CALCULUL NUMERIC AL VALORILOR PROPRII SI AL VECTORILOR PROPRII

Se considera matricea reala simetrica, de ordinul n=4, definita de relatia:

Se cere sa se calculeze valorile proprii ale matricei A si vectorii proprii corespunzatori.

1. Solutionarea aplicatiei cu programul de calcul VALPRO

Se observa ca diagonala principala a matricei A este dominanta, deci se poate aprecia ca nu vor exista dificultati de convergenta la metodele iterative.

Pentru inceput, se determina valorile proprii ale matricei A cu toate metodele oferite de programul VALPRO. Rezultatele, inclusive conditiile in care au fost ele obtinute(eroarea maxima admisa, numarul de iteratii, initializarile utilizate) sunt sintetizate in tabelul urmator:

Metoda Nr. Iteratii

Ε λ₁ λ₂ λ₃ λ₄ Initializare

Leverrier - 14 21 28 35 -Krîlov - 14 21 28 35

LR 18 14,001198 21,106290 27,888303 34,960226 -QR 15 14,000009 21,003462 27,998695 34,997834 -

Putere 40 13,999110 21,000223 28,002413 34,998837Jacobi 12 14 21,000012 27,999988 35 -

Analiza rezultatelor si a evolutiei calculelor evidentiaza urmatoarele concluzii:

a) metodele globale directe conduc la valorile proprii exacte din cauza erorilor admise relative “stranse”

b) metodele globale iterative ofera aproximatii bune ale valorilor proprii, remarcandu-se calitatile mai bune, la aceeasi eroare maxima, ale algoritmului QR(la care totusi timpul pe iteratie este mai mare in comparatie cu algoritmul LR)

In continuare se determina vectorii proprii, pornind de la valorile proprii exacte:

2. Determinarea prin calcul manual a polinomului caracteristic cu metoda Leverrier

Primul coeficient se adopta c1 1 , rezultand apoi succesiv:

B1 A

c2

1

4

i

B1i i

La pasul 2:

B2 A B1 c2 I( )

B2

1939

56

133

343

56

1687

245

161

133

245

1834

140

343

161

140

1498

c31

4

i

B2i i

2

B3 A B2 c3 I( )

La pasul 3 :

B3

41748

98

1568

4018

98

39396

2744

2254

1568

2744

40866

2156

4018

2254

2156

36456

c41

4

i

B3i i

3

La pasul 4:

B4 A B3 c4 I( )

B4

288120

0

0

0

0

288120

0

0

0

0

288120

0

0

0

0

288120

c51

4

i

B4i i

4

Valorile coeficientilor vor fi:

c1 1

c2 98

c3 3479

c4 52822

c5 288120

Astfel s-a obtinut un polinom caracteristic de gradul 4, caruia ii corespunde ecuatia caracteristica:

Ecuatia a fost solutionata cu programul de calcul POLBAR, utilizand algoritmul Bairstow(eroare maxima admisa ε=10-8), rezultand valorile proprii exacte:

λ₁=14 λ₂=21 λ₃=28 λ₄=35

3. Determinarea prin calcul manual a valorii proprii dominante cu metoda puterii

In forma sa clasica, de metoda partial iterativa, algoritmul puterii directe(metoda Rayleigh) determina, printr-un procedeu de aproximatii successive, valoarea proprie dominant(de modul maxim) a matricei A, notate λ₁. Se admite ε=0.05, eroarea maxima referindu-se la modulul diferentei dintre componentele vectorului X la 2 iteratii consecutive.

Pe baza experientei de la alte aplicatii sau a testelor efectuate cu programul de calcul VALPRO pentru acest caz, vectorul propriu X0 se initializeaza sub forma:

X0

1

1

0

0

Iteratia 1

Y1 A X0

Y1

27

21

2

4

i 1 4

X1Y1

Y11

i 1 4

eri

X1iX0i

er1

0

er2

0.222222

er3

0.074074

er4

0.148148

Max>0.05

Iteratia 2

Y2 A X1

Y2

28.259259

15.814815

3.111111

7.777778

i 1 4

X2Y2

Y21

i 1 4

eri

X2iX1i

er1

0

er2

0.218145

er3

0.036018

er4

0.127081

Max>0.05

Iteratia 3

Y3 A X2

Y3

29.477064

10.59633

3.211009

11.045872

i 1 4

X3Y3

Y31

i 1 4

eri

X3iX2i

er1

0

er2

0.200156

er3

0.001159

er4

0.099498

Max>0.05

Iteratia 4

Y4 A X3

Y4

30.577342

5.688453

2.379085

13.633987

i 1 4

X4Y4

Y41

i 1 4

eri

X4iX3i

er1

0

er2

0.173442

er3

0.031127

er4

0.071158

Max>0.05

Iteratia 5

Y5 A X4

Y5

31.515711

1.330175

0.844888

15.515212

i 1 4

X5Y5

Y51

i 1 4

eri

X5iX4i

er1

0

er2

0.143828

er3

0.050997

er4

0.046416

Max>0.05

Iteratia 6

Y6 A X5

Y6

32.281267

2.372106

1.107345

16.773014

i 1 4

X6Y6

Y61

i 1 4

eri

X6iX5i

er1

0

er2

0.115689

er3

0.061111

er4

0.027289

Max>0.05

Iteratia 7

Y7 A X6

Y7

32.887002

5.42038

3.220111

17.543635

i 1 4

X7Y7

Y71

i 1 4

eri

X7iX6i

er1

0

er2

0.091336

er3

0.063611

er4

0.013862

Max>0.05

Iteratia 8

Y8 A X7

Y8

33.357543

7.880749

5.302962

17.967665

i 1 4

X8Y8

Y81

i 1 4

eri

X8iX7i

er1

0

er2

0.071433

er3

0.061059

er4

0.005187

Max>0.05

Iteratia 9

Y9 A X8

Y9

33.719893

9.844553

7.237285

18.163581

i 1 4

X9Y9

Y91

i 1 4

eri

X9iX8i

er1

0

er2

0.0557

er3

0.055656

er4

0.000022

Max>0.05

Iteratia 10

Y10 A X9

Y10

33.998415

11.404001

8.962801

18.219807

i 1 4

X10Y10

Y101

i 1 4

eri

X10iX9i

er1

0

er2

0.043477

er3

0.048995

er4

0.002759

Max<0.05

Conditia de terminare a calculelor este indeplinita la iteratia 9, obtinandu-se o aproximatie acceptabila a valorii proprii de modul maxim λ₁=33.998415.

4. Determinarea prin calcul manual a unui vector propriu

Metoda clasica se exemplifica pentru vectorul propriu X1, care corespunde valorii proprii λ₁=14.

i 1 4

A

29

2

3

7

2

23

5

3

3

5

26

2

7

3

2

20

Ii i 1

I

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

valpr 14

b

0

0

0

0

A valpr I

15

2

3

7

2

9

5

3

3

5

12

2

7

3

2

6

D A valpr I

i 2 4

E1 i 1 D

2 i

E2 i 1 D

3 i

E3 i 1 D

4 i

E

9

5

3

5

12

2

3

2

6

i 1 3

cibi 1 D

i 1 1

c

2

3

7

Xintermed lsolve E c( )

Xintermed

1

1

2

X1

1

i 2 4

Xi

Xintermedi 1

X

1

1

1

2

In aceste conditii a rezultat fara eroare vectorul propriu

, care corespunde valorii proprii λ₁=14