PETRE SIMION VICTOR NICOLAE

MATEMATICAclasa a lX-a

BREVIAR TEORETIC. EXERCITII Sl PROBLEME

PRoPUSE $l REZOLVATE. TESTE DE EVALUARE.

rESTE SUMATIVE

I filiera teoretici r profilul real

r specializarea gtiinte ale naturii

r filiera tehnologicl

Consultant:Prof. untv, dr.mat.em. OC1AV,AN SfAnA$ A

NICUTESCU

CUPRINS

Algebrtr

Capitolul I. Mul1imi Ei elemente de logicd matematicd """"""" 8

1. Numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul unui numlr real.

Operalii cu numere reale. Operafii cu numere reale

reprezentate prin litere """"""" 8

2. Oplralii cu intervale de numere reale. Aproximlri prin lipslsau prin adaos, partea intreagd $i partea fracfionar[aunuinumfure-a1..........,. """" 14

3. Propozifii logice, operafii cu propozifii, predicatg

cuantificatorul exiitenlial qi universal """""""' """"" 21

4.Relafiigiopera|iicumu$imicorelatecuelementedelogicl.Probleme de numlrare """""' 28

5. Metoda induc{iei matematice. """""-"" """"""""""'" 31

Capirolut II. Funclii........ """""""""" 36

l.Nofiuneadegir;modalit{ideadefiniunSir;girurimlrginite'giruri monotone............'.. """" 36

2. Tipuri de giruri: progresii aritmetice, progresii geometrice" """""" 43

3. Reper cartezian. Drepte in plan de forma x = m liy = m, nz e IR'

Reprezentare grafic[..'.... """" 52

4. Defini1ie, modalit{i de a descrie o funclie. Graficu.l

unei funcfii. Imaginea qi preimaginea unei mulfimi prinr-o funcfie.'

Egalitate4 a doul t r4ii, resuiclii ale unei functii,lTm4 grafice"';""" 56

5. Func{ii numerice. Propriet[fi ale funcfiilor numerice introduse

prin iecturi grafice, paritate, imparitate, simetrie " - " "' : " " " " " " " " "' 63

6. Periodicitatea gi monotonia funcfiilor. Rezolviri grafice de ecuatii 9i

inecuafii de formafl'r) = 8@)' ((' )' (' 2)' Funcfii mlrginite""""" 68

7. Compunerea func1iilor....'........................."""' """""""' 73

8. Funcf,a de gradul intai. Definifie, intersectia graficului cu axele

de coordonate, reprezentarea grafic[ a funcfieif IR -+ IR,

flx) = ax + b, a, b e R""" """" 79

f. ivlonotonia qi semnul funcfiei de gradul intdi. Inecuafii de forma

ax + b< 0 (>, <, >)...'....... """' 85

10. Pozifia relativl a doul drepte. sisteme de ecua,tii liniare cu dou6

ngcunoscute.$i sisteme de inecuafii liniare cu o necunoscuta.......... 89

11. Funclia de gradul al doilea...... """""""""" 95

. 12. Relafiile luividte; tezolvareasistemelor simetrice ""' 102

13. Interpretarea geometrici a propriet[filor algebrice ale funcfiei

de giadul al doilea. Monotonia """""""" 109

14. Poiiyarelativ[ a unei drepte fa!5 de o parabol[;

prritlurelativl a doui parabole; sisteme """""""""' 116

Geometrie

Capitolul I. Calcul vectorial.....l. segmente orientate, vectori legafi, vectori. Adunarea vectorilor........2. Inmu[irea vectorilor cu scalari. Vectori coliniari......3. Descompunerea unui vector dupr doi vectori rtecoliniari gi nenuli.

