Caiet de lucru –Matematică An școlar 2020-2021colegiulstefanescu.ro/resurse/matematica/caiet de...

Caiet de lucru –Matematică An școlar 2020-2021

Clasa a IX-a semestrul I

1

Breviar Teoretic: Mulțimea numerelor reale - mulțimea tuturor numerelor raționale și a celor cu

număr infinit de zecimale și radicali

Operații cu numere reale

Adunarea

Proprietăți:

1. Comutativitate: baabba ,,

2. Asociativitate: cbacbacba ,,),()(

3. Element neutru 0: aaaa ,00

4. Elementul opus: aaaaa ,0)()(

Înmulțirea

Proprietăți

1. Comutativitate: baabba ,,

2. Asociativitate: cbacbacba ,,),()(

3. Element neutru 1: aaaa ,11

4. Distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere: cbacabacba ,,,)(

5.Elementul invers aaaa

a ,111

Ridicarea la putere

orinde

n aaaaa ...........

Extragerea rădăcinii pătrate

Proprietăți ale radicalilor: |,|2 xx

0,

0,0

0,

||

xx

x

xx

x 0, xxxn

n



2

0,, yxyxyx 0,0,, yyxy

x

y

x 0,, yxyxyx

Ex. 6|6|636 2 ; 4|4| ; 21,12|21|)21( 2 ;

3636108 2 ; 223222243283224

Formule de calcul prescurtat

2222 bababa 222

2 bababa ))((22 bababa

Exemplu de aplicație: 1. Arătați că A , unde 23

23

23

23

A

Rezolvare:

Se amplifică fiecare fracție cu conjugatul numitorului, aplicându-se formula ))((22 bababa

141

43434343

43

2232322323

23

2323

23

2323 22

22

22

22

AA

AA

2. Să se rezolve ecuația: 9|63| x

Rezolvare:

Se rezolvă cazurile: I. 5153693963 xxxx

II. 133693963 xxxx

Medii: Media aritmetică: 2

baM a

n

aaaaM n

a

.....321

Media geometrică: baM g nng aaaaM ......321

Partea întreagă: )1,[,][ kkxkkx a

Exemplu : 2]73,2[ sau 6]47,5[

Partea fracționară: ][}{ xxx

Exemplu: 48,0348,3}48,3{ sau 43,0)5(57,4}57,4{



3

Aplicații:

1. Rezolvați în ecuațiile:

a) 1|32| x b) 2|13| x c) 3

1|

25|

x d) 12|84| x

2. Aflați partea întreagă și partea fracționară ale soluțiilor următoarelor ecuații:

a) 532 x b) 64

24

x c) 0

5

43

2

34

xx

3. Să se rezolve în inecuațiile:

a) 3|14| x

b) 3

2|52| x

c) 7|54| x

4. Să se calculeze:

a) 12828550

b) 3819248975327212

c) 24

6

28

7

18

2

5. Calculați media aritmetică a numerelor:

a) 3 și 25

b) 52 și 5

c) 31 și 31

6. Calculați media geometrică a numerelor:

a) 32 și 216

b) 327 și 3

c) 3

52 și

5

32

7. a) Scoateţi factorii de sub radical: 99;180;24

b) Introduceţi factorii sub radical: 312;64;72 .

8. Calculaţi produsul ba : 1281081848 a și 1473275162 b .

9. Să se calculeze raţionalizând mai întâi numitorii:

a) 26

364

35

623

24

765

32

634

b)59

4

23

1

35

2

10. Să se calculeze )2(8

1bax unde: 64)23()3223( a și

108)25()2552( b .



4

11. Folosind formulele de calcul prescurtat calculaţi:

a) )132)(132(3)132(2)132( 22

b) 2)1356(

12. Să se calculeze media aritmetică a numerelor: 3425 a și .3425 b

13. Calculaţi x din proporţia: 3

332

332

x.

14. Calculați: a) 64216325

b) 363429

c) 6434449

d) 36425381

15. Calculați: a) 1001442225

b) 811693121

c) 1211444196

d) 1001212169

16. Determinați numerele naturale a, pentru care: a) 51a b) 45a c) 56a .

Rezolvări:



5



6



7



8



9

Breviar Teoretic: Progresii

Progresia aritmetică Progresia geometrică

DEFINIȚII

Un șir 1)( nna pentru care, fiecare termen,

începând cu al doilea, se obține din cel precedent

prin adunarea unui aceluiași număr r.

Numărul r se numește rația progresiei aritmetice

Observație: Șirul 1)( nna este o progresie

aritmetică dacă arătăm că diferența a doi termini

consecutive este constantă:

(constantă), , unde r

este rația progresiei aritmetice, .

