CaAlg7

Caiet de algebră pentru clasa a 7-a

Victor Raischi

Chişinău, 2007

�

Prefaţă

Caietul de algebră pentru clasa a 7-a este conceput conform noilor modificări pro-puse de curriculumul pentru clasa a 7-a şi publicate în 2006. Capitolele cărţii sînt: 1. Recapitulare şi completări; 2. Numere reale; 3. Calcul algebric; 4. Fracţii algebrice; 5. Funcţii; 6. Ecuaţii; 7. Inecuaţii.

Exerciţiile sînt distribuite pe trei niveluri marcate pe margine cu simbolurile: . Sînt propuse pes-

te 660 de exerciţii şi probleme. Cele mai multe dintre ele se află la nivelul I. Rezolvînd aceste exerciţii, elevii ajung să realizeze obiectivele propuse de curricu-lum. Exerciţiile de nivelul I sînt accesibile. Pentru a rezolva singur aplicaţiile propuse, elevul se ajută de exerciţiile rezolvate în elementele teoretice reproduse din manual în caiet. În plus, versiunea electronică permite elevului să acceseze rapid elementele teoretice depozitate în „Glosar“.

Fiecare capitol se termină cu cel puţin o probă de evaluare. Varianta electronică propune şi probe pentru autoevaluare interactive. Testele pentru autoevaluare permit elevului să-şi cunoască capacităţile. Calculatorul îi comunică nota şi, acolo unde este cazul, îi oferă variantele de răspuns corecte. Testele pentru autoevaluare vor permite elevului să recapituleze cunoştinţele matematice din clasa a 7-a de cîte ori va avea nevoie.

Varianta electronică a manualului de matematică pentru clasa a 7-a se adresează elevilor, în primul rînd, elevilor şi conţine: Algebra pentru clasa a 7-a; Caietul de algebră pentru clasa a 7-a; Teste (interactive) pentru autoevaluare; Geometria pentru clasa a 7-a; Caietul de geometrie pentru clasa a 7-a; Teste (interactive) pentru auto-evaluare; Glosar ce conţine toate elementele teoretice din manual. Varianta electronică este în permanentă actualizare. Pentru informaţii suplimentare vizitaţi www.fmatem.moldnet.md.

Succes!Victor Raischi, Chişinău, 1 aprilie 2007

To my grandson, James Copeland

� Cap. 1. Recapitulare şi completări

Capitolul 1 Recapitulare şi completări ¶ Numere raţionale

Învăţăm

l Mulţimea numerelor naturale cuprinse între 2 şi 7 se reprezintă: – sintetic (prin enumerarea elementelor) {3, 4, 5, 6}; – analitic (precizînd o proprietate a tuturor elementelor ei) { x Î N | 2 < x < 7} (mulţimea nu-

merelor naturale x cu proprietatea 2 < x < 7); – grafic printr-o diagramă Euler-Venn l

l

ll

3 45

6

l Mulţimea {2, 4, 7, 10} este finită (are un număr finit de elemente, 4). Mulţimea numerelor naturale {0, 5, 10, 15, ...} este infinită (nu are un număr finit de elemente). Cardinalul unui mulţimi finite este numărul elementelor mulţimii. Card {2, 4, 7, 10} = 4.l Mulţimea numerelor naturale este N = {0, 1, 2, 3, ......}; mulţimea numerelor naturale nenule esteN* = {0, 1, 2, 3, ......}. Reprezentarea pe axă a mulţimii numerelor naturale (N)

0 1 2 3l Reuniunea mulţimilor A = {2, 5, 7, 11} şi B = {3, 5, 7, 12} este A È B = { x | x Î A sau x Î B} = {2, 3, 5, 7, 11, 12} (numerele x aparţin „cel puţin“ uneia dintre mulţimi şi se citeşte „A reunit cu B“). l Intersecţia mulţimilor A = {2, 5, 7, 11} şi B = {3, 5, 7, 12} este A Ç B = { x | x Î A şi x Î B} = {5, 7} (mulţimea elementelor comune celor două mulţimi şi se citeşte „A intersectat cu B“). l Diferenţa mulţimilor A = {2, 5, 7, 11} şi B = {3, 5, 7, 12} este A – B = { x | x Î A şi x Ï B} = {2, 11} (mulţimea elementelor mulţimii A ce nu aparţin şi mulţimii B; se citeşte „A minus B“).

l

l

l5 3

12l7

l

l

11

2

A B

A È B

l

l

l5 3

12l7

l

l

11

2

A BA Ç B

lll5 37

l

l

11

2

l12

A BA – Bl Mulţimea numerelor întregi este Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ......}; mulţimea numerelor întregi nenule este Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ......}.l Reprezentarea pe axă a mulţimii numerelor întregi (Z)

0 1 2 3–1–2–3l m

n (se citeşte „em pe en“) este fracţia cu numărătorul m Î N şi numitorul n Î Z*. Fracţia m

n se numeşte

ireductibilă, dacă numerele m şi n sînt prime între ele, (m, n) = 1 (c.m.m.d.c. al numerelor m şi n). Celelalte fracţii se numesc reductibile.l Fracţii echivalente. a

b = cd (aici „=“ se citeşte „echivalent cu“) dacă ad = bc.

l Număr raţional. Toate fracţiile echivalente cu o fracţie dată definesc un număr raţional şi numai unul.

De exemplu, { n 2n

| }n Î Z* este mulţimea fracţiilor echivalente cu 12

şi defineşte numărul raţional 12 . Orice

număr raţional poate fi scris sub formă de fracţie într-o infinitate de variante.l Numere zecimale. Exemple: 3,5; 7,88 (număr finit de zecimale); 26,(41) (perioadă simplă); –0,2(13) (perioadă mixtă); 14,0246.... (după virgulă se scriu, la rînd, toate numerele naturale pare). Fiecare număr

raţional se scrie într-o singură variantă ca număr zecimal. De exemplu, 12 = 1 : 2 = 0,5.

l Convertirea numerelor zecimale în fracţii. Exemple: 3,5 = 3 12 ; 26,(41) = 26 41

99 ; –0,2(13) = – 213 – 2 990

= – 211990

; 14,0246.... nu se poate converti într-o fracţie.

l Mulţimea numerelor raţionale este Q = {x | x este un număr ce poate fi scris sub formă de fracţie}.

�Cap. 1. Recapitulare şi completări

E x e r c i ţ i i

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea numerelor naturale: a) cuprinse între 2 şi 9; b) cuprinse între 7 şi 13; c) cuprinse între 13 şi 17; d) cuprinse între 25 şi 31.

Răspuns.

2. Reprezentaţi analitic mulţimea numerelor întregi:a) cuprinse între –2 şi 4; b) cuprinse între –7 şi –2; c) cuprinse între –11 şi 12; d) cuprinse între –15 şi 7.

Răspuns.

3. Reprezentaţi printr-o diagramă Euler-Venn mulţimea numerelor întregi:a) cuprinse între –11 şi –1; b) cuprinse între –3 şi 6; c) cuprinse între –17 şi –9; d) cuprinse între –1 şi 8.

Răspuns..

�. Recunoaşte de ce tip (finită sau infinită) este mulţimea numerelor:a) naturale cuprinse între 5 şi 23; b) naturale mai mici sau egale cu 27; c) naturale mai mici sau egale cu 1 0001 000; d) întregi mai mici decît –101 111 111; e) naturale mai mari decît 11 000 000; f) raţionale cuprinse între 0 şi 1.

Răspuns.

�. Aflaţi card A, dacă A:a) este mulţimea numerelor naturale cuprinse între 12 şi 271;b) este mulţimea numerelor întregi cuprinse între –13 şi 13;c) este mulţimea numerelor întregi cuprinse între –18 şi 18;d) este mulţimea numerelor întregi cuprinse între –25 şi 25.

Rezolvare.

Răspuns.6. Aflaţi A È B, dacă:

a) A = {–2, –1, 0, 8} şi B = {–2, 3, 5, 7, 8}; b) A = {–7, –3, 1, 6} şi B = {–9, –3, –1, 10}; c) A = {–10, –2, 4, 12} şi B = {–17, –2, 3, 18}; d) A = {–9, –3, 2, 5} şi B = {–9, –6, 4, 9}.

Rezolvare.

6 Cap. 1. Recapitulare şi completări

7. Aflaţi A Ç B, dacă:a) A = {–2, 2, 3, 8} şi B = {–5, 2, 3, 7, 8}; b) A = {–11, –3, 1, 6} şi B = {–9, –3, 1, 11}; c) A = {–6, –2, 4, 12} şi B = {–7, –2, 3, 12}; d) A = {–9, –6, 8, 5} şi B = {–9, –6, 4, 9}.

Rezolvare.

8. Aflaţi A – B, dacă:a) A = {–2, –1, 6, 8} şi B = {–2, 3, 5, 6, 8}; b) A = {–7, –5, 1, 6} şi B = {–9, –5, –1, 10}; c) A = {–10, –2, 4, 12} şi B = {–12, –3, 3, 11}; d) A = {–8, –5, 4, 9} şi B = {–9, –6, 3, 8}.

Rezolvare.

9. Reprezentaţi pe axă: a) numerele 2, 5, 7; b) numerele –3, –2, 1, 2;c) numerele –11, –9, –5; d) numerele –3, –2, –1, 0, 1.e) numerele întregi cuprinse între –4 şi 4.

Rezolvare.

10. Aflaţi fracţia ireductibilă echivalentă cu: a) 225996

; b) 405603

; c) 256640

; d) 324628

; e) 196329

.

Rezolvare.

7Cap. 1. Recapitulare şi completări

11. Reprezentaţi analitic mulţimea fracţiilor: a) echivalente cu – 13 ; b) echivalente cu – 1

5 ;

c) echivalente cu – 27 ; d) echivalente cu – 3

2 .

Răspuns.

12. Reprezentaţi analitic mulţimea fracţiilor care definesc numărul raţional:

a) – 29 ; b) 5

3 ; c) – 72 ; d) 9

5 ; e) – 65 .

Răspuns.

13. Convertiţi în fracţie numărul:a) –7,3; b) –23,7; c) 11,8; d) –2,15; e) –9,35.

Răspuns.

1�. Selectaţi din mulţimea {–2,3939; –3,(19); 8,783; 7,8(54); 19,(321); 34,8(74)} numerele zecimale:a) cu număr finit de zecimale; b) cu perioadă simplă; c) cu perioadă mixtă.

Răspuns.

1�. Convertiţi în fracţie numărul: a) –1,(31); b) –7,(14); c) –1,(112); d) –3,(213).Rezolvare.


16. Convertiţi în fracţie numărul: a) –2,4(12); b) –3,5(23); c) 4,3(67); d) –7,8(25).

Rezolvare.

17. Recunoaşteţi numărul zecimal ce nu poate fi convertit în fracţie:a) –12,353535...; b) –6,767676;c) 4,36912... (zecimalele sînt termenii şirului infinit 3, 6, 9, 12, ...); d) –7,3814814814...

Răspuns.

18. Recunoaşteţi şi completaţi tabelul după model:

Numărul N Z Q

3,7 Nu Nu Da

1,3(12)

–67

7,8910...

–45,113113...

2,13414141...


· Numere reale (1)

Învăţăm

l Există numere iraţionale. Numerele naturale 1 şi 4 sînt pătrate perfecte deoarece există un pătrat cu laturile de 1, care are aria egală cu 1 şi un pătrat cu laturile de lungime 2, care are aria egală cu 4. Se scrie: 12 = 1 şi 22 = 4. Între 1 şi 4 nu există niciun număr natural pătrat perfect. Din exerciţiul rezolvat am constatat că există pătrate cu aria 2. Laturile lui au lungimea exprimată printr-un număr x situat între 1 şi 2, al cărui pătrat este 2. Acest număr se numeşte rădăcina pătrată a lui 2 sau radical din 2 şi se scrie √ 2

–.

l Numărul √ 2–

nu este raţional.Demonstraţia prin reducere la absurd. Presupunem că √ 2

– este număr raţional, adică poate fi scris ca fracţie

ireductibilă, m n

, (m, n) = 1, (1). Atunci m2

n2 = 2, de unde m2 = 2n2, (2). (2) implică m = 2k, k Î N, (3). Din (2)

şi (3) rezultă 4k2 = 2n2, de unde se deduce că 2k2 = n2, (4). (4) implică n = 2p, p Î N, (5). (3) şi (5) implică(m, n) ≠ 1, ceea ce contrazice (1). Prin urmare, presupunerea că √ 2

– este număr raţional este falsă, aşadar,

numărul √ 2–

nu este număr raţional.l Mulţimea numerelor reale. Mulţimea numerelor reale R = { x | x este număr raţional sau iraţional}. Mulţimea numerelor reale nenule este R*. Relaţii între mulţimea numerelor naturale, mulţimea numerelor întregi, mulţimea numerelor raţionale şi mulţimea numerelor reale: N Ì Z Ì Q Ì R.l Rădăcina pătrată a unui număr raţional nenegativ. Numărul nenegativ √a– („radical din a“) cu propri-etatea (√a–)2 = a, a ≥ 0, este rădăcina pătrată a numărului nenegativ a. l Reprezentarea pe axă a numerelor reale. Se reprezintă numerele întregi, numerele raţionale, numerele iraţionale. E suficient să se reprezinte numărul raţional –1,5 şi numărul iraţional √ 2

–.

0 1 2 3–1–2–3 √2–

–1 12 , –1 2

4 ,

– 1 36 , –1 4

8 , ...

–1,5

l Modulul unui număr real. Modulul numărului real x este | x | = max { –x, x} = –x, dacă x < 0 0, dacă x = 0 x, dacă x > 0

{l Proprietăţi ale modulului. 1) | x | ≥ 0, x Î R; 2) | x | > 0, x Î R*; 3) | x |2 = x2, x Î R; 4) √x2– = | x |, x Î R;

5) | ab | = |a|

|b| , a Î R; b Î R*; 6) | x | < a, x Î R, a > 0, dacă şi numai dacă { x Î R | –a < x < a}.

Din viaţă

l Desenaţi pe hîrtie o reţea de patru pătrate cu A

B

C

D

1)

A

B

C

D

2)

A

B

C

DN

PM

Q

3)

laturile de 1 cm (v. 1)). Împăturiţi colţurile bucăţiide hîrtie ca în 2). Despăturiţi hîrtia, trasaţi cu altăculoare urmele de pe hîrtie. Coloraţi interiorul luiMNPQ (v. 3)).a) Verificaţi că ABCD este pătrat. b) Verificaţi căMNPQ este pătrat. c) Aflaţi aria lui ABCD, dacă aria unui pătrat al reţelei este 1. d) Ce fracţie din aria lui ABCD este aria lui MNPQ?e) Aflaţi aria lui MNPQ.Rezolvare. a) ABCD este pătrat deoarece are unghiurile drepte şi laturile de aceeaşi lungime. b) MNPQ este pătrat deoarece are unghiurile drepte şi laturile de aceeaşi lungime. c) Aria pătratului ABCD este 4.d) Aria pătratului MNPQ este de 4 ori jumătate din aria unui pătrat al reţelei = 4· 1

2 = 2.


E x e r c i ţ i i

1. Completaţi propoziţiile:a) Numărul .............. √n– („radical din .....“) cu proprietatea (√n–)2 = ....., ...... ≥ 0, este rădăcina ...................... a numărului .......................b) √p– se citeşte „radical din .....“.c) Mulţimea numerelor raţionale ... = { x | x este ...........................................................................}.d) Mulţimea numerelor reale ... = { x | x este număr ....................... sau .......................}.e) N ..... Z ..... Q ..... R.

2. „Max“ înseamnă:a) cel mai mare dintre;b) cel mai mic dintre; c) oricare dintre;d) niciuna dintre variantele anterioare nu este corectă.

Răspuns.

3. Completaţi propoziţiile: a) Modulul numărului a se notează .........b) Modulul lui a este ...... = max {....., .....}.

c) Modulul lui b este ........ = –..., dacă ... < 0 0, dacă .... = 0 ..., dacă ... > 0

{�. Completaţi propoziţiile:

a) | x | ≥ ....., x Î R;

b) | x | > ......, x Î ......;

c) | x |2 = ......, x Î R;

d) √x2– = ......., x Î R;

e) | ab | = ......., a Î .....; b Î .....;

f) | x | < a, x Î R, a > 0, dacă şi numai dacă { x Î R | .....................................}.

�. Completaţi:

a) | 15 | = .....; b) | –29 | = .....; c) | –8,4 | = .....;

d) | 711 |– = ........; e) | –3,(27) | = .....


6. Completaţi tabelul conform modelului:

x –2 –0,7 –8 1,2 –1,3 –1,5

x2 1,69

√x2– 1,3

| x | 1,3

7. Model. Numerele întregi x pentru care √x + 7–

are sens se află din condiţia x + 7 ³ 0, de unde x ³ –7. √x + 7–

are sens pentru x Î {–7, –6, –5, –4, ...}.Aflaţi numerele întregi x, pentru care are sens: a) √x + 4

–; b) √x + 6

–; c) √x + 3

–; d) √x – 5

–.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Completaţi tabelul conform modelului:

a –4 5 8 –16 –29 41b –15 –28 –61 15 –39 –47

| ab |

|a||b|

9. Model. Numerele întregi x pentru care √x – 9–

nu are sens se află din condiţia x – 9 < 0, de unde x < 9. √x – 9–

nu are sens pentru x Î {..., 5, 6, 7, 8}.Aflaţi numerele întregi x, pentru care nu are sens: a) √x + 1

–; b) √x – 8

–; c) √x + 2

–; d) √x – 3

–.

Rezolvare.

Răspuns.


10. Completaţi:

a) √(–1,3)2– = ............; b) √(–6,8)2–

= .................;

c) √(–4,7)2– = ............; d) √(–7,6)2–

= ..................;

e) √(–2,5)2– = .............; f) √(–9,5)2–

= .....................

11. Completaţi demonstraţia că √ 3–

nu este număr raţional:

Presupunem că .... este număr raţional, adică poate fi scris ca fracţie ireductibilă, m n

, (m, n) = 1, (1).

Atunci m2 n2

= ....., de unde m2 = .....n2, (2). (2) implică m = .....k, k Î N, (3). Din (2) şi (3) rezultă

.....k2 = .....n2, de unde se deduce că ......k2 = n2, (4). (4) implică n = ......p, p Î N, (5). (3) şi (5) implică: (m, n) ≠ 1, ceea ce contrazice (1). Prin urmare, presupunerea că ...... este număr raţional este falsă, aşadar, numărul ....... nu este număr raţional.

12. Desenaţi pe o hîrtie o reţea de 9 pătrate. Împăturiţi colţurile bucăţii de hîrtie ca în 2). Despăturiţi hîrtia, trasaţi cu altă culoare urmele de pe hîrtie. Coloraţi interiorul lui MNPQ (v. desenul)). A

B

C

DN

P

M

Q

a) Verificaţi că ABCD este pătrat. b) Verificaţi că MNPQ este pătrat. c) Aflaţi aria lui ABCD, dacă aria unui pătrat al reţelei este 1. d) Aflaţi aria lui MNPQ şi lungimea unei laturi.

Rezolvare.

Răspuns.


¸ Numere reale (2)

Învăţăm

l Numere zecimale raţionale. Exemple de numere zecimale raţionale: 9; –23; 37,8; –15,(2); 3,5(74).l Numere zecimale iraţionale. Exemple de numere zecimale iraţionale: 2,101001000... (după virgulă se scriu, la rînd, toate puterile lui 10 diferite de 0); –9,010010001... (după virgulă se succed 0 şi 1 după o regulă ce se observă cu uşurinţă).l Rădăcina pătrată a unui număr raţional. √16

– = 4; √0,64

– = √ 64

100 = 8 10 = 0,8; √6,25

– = √625

100 = 25 10 =

2,5. l Rădăcina pătrată a unui număr iraţional. Rădăcinile pătrate ale numerelor naturale, ce nu sînt pătrate perfecte: √ 2

–, √ 3

–, √ 5

–, √11

–.

l Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ

√841–

Se separă grupe de două cifre de la dreapta spre stînga!

√8 41 2–

22 < 8 < 32

√8 41 2 4 4

–

22 = 4; 8 – 4 = 4

–√8 41 2 4 4 41

Se coboară 41lîngă 4!

–√8 41 2 4 4 4 41

Se dublează 2 2·2 = 4

–√8 41 2 4 49·9 = 441 4 41

Se scrie 9 lîngă 4 (48·8 < 441)

–√8 41 2 4 49·9 = 441 4 41 4 41

Se scrie 441 sub 4 41

–√8 41 2 4 49·9 = 441 4 41 4 41 = = =

441 – 441 = 0

–√8 41 29 4 49·9 = 441 4 41 4 41 = = =

Se trece 9 lîngă 2 şi se obţinerezultatul 29!

√841–

= 29 841 = 292

–√1156

–√11 56 34 9 64·4 = 256 2 56 2 56 = = =

Se împarte în grupe de cîte 2 cifre; 32 < 11 < 42; 32 = 9; se trece 3 la rezultat; 11 – 9 = 2; se coboară 56 lîngă 2 şi se obţinte 256; se dublează 3 (de la rezultat), 2·3 = 6 (sub 3); se scrie 4 lîngă 6 (63·3 = 169 < 256 – 63!); 256 – 256 = 0; se trece 4 lîngă 3 şi se obţine rezultatul 34!

–√1156 = 341 156 = 342

Se împarte în grupe de cîte 2 cifre: de la virgulă spre stînga şi spre dreapta; 12 = 1; se trece 1 la rezultat; 1 – 1 = 0; se coboară 23; se dublează 1 (de la rezultat), 2·1 = 2 (sub 1 de la rezultat!); se scrie 1 lîngă 2 (22·2 = 44 > 23!); 23 – 21 = 2; se trece 1 lîngă 1; se coboară grupa de cifre după virgulă, 21; se trece virgulă la rezultat, după a două cifră 1; se dublează 11 (de la rezultat), 2·11 = 22

(sub 21·1 = 21!); se scrie 1 lîngă 22, (222·2 = 444 > 221!); 221·1 = 221; 221 – 221 = 0; se trece 1 lîngă „11,“ şi se obţine rezultatul 11,1!

–√123,21 –

√123,21 = 11,1123,21 = 11,12

–√1 23,21 11,1 1 21·1 = 21 = 23 221·1=221 21 221 221 = = =

1� Cap. 1. Recapitulare şi completări

1. Selectaţi numerele raţionale din mulţimea: {–19,(174); 27,046; –73,6912.... (după virgulă sînt scrise toate numerele naturale divizibile cu 3, mai mari decît 3); 23,781(0354)}.

Răspuns.

2. Completaţi tabelul:x 5 6 7 8 9 10 11x2

3. Completaţi tabelul:x 12 13 14 15 17 18 19 20x2

�. Completaţi tabelul:x 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,1x2

�. Completaţi tabelul:x 1,2 1,3 1,4 1,5 1,7 1,8 1,9x2

6. Selectaţi numerele raţionale din mulţimea: {–√25–

, √31–

, –√81–

, √36–

, –√49–

, –√59–

, –√64–}.

Răspuns.

7. Selectaţi numerele iraţionale din mulţimea: {–√16–

, √24–

, –√72–

, √44–

, –√37–

, –√50–

, –√ 9–}.

Răspuns.

8. Selectaţi numerele raţionale din mulţimea: {–√1,96–

, √2,06–

, –√256–

, √25,6–

, –√2,89–

, –√3,61–

, –√22,5–

, √3,24–

, √1,44–

, –√1,69–

, –√14,4–}.

Răspuns.

E x e r c i ţ i i

1�Cap. 1. Recapitulare şi completări

9. Calculaţi:a) √625

–; b) √729

–; c) √1 024

–; d) √1 331

–; e) √1 225

–; f) √2 025

–; g) √2 209

–; h) √3 136

–.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Calculaţi:a) √53,29–; b) √42,25

–; c) √68,89–; d) √72,25

–; f) √60,84–; g) √90,25

–.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Fie numerele: 11, 111, 1 111, 11 111, 111 111, ..., 1 111 111, 11 111 111, 111 111 111. Calculaţi pătratele primelor două numere, după care, descoperiţi o regulă prin care se află pătratele celorlalte numere.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Fie şirul: 35, 335, 3 335, 33 335 etc. Calculaţi pătratele primilor doi termeni, apoi, stabiliţi regula după care se poate afla pătratul oricărui termen al şirului.

Rezolvare.

Răspuns.


1

1

1

1

11

1

1

2

1. Fie A = {–8, –6, 2} şi B = {–8, –3, 2, 5}. Aflaţi:a) A È B; b) A Ç B.

2. Completaţi: a) | –178,4 | = ..........; b) | –3,2(15) | = ..........

3. Completaţi:a) √(–32)2–

= ........; b) √(–5,8)2– = ........

�. Completaţi:a) √64

– = ...; b) √225

– = ....

�. Calculaţi √1 296–

.6. Calculaţi √129,96.

–

7. Enumeraţi numerele iraţionale ce sînt elemente ale mulţimii {√5

–, √9–, √15

–, √64–

}.8. Enumeraţi numerele raţionale ce sînt elemente ale mulţimii {8,56; –35,3(2678); –5,6789.... (după virgulă sînt scrise toate numerele naturale mai mari decît 5); 15,367(2); –√256

–}.

9. Fie numărul –3,783(1537). Aflaţi cifra ce se află pe locul 2006 după virgulă.

E VA L U A R EI I I

1. Fie A = {–7, –5, 8} şi B = {–5, –3, 8, 9}. Aflaţi:a) A È B; b) A Ç B.

2. Completaţi: a) | –235,6 | = ..........; b) | –9,3(19) | = ..........

3. Completaţi:a) √(–67)2–

= ........; b) √(–7,2)2– = ........

�. Completaţi:a) √81

– = ...; b) √196

– = ....

�. Calculaţi √1 369–

.6. Calculaţi √125,44.

–

7. Enumeraţi numerele iraţionale ce sînt elemente ale mulţimii {√4

–, √7–, √49

–, √73–

}.8. Enumeraţi numerele raţionale ce sînt elemente ale mulţimii {9,62; –78,4(5238); –9,891011.... (după virgulă sînt scrise toate numerele naturale mai mari decît 8); 23,894(7); –√225

–}.

9. Fie numărul –8,265(3674). Aflaţi cifra ce se află pe locul 2006 după virgulă.

18 Cap. 2. Numere reale

Capitolul 2 Numere reale ¶ Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ

Învăţăm

l Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ

Se separă grupe de două cifre de la dreapta spre stînga şi de la stînga spre dreapta de la virgulă!

√5,0000–[ [

√5,0000 2 4 1

–[ [

√5,0000 2 4 100

–[ [

√5,0000 2, 4 4 100

–[ [√5,0000 2, 4 42·2 = 84 100

–[ [

√5,0000 2,2 4 42·2 = 84 100 84 16

–[ [ √5,0000 2,2 4 42·2 = 84 100 84 1600

–[ [

√5,0000 2,2 4 42·2 = 84 100 443·3 = 1329 84 1600 1329 271

–[ [

√5,0000 2,23 4 42·2 = 84 100 443·3 = 1329 84 1600 1329 271

–[ [

5 = 2,232 + 0,0271√5– cu două zecimale exacte este

2,23 sau 2,23 < √5–

< 2,24.2,23 este aproximaţia prin lipsă cu 0,01 a numărului √5

–, iar 2,24

este aproximaţia prin adaos cu 0,01 a numărului √5

–.

Numere iraţionale

l √5–

= 2,236067977499789696409173668731... √5–

poate fi scris ca număr zecimal neperiodic cu un număr infinit de zecimale. √5

– nu poate fi scris sub formă de fracţie, deci este număr iraţional.l Numărul p (se citeşte „pi“) = 3.141592653589793238462643383279... (raportul dintre lungimea unui cerc şi lungimea diametrelor lui). p poate fi scris ca număr zecimal neperiodic cu un număr infinit de zeci-male. p nu poate fi scris sub formă de fracţie, deci este număr iraţional.

· Mulţimea numerelor reale

l Numere realeMulţimea numerelor reale R, este reuniunea mulţimii numerelor raţionale (Q) cu mulţimea numerelor iraţionale (R \ Q). Pentru a selecta numerele raţionale dintr-o mulţime de numere reale se ţine cont că un număr raţional se poate scrie:

1) ca număr zecimal: a) cu un număr finit de zecimale; b) periodic simplu de exemplu, –5,(861); c) peri-odic mixt de exemplu, 7,9(37);2) ca rădăcină pătrată a pătratului unui număr raţional.

l Partea întreagă şi partea neîntreagă a unui număr real

Partea întreagă a numărului real x este [x] = n, dacă n £ x < n + 1.Partea neîntreagă a numărului real x este {x} = x – [x]. Pentru orice număr real x, 0 £ {x} < 1.

ÎnvăţămExtensie

19Cap. 2. Numere reale

E x e r c i ţ i i

1. Extrageţi rădăcina pătrată din: a) 12,25; b) 11,56; c) 12,96; d) 13,69; e) 14,44; f) 15,21; g) 10,89; h) 9,61.

Rezolvare.

Răspuns.

2. Extrageţi rădăcina pătrată din: a) 10,24; b) 46,24; c) 47,61; d) 43,56; e) 42,25; f) 40,96; g) 39,69; h) 38,44; i) 37,21.

Rezolvare.

Răspuns.


3. Extrageţi rădăcina pătrată din: a) 11,2225; b) 11,1556; c) 11,2896; d) 11,3569; e) 11,4244; f) 11,4921; g) 11,0889; h) 10,9561.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Extrageţi rădăcina pătrată din:a) 11,0224; b) 44,6224; c) 44,7561; d) 44,3556; e) 44,2225; f) 44,0896.

Rezolvare.

Răspuns.


5. Extrageţi rădăcina pătrată din: a) 43,9569; b) 43,8244; c) 43,6921; d) 1 112,2225; e) 1111,5556; f) 1 112,8896.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Extrageţi rădăcina pătrată din:a) 1 113,5569; b) 1 114,2244; c) 1 114,8921; d) 1 110,8889; e) 1 109,5561; f) 1 110,2224.

Rezolvare.

Răspuns.


7. Extrageţi rădăcina pătrată din: a) 4 446,2224; b) 4 447,5561; c) 4 443,5556; d) 4 442,2225; e) 4 440,8896; f) 4 439,5569; g) 4 438,2244; h) 4436,8921.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Extrageţi cu două zecimale exacte rădăcina pătrată din:a) 6,0000; b) 7,0000; c) 8,0000; d) 10,0000; e) 11,0000; f) 12,0000.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: a) 4,2426; b) 5,1961; c) 6,0827; d) 6,4837; e) 8,4852; f) 9,3273.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) 9,3589; b) 2,1975; c) 16,2847; d) 8,4593; e) 8,4358; f) 19,3476.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 numărul: a) √13–

; b) √14–

; c) √15–

; d) √17–

; e) √19–

.Rezolvare.

Răspuns.

12. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 numărul:

a) √20–

; b) √21–

; c) √22–

; d) √23–

; e) √24–

.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Scrieţi ca număr zecimal periodic:a) –11,341341341...; b) –56,285128512851...; c) 11,673673673...; d) –26,1858585...;e) –97,891891891...; e) 45,3434343434...

Răspuns.

14. Scrieţi ca număr zecimal periodic:a) –85,24373737...; b) –35,2357357357...; c) 73,12787878...; d) 48,56123232323...;e) 93,541464646...; f) 82,301373737...

Răspuns.

15. Recunoaşteţi numerele zecimale neperiodice:a) –37,2376; b) –15,161616...; c) –17,2481632...; d) –58,783178317831...;e) 9,327379053...; f) 7,3484692283495342...

Răspuns.


16. Recunoaşteţi pătratele unor numere raţionale:a) 123,4321; b) 356,1213; c) 111 122,2225; d) 345 102,1342; e) 981 981,3208; f) 4 444,8889.

Rezolvare.

Răspuns.17. Recunoaşteţi numerele raţionale:

a) –√7,29–

; b) –√7,36–

; c) √8,41–

; d) –√6,25–

; e) –√9,64–

; f) –√4,41–

.Răspuns.

18. Recunoaşteţi numerele iraţionale:a) –√10

–; b) –√16

–; c) –√81

–; d) –√88

–; e) –√64

–; f) –√39

–; g) –√49

–; h) –√90

–.

Răspuns.

19. Calculaţi: 112, 1112. Fără să calculaţi, completaţi:

1 111,112 = ...............................................................................;1 111,11112 = .............................................................................


33,352 = ....................................................................................;333,352 = ...................................................................................


33,33342 = .................................................................................;3 333,33342 = ..............................................................................


666,66672 = ................................................................................;66 666,66672 = .............................................................................

23. Aflaţi care este zecimala de ordinul 2 006 a numărului 321,(7462).

Rezolvare.

Răspuns.


24. Aflaţi care este zecimala de ordinul 2 007 a numărului –891,16347(8792674).

Rezolvare.

Răspuns.

25. Descoperiţi regula şi scrieţi încă doi termeni ai şirului: 3, 13, 1 123, ...

Rezolvare.

Răspuns.

26. Decideţi dacă numărul zecimal 71 711,27... este sau nu este periodic.Rezolvare.

Răspuns.

27. Stabiliţi în ce tip de număr zecimal poate fi convertit numărul 1n – 1 + 1

n + 1n + 1

, unde n este număr în-treg.

Rezolvare.

Răspuns.

28. Stabiliţi dacă există n întreg pentru care 12 + 1

4 + ... + 12n este un număr întreg.

Rezolvare.

Răspuns.


¸ Adunarea numerelor reale

Învăţăm

Suma a două numere reale este un număr real.Proprietăţile adunării numerelor reale:

1) asociativitatea, (a + b) + c = a + (b + c); 2) 0 nu are efect la adunare, a + 0 = a;3) comutativitatea, a + b = b + a.

l Adunarea numerelor zecimale1) Ce fel de număr este 14,10100100010000.... + 15,89899899989999...?