Descompunerea unui vector intr-un reper cartezian.Versorul unui vector

4. Teoremele lui Thales, Menelaus, Ceva, Sylvestergi a bisectoarei ..............

Capitolul II. Elemente de trigonometrie ...........1. unghiuri qi arce. Rapoarte constante in triunghiul dreptunghic

(sin, cos, tg, ctg)........2. Definirea funcfiilor trigonometrice. semnul gi monotonia 1or........3. Paritate, periodicitate. Reducerea la primul cadran. Funcfiile

trigonometrice ale sumei sau diferenlei de unghiuri......................4. Formule nigonomerice ale arcului dublu gi ale jum66tii de arc........5. Formule penfru fansformarea sumelor gi diferenfelorin produse......6. Produsul scalar a doi vectori. Teorema cosinusului. condilii de

perpendicularitate ................... ...................

Capitolul III. Aplicalii ale trigonometriei Si ale produsuluiscalar a doi vectori tn geometria p\and..........

1. Aplicafii vectoriale gi trigonometrice in geometrie ........................2. Rezolvarea triunghiului dreptunghic gi a triunghiului oarecare......

Teste sumativeTeste 1-10

t24124131

137

r44

150

150156

162169lt3

178

185

185

190

197

Capitolul I

MULTIMI $I ELEMENTEDE LOGICA MATEMATIGA

1. Numere reale, ordonarea numerelor reate, modululunui numir real. operafii cu numere reale. operalii

cu numere reale reprezentate prin litere

IMPORTANT!

INczc@clR (se noteazr IR\ (D murlimea numerelor irafionale!)o intre doul numere reale diferite x < y existr cel pufin un num6r ra[ional r

qi cel pufin un numir irafional cr,: r < , <y $i*. o..y;o oricare ar fi numerele reale x > 0 gi y, existI * o.r,ne, natural n astfel ca

rN> y (axioma lui Arhimede);o modulul

I x I al unui numir x se defineqte astfel:

I x, x>o

l.l=] o, x=o

[-x, x<oProprietifile modulului1)lrl>o,vxerR.:) lrl)x, Vx e IR.

s)ll,l-l /l<l*+y1 =l,l*l/1, v x,ye R.

-. lrl lxl,r l;l=irj , v xe IR, vy e IR-. 8) l,l=lyl ex=y sau.r:_/.

Fie a> 0. Atunci:9) l4=rex=a sau x=-a .

10) lxl=oo xef-a,al.1 1)

| "x l> a a xe (-co,-al u [a,co).

sau t,t={_i; ]==l *, l.rl=max(x,-x).

z)l*l' =x2, Vx€R.4) lxl=l-rl, vx e IR.

Olryl=lrl'l yl,v x,ye R.

Iumere reale, orclonare, modulul unui numir real. Operalii cu numere reale 9

Modele pentru rczolvarea problemelor gi redactarea soluliilor

'' 1 +E-- E;E - Ji * Jl ' Jzon + J2o2s '

Solulie:Prin amplificarea fiecflrui termen cu,,conjugatul" numitorului oblinem:

I -.6 ,6-,6 Ji -Jl J2on -J2o2s -T-T-

-2 -2 -2 -2

= -1 . (, -..6 * ..6 -.6 * .,6 - J1 * ... + Jzon - J rrr,r,) = i' 0 - 4s) =2\=-L.(-4,4,\=zz.2t /

2. Demonstrafi c[ oricar e ar fr x, y, z e IR are loc inegalitatea:

ll*+ly-sl *l -Zx+y+zl +l x+5v-al >s.Solulie:gtim c[ lrl >*,oricare x frx elR 9i l.x I : I - xl .

Astfeloblinem:' ll*+ +y- 5l>:x + 4y-5;.1-2x+y+21 >-Zx+y+2;lx+5y'-81 :l- x-5y+81 >-x*5Y+8.

Prin adunarea relaliilor oblinem:

lz*+ +y- 5l + I -2, +y+zl + I x +5y -sl > (3r + 4v -5) + (- 2x + v +2) +

+(-x-5Y+8):5._3. Demonstralicdt lx+ZJ,-i + Jr* 2Jx-1 e IN., oricarearfrx e ll,2)

,[ * - z.!-* - t = .1G +ffi; =''[,fl - 1)' = [G' - 1 [ = -G - r + r'

Asadar: J,-t+ I - JiJ+ 1:2 e IN.