Un şir 1)( nnb de numere reale, având primul

termen nenul, în care fiecare termen, începând

cu al doilea, se obţine din din cel precedent

prin înmulţirea cu un acelaşi număr 0, qq .

Numărul 0, qq se numeşte raţia progresiei.

11

2 ........

n

n

b

b

b

bq

Observaţie: Şirul 1)( nnb este progresie

geometrică dacă arătăm că raportul a doi

termeni consecutivi este constant:

(constantă), n , unde q este raţia

progresiei geometrice, 1q .

FORMULA TERMENULUI GENERAL

Dacă şirul 1)( nna este o progresie aritmetică

având primul termen 1a şi raţia r , atunci

termenul general na are forma:

2,)1(1 nrnaan .

Dacă şirul 1)( nnb este o progresie geometrică

având primul termen 1b şi raţia q , atunci

termenul general nb are forma: 1

1

n

n qbb ,

2n .

PROPRIETĂȚI

1. Șirul 1)( nna este o progresie aritmetică dacă şi

numai dacă orice termen al său, începând cu al

doilea, este media aritmetică a termenilor vecini

lui, adică dacă:

2. 11

11 22

nnnnn

n aaaaa

a

Trei numere zyx ,, sunt termeni consecutivi în

progresie aritmetică dacă și numai dacă:

2

zxy

Într-o progresie aritmetică:

.......211 aaaa nn

1. Șirul cu termini pozitivi 1)( nnb este o

progresie geometric dacă şi numai dacă

orice termen al său, începând cu al doilea,

este media geometrică a termenilor vecini

lui, adică dacă: 11 nnn bbb

11

2)( nnn bbb

Trei numere positive sunt termeni consecutivi

în progresie geometrică dacă și numai dacă:

zxy

Într-o progresie geometrică:

.......211 bbab nn

Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice

1)( nna este dată de formula:

2,2

1

nnaa

S nn sau

2,2

)1(2 1

nnrna

Sn

Suma primilor n termeni ai progresiei

geometrice 1)( nnb este dată de formula:

1,1,1

11

nq

q

qbS

n

n



10

Aplicații:

1. Să se determine al zecea termen al șirului: 1, 5, 9, ...

2. Să se determine primul termen al unei progresii aritmetice 21,17,,, 321 aaa .

3. Fie 1)( nna o progresie aritmetică cu 41 a și 1r . Să se calculeze 30a .

4. Să se calculeze 7a știind că 71 a și 92 a , unde 1)( nna este o progresie aritmetică.

5. Fie 1)( nna o progresie aritmetică cu 41 a și 104 a . Să se calculeze 25a .

6. Calculați suma primilor zece termeni ai unei progresii aritmetice știind că 31 a și 2r .

7. Fie 1)( nna o progresie aritmetica cu 53 a și 115 a . Să se calculeze suma primilor șapte

termeni ai progresiei.

8. Sa se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice știind că primul

termen este -3 si rația este 3.

9. Să se determine suma primilor patru termeni ai unei progresii aritmetice știind că suma

primilor trei termeni este 21 și diferența dintre al doilea și primul termen este 4.

10. Să se calculeze suma 3+5+7+…+21.

11. Să se determine primul termen al unei progresii aritmetice 1)( nna știind ca 3r și suma

primilor 10 termeni ai progresiei este egală cu 145.

12. Fie 1)( nna o progresie aritmetica cu 21 a și 83 a . Să se calculeze suma primilor treizeci

termeni ai progresiei.

13. Să se determine x știind că 13,1,1 xxx sunt termenii consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

14. Fie 1)( nna o progresie arithmetică cu 53 a și 62 a . Calculati 2019a .

15. Calculați suma 1+5+9+13+…+25.

16. Să se determine x știind că 2,4,4 xx sunt termenii consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

17. Să se calculeze suma 2+4+6 +...+ 2012+2014.

18. Să se determine x știind că 22,2,4 xxx sunt termenii consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

19. O progresie aritmetică cu r =5 are suma primilor trei termeni egală cu 126. Aflați primul

termen al progresiei aritmetice.

20. Demonstrați că 33,52,7 xxx sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice,

x .

21. Fie progresia geometrică 1)( nnb cu 31 b și 62 b . Să se calculeze 4b .

22. Fie progresia geometrică 1)( nnb cu 32 b și 3q . Să se calculeze 5b .

23. Să se determine suma primilor 8 termeni ai progresiei geometrice 1)( nnb cu 21 b și 1q

24. Să se calculeze suma 1+2+22+…+2

5.

25. Să se determine x știind că 3x-1; x+3; 9-x sunt termenii consecutivi ai unei progresii

geometrice.