Rezolvare. Numerele ce se adună sînt iraţionale, iar suma lor este 29,99... = 29,(9) = 30.Răspuns. Suma celor două numere iraţionale este numărul raţional 30.

2) Aproximaţi cu 0,01 numărul √13–

+ √15–

.Rezolvare. 3,605 < √13

– < 3,606 şi 3,872 < √15

– < 3,873 implică

3,605 + 3,872 < √13–

+ √15–

< 3,606 + 3,873, de unde 7,477 < √13–

+ √15–

< 7,479.Răspuns. 7,47 < √13

– + √15

– < 7,48. √13

– + √15

– cu 0,01 în adaos este 7,48, iar cu 0,01 în lipsă este 7,47.

Exerciţiu

rezolv

at

l Opusul unui număr real1) Ce numere au modulul egal cu: a) 3,6; b) 4,(24); c) √27

–?

Rezolvare. Numerele ce au modulul egal cu a (> 0) sînt a şi –a.Răspuns. a) 3,6 şi –3,6; b) 4,(24) şi –4,(24); c) √27

– şi –√27

–.

2) Care este opusul numărului: a) 1,7; b) –3,7(12); c) –√19–

; d) √35–

?Rezolvare. Numerele nenule cu acelaşi modul sînt numere opuse.Răspuns. a) Opusul numărului 1,7 este –1,7; b) opusul numărului –3,7(12) este 3,7(12); c) opusul

numărului –√19–

este √19–

; d) opusul numărului √35–

este –√35–

.3) Fie axa numerelor. Care este simetricul faţă de punctul ce corespunde numărului 0, al punctului ce cores-punde numărului: a) –9,(16); b) –62,4(51); c) √39

–; d) –√62

–?

Rezolvare. Numerele nenule cu acelaşi modul sînt reprezentate prin puncte simetrice.Răspuns. Simetricul punctului ce corespunde pe axa numerelor numărului: a) –9,(16) este punctul ce co-

respunde numărului 9,(16); b) –62,4(51) este punctul ce corespunde numărului 62,4(51); c) √39–

este punctul ce corespunde numărului –√39

–; d) –√62

– este punctul ce corespunde numărului √62

–.

Exerciţiu

rezolv

at

Opusul numărului real x este numărul real –x.Proprietăţi: 1) suma numerelor opuse este 0, x + (–x) = –x + x = 0; 2) numerele opuse au acelaşi modul;3) numerelor reale opuse le corespund pe axa numerelor reale puncte simetrice faţă de originea axei ce corespunde numărului 0.

Învăţăml Scăderea numerelor reale1) Calculaţi cu o aproximaţie de 0,01 diferenţa √11

– – √7

–.

Rezolvare. 3,316 < √11– < 3,617 şi 2,645 < √7

– < 2,646 implică3,316 – 2,646 < √11

– – √7– < 3,317 – 2,645, de unde 0,670 < √11

– – √7– < 0,672.

Răspuns. 0,670 < √11–

– √7–

< 0,672. √11–

– √7–

cu 0,01 în adaos este 0,68, iar cu 0,01 în lipsă este 0,67.2) Calculaţi 16 – 2,98998999899998...

Rezolvare. Scăzătorul este un număr iraţional. Se află numărul care adunat cu 2,98998999899998... dă 16. Se constată că acest număr este 13,01001000100001... Răspuns. 13,01001000100001...

l Scăderea a două numere este suma dintre primul număr şi opusul numărului al doilea:a – b = a + (–b) = –b + a.

l Fie numerele reale a şi b. a < b dacă şi numai dacă a – b < 0.

Învăţăm

Exerciţiu

rezolv

at


E x e r c i ţ i i

1. Scrieţi mai simplu: a) –1,(9); b) –1,3(9); c) –1,7(9); d) –5,4(9); e) –8,56(9); f) –5,42(9).

Rezolvare.

Răspuns.

2. Calculaţi: a) –13,(8) – 7,(1); b) –12,(7) – 8,(2); c) –24,(4) – 6,(5); d) –75,(3) – 7,(6).

Rezolvare.

Răspuns.


3. Calculaţi: a) –3,12(8) – 4,87(1); b) –2,24(7) – 8,75(2); c) –9,23(6) – 5,76(3); d) –7,17(4) – 9,82(5).

Rezolvare.

Răspuns.

4. Calculaţi: a) –2,9970185(9) – 11,0029814; b) –24,83540270(9) – 46,16459729; c) –52,27407239(9) – 75,7259276; d) –71,349042156(9) – 48,651957843.

Rezolvare.

Răspuns.


5. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1:a) √7

– + √3

–; b) √6

– + √2

–; c) √8

– + √5

–; d) √11

– + √12

–; e) √10

– + √13

–; f) √14

– + √26

–.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Aproximaţi prin adaos cu 0,1:

a) √12–

+ √15–

; b) √17–

+ √35–

; c) √41–

+ √82–

; d) √21–

+ √42–

; e) √23–

+ √57–

; f) √19–

+ √72–

.Rezolvare.

Răspuns.



– + √91

–; b) √27

– + √95

–; c) √73

– + √46

–; d) √24

– + √54

–; e) √85

– + √28

–; f) √66

– + √29

–.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Aproximaţi prin adaos cu 0,01:a) √99

– + √22

–; b) √32

– + √98

–; c) √34

– + √75

–; d) √76

– + √83

–; e) √86

– + √31

–; f) √79

– + √37

–.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Enumeraţi numerele care au modulul egal cu:a) 15,8; b) 56,(3); c) 49,5(17); d) 39,110100... (puterile naturale ale lui 10).

Răspuns.

10. Enumeraţi numerele care au modulul egal cu: a) √29–

; b) √77–

; c) √94–

; d) √58–

; e) √78–

.Răspuns.

11. Scrieţi opusul numărului: a) –√37–

; b) 15,17; c) –7√56–

; d) 5,8(26).Răspuns.

12. Scrieţi numărul al cărui simetric faţă de 0 este: a) –√87–

; b) 9,23(4); c) 18,(294); d) –9√26–

.Răspuns.


– – √3

–; b) √6

– – √2

–; c) √8

– – √5

–; d) √11

– – √12

–; e) √10

– – √13

–; f) √14

– – √26

–.

Rezolvare.

Răspuns.


14. Aproximaţi prin adaos cu 0,1:

a) √12–

– √15–

; b) √17–

– √35–

; c) √41–

– √82–

; d) √21–

– √42–

; e) √23–

– √57–

; f) √19–

– √72–

.Rezolvare.

Răspuns.


– – √91

–; b) √27

– – √95

–; c) √73

– – √46

–; d) √24

– – √54

–; e) √85

– – √28

–; f) √66

– – √29

–.

Rezolvare.

Răspuns.



– – √22

–; b) √32

– – √98

–; c) √34

– – √75

–; d) √76

– – √81

–; e) √86

– – √31

–; f) √79

– – √37

–.

Rezolvare.

Răspuns.

17. Comparaţi numerele:a) √37

– şi 5,3; b) –√95

– şi –9,2; c) √73

– şi 8,4; d) –√66

– şi –8,3; e) √94

– şi 9,2; f) –√59

– şi –7,4.

Rezolvare.

Răspuns.


18. Comparaţi numerele:a) √76

– şi 8,24; b) –√37

– şi –6,12; c) √83

– şi 9,11; d) –√55

– şi –7,15; e) √98

– şi 9,27; f) –√78

– şi –8,16.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Comparaţi numerele: a) √66–

+ √29–

şi 13,7; b) √32–

+ √98–

şi 15,2; c) √27–

+ √95–

şi 14,18; d) √73

– + √46

– şi 16,11; e) √79

– + √37

– şi 14,23; f) √85

– + √28

– şi 14,27.

Rezolvare.

Răspuns.


20. Comparaţi numerele: √87–

+ √97–

şi √13–

+ √129–

.

Rezolvare.

Răspuns.

21. Comparaţi numerele: √89–

– √12–

şi √112–

– √19–

.Rezolvare.

Răspuns.

22. Enumeraţi numerele întregi cu modulul mai mic decît numărul √159–

– √67–

.Rezolvare.

Răspuns.

23. Enumeraţi numerele întregi cu modulul mai mic decît numărul √123–

+ √29–

.Rezolvare.

Răspuns.

24. Încadraţi numărul √274–

+ √198–

între două numere întregi consecutive.

Rezolvare.

Răspuns.

25. Încadraţi numărul √431–

– √103–

între două numere întregi consecutive.

Rezolvare.

Răspuns.

26. Calculaţi: –12,20200200020000... – 15,79799799979999...Rezolvare.

Răspuns.


27. Calculaţi: 25 – 16,49499499949999...Rezolvare.

Răspuns.

28. Calculaţi suma tuturor numerelor naturale mai mici decît √578–

+ √532–

.Rezolvare.

Răspuns.

29. Stabiliţi o legătură între perioada numărului 1 : a, şi a, dacă a este unul dintre numerele: 3, 7, 11, 13, 17, 19.Rezolvare.

Răspuns.

30. Fără să extrageţi rădăcina pătrată, aflaţi numărul natural al cărui pătrat este 1 600 002 400,0009.

Rezolvare.

Răspuns.


Învăţăm

Produsul a două numere reale este un număr real. Semn a Semn b Semn ab

+ – –

– + –

– – +

+ + +

Proprietăţile înmulţirii numerelor reale:1) asociativitatea, (ab)c = a(bc); 2) 1 nu are efect la înmulţire, a · 1 = a; 3) comutativitatea, ab = ba.

¹ Înmulţirea numerelor reale

1) Calculaţi:a) 0,2 · 7,30330333033330...; b) –0,02 · 8,202002000200002...; c) –0,003 · (–5,0202202220...).

Rezolvare. Se aplică regulile de calcul cu numere zecimale.Răspuns. a) 1,460660666066660...; b) –0,16404004000400004...; c) 0,0150606606660...

2) Aproximaţi cu 0,1 produsul –√3– · √11

– .Rezolvare. Se calculează rădăcinile pătrate cu două zecimale exacte şi se obţine:

1,73 < √3– < 1,74, 3,31 < √11

– < 3,32, de unde 5,72 < √3– · √11

– < 5,78.Răspuns. –5,8 < –√3

– · √11– < –5,7.

Exerciţiu

rezolv

at

l Inversul unui număr real1) Cu ce număr trebuie înlocuit x din relaţia: a) 3,1x = 1; b) – 2

7 x = 1; c) √57

–x = 1?

Rezolvare. Numerele reale x ce verifică propoziţia ax = 1(a > 0) sînt de forma 1a

.

Răspuns. a) 1031 ; b) – 7

2 ; c) 1√57– .

2) Înmulţiţi numărul –9,606006000... cu 1a

, dacă a = 3.

Rezolvare. Rezultatul se poate scrie sub formă de raport. În acest caz raportul – 9,606006000...3

se poate simplifica cu 3.

Răspuns. –3,202002000...

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Inversul numărului real nenul a este numărul 1a

. Împărţirea a două numere reale este înmulţirea deîmpărţitului cu inversul împărţitorului.Proprietăţile înmulţirii numerelor reale:4) pentru orice număr real nenul a există inversul lui 1

a, a · 1

a = 1.

l Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare1) Comparaţi 2 · 3,101001000... + 2 · 7,030330333... cu 2(3,101001000... + 2 · 7,030330333...).

Rezolvare. 2 · 3,101001000... + 2 · 7,030330333... = 6,202002000... + 14,060660666.... = 20,26266... şi2(3,101001000... + 2 · 7,030330333...) = 2 · 10,131331333... = 20,26266... A

B

D

C

√19–

√19–

√11–

√11–

Răspuns. Numerele sînt egale. 2) Scrie în două variante perimetrul dreptunghiului ABCD.

Rezolvare. Perimetrul dreptunghiului este 2√11–

+ 2√19–

sau 2(√11–

+ 2√19–

).Răspuns. 2√11

– + 2√19

– sau 2(√11

– + 2√19

–).

Învăţăm

Distributivitatea înmulţirii faţă de adunareProprietăţile înmulţirii numerelor reale:5) Înmulţierea numerelor reale este distributivă faţă de adunare şi scădere,

a(b + c) = ab + bc, a(b – c) = ab – bc.

Exerciţiu

rezolv

at


E x e r c i ţ i i

1. Calculaţi:a) 0,3 · 16,01011011101111...; b) 0,4 · 19,02022022202222...;c) 0,2 · 12,03033033303333...; d) 0,9 · 25,04044044404444...

Rezolvare.

Răspuns.

2. Calculaţi:a) –0,7 · 25,1011011101111...; b) –0,4 · 15,10100100001...;c) –0,2 · 76,10100100001...; d) –0,8 · 28,10100100001...

Rezolvare.

Răspuns.

3. Calculaţi: a) –0,9 · (–28,1001000100001...); b) –0,4 · (–75,2002000200002...); c) –0,3 · (–35,3003000300003...); d) –0,7 · (–54,1001000100001...).

Rezolvare.

Răspuns.


4. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1: a) –√3

– · √2–; b) –√2

– · √5–; c) –√7

– · √5–; d) –√6

– · √5–; e) –√2

– · √13–

; f) –√7– · √13

–.

Rezolvare.

Răspuns.

5. Aproximaţi prin adaos cu 0,1:a) –√7

– · √3

–; b) –√6

– · √2

–; c) –√8

– · √5

–; d) –√11

– · √12

–; e) –√10

– · √7

–; f) –√3

– · √26

–.

Rezolvare.

Răspuns.


6. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1: a) –√12–

· (–√15–

); b) –√17–

· (–√5–

);c) –√41

– · (–√7

–); d) –√21

– · (–√5

–); e) –√23

– · (–√6

–); f) –√19

– · (–√5

–).

Rezolvare.

Răspuns.

7. Aproximaţi prin adaos cu 0,1: a) –√18–

· (–√91–

); b) –√27–

· (–√95–

); c) –√73

– · (–√46

–); d) –√24

– · (–√54

–); e) –√85

– · (–√28

–); f) –√66

– · (–√29

–).

Rezolvare.

Răspuns.


8. Aflaţi inversul numărului:

a) –37,25; b) √7–5 ; c) –√54

–; d) √67

– + √94

–.

Răspuns.

9. Aflaţi numărul care dă rezultatul 1 înmulţit cu:

a) 24,9; b) –73,(2); c) –56,2(48); d) √93–

; e) √7–6 ; f) – 3

6.

Răspuns.

10. Scrieţi ca înmulţire:a) 2,5 : 1,7; b) √12

– : √3

–; c) √35

– : √7

–; d) √15

– : √3

–; e) √75

– : √5

–; f) √54

– : √6

–.

Răspuns.

11. Aplicînd proprietatea √b–

: √a– = √b : a–

, executaţi:a) √52

– : √3

–; b) √57

– : √3

–; c) √66

– : √6

–; d) √93

– : √3

–; e) √85

– : √5

–; f) √65

– : √5

–.

Rezolvare.

Răspuns.


12. Calculaţi aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de adunare:a) 2(2,3 + 7,5); b) 8(6,2 + 4,5); c) 4(9,5 + 2,3); d) 5(2,4 + 9,3); e) 4(12,5 + 3,6); f) 6(2,5 + 3,4).

Rezolvare.

Răspuns.

13. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, executaţi:a) 2(√7

– + √3

–); b) 4(√5

– + √6

–); c) 8(√2

– + √3

–); d) 7(√8

– + √5

–); e) 7(√11

– + √12

–); f) 11(√14

– + √26

–).

Rezolvare.

Răspuns.


14. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, executaţi: a) 1,5(√12–

+ √15–

); b) 6,2(√17–

+ √35–

); c) 9,2(√41

– + √83

–); d) 8,4(√23

– + √57

–); e) 2,4(√19

– + √72

–); f) 3,5(√18

– + √91

–).

Rezolvare.

Răspuns.

15. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de scădere, executaţi:a) 2(7,5 – 2,6); b) 8(8,5 – 2,9); c) 4(9,5 – 4,7); d) 5(8,6 – 3,8); e) 4(24,5 – 7,3); f) 6(6,5 – 2,4).

Rezolvare.

Răspuns.


16. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de scădere, executaţi: a) 15(√18–

– √91–

); b) 67(√24–

– √54–

);c) 23(√27

– – √95

–); d) 93(√85

– – √28

–); e) 85(√73

– – √46

–); f) 62(√66

– – √29

–).

Rezolvare.

Răspuns.

17. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de scădere, executaţi:a) 1,3(√99

– – √22

–); b) 2,5(√32

– – √98

–); c) 6,8(√34

– – √75

–); d) 3,1(√76

– – √81

–).

Rezolvare.

Răspuns.


18. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 numărul √86–

· √92–

.Rezolvare.

Răspuns.

19. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 numărul √76–

· √58–

.Rezolvare.

Răspuns.

20. Aplicînd distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere, executaţi:a) √7

–(√12–

+ √15–

); b) √6–(√52

– – √35

–).

Rezolvare.

Răspuns.

21. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 5√56–

+ 2√28–

· (–√2–); b) 4√68

– – 2√34

– · √2

–.Rezolvare.

Răspuns.

22. Aduceţi la forma cea mai simplă: 7(√46–

+ √37–

) + 5(√46–

– √37–

).Rezolvare.

Răspuns.


23. Ordonaţi crescător numerele: √85–

· √17–

, √14–

· √93–

, √11–

· √98–

.

Rezolvare.

Răspuns.

24. Enumeraţi numerele întregi cu modulul mai mic decît √7–

· √69–

.

Rezolvare.

Răspuns.

25. Încadraţi între două numere întregi consecutive numărul √37–

· (–√76–

).

Rezolvare.

Răspuns.


º Operaţii cu radicali

1) Executaţi: 11√6–

+ 7√6–

+ 2,1√6–

.Rezolvare. 11 + 7 + 2,1 = 20,1. Răspuns. 20,1√6

–.

2) Executaţi: –5√7–

+ 23√11–

+ 13√7–

– 19√11–

.Rezolvare. Se grupează radicalii –5√7

– + 13√7

– + 23√11

– – 19√11

–. –5 + 13 = 8 şi 23 – 19 = 4.

Răspuns. 8√7–

+ 4√11–

.

3) Scrieţi cît mai simplu: a) –√6–

· √13–

; b) 2√13–

; c) √35–

√7– .

Rezolvare. a) √6–

· √13–

= x (x > 0) implică 6 · 13 = 78, de unde x = √78–

. b) 2√13–

= √4–

· √13–

= √52–

.

c) √35–

√7– = 35

7 = √5

–.

Răspuns. a) –√78–

; b) √52–

; c) √5–

.

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

l Radicalii de forma a√b–

se numesc radicali asemenea. Reducerea radicalilor asemenea constă în în-locuirea tuturor radicalilor asemenea cu un singur radical al cărui coeficient este egal cu suma algebrică a coeficienţilor tuturor radicalilor asemenea (a√b

– are coeficientul a).

l Produsul radicalilor. Dacă a şi b sînt numere pozitive, atunci √a– · √b–

= √ab–

.

l Raportul radicalilor. Dacă a şi b sînt numere pozitive, atunci √a–

√b– = a

b.

l Introducerea factorilor sub radicali. a√b– =

–√a2b–

, dacă a < 0

√a2b–

, dacă a > 0{

1) Scrieţi sub forma a√b– numărul: a) √84

–; b) √125

–.

Rezolvare. a) √84–

= √4 · 21–

= √4–

· √21–

= 2√21–

. b) √125–

= √25–

· √5–

= 5√5–

.Răspuns. a) 2√21

–. b) 5√5

–.

2) Aflaţi numerele reale x pentru care este adevărată egalitatea √15(x – 18)2– = (18 – x)√15

–.

Rezolvare. Se ţine cont că rădăcina pătrată a unui număr nenegativ este un număr nenegativ.18 – x ³ 0 sau x £ 18. Răspuns. Numerele reale mai mici sau egale cu 18.

3) Aflaţi raportul cu numitorul un număr raţional, care este egal cu: a) √7–5 ; b)

√8–3 .

Rezolvare. a) Raportul se amplifică cu √7–

şi se obţine √7–5 = 5√7

–

7 . a) Raportul se amplifică cu √2– sau √8

–

(a doua variantă mai cere şi alte operaţii) şi se obţine √8–3 = 4

3√2–

.

Răspuns. a) 5√7–

7 ; b) 43√2

–.

Exerciţiu

rezolv

at

l Scoaterea factorilor de sub radicali. √a2b–

= | a |√b–.

l Raţionalizarea numitorilor unui raport. √b–a = b

a√b–

.

Învăţăm


E x e r c i ţ i i 1. Reduceţi radicalii asemenea:

a) 5√11–

+ 12√11–

; b) 13√13–

+ 26√13–

; c) 13√17–

+ 45√17–

; d) 35√41–

+ 47√41–

.Rezolvare.

Răspuns.

2. Reduceţi radicalii asemenea:a) 26√11

– – 18√11

–; b) 56√13

– – 38√13

–; c) 72√17

– – 38√17

–; d) 86√41

– – 58√41

–.

Rezolvare.

Răspuns.


3. Reduceţi radicalii asemenea: a) 15√31

– – 26√31

–; b) 36√55

– – 58√55

–; c) 32√23

– – 93√23

–; d) 74√35

– – 106√35

–.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Reduceţi radicalii asemenea:a) 11√26

– + 17√37

– + 9√26

– + 23√37

–; b) 28√21

– + 32√52

– + 14√21

– + 19√52

–;

c) 62√63–

+ 73√34–

+ 29√63–

+ 66√34–

; d) 38√55–

+ 54√78–

+ 74√55–

+ 71√78–

. Rezolvare.

Răspuns.


5. Reduceţi radicalii asemenea: a) 27√17

– + 32√31

– – 15√17

– – 48√31

–; b) 54√26

– + 32√62

– – 46√26

– – 19√62

–;

c) 39√73–

+ 58√47–

– 64√73–

– 36√47–

; d) 69√55–

+ 43√78–

– 36√55–

– 25√78–

.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Scrieţi mai simplu:a) √12

– · √3

–; b) √13

– · √7

–; c) √61

– · √5

–; d) √29

– · √2

–; e) √31

– · √6

–; f) √37

– · √7

–.

Rezolvare.

Răspuns.


7. Scrieţi mai simplu:a) √12

– · √22

–; b) √13

– · √18

–; c) √61

– · √23

–; d) √29

– · √35

–; e) √31

– · √42

–; f) √37

– · √51

–.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Scrieţi mai simplu:

a) √35–

√5– ; b) √95

–

√5– ; c) √75

–

√3– ; d) √69

–

√3– ; e) √42

–

√6– .

Rezolvare.

Răspuns.


9. Scrieţi mai simplu: a) √126–

√3– ; b) √147

–

√7– ; c) √135

–

√5– ; d) √234

–

√6– .

Rezolvare.

Răspuns.


√11– ; b) √299

–

√13– ; c) √322

–

√14– ; d) √408

–

√17– .

Rezolvare.

Răspuns.


11. Introduceţi factori sub radical:a) 3√7

–; b) 4√5

–; c) 8√2

–; d) 7√8

–; e) 2√11

–; f) 3√14

–; g) 3√15

–; h) 5√17

–.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Introduceţi factori sub radical:a) d√12

–, d > 0; b) c√17

–, c > 0; c) b√41

–, b > 0; d) n√23

–, n > 0; e) p√19

–, p > 0; f) q√18

–, q > 0.

Rezolvare.

Răspuns.


13. Introduceţi factori sub radical: a) d√18–

, d < 0; b) c√24–

, c < 0;c) b√27

–, b < 0; d) x√85

–, x < 0; e) p√73

–, p < 0; f) y√29

–, y < 0.

Rezolvare.

Răspuns.

14. Scoateţi factorii de sub radical:a) √8

–; b) √12

–; c) √18

–; d) √24

–; e) √27

–; f) √28

–; g) √32

–; h) √45

–; i) √48

–; j) √52

–.

Rezolvare.

Răspuns.


15. Scoateţi factorii de sub radical:

a) √56–

; b) √60–

; c) √68–

; d) √72–

; e) √76–

; f) √80–

; g) √75–

; h) √84–

; i) √88–

; j) √92–

.Rezolvare.

Răspuns.

16. Scoateţi factorii de sub radical:a) 2√98

–; b) 2√124

–; c) 3√125

–; d) 2√150

–; e) 3√160

–; f) 5√180

–; g) 6√200

–; h) 3√240

–.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Scoateţi factorii de sub radical:a) √33 · 2–

; b) √55 · 3–

; c) √73 · 5–

; d) √29 · 3–

.Rezolvare.

Răspuns.

18. Raţionalizaţi numitorul fiecărui raport:

a) √2–4 ; b)

√5–6 ; c)

√3–5 ; d)

√6–2 .

Rezolvare.

Răspuns.


19. Raţionalizaţi numitorul fiecărui raport:

a) 7√32– ; b) 5

√24– ; c) 4

√27– ; d) 5

√28– ; e) 2

√45– ; f) 5

√48– ; g) 7

√72– ; h) 3

√98– .

Rezolvare.

Răspuns.

20. Aduceţi la forma cea mai simplă: √63–

+ √50–

– √108–

– √182–

– √147–

+ √112–

.

Rezolvare.

Răspuns.

21. Pentru ce valori ale numerelor reale x este adevărată propoziţia: (x + 1)√3–

= √3(x + 1)2–?

Rezolvare.

Răspuns.

22. Pentru ce valori ale numerelor reale x este adevărată propoziţia: √5(x – 3)2– = (3 – x)√5

–?

Rezolvare.

Răspuns.


23. Aflaţi termenul necunoscut al proporţiei: x2√7

– = 3√12–

√84– .

Rezolvare.

Răspuns.

24. Scoateţi factorii de sub radical: √–8x3y6z16 –.

Rezolvare.

Răspuns.

25. Aduceţi la forma cea mai simplă: √7–

– 1√7– + √11

– – √7

–

√77– + √15

– – √11

–

√165– + √19

– – √15

–

√285– .

Rezolvare.

Răspuns.

26. Aduceţi la forma cea mai simplă: √1 + 2 + 3 + ... + 239 + 238 + ... + 3 + 2 + 1 .

Rezolvare.

Răspuns.

27. Aduceţi la forma cea mai simplă: √1 + 3 + 5 + ... + 574 + 575 + 576.

Rezolvare.

Răspuns.


» Ridicarea la putere a numerelor reale. Ordinea operaţiilor

1) Scrieţi cît mai simplu: a) √3–

· √3–

· √3–

· √3–

· √3–

; b) (–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

).Rezolvare. a) √3

– · √3

– · √3

– · √3

– · √3

– = (√3

–)5 = (√3

–)4(√3

–) = 32√3

– = 9√3

–.

(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

)(–√5–

) = (–√5–

)7 = – (√5–

)6(√5–

) = –53√5–

= –125√5–

.Răspuns. a) 9√3

–; b) –125√5

–.

2) Scrieţi cît mai simplu: a) (√11–

)7(√11–

)9; b) (–√21–

)13 : (–√21–

)6; c) [(–√23–

)7]3. Rezolvare. Se procedează ca la operaţiile similare cu puterile numerelor întregi.a) (√11

–)7(√11

–)9 = (√11

–)16 = 118. b) (–√21

–)13 : (–√21

–)6 = (–√21

–)7 = –213 √21

–.

c) [(–√23–

)7]3 = –(√23–

)21 = –2310√23–

.Răspuns. a) 118; b) –213 √21

–; c) –2310√23

–.

3) Scrieţi cît mai simplu: a) (–a√6–

)7; b) (–b6 √2–

)9; c) √2–3( |)5

.

Rezolvare. a) (–a√6–

)7 = –a7(√6–

)7 = –216a7√6–

. b) (–b6√2–

)9 = –b54(√2–

)9 = –24b54√2–

= –16b54√2–

.

c) √2–3( |)5

= √25–35

= √32–

243. Răspuns. a) –216a7√6–

; b) –16b54√2–

; c) √32–

243.

4) Aduceţi la forma cea mai simplă: 24 + 3√17–

– 6(√17–

)3 : (2√17–

).Rezolvare. Se execută în ordine: 1) ridicarea la putere; 2) împărţirea; 3) celelalte operaţii.

24 + 3√17–

– 6(√17–

)3 : (2√17–

) = 24 + 3√17–

– 6 · 17√17–

: (2√17–

) = 24 + 3√17–

– 51 = –27 + 3√17–

.Răspuns. –27 + 3√17

–.

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Puterea unui număr real. a · a · a ·...· a14243n ori

= an (se citeşte „ a la puterea en“).

Proprietăţi. 1) an · am = an + m. 2) an : am = an – m. 3) (an)m = anm. 4) (ab)n = an bn. 5) ( ab (n = a

n

bn .

6) –1, dacă n este număr impar

1, dacă n este număr par.{(–1)n =

Ordinea efectuării operaţiilor. Ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu fără paranteze în care se execută adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri, ridicări la putere şi extragerea rădăcinii pătrate:

1) se execută ridicarea la putere şi extragerea rădăcinii pătrate; 2) înmulţirile şi împărţirile; 3) adunările şi scăderile.

1. Scrieţi ca putere:a) √5

– · √5

– · √5

–; b) √7

– · √7

– · √7

– · √7

– · √7

–; c) √11

– · √11

– · √11

– · √11

–; d) √6

– · √6

– · √6

– · √6

– · √6

–.

Răspuns.

2. Scrieţi cît mai simplu: a) (–√13–

)(–√13–

)(–√13–

); b) (–√23–

)(–√23–

)(–√23–

)(–√23–

)(–√23–

)(–√23–

);c) (–√73

–)(–√73

–)(–√73

–)(–√73

–)(–√73

–)(–√73

–)(–√73

–).

Răspuns.

E x e r c i ţ i i


3. Scrieţi cît mai simplu: a) (√21–

)8(√21–

)15; b) (–√35–

)17(–√35–

)26; c) (–√43–

)23(–√43–

)37.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Scrieţi cît mai simplu: a) (√46–

)35 : (√46–

)22; b) (–√51–

)73 : (–√51–

)54; c) (–√33–

)84 : (–√33–

)63.

Rezolvare.

Răspuns.

5. Scrieţi cît mai simplu: a) [(√55–

)42]5; b) [(–√19–

)33]7; c) [(–√26–

)61]8.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Scrieţi cît mai simplu: a) (x√3–

)5; b) (–a3 √39–

)6; c) (–b6 √66–

)3.

Rezolvare.

Răspuns.


7. Scrieţi cît mai simplu: a) √5–4( |)4

; b) √6–3( |)6

; c) √7–5( |)5

; d) √8–6( |)7

.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Executaţi: a) 28 + 5√37–

– 8(√37–

)5 : (2√37–

)2;b) 72 + 6√62

– – 36(√62

–)3 : (2√62

–)2; c) 67 + 2√23

– – 16(√23

–)5 : (2√23

–)3.

Rezolvare.

Răspuns.


E x e r c i ţ i i r e c a p i t u l a t i v e

1. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 numărul: a) √21–

; b) √22–

; c) √23–

; d) √24–

; e) √26–

.

Rezolvare.

Răspuns.

2. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 numărul: a) √29–

; b) √30–

; c) √31–

; d) √32–

; e) √33–

.Rezolvare.

Răspuns.


3. Recunoaşteţi numerele raţionale: a) –√1,69–

; b) –√1,97–

; c) √2,25–

; d) –√1,44–

; e) –√2,56–

; f) –√3,25–

.Răspuns.


– + √19

–; b) √38

– + √82

–; c) √47

– + √65

–; d) √71

– + √85

–; e) √61

– + √40

–; f) √50

– + √67

–.

Rezolvare.

Răspuns.

5. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1: a) –√13–

· (–√26–

); b) –√19–

· (–√52–

); c) –√46–

· (–√57–

); d) –√92–

· (–√86–

).Rezolvare.

Răspuns.


6. Reduceţi radicalii asemenea: a) 34√27–

+ 42√51–

– 23√27–

– 57√51–

;b) 71√34

– + 63√78

– – 59√34

– – 86√78

–; c) 55√82

– + 64√41

– – 78√82

– – 25√41

–.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Scoateţi factorii de sub radical: a) √480–

; b) √360–

; c) √540–

; d) √880–

.

Rezolvare.

Răspuns.



√6– ; b) √336

–

√18– ; c) √664

–

√24– ; d) √896

–

√28– .

Rezolvare.

Răspuns.

9. Raţionalizaţi numitorul fiecărui raport: a) 2√75– ; b) 3

√84– ; c) 5

√56– ; d) 7

√76– .

Rezolvare.

Răspuns.


10. Introduceţi factori sub radical: a) 3√23–

; b) 4√31–

; c) 2√33–

; d) 5√41–

.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Executaţi: a) 85 + 9√26–

– 14(√26–

)9 : (√26–

)6; b) 79 + 24√35–

– 3(√35–

)12 : (√35–

)11.

Rezolvare.

Răspuns.


12. Reduceţi termenii asemenea: √45–

– √147–

+ √1 089–

– √405–

+ √432–

– √3 025–

.Rezolvare.

Răspuns.

13. Pentru ce valori ale numerelor reale x este adevărată propoziţia: (2 – x)√6–

= √6(x – 2)2–?

Rezolvare.

Răspuns.

14. Aflaţi termenul necunoscut al proporţiei: x5√7

– = 8√6–

√84– .

Rezolvare.

Răspuns.

15. Scoateţi factorii de sub radical: √–9x8y5z14 –.

Rezolvare.

Răspuns.


1

1

1

1

1

1

1

1

2


.2. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 numărul:

√94–

+ √26–

.3. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1: –√17

– · (–√43

–);

4. Reduceţi radicalii asemenea:47√44

– + 52√58

– – 83√44

– – 79√58

–.

5. Scoateţi factorii de sub radical: √525–

.

6. Scrieţi mai simplu: √696–

√48– .

7. a) Introduceţi factori sub radical: 4√37–

.

b) Raţionalizaţi numitorul raportului: 8

√150– .

8. Aflaţi termenul necunoscut al proporţiei:x

6√48– = 5√6

–

√240– .

9. a) Pentru ce valori ale numerelor reale x este adevărată propoziţia: (4 – x)√7

– = √7(x – 4)2–

?

b) Scoateţi factorii de sub radical: √–3x7y30z8 –.

E VA L U A R EI I I


.2. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 numărul:

√93–

+ √21–

.3. Aproximaţi prin lipsă cu 0,1: –√15

– · (–√46

–);

4. Reduceţi radicalii asemenea:34√37

– + 74√54

– – 75√37

– – 67√54

–.

5. Scoateţi factorii de sub radical: √375–

.

6. Scrieţi mai simplu: √396–

√54– .

7. a) Introduceţi factori sub radical: 5√34–

.

b) Raţionalizaţi numitorul raportului: 4

√150– .

8. Aflaţi termenul necunoscut al proporţiei:x

6√48– = 5√6

–

√240– .

9. a) Pentru ce valori ale numerelor reale x este adevărată propoziţia: (3 – x)√2

– = √2(x – 3)2–

?

b) Scoateţi factorii de sub radical: √–7x4y26z7 –.

70 Cap. 3. Calcul algebric

Capitolul 3 Calcul algebric ¶ Expresii algebrice

Învăţăm

l Expresie algebrică. În activităţile practice (cumpărături, construcţii etc.) se execută calcule matematice în care numerele au semnificaţii exacte. Păstrînd numai semnificaţiile numerelor, numerele se pot înlocui cu litere. Se obţine astfel o expresie algebrică. Literele care apar într-o expresie algebrică se numesc variabile. Cu ajutorul aceleiaşi expresii algebrice se pot afla în practică rezultate diferite. De exemplu, cu ajutorul ex-presiei ax se poate afla: costul a 3 franzele cu preţul de 2,5 lei; costul a 5 franzele cu preţul de 3 lei; costul a 7 litri de lapte cu preţul de 5,5 lei; cantitatea de ciment din 35 de saci conţinînd fiecare 50 kg ciment etc.l Valoarea unei expresii algebrice. Înlocuind într-o expresie algebrică variabilele cu litere, se obţine valoa-rea numerică a expresiei.

· Termeni asemenea. Reducerea termenilor asemenea

Expresiile algebrice 3a şi 5a sînt formate din variabila a înmulţită cu 3 sau 5. Partea lor literală este a, iar numerele 3 sau 5 sînt coeficienţii expresiilor.Expresiile algebrice 9ab şi –1,2ab au partea literală ab, produsul variabilelor a şi b, iar coeficienţii lor sînt 9 şi respectiv –1,2.Partea literală a unei expresii raţionale este formată din produse de variabile la puteri cu exponenţi numere naturale. Termenii unei expresii algebrice care au aceeaşi parte literală se numesc termeni asemenea.Reducerea termenilor asemenea constă în înlocuirea lor cu unul singur, asemenea cu fiecare, avînd coefi-cientul egal cu suma coeficienţilor termenilor asemenea.

Învăţăm

1) Într-un magazin alimentar se găsesc franzele la mai multe preţuri şi pachete de unt la preţuri diferite. Scrieţi expresia algebrică după care calculatorul stabileşte costul cumpărăturii formate dintr-un număr de franzele şi un număr de pachete de unt.

Rezolvare. Se completează tabelulArticolul Cantitatea Preţul (lei) Total (lei)Franzele a x ax

Unt b y byTotal ax + by

Răspuns. ax + by, unde literele au semnificaţiile specificate în tabel.2) Petre cumpără 3 franzele cu preţul de 2,2 lei şi 2 pachete de unt cu preţul de 8,75 lei. Înlocuind în expresia stabilită la exerciţiul anterior, aflaţi cît a plătit Petre?

Rezolvare. Se fac înlocuirile: a = 3, x = 2,2, b = 2, y = 8,75. Se obţine 3 · 2,2 + 2 · 8,75 = 24,1.Răspuns. Petre a plătit 24,1 lei.

Din viaţă

1) Fie expresia 5√11–

– 3√13–

– 17√11–

+ 11√13–

. Construiţi o expresie algebrică înlocuind radicalii asemenea cu aceeaşi variabilă.

Rezolvare. Se fac înlocuirile (sau substituţiile) a = √11– şi b = √13

– şi se obţine 5a – 3b – 17a + 11b.Răspuns. 5a – 3b – 17a + 11b.

2) Aduceţi la forma cea mai simplă:a) 8a – 9b – 32a + 17b; b) 13ab – 2,7bc – 14,5ab + 21,3bc; c) 25a2b – 85ab2 – 37a2b + 19ab2.

Rezolvare. Se procedează ca la reducerea radicalilor asemenea.a) 8a – 9b – 32a + 17b = 8a – 32a + 17b – 9b = –24a + 8b.b) 13ab – 2,7bc – 14,5ab + 21,3bc = 13ab – 14,5ab + 21,3bc – 2,7bc = (13 – 14,5)ab + (21,3 – 2,7)bc = –1,5ab + 18,6bc.c) 25a2b – 85ab2 – 37a2b + 19ab2 = 25a2b – 37a2b + 19ab2 – 85ab2 = (25 – 37)a2b + (19 – 85)ab2 =–12a2b – 66ab2.

Răspuns. a) –24a + 8b; b) –1,5ab + 18,6bc; c) –12a2b – 66ab2.

Exerciţii rezo

lvate

71Cap. 3. Calcul algebric

E x e r c i ţ i i 1. Fie expresiile: ax; m + n; m – n; b2; 4c. Alegeţi expresia care permite calcularea:

a) perimetrului unui pătrat; b) cu cît s-a micşorat masa unui sac cu zahăr după ce s-au vîndut 5 kg;c) aria unui dreptunghi; d) sumei a două numere.

Răspuns.

2. Calculaţi suma numerelor a şi b, dacă:a) a = 12,4 şi b = –4,7; b) a = –9,5 şi b = 78,1; c) a = –67,5 şi b = –106,4; d) a = 105,6 şi b = –307,3.

Rezolvare.

Răspuns.

3. Calculaţi aria unui pătrat cu laturile de lungime: a) 37 cm; b) 45 cm; c) 48 cm; d) 59 cm.Rezolvare.

Răspuns.

4. Scrieţi expresia algebrică ce se obţine înlocuind radicalii cu litere în: a) 2√14

– – 9√15

– + 2,5√14

– – 9,1√15

–; b) –11√23

– + 24√26

– + 2,8√23

– – 16√26

–;

c) 8,7√17–

+ 53√31–

– 75√17–

– 0,6√31–

; d) 7,4√15–

– 5,2√19–

+ 29√15–

– 38√19–

.Rezolvare.

Răspuns.

5. Identificaţi coeficientul şi partea literală a expresiei: a) 2,5a; b) –5,8ax3; c) –3,7m3x7; d) –5,24xy5z9.Răspuns.


6. Fie expresiile: 89,3; 0,5a3b; –y6z; –2,93; ab3c8. Identificaţi expresia sau expresiile: a) fără parte literală;b) al cărui coeficient este egal cu 1; c) al cărui coeficient este egal cu –1;d) cu parte literală.

Răspuns.

7. Fie expresiile: –2a2b; 5ab; 2,3ab2; –5,1ab; 3,7ab2; –12,4a2b; 4,8ab. Enumeraţi expresiile algebrice cu aceeaşi parte literală.Răspuns.

8. Reduceţi termenii asemenea:a) 5a + 15a – 45a + 37a – 59a + 27 – 49;b) 2,1x + 3,7x – 8,2x + 22x – 8,2c + 9,5 – 7,3; c) 16ax + 9ax – 55ax + 83ax – 94ax + 8,4 – 6,2;d) 5y4 + 25y4 – 66y4 + 82y4 – 74y4 + 77 – 26.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Reduceţi termenii asemenea: a) 15a3 + 45a2 – 28a3 + 68a2 – 76; b) 9,5x9 – 3,8b7 – 7,4x9 + 11,6b7 – 91; c) 73a3x + 22ax3 – 43a3x + 95ax3 – 7,34; d) 7,4b3x4 – 5,8b4x3 – 9,3b3x4 – 13,2b4x3 + 15,4.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Reduceţi termenii asemenea:a) 46a – 54c + 85b – 42a + 77b – 29c; b) 7mx3 – 28mx2 + 26mx – 84mx2 + 51mx3 – 6mx; c) 25b3 + 81n3 – 76b3 + 37t3 – 29n3 – 104t3; d) 2,4y4 – 9,5z3 – 3,2c3 + 9,5y4 + 5,3z3 – 13,1c3.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Reduceţi termenii asemenea:a) 108a – 105b + 94a – 52b + 64a – 17b; b) –74b2 – 67b – 48b – 92b2 + 24b – 38b2; c) –54m3 + 17n2 – 69m3 + 72n2 – 92m3 – 84n2; d) 2,4a4 – 9,5b3 – 3,2a4 + 9,5b3 + 5,3a4 – 13,1b3.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Reduceţi termenii asemenea:a) (25a – 37b + 82c) + (91a – 54b + 86c); b) (33m – 93n – 56d) + (29m – 31n – 46d); c) (–89x – 93y + 73z) + (28x + 64y – 28z); d) (99c – 303d – 204) + (–64c – 107d – 194).

Rezolvare.

Răspuns.


13. Reduceţi termenii asemenea:a) (91a – 85b + 28c) – (26a – 68b + 107c); b) (56m – 27n – 83d) – (84m – 82n – 240d); c) (–28x – 36y + 103z) – (51x + 77y – 307z); d) (37c – 55d – 48) – (–78c – 61d – 267).

Rezolvare.

Răspuns.

14. Reduceţi termenii asemenea:a) (55a – 24b) + (36a + 85b) + (–29a – 43b); b) (–36x + 73y) + (42x – 92y) + (53x – 31y); c) (–36m + 73n) + (42m – 92n) + (53m – 31n); d) (2,5x3 – 9,6) + (–7,2x3 + 8,4) + (6,2x3 – 2,6).

Rezolvare.

Răspuns.


15. Reduceţi termenii asemenea:a) (1,4a – 5,2b) – (6,3a + 3,5b) + (–9,2a – 6,9b); b) (–2,6x + 3,8y) + (7,6x – 6,3y) – (3,5x – 4,2y); c) (–5,9m + 4,4n) – (8,4m – 2,9n) + (26m – 6,3n); d) (9,3x3 – 2,3) + (–2,6x3 + 6,4) – (2,7x3 – 5,2).

Rezolvare.

Răspuns.

16. O familie cumpără într-o lună: un număr de franzele cu acelaşi preţ; o cantitate de cartofi de un anumit preţ; o anumită cantitate de carne cu acelaşi preţ; un număr de litri de lapte cu acelaşi preţ; un număr de pa-chete de unt cu acelaşi preţ. Scrieţi expresia algebrică ce permite aflarea sumei de bani necesare.

Rezolvare.

Răspuns.

17. Scrieţi cît mai simplu expresia (1 + 2 + ... + 100)xx3x5x7...x33.Rezolvare.

Răspuns.


18. Scrieţi cît mai simplu (5 + 10 + 15 + ... + 1 000)xm, unde m este suma tuturor cifrelor numerelor naturale 1, 2, 3, 4, ..., 1 000.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Aflaţi: d numărul tuturor divizorilor naturali ai numărului 2 586; m cel mai mare număr natural cu suma cifrelor 15; n cel mai mare număr natural cu suma cifrelor 20. Scrieţi expresia dxmyn.

Rezolvare.

Răspuns.


¸ Înmulţirea expresiilor algebrice

Învăţăm

Înmulţirea expresiilor algebrice se execută aplicînd:1) asociativitatea înmulţirii; 2) comutativitatea înmulţirii; 3) definiţia puterii cu exponent număr natural;4) distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere:

a(b + c) = ab + ac, a(b – c) = ab – ac, a(b + c + d) = ab + ac + ad;

5) –1, dacă n este număr impar

1, dacă n este număr par.{(–1)n =

1) Dreptunghiul ABCD are lungimea 5a şi lăţimea 2b. Calculaţi aria dreptunghiului. A

B C

D5a

5a

2b 2bRezolvare. Aria dreptunghiului ABCD este 5a · 2b = 10ab. Răspuns. 10ab.

A

B C

D3a

3a

3b 3b

2c

2cE

F

3b

2) Dreptunghiul ABCD se descompune în dreptunghiurile ABEF şi FECD. Cu ajutorul ariilor celor trei dreptunghiuri scrieţi altfel 3b(3a + 2c).

Rezolvare. Aria dreptunghiului ABCD este suma ariilor dreptunghiurilor ABEF şi FECD, de unde 3b(3a + 2c) = 3b · 3a + 3b · 2c = 9ab + 6bc.

Răspuns. 9ab + 6bc.3) Executaţi: a) 5ab(7a + 5b + 3c); b) 8ac(9a – 2b + 6d).

Rezolvare. a) 5ab(7a + 5b + 3c) = 5ab · 7a + 5ab · 5b + 5ab · 3c = 35a2b + 25ab2 + 15abc.b) 8ac(9a – 2b + 6d) = 8ac · 9a – 8ac · 2b + 8ac · 6d = 72a2c – 16abc + 48acd.Răspuns. a) 35a2b + 25ab2 + 15abc; b) 72a2c – 16abc + 48acd.

4) Executaţi: a) 2√5–(√2

– + 3√5–); b) 4√3

–(√7– – 2√6

–).Rezolvare. a) 2√5

–(√2– + 3√5

–) = 2√5– · √2

– + 2√5– · 3√5

– = 2√10– + 30.

b) 4√3–(√7

– – 2√6–) = 4√3

– · √7– – 4√3

– · 2√6– = 4√21

– – 8√18

– = 4√21

– – 24√3

–.Răspuns. a) 2√10

– + 30; b) 4√21–

– 24√3–.

5) Executaţi: a) 3√2–(2√5

– + 5√7– + 8√6

–); b) 6√7–(5√14

– – 2√21

– + 3√35

–).

Rezolvare. a) 3√2–(2√5

– + 5√7– + 8√6

–) = 3√2– · 2√5

– + 3√2– · 5√7

– + 3√2– · 8√6

– = 6√10– + 15√14

– + 48√3–.

b) 6√7–(5√14

– – 2√21

– + 3√35

–) = 6√7

– · 5√14–

– 6√7– · 2√21

– + 6√7– · 3√35

– = 210√2

– – 84√3– + 126√5

–.Răspuns. a) 6√10

– + 15√14

– + 48√3

–; b) 210√2– – 84√3

– + 126√5–.

1) Executaţi: a) 4abc : (–5ac); b) –15a3b5c8 : (30a3b2); c) –18√38–

: (–72√2–).

Rezolvare. a) 4abc : (–5ac) = –0,8b. b) –15a3b5c8 : (30a3b2) = –0,5b3c8. c) –18√35–

: (–72√2–) = 0,4√19

– .Răspuns. a) –0,8b; b) –0,5b3c8; c) 0,4√19

– .2) Executaţi: a) (12a7b8c6 – 8a4b6c9) : (–8a4b6c6); b) (24√35

– – 16√21

–) : (–8√7–).

Rezolvare. (12a7b8c6 – 8a4b6c9) : (–8a4b6c6) = 12a7b8c6 : (–8a4b6c6) – 8a4b6c9 : (–8a4b6c6) = –1,5a3b2 + c3.b) (24√35

– – 16√21

–) : (–8√7–) = 24√35

– : (–8√7

–) – 16√21– : (–8√7

–) = –3√5– + 2√3

–.Răspuns. a) –1,5a3b2; b) –3√5

– + 2√3–.

3) Executaţi: a) (24a7b9c6 – 15a5b10c8 – 18a4b11c10) : (–3a4b9c6); b) (18√15– – 12√10

– – 10√65–) : (–2√5

–).Rezolvare. a) (24a7b9c6 – 15a5b10c8 – 18a4b11c10) : (–3a4b9c6) = 24a7b9c6 : (–3a4b9c6) – 15a5b10c8 : (–3a4b9c6) – 18a4b11c10 : (–3a4b9c6) = –8a3 + 5abc2 + 6b2c4.b) (18√15

– – 12√10– – 10√65

–) : (–2√5–) = 18√15

– : (–2√5–) – 12√10

– : (–2√5–) – 10√65

–) : (–2√5–) = –9√3

– + 6√2

– + 5√13– .

Răspuns. a) –8a3 + 5abc2 + 6b2c4; b) –9√3– + 6√2

– + 5√13– .

Înmulţirea expresiilor algebrice se execută aplicînd: 1) împărţirea puterilor; 2) (ab + ac) : a = b + c.

Învăţăm

Exerciţii rezo

lvate

Exerciţii rezo

lvate


E x e r c i ţ i i

1. Scrieţi aria fiecărui dreptunghi ilustrat:

a) A

B C

D6a

6a

3b 3b b) E

F G

H8x

8x

2y 2y c) I

J K

L9m

9m

5c 5c d) M

N P

Q7d

7d

4e 4e

Răspuns.

2. Dreptunghiul ABCD se descompune în dreptunghiurile ABEF şi FECD. Scrieţi aria dreptunghiului ABCD în două variante.

a) A

B C

D3a

3a

2b 2b

4c

4cE

F2b b)

A

B C

D5d

5d

3m 3m

6n

6nE

F3m

c) A

B C

D2p

2p

4q 4q

5r

5rE

F4q d)

A

B C

D7s

7s

5t 5t

9x

9xE

F5t

Rezolvare.

Răspuns.

3. Completaţi propoziţiile:

a) a(b + c) = ...........................; b) a(b – c) = ............................; c) a(b + c + d) = ..............................

d) –1, dacă ...............................

1, dacă ...............................{(–1)m =


4. Efectuaţi:a) 2m(4x + 3y); b) 12x(9y + 4z); c) 5n(7a + 8b); d) 9b(3m + 7n); e) 15p(3d + 5e); f) 9q(2r + 11s).

Rezolvare.

Răspuns.

5. Efectuaţi:a) 8m(9x – 7y); b) 14x(5y – 8z); c) 7n(4a – 12b); d) 3b(8m – 5n); e) 25p(6d – 9e); f) 8q(21r – 7s).

Rezolvare.

Răspuns.


6. Efectuaţi: a) 7m(2a + 9b + 5c); b) 9x(3m + 5n + 7m);c) 6x(9y + 18z + 11t); d) 15y(2m + 3n + 9p); e) 5n(9x + 23y + 14z); f) 8q(12b + 5c + 11d).

Rezolvare.

Răspuns.

7. Efectuaţi: a) 9m(4a – 3b + 5c); b) 16x(5m – 9n – 15m);c) 8x(19y + 7z – 12t); d) 14y(8m – 7n + 25p); e) 7n(27x – 9y + 31z); f) 17y(11m – 9n – 8p).

Rezolvare.

Răspuns.


8. Efectuaţi: a) 7mn(5m2 + 9n2); b) 13ab(3a3 + 4b5); c) 12x2y5(7x3 + 3y8); d) 45s3t4(3s5 – 7t7); e) 8c2d5(14c4 – 9d8); f) 29p5q8(6p8 – 5q6).

Rezolvare.

Răspuns.

9. Completaţi propoziţia (ab + ac) : a = ...........................................

10. Efectuaţi: a) 25a5b8c15 : (–5a3c7); b) 32m6n4p9 : (–8m5p5); c) 72x5y9z7 : (–8x5z4); d) 56r8s5t12 : (–7r7s3).Rezolvare.

Răspuns.


11. Efectuaţi: a) (12a9b6 – 18a6b5) : (–6a5b5); b) (35m8n9 – 15m5n7) : (–5m4n7);c) (76x12y15 – 36x9y13) : (–4x9y11); d) (81c21d19 – 24c16d17) : (–3c18d14); e) (75p35q26 – 25p28q29) : (–5p26q26).

Rezolvare.

Răspuns.

12. Efectuaţi:a) 3√3

–(√5– + 2√3

–); b) 8√7–(√3

– – 5√7–); c) 5√2

–(√7– + 6√5

–); d) 11√5–(√7

– – 9√6–).

Rezolvare.

Răspuns.


13. Efectuaţi: a) (35√42

– – 45√21–) : (–5√7

–); b) (51√17–

– 34√51–

) : (–17√17–

);c) (28√62

– – 56√93

–) : (–4√31

–); d) (84√19

– – 21√57

–) : (–7√19

–).

Rezolvare.

Răspuns.

14. Efectuaţi: a) (–a9b6)5; b) (–x8y11)9; c) (–p9q16)6; d) (–r15s13)7; e) (–u21v18)5; f) (–m24n31)7.

Rezolvare.

Răspuns.


15. Efectuaţi: a) (–a12b26)3 : (a24b59); b) (–x14y26)5 : (x65y123);c) (–p19q29)8 : (–p96q200); d) (–r34s19)9 : (r300s173); e) (–u28v41)7 : (u160v281); f) (–m56n42)4 : (–m210n98).

Rezolvare.

Răspuns.

16. Efectuaţi: a) 5a9b5 – 28a45b29 : (4a36b24); b) –12 x5y13 + (–64x74y95) : (–8x69y82);c) –85p58q76 + (–225p89q105) : (–3p31q29); d) –69r54s81 + (–324r75s138) : (4r21s57).

Rezolvare.

Răspuns.


17. Efectuaţi: –36 x21y73 + 17(–x7y9)12 : (–x9y5)7.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Efectuaţi: –26ax4 + 21bx2 + 5(3ax4 – 4bx2 + c)13 : [(3ax4 – 4bx2 + c) 2]6.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Aduceţi la forma cea mai simplă: 5(3√147–

– 2√375–

) – (5√3– + 2√15

– – 3√13

–)26 : (√75

– + √60

– – √117

–)52

.

Rezolvare.

Răspuns.


Învăţăm

¹ Formule de calcul prescurtat

1) Dreptunghiul ABCD se descompune în dreptunghiurile AEMH, EBFM, A

B C

D

F

G

H

E M

a b

b

b

a

a

c

d

c c

d d

FCGM, DHMG. Dimensiunile dreptunghiurilor sînt indicate în desen. Cuajutorul ariilor celor cinci dreptunghiuri dezvoltaţi produsul (a + b)(c + d).

Rezolvare. Aria dreptunghiului ABCD este egală cu suma ariilor drept-unghiurilor AEMH, EBFM, FCGM, DHMG:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bd + bc = ac + ad + bc + bd.Răspuns. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

2) Dezvoltaţi: a) (2a + 5b)(4c + 3d); b) (3a – 7b)(5c + 6d);c) (2√2

– + 3√5–)(3√6

– + 4√5–); d) (5√3

– – 4√5–)(7√2

– + 5√7–).

Rezolvare. a) (2a + 5b)(4c + 3d) = 2a(4c + 3d) + 5b(4c + 3d) = 8ac + 6ad + 20bc + 15bd.b) (3a – 7b)(5c + 6d) = 3a(5c + 6d) – 7b(5c + 6d) = 15ac + 18ad – 35bc – 42bd.c) (2√2

– + 3√5–)(3√6

– + 4√5–) = 2√2

–(3√6– + 4√5

–) + 3√5–(3√6

– + 4√5–) = 12√3

– + 8√10– + 9√30

– + 60.d) (5√3

– – 4√5–)(7√2

– + 5√7–) = 5√3

–(7√2– + 5√7

–) – 4√5–(7√2

– + 5√7–) = 35√6

– + 25√21– – 28√10

– – 20√35– .

Răspuns. a) 8ac + 6ad + 20bc + 15bd; b) 15ac + 18ad – 35bc – 42bd; c) 12√3– + 8√10

– + 9√30– + 60;

d) 35√6– + 25√21

– – 28√10– – 20√35

– .

Exerciţii rezo

lvate

1) Dezvoltaţi (a + b)2 cu ajutorul situaţiei ilustrate în desen: pătratul ABCD are A

B C

D

E G

F

H

M

a b

a b

a b

a

b

a

b

a

b

laturile de lungime a + b; pătratul AEMH are laturile de lungime a; pătratul FCGM are laturile de lungimi b; dreptunghiurile EBFM şi MGDH au dimensi-unile a şi b.

Rezolvare. Aria pătratului ABCD = aria pătratului AEMH + aria dreptun-ghiului EBFM + aria dreptunghiului MGDH + aria pătratului FCGM. Înlo-cuind se obţine (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.Răspuns. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2) Dezvoltaţi (a – b)2 aplicînd formula descoperită mai sus sau prin înmulţire.Rezolvare. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 sau(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) – b(a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.Răspuns. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Învăţăm

2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Pătratul sumei sau diferenţei.

Dezvoltaţi (a + b)(a – b) cu ajutorul situaţiei ilustrate în desen: dreptunghiul A D

B CE F

H

G

ab

bab

a – b

b

a – b

a – b

Ib

J

a – b

ABCD are dimensiunile a + b şi a – b; pătratul AEGJ are laturile de lungime a;pătratul FGHI are laturile de lungime b; dreptunghiurile BEFI şi CDJH au di-mensiunile b şi a – b.

Rezolvare. Deoarece ariile dreptunghiurilor BEFI şi CDJH sînt egale,aria dreptunghiului ABCD = aria pătratului AEGJ – aria pătratului FGHI.Înlocuind se obţine (a + b)(a – b) = a2 – b2.Răspuns. (a + b)(a – b) = a2 – b2.

Exerciţiu

rezolv

at

1. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Exerciţii rezo

lvate

3. (a + b)(a – b) = a2 – b2. Produsul sumei cu diferenţa este egal cu diferenţa pătratelor.


1. Examinaţi desenul şi scrieţi aria dreptunghiului ABCD în două variante.A D

G

H

E M 5b2a

2a3c

4d

3c 3c

4d 4d5b

5b

A D

G

H

E M 8y3x

3x

2z

5t

2z 2z

5t 5t8y

8y

A D

G

H

E M 6n5m

5m

4s

7u

4s 4s

7u 7u6n

6n

A D

G

H

E M 6q5e

5e

3r

8v

3r 3r

8v 8v6q

6q

a) b) c) d)

Răspuns.

2. Completaţi propoziţia: (a + b)(c + d) = ..................

3. Completaţi:

a) (9a + 4b)(2a + 3b) = 9a(2a + 3b) + 4b(..........) = ................................................. =

...a2 + ...ab + b2;

b) (3p + 5q)(4p + 7q) = 3p(4p + 7q) + 5q(..........) = ................................................. =

...p2 + ...pq + q2;

c) (8x + 5y)(4x + 3y) = 8x(4x + 3y) + 5y(..........) = ................................................... =

...x2 + ...xy + y2;

d) (9m + 7n)(8m + 11n) = 9m(8m + 11n) + 7n(........) = ................................................................... =

...m2 + ...mn + n2.

4. Dezvoltaţi: a) (2a + 5b)(3a + 4b); b) (8p + 3q)(9p + 2q); c) (7x + 6y)(4x + 5y); d) (6m + 13n)(2m + 7n).

Rezolvare.

Răspuns.

E x e r c i ţ i i


5. Dezvoltaţi:

a) (3a – 9b)(4a + 5b) = 3a(4a + 5b) – 9b(..........) = ................................................. =

...a2 – ...ab – b2;

b) (6p – 7q)(5p + 8q) = 6p(5p + 8q) – 7q(..........) = ................................................. =

...p2 + ...pq – q2;

c) (9x + 2y)(3x – 7y) = 9x(3x – 7y) + 2y(..........) = ................................................. =

...x2 + ...xy – y2;

d) (8m + 9n)(7m – 6n) = 8m(7m – 6n) + 9n(.........) = ............................................... =

...m2 + ...mn – n2.

6. Dezvoltaţi:a) (7a – 6b)(2a + 3b); b) (8p – 3q)(2p + 7q); c) (5x + 2y)(9x – 7y); d) (3m + 8n)(9m – 4n).

Rezolvare.

Răspuns.


7. Dezvoltaţi: a) (2a – 9b)(3a – 5b); b) (5p – 6q)(4p – 9q); c) (3x – 5y)(4x – 7y); d) (9m – 5n)(3m – 8n).

Rezolvare.

Răspuns.

8. Dezvoltaţi: a) (3√2– + 4√5

–)(2√6– + 5√5

–); b) (2√3– + 5√5

–)(4√5– + 7√7

–);c) (5√7

– + 2√2–)(8√2

– + 3√5–); d) (9√6

– + 8√5–)(4√6

– + 3√7–); e) (8√5

– + 5√3–)(7√3

– + 9√2–).

Rezolvare.

Răspuns.


9. Dezvoltaţi: a) (2√11–

+ 5√5–)(3√11

– – 2√5

–); b) (4√13–

+ 7√2–)(5√13

– – 6√2

–);c) (6√15

– + 5√7

–)(9√15–

– 4√7–); d) (10√17

– + 3√5

–)(12√17–

– 5√5–); e) (9√19

– + 8√6

–)(11√19–

– 7√6–).

Rezolvare.

Răspuns.

10. Dezvoltaţi: a) (9√11–

– 11√5–)(8√11

– – 3√5

–); b) (11√13–

– 5√2–)(10√13

– – 9√2

–);c) (13√15

– – 2√7

–)(4√15–

– 3√7–); d) (8√17

– – 5√5

–)(7√17–

– 9√5–); e) (12√19

– – 5√6

–)(10√19–

– 9√6–).

Rezolvare.

Răspuns.


11. Cu ajutorul desenului dezvoltaţi:a) (3a + 2b)2; b) (4a + 3b)2; c) (5a + 3b)2; d) (7a + 2b)2.A

B C

D

E G

F

H

M

3a 2b

3a

2b

3a

2b

3a

2b

3a

2b

3a

2b

A

B C

D

E G

F

H

M

4a 3b

4a

3b

4a

3b

4a

3b

4a

3b

4a

3b

A

B C

D

E G

F

H

M

5a 3b

5a

3b

5a

3b

5a

3b

5a

3b

5a

3b

A

B C

D

E G

F

H

M

7a 2b

7a

2b

7a

2b

7a

2b

7a

2b

7a

2b

Rezolvare.

Răspuns.

12. Completaţi:

a) (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x(........) + y(.........) = .......................... = .......................;

b) (2x + y)2 = (2x + y)(2x + y) = 2x(........) + y(.........) = .......................... = .........................;

c) (3x + 5y)2 = (3x + 5y)(3x + 5y) = 3x(.............) + 5y(.............) = .......................... = .........................;

d) (4x + 7y)2 = (4x + 7y)(4x + 7y) = 4x(.............) + 7y(.........) = .......................... = .........................

13. Completaţi formulele: a) (a + b)2 = ...........................................;

b) (a – b)2 = .............................................

14. Aplicînd formula pătratului sumei, completaţi:

a) (3x + y)2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = .................................;


b) (5x + 2y)2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

c) (6x + 7y)2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

d) (8x + 3y)2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

e) (5x + 7y)2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = ...............

15. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi:a) (2m + 7n)2; b) (9m + 5n)2; c) (7m + 3n)2; d) (9m + 8n)2; e) (6m + 5n)2; f) (8m + 3n)2.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi:a) (√3

– + 2)2; b) (√7– + 5)2; c) (√5

– + 6)2; d) (√11– + 8)2; e) (√13

– + 2)2; f) (√15– + 7)2.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi:a) (√3

– + √7–)2; b) (√2

– + √3–)2; c) (√5

– + √2–)2; d) (√11

– + √2–)2; e) (√13

– + √5–)2; f) (√17

– + √2–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi: a) (3√2– + 2√5

–)2; b) (2√6– + 3√7

–)2;c) (2√7

– + 5√2–)2; d) (3√6

– + 4√5–)2; e) (2√10

– + 3√3–)2; f) (3√17

– + 2√2–)2.

Rezolvare.

Răspuns.


19. Aplicînd formula pătratului sumei, calculaţi: a) 1012; b) 1 0022; c) 2 0032; d) 3 0042; e) 5 0062; f) 6 0022.

Rezolvare.

Răspuns.

20. Aplicînd formula pătratului diferenţei, completaţi:

a) (3x – 2y)2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ................;

b) (9x – 2y)2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

c) (7x – 6y)2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

d) (8x – 5y)2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ...............;

e) (8x – 7y)2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ...............


21. Aplicînd formula pătratului diferenţei, dezvoltaţi:a) (9m – 7n)2; b) (6m – 5n)2; c) (7m – 6n)2; d) (9m – 4n)2; e) (8m – 3n)2; f) (8m – 9n)2.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Aplicînd formula pătratului diferenţei, dezvoltaţi:a) (√3

– – 5)2; b) (√7– – 3)2; c) (√5

– – 4)2; d) (√11– – 2)2; e) (√13

– – 5)2; f) (√15– – 2)2.

Rezolvare.

Răspuns.


23. Aplicînd formula pătratului diferenţei, dezvoltaţi:a) (√5

– – √7–)2; b) (√6

– – √3–)2; c) (√7

– – √6–)2; d) (√11

– – √6–)2; e) (√14

– – √3–)2; f) (√17

– – √7–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

24. Aplicînd formula pătratului diferenţei, dezvoltaţi: a) (2√3– – 3√5

–)2; b) (5√6– – 2√7

–)2;c) (2√7

– – 5√3–)2; d) (7√6

– – 2√5–)2; e) (3√10

– – 2√3–)2; f) (3√15

– – 2√2–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

25. Aplicînd formula pătratului diferenţei, calculaţi: a) 9992; b) 9 9982; c) 9 9972; d) 9 9962.

Rezolvare.

Răspuns.


26. Completaţi:

a) (a + x)(a – x) = a(........) + x(.........) = .......................... = .......................;

b) (2a + 3x)(2a – 3x) = 2a(........) + 3x(.........) = .......................... = .......................;

c) (4a + 7x)(4a – 7x) = 4a(........) + 7x(.........) = .......................... = .......................;

d) (5a + 7x)(5a – 7x) = 5a(........) + 7x(.........) = .......................... = .......................;

e) (8a + 3x)(8a – 3x) = 8a(........) + 3x(.........) = .......................... = .......................