Exercilii gi probleme pentru fixarea cunogtintelor

1. SE se calculeze:a) I - 2 + 3 - 4+ ... 2015 - 2016 + 2017;

( t I I 1 \ (zooa 2oo7 2ot9\

' [r* *

zoos *

nog* "'* zo:,n)*[r* *

zoos * "'* zon);

(t 2 5 +\c)l-:+- --:-.rl:(-4);'\12 24 16 s)

Solulie:

:t0 MuUml 9i elomente de loolcl matema$ct

,[*.*.*)'(+)2. Calculafi:

il 3J1-Ja+sJz+3J6;

u; -26+(<.6)-(+"6);c) zJl -sJ3 +oJJ.

3. Calculafi:

a) Jl +tf,- zJi+ o,s + (-f) -|;u; (-2.6+ tJs).zJi;

.l "6(+G :z"l-t - Ja +rJr).

4. Fie numerere: a =lrrJo,zs -*.+ei b = r,4.]3-*..#Arltari ce

I a l- |

b I este un numtrr inreg.

s. Fie numerelea=2,1-5 -zJI $ b=JE +JB .

Calculafi: o * b, a - b, ab,2(a + g) - 46.6. Calculafi media aritmetic[ gi media geometricd a numerelor

a=2,11-1,9i D=2Jf+1.

7. sr se arate ctr, =

[rn - * . (*l' .

lf -{]t, + JI) e,t" un numtrr inreg.

8. Determinafi x din egalitatea: 3ffi = t6e*'

.

e. carcurafi: ")

("6[' *(..6-Jl)=' ; b) #-*.r(O)-'.10. Comparafi numerele:

a)..6u,#; b)+*#; c) #r,i.hll. Arrtati cd a =z''ls-j. -zJ

s - Jl +3. u.' Js J3s Ji

Numere reale, OrtlOnare, moclulul unui numir real. Operatii cu numere reale 11

12.calculati( 14 * t-),+.' [2-./ll 4+{11/ ./11

13. Afla1i x din egalitate ^ + =#

14. Calculafi: a) (x-l)(x2 +3x+9); b) (x-r)(x+4); c) (x-r)(x2 +x+1)'

15. calculafi, .) (ffi - rEF)' ; u) JoG.Jg*f Jg-Ji.

16. Calculafi: a) (O + JI + r)' ;b) ("R *',D -.6)' .

17. Stabiliti au"e(t"\' ( x-a\'

' \ ;) -lT) =*'Pentruorice aelR' xelR'

I 8. Simplificafi raPoartele :

"3 -l x3 -2x . 5x2 +5xa) t , *; b) 7:G +4; c) Til6[,3x'x'+x- +x

19. Rezolvafi ecuafiile:

allzx-rl--t' b) l3x+ zl=12-xl; c) lx-ll+lx-sl=t.20.Rezolvafiinecua{iile: a) lzx-tl<Z ; $ lzx-rl<l:x+zl'

21. Pentru a > 0 9i b < 0, s[ se arate "e f,+L<-Z

.

:'t

Exercifii gi probleme pentru aprofundarea cunogtinlelor

1. Efectuafi:.x23x+l

al

-T-

*' zx+l'Zx-l 4x2-l'2. Simplificafi rapoartele:

. x'+6x+9-v2 . . x'+ x'-9x-9a) ,**'rr*y I o);n+4x'.37;

a

x+l x 2x2+xu, _T-_---;--'x-2 x+3 x'+x-6

3. Descompunefi ln factori:

a) 3x2(r-s)+(s-x)'(x'+1); b) (2x+l)'z-(2x+1)(x-3)+(2r+1)'ax'

4. Descompunefi in factori:

u) (*'+sx)(x' +sx-2)4; b) (x'z+zx+t)(x'1 +2x+7)+9 '

5. Fie a e Z. Demonstaf c[ numtrrul a(a + l)(a +2) (a + 3) +t este pitat perfect.

6. Calculafi media geometricl a numerelor: