru înmagazinarea lichidelor, în special cele din industria petrolieră și din
industria chimică. Prima lucrare importantă cu privire la calculul seismic al rezervoarelor îi aparține
inginerului american George Hounser. Acesta a formulat o metodă pentru estimarea răspunsului lichidului
din rezervoarele supuse acțiunii seismice. Modelul Housner propune împărțirea masei de lichid din
interiorul rezervorului în două componente, în funcție de comportarea acesteia în timpul actiunii seismice.
Prima componentă este masa impulsivă, considerată ca fiind legată rigid de pereții rezervorului – mișcare
de corp rigid; a doua componentă o reprezintă masa convectivă, care are o mișcare oscilatorie,
considerându-se legată elastic de pereții rezervorului [1].
În cazul rezervoarelor metalice s-a pus în discuție corectitudinea metodei Housner pentru determinarea
presiunilor hidrodinamice. Astfel, au fost efectuate numeroase studii pentru a se determina efectul
1 Drd. Ing. Universitatea Tehnică de Construcții București, (PhD.c. Eng. Technical University of Civil Engineering
Bucharest), FCCIA – Departamentul de Construcții din Beton Armat, e-mail: [email protected] 2 Drd. Ing. Universitatea Tehnică de Construcții București, (PhD.c. Eng. Technical University of Civil Engineering
Bucharest), FCCIA – Departamentul de Construcții Metalice, e-mail: [email protected]
Fig. 1 - Reprezentarea modelului de calcul Housner
flexibilității pereților asupra distribuției presiunilor. Prof. Anestis Veletsos de la University of Houston,
Texas a propus determinarea presiunii hidrodinamice diferit pentru cazul rezervoarelor rigide (rezervoare
din beton armat) față de cele flexibile (rezervoare metalice) [2]. Abordarea introdusă de acesta stă la baza
metodei de calcul prezentată în EN 1998 – partea 4.
În cazul rezervoarelor metalice, din pricina efectelor
hidrodinamice pot să apară urmatoarele tipuri de avarii [3]:
avarii de tip „genunchi de elefant” sau „talpă de
elefant”, ce reprezintă pierderea stabilității în domeniul elasto-
plastic a pereților de oțel ai rezervorului sub acțiunea
momentului de răsturnare;
pierderea stabilității în domeniul elastic a pereților
rezervorului - diamond buckling;
cedări la nivelul acoperișului produse de componenta
convectivă – efect de „sloshing”;
cedări la nivelul fundațiilor.
2. Calculul conform cu EN 1998-4:2006, Anexa A
Pentru rezervoarele circulare verticale, fixate de fundație, metodele de calcul se diferențiază funcție de
rigiditatea pereților rezervorului. În cazul componentei orizontale a acțiunii seismice, pentru rezervoarele
rigide, se calculează presiunile impulsivă (1) și convectivă (3), iar pentru rezervoarele flexibile se adaugă
suplimentar și presiunea impulsiv-flexibilă (6). În cazul componentei verticale a acțiunii seismice, pentru
rezervoarele rigide avem o singură componentă (11), iar pentru cazul rezervoarelor cu pereți flexibili se
adaugă suplimentar și contribuția datorată deformabilității mantalei (12) [4].
Efectele diferitelor componente se combină printr-o metodă acceptată: SRSS sau însumarea valorilor
maxime absolute.
2.1. Metoda de calcul pentru rezervoarele circulare, fixate de fundație
Pentru calculul rezervoarelor circulare se utilizează un
sistem de coordonate cilindrice: r, z, θ cu originea în
centrul fundului rezervorului și axa z verticală. Pentru
localizarea diferitelor puncte din interiorul rezervorului se
folosesc coordonatele adimensionalizate ξ=r/R , respectiv
ζ=z/H. Înălțimea suprafeței libere a lichidului și raza
rezervorului sunt notate cu H și respectiv R, conform
figurii alăturate.