27. Aria dreptunghiului ABCD = aria pătratului AEGJ – aria pătratului FGHI. Dezvoltaţi:a) (3a + b)(3a – b); b) (4a + b)(4a – b); c) (5a + b)(5a – b); d) (6a + b)(6a – b);A D

B CE F

H

G

3ab

b3ab

3a – b

b

3a – b

3a – b

I b

J

3a – b

A D

B CE F

H

G

4ab

b4ab

4a – b

b

4a – b

4a – b

I b

J

4a – b

A D

B CE F

H

G

5ab

b5ab

5a – bb

5a – b

5a – b

I b

J

5a – b

A D

B CE F

H

G

6ab

b6ab

6a – b

b

6a – b

6a – b

I b

J

6a – b

Rezolvare.

Răspuns.

28. Completaţi formula: (a + b)(a – b) = .........................................................

29. Aplicînd formula produsului sumei cu diferenţa, completaţi:

a) (5x + 2)(5x – 2) = (...)2 – (...)2; b) (6x + 5)(6x – 5) = (...)2 – (...)2;

c) (7x + 3)(7x – 3) = (...)2 – (...)2; d) (8x + 3)(8x – 3) = (...)2 – (...)2.


30. Aplicînd formula produsului sumei cu diferenţa, efectuaţi:a) (5x + 6y)(5x – 6y); b) (9x + 7y)(9x – 7y); c) (7x + 4y)(7x – 4y); d) (8x + 5y)(8x – 5y).

Rezolvare.

Răspuns.

31. Aplicînd formula produsului sumei cu diferenţa, efectuaţi:a) (2√3

– + 1)(2√3– – 1); b) (3√5

– + 2)(3√5– – 2); c) (4√6

– + 5)(4√6– – 5); d) (7√5

– + 8)(7√5– – 8).

Rezolvare.

Răspuns.


32. Aplicînd formula produsului sumei cu diferenţa, efectuaţi:a) (2√6

– + 3√3–)(2√6

– – 3√3–); b) (4√7

– + 2√5–)(4√7

– – 2√5–);

c) (6√6– + 5√2

–)(6√6– – 5√2

–); d) (2√15– + 5√3

–)(2√15– – 5√3

–); e) (3√11– + 7√2

–)(3√11– – 7√2

–).

Rezolvare.

Răspuns.

33. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi:a) (√x– + √y–)2; b) (√a– + √b

–)2; c) (√p– + √q–)2; d) (√r– + √s–)2; e) (√u– + √v–)2; f) (√z– + √t–)2.

Rezolvare.

Răspuns.


34. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi:a) (√x– – √y–)2; b) (√a– – √b

–)2; c) (√p– – √q–)2; d) (√r– – √s–)2; e) (√u– – √v–)2; f) (√z– – √t–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

35. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi: a) (√x– + 3√y–)2; b) (5√a– + √b

–)2; c) (√p– + 7√q–)2; d) (√r– + 4√s–)2; e) (6√u– + √v–)2; f) (√z– + 8√t–)2.

Rezolvare.

Răspuns.


36. Aplicînd formula pătratului sumei, dezvoltaţi: a) (2√x– – 3√y–)2; b) (5√a– – 2√b–)2;

c) (3√p– – 7√q–)2; d) (3√r– – 4√s–)2; e) (6√u– – 5√v–)2; f) (7√z– – 3√t–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

37. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (√x– + √y–)(√x– – √y–); b) (√a– + √b–)(√a– – √b

–);c) (√p– + √q–)((√p– – √q–); d) (√r– + √s–)((√r– – √s–); e) (√u– + √v–)(√u– – √v–).

Rezolvare.

Răspuns.


38. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (2√x– + √y–)(2√x– – √y–); b) (√a– + 3√b–)(√a– – 3√b

–);c) (5√p– + √q–)((5√p– – √q–); d) (√r– + 7√s–)((√r– – 7√s–); e) (6√u– + √v–)(6√u– – √v–).

Rezolvare.

Răspuns.

39. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (5√x– + 2√y–)(5√x– – 2√y–); b) (7√a– + 3√b–)(6√a– – 3√b

–);c) (5√p– + 6√q–)(5√p– – 6√q–); d) (8√r– + 9√s–)(8√r– – 8√s–);e) (10√u– + 11√v–)(10√u– – 11√v–); f) (5√z– + 12√t–)(5√z– – 12√t–).

Rezolvare.

Răspuns.


40. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (2a + 3b)2 + (2a + 3b)(2a – 3b); b) (5x + 2y)2 + (5x + 2y)(5x – 2y);c) (6m + 5n)2 + (6m + 5n)(6m – 5n); d) (7p + 2q)2 + (7p + 2q)(7p – 2q);e) (8r + 3s)2 + (8r + 3s)(8r – 3s); f) (11c + 9d)2 + (11c + 9d)(11c – 9d).

Rezolvare.

Răspuns.

41. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (5a + 4b)2 – (5a + 4b)(5a – 4b); b) (8x + 5y)2 – (8x + 5y)(8x – 5y);c) (6m + 7n)2 – (6m + 7n)(6m – 7n); d) (9p + 5q)2 – (9p + 5q)(9p – 5q);e) (10r + 3s)2 – (10r + 3s)(10r – 3s); f) (12c + 7d)2 + (12c + 7d)(11c – 7d).

Rezolvare.

Răspuns.


42. Aduceţi la forma cea mai simplă: (16a4 + 81b4)(4a2 + 9b2)(2a + 3b)(2a – 3b).

Rezolvare.

Răspuns.

43. Aduceţi la forma cea mai simplă: (25a2 + 64b2)2 – (25a2 + 64b2)(5a + 8b)(5a – 8b).

Rezolvare.

Răspuns.

44. Aduceţi la forma cea mai simplă: (x8 + y8)(x4 + y4)(x2 + y2)(x + y)(√x– + √y–)(√x– – √y–).

Rezolvare.

Răspuns.

45. Aduceţi la forma cea mai simplă: [(16x4 + 81y4)(4x2 + 9y2)(2x + 3y)(√2x

– + √3y

–)(√2x

– – √3y

–)]2 – (16x4 – 81y4)2.

Rezolvare.

Răspuns.

46. Aduceţi la forma cea mai simplă: 10 + 2√21––

√ · 10 – 2√21––

√ .

Rezolvare.

Răspuns.


47. Dezvoltaţi (a + b + c)2 cu ajutorul ariilor pătratelor şi dreptunghiurilor A

B C

D

E

I

H

K

M

a b

a c

a b

a

c

a

c

a

c

c

a

a b

b

c

c

b b b b

c

F

G

J

L

NPQ

în care se descompune pătratul ABCD în desen:

Rezolvare.

Răspuns.

48. Aduceţi la forma cea mai simplă: (x + y)(√x – 7– + √y – 7

–)(√x – 7–

– √y – 7–

).

Rezolvare.

Răspuns.

49. Aduceţi la forma cea mai simplă: (x – y)(x2 + xy + y2).Fără să calculaţi scrieţi rezultatul înmulţirii: (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3).

Rezolvare.

Răspuns.

50. Aduceţi la forma cea mai simplă: (x + y)(x2 – xy + y2).Fără să calculaţi scrieţi rezultatul înmulţirii: (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3).


Rezolvare.

Răspuns.

51. Dezvoltaţi (a + b + c)2 prin înmulţire.

Rezolvare.

Răspuns.

52. Scrieţi pătratul numărului natural de ordinul doi, cu cifra zecilor x şi cifra unităţilor y.

Răspuns.

53. Aflaţi cifra zecilor pătratului unui număr de două cifre cu ultima cifră 7.Rezolvare.

Răspuns.

54. Comparaţi numerele a2 + b2 şi 2ab.Rezolvare.

Răspuns.


55. Comparaţi numerele 5a2 + 3b2 şi 2√15–

ab.

Rezolvare.

Răspuns.

56. Numerele x şi y nu sînt mai mici decît 0. Comparaţi x + y cu 2√xy– .

Rezolvare.

Răspuns.

57. Comparaţi numerele a2 + b2 + c2 şi ab + bc + ac.

Rezolvare.

Răspuns.


º Descompunerea în factori

1) Aplicînd ab + ac = a(b + c) sau ab – ac = a(b – c), scrieţi ca produs de expresii algebrice:a) 7a2b + 14ab2; b) 8a3b3 – 6ab2; c) 9√15

– + 24√6

–; d) 28√21

– – 18√35

–.

Rezolvare. a) 7a2b + 14ab2 = 7ab(a + 2b). b) 8a3b3 – 6ab2 = 2ab2(4a2b – 3).c) 9√15

– + 24√6– = 3√3

–(3√5– + 8√2

–). d) 28√21–

– 18√35–

= 2√7–

(14√3–

– 9√5–

).Răspuns. a) 7ab(a + b). b) 8a3b3 – 6ab2 = 2ab2(4a2b – 3). c) 3√3

–(3√5

– + 8√2

–). d) 2√7

–(14√3

– – 9√5

–).

2) Scrieţi ca produs de expresii algebrice: a) 3ab + 6ac + 12ac; b) 15√70–

+ 5√14–

+ 20√21–

.Rezolvare. a) 3ab + 6ac + 12ad = 3a(b + 2c + 4d). b) 15√70

– + 5√14–

+ 20√21–

= 5√7–

(3√10–

+ √2–

+ 4√3–

).Răspuns. a) 3a(b + 2c + 4d); b) 5√7

–(3√10

– + √2

– + 4√3

–).

3) Scrieţi ca produs de expresii algebrice:a) 5a(2x + 5y) + 7b(2x + 5y); b) 2m(3a + 2b + 7) + 5n(3a + 2b + 7) – (3a + 2b + 7).

Rezolvare. a) 5a(2x + 5y) + 7b(2x + 5y) = (2x + 5y)(5a + 7b).b) 2m(3a + 2b + 7) + 5n(3a + 2b + 7) – (3a + 2b + 7) = (3a + 2b + 7)(2m + 5n – 1).Răspuns. a) (2x + 5y)(5a + 7b); b) (3a + 2b + 7)(2m + 5n – 1).

Învăţăm

l Descompunerea în factori a unei expresii algebrice constă în scrierea unei expresii algebrice ca produs de expresii algebrice.l Metoda factorului comun. Relaţiile a(b + c) = ab + ac şi a(b – c) = ab – ac definesc distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere, iar relaţiile ab + ac = a(b + c) sau ab – ac = a(b – c) definesc metoda factorului comun.l Metoda grupării. ac + ad + bc + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d).

1) Descompuneţi în factori: a) 3x2(5x – 2y) + 2xy(5x – 2y); b) 2a(3x – 8a)2 – 4a2(3x – 8a).Rezolvare. a) 3x2(5x – 2y) + 2xy(5x – 2y) = x(5x – 2y)(3x + 2y).b) 2a(3x – 8a)2 – 4a2(3x – 8a) = 2a(3x – 8a)(3x – 8a – 2a) = 2a(3x – 8a)(3x – 10a).Răspuns. a) x(5x – 2y)(3x + 2y); b) 2a(3x – 8a)(3x – 10a).

2) Descompuneţi în factori: a) ax + 2ay + bx + 2by; b) 3mx – 5my + 3nx – 5ny.Rezolvare. a) ax + 2ay + bx + 2by = a(x + 2y) + b(x + 2y) = (x + 2y)(a + b).b) 3mx – 5my + 3nx – 5ny = m(3x – 5y) + n(3x – 5y) = (3x – 5y)(m + n).Răspuns. a) (x + 2y)(a + b); b) (3x – 5y)(m + n).

3) Descompuneţi în factori: a) 5a3 + 2a2 + a + 5a2 + 2a + 1; b) 3x2y – 4xy2 + 5xy + 3x – 4y + 5.Rezolvare. a) 5a3 + 2a2 + a + 5a2 + 2a + 1 = a(5a2 + 2a + 1) + (5a2 + 2a + 1) = (5a2 + 2a + 1)(a + 1).b) 3x2y – 4xy2 + 5xy + 3x – 4y + 5 = xy(3x – 4y + 5) + (3x – 4y + 5) = (3x – 4y + 5)(xy + 1).Răspuns. a) (5a2 + 2a + 1)(a + 1); b) (3x – 4y + 5)(xy + 1).

4) Descompuneţi în factori: a) x2 + 2xy + 3xy + 6y2; b) x2 – 5xy + 2xy – 10y2.Rezolvare. a) x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y) = (x + 2y)(x + 3y).b) x2 – 5xy + 2xy – 10y2 = x(x – 5y) + 2y(x – 5y) = (x – 5y)(x + 2y).Răspuns. a) (x + 2y)(x + 3y); b) (x – 5y)(x + 2y).

5) Descompuneţi în factori: a) x2 + 7x + 12; b) x2 – 8x + 15; c) 6x2 + 5xy + y2.Rezolvare. a) x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).b) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5 (x – 3) = (x – 3)(x – 5).c) 6x2 + 5xy + y2 = 6x2 + 3xy + 2xy + y2 = 3x(2x + y) + y(2x + y) = (2x + y)(3x + y).Răspuns. a) (x + 3)(x + 4); b) (x – 3)(x – 5); c) (2x + y)(3x + y).

Exerciţii rezo

lvate

Exerciţii rezo

lvate


E x e r c i ţ i i

1. Completaţi:

a) 3ax + 9ay + 6az = 3a[3ax : (3a) + ............. + .............] = 3a(x + ......................);

b) 8b3x + 6b2y + 4b2z = 2b2[8b3x : (2b2) + ............... + ..............] = 2b2(4bx + ....................);

c) 10a3bx + 15a3b2y + 5a3b3z = 5a3b[10a3bx : (5a3b) + .............. + ..............] =

5a3b(2x + .............................);

d) 4ac3x + 6ac5y + 2ac6z = 2ac3[4ac3x : (2ac3) + ................... + .................] =

2ac3(2x + ...........................).

2. Completaţi relaţiile ce definesc metoda factorului comun:

a) ab + ac = ...............; b) ab – ac = ................

3. Descompuneţi în factori: a) 5ax + 10bx; b) 6am + 3bm; c) 7dx + 14dy; d) 8na + 6nb; e) 9ap + 12aq; f) 11bx + 22by.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Descompuneţi în factori:a) 72mx – 56my; b) 70xy – 112xz; c) 28an – 84bn; d) 24bm – 15bn; e) 150pd – 225pe; f) 168qr – 56qs.

Rezolvare.

Răspuns.


Răspuns.

5. Completaţi propoziţiile conform modelului.

a) Expresiile 25a5b8c15 şi –5a6c7 au un factor comun –5a5c7.

b) Expresiile 32m6n4p9 şi –8m5p10 au un factor comun ...

c) Expresiile 72x5y9z7 şi –9x5z8 au un factor comun ...

d) Expresiile 56r8s5t12 şi –7r9s3 au un factor comun ...

6. Descompuneţi în factori raţionali: a) 35m3n + 45mn3; b) 39a4b + 52ab5;c) 84x5y5 + 36x2y13; d) 15s8t4 – 35s3t11; e) 56c6d5 – 36c2d13; f) 54p13q8 – 45p5q14.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Descompuneţi în factori raţionali: a) 14am + 63bm + 35cm; b) 27mx + 45nx + 63mx;c) 54xy + 48xz + 66tx; d) 30my + 45ny + 135py; e) 45nx + 115ny + 70nz; f) 96bq + 40cq + 88dq.Rezolvare.


Răspuns.

8. Descompuneţi în factori raţionali: a) 36am – 27bm + 45cm; b) 80mx – 144nx – 160mx;c) 72xy + 56xz – 96tx; d) 112my – 98ny + 70py; e) 140nx – 63ny + 217nz; f) 99my – 81ny – 72py.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Descompuneţi în factori raţionali: a) 35m3n + 63mn3; b) 39a4b + 52ab6;c) 84x5y5 + 36y8; d) 135s5t4 – 315s3t11); e) 112c6d5 – 72c2d13; f) 72p13q8 – 60p5q14.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Descompuneţi în factori:a) 3√10

– + 18√3

–; b) 8√21

– – 6√7

–; c) 5√14

– + 30√10

–; d) 11√35

– – 99√30

–.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Descompuneţi în factori:a) 35√42

– – 45√21

–; b) 51√17

– – 34√51

–; c) 28√62

– – 56√93

–; d) 84√19

– – 21√57

–.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Descompuneţi în factori raţionali: a) 7a(2x – y) + 4b(2x – y); b) 8x(4m – n) + 5y(4m – n);c) 5m(9p – 4q) + 9n(9p – 4q); d) 12d(8r – 5s) + 7e(8r – 5s).

Rezolvare.

Răspuns.


13. Descompuneţi în factori raţionali: a) 8a(4x – 5y) – 3b(4x – 5y); b) 7x(4m – 7n) – 6y(4m – 7n);c) 2m(10p – 3q) – 3n(10p – 3q); d) 5d(11r – 3s) – 7e(11r – 3s).

Rezolvare.

Răspuns.

14. Descompuneţi în factori raţionali:a) 13a(3x – 2y + 5z) + 8b(3x – 2y + 5z); b) 6x(7m – 3n – 2p) + 5y(7m – 3n – 2p);c) 7m(8p – 3q – 4r) – 2n(8p – 3q – 4r); d) 2d(7r – 2s – 6t) – 9e(7r – 2s – 6t).

Rezolvare.

Răspuns.


15. Descompuneţi în factori raţionali:a) ac + 2ad + bc + 2bd; b) 3ac + ad + 3bc + bd; c) 3ac + 4ad + 3bc + 4bd; d) 2ac + 5ad + 2bc + 5bd.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Descompuneţi în factori raţionali:a) ax – 5ay + bx – 5by; b) 7am – an + 7bm – bn; c) 3xy – 7xz + 3ty – 7tz; d) 8pq – 5pr + 8sq – 5st.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Descompuneţi în factori raţionali: a) x3 + x2 + x + 1; b) a3 – a2 + a – 1; c) m3 + 5m2 + m + 5; d) 7p3 – p2 + 7p – 1.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Descompuneţi în factori raţionali:a) x3 + 7x2y + x2 + 7xy; b) 2a3 – 3a2b + 2a2 – 3ab; c) mx2 + mxy + nxy + ny2; d) 2ax2 – axy + 2bxy – by2.

Rezolvare.

Răspuns.


19. Descompuneţi în factori raţionali: 8a3b3(8x – 3y + 4) + 5a2b4(8x – 3y + 4).

Rezolvare.

Răspuns.

20. Descompuneţi în factori raţionali: 9m5n7(9x – 5y + 2)2 + 6m5n9(9x – 5y + 2).

Rezolvare.

Răspuns.

21. Descompuneţi în factori raţionali: a) 8b5 + 5b4 + 2b3 + 8b2 + 5b + 2; b) 6x4 – 5x3y + 12x2y – 10xy2.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Descompuneţi în factori raţionali: a) x2 + 9x + 14; b) x2 – 12x + 27; c) x3 – 1.

Rezolvare.

Răspuns.


» Descompunerea în factori prin restrîngerea pătratului sumei sau diferenţei a două expresii

1) Aplicînd a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 sau a2 – 2ab + b2 = (a – b)2, completaţi: a) 9x2 + .... + 4y2 = (... + ...)2; b) 25m4 – 70m2n + ... = (... – ...)2.

Rezolvare. a) 9x2 + .... + 4y2 = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = (3x + 2y)2.b) 25m4 – 70m2n + ... = (5m2)2 – 2(5m)(7n) + (7n)2 = (5m2 – 7n)2.Răspuns. a) (3x + 2y)2; b) (5m2 – 7n)2.

2) Aplicînd a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 sau a2 – 2ab + b2 = (a – b)2, descompuneţi în factori raţionali:a) 16x2 + 8xy + y2; b) 49a2 – 14ay + y2.

Rezolvare. a) 16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2(4x)(y) + (y)2 = (4x + y)2.b) 49a2 – 14ay + y2 = (7a)2 – 2(7a)(y) + (y)2 = (7a – y)2. Răspuns. a) (4x + y)2; b) (7a – y)2.

3) Descompuneţi în factori raţionali: a) (4x + 3y)2 + 8(4x + 3y) + 16; b) (5x – 3y)2 – 6y(5x – 3y) + 9y2.Rezolvare. a) (4x + 3y)2 + 8(4x + 3y) + 16 = (4x + 3y)2 + 2(4x + 3y)(4) + 42 = [(4x + 3y) + 4]2 = (4x + 3y + 4)2.b) (5x – 3y)2 – 6y(5x – 3y) + 9y2 = (5x – 3y)2 – 2(5x – 3y)(3y) + (3y)2 = [(5x – 3y) – 3y]2 = (5x – 6y)2.Răspuns. a) (4x + 3y + 4)2; b) (5x – 6y)2.

4) Scrieţi sub formă de pătrat al unei sume sau diferenţe: a) 9 + 4√5–; b) 16 – 6√7

–.Rezolvare. a) 9 + 4√5

– = 9 + 2√4 · 5–

= 4 + 2√4 · 5–

+ 5 = (2)2 + 2√22 · 5–

+ (√5–

)2 = (2 + √5–

)2.b) 16 – 6√7

– = 16 – 2√9 · 7–

= 9 – 2√9 · 7–

+ 7 = (3)2 – 2√32 · 7–

+ (√7–

)2 = (3 – √7–

)2.Răspuns. a) (2 + √5

–)2; b) (3 – √7

–)2.

5) Scrieţi sub formă de pătrat al unei sume sau diferenţe: a) 8 + 2√15–; b) 8 – 2√33

– .Rezolvare. a) 8 + 2√15

– = 8 + 2√3 · 5–

= 3 + 2√3 · 5–

+ 5 = (√3–)2 + 2√3 · 5

– + (√5

–)2 = (√3

– + √5

–)2.

b) 8 – 2√33– = 8 – 2√11 · 3

– = 11 – 2√11 · 3

– + 3 = (√11

–)2 – 2√11 · 3

– + (√3

–)2 = (√11

– – √3

–)2.

Răspuns. a) (√3–

+ √5–

)2; b) (√11–

– √3–

)2.

Învăţăm

Restrîngerea pătratului sumei sau diferenţei a două expresii. Se aplică una dintre formulele:a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2.

Expresiile raţionale. Conform cunoştinţelor din acest moment, expresiile raţionale nu conţin variabile sub radical. Dacă nu se precizează că se cere descompunerea în factori raţionali, atunci, aumite exerciţii de descompunere se pot continua cu descompunerea în factori iraţionali.

1) Descompuneţi în factori: a) a + 2√a– + 1; b) x – 2√xy– + y.Rezolvare. a) a + 2√a– + 1 = (√a–)2 + 2(√a–)(1) + (1)2 = (√a– + 1)2.b) x – 2√xy– + y = (√x–)2 – 2√x– · √y– + (√y–)2 = (√x– – √y–)2.Răspuns. a) (√a– + 1)2; b) (√x– – √y–)2.

2) Aflaţi cifra zecilor pătratului unui număr întreg cu ultima cifră 5.Rezolvare. Un număr întreg cu ultima cifră 5 este de forma 10a + 5, unde a este un număr întreg. Atunci

pătratul lui este de forma (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(10a + 1) + 25 = 100m + 25, unde m este număr natural. Rezultă că cifra zecilor ultimului număr este 2.

Răspuns. Cifra zecilor pătratului numărului întreg cu cifra unităţilor 5 este 2.

3) Calculaţi 8 – 2√7––

√11 + 5√7– – √ – 3 – √7

–( )2007

.Rezolvare. 8 – 2√7

– = (√7– – 1)2. 8 – 2√7

––√11 + 5√7

– – √ = 2 + √7–. Se obţine (–1)2007.

Răspuns. –1.

Exerciţii rezo

lvate

Extensie


E x e r c i ţ i i

1. Completaţi formulele:a) a2 + 2ab + b2 = ...............;b) a2 – 2ab + b2 = ...............

2. Restrîngeţi pătratul unei sume, completînd:

a) x2 + 6xy + 9y2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = ...........................;

b) 16m2 + 8my + y2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = .......................;

c) x2 + 10bx + 25b2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = .......................;

d) p2 + 14pq + 49q2 = (...)2 + 2(...)(...) + (...)2 = .......................

3. Completaţi şi restrîngeţi pătratul unei sume:

a) 36x2 + ..... + 49y2 = ...........................................................;

b) 25a2 + .... + 16b2 = ............................................................;

c) 25m2 + .... + 64n2 = ...........................................................;

d) 81p2 + .... + 100q2 = ...........................................................

4. Restrîngeţi pătratul unei diferenţe, completînd:

a) x2 – 12xy + 36y2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = .....................................................;

b) 4a2 – 20ab + 25b2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ..................................................;

c) 9b2 – 42ab + 49x2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..;

d) 4p2 – 36pq + 81q2 = (...)2 – 2(...)(...) + (...)2 = ....................................................

5. Completaţi şi restrîngeţi pătratul unei diferenţe:

a) 36x2 – ..... + 121y2 = ........................................................;

b) 25a2 – .... + 196b2 = .........................................................;

c) 4m2 – .... + 225n2 = ...........................................................;

d) 81p2 – .... + 121q2 = ...........................................................

6. Descompuneţi în factori: a) 4m2 + 4m + 1; b) n2 + 6n + 9; c) a2 + 10a + 25; d) 16b2 + 8b + 1; e) 4m2 + 4mn + n2; f) x2 + 14x + 49.

Rezolvare.

Răspuns.


7. Descompuneţi în factori: a) 16a2 – 8a + 1; b) n2 – 12n + 36; c) 25a2 – 10a + 1; d) b2 – 16b + 64; e) 9p2 – 6pq + q2; f) 100x2 – 20x + 1.

Rezolvare.

Răspuns.

8. Descompuneţi în factori:a) 16m2x2 + 8mx + 1; b) 16x2 + 56xy + 49y2; c) 64a2 + 48am + 9m2; d) 81c2 + 36cd + 4d2.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Descompuneţi în factori:a) 100p2 – 20px + x2; b) 36x2 – 60xy + 25y2; c) 64m2 – 48mn + 9n2; d) 121a2 – 44ab + 4b2.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Procesdaţi ca în modelul de rezolvare.Model. 3 + 2√15

– + 5 = (√3

–)2 + 2(√3

–)(√5

–) + (√5

–)2 = (√3

– + √5

–)2;

a) 1 + 2√2–

+ 2; b) 5 + 2√35–

+ 7; c) 6 + 2√42–

+ 7; d) 3 + 2√21–

+ 7; e) 1 + 2√17–

+ 17; f) 1 + 2√19–

+ 19.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Aflaţi pătratul numărului:a) 4 + 2√3

–; b) 27 + 2√26

–; c) 31 + 2√30

–; d) 23 + 2√22

–; e) 24 + 2√23

–; f) 30 + 2√29

–.

Rezolvare.

Răspuns.


–; b) 30 + 4√26

–; c) 34 + 4√30

–; d) 26 + 4√22

–; e) 27 + 4√23

–; f) 33 + 4√29

–.

Rezolvare.

Răspuns.


13. Procedaţi ca în modelul de rezolvare.Model. 5 – 2√15

– + 3 = (√3

–)2 – 2(√3

–)(√5

–) + (√5

–)2 = (√5

– – √3

–)2;

a) 2 – 2√2–

+ 1; b) 7 – 2√35–

+ 5; c) 7 – 2√42– + 6; d) 7 – 2√21

– + 3; e) 17 – 2√17–

+ 1; f) 19 – 2√19– + 1.

Rezolvare.

Răspuns.

14. Aflaţi pătratul numărului:a) 4 – 2√3

–; b) 18 – 2√17

–; c) 20 – 2√19

–; d) 23 – 2√22

–; e) 24 – 2√23

–; f) 30 – 2√29

–.

Rezolvare.

Răspuns.


15. Aflaţi pătratul numărului:a) 12 – 6√3

–; b) 26 – 6√17

–; c) 28 – 6√19

–; d) 31 – 6√22

–; e) 32 – 2√23

–; f) 38 – 6√29

–.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Descompuneţi în expresii iraţionale:a) x + 2√x– + 1; b) y + 2√y– + 1; c) c + 2√c– + 1; d) d + 2√d

– + 1; e) m + 2√m– + 1; f) n + 2√n– + 1.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Descompuneţi în expresii iraţionale: a) x – 2√x– + 1; b) y – 2√y– + 1;c) c – 2√c– + 1; d) d – 2√d

– + 1; e) m – 2√m– + 1; f) n – 2√n– + 1; g) p – 2√p– + 1; h) q – 2√q– + 1.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Descompuneţi: a) a + 2√ab– + b; b) 4x – 12√xy– + 9y.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Aduceţi la forma cea mai simplă: 10 – 2√21––

√ – 8 – 2√15–√ .

Rezolvare.

Răspuns.



√ + √5–

+ 11 – 5√7–√ .

Rezolvare.

Răspuns.

21. Aflaţi ce paritate are cifra zecilor pătratului unui număr întreg cu cifra unităţilor 3.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Descompuneţi: (4a2 + 4ax)2 + 2x2(4a2 + 4ax) + x4.

Rezolvare.

Răspuns.

23. Descompuneţi: 20 – 6√11–√ + 39 –11√11

– – 6 + √11–√( )2008

.

Rezolvare.

Răspuns.


¼ Descompunerea în factori a diferenţei pătratelor a două expresii algebrice

1) Aplicînd a2 – b2 = (a + b)(a – b), completaţi 25x2 – y2 = (...)2 – (...)2 = (... + ...)(... – ...).Rezolvare. 25x2 – y2 = (5x)2 – (y)2 = (5x + y)(5x – y).Răspuns. (5x + y)(5x – y).

2) Calculaţi rapid: a) 3512 – 3492; b) 5742 – 4362; c) 995 · 1 005.Rezolvare. a) 3512 – 3492 = (351 + 349)(351 – 349) = 700 · 2 = 1 400. b) 5742 – 4362 = (574 + 436)(574 – 436) = 1 000 · 138 = 138 000.c) 995 · 1 005 = (1 000 – 5)(1 000 + 5) = 1 0002 – 52 = 1 000 000 – 25 = 999 975.Răspuns. a) 100; b) 138 000; c) 999 975.

3) Descompuneţi în factori raţionali: a) 16x2 – 9b2; b) 17a4 – 8b2; c) (3a + 5b)2 – 36b2.Rezolvare. a) 16x2 – 9b2 = (4x)2 – (3b)2 = (4x + 3b)(4x – 3b).b) 17a4 – 8b2 = (√17

–a2)2 – (2√2–b)2 = (√17

–a2 + 2√2–b)(√17

–a2 – 2√2–b).

c) (3a + 5b)2 – 36b2 = (3a + 5b)2 – (6b)2 = (3a + 5b + 6b)(3a + 5b – 6b) = (3a + 11b)(3a – b).Răspuns. a) (4x + 3b)(4x – 3b); b) (√17

–a2 + 2√2–b)(√17

–a2 – 2√2–b); c) (3a + 11b)(3a – b).

4) Descompuneţi în factori raţionali 16x4 – 81y4.Rezolvare. 16x4 – 81y4 = (4x2)2 – (9y2)2 = (4x2 + 9y2)(4x2 – 9y2) = (4x2 + 9y2)(2x + 3y)(2x – 3y).Răspuns. (4x2 + 9y2)(2x + 3y)(2x – 3y)

5) Descompuneţi în factori raţionali: a) (6x + 7y)2 – (4x – 9y)2; b) (9x – 2y)2 – 4(5x + 7y)2.Rezolvare. a) (6x + 7y)2 – (4x – 9y)2 = (6x + 7y + 4x – 9y)[6x + 7y – (4x – 9y)] = (10x – 2y)(2x + 16y) = 2(5x

– y)(2x + 16y) = 4(5x – y)(x + 8y). b) (9x – 2y)2 – 4(5x + 7y)2 = (9x – 2y)2 – [2(5x + 7y)]2 = (9x – 2y)2 – (10x + 14y)2 = (9x – 2y + 10x + 14y)

[9x – 2y – (10x + 14y)] = (19x + 12y)(–x – 16y) = – (19x + 12y)(x + 16y).Răspuns. a) 4(5x – y)(x + 8y); b) – (19x + 12y)(x + 16y).

6) Descompuneţi în factori raţionali: a) 9(5x + 3y)2 – 4y2(2x – 5)2; b) 4a2(7x + 2b)2 – 9b2(3x – 2a)2.Rezolvare. a) 9(5x + 3y)2 – 4y2(2x – 5)2 = [3(5x + 3y)]2 – [2y(2x – 5)]2 = (15x + 9y)2 – (4xy – 10y)2 = (15x +

9y + 4xy – 10y)[9x – 2y – (4xy – 10y)] = (15x + 4xy – y)(15x + 9y – 4xy + 10y) = (15x + 4xy – y)(15x – 4xy + 19y).b) 4a2(7x + 2b)2 – 9b2(3x – 2a)2 = [2a(7x + 2b)]2 – [3b(3x – 2a)]2 = (14ax + 4ab)2 – (9bx – 6ab)2 = (14ax +

4ab + 9bx – 6ab)(14ax + 4ab – 9bx + 6ab) = (14ax + 9bx – 2ab)(14ax – 9bx + 10ab).Răspuns. a) (15x + 4xy – y)(15x – 4xy + 19y); b) (14ax + 9bx – 2ab)(14ax – 9bx + 10ab).Învăţăm

Diferenţa pătratelor. Se aplică formula a2 – b2 = (a + b)(a – b).

1) Dacă x şi y sînt numere nenegative, descompuneţi în factori x2 – y2.Rezolvare. x2 – y2 = (x + y)(x – y) = (x + y)[(√x–)2 – (√y–)2] = (x + y)(√x– + √y–)(√x– – √y–).Răspuns. (x + y)(√x– + √y–)(√x– – √y–).

2) Descompuneţi în factori raţionali x4 + 9y4.Rezolvare. Se adună şi se scade 6x2y2. x4 + 9y4 + 6x2y2 – 6x2y2 = (x2 + 3y2)2 – 6x2y2 = (x2 + 3y2 + √6

–xy) (x2 + 3y2 – √6

–xy). Răspuns. (x2 + 3y2 + √6–xy) (x2 + 3y2 – √6

–xy).3) Descompuneţi în factori raţionali 4a2b2 + 12abc + 9c2 – 16a2.

