'&$%MementomatematicaJurconeRamiro'&$%'&$%Prefat aPrezenta lucrare are ca scop sintetizarea principalelor not iuni de matematicadin programa de liceu.Motivul realizarii lucrarii estenecesitateaexistent ei ntr-osinguracarteaformulelordematematica, metodelorderezolvaresi aexercit iilortip, pentruacarorgasireestenecesaraaltfelconsultateatutorormanualelordeliceu siamultor culegeri.Lucrareasedoresteaoprezentaresuccintasi laobiectaprincipalelornot iuni, neavandpretent iadea nlocui muncadinculegeri specializate, dinmanual saudinculegeri deproblemecusubiectedeexamen. Mai degrabasedoresteaointroducere nstudiul matematicii deliceupedeopartesiun manual de referint a pentru consultarea operativa a principalelor formule simetode de rezolvare.Lucrarea este formata din doua part i:Partea I Cont ine prezentarea teoretica a principalelor subiecte, cate un subiectpeola, adicapedouapagini fata/verso. Subiectelesuntnotatedupasistemul Memo 1, Memo 2,... s.a.m.d.Partea II Cont ine se de exercit ii, n principiu ecare sa de exercit ii se poatestudia independent, o sa putand constitui in principiu obiectul unei lect ii.In funct ie de durata lect iei si de ritmul de lucru, este posibil studiul maimultor se ntr-o lectie. Fisele sunt notate dupa sistemul Fisa 1, Fisa 2, ...s.a.m.d. Fisele sunt cate o sa pe o la, adica pe doua pagini fata/verso.Pentruefectuareaexercit iilorprezenteinseledinparteaaII-a, uneoriesterecomandabilsaestudiatecapitolelecorespunzatoaredinparteaIde teorie.In vederea sust inerii diverselor examene, se recomanda ca dupa parcurgereaprezenteilucrari, saseefectuezepregatiredupaoculegeredesubiectepentrutipul respectiv de examen, n vederea accentuarii deprinderilor specice aceluiexamen. Caexemplu nacestsens, potutilesubiecteledeexamendinaniianteriori, respectivculegeri editate nvedereasust inerii examenului dinanulrespectiv.3'&$%4'&$%CuprinsParteaI=TeorieNr Cont inut Clasa Pagina1 Geometrie plana IX 132 Formule de trigonometrie IX 153 Cercul trigonometric IX 174 Gracele funct iilor trigonometrice X 195 Ecuat ii si inecuat ii trigonometrice X 216 Numere complexe X 237 Formule de algebra IX 258 Funct ia de gradul II IX 279 Semnul funct iei de gradul doi IX 2910 Funct ii injective, surjective, bijective IX 3111 Progresii aritmetice si geometrice IX 3312 Funct ia exponentiala X 3513 Logaritmi X 3714 Analiza combinatorie X 3915 Binomul lui Newton X 4116 Polinoame X 4317 Ecuat ii de grad superior X 4518 Ecuat ii de grad superior - Continuare X 4719 Determinant i XI 4920 Matrici XI 5121 Matricea inversa. Rangul unei matrici XI 5322 Sisteme de ecuat ii liniare XI 5523 Compatibilitatea sistemelor de ecuat ii liniare XI 5724 Sisteme de ecuat ii liniare particulare XI 5925 Limite de siruri XI 6126 Limite de funct ii XI 6327 Aplicat ii ale limitelor de funct ii XI 6528 Derivate XI 6729 Aplicat ii ale derivatelor XI 6930 Interpretarea geometrica a derivatei XI 7131 Integrale XII 7332 Tabel derivate si tabel integrale XII 7533 Tabel derivate si tabel integrale pe o pagina XII 7734 Structuri algebrice XII 7935 Anexa 815'&$%6'&$%CuprinsParteaaII-a=Exercit iiNr Cont inut PaginaClasaIX1 Geometrie plana 852 Geometrie n spat iu. Formule 873 Trigonometrie 894 Numere complexe 915 Aplicat iile trigonometriei n algebra 836 Aplicat iile trigonometriei n geometrie 957 Vectori 978 Puteri si radicali 999 Sisteme de ecuat ii clasa a-IX-a 101ClasaX10 Funct ia exponentiala 10311 Logaritmi = Exercit ii Lect ia 1 10512 Logaritmi = Exercit ii Lect ia 2 10713 Analiza combinatorie Lect ia 1 10914 Analiza combinatorie Lect ia 2 11115 Binomul lui Newton 11316 Progresii aritmetice 11517 Progresii geometrice 11718 Polinoame 11919 Teorema lui Bezout. Radacini multiple 12120 Ecuat ii de grad superior lui 2 12321 Relat iile lui Vi`ete 12522 Induct ia matematica 12723 Probleme reprezentative Algebra clasa a IX-a 12924 Probleme reprezentative Algebra clasa a X-a 131ClasaXI25 Determinant i 13326 Matrici 13527 Matricea inversa 13728 Sisteme de ecuat ii liniare. Lect ia 1 13929 Sisteme de ecuat ii liniare. Lect ia 2 14130 Recapitulare Algebra XI. Fisa 1 14331 Recapitulare Algebra XI. Fisa 2 14532 Recapitulare Algebra XI. Fisa 3 1477'&$%Nr Cont inut Pagina33 Geometrie analitica. Dreapta. Teorie 14934 Geometrie analitica. Dreapta. Exercit ii 15135 Geometrie analitica. Cercul. Teorie 15336 Geometrie analitica. Elipsa. Teorie 15537 Geometrie analitica. Hiperbola. Teorie 15738 Geometrie analitica. Parabola. Teorie 15939 Geometrie analitica. Exercit ii 16140 Limite de siruri. Tipuri de baza 16341 Limite de siruri. Exercit ii tipurile 1,2,3,4,5 16542 Limite de siruri. Exercit ii tipurile 1,2,3,4,5. Tema 16743 Limite de siruri. Teorema cleste 16944 Siruri. Convergent a sirurilor 17145 Limite de funct ii ( clasice, fara derivate ). Lect ia 1 17346 Limite de funct ii ( clasice, fara derivate ). Lect ia 2 17547 Asimptote 17748 Continuitate 17949 Derivabilitate 18150 Derivate 18351 Teorema lui lHopital 18552 Teoremele lui Rolle, Lagrange, Cauchy 18753 Reprezentarea graca a functiilor 18954 Aplicat iile derivatelor. Exercit ii 19155 Analiza matematica = clasa a XI-a. Recapitulare. Fisa 1 19356 Analiza matematica = clasa a XI-a. Recapitulare. Fisa 2 19557 Analiza matematica = clasa a XI-a. Recapitulare. Fisa 2 19758 Algebra si Analiza matematica = clasa a XI-a. Tema 199ClasaXII59 Algebra clasa XII = Notiunea de grup 20160 Algebra clasa XII = Clase de resturi 20361 Algebra clasa XII = Morsm si izomorsm 20562 Algebra clasa XII = Inel 20763 Algebra clasa XII = Probleme recapitulative 20964 Analiza clasa XII = Tabel integrale 21165 Analiza clasa XII = Metoda substitut iei 21366 Analiza clasa XII = _1gradI,_1grad2,_grad1grad221567 Analiza clasa XII = Metoda integrarii prin part i 21768 Analiza clasa XII = Integrarea funct iilor rat ionale 21969 Analiza clasa XII = Integrarea funct iilor trigonometrice 22170 Analiza clasa XII = Substitut iile lui Euler 22371 Analiza clasa XII = Substitut iile lui Cebsev 2258'&$%Nr Cont inut Pagina72 Analiza clasa XII = Exercit ii tip 22773 Analiza clasa XII = Recapitulare 1 22974 Analiza clasa XII = Recapitulare 2 23175 Analiza clasa XII = Ecuat ii diferent iale 233Sinteza76 Test 1 = Algebra IX, X, XI 23577 Test 2 = Algebra IX-XII, Analiza XI,XII 23778 Test 3 = Matematica IX-XII 23979 Test 4 = Examen admitere facultate 24180 Test 5 = Recapitulare teorie 2439'&$%10'&$%PARTEAIMEMENTOMATEMATICA-TEORIE-11'&$%12'&$%Memo1: GeometrieplanaTermeniutilizati:- dreapta, semidreapta, segment, mediatoarea unui segment.- drepteparalele, dreaptasecanta, unghiuri alterneinterne, unghiuri alterneexterne, unghiuri corespondente- bisectoarea unui unghi- simetric: simetricul unui punct fat a de o dreapta,simetrica unei drepte fat ade o dreapta.- unghiuri: ascut ite, obtuze, complementare, suplementare-triunghiul: triunghiuloarecare,isoscel,echilateral,dreptunghic,triunghiuriegale (cazurile de egalitate),- triunghiul : triunghiuri asemenea( cazurile de asemanare), teorema lui Thales.-triunghiul: sumaunghiurilor ntr-untriunghi,unghiexteriorunuitriunghi(ce este si cum se calculeaza),- triunghiul : linia mijlocie( ce este si cum se calculeaza)- triunghiul : Linii importante n triunghi:Bisectoarea:Imparteununghi indouapart i egale. Oricepunctdepebisectoare este egal departat de laturile unghiului. Bisectoarele triunghiului seintersecteaza n centrul cercului nscris triunghiului. Mediana: Uneste varful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse. Medianeletriunghiului se intersecteaza n centrul de greutate G al triunghiului. G se aala doua treimi de varf si la o treime de baza. Mediatoarea: Este perpendiculara pe mijlocul unui segment. Orice punctdepemediatoareesteegal departat decapetelesegmentului. Mediatoareletriunghiului se intersecteaza n centrul cercului circumscris triunghiului.Inaltimea: Este perpendicularadusadintr-unvarf al triunghiului pelaturaopusa.Inalt imiletriunghiului seintersecteaza nortocentrul triunghi-ului (Orto nseamna drept n greaca)Suprafat aunuitriunghioarecare:(1) S=bazanaltimea2(2) S=bcsin(A)2(3) S=abc4R, unde R= raza cerc circumscris triunghiului (intersect ie medi-atoare)(4) S = r p , unde r= raza cerc nscris triunghiului (intersect ie bisectoare),p= semiperimetrul=a+b+c2(5) S= _p (p a) (p b) (p c), unde p=semiperimetrul . (Formulalui Heron)(6) Idee utila: Exprimarea suprafet ei n doua moduri, n probleme si aareanecunoscuteiTeoreme ntriunghiuloarecareFie triunghiul oarecare ABC, AD= mediana, AM= bisectoare13'&$%AB CabcM DTeorema sinusului:asin(A)=bsin(B)=csin(C)= 2R, unde R=raza cerculuicircumscris triunghiului Teorema cosinusului: a2= b2+ c22 b c cos(A)(Teorema lui Pitagora generalizata)Ment iuni:- Pt. A=ascut it, cos(A) > 0, deci 2bccos(A)este o cantitate negativa- Pt. A=obtuz, cos(A) < 0, deci 2bccos(A)este o cantitate pozitivaTeorema medianei: AD2=2(AB2+AC2)BC24Teorema bisectoarei:BMMC=ABACTriunghiul dreptunghicFietriunghiuldreptunghicABC,A=90,AD BCA BCD Formulele pentru sin, cos, tg, ctg Valorile sin, cos, tg, ctg pentru 30, 60, 45 grade B=90-C, deci sin(B)=cos(C), cos(B)=sin(C), tg(B)=ctg(C), ctg(B)=tg(C),samd. Teorema lui Pitagora: BC2= AB2+AC2 Teorema nalt imii: AD2= DB DC Teorema catetei: AB2= BC DB, respectivAC2= BC DC Cateta ce se opune la 30 grade= jumatate din ipotenuza S=catetacateta2PoligoanecaresepotdescompuneintriunghiuriPatrat, dreptunghi, paralelogram, trapez, romb. Perimetre, suprafet e,proprietat i.Cercul Diametrul=2 R. Perimetrul P=2 R . Suprafat a S= R2. Unghi a)pecerc:A = CAB =BC2b)exterior:D = EDF=GHEF2c)interior:M= KML =IJ+KL2conform gurii:ABCDEFGH MIJKLPatrulaterulinscriptibil Fie patrulaterul inscriptibil ABCD:ADBCSumaunghiuriloropuseeste180grade, adicaA +B=180, respectivC +D = 180.Unghiul formatdeodiagonalacuunadinlaturi, esteegal cuunghiulformat de cealalta diagonala cu latura opusa, adica de exemplu CAB = CDB.14'&$%Memo2: Formuledetrigonometrie:sin(x) =cateta opus aipotenuz acos(x) =cateta alaturat aipotenuz atg(x) =cateta opus acateta alaturat actg(x) =cateta alaturat acateta opus atg(x) =sin(x)cos(x)ctg(x) =cos(x)sin(x)tg(x) =1ctg(x)ctg(x) =1tg(x)sin(x) = cos(2x) cos(x) = sin(2x) tg(x) = ctg(2x) ctg(x) = tg(2x)Formulafundamental aatrigonometriei :sin2x +cos2x = 1Utile: cos2(x) =11+tg2(x)sin2(x) =tg2(x)1+tg2(x)Daca notamtgx2=t, atunci sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x) se pot exprima nfunct ie detgx2astfel:sin(x) =2t1+t2cos(x) =1t21+t2tg(x) =sin(x)cos(x)=2t1t2ctg(x) =cos(x)sin(x)=1t22tsin(a +b) = sin(a) cos(b) +cos(a) sin(b)sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b)cos(a +b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b)cos(a b) = cos(a) cos(b) +sin(a) sin(b)sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)cos(2a) = cos2(a) sin2(a)cos(2a) = 2 cos2(a) 1cos(2a) = 1 2 sin2asin(3a) = sin(a + 2a) = s.a.m.d.cos(3a) = cos(a + 2a) = s.a.m.d.15'&$%sin(a2) = +_1 cos(a)2cos(a2) = +_1 +cos(a)2tg(a2) = +1 cos(a)1 +cos(a)ctg(a2) = +1 +cos(a)1 cos(a)tg(a +b) =tg(a) +tg(b)1 tg(a) tg(b)tg(a b) =tg(a) tg(b)1 +tg(a) tg(b)ctg(a +b) =ctg(a) ctg(b) 1ctg(a) +ctg(b)ctg(a b) =1 +ctg(a) ctg(b)ctg(b) ctg(a)tg(a +b +c) = tg([a +b] +c) =tg[a +b] +tg(c)1 tg[a +b] tg(c)= s.a.m.d.ctg(a +b +c) = ctg([a +b] +c) =ctg[a +b] ctg(c) 1ctg[a +b] +ctg(c)= s.a.m.d.sin(a) cos(b) =sin(a +b) +sin(a b)2cos(a) cos(b) =cos(a +b) +cos(a b)2cos(a) sin(b) =sin(a +b) sin(a b)2sin(a) sin(b) =cos(a b) cos(a +b)2sin(a) +sin(b) = 2 sin(a +b2) cos(a b2)sin(a) sin(b) = 2 cos(a +b2) sin(a b2)cos(a) +cos(b) = 2 cos(a +b2) cos(a b2)cos(a) cos(b) = 2 sin(a +b2) sin(a b2)CercultrigonometricScriet i sin(x),cos(x),tg(x),ctg(x) pentru x=30, 45, 60si respectiv0, 90, 180, 260, (360)16'&$%Memo3: CercultrigonometricDenitie:CercultrigonometricesteuncerccurazaRegalacu1(egalacuunitatea)Consecinta1: Exprimareunghiuriinradieni- Lungime cerc= 2 R = 2*1= 2- Lungime cerc = parcurgerea intregului cerc, adica 360 grade- Deci Lungime cerc = 2 = 360- Prin urmare: 360 grade = 2 180 grade = 90 grade =2270grade =23- se ajunge astfel la notiunea de radiani, calculabil prin regula de 3 simpla.De exemplu ne intereseaza cati radieni inseamna 45 grade.Se porneste de la : 180 grade .................. 45 grade(exemplu)....... xSe scoate xConsecinta2: Aaresin, cos, tg, ctgpentru0, 90, 180, 270, 360grade Fie cercul trigonometric de mai jos, deci raza R=1.sin(x)=ABOA=ABR=1= AB, deci segmentul ABinseamnasin(x)cos(x)=OBOA=OBR=1=OB, deci segmentul OBinseamnacos(x)OAB0=360=290=2180=270=321)Pentrux=0grade, AB devine 0 iar OB devine 1( egal cu raza R=1),deci sin(0)=0, cos(0)=1, tg(0) =01=0, ctg(0)=10=2)Pentrux=90grade, AB devine 1(egal cu R=1) iar OB devine 0,deci sin(90)=1, cos(90)=0, tg(90) =10=, ctg(90)=01=03)Pentru x=180 grade, AB devine 0 iar OB devine -1( egal cu raza R=1in sens negativ),deci sin(180)=0, cos(180)=-1, tg(180) =01=0, ctg(180)=10=-4)Pentrux=270grade, AB devine -1(egala cu R=1 in sens negativ) iarOB devine 0,deci sin(270)=-1, cos(270)=0, tg(270) =10=-, ctg(270)=01=017'&$%Consecinta 3: Valorile sin, cos, tg, ctg pentru unghiri mai mari de360gradeSe considera stiute din gimnaziu sin(x),cos(x),tg(x),ctg(x) pentru x=30,60, 45 grade:Pentru x=30 sin(x)=12cos(x)=32rezulta tg=sin(x)cos(x)si ctg=cos(x)sin(x)Pentru x=60, deoarece 60=90-30, sin(60)=cos(30), cos(60)=sin(30), tg(60)=ctg(30),ctg(60)= tg(30), adica pentru x=60, sin(x)=32cos(x)=12rezultatg=sin(x)cos(x)si ctg=cos(x)sin(x)Pentrux=45, deoarece triunghic dreptunghic este isoscel (catetele egale),tg(x)=catetaopusacatetaalaturata=1, ctg(x)=1tg(x)=1, catetele ind egale si ipotenuzaind aceeasi, sin(x)=cos(x) si anume egale cu22adicapentrux=45, sin(x)=22cos(x)=22, tg(x)=1sictg(x)=1Exemplul1: Seceresin(750)Deoarece360gradeinseamnaorotatiecompleta, ,750gradeinseamna720(=360+360= doua rotatii si ajung tot la 0 grade)+30.Prin urmare sin(720) inseamna ca punctul A este in aceeasi pozitie ca pentru30 grade.Adica sin(720)=sin(30)=12.Identic si pentru cos(x), tg(x) , ctg(x), adica cos(750)=cos(30), tg(750)=tg(30),ctg(750)=ctg(30).Exemplul 2: Seceresin(134)Primadatasetransforma134ingradepentru a judeca mai usor si obtinem 1125 grade, adica 1125=3* 360+45, adicaavem 3 rotatii complete si apoi inca 45 grade. Deci sin(134)= sin(45)=22.18'&$%Memo4Gracelefunctiilortrigonometricesin(x): R [1, +1]1-1sin(x)02 2 Functiasin(x)areperioada2 , esteimpara, estedenitadeR,iavaloriintre -1 si +1 si este bijectiva pentru x [2,2].Deci restrictia bijectiva sin(x) : [2,2] [1, +1] admite o functie inversa,arcsin(x) : [1, +1] [2,2], al carei grac este simetric in raport cu sin(x)fata de bisectoarea intai, y=x.cos(x): R [1, +1]022cos(x)1-1Functia cos(x) are perioada 2 , este para, este denita pe R, ia valori intre-1 si +1 si este bijectiva pentru x [0, ].Deci restrictia bijectiva cos(x) : [0, ] [1, +1] admite o functie inversa,arccos(x) : [1, +1] [0, ], al carei grac este simetric in raport cu cos(x) fatade bisectoarea intai, y=x.19'&$%tg(x): R \ {2+k } Ro2-2tgxFunctia tg(x) are perioada, este impara, este denita peR \ {2 +k }, ia valori intre -si +si este bijectiva pentru x (2, +2).Deci restrictiabijectivatg(x): (2, +2) (, +)admiteofunctieinversa, arctg(x): (, +) (2, +2), al carei gracestesimetricinraport cu tg(x) fata de bisectoarea intai, y=x.ctg(x): R \ { +k } R02ctg(x)Functia ctg(x) are perioada, este impara, este denita peR \ { +k }, ia valori intre - si + si este bijectiva pentru x (0, ).Deci restrictia bijectiva ctg(x) :(0, ) (, +) admite o functie inversa,arctg(x) : (, +) (0, ) , al carei grac este simetric in raport cu ctg(x)fata de bisectoarea intai, y=x.20'&$%Memo5Ecuatiisiinecuatiitrigonometrice1. EcuatiitrigonometriceelementareSe considera cunoscute urmatoarele:- Se consideracunoscute valorile pentrusin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), undex=30, 45, 60si pentru90, 180, 270, precumsi modul detransformaredin grade in radiani.- Se considera cunoscut cercul trigonometric- Se considera cunoscute gracele functiilor sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x)-Seconsideracunoscutfaptul casin(x), tg(x), ctg(x)suntimpareiarcos(x)este par. De asemenea se cunoaste faptul ca functiile pare sunt simetrice fatade Oy, iar functiile impare sunt simetrice fata de origine- Se considera cunoscut faptul ca sin(x) si cos(x) au perioada 2 iar tg(x) sictg(x) au perioadaSe considera ecuatie trigonometrica elementara, o ecuatie care are una dinformele urmatoare:sin(x)=a , unde a [-1,1]cos(x)=b , unde b [-1,1]tg(x) =c , unde c Rctg(x)=d , unde d RCapcana consta in faptul ca rezolvarea acestor ecuatii pare foarte simpla, darde fapt este complicata. De exemplu pentru sin(x)=1/2, prima tentatie este sase dea rapid raspunsul x= 30. Raspunsul este corect dar incomplet, in sensulcamaiexistaoinnitatedesolutiisianume: 30, 150(=180-30)sipentruecare dintre ele, +2k, unde k Z si anume pentru k>0 inseamna rotatii insens trigonometric iar pentru k 0 exista doua radacini reale,x1six2, cux1 = x2 Pentru = 0 exista doua radacini reale, egale si confundate, x1 = x2 =b2a Pentru < 0 exista nu exista radacini reale, sau altfel spus, exista douaradacini imaginarex1six2 Relatiile lui Vi`ete: S = x1 +x2 =baP= x1 x2 =ca Aarea ecuatiei daca se cunoaste suma si produsul radacinilor (de exemplustim ca S=10 si P=20).Ecuatia este: x2S x +P= 0Pentru exemplul anterior obtinem ecuatia : x210 x + 20 = 0Functiadegraduldoiy = a x2+b x +c = 0, unde a = 0 Gracul functiei de gradul doi este o parabola Semnul functiei de gradul doi :Regula:Intre radacini semn contrar lui a, in afara radacinilor semnul luia, n radacini egala cu zero.Aplicarea regulii depinde de astfel :- Pentru > 0 este exact dupa regula.-Pentru=0, NUexistazonaintreradacini, decifunctiavaegalacuzero in radacini, in rest va avea semnul lui a.- Pentru 0, functia are minim iar daca a< 0 are maxim.2)Pentru minim si maxim se mai foloseste termenul de Varf sau deextrem. Acesta este un punct sa zicem V (xv, yv). El reprezinta cel mai de jospunct al gracului in cazul minimului, respectiv cel mai de sus punct in cazulmaximului. Se calculeaza coordonatele varfuluiV (xv, yv) cu formulaxv=b2asiyv =4a, deci practic se calculeaza varfulV ( b2a, 4a).3) Se aa intersectia cu axa Ox , facand y=0 in expresia y = a x2+b x+c, adica practic se rezolva ecuatia a x2+b x+c = 0. Valorile obtinutepentru x reprezinta intersectiile cu Ox. De exemplu daca obtinem doua valorix1six2, punctele de intersectie cu Ox vor (x1, 0) si (x2, 0).27'&$%4) Se aa intersectia cu axa Oy , facand x=0 in expresia y = a x2+b x + c, adica se obtiney =a 02+ b 0 + c, adica intotdeauna se obtine defapt y=c. Punctul (o,c) reprezinta intersectia gracului cu Ox.5)Setraseazagracul folosinddateleanterioare, inordineaurma-toare: SedeseneazaaxeleXOY, sedeseneazavarful V, sedeseneazaformavarfului(minimsaumaxim), sedeseneazaintersectiilecuOxsi intersectiacuOy si se unesc punctele obtinute. Se tine seama ca gracul este simetric fata devarf. Monotonie:-Functiaestedescrescatoaredela panalaxvarfsicrescatoareincontinuare,delaxvarfpanala+(dacaVarfulesteminim,adicapentrua > 0) .Respectiv,-Functiaestecrescatoaredela panalaxvarfsidescrescatoarein continuare,de laxvarfpana la + (daca Varful este maxim,adica pentrua < 0) .28'&$%Memo9Semnulfunctieidegraduldoiy=ax2+bx+c,a =0Gracul functiei degradul doi esteoparabola. Dacaa>0, gracul func-tieiareminim, iardacaa 0 sau = 0 sau < 01. Pentru>0, existadouaradacini reale, diferite, x1 =x2,x1, x2 R.Gracul poate de genul urmator: > 0 si a> 0 > 0 si a< 0xy=ax2+bx+cx1 x20 0 + + + - - - + + +- +x1x2x1 x2xy=ax2+bx+xx1 x2 - +0 0 + + + + + + - - -Din analiza gracelor se pot desprinde urmatoarele observatii:Intreradacini functiadegradul doi aresemncontrarlui a, iarinafararadacinilor are semnul lui a. In radacini, functia este egala cu zero.Pentru>0, functianuaresemnconstant, indpozitivapeanumiteintervale si negativa pe altele.2. Pentru = 0 , exista doua radacini reale, egale,x1 = x2,x1, x2 R.Gracul poate de genul urmator:xy=ax2+bx+c0- + xy=ax2+bx+x- +0x1=x2x1=x2 = 0 si a > 0 = 0 si a < 0x1=x2+ + + + + +x1=x2- - -- - -y>=0 y0 inseamnaca f=crescatoare, respectiv daca f= 2 . Adica o P.A. este un sira1, a2, ...., ancu proprietatea caan = an1 +rAceasta este formula 1. Ratia poate sau pozitiva, sau negativa.Trebuie ca n sa e>= 2, deoarecea1nu are termen anterior. Formula 2 = Exprimareanin functie de primul termen (a1) si ratie(r).Deoarecea1 = a1Deoarecea2 = a1 +rDeoarecea3 = a2 +r = a1 + 2 rDeoarecea4 = a3 +r = a1 + 3 r, s.a.m.d., se obtine formula:an = a1 + (n 1) r Formula 3 = Vericare daca trei numere sunt in progresie aritmeticaPentru a verica daca numerele A, B, C sunt in P.A.,se verica daca esteindeplinita conditia:B =A+C2adica daca cel din mijloc e media aritmetica a vecinilor.E resc sa e asa, deoarece A= B - r, C= B+r , deciA+C = 2 B Formula 4 = Suma unei progresii aritmeticePentru progresia aritmeticaa1, a2, ...., an, sumaS = a1 +a2 +.... +an =(a1 +an) n2Se retine usor dupa formularea S =(PrimulTermen+UltimulTermen)n2Demonstratia este simpla si anume:S=a1+a2+...