26. Să se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice 1)( nnb știind că primul

termen este 2 iar al doilea termen este 6.

27. Fie progresia geometrică 1)( nnb cu 21 b și 42 b . Să se calculeze 6b .



11

28. Să se calculeze suma 732 2

1....

2

1

2

1

2

11 .

29. Să se determine x știind că 3; 24; x sunt termenii consecutivi ai unei progresii

geometrice.

30. Determinați suma primilor 3 termeni ai unei progresii geometrice, știind că suma primilor doi

termeni ai progresiei este egală cu 8 iar diferența dintre al doilea și primul termen este egală

cu 4.

31. Fie progresia geometrică 1)( nnb cu termenii pozitivi ,...24,,6, 31 bb Calculați suma primilor

nouă termeni ai progresiei.

32. Aflați ),0( x astfel încât 3, 2x+1, 27 sunt termenii consecutivi ai unei progresii

geometrice.

33. Determinați rația unei progresii geometrice 1)( nnb cu 11 b și 85 b .

Rezolvări:



12



13



14



15



16



17



18

Breviar Teoretic: Funcția de gradul I

Definiţie. Reprezentare grafică

Funcţia baxxff )(,: , ba, , se numeşte funcţie afină.

dacă 0a , atunci f se numeşte funcţie de gradul I de coeficienţi a,b;

dacă 00 biara , atunci f se numeşte funcţie liniară ( axxf )( );

dacă 0a , atunci f se numeşte funcţie constantă ( bxf )( ).

Reprezentarea grafică a funcţiei

0,)(,: abaxxff

Observaţii

1) Graficul funcţiei de gradul I este o dreaptă. Ecuaţia dreptei este y=ax+b, 0a .

2) Dreapta ce reprezintă graficul funcţiei de gradul I taie axa Ox şi face cu aceasta unghiul .

Coeficientul tga se numeşte panta dreptei (coeficientul unghiular). Ex: Dreapta ce reprezintă

graficul funcţiei 53)(: xxff are coeficientul unghiular 3 tga .

3) Deoarece orice dreaptă este bine determinată dacă se ştiu două puncte distincte ale sale, pentru a

trasa graficul funcţiei de gradul I se vor afla cele două puncte. De obicei, aceste puncte sunt punctele

de intersecţie ale graficului cu axele de coordonate.

Deci, pt. a putea trasa fraficul unei funcţii de gradul I, vom afla intersecţiile acestuia cu axele de

coordonate.

Intersecția cu axele de coordonate

yxfGyxA f )(),(

)0,(xAOxG f - rezolvăm 0)( xf 0 bax OxGa

bA

a

bx f

0,

),0( yBOyG f - rezolvăm yf )0( yba 0 OyGbBby f ,0

Exemplu de aplicație:

Se consideră funcția 63)(: xxff . Determinați coordonatele punctului de intersecție al

graficului funcției f cu axa Ox .

Rezolvare: )0,(xAOxG f 0)(xf 063 x OxGAx f 0,22 .



19

Punctul de intersecție a graficelor a două funcții - se rezolvă ecuația )()( xgxf .

Exemplu de aplicație:

Se consideră funcțiile 45)(:, xxfgf și 52)( xxg Determinați coordonatele

punctului de intersecție al graficului funcției f cu graficul funcției g.

Rezolvare:

)11,3(11)3(415)3(

39345255245)()(

AGGff

xxxxxxxgxf

gf

Semnul funcției de gradul I

x

a

b

bax Semn contrar a 0 Semn a

Monotonia funcției de gradul I

f crescătoare dacă 0a

f descrescătoare dacă 0a

Rezolvarea inecuațiilor

000 adacaa

bxsauadaca

a

bxbax .

000 adacaa

bxsauadaca

a

bxbax .

Obs. Mulțimea soluțiilor unei inecuații de gradul I cu o necunoscută reprezintă un interval

semimărginit al mulțimii numerelor reale, iar din punct de vedere geometric este o semidreaptă a axei

Exemplu de aplicație: Să se rezolve inecuația:

a) 063 x

Rezolvare: ),2[263063 xxxx

b) 03

42

x

x

Rezolvare:



20

Aplicații:

Funcția și ecuația de gradul I

1. Fie funcția :f , aaxxf ,5)( Să se determine a știind că fGA )1,2( .

2. Se consideră funcția :f , 62)( xxf

a) Să se determine punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele Ox și Oy.

b) Să se reprezinte grafic funcția.

3. Fie funcția :f , 52)( xxf . Să se calcuze aria suprafeței plane limitate de

axele de coordonate și graficul funcției.