Rezolvare. 4a2b2 + 12abc + 9c2 – 16a2 = (2ab + 3c)2 – 16a2 = (2ab + 3c + 4a)(2ab + 3c – 4a).Răspuns. (2ab + 3c + 4a)(2ab + 3c – 4a).

4) Arătaţi că numerele 3 + √5– şi 3 – √5

– verifică aceeaşi ecuaţie cu coeficienţi întregi.Rezolvare. Fie 3 + √5

– = x. Atunci √5– = x – 3 sau 5 = (x – 3)2 sau 5 = x2 – 6x + 9 sau x2 – 6x + 4 = 0 etc.

Răspuns. 3 + √5– şi 3 – √5

– verifică ecuaţia cu coeficienţi întregi x2 – 6x + 4 = 0.

Exerciţii rezo

lvate

Extensie


E x e r c i ţ i i

1. Completaţi formula diferenţei pătratelor: a2 – b2 = ..............................

2. Descompuneţi în factori raţionali:a) t2 – 1; b) m2 – 4; c) p2 – 9; d) c2 – 16; e) v2 – 25; f) b2 – 36; g) u2 – 64; h) n2 – 49.

Rezolvare.

Răspuns.

3. Aplicînd diferenţa pătratelor, calculaţi rapid:a) 5632 – 4372; b) 7542 – 2462; c) 2822 – 7182; d) 4262 – 5742; e) 3232 – 6772; f) 6712 – 3192.

Rezolvare.

Răspuns.


4. Aplicînd diferenţa pătratelor, calculaţi rapid:a) 5632 – 4632; b) 7172 – 6172; c) 9472 – 8472; d) 6262 – 5262; e) 4242 – 3242; f) 3582 – 2582.

Rezolvare.

Răspuns.

5. Descompuneţi în factori raţionali:a) 36x2 – 25y2; b) 25a2 – 4b2; c) 4m2 – 225n2; d) 81p2 – 16q2; e) 64r2 – 49s2; f) 81x2 – 64t2.

Rezolvare.

Răspuns.


6. Descompuneţi în factori raţionali: a) 100x4 – 81y2; b) 144a2 – 25b10;c) 64m6 – 225n4; d) 256x8 – 81y2; e) 441p10 – 25q4; f) 324r12 – 121s2.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Descompuneţi în factori raţionali: a) (2a + 5b)2 – 5; b) (7m + 3n)2 – 8;c) (6x + 7y)2 – 10; d) (12r + 5s)2 – 7; e) (9p + 8q)2 – 11; f) (27t + 11u)2 – 13.

Rezolvare.

Răspuns.


8. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: a) (7a + 4b)2 – 4a2; b) (5m + 9n)2 – 16n2;c) (6x + 7y)2 – 25x2; d) (12r + 5s)2 – 49r2; e) (9p + 8q)2 – 64p2; f) (27t + 11u)2 – 81u2.

Rezolvare.

Răspuns.

9. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: a) (10a + 11b)2 – (4a + 12b)2; b) (25m + 43n)2 – (9m + 16n)2; c) (45x + 36y)2 – (21x + 57y)2; d) (81r + 76s)2 – (15r + 19s)2; e) (77p + 48q)2 – (61p + 26q)2; f) (107t + 99u)2 – (88t + 53u)2.

Rezolvare.

Răspuns.


10. Descompuneţi în factori raţionali: a) (118a + 3√2

–b)2 – (15a – 7√2–b)2; b) (27√5

–m – 41n)2 – (59√5–m – 72n)2;

c) (17√7–x – 83y)2 – (9√7

–x – 69y)2; d) (24r + 35√6–s)2 – (26r – 18√6

–s)2;e) (94√17

–p + 936q)2 – (65√17–p – 245q)2; f) (78t + 94√19

–u)2 – (694t – 45√19–u)2.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Descompuneţi în factori: a) a – b; b) m – n; c) x – y; d) r – s; e) p – q; f) t – u.

Rezolvare.

Răspuns.


12. Descompuneţi în factori:a) 4a – 9b; b) 16m – 25n; c) 25x – 81y; d) 16r – 25s; e) 64p – 81q; f) 100t – 49u.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Descompuneţi în factori: a) 7a – 11b; b) 17m – 15n; c) 21x – 32y; d) 14r – 29s; e) 73p – 87q; f) 51t – 95u.

Rezolvare.

Răspuns.


14. Descompuneţi în factori: a) a2 – b; b) m – n2; c) x2 – y; d) r – s2; e) p2 – q; f) t – u2.

Rezolvare.

Răspuns.

15. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: a) (2a + 3b + 5c)2 – (5a + 2b + 4c)2;b) (12m + 45n + 28p)2 – (38m + 17n + 9p)2; c) (74x + 16y+ 39z)2 – (94x + 81y + 16z)2;d) (84p + 73q + 91r)2 – (15p + 23q + 28r)2; e) (94s + 10t + 58u)2 – (43s +39t + 95u)2.

Rezolvare.

Răspuns.


16. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: a) (19a + 29b – 5c)2 – (5a – 37b + 4c)2;b) (91m – 45n + 75p)2 – (38m + 17n – 104p)2; c) (74x – 62y+ 39z)2 – (94x – 81y + 16z)2;d) (20p + 73q – 91r)2 – (15p – 43q + 28r)2; e) (95s – 82t + 48u)2 – (43s +44t – 55u)2.

Rezolvare.

Răspuns.

17. Calculaţi rapid 1 4262 – 5322 + 1 958 · 106.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Fără să calcuţi rezultatul, aflaţi ultimele două cifre ale numărului 31 2432 – 1 2762.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 64x4 – 25y4.

Rezolvare.

Răspuns.


20. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: (15m – 26n)2 – 16(3m + 8y)2.

Rezolvare.

Răspuns.21. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 16(9p + 5q)2 – 25q2(3p – 5)2.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 16m2(7n + 2p)2 – 81p2(9n – 4m)2.

Rezolvare.

Răspuns.23. Descompuneţi în factori 64p4 – 81q4.

Rezolvare.

Răspuns.

24. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 9x2 + 30xy + 25y2 – 4a2.

Rezolvare.

Răspuns.25. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 25a2 + 80ay + 16y2 – 4b2 + 12bx – 9x2.

Rezolvare.

Răspuns.26. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: m4 + 16p4.

Rezolvare.

Răspuns.27. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 81x4 – 90x2y2 + 25y4.Rezolvare.

Răspuns.



1. Reduceţi termenii asemenea: a) 42a – 47b + 35a – 104b + 28a – 117b;b) 56b2 – 412b – 241b2 + 503b – 215b2; c) 234m3 + 231n2 – 106m3 + 42n2 – 72m3 – 69n2.

Rezolvare.

Răspuns.

2. Reduceţi termenii asemenea: a) (12a – 45b + 105c) + (53a – 93b + 37c);b) (193m – 76n – 91d) + (25m – 88n – 62d); c) (94x – 127y + 217z) + (–18x + 48y – 83z).

Rezolvare.

Răspuns.

3. Reduceţi termenii asemenea: a) (52a – 52b + 83c) – (39a – 96b + 214c);b) (24m – 64n – 143d) – (77m – 95n – 19d); c) (58x – 84y + 213z) – (–76x + 93y – 253z).

Rezolvare.

Răspuns.

4. Efectuaţi: a) 5x(4x – 3y); b) 9a(2a – 7b); c) 6m(7m – 3n).Rezolvare.

Răspuns.


5. Efectuaţi: a) 3b(4a – 5b + 9c); b) 11x(2x + 6y – 7z); c) 7x(8y + 9z – 10t); d) 12y(3m – 8n + 6p).Rezolvare.

Răspuns.

6. Efectuaţi: a) (28a7b3 – 32a4b6) : (–4a4b3); b) (33m9n5 – 27m7n9) : (–3m7n5);c) (48x8y9 – 42x6y11) : (–6x6y9); d) (56c18d15 – 21c13d17) : (–7c13d15).

Rezolvare.

Răspuns.

7. Efectuaţi: a) 12a5b3 – 44a12b17 : (4a7b14); b) –8x5y13 + (–72x68y24) : (–8x63y11); c) –15p32q44 + (–300p67q59) : (–20p36q15).

Rezolvare.

Răspuns.


8. Dezvoltaţi: a) (9a + 2b)(8a + 3b); b) (11p + 3q)(2p + 6q);c) (4d – 9m)(3d + 5m); d) (9r – 8s)(7r + 4s); e) (10x – 3y)(2x – 9y); f) (6m – 11n)(7m – 8n).

Rezolvare.

Răspuns.

9. Dezvoltaţi: a) (7a + 8b)2; b) (5c + 7d)2; c) (6x + 5y)2; d) (9p – 7q)2; e) (3r – 8s)2; f) (9t – 11u)2.

Rezolvare.

Răspuns.


10. Dezvoltaţi: a) (2√3– + 5)2; b) (3√7

– + 2)2; c) (7√5– + 2)2;

Rezolvare.

Răspuns.

11. Dezvoltaţi: a) (4√3– + 3√5

–)2; b) (3√6– + 2√7

–)2; c) (6√7– – 5√3

–)2; d) (5√6– – 4√5

–)2.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Aplicînd formula pătratului diferenţei, calculaţi: a) 9952; b) 9 9942; c) 9 9932; d) 9 9922.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Dezvoltaţi: a) (5xy2 + 3ab)(5xy2 – 3ab); b) (7m2n + 8pq)(7m2n – 8pq); c) (8r3s + 5ut)(8r3s – 5ut); d) (9vz5 + 11ab)(9vz5 – 11ab).

Rezolvare.

Răspuns.


14. Descompuneţi în factori raţionali: a) 11a(7x – 2y) – 12b(7x – 2y); b) 17x(6m – 7n) – 9y(6m – 7n);c) 15m(12p – 5q) – 2n(12p – 5q). d) 5d(11r – 3s) – 7e(11r – 3s).

Rezolvare.

Răspuns.

15. Descompuneţi în factori raţionali:a) 8ac + 7ad + 8bc + 7bd; b) 9ac + 5ad + 9bc + 5bd;c) 2ac + 9ad + 2bc + 9bd; d) 5ac + 6ad + 5bc + 6bd.

Rezolvare.

Răspuns.


16. Descompuneţi în factori raţionali:a) 4ax – 5ay + 4bx – 5by; b) 7am – 6an + 7bm – 6bn; c) 9xy – 7xz + 9ty – 7tz; d) 6pq – 5pr + 6sq – 5st.

Rezolvare.

Răspuns.

17. Descompuneţi în factori raţionali:a) 16a2 + 40ab + 25b2; b) 25x4 + 30x2y + 9y2; c) 49p6 + 56p3q + 16q2; d) 64m8 + 80m4n + 25n2.

Rezolvare.

Răspuns.


18. Descompuneţi în factori raţionali:a) 81a4 – 36a2x3 + 4x6; b) 36m6 – 60m3n5 + 25n10; c) 16p4 – 40p2q + 25q2; d) 25r2 – 70rs2 + 49s4.

Rezolvare.

Răspuns.


–; b) 42 + 2√42

–; c) 47 + 2√46

–; d) 52 – 2√51

–; e) 58 – 2√57

–; f) 60 – 2√59

–.

Rezolvare.

Răspuns.



–; b) 33 + 8√17

–; c) 35 + 8√19

–. d) 47 – 10√22

–; e) 48 – 10√23

–; f) 54 – 10√29

–.

Rezolvare.

Răspuns.

21. Descompuneţi în expresii iraţionale: a) x + 4√x– + 4; b) y + 6√y– + 9; c) c – 8√c– + 16; d) d – 12√d–

+ 36.Rezolvare.

Răspuns.

22. Aplicînd diferenţa pătratelor, calculaţi rapid: a) 3182 – 6822; b) 6312 – 3692; c) 4342 – 5662.Rezolvare.

Răspuns.


23. Descompuneţi în factori raţionali: a) 81x2 – 25y2; b) 49a2 – 16b2; c) 49m2 – 36n2.Rezolvare.

Răspuns.

24. Descompuneţi în factori raţionali:a) 121x8 – 25y2; b) 169a6 – 144b10; c) 196m6 – 225n8; d) 256x10 – 121y2.

Rezolvare.

Răspuns.

25. Descompuneţi în factori raţionali:a) (9a + 2b)2 – 11; b) (11m + 5n)2 – 10; c) (8x + 13y)2 – 19; d) (21r + 8s)2 – 17.

Rezolvare.

Răspuns.


26. Descompuneţi în produs de expresii raţionale:a) (13a + 7b)2 – 9a2; b) (7m + 3n)2 – 25n2; c) (82x + 9y)2 – 81x2; d) (19r + 7s)2 – 100r2.

Rezolvare.

Răspuns.

27. Descompuneţi în factori: 81x4 – 16y4.

Rezolvare.

Răspuns.

28. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 25a2(7m – 15n)2 – 9m2(11a + 12m)2.

Rezolvare.

Răspuns.


29. Descompuneţi: a) 4a + 20√ab– + 25b; b) 16x – 56√xy–. + 49y.

Rezolvare.

Răspuns.


√ – 13 – 2√42––

√ .

Rezolvare.

Răspuns.


√ + √5–

+ 17 – 5√13–√ .

Rezolvare.

Răspuns.

32. Descompuneţi în factori raţionali: 121x2y2 + 154xyz + 49z2 – 16a2.

Rezolvare.

Răspuns.


33. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 169a4b2 + 80a4bx + 25x2 – 16b2 + 40by – 25y2.

Rezolvare.

Răspuns.

34. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 81x8 + 16y4.

Rezolvare.

Răspuns.

35. Descompuneţi în produs de expresii raţionale: 36x8 – 84x4y2 + 49y4.

Rezolvare.

Răspuns.

1. Aduceţi la forma cea mai scurtă: a) x + x2 + x3 + .... + xn; b) x + 2x2 + 3x3 + .... + (n + 1)xn.

Rezolvare.Exerciţii suplimentare


R[spuns.

2. Arătaţi că: a) 1 – 12 + 1

3 – ... – 1999 + 1

1 000 = 1501 + 1

502 + ... + 1999 + 1

1 000 ;

b) 1 – 12 + 1

3 – ... – 1n – 1 + 1

2n = 1n + 1

+ ... + 12n – 1 + 1

2n . (Identitatea Botez-Catalan)

Rezolvare.

Răspuns.

3. Aflaţi cea mai mică valoare a expresiei:x + 1x

, x > 0. Indicaţie. Comparaţi expresia cu 2.

Rezolvare.

Răspuns.


4. Arătaţi că pentru x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z ≥ xy + yz + xz.

Rezolvare.

Răspuns.

5. Arătaţi că: (a2 + b2 + c2) 1a2

+ 1b2

+ 1c2( ( ≥ 9.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Arătaţi că: x + y

z +

x + zy

+

y + zx ≥ 6.

Rezolvare.

Răspuns.


1

1

1

1 1

1

1

1

2

1. Reduceţi termenii asemenea:a) 74a – 48b + 27a – 73b + 52a – 66b;b) (94a – 36b + 51c) – (83a – 25b + 109c).

2. Efectuaţi:a) 6x(7x – 9y);b) (12p + 5q)(2p + 3q).

3. Efectuaţi:a) (25a9b4 – 15a7b8) : (–5a7b4);b) –13x9y12 + (–56x75y28) : (–8x66y16).

4. Dezvoltaţi:a) (3a + 4b)2; b) (5x2 + 7y)(5x2 – 7y).

5. Calculaţi rapid: a) 1 0032; b) 5422 – 4582.6. Descompuneţi în factori raţionali:

a) 8a(9x – 5y) – 5b(9x – 5y);b) 12am – 7an + 12bm – 7bn.

7. Descompuneţi în factori raţionali:a) 49a2 – 84ax4 + 36x8; b) 121x6 – 81y8.

8. Descompuneţi în factori:49x4 – 36y4.

9. Descompuneţi în factori raţionali:121x2y2 – 198xyz + 81z2 – 49a2.

E VA L U A R EI I I

1. Reduceţi termenii asemenea:a) 28a – 36b + 94a – 84b + 62a – 53b;b) (74a – 56b + 21c) – (38a – 81b + 107c).

2. Efectuaţi:a) 6x(7x – 9y);b) (11p + 3q)(2p + 6q).

3. Efectuaţi:a) (25a9b4 – 15a7b8) : (–5a7b4);b) –12x7y11 + (–63x28y32) : (–7x21y21).

4. Dezvoltaţi:a) (2a + 5b)2; b) (4m2 + 9p)(4m2 – 9p).

5. Calculaţi rapid: a) 1 0032; b) 5422 – 4582.6. Descompuneţi în factori raţionali:

a) 9a(3x – 5y) – 7b(3x – 5y);b) 8am – 11an + 8bm – 11bn.

7. Descompuneţi în factori raţionali:a) 81a6 – 72a3x + 16x2; b) 144x10 – 49y4.

8. Descompuneţi în factori:64x4 – 81y4.

9. Descompuneţi în factori raţionali:144x2y2 – 120xyz + 25z2 – 36a2.

153Cap. 4. Fracţii algebrice

Capitolul 4 Fracţii algebrice ¶ Rapoarte algebrice

Învăţăm

Se numeşte raport algebric un raport avînd termenii două expresii algebrice.Se numeşte fracţie algebrică un raport algebric ce are termenii două expresii algebrice raţionale.Pentru un raport algebric domeniul valorilor admisibile (DVA) este mulţimea valorilor variabilelor pentru care raportul are sens: numitorul raportului să fie diferit de 0; radăcinile pătrate să fie definite.

· Amplificarea şi simplificarea rapoartelor

Înmulţirea numărătorului şi a numitorului unui raport cu aceeaşi expresie nenulă se numeşte amplificare.Împărţirea numărătorului şi a numitorului unui raport cu aceeaşi expresie nenulă se numeşte simplificare.

Învăţăm

1) Scrieţi raportul: a) numerelor 15 şi √3–

+ 4; b) expresiilor 5x şi 2x + 3.

Rezolvare. a) Raportul numerelor 15 şi √3–

+ 4 este 15√3–

+ 4.

b) Raportul expresiilor 5x şi 2x + 3 este 5x2x + 3 . Răspuns. a) 15

√3–

+ 4; b) 5x

2x + 3 .

2) Fie aba√3

– + 1

, 5x2√a– + 3

. Selectaţi raportul cu cel puţin unul dintre termeni o expresie iraţională.

Rezolvare. O expresie iraţională conţine variabile sub radical. Răspuns. 5x2√a– + 3

.

Exerciţii rezo

lvate

l Aflaţi DVA în R al raportului: a) 2xx + 5 ; b) 3x – 5

√x + 7– .

Rezolvare. a) Raportul 2xx + 5 este definit pentru valorile lui x cu proprietatea x + 5 ≠ 0 sau x ≠ –5. Se

obţine DVA = R \ {–5}.

b) Raportul 3x – 5√x + 7– este definit pentru valorile lui x cu proprietatea x + 7 > 0 sau x > –7. Se obţine DVA

= {x Î R | x > –7}.

Exerciţiu

rezolv

at

1) Simplificaţi raportul: a) a3b4

a5b3; b) 2(x + 3)2

8(x + 3)3 .

Rezolvare. a) Raportul a3b4

a5b3 se simplifică cu a3b3 şi se obţine; a3b4

a5b3 (a3b3

= ba2.

b) Raportul 2(x + 3)2

8(x + 3)3 se simplifică cu 2(x + 3)2 şi se obţine 2(x + 3)2

8(x + 3)3 = 14x + 12 .

Răspuns. a) ba2; b) 1

4x + 12 .

2) Simplificaţi raportul: a) 3ab – 6ad12b2 – 8bd

; b) 2ac – 3ad + 2bc – 3bd3ac – ad + 3bc – bd

; c) 4a2b2 – 4abcd + c2d2

4a2b2 – c2d2 .

Rezolvare. a) 3ab – 6ad = 3a(b – 2d) şi 12b2 – 8bd = 4b(b – 2d). Fracţia algebrică se divide cu b – 2d.b) 2ac – 3ad + 2bc – 3bd = a(2c – 3d) + b(2c – 3d) = (2c – 3d)(a + b) şi 3ac – ad + 3bc – bd = (3c – d)(a

+ b). Fracţia algebrică se divide cu a + b.c) 4a2b2 – 4abcd + c2d2 = (2ab – cd)2 şi 4a2b2 – c2d2 = (2ab + cd)(2ab – cd). Fracţia algebrică se divide cu

2ab – cd.Răspuns. a) 3a

4b ; b) 2c – 3d3c – d ; c)

2ab – cd2ab + cd.

Exerciţii rezo

lvate

154 Cap. 4. Fracţii algebrice

E x e r c i ţ i i

1. Scrieţi raportul numerelor: a) 27 şi 3 – √7–

; b) √2–

– √5–

şi √2–

+ √7–

; c) √11–

+ √15–

şi √13–

+ √14–

.

Răspuns.

2. Scrieţi raportul expresiilor geometrice:a) 3x + 2 şi 7x – 4a; b) 15b + 3d şi 9x – 2y; c) m√15

– + n şi m√19

– – 8√17

–.

Răspuns.

3. Fie rapoartele: 2a + ba√3

– + 1

, –8xm + √7

– , x3√x– + 8

, √a– – m2√a– + 3

, 2,3mxab√15

– .

Enumeraţi rapoartele algebrice: a) raţionale; b) iraţionale.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Aflaţi DVA în R al raportului:

a) x√7–

x – 5 ; b) a√3–

a + 7 ; c) 2x + 5b(y + 7)(y – 2) ; d) 5a + 2

(a + 2)(a + 3)(a + 5); e) 6x + 3,7(a – 2)(a – 3)(a – 5) .

Rezolvare.


Răspuns.

5. Aflaţi DVA în R al raportului: a) x – 1√x + 8– ; b) 9x – 1

√x – 3– ; c) 11x

√x – 7– ; d) 4x

√x + 6– .

Rezolvare.

Răspuns.


6. Simplificaţi: a) 3a2c8

6a7c3 ; b) 15x7y10

24x8y9 ; c) 32a12b8

56a13b9 ; d) 46a17x6

63a8x12 .

Rezolvare.

Răspuns.

7. Simplificaţi: a) 28(a + √3

–)6

21(a + √3–)9

; b) 45(b – √6

–)7

35(b – √6–)23

; c) 72(x – √5

–)19

56(x – √5–)26

; d) 10(3y – √5

–)7

81(3y – √5–)9

.

Rezolvare.

Răspuns.


8. Simplificaţi: a) 8ab + 7ac8bx + 7cx

; b) 4mx + 3nx4my + 3ny

; c) 3a2x + 2bx3a2p + 2bp

; d) 2m3x + 5nx2m3q + 5nq

; e) 3a3x + 7b2x3a3y + 7b2y

.

Rezolvare.

Răspuns.

9. Simplificaţi: a) 5ac – 4ad + 5bc – 4bd7ac – ad + 7bc – bd

; b) 2ac – 3ad + 2bc – 3bd9ac – 7ad + 9bc – 7bd

; c) 21ac – 2ad + 21bc – 2bd15ac – 8ad + 15bc – 8bd

;

d) 3ac – 4ad + 3bc – 4bd8ac – 3ad + 8bc – 3bd

; e) 11ac – 4ad + 11bc – 4bd2ac – 13ad + 2bc – 13bd

.

Rezolvare.

.


Răspuns.

10. Simplificaţi:

a) 2a + 3b4a2 – 9b2

; b) 3a + 5x9a2 – 25x2

; c) 4a2 + 3b16a4 – 9b2

; d) 3m3 – 8n9m6 – 64n2

; e) 6x – 7y36x2 – 49y2

; f) 9a – 4b81a2 – 16b2

.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Simplificaţi: a) 4ab + 116a2b2 + 8ab + 1; b) 2x + 3b

4x2 + 12bx + 9b2 ; c) 2m + 5b4m2 + 12bm + 25b2 ; d) 6a – 5b

36a2 – 60bm + 25b2;

e) 3x – 4m9x2 – 24mx + 16m2 ; f) 7y – 4n

49y2 – 56ny + 16n2 .

Rezolvare.


Răspuns.

12. Simplificaţi: a) 5ab + 2b25a2 – 4

; b) 7ax + 3a49x2 – 9

; c) 6mn + 5n36m2 – 25

; d) 9ap – 4a81p2 – 16

; e) 7rx – 6x49r2 – 36

; f) 5sy – 8y25s2 – 64

.

Rezolvare.

Răspuns.


13. Simplificaţi: a) 2√a– + 34a – 9

; b) 5√ r– + 625r – 36

; c) 7√ s– + 249s – 4

; d) 6√n– – 536n – 25

; e) 8√ x– – 964x – 81

; f) 4√u– – 916u – 81

.

Rezolvare.

Răspuns.

14. Simplificaţi: a) 6ab + b36a2 + 12a + 1; b) 7ax + a

49x2 + 14x + 1 ; c) 9md + m81d2 + 18d + 1; d) 8cn – c

64n2 – 16n + 1 ;

e) 7ny – n49y2 – 14y + 1 ; f) 5bx – x

25b2 – 10b + 1 .

Rezolvare.


Răspuns.

15. Simplificaţi: a) 4√a– + 116a + 8√a– + 1

; b) 7√n– + 149n + 14√n– + 1

; c) 8√ x– + 164x + 16√ x– + 1

; d) 9√ r– – 181r – 18√ r– + 1

;

e) 6√ s– – 136s – 12√ s– + 1

; f) 9√u– – 181u – 18√u– + 1

.

Rezolvare.

Răspuns.


16. Simplificaţi: 25a2x4 – 70abx2y2 + 49b2y4

25a2x4 – 49c2d2 .

Rezolvare.

Răspuns.

17. Simplificaţi: 81a4x4 – 144a2b2x2y2 + 64b4y4

6 561a8x8 – 4 096c8d8 .

Rezolvare.

Răspuns.


¸ Operaţii cu rapoarte algebrice

Învăţăm

Adunarea rapoartelor se execută asemănător adunării numerelor raţionale reprezentate prin fracţii. Proprietăţile adunării rapoartelor amintesc de cele ale adunării numerelor raţionale reprezentate prin fracţii. Pentru orice raport există opusul lui şi suma unui raport cu opusul lui este egală cu 0. Scăderea a două rapoarte se execută adunînd primul raport cu opusul celui de al doilea.La înmulţirea rapoartelor se face apel la experienţa acumulată executînd înmulţiri ale fracţiilor.

1) Efectuaţi: a)

3xx + y

+

3yx + y ; b) √x + 1

–

x + 1

x .

Rezolvare. a)

3xx + y

+

3yx + y =

3x + 3yx + y =

3(x + y)x + y = 3.

b) x = x + 1 – 1 = (√x + 1–

)2 – 1 = (√x + 1–

+ 1)(√x + 1–

– 1). √x + 1–

x + 1

x = √x + 1–

+ 1x

se simplifică cu

√x + 1–

+ 1 şi se obţine 1

√x + 1– – 1

. Răspuns. a) 3; b) 1

√x + 1– – 1

.

2) Efectuaţi: a)

3xx + 1

–

1x ; b)

1√x + 1–

–

1√x– .

Rezolvare. a)

3xx + 1

–

1x =

3xx + 1

–

1x

x) x + 1)

= 3x2 – x – 1x2 + x .

b)

1√x + 1–

–

1√x– =

1√x + 1–

–

1√x–

√x + 1–)√x– ) = √x– – √x + 1

–

√x2 + x– . Răspuns. a) 3x2 – x – 1

x2 + x ; b) √x– – √x + 1–

√x2 + x– .

Exerciţii rezo

lvate

1) Efectuaţi: a)

3x2 y4ab3

·

2ab2

9xy ; b) 4a8 + 6a4 + 99x6 – 4b2 · 9x6 + 12x3b + 4b2

4a8 – 9 .

Rezolvare. a)

3x2 y4ab3

·

2ab2

9xy = 6ab2x2 y36ab3xy

(6ab2xy

= x6b .

b) 4a8 + 6a4 + 99x6 – 4b2 ·

9x6 + 12x3b + 4b2

4a8 – 9 = (2a4 + 3)2

(3x3 + 2b)(3x3 – 2b) · (3x3 + 2b)2

(2a4 + 3)(2a4 – 3)((2a4 + 3)(3x3 + 2b)

. Ţinem cont

că (3x3 + 2b)(2a4 + 3) = 6a4x3 + 9x3 + 4a4b + 6b şi (3x3 – 2b)(2a4 – 3) = 6a4x3 – 9x3 – 4a4b + 6b.

Răspuns. a) x6b ; b) 6a4x3 + 9x3 + 4a4b + 6b

6a4x3 – 9x3 – 4a4b + 6b .

2) Efectuaţi: a)

5a5 b8x3y

: 3ab4

4xy2 ; b) 9a6 + 6a3 + 14x4 – 9b2 :

9a6 – 14x4 + 12x2b + 9b2 .

Rezolvare. a)

5a5 b8x3y

: 3ab4

4xy2 =

5a5 b8x3y

· 4xy2

3ab4

(4abxy

= 4a4y3b3x2. b) 9a6 + 6a3 + 1

4x4 – 9b2 : 9a6 – 14x4 + 12x2b + 9b2 =

(3a3 + 1)2

(2x2 + 3b)(2x2 – 3b) · (2x2 + 3b)2

(3a3 + 1)(3a3 – 1)

((2x2 + 3b)(3a3 + 1)

. Ţinem cont că (3a3 + 1)(2x2 + 3b) = 6a3x2 + 9a3b + 2x2

+ 3b şi (2x2 – 3b)(3a3 – 1) = 6a3x2 – 9a3b – 2x2 + 3b. Răspuns. a) 4a4y3b3x2; b) 6a3x2 + 9a3b + 2x2 + 3b

6a3x2 – 9a3b – 2x2 + 3b .

Scrieţi ca sumă de expresii algebrice 1

1 + x.

Rezolvare. 1 = 1 + x – x – x2 + x2 + x3 – x3 – x4 + x4 + x5 – x5 – x6 + x6 + x7 – ... = (1 + x) – x(1 + x) + x2(1 + x) – x3(1 + x) + x4(1 + x) – x5(1 + x) + x6(1 + x) – ... = (1 + x)(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 – ...).

Răspuns. 1

1 + x = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6 – ...

Exerciţii rezo

lvate

Extensie


E x e r c i ţ i i

1. Efectuaţi: a) 1a +

4a ; b)

7x +

2x ; c)

7b +

8b ; d)

6c +

5c .

Rezolvare.

Răspuns.

2. Efectuaţi: a) 8

x + 1 + 16

x + 1 ; b) 13

x + 2 + 27

x + 2 ; c) 29

x + 5 + 37

x + 5 .

Rezolvare.

Răspuns.

3. Efectuaţi: a) 3a

a – 8 + 54aa – 8 ; b)

8bb – 3 +

83bb – 3 ; c)

24yy + 4 +

63y y + 4 .

Rezolvare.

Răspuns.


4. Efectuaţi: a) 9a –

4a ; b)

3b –

8b ; c)

2c –

5c ; d)

9d –

4d .

Rezolvare.

Răspuns.

5. Efectuaţi: a) 13xx – 1 –

16xx – 1 ; b)

18aa – 7 –

64aa – 7 ; c)

29yy + 8 –

45yy + 8 .

Rezolvare.

Răspuns.

6. Efectuaţi: a) 1x +

2x – 1 ; b)

1a –

3a + 4 ; c)

1x +

4x – 5 ; d)

1b –

5b + 6 ; e)

1y –

9y – 7 ; d)

1c +

11c – 9 .

Rezolvare.

Răspuns.


7. Efectuaţi:

a) 1

x + 1 + 2

x – 1 ; b) 1

x + 2 + 3

x – 2 ; c) 3

x + 3 + 1

x – 3 ; d) 1

x + 4 + 4

x – 4 ; e) 1

x + 6 + 6

x – 6 ; f) 3

x + 7 + 1

x – 7 .

Rezolvare.

Răspuns.

8. Efectuaţi:

a) 1

x + 1 – 4

x – 1 ; b) 1

x + 2 – 2

x – 2 ; c) 5

x + 3 – 1

x – 3 ; d) 1

x + 4 – 7

x – 4 ; e) 1

x + 6 – 8

x – 6 ; f) 9

x + 7 – 1

x – 7 .

Rezolvare.

Răspuns.


9. Efectuaţi: a) 15x5y4

8a9b4 · 6a5b4

25x6y3 ; b) 24x9y6

18a6b8 · 12a8b5

16x8y7 ; c) 32x4y6

21a2b4 · 42a5b7

24x7y3 ; d) 26x4y4

36a5b5 · 48a7b2

39x6y3 .

Rezolvare.

Răspuns.


56a5b5 : 48x9y7

35a6b3 ; b) 45x8y6

63a6b9 : 72x3y8

25a7b4 ; c) 18x5y7

28a4b8 : 84x8y3

49a9b2 ; d) 39x7y9

81a5b3 : 26x4y3

72a5b4 .

Rezolvare.

Răspuns.


11. Efectuaţi: a) 2ab + 125a2 – 1

· 5a + 12ab + 1

; b) 3ax + 136x2 – 1

· 6x – 13ax + 1

; c) 4by + 316x2 – 1

· 4x – 14by + 3

; d) 8ay – 549y2 – 1

· 7y – 18ay – 5

.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Efectuaţi:a) 6ax + 5

9a4 – 4 : 6ax + 5

3a2 – 2; b) 8ab + 3

49b6 – 9 : 6ax + 5

7b3 – 3; c) 3ax + 7

36n8 – 1 : 3ax + 7

6n4 – 1; d) 6ay + 7

64x10 – 9 : 6ay + 7

8x5 – 3.

Rezolvare.

Răspuns.


13. Efectuaţi: 8b – 364b2 – 9

+ 25a2 – 20a + 45a – 2 · 5a + 2

25a2 – 4 : 64b2 – 9

5b – 8 .

Rezolvare.

Răspuns.


1

1

1

1

1

1

1

1

2

1. Fie rapoartele: –11b2 + √b

– , 6y + ny√5

– – 9

. Care dintre ele

este o fracţie algebrică?2. Aflaţi DVA în R al fracţiei algebrice: z√ 6

–

z – 7,9.