+an = a1+(a1+r)+(a1+2r)+(a1+3r)+....(a1+(n1)r)= (a1n+r +2r +3r +...(n1) r) = na1+r (1+2+... +(n1)) ==n a1 +r (n1)(n1+1)2=n a1 +rn(n1)2=2a1+(n1)r2n=a1+a1+(n1)r2 nDeci S=(a1+an)n2 Formula 5 = Suma unei progresii aritmetice, alta formulaDaca se exprimaan = a1 + (n 1) r in formula anterioara, se obtine incao formula pentru S si anume:S =(2 a1 + (n 1) r) n2Recomandare: Dacainproblemasecunoasteprimultermensi ultimul, eutila formula 4, iar daca se cunoaste primul termen si ratia, e utila formula 5.In ambele situatii trebuie sa cunoastem numarul de termeni ai progresiei, notatcu n.33'&$%ProgresiigeometriceDenitie: Progresiegeometrica=unsirb1, b2, ...., bncuproprietateacaecaretermenesteegal cutermenul dedinainteinmultitcuratia(notataq).Cu alte cuvinte,b2 = b1 q,b3 = b2 q, s.a.m.d. Mai precis spus,bn = bn1 qpentrun >= 2 . Adica o P.G. este un sirb1, b2, ...., bncu proprietatea cabn = bn1 qAceasta este formula 1. Ratia poate sau pozitiva, sau negativa.Trebuie ca n sa e>= 2, deoareceb1nu are termen anterior. Formula 2 = Exprimarebnin functie de primul termen (b1) si ratie(q).Deoareceb1 = b1Deoareceb2 = b1 qDeoareceb3 = b2 q = b1 q2Deoareceb4 = b3 q = b1 q3, s.a.m.d., se obtine formula:bn = b1 qn1 Formula 3 = Vericare daca trei numere sunt in progresie geometricaPentru a verica daca numerele A, B, C sunt in P.G.,se verica daca esteindeplinita conditia:B =A Cadica daca cel din mijloc e media geometrica a vecinilor.Erescsaeasa, deoareceA =Bq, C=B q, deci A C=B2, adicaB =A C Formula 4 = Suma unei progresii geometricePentru progresia geometricab1, b2, ...., bn, sumaS = b1 +b2 +.... +bn = b1 (qn1q 1)Demonstratia este simpla si anume:S=b1 +b2 +... +bn = b1 + (b1 q) + (b1 q2) + (b1 q3) +....(b1 qn1)= b1(1 +q +q2+q3+.... +qn1) = b1 (qn1q1 ) c.c.t.dAm folosit formulaxn 1n= (x 1) (xn1+ xn2+ xn3+ ... + x + 1)unde pe rol de x am folosit q si am scos pe (1 +x +x2+... +xn1) =xn1x134'&$%Memo12Functiaexponentialay=ax,a >0,a= 1Existadouasituatiidiferite,dupacuma>1saua(0,1)Argumentareafaptuluicaa >0,a= 1Valoarea lui anupoateavea urmatoarele valori:-Nu trebuie ca a sa e egal cu 0, deoarece 0 la orice putere este egal cu 0.-Nu trebuie ca a sa e egal cu 1, deoarece 1 la orice putere este egal cu 1.-Nutrebuiecaasaenegativ. Deexempludacaavema=-3si x=12, amobtine ax= (-3)12,adica ax= 3,adica radical din numar negativ,care nuapartine lui R.Din valorile a R, daca eliminam a=0, a=1 si a0 si a =1Caz1. a>1Fiedeexempluy=2x. Trasamgraculfunctieiprinpuncte,dand valori lui x:x | ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ....---|-----------------------------------------y | 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8Se obtine gracul urmator:y=ax,a>1O(0,1)xyDin analiza gracului se pot desprinde urmatoarele observatii: Functia y=ax, a> 1 este denita pe R si ia valori in (0,), adicaf: R (0,), prinurmaredomeniul dedenitieesteR, iarcodomeniuleste(0,). Se observa ca orice paralela la axa Ox, dusa prin codomeniu intersecteazagracul functiei inexactunpunct, prinurmarefunctiaestebijectiva. Fiindbijectiva, inseamnacaesteatatsurjectivacatsi injectiva. Datoritafaptuluicaesteinjectiva, adicadacaf(x1)=f(x2)inseamnacax1=x2, incazul incareobtinem o ecuatie de forma af(x)=ag(x), putem trage concluzia ca f(x)=g(x). ax> 0 pentru orice x R. Deci daca se obtine o ecuatie de exemplu 5x=-25inseamna ca ecuatia nu are solutii, deoarece 5xeste intotdeauna pozitiv. Functia ax, pentru a> 1 este crescatoare, adica dacax1< x2inseamnacaf(x1) 0 obtinem de exemplu x apartine intervalI1 a>0 si a =1 obtinem de exemplu x apartine intervalI2Domeniul de denitie esteI1intersectat cuI2Bazalogaritmului:lgXinseamnalogX10adica logaritm zecimallnXinseamnalogXeadica logaritm natural, unde e=2.7Bazasubunitarasaubazasupraunitara.Datorita conditiei de la domeniul de denitie , pentru logXa , deoarece trebuie caa > 0 sia = 1, practic exista doua situatii pentru baza logaritmului:-CAZ 1: a intre (0,1).In acest caz, functia logaritm este , descrescatoare,de exempludacastimcaaesteintre (0,1)siobtinemintr-o problemalogAa B.37'&$%Gracul functiei logaritm, pentru baza subunitara este urmatorul:(1,0)xylogxa=subunitarSe observa din grac urmatoarele:logXa: R (0, ) functia este descrescatoarelog1a = 0 functia este pozitiva pentru X intre (0,1) functia este nula pentru X=1 functia este negativa pentru X>1.- CAZ2: aintre(1,) In acest caz, functia logaritm este , crescatoare,de exemplu daca stim ca a este intre (1,) si obtinem intr-o problemalogAa1(1,0)Se observa din grac urmatoarele:logXa: R (0, ) functia este crescatoarelog1a = 0 functia este negativa pentru X intre (0,1) functia este nula pentru X=1 functia este pozitiva pentru X>1.Ambele cazuri se pot sintetiza intr-un singur grac:(1,0)xylogxa, a > 1logxa, a = subunitar38'&$%Memo14AnalizacombinatorieFactorialul, Permutari, Aranjamente, CombinariFactorialul Prin denitie nfactorial se noteaza cu n!si are urmatoarea formula decalcul:n! = 1 2 3 .... (n 1) n Exemple:a) 3!=1 2 3 = 6b) 1!=1c) 0!=1 (=surprinzator la prima vedere, se va explica ulterior) Rezulta urmatoarele formule:n!=1 2 3 .... (n 1) n, deci se poate scrie si astfel:n!=(n-1)!nn!=(n-2)!(n 1) nn!=(n-3)!(n 2) (n 1) n , s.a.m.d.Permutari Permutari de n elemente se noteaza cu Pnsi are urmatoarea formulade calcul:Pn = n!deciPn = n! = 1 2 3 .... (n 1) n Exemplu:a) P3= 3!=1 2 3 = 6 Ce inseamna Permutari de n elementeDaca avem de exemplu un numar de n=3 elemente {a, b, c} ,P3 ne arata incatemoduri pot permuta(= schimba intre ele cele 3 elemente), astfel incatsa formeze echipe care :a) sa contina toate cele n elemente( atat a cat si b cat si c)b) nici un element sa nu se repete.Practic pot forma urmatoarele echipe :{abc} {acb} {bac} {bca} {cab} {cba}Dacanumaramechipeleanterioaresevedecasunt 6. Intradevar 6=P3 = 3! = 1 2 3. In concluzie cuPnpot aa numaruldeechipe care sepot genera, deci ne da cateechipesunt,nucaresuntacesteechipe.39'&$%AranjamenteAranjamentedenelementeluatecateksenoteazacu Aknsiareurmatoarea formula de calcul:Akn = n (n 1) (n 2) .... (n k + 1) Exemplu:A410 = 10 9...(10 4 + 1) = 10 9 8 7 = 5040 Ce inseamnaAkn:Exemplul 1: Deexempludacaavem30deelevisivremsaiigrupamcate2inbanca,numarulacestorgrupariestedatdeA230,sianumedupaformulaanterioara se poate calculaA230 = 30 29 = 870 adica se pot aranja in 870 demoduri.Exemplul 2:Daca avem n=3 elemente de exemplu multimea {a, b, c} si vremsa aranjam aceste elemente in grupa de cate 2, obtinem:{ab} {ac} {bc} {ba} {cb} {ca}Observamcasunt6grupari, adicaA23=3 2=6. Seobservacaapareatatgruparea {ab}catsigruparea {ba}adicaconteazaordineaelementelor.PracticAknseamana cuPncu diferenta ca in echipa nu intra toate celen elemente ci doar k (unde k n). Domeniul de denitie:PentruAkntrebuie ca n, k N si n kSepoateimaginaabsurditateasituatiilor pentrun 1 si din aceasta relatie se scoate k. Apoi se interpreteazak si se aa termenul maxim. Pentru un binom (a +b)n, raportulTk+1Tk+1=n kk + 1 baFormula ind dicil de retinut, se recomanda sa se demonstreze ad-hoc, porninddelaraportulTk+1Tk+2si exprimandtermenii Tk+1si Tk+2cuformulaobisnuitaTk+1 = (1)k Ckn ank bkExemple: Gasiti rangul celui mai mare termen al dezvoltarii:a) (1 + 0.1)100b) (12 + 12)100c) (34 + 14)10042'&$%Memo16Polinoame1. Impartireapolinoamelor Metoda1 Metoda clasica de impartire a doua polinoame f(x) si g(x), dupametoda studiata in clasa a VIII a. Are avantajul ca impartitorul g(x) poate de orice grad. Se recomanda efectuarea probei conform formulei:Deimpartitul=Impartitorul Catul+Restul Metoda2 Folosind schema lui Horner pentru impartirea a doua polinoamef(x) si g(x), unde g(x) este de forma (x-a). Are dezavantajul ca g(x) trebuie sae de gradul I. Daca g(x) este de grad mai mare, se descompune g(x) in factoride gradul I, de exemplu x2-25 =(x-5)(x-(-5)) si se imparte succesiv f la (x-5) siapoi catul obtinut se imparte la x-(-5). Schema lui Horner are avantajul ca sepreteaza la prelucrare pe calculator.2. DivizibilitateapolinoamelorPentru a determina cmmdc a doua polinoame, se foloseste algoritmul luiEuclid si anume:Se imparte f(x) la g(x) si se obtine un cat si un rest. In continuare se impartedeimpartitul la restul obtinut. Se tot efectueaza impartiri ale deimpartiului larest, pana se obtine rest=0. Ultimulrestnenulestecmmdc(f,g).Mentiune1 Daca se cere cmmmc(f,g) se foloseste proprietatea cacmmmc(f,g) cmmdc(f,g)=f gPractic, se calculeaza f g si apoi se calculeaza cmmdc(f,g) cu algoritmul luiEuclid. In continuare se aa cmmmc(f,g)=fgcmmdc(f,g)Mentiune 2 Daca se cere sa se verice daca f si g sunt prime intre ele sefoloseste proprietatea ca doua polinoame sunt prime daca au cmmdc=1.Practic, se calculeaza cmmdc(f,g) cu algoritmul lui Euclid si daca se obtinecmmdc(f,g)=1 se trage concluzia ca f si g sunt prime,altfel se trage concluziaca nu sunt prime.3. Radacinileecuatiilordegradsuperior. Radacinimultiple. Un polinomPnde gradul n, avand radacinilex1, x2, xnse poate scrie subforma:Pn = (x x1) (x x2) (x xn)DacaunpolinomP(X)admiteradacinax=a, atunci P(a)=0(TeoremaluiBezout). Radacini multiple. O ecuatie poate avea radacini multiple ( duble, triple, etc),in general de ordinul k de multiplicitate.43'&$%Deexemplux=esteradacinadubladacax1=x2=. InacestcazP(x)apare de forma:P(x)n = (x )2 (x x3) (x xn)Inseamna caP(x) se imparteexact la (x-)2,adica se imparte deexemplu cuschema lui Horner la (x-) si apoi catul obtinut se imparte tot exact la (x-).Alta abordare a problemei este sa se imparta P(x) la (x-a)2, adica la x2-2ax+a2prin metoda clasica de impartire de polinoame si sa se puna conditia ca restulsa e zero.Cel mai operativ pentru radacini multiple, este sa se foloseasca urma-toarea teorie:UnpolinomP(x)areradacinax=caradacinamultipladeordinul kdemultiplicitate, daca:P() = 0P