2.1.1. Presiunea impulsivă
Conform [4], expresia presiunii impulsive este:
( ) ( ) ( ) ( )
Coeficientul Ci oferă distribuția pe înălțime și distribuția radială pentru presiunea impulsiv-rigidă și se
determină cu următoarea relație:
( ) ∑( )
(
)
( ) (
) ( )
Fig. 2 - Avarie de tip “talpă de elefant”
Fig. 3 - Sistemul de axe de coordonate
H – reprezintă înălțimea coloanei de lichid din rezervor;
R – reprezintă raza rezervorului;
I1(● ) si I1’(● ) reprezintă funcția Bessel modificată de ordinul I și
derivata acesteia;
ρ - reprezintă densitatea lichidului înmagazinat;
Ag(t) - reprezintă accelerația terenului funcție de timp (valoarea
de vârf fiind reprezentată de ag).
2.1.2. Presiunea convectivă
( ) ∑ ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
J1 – reprezintă funcția Bessel de ordinul I;
Se poate observa că presiunea convectivă (3) rezultă din suma
mai multor termeni, corespunzători modurilor de vibrație
convective ale lichidului. În [4] se consideră că doar primele 3
moduri de vibrație sunt suficiente pentru evaluarea răspunsului
convectiv. Astfel sunt oferite valorile λk ale primei derivate a
funcției Bessel de ordin 1 doar pentru primele 3 moduri proprii:
λ1 = 1,841; λ2 = 5,331; λ3 = 8,536.
Acn(t) reprezintă accelerația de răspuns a unui sistem cu un singur
grad de libertate dinamică, având o perioada proprie de vibrație
Tcn și o fracțiune din amortizarea critică corespunzatoare pentru
lichidul care oscilează. Aceasta se consideră de regulă ξ=0.5%.
Perioada proprie de vibrație Tcn a modului convectiv “n” se
determina cu relatia urmatoare [4]:
√
( ) ( )
2.1.3. Presiunea impulsiv-flexibilă
Presiunea corespunzătoare vibrației sistemului rezervor-fluid rezultă din contribuția unui număr infinit de
moduri de vibrație ale rezervorului, dar în determinarea presiunii impulsiv-flexibile este suficientă
considerarea primului mod de vibrație circumferențială.
Presupunându-se că modurile de vibrație ale sistemului sunt cunoscute, expresia pentru presiunea
impulsiv-flexibilă este următoarea [4]:
( ) ∑ ( ) ( )
( )
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0
ζ=z/
H
pc / Rag γ=0,5 γ=1,0 γ=3,0
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
.0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.0
ζ=z/
H
pi / Rag γ=0,5 γ=1,0 γ=3,0
Fig. 5 - Distributia presiunii convective
Fig. 4 - Distribuția presiunii impulsive
∫ ( ) [
( )
∑ ( )
]
∫ ( ) [ ( ) ( ) ∑ ( )
]
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫ ( ) ( ) (
)
(
) ( )
( ) – reprezintă accelerația de răspuns a unui oscilator simplu având perioada si fracțiunea din
amortizarea critică corespunzătoare modului “n” de vibrație;
( ) – reprezintă forma modală, care este funcție de parametrul ζ;
– reprezintă densitatea materialului din care sunt confecționați pereții rezervorului;
( ) – reprezintă grosimea pereților.
Componenta impulsiv-flexibilă se determină printr-un procedeu iterativ, utilizând modelul “adăugării-
masei”. Acest model presupune că pereții sunt încarcați iterativ cu o masă adițională corespunzătoare
porțiunii de lichid ce este “activată” (porțiunea de lichid ce interacționează cu pereții rezervorului). Acest
procedeu iterativ propune alegerea unei forme modale ( ) inițiale (o forma proporțională cu se
consideră o bună aproximare); se calculează componenta presiunii impulsiv-flexibilă corespunzătoare
pasului inițial cu relația (6) și apoi se determină valoarea densitații “efective” a mantalei cu următoarea
relație [4]:
( )
( )
( ) ( ) ( )
În pasul următor, cu noua valoare a densitații mantalei se determină forma modală corespunzatoare
acestui pas, formă modală ce va fi folosită pentru determinarea noii valori a componentei impulsiv-
flexibilă. Procesul se repetă până când expresia pentru forma modală din pasul i+1 este aproximativ
aceeași cu cea din pasul i.
Calcul pentru determinarea presiunii impulsiv-flexibile este un calcul iterativ ce presupune cuplarea unui
software specializat pentru rezolvarea expresiilor matematice cu un program de calcul ce utilizează
metoda elementului finit [5].