3. Simplificaţi fracţia algebrică: 36x6y15

27x4y19 .

4. Simplificaţi: 9nx2 + 2n9cx2 + 2c

.


133a ; b)

145a –

225a .


9a5b3 · 6a7b4

24x5y7 ; b) 45x9y3

56a7b5 : 25x7y6

72a5b7 .

7. Simplificaţi: a) 4az + 5z16a2 – 25

; b) am + 9am2 + 18m + 81 .


4x – 3 ; b)

6a –

5a + 5.

9. Efectuaţi:

a) 7ax + bx4da2 – 9d

· 2ad + 3d7ay + by

; b) 5an + 7nx25a6 – 81

: 5ad + 7dx5a3 + 9

.

E VA L U A R EI I I

1. Fie rapoartele: 5x + mx√2

– – 4

, –3d9 + √d

– . Care dintre ele

este o fracţie algebrică?2. Aflaţi DVA în R al fracţiei algebrice: x√ 5

–

x – 2,1.

3. Simplificaţi fracţia algebrică: 18x3y12

24x6y10 .

4. Simplificaţi: 7ax3 + 3a7bx3 + 3b

.


112a ; b)

123a –

173a .


6a2b8 · 3a6b5

18x8y2 ; b) 35x8y6

64a9b7 : 15x5y8

60a3b4 .

7. Simplificaţi: a) 3an + 5n9a2 – 25

; b) ax + 7xa2 + 14a + 49 .


5x – 2 ; b)

7a –

4a + 6 .

9. Efectuaţi:

a) 4an + bn9pa2 – 4p

· 3ap + 2p4ax + bx

; b) 7ab + 5bx16a4 – 9

: 7ac + 5cx4a2 + 3

.

171Algebra. Cap. 5. Funcţii

Capitolul 5 Funcţii ¶ Intervale de numere realel Reprezentaţi analitic şi pe axa numerelor: a) mulţimea numerelor reale cuprinse între –2 şi 3; b) mulţimea numerelor reale mai mari sau egale cu –5 şi mai mici sau egale cu 4; c) mulţimea numerelor reale mai mare decît –1 şi mai mici sau egale cu 8; d) numerele reale mai mari decît –2,5; e) numerele reale mai mici sau egale cu 3,6.Rezolvare. a) {x Î R | –2 < x < 3}.

–2 3 ( )

b) {x Î R | –5 £ x £ 4}. –5 4 [ ]

c) {x Î R | –1 < x £ 8}. –1 8 ( ]

d) {x Î R | x > –2,5}. –2,5 (

e) {x Î R | x £ 3,6}. 3,6 ]

Observaţii. 1) Deoarece primele trei mulţimi amintesc de noţiunea de segment din geometrie, iar cele-lalte amintesc de noţiunea de semidreaptă din geometrie, am folosit în reprezentare paranteze.

2) Am colorat porţiunea din axa numerelor care nu conţine puncte ale mulţimii de numere reprezentate. O asemenea alegere este convenabilă la ilustrarea intersecţiilor unor astfel de mulţimi, dar este mai puţin comodă la ilustrarea reuniunilor.

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Intervale de numere reale

1) Interval închis. {x Î R | a £ x £ b} = [a, b] (se citeşte „intervalul închis a be“). a b [ ]

2) Interval deschis. {x Î R | a < x < b} = (a, b) (se citeşte „intervalul deschis a be“). a b ( )

3) Interval deschis la stînga şi închis la dreapta. {x Î R | a < x £ b} = (a, b] (se citeşte „intervalul deschis la

stânga şi închis la dreapta a be“). a b ( ]

4) Interval nemărginit deschis la stînga. {x Î R | x > a} = (a, ∞) (se citeşte „intervalul a infinit“). a (

5) Interval nemărginit închis la stînga. {x Î R | x ³ b} = [b, ∞) (se citeşte „intervalul be infinit, închis în

be“). b [

6) Interval nemărginit închis la dreapta. {x Î R | x £ a} = (–∞, a] (se citeşte „intervalul minus infinit a,

închis în a“). a ]

7) Interval nemărginit deschis la dreapta. {x Î R | x < a} = (–∞, a) (se citeşte „intervalul minus infinit a“). a )

8) (a, a) = Æ; [a, a] = {a}.

172 Algebra. Cap. 5. Funcţii

E x e r c i ţ i i 1. Reprezentaţi analitic mulţimea numerelor reale cuprinse între:

a) 0 şi 3; b) 5 şi 12; c) –5,1 şi 11; d) – 4,9 şi 3,9; e) –2√ 3–

şi 3√ 2–

.Răspuns..

2. Scrieţi cum se citeşte: a) {x Î R | –2,7 < x < 4,1}; b) {x Î R | – 8,4 < x < –3,001}; c) {x Î R | –11,3 < x < –2,(5)}; d) {x Î R | –√4,9

– < x < √6,4–}.

Răspuns..

3. Scrieţi cum se citeşte: a) {x Î R | –2,1 < x £ 3}; b) {x Î R | – 6,7 < x £ 67};c) {x Î R | –√3,5

– < x £ 5,94}; d) {x Î R | –√11– < x £ √15

–}.Răspuns..

4. Scrieţi cum se citeşte: a) {x Î R | –7,4 £ x £ 5,8}; b) {x Î R | – 6,7 £ x £ 67};c) {x Î R | –√4,3

– £ x £ 5,11}; d) {x Î R | –√13– £ x £ √10

–}.Răspuns..


5. Reproduceţi mulţimile de numere ilustrate şi reprezentaţi analitic aceste mulţimi:– 3,1 5 [ ]

– 6,8 7,2 ( )

– 0,2 4,2 ( ]

– 17,2 ( 19,5 ]6,(82) [

Rezolvare.

6. Scrieţi intervalul: a) închis 3 4,9; b) deschis –3,9 9,8; c) deschis la dreapta minus infinit 9;d) închis la stînga 3,2 infinit; e) 2,7 5 închis la stînga şi deschis la dreapta;f) 2 7,8 deschis la stînga şi închis la dreapta.

Răspuns.

7. Scrieţi cît mai simplu: a) mulţimea numerelor reale mai mari sau egale cu 15,2 şi mai mici sau egale cu 19; b) mulţimea numerelor reale mai mari sau egale cu – 9,1 şi mai mici decît 12,5; c) mulţimea numerelor reale mai mari decît 2,11;


d) mulţimea numerelor reale mai mici sau egale cu 2,11; e) mulţimea numerelor reale mai mari decît – 111,3 şi mai mici sau egale cu 8,0(14).

Răspuns.

8. Reprezentaţi intervalele: a) (3, 12); b) (–2,5; 5); c) (–14,1; 6√14–

); d) [9,4; 15]; e) [–15,8; –8,5];f) [2,11; 21,5); g) (–5,4; –1,5]; h) [–1, ∞); i) (–2,7; ∞); j) (–∞; –5,12); k) (–∞; –18,1].

Rezolvare.

Răspuns.

9. Scrieţi sub formă de interval: a) {x Î R | | x | < 12}; b) {x Î R | | x | £ 19,3}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


10. Scrieţi sub formă de interval: a) {x Î R | | x + 2,7 | < 14,8}; b) {x Î R | | x + 4,2 | £ 22,4}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Aflaţi numerele reale care verifică:a) | x | < 2,2;b) | x | £ 23,5;c) | x – 4,6 | < 5,3;d) | x + 15, 2 | £ 13.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


12. Reprezentaţi analitic, cu ajutorul modulului:a) intervalul (–5,8; 17);b) intervalul [3,5; 8,2].


Rezolvare.

Răspuns.


Observaţii. 1) Notaţia (2,4; 5) are mai multe semnificaţii: perechea ordonată de numere 2,4 şi 5; punc-tul de coordonate 2,4 şi 5. Semnificaţia notaţiei se decide din context. Cînd există pericol de confuzie, se specifică textual. De exemplu, intervalul (3, 9).

2) Notaţia (7, 5) nu corespunde unui interval, deoarece primul număr este mai mare decât al doilea.3) La scrierea intervalelor se foloseşte de obicei „ , “, iar cînd apar numere cu zecimale, se foloseşte „ ; “.

l Scrieţi cît mai simplu:a) mulţimea numerelor reale mai mari sau egale cu 2,7 şi mai mici sau egale cu 11;b) mulţimea numerelor reale cuprinse între –2,3 şi 10; c) mulţimea numerelor reale mai mari decît –5,4.

Rezolvare. a) [2,7; 11]. b) Intervalul (–2,3; 10). c) (–5,4; ∞).l Reprezentaţi analitic şi grafic intervalul: a) (2, 4); b) [–5,2; 9]; c) [2, ∞).

Rezolvare. a) (2, 4) = {x Î R | 2 < x < 4}. 2 4( )

b) [–5,2; 9] = {x Î R | –5,2 £ x £ 9}. –5,2 9 ( )

c) [2, ∞) = {x Î R | x ³ 2}. 2[

l Scrieţi sub formă de interval:a) {x Î R | | x | < 5,2}; b) {x Î R | | x – 3,8 | < 8}.

Rezolvare. a) | x | < 5,2 Û –5,2 < x < 5,2 Þ {x Î R | | x | < 5,2} = (–5,2; 5,2).b) | x – 3,8 | < 8 Û –8 < x – 3,8 < 8 Û –8 + 3,8 < x – 3,8 + 3,8 < 8 + 3,8 Û – 4,2 < x < 11,8 Þ {x Î R | | x – 3,8 | < 8} = (– 4,2; 11,8).

l Reprezentaţi analitic folosind modulul: a) intervalul (–25,3; 25,3);b) [–72,6; 72,6];c) intervalul (– 6,8; 10,4).

Rezolvare. a) {x Î R | | x | < 25,3}. b) {x Î R | | x | £ 72,6}.c) (– 6,8; 10,4) Û – 6,8 < x < 10,4 Û – 6,8 – (10,4 – 6,8) : 2 < x – (10,4 – 6,8) : 2 < 10,4 – (10,4 – 6,8) : 2 Û – 6,8 – 1,8 < x – 1,8 < 10,4 – 1,8 Û – 8,6 < x – 1,8 < 8,6 Û (– 6,8; 10,4) = {x Î R | | x – 1,8 | < 8,6}.

Exerciţii rezo

lvate

· Corespondenţe între mulţimi. Noţiunea de funcţie

l Vasile are 11 ani, George are 12 ani, Elena are 11 ani. Reprezentaţi printr-o dia-gramă corespondenţa dintre mulţimile {e, g, v} şi {11, 12}, unde literele provin dela iniţialele numelor celor trei copii.Rezolvare. Reprezentăm mulţimile prin diagrame, iar corespondenţele prin săgeţi.

11gf

e

12

Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Procedeul prin care fiecărui element al mulţimii A i se asociază un singur element al mulţimii B este o funcţie definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B (sau „de la A la Be“).Notaţii. Funcţia f definită pe A cu valori B se notează f : A ® B. Pentru funcţii folosim notaţiile: f, g, h, ...Elementele unei funcţii. Fie funcţia f : A ® B. Atunci elementele funcţiei f sînt:

1) mulţimea nevidă A este domeniul de definiţie al funcţiei f;2) mulţimea nevidă B este codomeniul funcţiei f;3) f este legea de corespondenţă sau asociere.

Valoarea unei funcţii într-un punct. Fie funcţia f : A ® B şi x Î A. Dacă funcţia f asociază lui x elementul y Î B, atunci se spune că y este valoarea funcţiei f în x şi se notează f(x) = y. (f(x) se citeşte „ef de x“.)Mulţimea valorilor unei funcţii. Fie funcţia f : A ® B. Mulţimea valorilor funcţiei f este mulţimea Im f = {f(x) | x Î A}. Evident, Im f Í B.

Învăţăm


E x e r c i ţ i i 1. Elementele mulţimii A = {1, 14, 287} sunt numere naturale. Reproduceţi diagrama şi construiţi săgeţile care asociază fiecărui element al mulţimii A cifra unităţilor lui.

3

14

287

1

17

48

2. Elementele mulţimii D = {18, 29, 79} sunt numere naturale. Construiţi mulţimea ale cărei elemente sînt cifrele unităţilor elementelor mulţimii D.Răspuns.

3. Scrieţi cu ajutorul simbolurilor matematice:a) funcţia f definită pe A cu valori în C; b) funcţia g de la R la R; c) funcţia h definită pe Q cu valori în Q.Răspuns.

4. Scrieţi cum se citeşte: a) funcţia f : R ® N; b) funcţia f : A ® B; c) funcţia f : I ® M.Răspuns..

5. Examinaţi diagramele şi precizaţi care nu defineşte o funcţie.

2

7a)

a

4

D E

bc

2

7b)

a

4

D E

bc

2

7c)

a

4

D E

bc

2

7d)

a

4

D E

bc

Răspuns..


6. Construiţi încă trei funcţii completînd diagramele ca în modelul rezolvat:

5

17a)

a

11

A E

bc

9

5

17b)

a

11

A E

bc

9

5

17c)

a

11

A E

bc

9

5

17d)

a

11

A E

bc

9

7. Construiţi încă trei funcţii completînd diagramele ca în modelul rezolvat:

7

42a)

a

30

A B

bc

19

7

42b)

a

30

A B

bc

19

7

42c)

a

30

A B

bc

19

7

42d)

a

30

A B

bc

19

8. Construiţi încă trei funcţii care au proprietăţile enumerate, completînd diagramele ca în modelul rezolvat.a) Construiţi diagrama funcţiei f : A ® B cu A = {5, 8, 11}, B = {2, 3, 16}, f(5) = 16, f(8) = f(11) = 3.

16

2

f58

11

3

A B

b) Construiţi diagrama funcţiei f : A ® B cu A = {5, 8, 11}, B = {2, 3, 16}, f(5) = 2, f(8) = 16, f(11) = 3.

16

2

f58

11

3

A B

c) Construiţi diagrama funcţiei f : A ® B cu A = {5, 8, 11}, B = {2, 3, 16}, f(8) = 16, f(5) = f(11) = 2.

16

2

f58

11

3

A B

d) Construiţi diagrama funcţiei f : A ® B cu A = {5, 8, 11}, B = {2, 3, 16}, f(5) = 16, f(8) = f(11) = 3.

16

2

f58

11

3

A B


l Scrieţi folosind simboluri matematice:a) funcţia f definită pe N cu valori în N; b) funcţia g de la D la E.

Rezolvare. a) f : N ® N; b) f : D ® E.l Scrieţi cum se citeşte:

a) funcţia f : Q ® R;b) funcţia g : D ® E.

Rezolvare. a) Funcţia f definită pe mulţimea Q cu valori în mulţimea R.b) Funcţia g de la D la E.

l Examinaţi diagrama prin care este definită funcţia f. a) Enumeraţi elementele funcţiei f (domeniul de definiţie, codomeniul).

4

6

f132224

5

D Eb) Enumeraţi valorile funcţiei f.c) Ce relaţie este între Im f şi E?

Rezolvare. a) Diagrama ilustrează funcţia f : D ® E unde mulţimea D = {13, 22, 24}este domeniul de definiţie al funcţiei f, E = {4, 5, 6} este codomeniul funcţiei f. Func-ţia f asociază fiecărui element al lui D suma cifrelor lui.

b) Valorile funcţiei f sunt: f(13) = 4, f(22) = 4, f(24) = 6.c) Im f = {4, 6}, deci Im f Ì E.

Exerciţii rezo

lvate

l Examinaţi diagramele şi precizaţi care nu defineşte o funcţie. Justificaţi răspunsul.

1

a)

ab 5

A B

1

b)

ab 5

A B

1

c)

ab 5

A B

1

d)

ab 5

A B

Rezolvare. a) Această diagramă nu defineşte o funcţie, deoarece elementului a i se asociază două elemente ale mulţimii B. b) Această diagramă defineşte o funcţie. c) Această diagramă nu defineşte o funcţie, deoarece elementului b nu i se asociază un element al mulţimii B. d) Diagrama defineşte o funcţie de la A la B.l Un litru de lapte costă 5 lei. În tabelul următor am trecut în x litri 1 2 3

5x lei 5 10 15prima linie cît lapte se cumpără, iar în a doua linie cît costă laptele cumpărat. Examinaţi tabelul şi decideţi dacă el defi-neşte o funcţie.Rezolvare. Costul laptelui este o funcţie de numãrul de litri. Se obţine funcţia: c : {1, 2, 3} ® {5, 10, 15}, c(x) = 5x.

l Examinaţi tabelul următor şi decideţi dacă el defineşte o funcţie. x 2 5 9f(x) 3 7; 19 12

Rezolvare. Presupunem că existã funcţia f definită cu ajutorul tabelului. Atunci fiecărui element al mulţimii {2, 5, 9} îi corespunde (i se asociază) un singur element al mulţimii {3, 7, 12, 19}. Deoarece sub 5 apar 7 şi 19, condiţia cerută nu este respectată, deci nu există o funcţie definită de tabelul dat.l Examinaţi punctele reprezentate într-un sistem de axe ortogonale şi decideţi dacă

x

y2

1 21-1 -1

cu ajutorul lor poate fi definită o funcţie.Rezolvare. Abscisele punctelor reprezentate sînt: –1, 1, 2, iar ordonatele lor sînt:1, 2, –1. Punctele (–1, 1), (1, 2), (2, –1) stabilesc o legătură f între {–1, 1, 2} şi {–1, 1, 2}, deoarece: f(–1) = 1, f(1) = 2, f(2) = –1. Se poate defini astfel funcţia:

f : {–1, 1, 2} ® {–1, 1, 2}, f(–1) = 1, f(1) = 2, f(2) = –1.

Exerciţii rezo

lvate


9. Reproduceţi diagrama prin care este definită funcţia s. 6

10

s376471

8

E F

a) Enumeraţi elementele funcţiei s.b) Enumeraţi valorile funcţiei s.c) Ce relaţie este între Im s şi F?

Răspuns..

10. Reproduceţi diagrama prin care este definită funcţia u. 5

7

s456785

6

B Ca) Enumeraţi elementele funcţiei u.b) Enumeraţi valorile funcţiei u.c) Ce relaţie este între Im u şi C?

Răspuns..

11. Reproduceţi diagrama prin care este definită funcţia v. 1

5

v124257264

2

F Ga) Enumeraţi elementele funcţiei v.b) Enumeraţi valorile funcţiei v.c) Ce relaţie este între Im v şi G?

Răspuns..


12. Un kilogram de făină costă 6 lei. Reproduceţi tabelul următor şi decideţi dacă el defineşte o funcţie.

x kg 1 2 38x lei 8 16 24

Răspuns..

13. Un tren se deplasează cu viteza medie de 45 km/h. Reproduceţi tabelul următor şi decideţi dacă el defineşte o funcţie.

t ore 1 2 3d = 45t km 45 90 135

Răspuns..

14. Reproduceţi tabelul următor şi decideţi dacă el defineşte o funcţie care asociază fiecărui oraş din prima linie ţara în care el se află.

Oraşul Paris Kiev VienaŢara Franţa Ucraina Austria

Răspuns..


15. Enumeraţi elementele funcţiei:

a) f : D ® E, f(x) = 0,5x; b) g : {–1, 2, 5} ® Q, g(x) = x – 7,2; c) h : {–1,4; 2,3; 5} ® Q, h(x) = xx – 1

.

Răspuns..

16. Reproduceţi tabelul următor şi decideţi dacă el defineşte o funcţie.

x 5 12 15f(x) 18 10; –17 13,5


Răspuns..

17. Construiţi o diagramă care defineşte o funcţie de la {–13, 1} la {–7, 3}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Răspuns..


18. Construiţi o diagramă care defineşte o funcţie de la {–5, 0, 7} la {–3, 2}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Răspuns..

19. Fie mulţimile D = {–3, –1, 3, 6} şi E = {–11, –5, 7, 16}. Care dintre formulele f(x) = 2x + 3 şi g(x) = 3x – 2 defineşte o funcţie de la D la E?Răspuns..

20. Decideţi dacă desenul constituie reprezentarea grafică a unei funcţii.

x

y Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Răspuns..

21. Decideţi dacă desenul constituie reprezentarea grafică a unei funcţii.

x

y


Răspuns..


22. Cercetaţi dacă formula f(x) = 2x + 3 defineşte pe {–2; 1,5; 3,5} o funcţie.

Răspuns.

23. Construiţi cu ajutorul diagramelor toate funcţiile definite pe{a, b} cu valori în {–1, 5}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Răspuns..

24. Construiţi cu ajutorul diagramelor toate funcţiile definite pe{a, b, c} cu valori în {2, 9}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


Fie funcţia f : A ® B. Graficul funcţiei f este mulţimea Gf = {(x, f(x)) | x Î A}. Dacă A şi B sunt mulţimi de numere, atunci mulţimea Gf poate fi reprezentatã geometric printr-o mulţime de puncte, care se numeşte, de asemenea, graficul funcţiei f.Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită:1) printr-o diagramã; 2) printr-un tabel; 3) printr-un grafic; 4) printr-o formulă.Funcţii numerice. O funcţie numerică are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere. În general, funcţiile numerice sînt date precizînd: domeniul de definiţie, domeniul valorilor şi o formulă. De exemplu: funcţia f : R ® R, f(x) = x2.Dependenţă funcţională. Fie mulţimile nevide A şi B. Dacă există o funcţie definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B, atunci mulţimile A şi B sunt într-o relaţie de dependenţă funcţională.

l Controlaţi dacă mulţimea punctelor reprezentate permite să se definească o funcţie.

x

y21

21-1 -1

Rezolvare. Presupunem că punctele (–1, 1), (1, 2), (1, 1), (2, –1) definesc o funcţie g. Atunci g(–1) = 1, g(2) = –1. Deoarece punctele (1, 1) şi (1, 2) au aceeaşi abscisă, g nu are valoare unică în 1. Aşadar, presupunerea noastră contravine definiţiei funcţiei.Mulţimea punctelor reprezentate nu permite să se definească o funcţie. Observaţie. Mulţimea formată din punctele (–1, 1), (1, 1), (1, 2), (2, –1) nu este graficul unei funcţii, deoarece două dintre ele au aceeaşi abscisă.l Examinaţi dacă formula f(x) = 3x defineşte o funcţie pe mulţimea {–1, 0, 1, 2}.

Rezolvare. Construim tabelul: x –1 0 1 2f(x) –3 0 3 6

Examinînd tabelul, constatăm că formula f(x) = 3x asociază fiecărui element al mulţimii {–1, 0, 1, 2} un ele-ment şi numai unul al mulţimii {–3, 0, 3, 6}. Prin urmare, formula f(x) = 3x defineşte o funcţie cu domeniul de definiţie {–1, 0, 1, 2}.l Pentru orice număr real x este adevărată relaţia f(x) + f(–x) = x – 1. Cercetaţi dacă există o funcţie f cu această proprietate.Rezolvare. Înlocuim în relaţie, pe rînd, x cu –1 şi cu 1. Rezultă f(–1) + f(1) = –2 şi f(1) + f(–1) = 0, de unde rezultă că legea de corespondenţă f nu asociază fiecărui număr real un singur număr real. Prin urmare, f nu este o funcţie.l Enumeraţi elementele funcţiei f : Q ® R, f(x) = 2x + 7.Rezolvare. Funcţia f are elementele:

domeniul de definiţie Q; codomeniul R; legea de corespondenţă f(x) = 2x + 7.l Fie mulţimile A = {1, 2, 5, 8} şi B = {3, 4, 7, 10}. Cercetaţi dacă mulţimile A şi B sunt într-o relaţie de dependenţă funcţională.Rezolvare. Se constată că fiecare element al mulţimii B este cu 2 mai mare decît un element anumit al mulţimii A. Deci există funcţia f : A ® B, f(x) = x + 2.l Fie mulţimile E = {2, 3, 5} şi F = {4, 6, 10}. Care dintre formulele f(x) = 2x şi g(x) = x2 defineşte o funcţie de la E la F?Rezolvare. Înlocuind în formula f(x) = 2x elementele mulţimii E, se obţine mulţimea F. Procedînd la fel cu formula g(x) = x2, se obţine mulţimea {4, 9, 25}. Prin urmare, f este o funcţie de la E la F.l Explicitaţi funcţia: a) m(x) = | x – 3,5 |; b) s(x) = sgn (x – 5,2).Rezolvare. a) Aplicăm definiţia modulului. Rezultă:

m(x) =

123

3,5 – x, dacă x < 3,5

x – 3,5, dacă x ³ 3,5. b) s(x) =

123

–1, dacă x < 5,2 0, dacă x = 0 1, dacă x ³ 5,2.

Exerciţii rezo

lvate

Suplimentar

Învăţăm


Suplimentar

1. Explicitaţi funcţia: a) m : R ® R, m(x) = | x – 2,7 |; b) m : R ® R, m(x) = | 3x – 5,1 |.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

2. Explicitaţi funcţia: a) s : R ® R, s(x) = sgn (x – 9); b) s : R ® R, s(x) = sgn (2x – 7).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.


E VA L U A R EI I I

1. Scrieţi cît mai simplu: a) intervalul deschis –7 15; b) intervalul închis –2 8.

2. Reprezentaţi analitic: a) intervalul (–2,6; 8,7); b) intervalul [–3,7; 4,5].

3. Scrieţi cum se citeşte: a) f : E ® F; b) g : B ® C.

4. Reprezentaţi grafic intervalul:a) (–2,3; 3); b) [–3; 2,8].

5. Ana are 5 ani, Paul are 6 ani şi Ioana are 8 ani. Reprezentaţi printr-o diagramă corespondenţa dintre mulţimile {a, i, p} şi {5, 6, 8}.

6. Examinaţi diagrama 5

–9

f–3

49

–4

G M

prin care este definităfuncţia f şi enumeraţi-ielementele.7. Examinaţi diagramele şi identificaţi care dintre ele nu defineşte o funcţie.

0

a)

cd 8

1

b)

ae 3

8. Construiţi un tabel prin care poate fi definită o funcţie.9. Fie A = {3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 6} şi legile f(x) = 3x – 5, g(x) = 2x – 5. Cercetaţi dacă una dintre aceste legi defineşte o funcţie de la A la B.

1. Scrieţi cît mai simplu: a) intervalul deschis –3 23; b) intervalul închis –3,2 39.

2. Reprezentaţi analitic: a) intervalul (–5,1; 6,2); b) intervalul [–8,5; 8,7].

3. Scrieţi cum se citeşte: a) g : B ® D; b) h : C ® E.

4. Reprezentaţi grafic intervalul:a) (–5,8; 7); b) [–5; 9,5].

5. George are 7 pere, Petre are 6 pere şi Dan are 3 pere. Reprezentaţi printr-o diagramă corespondenţa dintre mulţimile {d, g, p} şi {3, 6, 7}.

6. Examinaţi diagrama –4

8

f–8–36

–1

B F

prin care este definităfuncţia f şi enumeraţi-ielementele.7. Examinaţi diagramele şi identificaţi care dintre ele nu defineşte o funcţie.

2

a)

ad 3

4

b)

bc 6

8. Reprezentaţi într-un sistem de axe trei puncte ast-fel încît să se poată defini o funcţie.9. Fie A = {2, 4, 5}, B = {5, 13, 17, 20} şi legile f(x) = 4x – 3, g(x) = 3x – 4. Cercetaţi dacă una dintre aceste legi defineşte o funcţie de la A la B.

1

1

1

1

1

1

2

1

1


l Un tren se deplasează cu viteza medie de 50 km/h. Calculaţi distanţa parcursă de tren în: 1 h, 2 h, 3 h şi reprezentaţi dependenţa dintre timp şi distanţa parcursă de tren cînd viteza medie rămîne constantă.

Rezolvare. Construim tabelul: x ore 1 2 3y km 50 100 150

x

y

3

50

21

100150

Reprezentăm într-un sistem de axe ortogonale punctele (1, 50), (2, 100) şi (3, 150). Pe axa absciselor o unitate = 1 h, iar pe axa ordonatelor o unitate = 50 km.

¸ Reprezentarea graficului unei funcţii. Proporţionalitate directă. Funcţia de gradul I

Exerciţii rezo

lvate

Funcţiile numerice f : D ® R, f(x) = ax, a Î R, modelează proporţionalitatea directă.Graficul funcţiei f : D ® R, f(x) = ax, a Î R, unde mulţimea numerică D este finită, este conţinut de o dreaptă care trece prin originea sistemului de axe.

l Fie funcţia f : {1, 2, 3} ® R, f(x) = x. Construiţi tabelul de valori şi reprezentaţi graficul funcţiei f.

Rezolvare. Construim tabelul: x 1 2 3f(x) 1 2 3

x

y

3

1

21

23

Graficul funcţiei f este Gf = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. Reprezentarea graficului func-ţiei f este formată din trei puncte.

l Fie formulele: f(x) = – x, g(x) = x, h(x) = 2x. Identificaţi formula care defineşte x

y

–1 11

–1

funcţia al cărei grafic este reprezentat în dreapta.Rezolvare. Graficul funcţiei căutate este {(–1, –1), (0, 0), (1, 1)}. Deoarece f(–1) = 1 ¹ –1, f nu verifică condiţiile cerute. Se constată că toate condiţiile suntverificate numai de formula g(x) = x.l Reprezentaţi graficul funcţiei f : {–3, –2, 0, 1, 2} ® R, f(x) = 3.

x

y

3Rezolvare. Tabelul valorilor funcţiei este:

x –3 –2 0 1 2f(x) 3 3 3 3 3

Gf = {(–3, 3), (–2, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3)}. Graficul funcţiei este reprezentat îndreapta.

l Construiţi graficul funcţiei f : {–1, 0, 1, 2, 3} ® R, f(x) = x + 1.

x

yRezolvare. Tabelul valorilor funcţiei este:

x –1 0 1 2 3f(x) 0 1 2 3 4

Gf = {(–1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}. Graficul funcţiei este reprezentat îndreapta.

Graficul funcţiei constante f : D ® R, f(x) = a, a Î R*, unde mulţimea numerică D este finită, este conţinut de o dreaptă paralelă cu axa absciselor.

Din viaţă

ÎnvăţămÎnvăţăm


E x e r c i ţ i i

1. Un autobuz se deplasează cu viteza medie de 55 km/h. Calculaţi distanţa parcursă de autobuz în: 1 h, 2 h, 3 h, 4 h şi completaţi un tabel.

Rezolvare.

2. O pungă cu chefir costã 4,5 lei. Calculaţi cît costă: 2 pungi de chefir, 3 pungi de chefir, 4 pungi de chefir, 5 pungi de chefir. Completaţi un tabel.

Rezolvare.

3. Calculaţi aria unui dreptunghi, dacă: a) o dimensiune este 3 şi cealaltă dimensiune ia valori din mulţimea {1, 2, 4, 5};b) o dimensiune este 2,5 şi cealaltă dimensiune ia valori din mulţimea {2, 3, 5};c) o dimensiune este 3,2 şi cealaltă dimensiune ia valori din mulţimea {1, 3, 5, 6}.

Răspuns..

4. Construiţi tabelul de valori al funcţiei: a) f : {0, 1, 2, 3} ® Z, f(x) = 2x; b) f : {–1, 0, 2, 3} ® Z, f(x) = 3x;c) f : {–2, 0, 2, 4} ® Z, f(x) = 0,5x; d) f : {–3, –2, –1, 0} ® Z, f(x) = 4x.

Rezolvare.


5. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale punctele: A(4, 0), B(0, 3), C(–5, 0), D(0, –2), E(2, 2), F(–3, 3), G(– 4, –1), H(3, –2).

Rezolvare.

Răspuns.


6. Construiţi reprezentarea graficului funcţiei:a) f : {–2, –1, 0, 1} ® Z, f(x) = –x; b) f : {–3, –1, 0, 1} ® Z, f(x) = –2x;c) f : {–4, 2, 1, 3} ® Z, f(x) = –3x ; d) f : {–3, –2, –1, 0} ® Z, f(x) = – 4x.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Reproduceţi graficul din dreapta.

x

y

–2

–1

2

1

Fie formulele: f(x) = –2x, g(x) = x, h(x) = 2x.Recunoaşteţi care formulă defineşte funcţia cu graficul reprezentat.

Răspuns..

8. Reprezentaţi graficul funcţiei: a) f : {–1, 0, 2, 3} ® Z, f(x) = 2; b) f : {–3, –1, 0, 1} ® Z, f(x) = –3; c) f : {–3, –1, 0, 3} ® Z, f(x) = –4; d) f : {–2, –1, 0, 2} ® Z, f(x) = –2.

Rezolvare.


9. Reprezentaţi graficul funcţiei: a) f : {–5, –4, 1, 3} ® Z, f(x) = x – 2; b) f : {–3, –1, 1, 2} ® Z, f(x) = 2x – 1; c) f : {–2, –1, 0, 3} ® Z, f(x) = 3x – 2; d) f : {–1, 0, 2, 4} ® Z, f(x) = 2x – 3.

Rezolvare.


10. Aflaţi legea de corespondenţă a funcţiei f cu Gf = {(–2, –2), (0, 0), (3, 3)}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.

11. Aflaţi formula care defineşte funcţia al cărei grafic este reprezentat în desen.

x

y

–2–1

21

fFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Răspuns..

12. Reprezentaţi graficul funcţiei: f : {–4, –3, –1, 0, 1} ® R, f(x) =

123

–2, dacă x < –1

1, dacă x ³ –1.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.

Suplimentar


13. Reprezentaţi în acelaşi sistem de axe ortogonale graficele funcţiile:f : {–1, 0, 1, 2} ® Z, f(x) = 2x – 1; g : {–1, 0, 1, 2} ® Z, f(x) = 2x – 3.

Rezolvare.

14. Reprezentaţi graficul funcţiei: f : {–2, –1, 0, 1, 2} ® R, f(x) =

123

5 – x, dacă x < 0

x – 2, dacă x ³ 0.

Rezolvare.

Suplimentar


15. Reprezentaţi graficul funcţiei f : {–2, 0, 1, 3} ® Z, f(x) = | –3x |.

Rezolvare.