() = 0P

() = 0 Pk1() = 0Pk() = 04. RelatiileluiVi`eteFiedeexempluecuatiadegradul3: ax3+ bx2+ cx + d = 0avandradacinilex1,x2,x3.Se pot scrie urmatoarele sume, numite relatiile lui Vi`ete :___S1 = x1 +x2 +x3= baS2 = x1 x2 +x1 x3 +x2 x3= +caS3 = x1 x2 x3= daIn mod similar se pot scrie relatiile lui Vi`ete pentru orice grad n.Dacasecunoscradacinileunei ecuatii , deexempluy1,y2,y3 yn, si sedoresteaareaecuatiei careareaceleradacini, secalculeazasumelelui Vi`eteS1,S1, Sn, apoi se scrie expresia ecuatiei care are acele radacini:1 YnS1 Yn1+S2 Yn2 Sn = 05. RezolvariavansatealeecuatiilordegradsuperiorIn afara de metodele de rezolvare clasice a ecuatiilor de grad superior, se potfolosi si metode avansate care utilizeaza derivatele, de exemplu: Folosind SirulluiRolle. Folosind reprezentarea graca a functiilor care formeaza ecuatia.44'&$%Memo17ecuatiidegradsuperiorPartea a I-aTip1. EcuatiibipatrateExemplu: Rezolvati ecuatiax46x2+ 6 = 0Idee: Se noteazax2= y si se obtine ecuatie de gradul doi care se rezolva, apoise aax1, x2, x3, x4.Tip2. EcuatiireciprocedegradtreiExemplu: Rezolvati ecuatia 5x3+ 31x2+ 31x1+ 5 = 0Teorie1: Senumesteecuatiereciproca, oecuatiecarearecoecientii egaldepartati, egali.Teorie 2: Orice ecuatie reciproca de grad impar admite radacina x=-1.Teorie3: UnpolinomPndegraduln,avandradacinilex1, x2, xnsepoatescrie sub forma:Pn = (x x1) (x x2) (x xn)Teorie 4:Daca avem pentru o impartire Deimpartit, Impartitor, Cat, Rest, estecorecta relatia:Deimpartitul = Catul Impartitorul +RestulIdee: FieP3(x)expresiaegalacuzero. Deoareceadmiteradacinax=-1, in-seamnacaP3(x)seimpartelax-(-1)adicalax+1. SeefectueazaimpartireaP3(x) la (x+1) si obtinemCat2(x) si rest=0. Deci P3(x) = (x + 1) Cat2(x).RezolvamCat2(x) = 0 si aam celelalte doua radacini.Tip3. EcuatiireciprocedegradpatruExemplu: Rezolvati ecuatia 2x4+ 7x3+ 9x2+ 7x1+ 2 = 0Idee: Se imparte ecuatia cux2, dupa care se noteaza (x +1x) = y. Se exprimatotul in y. Se rezolva ecuatia de gradul doi in y, apoi se aax1, x2, x3, x4.Tip4. EcuatiireciprocedegradcinciExemplu: Rezolvati ecuatia 20x581x4+ 62x3+ 62x281x1+ 20 = 0Idee: Fiind ecuatie reciproca de grad impar, are radacina x=-1. Se procedeazaca in cazul ec. reciproce de grad trei si din P5(x) = (x+1)Q4(x), prin impartirealui P5(x)la(x+1)seobtineQ4(x)caecuatiereciprocadegradul 4, careserezolva ca orice ecuatie reciproca de gradul patru.45'&$%Tip5. Ecuatiicareadmitradacinax = a +b iExemplul1: Rezolvati ecuatiaax4+ bx3+ cx2+ dx1+ e = 0 stiind ca admiteradacina x=1+i.Teorie: Dacaoecuatieadmiteradacinax=a+bi, atunci admitesi radacinax=a-biIdee: Fie de exemplu polinomul P4(x) care stim ca admite radacina x1 = a+bi.Conform teoriei,x2 = a bi. Inseamna ca putem scrieP4(x) = (x x1) (x x2) Q2(x)Calculam(x x1) (x x2) si scapamdei, notamformaobtinutapentrucomoditateascrierii cuR(x). Deci P4(x) =R(x) Q2(x). Aampe Q2(x)impartind pe P4(x) la Q2(x). Rezolvam Q2(x) = 0 si aam de aici pe x3, x4. Pex1in cunoastem din enunt ca ind x=a+bi, iar pex2in cunoastem din teorieca ind x=a-bi.Exemplul 2: Determinati a si b, dupa care rezolvati ecuatiax47x3+ 21x2+ax1+b = 0stiind ca admite radacina x=1+2iTeorie: Daca un polinom P(X) admite radacina x=a, atunci P(a)=0 ( Teoremalui Bezout).Idee: Deoarece P(x) admite radacinile x=asi x=b, conformteoremei luiBezout, putemscriecaP(a)=0si P(b)=0. Amobtinut unsistempedouaecuatiicudouanecunoscute, pecareilrezolvamsiaampeasipeb. AcumcunoastemformaluiP(x)sifolosimteorieconformcareiadacapolinomulad-mite radacina x=1+2i, inseamna ca admite si radacina x=1-2i. Procedam ca siin cazul problemei anterioare si aam si celelalte radacini.Tip6. Ecuatiicareadmitradacinax = a +bExemplu:Rezolvati ecuatia x44x3+x2+6x1+2 = 0 stiind ca admite radacinax = 1 2.Teorie: Daca o ecuatie admite radacinax = a +b, atunci admite si radacinax = a bIdee: Similarcuproblemaanterioara. Fiedeexemplupolinomul P4(x)carestim ca admite radacinax1 = a +b. Conform teoriei,x2 = a b. Inseamnaca putem scrieP4(x) = (x x1) (x x2) Q2(x)Calculam(x x1) (x x2)si scapamde b, notamformaobtinutapentrucomoditateascrierii cuR(x). Deci P4(x) =R(x) Q2(x). Aampe Q2(x)impartindpeP4(x)laQ2(x). RezolvamQ2(x) = 0siaamdeaicipex3, x4.Pex1in cunoastem din enunt ca indx = a +b, iar pex2in cunoastem dinteorie ca indx = a b.46'&$%Memo18Ecuatiidegradsuperior-ContinuarePartea a -II - aTip7. Ecuatiicucoecientuldegradmaxim=1Exemplu: Rezolvati ecuatiax42x35x2+ 8x + 4 = 0Teorie: Radacinile intregi ale ecuatiei ar putea printre divizorii termenuluiliber.Idee: Se scot divizorii termenului liber, ex: +1,-1,+2,-2,+4,-4 si se verica perand daca sunt radacini cu teorema lui Bezout. Adica se verica daca P(+1)=0.Daca este egal cu zero, inseamna ca este radacina, altfel nu este. Se fac veri-carile pt toti divizorii termenului liber. Daca gasim de exemplu doua radacini,ex1six2, scriemP(x) = (x x1)(x x2)Q2(x). Calculam (x x1)(x x2)si obtinemoecuatiedegradul doi, onotamptcomoditateascrierii cuR(x).Impartim pe P(x) la R(x) si obtinemQ2(x). RezolvamQ2(x) = 0 si aamx3six4.Tip8. Cazgeneral=Ecuatiicucoecientdegradmaximdiferitde1(Valabil si pentru coecient grad maxim egal cu 1 ca si caz particular)Exemplu: Rezolvati ecuatia 6x417x3x2+ 8x 2 = 0Teorie: Radacinile ecuatiei ar putea de forma =pq, p=divizor al termenu-lui liber , iar q=divizor al coecientului de grad maxim.Idee: Metoda implica multe calcule. Se scot divizorii termenului liber, ex: p=+1,-1,+2,-2si divizorii coecientului derangmaximex: q=+1,-1,+2,-2,+3,-3,+6,-6. Se formeaza toate combinatiile de tip =pq, si anume+1+1,+11,+1+2 ,s.a.m.d. si se verica cu teorema lui Bezout daca P()=0. Daca se gasesc douasolutii, se procedeaza mai departe ca in cazul problemei anterioare.Tip9. EcuatiibinomeExemplu: Rezolvati ecuatia 3x7= 5Teorie: Seaduceecuatialaformaxn=asi sescrienumarul acanumarcomplex, de forma r(cos()+isin()). Se folosesc eventual formele 1 = cos(0)+i sin(0) , respectiv 1 = cos()+i sin(). Se obtine xn= r(cos()+i sin())si se aplica formula radicalului dintr-un numar complex si obtinem radacinile:xk =nr(cos + 2kn+i sin + 2kn), k = 0, 1 k 1De exemplu pentru 3x7= 5 se scrie x7=53 1, adica x7=53 (cos(0) +i sin(0))decixk =n_53(cos0 + 2k5+i sin0 + 2k5), k = 0, 1 447'&$%Tip10. Altemetodederezolvareaecuatiilordegradsuperior Folosind teorema lui Bezout, pentru radacini multiple(materie clasa X) Folosind relatiile lui Vi`ete(materie clasa X) Folosind sirul lui Rolle(materie de clasa XI, implica derivate ) Rezolvare graca(materie de clasa XI, uneori implica derivate )48'&$%Memo19Determinanti1. Calcululdeterminantilora) Determinanti de ordin 1:a = ab) Determinanti de ordin 2:a bc d = a d b cc) Determinanti de ordin 3:a b cd e fg h i= a e i +d h c +b f g c e g b d i f h aAceasta metoda se numeste regula triunghiuluid) Determinanti de ordin>= 4:Nu exista o regula de genul regulilor anterioare, ci se procedeaza astfel:Fie de exemplu urmatorul determinant de ordin 4:a b c de f g hi j k lm n o pSe dezvolta determinantul dupa o linie sau dupa o coloana. De mentionatcasepoatealegeoricelinie, respectivoricecoloana, rezultatul obtinutesteacelasi. Adica daca dezvoltam dupa linia 1 este ok, sau daca dupa linia 2 estetotok, dacadezvoltamdupacoloana1esteok, dupacoloana2estetotok,s.a.m.d.Alegem de exemplu sa dezvoltam dupa linia 1. Dezvoltarea determinantuluidupa linia 1 este urmatoarea:a b c de f g hi j k lm n o p=(1)1+1 a f g hj k ln o p+ (1)1+2 b e g hi k lm o p+(1)1+3 c e f hi j lm n p+ (1)1+4 d e f gi j km n oSe observa ca pornind de la un determinant de ordin patru, am ajuns la de-terminanti de ordin trei, pe care ii putem calcula. Practic am reusit sa coboram49'&$%gradul determinantului cu o unitate. In general,pentru a calcula un determi-nant de ordin n , prin aceasta metoda se ajunge la determinanti de ordin n-1 ,apoi aplicand metoda din nou, determinantii de ordin n-1 se reduc la determi-nanti de ordin n-2 , s.a.m.d. pana se ajunge la determinanti de ordin 3, pentrucare avem metoda efectiva de calcul.Acest determinant redus, de exempluf g hj k ln o ppentru elementul aatlaintersectialiniei 1cucoloana1, senumestecomplement algebric, (sauminor) si senoteazacu11. Ingeneral laintersectialiniei i cucoloanaj,segasesteelementul aij, avandcomplementulalgebricij, (respectivminorulij). Dezvoltarea unui determinant dupa o anumita linie sau dupa o anumitacoloana, reprezinta de fapt o suma de grupari de genul (1)i+j aij ijpentruacealinie, respectivcoloana. Dezvoltareaunuideterminantsepoateexprimape scurt astfel:d =