Fig. 6 - Reprezentarea procesului iterativ pentru determinarea presiunii impulsiv-flexibile
(Holtschoppen et. al., 2011)
2.1.4. Presiunea dată de componenta verticală a acțiunii seismice
Componenta datorată mișcării de corp rigid se determină cu urmatoarea expresie [4]:
( ) ( ) ( ) ( )
Componenta datorată deformabilității mantalei se determină cu următoarea expresie [4]:
( ) ( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
În cazul rezervoarelor rigide prezintă interes doar prima componentă. În cazul rezervoarelor cu pereți
flexibili, prezintă interes ambele componente, pentru care metoda de combinare este SRSS:
√( ) ( ) ( )
Av(t) reprezintă accelerația verticală a terenului ( valoarea maximă fiind reprezentată de av).
Avf(t) reprezintă răspunsul unui oscilator simplu, ce are urmatoarea frecvență fundamentală [4]:
√
( )
( ) ( )
( )
( )
E si ν reprezintă modulul lui Young și respectiv coeficientul lui Poisson pentru materialul din care este
realizat rezervorul.
3. Studiu de caz
Pentru acest studiu de caz au fost analizate două tipuri de rezervoare, cu aceleași caracteristici geometrice
și cu aceleași condiții de amplasament, dar realizate din materiale diferite. În prima ipoteză a fost analizat
un rezervor din beton armat, iar în cea de-a doua un rezervor metalic. S-a urmărit creșterea presiunilor
hidrodinamice datorită fenomenelor de interacțiune fluid-structură în cazul rezervorului cu pereți flexibili.
3.1. Cazul rezervorului din beton armat (rigid):
Se consideră un rezervor cilindric, neacoperit,
cu următoarele caracteristici:
- pereții rezervorului sunt confecționați din
beton armat, cu grosimea de 35 cm;
- înălțimea rezervorului este 11,0m,
diametrul interior este 20,0m; rezervorul
este umplut cu apă pe o înalțime de
10,0m;
- rezervorul este amplasat într-o zonă
seismică caracterizată de o accelerație
maximă a terenului pe amplasament,
ag=0,24g și perioada de colț, Tc=1,0 sec. Fig. 7 - Schema rezervorului analizat
După efectuarea calculului conform cu [4], au fost obținute următoarele valori pentru componentele
presiunii hidrodinamice. În grafice a fost reprezentată doar valoarea presiunii pentru direcția paralelă cu
sensul acțiunii seismice (θ = 0°).
Pentru obținerea presiunilor maxime se va folosi regula de compunere SRSS:
√( ) ( ) ( )
( )
În final, obținându-se următoarea distribuție pentru presiunea hidrodinamică maximă:
17.4 kPa
17.0 kPa
15.6 kPa
13.1 kPa
8.7 kPa
0.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 3 5 8 10 13 15 18 20
ζ=z/
H
pi [kPa]
3.1 kPa
3.4 kPa
4.1 kPa
5.5 kPa
8.1 kPa
14.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 5 10 15
ζ=z/
H
pc [kPa]
2.1 kPa
2.1 kPa
2.1 kPa
2.1 kPa
2.1 kPa
2.1 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3
ζ=z/
H
pw [kPa]
16.5 kPa
13.2 kPa
9.9 kPa
6.6 kPa
3.3 kPa
0.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
ζ=z/
H
pvr [kPa]
25.8 kPa
23.5 kPa
20.7 kPa
17.4 kPa
13.9 kPa
14.1 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30
ζ=z/
H
pmax [kPa]
Fig. 8 - Distribuția presiunii impulsive Fig. 9 - Distribuția presiunii convective
Fig. 10 - Distribuția presiunii dată de inerția
pereților
Fig. 11 - Distribuția presiunii dată de componenta
verticală a acțiunii seismice
Fig. 12 - Presiunea hidrodinamică maximă (θ = 0°)
3.2. Cazul rezervorului metalic (pereți flexibili):
Se consideră un rezervor metalic cilindric cu aceleași caracteristici geometrice cu rezervorul din beton
armat, dar cu pereții confecționați din tablă de oțel cu grosimea de 8 mm. Oțelul folosit pentru realizarea
mantalei este S235.