16. Reprezentaţi graficul funcţiei f : {–3, –1, 1, 4} ® Z, f(x) = | x – 1 |.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

17. Aflaţi formula care defineşte funcţia al cărei grafic este reprezentat în desen.

x

yFormulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Răspuns..


l Construiţi graficul funcţiei f : {–2, –1, 0, 1, 2} ® R, f(x) = | x |.

x

yRezolvare. Tabelul valorilor funcţiei este:

x –2 –1 0 1 2f(x) 2 1 0 1 2

Gf = {(–2, 2), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}. Graficul funcţiei este reprezentat îndreapta.

l Construiţi graficul funcţiei f : {–1, 1, 2, 3, 4} ® R, f(x) = | x – 2 |. Rezolvare. Tabelul valorilor poate fi construit direct sau după explicitare. Explicitînd funcţia, obţinem

f(x) =

123

2 – x, dacă x Î {–1, 1}

x – 2, dacă x Î {2, 3, 4}.

Tabelul valorilor funcţiei este:

x –1 1 2 3 4f(x) = 2 – x 3 1f(x) = x – 2 0 1 2

x

y


l Construiţi graficul funcţiei f : {–1, 0, 1, 2, 3} ® R,

f(x) =

123

4 – x, dacă x Î {–1, 0, 1}

x + 1, dacă x Î {2, 3}.

x

y

Rezolvare. Tabelul valorilor funcţiei este:

x –1 0 1 2 3f(x) = 4 – x 5 4 3f(x) = x + 1 3 4


Funcţiile numerice f : D ® R, D Í R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R, sînt funcţii de gradul I.Graficul funcţiei de gradul I f : D ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R, unde mulţimea numerică D este finită, este format din puncte coliniare.

Învăţăm

Graficul funcţiei f : D ® R, f(x) = | ax |, a Î R*, unde mulţimea numerică D este finită, este conţinut de un unghi al cărei vîrf este originea sistemului de axe de coordonate.

Graficul funcţiei f : D ® R, f(x) = | ax + b |, a Î R*, b Î R, unde mulţimea numerică D este finită, este conţinut de un unghi.

Suplimentar

Suplimentar

Suplimentar


1. Reprezentaţi graficul funcţiei: f : {–5, –3, –1, 0, 1, 2} ® Z, f(x) = | 2x – 1 |.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

2. Reprezentaţi graficul funcţiei: f : {–5, –3, –1, 1, 2, 4} ® Z, f(x) = sgn (3x – 1).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Suplimentar


3. Reprezentaţi graficul funcţiei: f : {–4, –1, 0, 1, 2, 3} ® Z, f(x) = | x – 1 | – | x + 1 |.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

4. Construiţi graficul funcţiei f : {–2, 1, 2, 3} ® R, f(x) =

123

3 – x, dacă x Î {–2, 1}

x – 2, dacă x Î {2, 3}.


Rezolvare.


5. Construiţi graficul funcţiei f : {–1, 0, 1, 2} ® R, f(x) =

123

–x2+ 2, dacă x Î {–1, 0}

x3 – 5, dacă x Î {2, 3}.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.


E VA L U A R EI I I

1. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–12, –10, 4, 7} ® Z, f(x) = 10.

2. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–3, –2, 1, 3} ® Z, f(x) = 7x.

3. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–5, –3, 2, 4} ® Z, f(x) = 2x – 1.4. Reprezentaţi grafic punctele:

A(–3, 2), B(–2, –3), C(1, 4).

5. Fie funcţia f : {–9, –7, 6, 8} ® Z, f(x) = 5.Reprezentaţi prin enumerarea elementelor mulţi-mea Gf.

6. Fie funcţia f : {–11, –6, 2, 5} ® Q, f(x) = –7x.Reprezentaţi prin enumerarea elementelor mulţi-mea Gf.

7. Construiţi graficul funcţiei f : {–2, –1, 2, 3} ® Z, f(x) = –2x.

8. Construiţi graficul funcţiei f : {–2, –1, 0, 1} ® Z, f(x) = –2x + 1.

9. Aflaţi a astfel încît graficul funcţieif : D ® Z, f(x) = 2x + a

să conţină punctul (3, 9).

1. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–13, –12, 3, 1} ® Z , f(x) = 17.

2. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–5, –3, 2, 6} ® Z, f(x) = 3x.

3. Construiţi tabelul valorilor funcţiei f : {–7, –1, 5, 8} ® Z, f(x) = 2x + 1.4. Reprezentaţi grafic punctele:

A(–4, 5), B(–3, –2), C(3, 1).

5. Fie funcţia f : {–10, –6, 5, 9} ® Z, f(x) = 4.Reprezentaţi prin enumerarea elementelor mulţi-mea Gf.

6. Fie funcţia f : {–12, –7, 3, 4} ® Q, f(x) = –5x.Reprezentaţi prin enumerarea elementelor mulţi-mea Gf.

7. Construiţi graficul funcţiei f : {–2, –1, 1, 2} ® Z, f(x) = –3x.

8. Construiţi graficul funcţiei f : {–2, –1, 0, 1} ® Z, f(x) = 2x – 1.

9. Aflaţi a astfel încît graficul funcţieif : D ® Z, f(x) = 3x + a

să conţină punctul (4, 7).

1

1

1

1

1

1

1

1

2


¹ Funcţii de gradul Il Un autobuz a pornit într-o cursă lungă. După ce a parcurs 25 km, auto-buzul a intrat pe o autostradă. În continuare el se deplasează cu viteza me-die de 50 km/h. Scrieţi formula după care poate fi calculată distanţa par-cursă de autobuz în fiecare moment, după ce acesta a intrat pe autostradă. Construiţi un tabel în care înregistraţi distanţele parcurse după: 1 h, 2 h, 3 hşi reprezentaţi grafic funcţia care modelează situaţia descrisă.

Rezolvare. Ţinem cont că distanţa parcursă de autobuz pe autostradă este direct pro-

t

d

porţională cu timpul, iar la această distanţă se adaugă 25 km parcurşi pînă la auto-stradă. Notăm distanţa cu d, timpul cu t şi obţinem d(t) = 50t + 25.

Construim tabelul valorilor funcţiei d: t ore 0 1 2 3 d(t) km 25 75 125 175

Reprezentãm într-un sistem de axe ortogonale punctele: (0, 25) (1, 75), (2, 125),(3, 175). Pe axa absciselor o unitate = 1 h, iar pe axa ordonatelor o unitate = 25 km.Observaţii. 1) În acest caz valorile din tabel nu mai sînt izolate, deoarece se pot adăuga oricîte valori între cele existente sau mai mari decât ele.

2) Domeniul de definiţie al funcţiei d este infinit: [0, ∞).3) Graficul funcţiei d este o semidreaptă închisă.

l Pe 16 mai un magazin a primit 400 kg de zahăr. Zilnic se vînd 18 kg de zahăr. a) Scrieţi formula prin care se poate afla cantitatea de zahăr care rămîne după x zile.b) Reprezentaţi funcţia determinată de formula de la punctul a).c) Pentru ce zi trebuie să se comande o nouă cantitate de zahăr?

Rezolvare. a) În fiecare zi se vînd 18 kg de zahăr, deci în x zile se vînd 18x kg de zahăr. Dupã x zile magazinul mai are f(x) = 400 – 18x kg de zahăr.b) Ţinem cont că 400 = 18 ∙ 22 + 4. Construim tabelul valorilor funcţiei f:

x

y

10 20

400 x zile 5 10 15 20 22 d(t) km 310 220 130 40 4

Reprezentăm (cu aproximaţie) într-un sistem de axe ortogonale punctele: (10, 220), (20, 40) şi aplicăm faptul că graficul este conţinut de o dreaptă. Pe axa absciseloro unitate = 5 zile, iar pe axa ordonatelor o unitate = 90 kg.c) Zahărul ajunge pentru 22 de zile începînd cu 16 mai. O nouã comandă trebuiefăcută pentru ziua de 7 iunie.l Recunoaşteţi funcţiile cu domeniul de definiţie infinit: f1 : R ® R, f1(x) = x; f2 : {–3, 0, 5} ® Z, f2(x) = x + 2; f3 : {0, 2, 4, ...} ® Z, f3(x) = –3x + 2; f4 : R ® R, f4(x) = 0,7x – 8.Răspuns. Fiecare dintre funcţiile f1, f3, f4 are domeniul de definiţie infinit.l Fie funcţiile f1, f2, f3 : R ® R, f1(x) = 3x + 2, f2(x) = –5x, f3(x) = 4x – 3 şi punctul (–1, –1).Identificaţi funcţia care conţine punctul (–1, –1).Rezolvare. Deoarece f1(–1) = 3(–1) + 2 = –1. punctul (–1, –1) aparţine graficului funcţiei f1.f2(–1) = –5(–1) = 5 ¹ – 1 punctul (–1, –1) nu aparţine graficului funcţiei f2.f3(–1) = 4(–1) – 3 ¹ –1 punctul (–1, –1) nu aparţine graficului funcţiei f3.

ÎnvăţămD

in viaţă

Funcţiile numerice f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R, sînt funcţii de gradul I.Graficul funcţiei de gradul I f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R, este o dreaptă.

Din viaţă

Exerciţii rezo

lvate


E x e r c i ţ i i

1. a) Distanţa parcursă de un microbuz este d(t) = 30t + 10 (km). Aflaţi distanţa parcursă de microbuz după: 1 h, 1,5 h, 2 h, 2,5 h şi completaţi un tabel.

b) Distanţa parcursă de un tren este d(t) = 40t + 12 (km). Aflaţi distanţa parcursă de trendupă: 0,5 h, 1,2 h, 2,5 h, 3,4 h şi completaţi un tabel.

Rezolvare.

Răspuns.

2. Vlad are 15 lei. El a constatat că poate economisi zilnic 3 lei. Alegeţi formula dupã care se poate afla cîţi lei va avea după t zile: a) s(t) = 15t + 3; b) s(t) = 3t + 15; c) s(t) = 3t – 15; d) s(t) = 15t – 3.

Rezolvare.

Răspuns.

3. Cînd te urci într-un taximetru, pornirea costă 3 lei. La această sumă se adaugă 5 lei pentru fiecare kilome-tru parcurs. Alegeţi formula după care se obţine suma indicată de aparatul de taxat după x kilometri parcurşi de un client: a) s(x) = 5x + 3; b) s(x) = 3x – 5; c) (x) = 3x + 5; d) s(x) = 5x – 3.

Rezolvare.


Răspuns.

4. Se dau funcţiile: f1 : R ® R, f1(x) = 2x; f2 : R ® R, f2(x) = 3x; f3 : R ® R, f3(x) = –5x;f4 : R ® R, f4(x) = –3x; f5 : R ® R, f5(x) = 5x.

Completaţi tabelul:

x –1 0 1

f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x)

f5(x)

5. Recunoaşteţi funcţiile cu domeniul de definiţie infinit: f1 : {–1, 2, 5} ® R, f1(x) = 4x2;f2 : N ® R, f2(x) = 2,9x + 1; f3 : {..., –5, –3, –1} ® R, f3(x) = –2,5x.

Răspuns.

6. Decideţi dacă punctele: a) (2; 0), (–1, –3) aparţin graficului funcţiei f1(x) = x – 2;b) (3; 0), (–1, 4) aparţin graficului funcţiei f2(x) = –x + 3;c) (1, 3), (–2, –5) aparţin graficului funcţiei f3(x) = 3x;d) (0,5; 1), (–0,5; –1) aparţin graficului funcţiei f4(x) = 2x;e) (–1; –3,2), (0,5; 1,5) aparţin graficului funcţiei f5(x) = 3,2x.

Rezolvare.


Răspuns.

7. Fie funcţia f : R ® R, de forma f(x) = 3x. Construiţi dreapta care conţine punctele A şi B de coordonate:a) (–1, f(0)), (2, f(1)); b) (–1, f(1)), (3, f(1)); c) (0, f(–1)), (–3, f(1)); d) (–2, f(0)), (3, f(–1)).

Rezolvare.

Răspuns.


8. Fie funcţia f : R ® R, de forma f(x) = x + 1. Construiţi dreapta care conţine punctele A şi B de coordonate: a) (–1, f(0)), (2, f(–1)); b) (–1, f(1)), (3, f(2)); c) (0, f(–1)), (–3, f(1)); d) (–2, f(1)), (3, f(–2)).

Rezolvare.

Răspuns.

9. Se dau funcţiile: f1 : R ® R, f1(x) = x + 4; f2 : R ® R, f2(x) = x – 5; f3 : R ® R, f3(x) = –x + 3; f4 : R ® R, f4(x) = –x – 7; f5 : R ® R, f5(x) = 5 – x.


x –1 0 1 f1(x) f2(x)f3(x)f4(x) f5(x)

10. Se dau funcţiile: f1 : R ® R, f1(x) = 2x + 1; f2 : R ® R, f2(x) = 2x – 1; f3 : R ® R, f3(x) = –3x + 2; f4 : R ® R, f4(x) = 3x – 4.


x –1 0 1 f1(x) f2(x)f3(x)f4(x)


Exerciţii rezo

lvate

Formulări sinonime. 1) „să se reprezinte geometric graficul funcţiei ...“, „sã se reprezinte graficul funcţiei ...“, „să se reprezinte grafic funcţia ...“; 2) „funcţia de forma ...“, „expresia funcţiei este ...“, „formula prin care este definitã funcţia este ...“. l Graficul funcţiei f : R ® R, f(x) = ax, a Î R*, este o dreaptă care conţine originea sistemului de axe. Pentru construirea graficului este nevoie de minimum două puncte. l Graficul funcţiei f : R ® R, f(x) = b, b Î R*, este o dreaptă paralelă cu axa absciselor (Ox). Pentru con-struirea graficului este nevoie de minimum două puncte.

Învăţăm

l Reprezentaţi grafic funcţia:

x

ya) f1 : R ® R, f1(x) = 3x; b) f2 : R ® R, f2(x) = x – 2; c) f3 : R ® R, f3(x) = –2x + 1.

Rezolvare. a) Tabelul valorilor funcţiei f1 este

x –1 0 1 f1(x) –3 0 3

Reprezentăm punctele (–1, –3), (0, 0), (1, 3) şi constatăm că sînt coliniare. Graficul

x

yfuncţiei f1 este o dreaptă ce conţine originea sistemului de coordonate. b) Tabelul valorilor funcţiei f2 este

x 0 1 2 f2(x) –2 –1 0

Reprezentăm punctele (0, –2), (1, –1), (2, 0) şi constatăm că sînt coliniare. Graficulfuncţiei f2 este o dreaptă.c) Tabelul valorilor funcţiei f3 este

x –1 0 1 f2(x) 3 1 –1

x

y

Reprezentăm punctele (–1, 3), (0, 1), (1, –1) şi constatăm că sînt coliniare. Graficulfuncţiei f3 este o dreaptă.

x

yl Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = –2.Rezolvare. Tabelul valorilor funcţiei f este

x –1 0 1 f(x) –2 –2 –2

Reprezentăm punctele (–1, –2), (0, –2), (1, –2). Gra-

x

yficul lui f este o dreaptă paralelă cu abscisa (axa Ox).l Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = | x – 1 |.Rezolvare. Explicitînd funcţia, obţinem

f(x) =

123

1 – x, dacă x Î (–∞, 1)

x – 1, dacă x Î [1, ∞).

x –1 0 1 2 3f(x) = 1 – x 2 1 0)f(x) = x – 1 [0 1 2

Reprezentăm punctele (–1, 2), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 2)}. Graficul lui f este un unghi.


11. Construiţi graficul funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3x reprezentînd dreapta care conţine punctele (–1, f(–1)), (1, f(1));b) f(x) = –2x reprezentînd dreapta care conţine punctele (–1, f(–1)), (0, f(0));c) f(x) = 4x reprezentînd dreapta care conţine punctele (–1, f(–1)), (0, f(0));d) f(x) = –3x reprezentînd dreapta care conţine punctele (–1, f(–1)), (0, f(0));e) f(x) = –4x reprezentînd dreapta care conţine punctele (–1, f(–1)), (0, f(0)).

Rezolvare.

12. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = x + 1 alegînd pentru x valorile –1, 0, 2;b) f(x) = –x + 3 alegînd pentru x valorile 0, 1, 3; c) f(x) = –x + 5 alegînd pentru x valorile 0, 3, 5;d) f(x) = –x – 5 alegînd pentru x valorile –5, –2, –1; e) f(x) = –x + 2 alegînd pentru x valorile –1, 0, 1.

Rezolvare.


13. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 2x – 1 alegînd pentru x valorile –1, 1;b) f(x) = –3x + 1 alegînd pentru x valorile 0, 1; c) f(x) = –4x + 3 alegînd pentru x valorile 0, 1;d) f(x) = –2x – 3 alegînd pentru x valorile –2, 0;e) f(x) = 3x – 2 alegînd pentru x valorile –1, 0.

Rezolvare.


14. Identificaţi care dintre punctele: a) (–2, –3), (1, –2) aparţine graficului funcţiei f1 : R ® R, f1(x) = –2x + 1;b) (–2, 8), (–1, –3) aparţine graficului funcţiei f2 : R ® R, f2(x) = –3x + 2;c) (–3, 7), (–1, –6) aparţine graficului funcţiei f3 : R ® R, f3(x) = –2x + 3;d) (2, 4), (–1, –4) aparţine graficului funcţiei f4 : R ® R, f4(x) = 3x – 1.

Rezolvare.

15. Reprezentaţi dreapta determinată de punctele A(1, 1), B(2, –2). Identificaţi care dintre funcţiile f1, f2, f3 : R ® R, f1(x) = 3x + 4, f2(x) = –3x + 4, f3(x) = –4x + 3 are graficul dreapta AB.

Rezolvare.

Răspuns.


16. Alegeţi convenabil două puncte şi construiţi graficul funcţiei de forma:a) f(x) = x + 5; b) f(x) = –x + 3; c) f(x) = x – 6; d) f(x) = x + 7.

Rezolvare.

17. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 1; b) f(x) = –1; c) f(x) = 4; d) f(x) = –5; e) f(x) = –2,5.

Rezolvare.


18. George a primit o pungă cu 57 de bomboane. El vrea să mănînce în fiecare zi 2 bomboane.a) Scrieţi formula după care George poate afla cîte bomboane i-au rămas după x zile. b) Reprezentaţi funcţia definită de formula de la punctul a).c) George a primit bomboanele pe 5 aprilie. În ce zi consumă George ultima bomboană?


Rezolvare.

Răspuns.

19. Fie funcţia f : R ® R, f(x) =

123

–3, dacă x £ 0

2, dacă x > 0. Calculaţi f(–3), f(–2), f(0), f(1), f(2), f(5).


Rezolvare.

Răspuns.

20. Fie funcţia f : R ® R,

f(x) =

123

3x – 2, dacă x £ 1

x + 3, dacă x ³ 1.Calculaţi f(–2), f(–1), f(0), f(1), f(1,5), f(2,2)..


Rezolvare.

Răspuns.

21. Anca a primit pe 5 martie 145 lei. În medie ea cheltuieşte 2,5 lei pe zi. Pe 30 aprilie Anca a primit 15 lei pe care să-i cheltuiască în excursie.

a) Scrieţi formula după care se poate afla ce sumă de bani mai are Anca după x zile şi reprezentaţi-o grafic. (Alegeţi unităţi convenabile.)b) Cîţi lei poate cheltui Anca în excursie?


Rezolvare.

Răspuns.

22. Se dau funcţiile f1, f2, f3 : R ® R, f1(x) = 3x + 1, f2(x) = 3x + 2, f3(x) = 3x – 3.Construiţi graficele funcţiilor în acelaşi sistem de axe ortogonale şi identificaţi poziţiile lor relative.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.


23. Graficul unei funcţii f este dreapta determinată de punctele A(2, 0) şi B(0, –3). Aflaţi expresia funcţiei f.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.


24. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = | x – 3 |.

Rezolvare.

25. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) =

123

x – 3, dacă x £ 1

–2, dacă x > 1.

Rezolvare.


l Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 2x. a) Studiaţi semnul funcţiei f.b) Comparaţi, prin exemple, f(x1) cu f(x2) cînd x1 < x2.

Rezolvare. a) Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0 şi obţinem x = 0. Construim tabelul:

x –2 –1 0 1 2

f(x) –4 –2 0 2 4semn f(x) – 0 +

Din tabel se constată că: pentru x Î (–∞, 0), f(x) < 0; pentru x Î (0, ∞), f(x) > 0.b) Pentru x1 = –2 şi x2 = 1 obţinem f(–2) < f(1) (deoarece – 4 < 2).

Analizînd şi alte exemple, constatăm că x1 < x2 implică f(x1) < f(x2).l Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 2x – 1.

a) Studiaţi semnul funcţiei f.b) Comparaţi, prin exemple, f(x1) cu f(x2) cînd x1 < x2.

Rezolvare. a) Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0 şi obţinem x = 0,5. Construim tabelul:

x –2 0,5 2

f(x) –5 0 3semn f(x) – 0 +

Din tabel se constată că: pentru x Î (–∞; 0,5), f(x) < 0; pentru x Î (0,5; ∞), f(x) > 0.b) Pentru x1 = –2 şi x2 = 2 obţinem f(–2) < f(2) (deoarece –5 < 3).

Analizînd şi alte exemple, constatăm că x1 < x2 implică f(x1) < f(x2).l Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –3x + 1.

a) Studiaţi semnul funcţiei f.b) Comparaţi, prin exemple, f(x1) cu f(x2) cînd x1 < x2.

Rezolvare. a) Rezolvăm ecuaţia f(x) = 0 şi obţinem x = 0,(3). Construim tabelul:

x 0 0,(3) 2

f(x) 1 0 –5semn f(x) + 0 –

DDescoperim

l Graficul funcţiei f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R*, este o dreaptă care nu conţine originea siste-mului de axe şi se construieşte avînd două puncte. l Funcţia f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R, are valoarea 0 pentru x = – b

a. – b

a este zeroul funcţiei

f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R. Intersecţia graficului funcţiei f cu axa Ox este punctul (– ba

, 0 (.

Învăţăm

º Proprietăţi ale funcţiei de gradul I, f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R

l Pentru fiecare dintre funcţiile de gradul I (f : R ® R) de mai jos aflaţi zeroul şi intersecţia graficului ei cu axa Ox.

a) f(x) = 3x; b) f(x) = 2x + 5; c) f(x) = 4x – 3; d) f(x) = –5x + 4.Rezolvare. a) Deoarece 3x = 0, rezultă x = 0. Zeroul lui f este 0 şi intersecteză Ox în punctul (0, 0).

b) Deoarece 2x + 5 = 0, rezultă x = –2,5. Zeroul lui f este –2,5 şi intersecteză Ox în punctul (–2,5; 0).c) Deoarece 4x – 3 = 0, rezultă x = 0,75. Zeroul lui f este 0,75 şi intersecteză Ox în punctul (0,75; 0).d) Deoarece –5x + 4 = 0, rezultă x = 0,8. Zeroul lui f este 0,8 şi intersecteză Ox în punctul (0,8; 0).


E x e r c i ţ i i

1. Aflaţi zeroul funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3x; b) f(x) = –5x;c) f(x) = 2,73x; d) f(x) = 1,2x; e) f(x) = –3,4x; f) f(x) = –7,3x.

Rezolvare.

Răspuns.

2. Aflaţi intersecţia cu axa Ox a graficului funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 11x; b) f(x) = –2,76x;c) f(x) = 3,81x; d) f(x) = 4,29x; e) f(x) = –1,78x; f) f(x) = –1,562x.

Rezolvare.

Răspuns.


3. Aflaţi zeroul funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3x + 9; b) f(x) = –7x + 14;c) f(x) = 4x – 5,2; d) f(x) = –2,8x + 5,6; e) f(x) = 5x – 25; f) f(x) = –12x + 48.

Rezolvare.

Răspuns.

4. Aflaţi intersecţia cu axa Ox a graficului funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 5x + 2; b) f(x) = –5x + 3;c) f(x) = 4x – 7; d) f(x) = –8x + 5; e) f(x) = 2x – 11; f) f(x) = –2x + 21.

Rezolvare.

Răspuns.


5. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 12x. Completaţi tabelul:

x –1 0 2f(x)

semn f(x)

6. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –14x. Completaţi tabelul:

x –3 0 4f(x)

semn f(x)

Completaţi un tabel asemănător pentru funcţia f : R ® R, f(x) = –17x.

Rezolvare.

7. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 5x – 2. Completaţi tabelul:

x –1 0,4 2f(x)

semn f(x)

Completaţi un tabel asemănător pentru funcţia f : R ® R cu: a) f(x) = 6x + 1; b) f(x) = 8x + 3.

Rezolvare.

8. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –3x – 8. Completaţi tabelul:

x –1 –2,(6) 2f(x)

semn f(x)

Completaţi un tabel asemănător pentru funcţia f : R ® R cu: a) f(x) = –10x + 1; b) f(x) = –5x + 9; c) f(x) = –7x + 21; d) f(x) = – 6x + 90.


Rezolvare.

9. Comparaţi f(0) cu f(2), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 6x; b) f(x) = –8,1x;c) f(x) = 3,6x; d) f(x) = –11,2x; e) f(x) = 4,5x; f) f(x) = –5,5x.

Rezolvare.


10. Comparaţi f(0) cu f(1), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 5x + 2; b) f(x) = –8x + 5; c) f(x) = 17x – 8; d) f(x) = – 6,4x + 2; e) f(x) = 13x – 6; f) f(x) = –15x + 4.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Comparaţi 0 cu f(1), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 5x; b) f(x) = –53x;c) f(x) = 2,8x; d) f(x) = –719x; e) f(x) = 7,2x; f) f(x) = –324x.

Rezolvare.

Răspuns.


12. Comparaţi 0 cu f(1), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 2x + 3; b) f(x) = –18x + 56;c) f(x) = 5x – 12; d) f(x) = – 5x + 128; e) f(x) = 7x – 14; f) f(x) = –2x + 5.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Comparaţi 0 cu f(–2), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 7x; b) f(x) = –12x; c) f(x) = 11x; d) f(x) = –15x; e) f(x) = 23x; f) f(x) = –17x.

Rezolvare.

Răspuns.


14. Comparaţi 0 cu f(1), dacă funcţia f : R ® R, este de forma: a) f(x) = 3x + 7; b) f(x) = –7x + 5;c) f(x) = 4x –13; d) f(x) = – 12x + 7; e) f(x) = 6x – 19; f) f(x) = –13x + 15.

Rezolvare.

Răspuns.

15. Identificaţi coeficientul lui x al funcţiei de forma: a) f(x)= 2,7x + 1; b) f(x) = –2,13x + 9; c) f(x) = 8,4x – 2; d) f(x) = –14,2x + 4,7.

Rezolvare.

Răspuns.


l Aflaţi semnul funcţiei f : R ® R, dacă: a) f(x) = 5x + 7; b) f(x) = –8x + 5.Rezolvare. a) Zeroul funcţiei f este soluţia ecuaţiei 5x + 7 = 0, numărul –1,4.

x –1,4

f(x) 0semn f(x) – 0 +

a > 0

–+–1,4

Din tabel se constată că: pentru x Î (–∞; –1,4), f(x) < 0; pentru x Î (–1,4; ∞), f(x) > 0.a) Zeroul funcţiei f este soluţia ecuaţiei –8x + 5 = 0, numărul 1,6.

x 1,6

f(x) 0semn f(x) + 0 –

a < 0

–+ 1,6

Din tabel se constată că: pentru x Î (–∞; 1,6), f(x) > 0; pentru x Î (1,6; ∞), f(x) < 0.

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Din tabel se constată că: pentru x Î (–∞; 0,(3)), f(x) > 0; pentru x Î (0,(3); ∞), f(x) < 0.b) Pentru x1 = 0 şi x2 = 2 obţinem f(0) > f(2) (deoarece 1 > –5).

Analizînd şi alte exemple, constatăm că x1 < x2 implică f(x1) > f(x2).

Semnul funcţiei de gradul I, f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R

Rezolvînd ecuaţia f(x) = 0, se află zeroul funcţiei f, – ba

, după care completează tabelul

x – ba

f(x) 0 semn f(x) semn (–a) 0 semn a

a > 0

–+

a < 0

–+

l f are pe intervalul (–∞,– ba ( semnul numărului –a; l f are pe intervalul (– b

a,–∞ ( semnul numărului a.

Monotonia funcţiei de gradul I, f : R ® R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î Rl Dacă a > 0, x1 < x2 implică f(x1) < f(x2), f este strict crescătoare.

l Dacă a < 0, x1 < x2 implică f(x1) > f(x2), f este strict descrescătoare.

x

f(x)

a > 0

x

f(x)

a < 0

Învăţăm

l Aflaţi semnul funcţiei f : R ® R, dacă: a) f(x) = 3x – 5; b) f(x) = –2x + 11.

Rezolvare. a) a = 3 > 0. x

f(x) Funcţia f este strict crescătoare.

b) a = –2 < 0. x

f(x) Funcţia f este strict descrescătoare.

Exerciţiu

rezolv

at


16. Stabiliţi semnul funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 89; b) f(x) = –126; c) f(x) = 12,78; d) f(x) = –591.

Rezolvare.

17. Stabiliţi semnul funcţiei f : R ® R, de forma:a) f(x) = 7x; b) f(x) = –45x; c) f(x) = 134x; d) f(x) = 78x; e) f(x) = –15x; f) f(x) = –51x.

Rezolvare.


18. Stabiliţi semnul funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = 2x + 8; b) f(x) = –7x + 21; c) f(x) = 3x – 12; d) f(x) = –15x + 45; e) f(x) = 6x – 12; f) f(x) = –12x + 24.

Rezolvare.

19. Examinaţi graficele şi caracterizaţi funcţiile corespunzătoare alegînd una dintre variantele: „funcţia este strict crescătoare“; „funcţia este strict descrescătoare“; „funcţia este constantă“.

a) b) c) d) e) f)

Răspuns..

20. Stabiliţi monotonia funcţiei f : R ® R, de forma: a) f(x) = x + 17; b) f(x) = –18x + 5; c) f(x) = 59,1x + 2; d) f(x) = – 13,9x + 1; e) f(x) = 128; f) f(x) = –3,(18).

Răspuns..


21. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = 1,5x. Stabiliţi semnul funcţiei f cu ajutorul graficului.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

22. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = –0,5x. Stabiliţi semnul funcţiei f cu ajutorul graficului.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

23. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = 2x – 3. Stabiliţi semnul funcţiei f cu ajutorul graficului.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


24. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = –3x + 5. Stabiliţi semnul funcţiei f cu ajutorul graficului.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

25. Aflaţi numărul m pentru care funcţia f : R ® R, f(x) = –mx + 2 este: a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă. Stabiliţi semnul funcţiei f cu ajutorul graficului.


Rezolvare.


26. Aflaţi numărul m pentru care funcţia f : R ® R, f(x) = (m + 1)x + 2 este:a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

27. Aflaţi numărul m pentru care funcţia f : R ® R, f(x) = (3 – m)x – 5 este:a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

28. Aflaţi numărul m pentru care funcţia f : R ® R, f(x) = (2m + 5)x + 2 este:a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare..

29. Aflaţi numărul m pentru care funcţia f : R ® R, f(x) = (7 – 2m)x – 8 este:a) strict crescătoare; b) strict descrescătoare; c) constantă.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare..


Exerciţii rezo

lvate

l Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = 2x – 3 cu domeniul de definiţie:

x

y )

)

a) D = (0, 3); b) D = [0, 3); c) D = [0, 3].

Rezolvare. a) Tabelul valorilor funcţiei f este x 0 3

f(x) (–3 3)Funcţia f este strict crescătoare şi graficul ei este un segment deschis.

x

y )]

b) Tabelul valorilor funcţiei f este

x 0 3

f(x) [–3 3)

Funcţia f este strict crescătoare şi graficul ei este un segment închis la stînga şi deschis la dreapta.

x

y ]

]c) Tabelul valorilor funcţiei f este

x 0 3

f(x) [–3 3]

Funcţia f este strict crescătoare şi graficul ei este un segment închis.Observaţie. În tabelul de valori şi la grafic „)“ şi „[“ au semnificaţiile de la intervale şi cele de la geo-metrie (segmente închise, segmente deschise).l Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = –3x + 4 cu domeniul de definiţie:

x

y

)

a) D = (–∞, 1); b) D = (–∞, 1].

Rezolvare. a) Tabelul valorilor funcţiei f este x –∞ 0 1

f(x) 4 1)Funcţia f este strict descrescătoare şi graficul ei este o semidreaptă deschisă.

x

y

]

b) Tabelul valorilor funcţiei f este

x –∞ 0 1

f(x) 4 1]

Funcţia f este strict descrescătoare şi graficul ei este o semidreaptă închisă.l Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = sgn (–x + 2).

x

y

)

)

Rezolvare. Explicităm ţinînd cont de definiţia funcţiei signum (sgn).

f(x) =

123

–1, dacă –x + 2 < 0 0, dacă –x + 2 = 0 1, dacă –x + 2 > 0

implică f(x) =

123

1, dacă x < 2 0, dacă x = 2–1, dacă x > 2.

Tabelul valorilor funcţiei f estex –1 2 1

f(x) = 1 1 1)f(x) = 0 0f(x) = –1 (–1 –1

sau x –1 2 1

f(x) 1 1)0(–1 –1

ÎnvăţămSuplim

entar


E x e r c i ţ i i 1. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = ax + b, dacă tabelul valorilor ei este:

a) x –2 2f(x) (–3 2)

b) x –3 –1f(x) (–1 3)

c) x – 3 0f(x) (–2 0)

Rezolvare.

2. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = ax + b, dacă tabelul valorilor ei este:

a) x –3 1f(x) (2 –1]

b) x –1 3f(x) (1 –2]

c) x 0 4f(x) [3 –1)

Rezolvare.


3. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = ax + b, dacă tabelul valorilor ei este:

a) x –1 3f(x) [–2 1]

b) x –3 2f(x) [2 –2]

c) x –2 2f(x) [3 –3]

Rezolvare.