(1)i+j aij ij2. ProprietatialedeterminantilorSe observa faptul ca un determinant este mai usor de calculat daca linia(sau coloana ) dupa care se alege dezvoltarea are cat mai multe elemente egalecu zero. Din acest motiv, este de preferat ca pentru calculul unui determinantsa alegem o linie(sau coloana), sa facem cat mai multe zerouri pe acea linie(saucoloana)sidoarapoisadezvoltamdeterminantul. Pentruafacezerouripeolinie(sau coloana) se pot folosi urmatoarele proprietati:a)Dacalaundeterminantseadunaolinielaaltalinie, valoaredetermi-nantului esteaceeasi. DacanotamdeexempluliniaicuLisi liniajcuLj,inseamna ca este corecta operatiaLi = Li +Ljb)Dacalaundeterminantsescadeoliniedinaltalinie,valoaredetermi-nantului este aceeasi, adica este corecta operatiaLi = Li +Ljc) Daca la un determinant se inmulteste o linie cu un numar intreg, de ex-emplu si apoi se aduna valoarea obtinuta la alta linie, valoare determinantuluieste aceeasi, adica este corecta operatiaLi = Li + Lj. Se observa ca pentru = +1 se obtine cazul a) iar pentru = 1 se obtine cazul b). De remarcatca trebuie sa e intreg, adica de exemplu =13nu este ok.In concluzie, de retinut ca sunt corecte urmatoarele relatii:a) Li = Li +Ljb) Li = LiLjc) Li = Li + LjSimilar si pentru coloane, adica notand coloana cu C, sunt corecte operatiile:a) Ci = Ci +Cjb) Ci = CiCjc) Ci = Ci + Cj3. Dinceleprezentaterezultaurmatoareleconsecinte:1) Un determinat are valoarea zero,daca are pe o linie (sau pe o coloana)toate elementele egale cu zero.2) Un determinant are valoarea zero, daca are doua linii (sau doua coloane)identice.3) Un determinant are valoarea zero, daca are doua linii (sau doua coloane)proportionale.4) Se poate scoate factor comun de pe o linie(sau coloana) a unui determi-nant, adica de exemplu, este corecta urmatoarea operatiune: a b c d =a bc d50'&$%Memo20Matrici1. NotiuneadematriceDenitie: O matrice reprezinta un tablou de elemente.Fie de exemplu matricea X=a b cd e f care are 2 linii si trei coloane, deciputem spune ca X apartine multimii matricilor cu 2 linii si 3 coloane, adica X M2,3De mentionat ca primul indice reprezinta numarul de linii iar al doileaindice reprezinta numarul de coloane. In general, multimea matricilor cu m liniisi n coloane se noteaza cu Mm,n-Dacam=n, adicanumaruldeliniiesteegalcunumaruldecoloane, ma-tricea se numeste matricepatratica, iar multimea matricilor nu se scrie Mm,mci mai simplu, Mm. Daca m este diferit de n, matricea se mai numeste matricedreptunghiulara.- Daca m=1, adica matricea are o singura linie, matricea se numeste matricelinie si se poate scrie de exemplu X M1,n.- Dacan=1, adicamatriceaareosinguracoloana, matriceasenumestematrice coloana si se poate scrie de exemplu X Mm,1.- Se observa ca matricea linie si matricea coloana, reprezinta de fapt vectori.2. OperatiicumatriciFie matricile:A=a bc d si B=A BC D Adunarematrici: A+B=a +A b +Bc +C d +D Scaderematrici: A - B=a A b Bc C d D Inmultirematricecuunscalar: A= a b c d, pt. scalar. Inmultireaadouamatrici:Fie matricile: A=a b cd e f si B=A B CD E FG H IA B =a b cd e f A B CD E FG H I==aA+bD +cG aB +bE +cH aC +bF +cIdA+eD +fG dB +eE +fH dC +eF +fISe poate retine mai usor privind in acest mod:AB=L1C1L1C2L1C3L2C1L2C2L3C3,undeLi=linia i , iarCj=coloana jAnalizandalgoritmul deinumltireadouamatrici, seobservacadacaseinmultesteomatricecumliniisincoloanecuoaltamatriceavandnliniisipcoloane,matricearezultatavaaveamliniisipcoloane. Pentruaseputea51'&$%efectua inmultirea, este necesar ca numarul de linii a celei de a doua matrici sae egal cu numarul de coloane a primei matrici.De exemplu pentru inmultirea A B = C (unde A are m linii si n coloane,iar B are n linii si p coloane) se respecta regulile prezentate in urmatorul desen:mnnpmp =ABCSeobservacainmultireamatricilorNUesteCOMUTATIVA Impartireaadouamatrici:Nu exista impartire a doua matrici. Pentru simularea impartirii matricilorse foloseste notiunea de matrice inversa, notata cu A1(pentru matricea initialaA), care se va prezenta ulterior.3. MatricideosebiteFie de exemplu matrici de 3 linii si 3 coloane, adica matrici din M3a)matriceanula. Pentru M3:O3=0 0 00 0 00 0 0Ingeneral, matriceanulapentru Mn, senoteazacuOnsi esteomatricepatrata, cu n linii si n coloane, avand toate elementele nule .Matriceanulaareproprietateacaesteneutrainraportcuadunareama-tricelor, adica A+On= On+A=A pentru orice A Mn.b)matriceaunitate. Pentru M3:I3=1 0 00 1 00 0 1Ingeneral, matriceaunitatepentru Mn, senoteazacuInsi esteoma-tricepatrata, cunlinii si ncoloane, avandtoateelementelenulecuexceptiaelementelor de pe diagonala principala care au toate valoarea 1.Matriceaunitateareproprietateacaesteneutrainraport cuinmultireamatricelor, adica A In=In A= A pentru orice A Mn.52'&$%Memo21Matriceainversa. Ranguluneimatrici1. MatriceainversaFie de exemplu matricea patrata de ordinul 3, A=a b cd e fg h iPentru a determina matricea inversa, notata cu A1se procedeaza astfel:1. Se calculeaza determinantul matricii A.a) Daca det(A)=0, inseamna ca nu exista matricea inversa A1, sau altfelspus, matriceaAnuesteinversabila. Inaceastasituatie, precesul seopresteaici.b)Dacadet(A)diferitdezero,inseamnacaexistamatriceainversaA1,sau altfel spus, matricea A este inversabila. Se continua cu pasul urmator.2. Se formeaza matricea transpusa, notata cu At, si anume linia 1 din A devinecoloana 1 din At, linia 2 din A devine coloana 2 din At, s.a.m.d. Deci se obtine:At=a d gb e hc f i3. Se formeazamatriceadjuncta (saureciproca),notatacuA,dinAt,careva avea tot atatea elemente ca si At, si va avea urmatoarea forma:A =x11x12x13x21x22x23x31x32x33unde x11=(1)(1+1)e hf i = 1 (e i h f) = ei hf= numar.x12=(1)(1+2)b hc i = 1 (b i h c) = bi +hc = numar, samd.Atentie: Anuseconfundacumetodadedezvoltareaunuideterminant,unde se folosea factorul generic (1)i+j aij ijiar aici nu se folosesteaij4. Se formeaza A1cu formula:A1=Adet(A)=1det(A)x11x12x13x21x22x23x31x32x33=x11det(A)x12det(A)x13det(A)x21det(A)x22det(A)x23det(A)x31det(A)x32det(A)x33det(A)Se observa motivul pentru care la punctul 1 se concluziona ca nu exista A1daca se obtinea det(A)=0.5. Pas optional, dar recomandabil daca este timp si anume vericarea lui A1.Se efectueaza inmultirea A A1si se verica daca intradevar se obtine matriceaunitate, incazul exemplului prezentat I3=1 0 00 1 00 0 1Pentrucazul general,daca se obtine In pentru o matrice patrata de ordinul n, inseamna ca A1a fostcalculat corect, altfel inseamna ca s-a gresit si trebuie vericat calculul.53'&$%Mentiuni1. Se observa ca daca se cere sa se verice daca o matrice este inversabila(sau altfel spus daca exista matrice inversa), problema se reduce la vericareadeterminantuluimatricii. Dacadeterminantulmatriciiestediferitdezeroin-seamna ca matricea este inversabila iar daca determinantul matricii este egal cuzero inseamna ca matricea nu este inversabila.2. Problemelecarefolosescmatriceainversasunt ingeneral detipurileurmatoare:- Se da o matrice si se cere sa se determine matricea inversa.- Se da o matrice si se cere sa se verice daca matricea este inversabila.- Rezolvarea ecuatiilor matriciale.- Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare prin metoda matriciala.2. RanguluneimatriciFie de exemplu urmatoarea matrice dreptunghiulara:X =a b c de f g hi j k lPrindenitie, rangul unei matrici reprezinta ordinul celui maimaredeterminantpatrat,diferitdezero,extrasdinmatrice.Incazul nostru, matriceainddetipul 3x4, ordinul maximlacareputemspera este 3x3. Extragem din matrice un determinant de ordin 3x3 , il calculamsivericamdacaestediferitdezero. Dacaestediferitdezero, atuncirangulmatricii este 3 si ne oprim. Daca determinantuld este egal cu zero, alegem altdeterminant de ordin 3x3 si procedam similar.Daca toti determinantii de ordin 3x3 sunt egali cu zero, cobaram din pretentiisi incercam cu determinanti de ordin 2x2 in mod similar.Daca toti determinantii de ordin 2x2 sunt egali cu zero, cobaram din pretentiisi incercam cu determinanti de ordin 1x1.Se observa in cel mai rau caz vom gasi macar un determinant diferit de zerodeordinul 1, cuexceptiasituatiei incarematriceaaretoateelementelenule,ceea ce ar insemna ca rangul ar egal cu zero. Din cele prezentate anterior sepoate sesiza ca algoritmul este nit.Mentiuni1. Se observa ca metoda prezentata porneste de la o abordare a matricii degenul desusinjos,in sensul ca se incepe cu determinantii patrati extrasi dinmatrice, de rang maxim.2.Trebuie avuta atentie sa se ia toti determinantii de o anumita dimensiune,adica sa nu se scape din vedere unii determinanti.3. Problemelecarefolosescranguluneimatricisuntingeneraldetipurileurmatoare:- Se da o matrice si se cere sa i se determine rangul.- Se da o matrice si se cere sa se discute rangul in functie de un parametru.- Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare.54'&$%Memo22Sistemedeecuatiiliniare1. SistemedeecuatiirezolvatematricialFie de exemplu sistemul:___x +y +z = 73x + 7y + 5z = 26x 3y +z = 1Rezolvareamatriciala a sistemului se face urmand urmatorii pasi:- Se formeaza matricea coecientilor sistemului, in cazul nostru A=__1 1 13 7 56 3 1__- Se formeaza matricea coloana cu necunoscutele sistemului, X=__xyz__- Se formeaza matricea coloana cu termenii liberi ai sistemului, B=__721__- Sistemul este echivalent cu urmatoarea ecuatie matriciala:A X = B- Se rezolva ecuatia matriciala anterioara in mod obisnuit, adica se calculeazaA1, se inmulteste ecuatia matriciala la stanga cu A1si se obtine X=A1 B.Se obtine matricea coloana X, de unde se scoate x,y,z.MentiuneAceastametodasefolosesterar, eventualdoardacasesolicitain mod explicit prin enunt sa se rezolve prin aceasta metoda.2. RegulaluiCramerFie de exemplu sistemul:___x +y +z = 73x + 7y + 5z = 26x 3y +z = 1Se efectueaza urmatorii pasi:- Se formeaza matricea coecientilor sistemului, in cazul nostru A=__1 1 13 7 56 3 1__- Se calculeaza determinantul matricii A, il notam de exemplu cu (delta).Daca=0, inseamnacasistemul nusepoaterezolvacuregulaluiCramer si procesul se opreste aici. Daca = 0, inseamna ca sistemul se poate rezolva cu regula lui Cramersi se continua cu etapa urmatoare.- Se calculeaza x, prin inlocuirea coloanei cu coecientii lui x din matriceasistemului, cu coloana termenilor liberi, adica se obtine: x=__7 1 12 7 51 3 1__- Se calculeaza ysi zin mod similar.- Se calculeaza x=xy=yz=zsolutia sistemului ind (x,y,z).Se observa motivul pentru care un sistem avand = 0 nu se poate rezolvacu regula lui Cramer si anume deoarece apare la numitor.55'&$%3. StudiulcompatibilitatiisistemelorFie de exemplu sistemul:___3x +y + 2z = 82x 3y +z = 15x + 9y + 4z = 22Se efectueaza urmatorii pasi:- Se formeaza matricea coecientilor sistemului, in cazul nostru A=__3 1 22 3 15 9 4__- Se calculeaza determinantul matricii A, il notam de exemplu cu (delta). Daca =0,inseamnacasistemul estecompatibil determinat,sepoaterezolvacuregulalui Cramersi nuestenecesaraprezentametoda. Serezolva cu regula lui Cramer prezentata anterior si procesul se opreste aici.Daca=0, inseamnacasistemul nusepoaterezolvacuregulaluiCramer si efectuam pasii urmatori. In cazul nostru din calcul obtinem =0.- Se extrage din matricea sistemului, un determinant patrat de cel maimareordin, diferit dezero, numit determinant principal, pecareilnotam de exemplu (delta mic).De exemplu =_3 12 3_= -9-2=-11 = 0-Sestabilescecuatiileprincipale, inacestcazecuatia1siecuatia2siecuatiilesecundare, inacestcazecuatia3. Sestabilescnecunoscuteleprincipale , in acest caz x si y si necunoscutelesecundare , in acest caz z.-Seformeazadeterminantul caracteristic, notatcuc, prinbordareadeterminantului principal cuolinieformatadincoecientii corespunzatoridin una dintre ecuatiile secundare si cu o coloana formata din termenii libericorespunzatori. Pentru cazul nostru, se obtine c=__3 1 82 3 15 9 22__- Se calculeaza c, (in cazul nostru c= 0) si se interpreteaza astfel: Daca c = 0 se trage concluzia ca sistemul este incompatibil si procesulse opreste aici.Dacac=0setrageconcluziacasistemul estecompatibil nedeter-minat (in cazul de fata,sistemcompatibil simplunederminat deoareceavem o singura necunoscuta secundara) si se continua cu pasul urmator:- Serezolvasistemul format dinecuatiile principalesi anume sescotnecunoscuteleprincipaleinfunctiedenecunoscutelesecundare.Practicsescriesistemulformatdinecuatiilesecundare, setrecnecunoscutelesecundare inmembrul cutermenii liberi si se scot necunoscutele principaleinfunctiedenecunoscutelesecundare. Incazul nostru, serezolvasistemul_3x +y = 8 2z2x 3y = 1 zprinmetodeobisnuite(metodareducerii sausubstitu-tiei sauchiarCramer)si sescoatex=f(z)si y=f(z), z R. Concretobtinemx=257z11, y=13z11, z R.Observamcaintradevarsistemul estecompatibil(am putut obtine solutii pentru x si y) si simplu nederminat, deoarece x si ydepind de un singur parametru real z.56'&$%Memo23CompatibilitateasistemelordeecuatiiprezentatagracReprezentare graca a etapelor de analizare a compatibilitatii unuisistemcunecuatiisinnecunoscute:StartStopStopDa NuDaNuCalcululdeterminantuluisistemului = 0c= 0Sistem compatibil deter-minat. Regula lui Cramer.Calculx,y,zx =x,y=y,etcCalcul determinantprincipalEc. princip/sec, ne-cunoscuteprincip/sec.SistemincompatibilStopSistem compatibilnedeterminatRezolvare sistem formatdinec. principaleCalculul determinantu-luicaracteristiccSe recomanda analizarea sistemelor dupa modelul acesta, eventual cu adaptareaceruta de specicul problemei.57'&$%58'&$%Memo24Sistemedeecuatiiparticulare1. DiscutareanaturiiunuisistemdupaparametriirealiSe urmeazaetapele prezentate ingracul studiului compatibilitatii si setrateaza pe cazuri,dupa valorile parametrilor. De exemplu daca avem un sis-tem de 3 ecuatii cu 3 necunoscute, cu un parametru m. Calculam determinantulsistemul si obtinem de exemplu = (m5) (m+ 7) . Se procedeaza astfel:Caz1 Pentru (m5) (m+ 7) = 0, adica pentru m= 5 si m= 7 sistemuleste compatibil determinat si se aplica regula lui Cramer. Sescotefectivinfunctiedem apoi x, x, xetc apoi x,y,z.Caz2Pentrum=5seinlocuiesteefectivm=5 insistemul initial, seobtine un sistem fara parametrii , care se rezolva absolut obisnuit ca orice sistemobisnuit fara parametrii. Bineintetes ca se va obtine = 0 si se va urma traseulcorespunzator.Caz3 Pentru m=-7 seinlocuiesteefectivm=-7 in sistemul initial, seobtine un sistem fara parametrii , care se rezolva absolut obisnuit ca orice sistemobisnuit fara parametrii. Bineintetes ca se va obtine = 0 si se va urma traseulcorespunzator.Daca se va obtine c in functie de parametru, ( de exempluc = m9 ) seva separa din nou pe cazuri, adica:Caza) Pentrum9 = 0 adicam = 9 , sistemul este incompatibil si stop.Caz a) Pentru m9 = 0 adica m = 9 , sistemul este compatibil si nedeter-minat si se continua conform grac compatibilitate,prin rezolvarea sistemuluiformat din ecuatiile principale.ExempluDiscutati naturasistemului dupavalorileparametrului msi re-zolvati sistemul :___x my +z = 1x y +z = 1mx +m2y z = m22. SistemeomogeneSistem omogen este prin denitie un sistem care are toti termeniiliberiegalicuzero.Sepastreazatoateproprietatilesi modul delucrucunoscutdelasisteme,singuranoutateindfaptul caunsistemomogenadmiteintotdeaunasolutiax=y=z= =0 numita solutiebanala sau solutienula.Analizandgracul studiului compatibilitatii, se observacadaca=0rezultacasistemul este compatibil determinat, adicaadmite solutie unica.Deoarece sistemul omogen admite intotdeauna solutia banala, inseamna ca pen-tru =0, solutiabanalaesteunicasolutie. Prinurmaredacapentruunsistemomogenseceresasepunaconditiacasistemul sanucontinadoarsolutiabanala, trebuie pusa conditia ca = 0.59'&$%Exemplu Rezolvati urmatorul sistem omogen:___x + 2y +z +t = 02x +y +z + 2t = 0x + 2y + 2z +t = 0x +y +z +t = 03. SistemecunumardeecuatiidiferitdenumaruldenecunoscutePoate aparea una dintre urmatoarele doua situatii:a) Numarul de ecuatii este mai mic decat numarul de necunoscute.Exemplu Rezolvati urmatorul sistem :___x 2y +z +t = 1x 2y +z t = 1x 2y +z + 5t = 6b) Numarul de ecuatii este mai mare decat numarul de necunoscute.Exemplu Rezolvati urmatorul sistem :___x + 2y = 16x 8y = 15x + 2y = 3Se recomanda ca exercitiu, analizarea gracului de studiu al compatibilitatiisistemelor pentru ecare din aceste situatii.Ca recomandari generale:Pentrucazul a) sistemul chiar dacaestecompatibil nupoatesi de-terminat, deoarecesunteminsituatiaincareavemmai putineecuatii decatnecunoscute. Pentru cazul b) avem mai multe ecuatii decat necunoscute, deci sistemular putea determinat, dar trebuie de vericate solutiile obtinute pentru toateecuatiile pentru a sigur ca sistemul este compatibil.60'&$%Memo25LimitedesiruriTeorieSe considera evidente urmatoarele:a) limnn = . In general, limnnk= pentru k> 0.b) limn1n= 0. In general limnak= 0 pentru a = subunitar .c) limn(23)n= 0. In general, limnan= 0 pentru a = subunitar.TipuridelimitedesiruriTip1=FractiisimpleExemple:a) limn2n4+3n2+5n+14n3+2n2+3n+3b) limn2n4+3n2+5n+14n6+2n2+3n+3c) limn2n4+3n2+5n+14n4+2n2+3n+3Idee: Sescoatefactorfortat, atatlanumitorcatsi lanumarator, nlaputerea cea mai mare.Tip2=SumeconsacrateExemple:a) limn1+2+3+n3n2+2n+1b) limn12+22+32++n33n2+2n+1c) limn12+23+n(n+1)4n5+5Idee: Se restrange suma conform regulilor cunoscute, dupa care problemadevine de obicei de tipul 1.Tip3=RadicaliExemple:a) limn(n + 1n + 5) b) limn(n + 13n) c) limn(3n + 13n + 2)Idee: Seamplicagruparea(a b)cu(a +b)pentruadispareradicalul de la numarator, unde se va obtine a-b, problema devenind de obiceide tipul 1. Similar, pentru gruparea (a +b), se amplica cu (a b).Tip4=PuteriExemple:a) limn45n+63n5n+32nb) limn47n+3+63n+17n+2+43n+4c) limn45n+66n7n+38nIdee: Se scoate factor fortat, atat la numitor cat si la numarator, putereaanlaputereaceamaimare, deexemplupentruexemplula), lanumaratorsescoate factor fortat 5niar la numarator tot 5n.61'&$%Tip5=Grupareagen(1 +1n)n. Nedeterminarea 1Exemple:a) limn(1 +3n2)n+1b) limn(n+1n5)n+2c) limn(n2+3n2n)2n+1Idee: Seincearcasaseajungalaformula limn(1 +1n)n=e, respectivpentru cazul general, limn(1 +A)1A= e, unde A 0 pentru n.Tip6=TeoremaclesteExemple:a) limn2nn!b) limn1n2 sin(n+7) c) limn11+n2 +12+n2 + +1n+n2Idee: Se foloseste teoremacleste:Fie un siransi o limita l. Dacabnx0f