Componentele impulsivă și convectivă sunt identice cu cele de la rezervorul cu pereți rigizi. În
continuare, pentru componenta orizontală a acțiunii seismice este prezentată doar distribuția presiunii
impulsiv-flexibile (fig. 15). Pentru componenta verticală a acțiunii seismice este indicată presiunea
rezultată din compunerea, conform expresiei (14), a contribuției datorată mișcării de corp rigid (11) și cea
datorată deformabilității mantalei rezervorului (12) (fig. 16).
Pentru obținerea presiunilor maxime se va folosi regula de compunere SRSS:
√( ) ( )
( ) ( )
( )
100 kPa
80 kPa
60 kPa
40 kPa
20 kPa
0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 50 100 150
ζ=z/
H
phidrostatica [kPa]
126 kPa
103 kPa
81 kPa
57 kPa
34 kPa
14 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 50 100 150
ζ=z/
H
phidrostatica + hidrodinamica [kPa]
10.0 kPa
13.9 kPa
17.1 kPa
17.5 kPa
13.3 kPa
0.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20
ζ=z/
H
pf iteratia 3[kPa]
40.5 kPa
37.6 kPa
31.5 kPa
22.7 kPa
11.9 kPa
0.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60
ζ=z/
H
pv [kPa]
45.3 kPa
43.6 kPa
39.3 kPa
32.0 kPa
21.4 kPa
14.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60
ζ=z/
H
phidrodinamică max[kPa]
145.3
kPa
123.6
kPa
99.3 kPa
72.0 kPa
41.4 kPa
14.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 50 100 150 200
ζ=z/
H
p hidrostatica + hidrodinamica[kPa]
Fig. 13 - Presiunea hidrostatică Fig. 14 - Presiunea hidrostatică + hidrodinamică
Fig. 15 - Presiunea impulsiv-flexibilă (iterația 3) Fig. 16 - Presiunea dată de componenta verticală a
acțiunii seismice
Fig. 17: Presiunea hidrodinamică maximă Fig. 18: Presiunea hidrostatică + hidrodinamică
Influența flexibilității pereților asupra presiunilor hidrodinamice este evidențiată printr-o paralelă între
valorile obținute pentru cazul rezervorului rigid și cazul rezervorului flexibil:
4. Concluzii
Se poate observa că în cazul ambelor tipuri de rezervoare, majorarea presiunilor determinate de efectele
hidrodinamice este importantă - între 25 si 45%. Este evident astfel faptul că acest tip de calcul nu poate fi
neglijat în practica de proiectare curentă. Pe de altă parte, pentru cazul studiat, influența interacțiunii
fluidului cu pereții flexibili ai rezervorului asupra valorilor presiunilor hidrodinamice nu este neglijabilă.
În cazul rezervorului metalic se constată o majorare a presiunilor cu aproximativ 15% față de cazul
rezervorului din beton armat.
Bibliografie
[1] Housner, G. – The dynamic behavior of water tanks, Bulletin of the Seismological Society of America,
February 1963
[2] Veletsos, A., Yang, J. – Earthquake response of liquid storage tanks, Japan, 1976
[3] ESDEP WG 17 – European Steel Design Education Programme, The Steel Construction Institute, UK, 1994
[4] EN 1998-4, 2006 – Design provisions for earthquake resistance of structures, Part 4 – Silos, tanks and pipelines,
European Committe for Standardisation, Brussels
[5] Meskouris, K., Holtschoppen, B., Butenweg, J., Rosin, J. – Seismic analysis of liquid storage tanks, Greece,
2011
[6] Iorgulescu, A. – Calculul rezervoarelor circulare la acțiunea seismică, Lucrare de disertație, Universitatea
Tehnică de Construcții București, 2013
45.3 kPa
43.6 kPa
39.3 kPa
32.0 kPa
21.4 kPa
14.0 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60
ζ=z/
H
phidrodinamica - metal [kPa]
25.8 kPa
23.5 kPa
20.7 kPa
17.4 kPa
13.9 kPa
14.1 kPa
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30
ζ=z/
H
phidrodinamica - beton armat [kPa]
Fig. 19: Presiunea hidrodinamică maximă
(rezervor din beton armat)
Fig. 20: Presiunea hidrodinamică maximă
(rezervor metalic)
Top Related