4. Se dau funcțiile baabxxgbaxxfgf ,,2)(,9)(:, . Să se determine

a și b știind că punctul A(2,3) aparține graficelor celor două funcții.

5. Rezolvați în ecuația: 2

5

6

1

6

)3(4

4

)2(3

3

)1(2

2

xxxxx.

6. Să se studieze monotonia funcțiilor 82)(,63)(:, xxgxxfgf .

7. Să se studieze monotonia funcției mxmxfgf ,2)3()(:, .

8. Să se determine semnul funcției }2{\:f , 2

3)(

x

xxf .

9. Fie :f , xxf 3)( . Determinaţi m , astfel încât punctul:

a) fGmA )7,( , b) fGmB )4,( .

10. Determinaţi punctele de intersecţie ale reprezentării graficului funcţiei :f cu

axele de coordonate Ox , Oy : a) 22)( xxf ; b) 6

1

3

1)( xxf .

303

242042

xx

xxx

Întocmim tabelul de semne:

x 2 3

42 x - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + +

3 x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - -

3

42

x

x

- - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + | - - - - - - -

Deci )3,2[x



21

Inecuații de gradul I

Să se rezolve următoarele inecuații pe mulțimea :

1. 0515 x

2. 0721 x

3. 10)2(2)1()3(5 xxx

4. 147)2(5 xx

5. 6

52

3

12

xx

6. 12

1

4

31

x

x

7. 0)31)(1( xx

8. 0)34)(2( xx

9. 02

1

x

x

10. 11

3

x

x

11. 2

1

1

1

)1(2

1

x

x

x

12. 135

23

x

x

13. 072

)2)(1(

x

xx

Rezolvări:



22



23



24



25



26

Breviar Teoretic: Vectori

Vector = mulțimea segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat

Not.

AB sau

vu, etc.

Vectori egali: au aceeasi direcție (dreptele suport sunt fie pe aceeași dreaptă, fie pe drepte paralele),

aceeași lungime și același sens.

Vectori opuși: au aceeasi direcție, aceeași lungime și sens opus. (

BAAB și

0BAAB , unde

0 este vectorul nul – originea coincide cu extremitatea)

Adunarea a doi vectori:

1. Regula triunghiului :

ACBCAB

2. Regula paralelogramului:

ADACAB , unde ABDC paralelogram

Vectori coliniari: doi vectori

ACAB , sunt coliniari dacă

ACkABiak . ; dacă

ACAB , sunt

coliniari atunci și A, B, C sunt puncte coliniare.

Exemplu de aplicație: 1. Se dă figura:

Să se calculeze:

ADAB ;

EHAE ;

EBOG ;

FEAO

ACADAB ( Regula paralelogramului);

AHEHAE (Regula triunghiului);

OCGCOGEBOG ( se caută un vector egal cu

EB care sa aiba originea fie în G, fie în O)



27

0OAAOFEAO .

2. Se consideră triunghiul echilateral ABC cu O centrul cercului circumscris triunghiului. Arătați că

0OCOBOA .

Rezolvare: ABC echilateral O este și centrul de greutate

Fie BCD , D mijlocul segmentului BC AD înalțime și mediană

DAOA3

2. (1)

OROCOB (regula paralelogramului) OBRC paralelogram D= intersecția

diagonalelor

ODOR 2 . Cum

ADORADOD3

2

3

1(2)

0)(3

2

3

2

3

2)2(),1(

ADDAADDAOCOBOA

Aplicații:

1. Să se calculeze

CABCAB , știind că A,B,C sunt vârfurile unui triunghi.

2. Dacă

02 CBAB , să se determine valoarea raportului BC

AB.

3. Fie ABC echilateral, înscris într-un cerc de centru O. Să se calculeze

AOACAB 3 .

4. În triunghiul ABC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC. Să se arate

că

ANAPAM .

5. Triunghiul ABC are centrul de greutate G. Dacă punctul M, este mijloacul segmentului BC, să

se determine numărul real a astfel încât

MAaAG .

6. Fie triunghiul echilateral MNP înscris într-un cerc de centru O. cercului circumscris Să se

demonstreze că:

0OPONOM .

7. Să se demonstreze că în patrulaterul MNPQ are loc relația

PNMQPQMN .



28

8. Se consideră pătratul ABCD de centru O. Să se calculeze

ODOCOBOA .

9. Se consideră paralelogramul ABCD. Să se demonstreze că

ADBDAC 2 .

Rezolvări:



29



30

Caiet de lucru –Matematică An școlar 2020-2021colegiulstefanescu.ro/resurse/matematica/caiet de...

Documents

Transcript of Caiet de lucru –Matematică An școlar 2020-2021colegiulstefanescu.ro/resurse/matematica/caiet de...