(x)In concluzie, se calculeaza derivata la stanga punctului x0 si derivata la dreaptalui x0 . Daca aceste doua sunt egale si nite, atunci functia f(x) este derivabilain punctulx0, altfel f(x) nu este derivabila in punctulx0.Deoarecestudiulderivabilitatiisefaceinpuncte, problemeledederivabilitateapar la probleme la care f(x) se da sub forma de acolada, studiul efectuandu-sein punctele in care functia isi schimba forma.4. AsimptotePot exista trei tipuri de asimptote: Asimptotaorizontala Se numeste asimptota orizontala la +, o dreaptaorizontala y=a, dacalimx+f(x) = aSimilar, se numeste asimptota orizontala la -, o dreapta orizontala y=b, dacalimxf(x) = bDaca + nu face parte din domeniul de denitie, atunci sigur nu avem asimp-tota orizontala la +. Similar pentru -.Asimptotaverticala Esteodreaptaverticalax=c, dacalimxcf(x)=+- Asimptotaoblica Studiu la +:Daca + nu face parte din domeniul de denitie, atunci sigur nu avem asimp-tota oblica la +. Daca +face parte din domeniul de denitie dar am stabilitdeja ca avem asimptota orizontala la +atunci sigur nu avem asimptota oblicala +, deoarece functia nu poate avea simultan doua asimptote +. Daca +apartine domeniului de denitie si limx+ f(x) = +-inseamna ca la +nuavem asimptota orizontala. In acest caz se verica daca eventual exista asimp-totaoblicala+. Secalculeazam=limx+f(x)xDacaobtinemmnit,se continua cu calcularea lui n =limx+(f(x) m x) Daca si n este nit,putemconcluzionacaexistaasimptotaoblicala+sianumedreaptaoblicay = m x +n .Se studiaza in mod similar existenta asimptotei oblice la -.Practic se procedeaza astfel:1. Se stabileste domeniul de denitie, care se scrie ca reuniune de intervale.2. Se calculeaza valorile functiei, respectiv limitele functiei la capetele domeni-ului de denitie.3. Sestabilescasimptoteleanalizandvalorilefunctiei, respectivvalorilelim-itelor obtinutesi denitiileasimptotelor, prezentateanterior. Seobservacaasimptoteleorizontalesi celeoblicepotaparela+ saula- , iarasimp-totele verticale pot apare la capete de intervale diferite de +- . Unele functiiau asimptote, iar altele nu.66'&$%Memo28Derivate1. DenitiaderivateiDerivatafunctieif(x)inpunctul x0senoteazacuf(x)

x=x0sisedenesteastfel:f(x)

x=x0 =limxx0f(x) f(x0)x x02. TabelderivateFunctia Derivatak(=constanta) 0x 1xnn xn1x12xln(x)1xaxax ln(a)exexsin(x) cos(x)cos(x) sin(x)tg(x)1cos(x)2ctg(x) 1sin(x)2arcsin(x)11x2arccos(x) 11x2arctg(x)11+x2arcctg(x) 11+x267'&$%3. Operatiicuderivate(f +g)

= f

+g

(f g)

= f

g

(f g)

= f

g +f g

(k f)

= k f

, unde k=constanta(fg)

=f

gfg

g2 Avansat (fg)

= fg (g

ln(f) +g f

f ) Derivarea functiilor compuse: f(u(v(x)))

= f

(u(v(x)) u

(v(x)) v

(x) x

4. FunctiiderivabileFunctia f(x) este derivabila in punctulx = x0, daca derivata la stanga inx0siderivata la dreapta inx0sunt egalesinite.a) Derivata lastanga in punctul x0se noteaza cuf

s(x=x0)si se calculeaza cuformula de denitie a derivatei:f(x)

s(x = x0) = limxx0,xx0f

(x)In concluzie, se calculeaza derivata la stanga punctului x0 si derivata la dreaptalui x0 . Daca aceste doua sunt egale si nite, atunci functia f(x) este derivabilain punctulx0, altfel f(x) nu este derivabila in punctulx0.5. Principaleleaplicatiialederivatelor Teorema lui lHopital Teorema lui Lagrange Teorema lui Rolle, Teorema lui Cauchy Functii concave , convexe Reprezentarea graca a functiilor68'&$%Memo29AplicatiialederivatelorTeoremele lui lHopital, Rolle, Lagrange, CauchyMonotonie, Concavitate/Convexitate, Grace de functii1. TeoremaluilHopitalCalculul limitelor de functii se poate uneori simplica prin utilizarea teoremeilui lHopital.Teorema lui lHopital: Pentru nedeterminare de tipulsau00este adevaratarelatia:limxx0fg=limxx0f

g

Cazuri particulare In cazul in care nedeterminarea nu este de tipulsau00,expresia data trebuie transformata in una din aceste forme. Astfel se procedeazadaca avem nedeterminari de tipul:1. [0 ]2. []3. [1, 0, etc] in general nedeterminari de formafgUneori este mai simplu de calculat o limita de functie prin lHopital, alteori estemai simplu prin metode clasice ( clasic adica fara derivate, adica fara lHopital).Nu exista o reteta care sa recomande pentru o expresie oarecare daca e mai usorcu o metoda sau alta.2. TeoremaluiRolleFie o functie f(x), un interval I si doua numere a,b, unde a< b si a,b I.Daca :1. Functia f(x) este continua pentru x [a,b]2. Functia f(x) este derivabila pentru x (a,b)3. f(a)=f(b)atunci exista cel putin un punct c intre a si b, astfel incat f (c)=0.3. TeoremaluiLagrangeFie o functie f(x), un interval I si doua numere a,b, unde a< b si a,b I.Daca :1. Functia f(x) este continua pentru orice x [a,b]2. Functia f(x) este derivabila pentru orice x (a,b)atunci exista un punct c intre a si b, astfel incat:f(b) f(a)b a= f

(c)69'&$%Consecinte alte teoremei lui Lagrange:1. Daca f(x)> 0 pe un interval, atunci f(x) este crescatoare pe acel interval2. Dacaf(x) C7nc)Ck120< Ck209)Rezolvatisistemuldeecuatii:_Ayx = 7Ay1x6Cyx = 5Cy+1x110'&$%Fila14=AnalizacombinatorieFactorialul,Permutari,Aranjamente,CombinariLectia2=Exercitii1)Rezolvati:a)(2n)!(2n3)!=20n!(n2)!b)(2n1)!(2n3)!> 420c)(n3)!(n5)!< 3062)RezolvatiinN:A4n Pn4 = 42 Pn23)Rezolvatiecuatiile:a) 5C3n = C4n+2b) 3Cn12n= 5Cn2n1c)Cn+1n+3= n244)Rezolvatiinecuatiile:a)C72n> C52nb)Ck119< Ck195)Rezolvatisistemele:a)_5Ayx = 2Ayx+13Cyx = 2Cy1xb)_Ay22x= 8Ay32x3Cy22x= 8Cy32x111'&$%112'&$%Fila15=BinomulluiNewtonExercitiiA)TEORIE:StudiatisaBINOMULLUINEWTONB)EXERCITII:1) Determinati termenul al optulea al dezvoltarii _x21x_112) Determinati termenul al cincilea al dezvoltarii_2a ab_73) Determinati termenul din mijloc al dezvoltarii _x y_64) Determinati cei doi termini din mijloc ai dezvoltarii_a 3b_95) Determinati termenul din dezvoltarea (x +y)9care il contine pex46) Determinati termenul din dezvoltarea_a3+33a_13care il contine pea47) Determinati termenul care nu il contine pe x din dezvoltarea_5x +1x_218) Determinati rangulul termenului din dezvoltarea_3_xy +_y3x_21in carex si y au puteri egale.9) In dezvoltarea_a4a +1a_n, suma coecientilor binomiali de rang par esteegala cu 128. Gasiti termenul care il contine pea310) Determinati pe n, daca in dezvoltarea (1 +x)n, coecientii lui x5si x12suntegali.11) Gasiti rangulceluimaimaretermen al dezvoltarii:a) (1 + 0.1)100b) _12 +12_100c) _34 +14_100Indicatii:1. Se va folosi formulaTk+2Tk+1=nkk+1 ba, valabila pentru binomul (a +b)n.2. Punctul 11a se va preda, iar 11b si 11c individual.113'&$%114'&$%Fila16=ProgresiiaritmeticeExercitiiA) TEORIE: studiati sa PROGRESII ARITMETICESI GEO-METRICEB)EXERCITII:1) Scrieti primii patru termeni ai unei progresiei arimetice stiind ca:a)a1 = 7, r = 2b)a1 = 3, r = 52) Determinati primii doi termini ai unei progresii aritmetice :a)b1, b2, 15, 21, 27b)b1, b2, 9, 2, 53) Determinati termeniic9, c2, c15stiind ca:c3 = 7 sic5 = 134) Pentru o progresie aritmetica se cunosc :a1 = 2, r = 0.5, n = 12 Determinatian5) Determinati primul termen si ratia unei progresii aritmetice stiind ca:c5 = 27 sic27 = 606) Demonstrati ca urmatoarele numere sunt in progresie aritmetica:ax + 1, x +a 12x, x2+a 1x(x + 1)7) Determinati suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice stiindca:a)a1 = 10, a100 = 150b)a1 = 2, r = 58) Pentru o progresie aritmetica se cunosc sumele:S10 = 100 siS30 = 900. AatiS509) Cunoscand sumaSna unei progresii aritmetice, determinati:a) primii cinci termini ai progresiei aritmetice, dacaSn =n24nb) primul termen si ratia progresiei aritmetica, dacaSn = 2n2+ 3n10) Stabiliti daca este progresie aritmetica un sir pentru care suma Sn are forma:a)Sn = n22n b)Sn = 7n 1 c)Sn = 4n2+ 11 d)Sn = n2n + 311) Demonstrati ca urmatoarele siruri sunt progresii aritmetice, stiind ca:a)an = 2n 5b)an = 10 7n115'&$%116'&$%Fila17=ProgresiigeometriceExercitiiA) TEORIE: studiati sa PROGRESII ARITMETICESI GEO-METRICEB)EXERCITII:1) Determinati primii cinci termeni ai unei progresii geometrice stiind ca:b1 = 6, q = 22) Determinati primii doi termeni ai unei progresii geometrice stiind ca:a)y1, y2, 24, 36, 54b)y1, y2, 225, 135, 813) Determinati termeniib7, b9, b10ai unei progresii geometrice stiind ca:b3 = 6, b5 = 244) Determinati primul termen si ratia unei progresii geometrice stiind ca:_a2a1 = 4a3a1 = 85) Calculati sumele:a) 1 + 2 + 22+ 23+..... + 215b) 1 2 + 2223+.......212c)13 +132+133+.....1312d)12 122+123 ..... 1216e) 1 +x +x2+..... +x1006) Rezolvati ecuatia:1 +x +x2+..... +x99= 07) Determinati x, astfel incat numerele a+x,b+x,c+x sa e in progresie geomet-rica.8) Determina sumaS9a unei progresii geometrice stiind ca:S3 = 40 siS6 = 609) Fie o progresie geometrica astfel inacat suma primilor n termeni esteSn = 2(5n1). DeterminatiS4,primul termen si al doilea termen.10) Determinati daca este progresie geometrica sau nu, un sir pentru care sumaprimilor n termeni are formula:a)Sn = n21 b)Sn = 2n1 c)Sn = 3n+ 111) Determinati daca este progresie geometrica sau nu, un sir care areurmatoarele proprietati:a)a1 = 5, an+1 = 2 anb)a1 = 5, an+1 = 2 +an117'&$%118'&$%Fila18=PolinoameExercitiiA)TEORIE:StudiatisaPOLINOAMEB)IMPARTIREAPOLINOAMELOR1)Impartitipolinoamulf(x)lag(x)siapoiefecuatiproba:f(x)=2x55x38x + 1 g(x)=x232) Impartiti polinoamul f(x) la g(x) folosind SCHEMA LUI HORNER:f(x)=x6x5+x4+ 2x3x23 g(x)=x+1Indicatie: exemplupentruf(x)=2x45x38x + 1g(x)=x-2Deoarece g(x) este de forma (x-a), obtinem a=2. Intocmim schema lui Horner:. x4x3x2x1x0(puteri f(x))a=2 2 -5 0 -8 1 (coefic.f(x))2 -5+2x2=-1 0+2x(-1)=-2 -8+2x(-2)=-12 1+2x(-12)=-23Catul= 2x31x22x 12 Restul= -23Proba: Deimpartitul = Catul Impartitorul +RestulC)Cmmdc,cmmmc,Polinoameprime3)Notiuniintroductivecmmmc,cmmdcFie numerele a=4, b=6a) aati cmmmc(a,b)b) aati cmmdc(a,b)4)Determinaticmmdcalpolinoamelorf(x)sig(x):a) f(x)=(x 1)5(x + 1)3(x 3)2(x 4) g(x)=(x 1)3(x + 1)2(x 4)5b) f(x)=(x21)2(x31)(x 2) g(x)=(x 1)4(x 2)5c) f(x)=(x41)(x21)(x + 3)2g(x)=(x2+ 1)(x + 3)4(x 1)5)DeterminaticmmdcfolosindalgoritmulluiEuclid:a)f(x) = x4+x32x24x + 4 g(x)=x3+x2+x 3b)f(x) = x32x2+ 6x 5 g(x)=x216)Demonstraticapolinoamelef(x)sig(x)suntprimeintreele:f(x)=x4+ 1 g(x)=x31Indicatie: Douapolinoamesuntprimeintreele,dacaaucmmdc=1( ca si la numere). Practic, se determina cmmdc cu algoritmul lui Euclid si severica daca este egal cu 1.7)Determinaticmmmcalpolinoamelorf(x)sig(x):f(x)=2x53x45x3+x2+ 6x + 3 g(x)=x4x3x2+ 1119'&$%Indicatie: Sedeterminacmmdccualgoritmul lui Euclid, apoi sefolosesteformula:cmmdc cmmmc = f g,de unde se scoate cmmmc.D)Aplicatiialeimpartiriipolinoamelor:8)Determinati unpolinom de gradul trei, astfel incat impartit lax2 3xsa dearestul 6x-15 si impartit lax25x + 8 sa dea restul 2x-79) Determinati parametrul real m, astfel incat polinomul f(x)=2x4mx3+x27impartit la x+2 sa dea restul egal cu 4.10)Determinati unpolinomdegradcatmai mic,astfel incat impartitla x+1 sa dearestul -1 si impartit la x-1 sa dea restul 1.120'&$%Fila19=TeoremaluiBezout. RadacinimultipleExercitiiA)TEORIE:StudiatisaPOLINOAMEB)TEORIE:Idee1: TeoremaluiBezout:Numarul a este radacina a polinomului P(x) (x-a) divide pe P(x).Practic, x=a este radacina a lui P(x) P(a)=0Idee2: Un polinom P(x)=an xn+ an1 xn1+ an2 xn2+ ...a1 x1+ a0se poatescrie sub forma P(x)=an(x x1)(x x2).....(x xn)Idee3: Radacinimultiple: Exemple:a)radacinadubla, insemna cax1 = x2 = , deci se poate scriePn(x) = an(x )2 Qn2(x)b)radacinatripla, insemna cax1 = x2 = x3 = , deci se poate scriePn(x) = an(x )3 Qn3(x)Idee 4: Radacini multiple( se utilizeaza materie de clasa a XI, derivate):Dacax = este radacina multipla de ordinul k pentru P(x), atunci:___P() = 0P

() = 0P

() = 0.........Pk1() = 0Pk() = 0De exemplu pentru x=5 radacina tripla(k=3) avem relatiile:P(5) = 0, P

(5) = 0, P

(5) = 0, P

(5) = 0C)EXERCITII1)Aplicandteoremalui Bezout, determinati asi b, astfel incatP(x)=x44x3+ 4x2+ax +b sa se divida cux24x + 3. Aati apoi catul impartirii.2) Determinati radacinile pentru P(x)=x36x2+8x+m, stiind ca are radacina = 2.3) Aati a si b stiind ca P(x)=x45x3+8x2+ax+bare radacina dubla = 1.4) Aati ecuatia de gradul cel mai mic, ce are ca radacini numerele 1,2,-2.5) Aati ecuatia de gradul cel mai mic, ce are radacina tripla = 1 si radacinilesimple 2 si -3.6) Aratati ca 1 este radacina dubla pentrux3nn xn+2+n xn117) Determinati ordinal de multiplicitate al radacinii 2 pentrux66x5+ 12x49x3+ 6x212x + 88) Aati ordinal de multiplicitate al radacinii -1 pentrux5+ 6x4+ 14x3+ 16x2+ 9x + 2, apoi aati si celelalte radacini.121'&$%9) Aati A si B astfel incatA xn+2+B xn+ 2sa e divizibil cu (x 1)210) Aratati ca P(x)=x6n+5+x3n+4+ 1 se divide lax2+x + 1.11) Aratati ca P(x)=(x + 1)12n+1+x3n+2se divide lax2+x + 1.122'&$%Fila20=Ecuatiidegradsuperiorlui2ExercitiiA)TEORIE:StudiatisaEcuatiidegradsuperiorB)EXERCITII1)EcuatiibipatrateRezolvati urmatoarele ecuatii:a)x46x2+ 6 = 0 b)x2+_12x_2= 402)Ecuatiireciproce Rezolvati urmatoarele ecuatii :a) 5x3+ 31x2+ 31x + 5 = 0b) 2x4+ 7x3+ 9x2+ 7x + 2 = 0c) 20x581x4+ 62x3+ 62x281x + 20 = 03)Determinatiasib, dupa care rezolvati ecuatia:x47x3+ 21x2+ax +b = 0 stiind ca admiteradacina1+2i4) Gasiti radacinile polinomuluiP(x) = x44x3+x2+ 6x + 2 stiind caadmiteradacina1 25) Determinati radacinile polinomuluiP(x) = x42x35x2+ 8x + 4Indicatie: divizoriitermenuluiliber6) Determinati radacinile polinomuluiP(x) = 6x417x3x2+ 8x 2Indicatie: radacini, unde= divizor termen liber,=divizor coecientuluitermenului de rang maxim.7)Rezolvatiecuatiilebinome:a)x3= 1 b)x7= 5 c) 4x8+ 6 = 0123'&$%124'&$%Fila21=RelatiileluiVi`eteA)TEORIE1)Pentruecuatiadegradul II, ax2+ bx + c=0, existaurmatoarelerelatii,numite relatiile lui Vi`ete :S = x1 +x2 = baP= x1 x2 =ca2) Pentru o ecuatie de gradul n:an xn+an1 xn1+an2 xn2+...a1 x1+a0=0 exista urmatoarele relatii,numite relatiile lui Vi`ete :___S1 = x1 +x2 +x3 +................... +xn = an1anS2 = x1 x2 +x1 x3......... +xn1 xn = +an2anS3 = x1 x2 x3 +.............................. = an3anSn = x1 x2 x3 ....................... xn = (1)na0an3) Exercitiu: Scrieti relatiile lui Vi`ete pentru:a) Ecuatia de gradul III :ax3+bx2+cx +d = 0b) Ecuatia de gradul IV:ax4+bx3+cx2+dx +e = 0B)PROBLEME:1) Fie polinomul P(x)=x310x2+29x 20. Determinati radacinilex1, x2, x3stiind cax1 +x2 = x32) Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx +c. NotamSn = xn1 +xn2 +xn3.Determinati:a)S1 = x1 +x2 +x3b)S2 = x21 +x22 +x23c)S3 = x31 +x32 +x33d)S4 = x41 +x42 +x43C)DeterminareauneiecuatiicareareanumiteradaciniTeorie: ExemplupentruecuatiadegradII:Determinati ecuatia care are radacinilex1 = 3 six2 = 4CalculamS = x1 +x2 = 7 siP= x1 x2 = 12.Ecuatia are formaX2S X +P= 0,adicax27x + 12 = 0In mod similar, ecuatia de gradul n care are radacinilex1, x2, ......xneste:XnS1 Xn1+S2 Xn2S3 Xn3+.......(1)n Sn = 0Probleme:1) Fie ecuatia x35x+1 = 0. Determinati ecuatia care are ca radacini dublulradacinilor ecuatiei date.2) Fie ecuatiax3 x2+ 7x + 1 = 0. Determinati ecuatia care are ca radaciniinverseleradacinilor ecuatiei date125'&$%126'&$%Fila22=InductiamatematicaA) Teorie Pentru a demonstra adevarul unei propozitiiPnprin metoda induc-tiei matematice este necesar sa se efectueze urmatorii pasi:1) Se deneste clar care este propozitia pe care dorim sa o demonstram, o notamPn2)SedemonstreazacaP(a)esteadevarat, adicafaptul capropozitiaesteadevaratapentruuncazparticular(pentru un numar a oarecare).3) Se presupune propozitia Pnca indadevarata si se incearca sasearatecabazat pefaptul ca Pn=presupus adevarat, implicasiPn+1 =adevarat.4)Dinfaptul ca P(a) =adevarat si Pnpresupus adevarat implicafaptul caPn+1 =adevarat, se poate trage concluzia ( conform metodei inductiei matem-atice) ca propozitiaPn =adevarat.B)Exercitii1) Demonstrati urmatoarele egalitati:a) 1 + 2 + 3 +.....n =n(n+1)2b) 12+ 22+ 32+.... +n2=n(n+1)(2n+1)6c) 1 2 + 2 3 +....n (n + 1) =n(n+1)(n+2)3d)114 +147 +....... +1(3n2)(3n+1)=n3n+1e)718 +7815 +...... +7(7n6)(7n+1) +17n+1= 12) Calculati suma:Sn = 1 1! + 2 2! + 3 3! +.......n n!Indicatie: Deoarece nu se cunoaste cu cat este egala suma, se va incerca pentrun=1,apoi n=2, apoi n=3 , pana se banuieste care ar forma luiSn. Banuim ca estede formaSn = (n+1)!-1. Aceasta vom demonstra prin inductie.3) Demonstrati urmatoarele inegalitati:a) n < 1 +12 +13 +.... +1n< 2n, pentru n2Indicatie: Se arata pe rand cele doua inegalitati implicate, adica:n < 1 +12 +13 +.... +1nsi apoi ca 1 +12 +13 +.... +1n< 2nb)12 34 ....... 2n12n 07) Fie familia de functii de gradul doi:fm(x) = mx2+ 2(m+ 1)x +m+ 2, m R\ {0} .Aratati cavarfurileparabolelorasociateacestorfunctii segasescpedreaptay=x+1.8) Rezolvati sistemul :_x23xy +y2= 13x2xy + 3y2= 139) Rezolvati sistemul:_xy +y +x = 11x2y +y2x = 3010) Rezolvati ecuatia:129'&$%x 3 = x 311) Transformati expresiile:a)_5 + 26 b)_6 2012) Transformati expresiile:a)_53625 b)5_24_43813) Calculati expresiaE=i6+i16+i26+ (i)36+i4614) Determinati numerele complexe ale caror patrate sa e:a) ib)12 32i15) Determinati numerele reale x, y din ecuatia:x21i+y31+i= 1 3i130'&$%Fila24=ProblemereprezentativeAlgebraclasaaX-a1) Rezolvati ecuatiile:a)x + 2x+ logx2= 7b) 3x+ 4x= 5xc)__3 + 22_x__3 22_x=322) Rezolvati inecuatiile:a) 3x+ 4x> 5xb) logx2x +logx2> 03) Calculati sumaS = 1 2 4 + 2 3 5 +...... +n(n + 1)(n + 3)4) Demonstrati:a)12 34 ........ 2n12n n2pentru n5.c) 7n1 este divizibil cu 6.5) In dezvoltarea_a4a +1a_n, suma coecientilor binomiali de rang par esteegala cu 128. Determinati termenul care il contine pea3.6) Determinati rangul celui mai mare termen al dezvoltarii _12 +12_100.7) Cunoscand suma Sna unei progresii aritmetice, determinati primul termen siratia progresiei aritmetice, dacaSn = 2n2+ 3n.8) Stabiliti daca este progresie aritmetica un sir pentru care suma Sn are forma:Sn = n22n.9)Determinati xreal astfel incaturmatoareletrei numeresaeinprogresieartimetica:1 +x2, (a +x)2, (a2+x)210) Aati A si B astfel incatA xn+2+B xn+ 2sa e divizibil cu (x 1)211) Aratati ca P(x)=(x + 1)6n+1+x6n+2se divide lax2+x + 1.12) Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx +c. NotamSn = xn1 +xn2 +xn3.Determinati:a)S1 = x1 +x2 +x3b)S2 = x21 +x22 +x23c)S3 = x31 +x32 +x33d)S4 = x41 +x42 +x4313) Rezolvati ecuatiile:131'&$%a)x46x2+ 6 = 0b) 4x8+ 6 = 0c) 5x3+ 31x2+ 31x + 5 = 0d) 2x4+ 7x3+ 9x2+ 7x + 2 = 014) Determinati radacinile polinomuluix43x3x2+ 5x 18 stiind ca admite radacina 1 +i315) Determinati radacinile polinomuluiP(x) = x42x35x2+ 8x + 4.132'&$%Fila25=DeterminantiLectia1A)TEORIE:StudiatisaDeterminantiB)Exercitii:1) Calculati urmatorii determinanti:a)a bc d b)1 23 4c)a b cd e fg h id)1 2 34 5 67 8 9e)a b c de f g hi j k lm n o pf)1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 162) Calculati urmatorii determinanti Vandermonde:a) gradul II :1 1a bb) gradul III:1 1 1a b ca2b2c2c) gradul IV:1 1 1 1a b c da2b2c2d2a3b3c3d33) Calculati determinantii:a)2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 1b)1 1 1 11 2 3 42 3 4 53 4 5 64) Vericati egalitatile:a)a +b b +c c +aa2+b2b2+c2c2+a2a3+b3b3+c3c3+a3=2abc(a-b)(b-c)(c-a)b)x y zx2y2z2yz zx xy=(xy+yz+zx)(x-y)(y-z)(z-x)5) Rezolvati ecuatia:x a a aa x a aa a x aa a a x= 06)Calculatideterminantuld=x1x2x3x4x2x3x4x1x3x4x1x2x4x1x2x3stiindcax1, x2, x3, x4sunt133'&$%radacinile ecuatieix4+px2+qx +r = 0.7) Calculati determinantul d=x1x2x3x2x3x1x3x1x2stiind ca x1, x2, x3sunt radacinileecuatieix32x2+ 2x + 17 = 0.134'&$%Fila26=MatriciLectia1A)TEORIE:StudiatisaMatriciB)EXERCITII:1) Operatii cu matrici:Fie A=__1 45 76 2__si B=__0 86 24 2__a) Calculati A+Bb) Calculati A-Bc) Calculati 7Ad) Calculati 3A-2B2) Inmultirea matricilor:Fie A=__1 4 10 3 12 2 1__ si B=__2 0 11 0 21 1 1__Calculati AB-BA3) Determinati matricea X din ecuatia matriciala:3 X +__2 31 22 3__ = 2 __1 37 42 6__+__3 69 33 0__4) CalculAnFie A=_1 01 1_. CalculatiAn, pentru n1.5) CalculAnFie A=_0 aa 0_. CalculatiAn, pentru n1.6) Ecuatii matriciale:Rezolvati ecuatia matriciala: X2=_1 124 1_7) Calculati suma:n

k=1_1 k k2k31 2 3 k(k + 1)_8) Dacaeste radacina ecuatiei: x2+x + 1 = 0, calculati:n

k=1_

k

2k

3k

3k

k

2k_.9) Termeni noi: Matrice linie, matrice coloana, matrice dreptunghiulara, ma-trice nula, matrice unitate, diagonala principala, diagonala secundara.135'&$%136'&$%Fila27=MatriciMatriceainversaA)TEORIE:StudiatisaMatriceainverse. RanguluneimatriciFie de exemplu matricea A =__a b cd e fg h i__. Pasii determinarii matricei inverseA1sunt urmatorii:1)Secalculeazadeterminantulmatricii.a) daca det(A)=0, se trage concluzia ca matricea nu este inversabila si stop.b) daca det(A)# 0, se trage concluzia ca matricea este inversabila si se continua.2)SecalculeazamatriceatranspusaAt, prima coloana dinAtind primalinie din A, a doua coloana dinAtind prima a doua linie din A, s.a.m.d., deexemplu:At=__a d gb e hc f i__3)SeformeazamatriceaApebazamatricii transpuse, avandtotatateaelemente ca si matricea transpusa, modul de calcul ind urmatorul:A =__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__, unde de exemplua11 = (1)1+1e hf i4)SeformeazamatriceinversaA1cu formulaA1=Adet(A)=__a11det(A)a12det(A)a13det(A)a21det(A)a22det(A)a23det(A)a31det(A)a32det(A)a33det(A)__5) Optional, sefaceprobaA A1=In, undeInestematriceaunitatepentru dimensiunile matricii patratice A. In cazul nostruI3 =__1 0 00 1 00 0 1__.B)EXERCITII1) Calculati matricea inversaA1pentruA =__1 2 30 1 21 2 1__2) Rezolvati ecuatia matriciala:X __1 2 30 1 21 2 1__ =__1 5 32 1 13 4 5__3) Rezolvati ecuatiile matriciale:a)_2 12 3_ X =_5 66 8_137'&$%b)_ 1 23 8_ X _4 65 8_ =_8 184 7_138'&$%Fila28=SistemedeecuatiiliniareLectia1A)TEORIE:Studiatisele:-Sistemedeecuatiiliniare-Compatibilitateasistemelordeecuatiiliniarereprezentatagrac-SistemedeecuatiiliniareparticulareB)EXERCITII:1) Rezolvati sistemul:___x +y +z = 3x y +z = 1x +y z = 12) Studiati compatibilitatea sistemelor urmatoare, iar daca sunt compatibile sale rezolvati:a)___3x +y + 2z = 82x 3y +z = 15x + 9y + 4z = 22b)___x y +z = 1x y +z = 1x +y z = 1c)___x +y +z = 1x y +z = 1x +y z = 1d)___2x y + 2z = 1x +y +z = 22x +y + 2z = 3e)___x y + 3z +t = 83x +y z + 2t = 52x + 2y 4z +t = 33) Discutati sistemul urmator in functie de parametrul real m:___x my +z = 1x y +z = 1mx +m2y z = m24) Discutati sistemul urmator in functie de parametrii reali m si n:___x +y = 12x +z = nmx +y +z = 4139'&$%140'&$%Fila29=SistemedeecuatiiliniareLectia2A)TEORIE:Studiatisele:-Sistemedeecuatiiliniare-Compatibilitateasistemelordeecuatiiliniarereprezentatagrac-SistemedeecuatiiliniareparticulareB)EXERCITII:1) Vericati daca sistemul urmator are solutii. In caz armativ, sa se rezolve:___x y + 3z +t = 83x +y z + 2t = 52x + 2y 4z +t = 32) Rezolvati sistemul:___x + 2y = 16x 8y = 15x + 2y = 33) Rezolvati sistemele omogene:a)___x + 2y +z +t = 02x +y +z + 2t = 0x + 2y + 2z +t = 0x +y +z +t = 0b)___x + 2y + 4z 3t = 03x + 5y + 6z 4t = 04x + 5y 2z + 3t = 03x + 8y + 24z 19t = 04) Determinati m real astfel incat sistemul urmator sa admita solutii nu toatenule, dupa care rezolvati sistemul:___2x + 5y +z 2t = 0mx 6y 4z + 2t = 03x +y 3z + 4t = 02x my 2z = 0141'&$%142'&$%Fila30=RecapitulareAlgebraXIFisa11) Fie matricile:A =__1 45 76 2__ siB =__0 86 24 2__Calculati:a) A+Bb) A-Bc) 3A-2B2) Fie matricile:A =_1 2 34 5 6_ siB =__10 2030 4050 60__Calculati:a)A Bb)B A3) Determinati matricea X din ecuatia matriciala:3 X +__2 31 22 3__ = 2 __1 37 42 6__+__3 69 33 0__4) Calculati urmatorii determinanti:a)1 23 4 b)1 2 34 5 67 8 9c)1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16d)0 1 2 31 0 3 42 3 0 53 4 5 05) Rezolvati sistemul:___x +y +z = 3x y +z = 1x +y z = 16) Rezolvati sistemul:___3x +y + 2z = 82x 3y +z = 15x + 9y + 4z = 227) Discutati dupa parametrul real m sistemul urmator si il rezolvati:___x +y +z = 22x y 2z = 2x + 4y +mz = 88) Rezolvati sistemele omogene:143'&$%a)_2x + 3y = 05x 6y = 0b)_mx + 4y = 0x +my = 0144'&$%Fila31=RecapitulareAlgebraXIFisa21) Rezolvati sistemele matriciale:a)___2 A+ 3 B =_1 00 1_4 A5 B =_0 11 0_b)____2 13 1_ A+_3 14 2_ B =_57__ 1 12 2_ A+_2 15 5_ =_53_2) Determinati inversa matricii A, pentru:a)A =_ 1 23 8_b)A =__1 2 30 1 21 2 1__3) Rezolvati ecuatiile matriciale:a)_3 12 1_ X =_5 66 8_b)_1 00 2_ X _2 13 3_ =_1 23 4_4) Fie matriceaA =__2 1 10 2 11 0 m__.Determinati m astfel incat matricea sa e inversabila.5) Determinati rangul matricilor:a)_2 56 15_ b)__1 2 32 1 24 2 43 6 9__6) Demonstrati urmatoarea identitate:1 1 1x y zx2y2z2= (y x)(z x)(z y)7) Determinati compatibilitatea sistemelor, iar daca sunt compatibile sa se re-zolve:145'&$%a)___3x + 5y 2z = 11x + 4y + 8z = 32x +y 10z = 5b)___2x y +z = 3x + 2y z = 24x +y + 3z = 118) Determinati msi nreali, astfel incat sistemul urmator saecompatibilnedeterminat, apoi sa se rezolve sistemul:___2x +y mz = 12x + 3y + (1 m)z = 02mx 2y +nz = n146'&$%Fila32=RecapitulareAlgebraXIFisa31) Rezolvati ecuatia matriciala:X2=_0 12 3_2) Fie matriceaA =_0 22 0_. CalculatiAn3) Calculati suma:n

k=1_2 k2k3 0 k3_4) Determinati rangul matricei:A =__1 2 nn n + 1 31 2 5__, unde n=parametru real.5) Rezolvati ecuatiile matriciale:a)_3 12 1_ X _1 00 1_ =_1 20 0_b)__1 2 00 1 22 1 3__ X =__1 0 00 0 01 0 1__6) Calculati determinantul:d =x1x2x3x2x3x1x3x1x2,stiind cax1, x2, x3sunt radacinile ecuatiei 2x34x2+ 5x + 2 = 07) Rezolvati ecuatia cu determinant:x 5 5 55 x 5 55 5 x 55 5 5 x= 08) Fie sistemul147'&$%___5x +y +z = 7x + 5y +z = 7x +y +a z = bunde a si b sunt parametri reali.a) Pentru a=5, b=7 rezolvati sistemul.b) Determinati a si b, astfel incat sistemul sa e incompatibil.148'&$%Fila33=GeometrieanaliticaDreapta. TeorieFORMULE:Fie dreaptaM1M2si M = mijlocul luiM1M2:OXYxmx2y1ymy2x1MM1M21) Lungimea luiM1M2:M1M2 = _(x2x1)2+ (y2y1)22) MijloculM al segmentuluiM1M2:M(xm, ym), undexm =x1+x22,ym =y1+y223)Pantadreptei M1M2( se mainoteaza cu msi este egalacutg,unde=unghiul facut de dreapta cu axa Ox).m =y2y1x2x14) Fie doua drepted1sid2de pantem1sim2a) Dacad1este paralela cud2 m1 = m2b) Dacad1este perpendiculara ped2 m1 = 1m25) Fie M un punt de coordinate (x0, y0). Ecuatiauneidrepte care:a) trece prin punctul (x0, y0) si (de exemplu prin punctul (1,2) )b) are panta m (de exemplu panta m=7)este:y y0 = m(x x0) ( de exemplu y-2=7(x-1) )6)FietreipuncteA(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Conditiacaceletreipuncte,A,B,C sa e coliniare, este ca determinantul urmator sa e egal cu zero:d =x1y11x2y21x3y31= 07) Fie doua drepte :149'&$%d1 : y=m1x +n1( de pantam1, unde1= unghiul facut ded1cu Ox)d2 : y=m2x +n2( de pantam2unde2= unghiul facut ded2cu Ox)Unghiuldintreacestedouadrepte se poate calcula cu formula:tg =tg1tg21+tg1tg2, sau altfel scris: m =m1m21+m1m28) Fie o dreapta scrisa sub forma d: x + y +si un punctA(x0, y0).Distantadelapunctul A(x0, y0)ladreaptad: x + y + sepoatecalcula cu formula:distanta(A,d)=x0+y0+2+29)Recapitulare pentru formulele de calcul a suprafeteiunuitriunghi:a)S =bazainaltimea2b)S =bcsin(A)2c)S = _p(p a)(p b)(p c)d)S = r p e)S =abc4RRecomandare: De studiat sele Geometrie plana si Formule trigonome-trie.150'&$%Fila34=GeometrieanaliticaDreapta. Exercitii1) Fie punctele A(1,2) si B(3,8).a) Calculati lungimea segmentului AB.b) Determinati mijlocul segmentului AB.c) Aati unghiul pe care il face dreapta AB cu Ox.d) Vericati daca dreapta AB este paralela cu dreapta y=3x+2e) Vericati daca dreapta AB este perpendicular ape dreapta y=-3x+12) Scrieti ecuatia unei drepte care trece prin punctul M(2,3) si face cu axa Oxun unghi de 60.3) Vericati daca puncteleA(45, 2), B(25, 4), C(1, 5) sunt coliniare.4) Se da triunghiul ABC cu A(-1,3), B(2,-1), C(3,6). Determinati:a) ecuatia dreptei AC.b) ecuatia paralelei prin B la AC.c) ecuatia mediatoarei segmentului AC.d) ecuatia medianei din B.e) ecuatia inaltimii din B.5)Vericati dacatriunghiul ABC, avandvarfurileA(3,3), B(6,3), C(3,6)estedreptunghic isoscel.6) Se dau punctele A(8,0), B(3,6), C(0,3). Dreapta BC taie axa Ox in D, iar ABtaie axa Oy in E. Aratati ca mijloacele segmentelor OB, AC, DE sunt coliniare.7) Fie drepteled1: y=4x+3 sid2 : 3x+5.Determinati unghiul dintre drepteled1sid2.8) Fie dreptele:d1 : x 2y + 3 = 0d2 : 4x y 9 = 0d3 : 2x + 3y 1 = 0a) determinati coordonatele triunghiului ABC.b) scrieti pentru triunghiul ABC ecuatiile inaltimilor .c) scrieti pentru triunghiul ABC ecuatiile medianelor.151'&$%152'&$%Fila35=GeometrieanaliticaCercul. TeorieFORMULE:Denitiacercului: Cercul estelocul geometrical punctelordinplan, egaldepartate de un punct, numit centrul cercului.Fie un cerc avand centrul in punctul M(x0, y0) si o raza r:Oxyx0y0Md: x + y += 0O r1)Ecuatiacercului cu centrul in punctul de coordinate (x0, y0) , de raza r:(x x0)2+ (y y0)2= r22) Ecuatia unui cerc cu centrul in origine. Se observa ca pentru x0 = 0 siy0 = 0 se obtine ecuatia cercului cu centrul in origine:x2+y2= r23)Pozitiauneidreptefatadecerc. Fie o dreapta de ecuatie d: x + y + = 0 si cercul cu centrul in punctul M(x0, y0). Se poate calcula distantade la un punct la o dreapta cu formula obisnuta,Valabila pentru orice punct si orice dreapta:distanta(M,d)=x0+y0+2+2Consecinte:a) Daca distanta(M,d)> r, inseamna ca dreapta d este exterioaracercului.b) Daca distanta(M,d) = r, inseamna ca dreapta d este tangentacercului.c) Daca distanta(M,d)< r, insemana ca dreapta d este secantacercului.4) Ecuatiatangentei lacerc. Tangentainpunctul A(x1, y1)lacercul decentru M(x0, y0) si raza r are urmatoarea ecuatie:153'&$%(x1x0)(x x0) + (y1-y0)(y y0) = r2(ecuatiaprindedublare)5) Ecuatia normalei la cerc.Pentru determinarea ecuatiei normalei in punc-tulA(x1, y1)la cercul de centru M(x0, y0) si raza r se procedeaza astfel:a) se aa ecuatia tangentei folosind ecuatia prin dedublare si de aici se determinapanta tangentei.b) se tine cont ca normala trece prin A(x1, y1) si este perpendiculara pe tangenta,decimnormalei = 1mtan genteic) se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A(x1, y1) si are panta mnormalei:y y1 = 1mtan gentei(x x1)154'&$%Fila36=GeometrieanaliticaElipsa. TeorieFORMULE:1)Denitiaelipsei: FiedouapuncteFsi F

numitefocaresi unpunctMaat pe elipsa. Elipsa reprezinta locul geometric al punctelor M care indeplinescrelatia:MF +MF

= 2aCu alte cuvinte, suma distantelor de la orice punct aat pe elipsa la cele douafocare este constanta si anume este egala cu lungimea axei mari.2)Desenul: Fie urmatoarea elipsa:O xyMA(a,0) A(-a,0)B(0,b)B(0,-b)F(c,0) F(-c,0)3)Termeninoi:-F, F

= focarele elipsei- dreaptaFF

= axa focala-FF

= distanta focalaA, A

, B, B

=varfurile elipseiAA

=axa mare a elipseiOA, OA

= semiaxele mari ale elipseiBB

= axa mica a elipseiOB, OB

=semiaxele mici ale elipsei.Se observa ca pentru a=b , elipsa degenereaza intr-un cerc de raza a.4)Formulaelipsei:x2a2+y2b2= 1,existand relatia: a2= b2+c2155'&$%- Formula explicita a elipsei: Se scoate y din relatia anterioara:y2=b2a2 (a2x2) se obtine:a)y = +baa2x2( partea elipsei de deasupra axei Ox)b)y = baa2x2( partea elipsei de sub axa Ox)5)Ecuatiatangentei laelipsa in punctulM(x0, y0) are ecuatia:x x0a2+y y0b2= 1ecuatiaprindedublare6)Ecuatianormaleilaelipsa in punctulM(x0, y0).Indicatie: Se tine cont ca normala la elipsa este perpendiculara pe tangenta laelipsa.156'&$%Fila37=GeometrieanaliticaHiperbola. TeorieFORMULE:1)Denitiahiperbolei: Fie doua puncte F si F

numite focare si un punctM aat pe hiperbola. Hiperbola reprezinta locul geometric al punctelor M careindeplinesc relatia:|MF MF

| = 2aCu alte cuvinte, modulul diferentei distantelor ( adica diferenta distantelor, faraacontasemnul)delaoricepunctaatpehiperbolalaceledouafocareesteconstanta si anume este egala cu lungimea axei mari.2)Desenul: Fie urmatoarea hiperbola:OxyF(c,0)F(-c,0)A(a,0)A(-a,0)y= +baxy=bax3)Termeninoi:-A, A

=varfurile hiperbolei- OX = axa transversala- OY = axa netransversala-F, F

= focarele hiperbolei- dreaptaFF

= axa focala- distantaFF

= distanta focala-MF, MF

= razele focale ale punctului M.-drepteley = +ba x siy = ba x se numesc asimptotele hiperbolei.4)Formulahiperbolei:x2a2 y2b2= 1,existand relatia: a2= b2+c2- Formula explicita a hiperbolei: Se scoate y din relatia anterioara:157'&$%y2=b2a2 (x2a2) se obtine:a)y = +bax2a2( partea hiperbolei de deasupra axei Ox)b)y = bax2a2( partea hiperbolei de sub axa Ox)5)Ecuatiatangentei lahiperbola in punctulM(x0, y0) are ecuatia:x x0a2y y0b2= 1ecuatiaprindedublare6)Ecuatianormaleilahiperbola in punctulM(x0, y0).Indicatie:Se tine cont ca normala la hiperbola este perpendiculara pe tangentala hiperbola.7) Intersectia dintre o dreapta d: x+ y +=0 si hiperbolax2a2y2b2= 1se determina rezolvand sistemul:_ x + y + = 0x2a2 y2b2= 1Interpretare rezultate sistem:a)Daca sistemul are 2 solutii, insemana ca dreapta este secanta hiperbolei.b)Daca sistemul are 1 solutie, insemana ca dreapta este tangenta hiperbolei.c)D