4. Construiţi pentru fiecare grafic un tabel de valori.

x

y)

)

x

y

]

]

x

y

)

)

x

y

]

]

a) b) c) d)


Rezolvare.


x

y]

)

x

y

]

)

x

y

)]

x

y

]

) a) b) c) d)

Rezolvare.


Rezolvare.


x

y]

x

y

)

x

y]

x

y

) a) b) c) d)

Rezolvare.


7. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, dacă:a) f(x) = 4, D = (–1, 3); b) f(x) = –2, D = [–3, 1]; c) f(x) = 1, D = [–2, 3); d) f(x) = 2, D = [–1, 2].

Rezolvare.


x

y

])

x

y

))

x

y

)]

x

y]]

a) b) c) d)

Rezolvare.


9. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, dacă: a) f(x) = 1, D = (–∞, 2); b) f(x) = –2, D = [–3, ∞);c) f(x) = –3, D = [–∞, 4); d) f(x) = 3, D = [–2, ∞).

Rezolvare.

10. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = ax + b, a Î R, b Î R, cu tabelul de valori:

a) x –3 1f(x) (–2 0

b) x –1 2f(x) [–1 1

c) x –2 2f(x) [3 –1

d) x –1 3f(x) (2 –2

Rezolvare.


11. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = ax + b, cu tabelul de valori:

a) x –3 1f(x) (–2 –2

b) x –1 2f(x) [–1 –1

c) x –2 2f(x) [3 3

Rezolvare.

12. Aflaţi expresia funcţiei f : R ® R, f(x) = ax, dacă graficul ei conţine punctul (2, 3).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Aflaţi domeniul de definiţie şi expresia funcţiei f : D ® R, f(x) = ax, dacă graficul ei este segmentul închis AB, A(–1, –2), B(2, 4).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


14. Aflaţi domeniul de definiţie şi expresia funcţiei f : D ® R, f(x) = ax, dacă graficul ei este semidreapta închisă AB, A(–2, 3), B(4, –6).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

15. Aflaţi domeniul de definiţie şi expresia funcţiei f : D ® R, f(x) = ax, dacă graficul ei este semidreapta deschisă AB, A(2, 5), B(–2, –5).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul dreapta AB cu A(–3, 0), B(0, 2).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Răspuns..

17. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul [AB cu A(–2, 0), B(0, 3).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


18. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul (AB cu A(0, 2), B(–1, 7).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul (AB] cu A(–4, –2), B(0, 3).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

20. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul [AB] cu A(0, –5), B(2, 6).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

20. Aflaţi elementele funcţiei avînd graficul [AB] cu A(0, –4), B(3, 2).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


21. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = | x – 5 |.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.

22. Aflaţi elementele funcţiei avînd unghiul AOB cu A(2, 1), O(3, 0), B(4, 1).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.


Suplimentar

1. Reprezentaţi grafic funcţia: f : R ® R, f(x) = sgn (x + 5).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.

2. Reprezentaţi grafic funcţia: f : R ® R, f(x) = sgn (2x – 5).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

3. Reprezentaţi grafic funcţia: f : R ® R, f(x) = √(2x – 3)2.–

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.


1. Scrieţi folosind simboluri: a) „funcţia ef definitã pe A cu valori în Be de forma f(x) = 2x“;b) „funcţia ge de la Ce la De de forma g(x) = 4x“.

Răspuns.

2. Scrieţi intervalul: a) deschis 3 5; b) închis 5 7; c) –5 7 închis la stînga şi deschis la dreapta.

Răspuns.

3. Reprezentaţi printr-o diagramă funcţia:a) f : {–1, 2, 4} ® {1, 5, 6}, f(x) = x – 1; b) f : {–3, 3} ® {0, 9}, f(x) = x2.

Răspuns.

4. Enumeraţi elementele funcţiei: a) f : {–1, 3} ® {1, 5, 6}, f(x) = x + 2; 1

12

2

3

4 b) definite prin diagrama:

Răspuns.

5. Reprezentaţi grafic funcţia: a) f : {0, 1, 3} ® Z, f(x) = 2; b) f : {0, 1, 3} ® Z, f(x) = –2.

Rezolvare.


17. Reprezentaţi grafic funcţiile: f : R ® R, f(x) = 4x – 5;g : R ® R, g(x) = –4x + 5.

18. Reprezentaţi grafic funcţiile:

f : {–1, 1} ® R, f(x) = 3x – 1;g : {–1, 1} ® R, g(x) = –3x + 1.Caracterizaţi poziţiile celor două grafice.



6. Reprezentaţi grafic funcţia: a) f : R ® R, f(x) = 4; b) f : R ® R, f(x) = –4.

Rezolvare.

7. Reprezentaţi grafic funcţia: a) f : (–2, 5) ® R, f(x) = 1; b) f : [–2, 5] ® R, f(x) = –1.

Rezolvare.

8. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R: a) f(x) = 3 cu D = (–∞, –1); b) f(x) = –2 cu D = (3, ∞).

Rezolvare.

9. Reprezentaţi grafic funcţia:a) f : {–1, 0, 5} ® Z, f(x) = 3x; b) f : {–2, –1, 1} ® Z, f(x) = –3x; c) f : {–3, –2, 1} ® Z, f(x) = –2x.

Rezolvare.


10. Reprezentaţi grafic funcţia: a) f : {–2, –1, 3} ® Z, f(x) = x + 2;b) f : {–2, 0, 2} ® Z, f(x) = –x + 3; c) f : {–1, 1, 2} ® Z, f(x) = –x + 2.

Rezolvare.

11. Reprezentaţi grafic funcţia: a) f : R ® R, f(x) = 5x; b) f : R ® R, f(x) = –4x; c) f : R ® R, f(x) = –2x.

Rezolvare.

12. Stabiliţi semnul funcţiei: a) f : R ® R, f(x) = 321; b) f : R ® R, f(x) = –5,34.

Rezolvare.

13. Stabiliţi semnul funcţiei: a) f : R ® R, f(x) = –9,35x; b) f : R ® R, f(x) = 37,2x.

Rezolvare.


14. Stabiliţi semnul fiecărei funcţii f : R ® R, reprezentate grafic:

x

y

x

y

x

y

a) b) c)

Rezolvare.

15. Recunoaşteţi monotonia fiecărei funcţii f : R ® R, reprezentate grafic:

x

y

x

y

x

y

a) b) c)

Răspuns.

16. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –2x – 4. Completaţi tabelul:x –3 –2 0

f(x) semn f(x)

Completaţi un tabel asemănător pentru funcţia f : R ® R, f(x) = –3x + 6.

Rezolvare.


19. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = –5x + 4 şi stabiliţi semnul funcţiei cu ajutorul graficului.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

20. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –2mx + 4. Aflaţi valorile reale ale lui m pentru care:a) f este strict crescătoare: b) f este strict descrescătoare; c) f este constantă.


Rezolvare.

21. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 5x. Stabiliţi tipul de proporţionalitate dintre numerele 2, 5, 9 şi valorile lor: f(2), f(5), f(9). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

22. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 4x

. Stabiliţi tipul de proporţionalitate dintre numerele 3, 7, 10 şi valorile lor: f(3), f(7), f(10).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.


23. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = mx + 3. Stabiliţi semnul şi monotonia funcţiei f, dacă punctul (2, 1) aparţine graficului lui f.

Rezolvare.

24. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = mx + n. Stabiliţi semnul şi monotonia funcţiei f, dacă punctele (0, 1) şi (2, –3) aparţin graficului lui f.

Rezolvare.

25. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) = x – 3 şi simetricele graficului faţă de axele de coordonate.

Rezolvare.


26. Reprezentaţi grafic funcţia f : {–2, 1, 2, 3, 4} ® Z, f(x) =

123

3 – x, dacă x < 1

x – 1, dacă x ³ 1.

Rezolvare.

27. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, f(x) =

123

2x + 1, dacă x < 1

4x – 1, dacă x ³ 1.

Rezolvare.

28. Graficul funcţiei f : D ® R, este (AB], A(0, 3), B(4, 0). a) Aflaţi elementele necunoscute ale funcţiei f.b) Aflaţi elementele funcţiei al cărei grafic este simetricul faţă de Oy al graficului lui f.c) Aflaţi elementele funcţiei al cărei grafic este simetricul faţă de Ox al graficului lui f.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.Rezolvare.


E VA L U A R EI I I

1. Identificaţi diagrama care nu defineşte o funcţie.0

a)

bc 5

a3

0

b)

bc 5

a3

0

c)

bc 5

a3

2. Enumeraţi elementele funcţiei f : E ® F, f(x) = 3 + x.

3. Enumeraţi elementele funcţiei f : {–2, 1, 4} ® {–1, 2, 5}, f(x) = 3 – x.

4. Se dau funcţiile f1, f2 : D ® R, f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1. Asociaţi fiecărei funcţii graficul ei.

x

y

x

y

a) b)5. Reprezentaţi grafic funcţia:

a) f : {–1, 3} ® Z, f(x) = 2;b) f : R ® R, f(x) = –1.

6. Reprezentaţi grafic funcţia:a) f : {–2, 1, 2} ® Z, f(x) = 4x;b) f : R ® R, f(x) = –4x.

7. Reprezentaţi grafic funcţia:a) f : {–3, 0, 1} ® Z, f(x) = 2x – 3;b) f : R ® R, f(x) = –2x – 1 şi stabiliţi semnul şi monotonia funcţiei.

8. Într-un butoi sunt 15 litri de apă. Scrieţi formula după care se poate calcula cantitatea de apa din bu-toi, dacă printr-un furtun curg în butoi 5 litri de apă pe minut.9. Graficul unei funcţii este linia frîntă deschisă ABC, A(–1, 4), B(1, –2), C(3, 2). Enumeraţi elemen-tele funcţiei.

1. Identificaţi diagrama care nu defineşte o funcţie.1

a)

bc 5

a2

1

b)

bc 5

a2

1

c)

bc 5

a2

2. Enumeraţi elementele funcţiei f : E ® F, f(x) = 2 + x.

3. Enumeraţi elementele funcţiei f : {–3, –1, 1} ® {1, 3, 5}, f(x) = 2 – x.

4. Se dau funcţiile f1, f2 : D ® R, f1(x) = x + 2, f2(x) = x – 2. Asociaţi fiecărei funcţii graficul ei.

x

y

x

y

a) b)5. Reprezentaţi grafic funcţia:

a) f : {–2, 1} ® Z, f(x) = 3;b) f : R ® R, f(x) = –2.

6. Reprezentaţi grafic funcţia:a) f : {–1, 2, 3} ® Z, f(x) = 3x;b) f : R ® R, f(x) = –3x.

7. Reprezentaţi grafic funcţia:a) f : {–2, 1, 2} ® Z, f(x) = 3x – 2;b) f : R ® R, f(x) = –3x – 1 şi stabiliţi semnul şi monotonia funcţiei.

8. Într-un butoi sunt 25 litri de apă. Scrieţi formula după care se poate calcula cantitatea de apa din bu-toi, dacă printr-un furtun curg în butoi 3 litri de apă pe minut.9. Graficul unei funcţii este linia frîntă deschisă ABC, A(–3, 2), B(–1, –2), C(1, 4). Enumeraţi elementele funcţiei.

1

1

1

1

1

1

1

1

2


E VA L U A R E S U M AT I V ĂI I I

1. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 2x + 5. Calculaţi valo-rile funcţiei f în –2, 1, 3.2. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –5x + 2. Verificaţi dacă graficul funcţiei f conţine punctul: a) (1, –3); b) (2, 8).3. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3; b) f(x) = –3.4. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 2x; b) f(x) = –2x.5. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3x – 2; b) f(x) = –3x + 2.6. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = 4, dacă: a) D = (–1, 3); b) D = (–3, 1]; c) D = [–1, 3]. 7. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = 2, dacă: a) D = (– ∞, 2); b) D = [–1, ∞).8. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 3x – 5. Stabiliţi:

a) semnul funcţiei f;b) monotonia funcţei f.

9. Fie semidreapta AB, A(–2, 0), B(1, 3). Construiţi funcţia al cărei grafic este simetrica semidreptei în-chise AB faţă de axa Oy.

1. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 3x + 2. Calculaţi valo-rile funcţiei f în –2, 1, 3.2. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = –3x + 1. Verificaţi dacă graficul funcţiei f conţine punctul: a) (1, –3); b) (2, –5).3. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 2; b) f(x) = –2.4. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 3x; b) f(x) = –3x.5. Reprezentaţi grafic funcţia f : R ® R, de forma: a) f(x) = 2x – 3; b) f(x) = –2x + 3.6. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = 5, dacă: a) D = (–2, 3); b) D = (–1, 3]; c) D = [–3, 4]. 7. Reprezentaţi grafic funcţia f : D ® R, f(x) = 6, dacă: a) D = (– ∞, 1); b) D = [–3, ∞).8. Fie funcţia f : R ® R, f(x) = 5x – 4. Stabiliţi:

a) semnul funcţiei f;b) monotonia funcţei f.

9. Fie semidreapta AB, A(0, –2), B(3, 1). Construiţi funcţia al cărei grafic este simetrica semidreptei în-chise AB faţă de axa Oy.

1

1

1

1

1

1

1

1

2

251Algebra. Cap. 6. Ecuaţia de gradul I

Capitolul 6 Ecuaţia de gradul I ¶ Proprietăţi ale egalităţii numerelor reale

l Aflaţi zerourile funcţiei f : {–3, –1, 1, 2, 3} ® R: a) f(x) = x + 3; b) f(x) = x2 – 1; c) f(x) = x + 5. Rezolvare. Se ştie că numărul real s pentru care f(s) = 0 este un zerou al funcţiei f.

a) Înlocuind, pe rînd, fiecare număr al mulţimii {–3, –1, 1, 2, 3} în expresia funcţiei f, se obţine f(x) = 0 numai pentru x = –3, deoarece –3 + 3 = 0. Răspuns: f are zeroul –3.b) Procedînd ca la rezolvarea exerciţiului anterior, găsim numerele –1 şi 1 pentru care f(x) = 0 este adevă-rată. Răspuns: f are zerourile –1 şi 1. c) Se găseşte –5, unde f nu este definită. Răspuns: f nu are zerouri.

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Fie a = b, a, b Î R.1) Dacă se adună acelaşi număr în ambii membri ai unei egalităţi se obţine o egalitate.

a = b, c Î R implică a + c = b + c.2) Dacă se scade acelaşi număr în ambii membri ai unei egalităţi se obţine o egalitate.

a = b, c Î R implică a – c = b – c.3) Dacă se înmulţeşte cu acelaşi număr nenul fiecare membru al unei egalităţi se obţine o egalitate.

a = b, c Î R* implică ac = bc.4) Dacă se împarte la acelaşi număr nenul fiecare membru al unei egalităţi se obţine o egalitate.

a = b, c Î R* implică a : c = b : c.

· Ecuaţia de gradul I

Fie funcţiile f, g : D ® R, D Í R, cu expresiile f(x) şi g(x).l Se numeşte ecuaţie cu domeniul valorilor admisibile (DVA) D propoziţia f(x) = g(x). Ecuaţia f(x) = g(x) are necunoscuta x, membrul stîng f(x) şi membrul drept g(x). Se numeşte soluţie a ecuaţiei f(x) = g(x) numărul s Î D pentru care f(s) = g(s) este o propoziţie adevărată.Mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei este mulţimea soluţiilor ei. Această mulţime se notează S.l Fie f : D ® R, D Í R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R. Propoziţia f(x) = 0 se numeşte ecuaţie de gradul I cu domeniul valorilor admisibile D. Ecuaţiile de gradul I cu aceleaşi soluţii se numesc ecuaţii echivalente.l Rezolvarea ecuaţiei de gradul I, ax + b = 0, a Î R*, b Î R, x Î D, aplicînd proprietăţile egalităţii numere-lor reale: ax + b = 0 Û (este echivalentă cu) ax + b – b = –b Û ax = –b Û ax : a = –b : a Û x = – b

a.

Selectarea soluţiei. 1) Dacă – ba

Î D, atunci S = {– ba

.} 2) Dacă – ba

Ï D, atunci S = Æ.

l Fie f, g : D ® R, D Í R, f(x) = a1x + b1, g(x) = a2x + b2, a1, a2 Î R*, b1, b2 Î R.l Rezolvarea ecuaţiei a1x + b1 = a2x + b2, a1, a2 Î R*, b1, b2 Î R, x Î D: a1x + b1 = a2x + b2 Û (este echi-valentă cu) a1x + b1 – b1 – a2x = a2x + b2 – b1 – a2x Û a1x – a2x = b2 – b1 Û (a1 – a2)x = b2 – b1 Û mx = n, m = a1 – a2, n = b2 – b1 Û mx + n – n = –n Û mx = –n, (*).Selectarea soluţiilor. 1) Dacă m = 0, ecuaţia iniţială nu are soluţii S = Æ.2) Dacă m ≠ 0, (*) Û mx : m = –n : m.

2a) Dacă – m n

Î D, atunci S = {– m n

.} 2b) Dacă – m n

Ï D, atunci S = Æ.

Învăţăm

l Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei: a) 3x = 0, DVA = R; b) 4x + 5 = 0, DVA = R.

Rezolvare. a) Răspuns: 3x = 0, 3x : 3 = 0 : 3, x = 0, S = {0}.b) Răspuns: 4x + 5 = 0, 4x + 5 – 5 = –5, 4x = –5, 4x : 4 = –5 : 4, x = –1,25, S = {–1,25}.

l Rezolvaţi în D ecuaţia: a) 3x – 7 = 0, D = N; b) 5x – 11 = 0, D = Q; c) 5x – 13 = 7x – 19, D = R. Rezolvare. a) Aplicînd proprietăţi ale divizibilităţii numerelor naturale deducem că 3x – 7 = 0 nu are soluţii reale. Răspuns:S = Æ.

252 Algebra. Cap. 6. Ecuaţia de gradul I

E x e r c i ţ i i

1. Verificaţi proprietăţile egalităţii numerelor reale. a) Adunaţi 3 ambilor membri ai egalităţii 5 = 3 + 2. b) Scădeţi 2 din ambii membri ai egalităţii 6 = 1 + 5.c) Înmulţiţi cu 3 ambii membri ai egalităţii 7 = 2 + 5. d) Împărţiţi la 2 ambii membri ai egalităţii 8 = 2 + 6.

Răspuns..

2. Scrieţi ca în modelul rezolvat egalitatea din care se află zeroul fiecărei funcţii.a) f : R ® R, f(x) = x2 – 3. Zerourile funcţiei f verifică x2 – 3 = 0.b) f : R ® R, f(x) = x2 – 7. c) f : R ® R, f(x) = 3x2 – 4. d) f : R ® R, f(x) = 5x2 – 8.

Răspuns..

3. Completaţi ca în modelul rezolvat. a) Ecuaţia 3y + 5 = y – 7, y Î R, are: necunoscuta y, membrul stîng „3y + 5“, membrul drept „y – 7“ şi DVA = R.

b) Ecuaţia 8x – 12 = 15x – 9, x Î R, are: necunoscuta ..., membrul stîng „..........“ şi membrul drept „...........“.

c) Ecuaţia 13y – 17 = 2y – 3, y Î Q, are: necunoscuta ..., membrul stîng „..........“ şi membrul drept „...........“.

d) Ecuaţia 18z – 31 = 14z – 7, z Î N, are: necunoscuta ..., membrul stîng „..........“ şi membrul drept „...........“.

Exerciţii rezo

lvate

b) Rezultă, pe rînd, ecuaţiile echivalente: 5x – 11 = 0, 5x = 11, x = 2,2. Răspuns: S = {2,2}.c) Rezultă, pe rînd, ecuaţiile echivalente: 5x – 13 = 7x – 19, 5x – 7x = – 19 + 13, –2x = –6, 2x = 6, x = 3. Răspuns: S = {3}.

l Rezolvaţi în D ecuaţia: a) (x – 1,3)(2x + 11) = 0, D = Q; b) 25x2 – 4 = 0, D = Q.Rezolvare. a) Se aplică proprietatea: produsul a două numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre ele este egal cu 0.(x – 1,3)(2x + 11) = 0, dacă x – 1,3 = 0 sau 2x + 11 = 0; x = 1,3 sau 2x = –11; x = 1,3 sau x = –5,5. 1,3 şi –5,5 sînt numere raţionale. Răspuns: S = {–5,5; 1,3}.

b) Se ţine cont că 25x2 – 4 = (5x)2 – 22 = (5x + 2)(5x – 2).(5x + 2)(5x – 2) = 0, dacă 5x + 2 = 0 sau 5x – 2 = 0; 5x = –2 sau 5x = 2; x = –0,4 sau x = 0,4. –0,4 şi 0,4 sînt numere raţionale. Răspuns: S = {–0,4; 0,4}.


4. Completaţi propoziţiile:

a) Se numeşte soluţie a ecuaţiei f(x) = g(x) cu DVA = D numărul s Î .... pentru care ...........................................

b) Mulţimea tuturor soluţiilor ecuaţiei este ......................................

5. Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei:a) 5x = 0, DVA = R; b) 24,5x = 0, DVA = R; c) 2,67x = 0, DVA = R.

Rezolvare.

Răspuns.

6. Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei:a) x + 4 = 0, DVA = N; b) x + 12 = 0, DVA = Q; c) x – 452 = 0, DVA = N;d) x – 6,72 = 0, DVA = Q; e) x – 129 = 0, DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei:a) x + 3,8 = 0, DVA = N; b) x + 2,6 = 0, DVA = N; c) x – 39,4 = 0, DVA = N;d) x – 21,6 = 0, DVA = N; e) x – 4,81 = 0, DVA = N.

Rezolvare.


Răspuns.

8. Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei:a) 2x + 8 = 0, DVA = Z; b) 3x – 9 = 0, DVA = N; c) 5x + 10 = 0, DVA = Z;d) 6x – 12 = 0, DVA = N; e) 8x + 24 = 0, DVA = Z; f) 27x – 54 = 0, DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.

9. Enumeraţi toate ecuaţiile echivalente cu fiecare ecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiilor ei:a) 4x + 11 = 0, DVA = Z; b) 5x – 12 = 0, DVA = N; c) 6x + 15 = 0, DVA = Q;d) 8x – 24 = 0, DVA = Z; e) 14x – 21 = 0, DVA = Q; f) 15x – 40 = 0, DVA = N.

Rezolvare.


Răspuns.

10. Rezolvaţi în R fiecare ecuaţie ca în model: a) 2x + 15 = 8.Ecuaţiile echivalente cu ecuaţia 2x + 15 = 8 sînt: 2x = 8 – 15, 2x = –7, x = –7 : 2, x = –3,5. S = {–3,5}.

b) 3x – 13 = 7; c) 5x – 23 = 37; d) 4x – 34 = 5; e) 10x + 28 = 9; f) 15x – 21 = 24; g) 17x – 37 = 14.

Rezolvare.

Răspuns.

11. Rezolvaţi fiecare ecuaţie ca în model: a) 6x + 17 = 9, DVA = N.Ecuaţiile echivalente cu ecuaţia 6x + 17 = 9 sînt: 6x = 9 – 17, 6x = –8, x = –8 : 6. x = –0,75. S = Æ.b) 8x – 9 = 13, DVA = Z; c) 5x – 11 = 15, DVA = Q; d) 13x – 21 = 18, DVA = N; e) 9x – 13 = 17, DVA = Z.Rezolvare.


Răspuns.

12. Rezolvaţi fiecare ecuaţie ca în model: a) 6x + 11 = 4x + 18, DVA = Q.Ecuaţiile echivalente cu 6x + 11 = 4x + 18 sînt:6x – 4x + 11 = 18, 2x = 18 – 11, 2x = 7, x = 3,5. S = {3,5}.

b) 7x + 2 = 3x – 15, DVA = Q; c) 11x + 9 = 7x + 21, DVA = Q;d) 16x – 7 = 13x + 9, DVA = Q; e) 14x + 18 = 11x – 17, DVA = Q.

Rezolvare.

Răspuns.

13. Rezolvaţi fiecare ecuaţie ca în model: a) 2(3x + 4) = 3(x – 5), DVA = Q.Ecuaţiile echivalente cu 2(3x + 4) = 3(x – 5) sînt: 6x + 8 = 3x – 15, 6x = 3x – 15 – 8, 6x – 3x = –23,3x = –23, x = –7,(6). S = { –7,(6)}.

b) 3(2x + 3) = 4(x – 2), DVA = Q; c) 4(3x + 2) = 3(x – 3), DVA = Q;d) 5(2x + 1) = 5(x – 1), DVA = Q; e) 4(5x + 2) = 2(x – 7), DVA = Q.

Rezolvare.


Rezolvare.

Răspuns.

14. Rezolvaţi fiecare ecuaţie ca în model: a) 4(3x – 2) = 2(6x – 4), DVA = Z.Ecuaţia echivalentă cu 4(3x – 2) = 2(6x – 4) este: 12x – 8 = 12x – 8. Deoarece ultima propoziţie este adevărată pentru orice valoare a necunoscutei din DVA, mulţimea soluţiilor este egală cu DVA. S = Z.

b) 2(6x – 15) = 3(4x – 10), DVA = N; c) 2(4x – 10) = 4(2x – 5), DVA = Q;d) 7(2x – 6) = 14(x – 3), DVA = N; e) 6(3x – 2) = 2(9x – 6), DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.

15. Rezolvaţi fiecare ecuaţie ca în model: a) 2(5x – 3) = 5(2x – 1), DVA = Z.Ecuaţia echivalentă cu 2(5x – 3) = 5(2x – 1) este: 10x – 6 = 10x – 5. Deoarece ultima propoziţie este falsă pentru orice valoare a necunoscutei din DVA, mulţimea soluţiilor nu are elemente. S = Æ.

b) 2(6x – 5) = 3(4x – 7), DVA = N; c) 2(5x – 2) = 5(2x – 3), DVA = Q;


d) 7(2x – 3) = 2(7x – 2), DVA = N; e) 8(3x – 4) = 6(4x – 5), DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Rezolvaţi fiecare ecuaţie: a) 4x2 – 1 = 0, DVA = Q; b) 9x2 – 1 = 0, DVA = Q; c) 25x2 – 1 = 0, DVA = Q;d) 36x2 – 1 = 0, DVA = Q; e) 49x2 – 1 = 0, DVA = R; f) 64x2 – 1 = 0, DVA = Q.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Rezolvaţi în R ecuaţia x + 15

= x – 27

.


Rezolvare.

Răspuns.

18. Rezolvaţi ecuaţia (5x + 3)(4x + 1) = (10x + 7)(2x + 1), DVA = Q.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Rezolvaţi în Z ecuaţia 3x – 53x + 1

= 2x – 12x

.


Rezolvare.

Răspuns.

20. Rezolvaţi în Q ecuaţia x – 14

+ x – 23

= 2.


Rezolvare.

Răspuns.


21. Rezolvaţi în Q ecuaţia (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x – 1).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Rezolvaţi în Q ecuaţia (3x + 2)2 = (3x + 1)2.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

23. Rezolvaţi în Q ecuaţia (3x + 1)(3x – 1) = (3x + 2)(3x – 1).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

24. Rezolvaţi în N ecuaţia x + 15

+ x + 26

+ ... + x +5 0005 004

= 5 000.

Rezolvare.

Răspuns.


25. Aflaţi mulţimea cu cele mai multe numere reale, care este domeniul valorilor admisibile al ecuaţiei3x – 5x – 1

= 3x – 1x + 2

.


Rezolvare.

Răspuns.

26. Rezolvaţi în Z ecuaţia | 2x + 7 | = 5.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

27. Aflaţi numerele reale x, y, z care verifică egalitatea | 3x + 2 | + | 2y – 5 | + | 4z + 7 | = 0.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


28. Cercetaţi dacă există numerele întregi x, y, z care verifică egalitateax + x2 + 2y2 + 2y3 + 7z8 – 7z7 = 101.


Rezolvare.

Răspuns.


E VA L U A R EI I I

1. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) x + 2,5 = 3,2; b) x – 6,2 = 8,1.

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2,4x = 5; b) 6x = –2,1.

3. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) 2x + 3 = 7; b) 5x – 11 = 16.

4. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) 6x + 7 = 3x – 4; b) 8x – 10 = 4x – 9.

5. Rezolvaţi în Q ecuaţia:a) 3(x + 2) = 4(x + 5); b) 5(2x – 3) = 6(x – 5).

6. Rezolvaţi în Q ecuaţia:4x(x + 3) = 4x2 + 2x + 3.

7. Rezolvaţi în Q ecuaţia:

a) x + 32

= x – 15

;

b) x – 25

+ x – 32

= 5.8. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) (x – 3)2 = (x – 3)(x + 3) – 6x;b) (x + 5)(x – 4) = (x – 3)(x + 6).

9. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) |3x – 4| = 8; b) |2x – 3| = x – 5.

1. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) x + 3,4 = 3,2; b) x – 7,2 = 9,3.

2. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 1,6x = 8; b) 14x = –2,8.

3. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) 3x + 1 = 5; b) 4x – 9 = 17.

4. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) 7x + 8 = 2x – 5; b) 6x – 8 = 3x – 7.

5. Rezolvaţi în Q ecuaţia:a) 4(x + 3) = 5(x + 2); b) 4(3x – 2) = 7(x – 8).

6. Rezolvaţi în Q ecuaţia:5x(x + 2) = 5x2 + 4x + 8.

7. Rezolvaţi în Q ecuaţia:

a) x + 43

= x – 54

;

b) x – 23

+ x – 35

= 3.8. Rezolvaţi în R ecuaţia:

a) (x – 4)2 = (x – 4)(x + 4) – 8x;b) (x + 6)(x – 5) = (x – 2)(x + 7).

9. Rezolvaţi în R ecuaţia:a) |4x – 3| = 9; b) |3x – 4| = x – 8.

1

1

1

1

1

1

1

1

2

264 Algebra. Cap. 7. Inecuaţia de gradul I

Capitolul 7 Inecuaţia de gradul I ¶ Proprietăţi ale relaţiei „<“

l Aflaţi numerele reale pentru care funcţia f : R ® R: a) f(x) = x + 5 are valori strict negative; b) f(x) = –x + 7 are valori strict negative.

Rezolvare. Se studiază semnul funcţiei f şi se alege mulţimea valorilor lui x care verifică condiţia cerută. a) x –6 –5 0

semn f(x) – 0 + Răspuns: (–∞, –5].

b) x 0 7 8semn f(x) + 0 –

Răspuns: [7, ∞).

Exerciţiu

rezolv

atÎnvăţăm

Fie a < b, a, b Î R.1) Dacă se adună acelaşi număr în ambii membri ai unei inegalităţi se obţine o nouă inegalitate.

a < b, c Î R implică a + c < b + c.2) Dacă se scade acelaşi număr în ambii membri ai unei inegalităţi se obţine o inegalitate.

a < b, c Î R implică a – c < b – c.3) Dacă se înmulţeşte cu acelaşi număr mai mare decît 0 (mai mic decît 0) fiecare membru al unei inegalităţi se obţine o inegalitate de acelaşi sens (de sens contrar).

a < b, c > 0 implică ac < bc (a < b, c < 0 implică ac > bc).4) Dacă se împarte la acelaşi număr mai mare decît 0 (mai mic decît 0) fiecare membru al unei inegalităţi se obţine o inegalitate de acelaşi sens (de sens contrar).

a < b, c > 0 implică a : c < b : c (a < b, c < 0 implică a : c > b : c).

5) Dacă a < b, ab > 0, atunci 1a

> 1b

. 6) Dacă a < b, ab < 0, atunci 1a

< 1b

.

· Inecuaţia de gradul I

Fie funcţiile f, g : D ® R, D Í R, cu expresiile f(x) şi g(x).l Se numeşte inecuaţie cu domeniul valorilor admisibile (DVA) D propoziţia f(x) < g(x). Incuaţia f(x) < g(x) are necunoscuta x, membrul stîng f(x) şi membrul drept g(x). Se numeşte soluţie a inecuaţiei f(x) < g(x) numărul s Î D pentru care f(s) < g(s) este o propoziţie adevărată.Mulţimea tuturor soluţiilor inecuaţiei este mulţimea soluţiilor ei. Această mulţime se notează S.l Fie f : D ® R, D Í R, f(x) = ax + b, a Î R*, b Î R. Propoziţia f(x) < 0 se numeşte incuaţie de gradul I cu domeniul valorilor admisibile D. Inecuaţiile de gradul I cu aceleaşi soluţii se numesc inecuaţii echivalente.l Rezolvarea inecuaţiei de gradul I, ax + b < 0, a Î R*, b Î R, x Î R, aplicînd proprietăţile inegalităţii numerelor reale: ax + b < 0 Û (este echivalentă cu) ax + b – b < –b Û ax < –b, (*).Selectarea soluţiei. 1) Dacă a < 0, (*). Û ax : a < –b : a Û x > – b

a. Răspuns: S = (– b

a, ∞ .)

2) Dacă a > 0, (*). Û ax : a < –b : a Û x < – ba

. Răspuns: S = (– ∞, – ba

.)Învăţăm

l Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei: a) 4x < 0, DVA = R; b) –2x + 5 < 0, DVA = R.

Rezolvare. a) Răspuns: 4x < 0, 4x : 4 < 0 : 4, x < 0, S = (– ∞, 0).b) Răspuns: –2x + 5 < 0, –2x + 5 – 5 < –5, –2x < –5, –2x : (–2) < –5 : (–2), x > –2,5, S = (–2,5; ∞).

l Rezolvaţi în D inecuaţia: a) 3x – 9 < 0, D = N; b) 3x – 8 < 5x – 12, D = R. Rezolvare. a) Inecuaţiile echivalente: 3x – 9 < 0, 3x – 9 + 9 < 9, 3x < 9, 3x : 3 < 9 : 3, x < 3. Răspuns:S = (– ∞, 3) ∩ N = {0, 1, 2}.

b) Inecuaţiile echivalente: 3x – 8 < 5x – 12, 3x – 5x < 8 – 12, –2x < –4, x > 2. Răspuns: S = (2, ∞).

265Algebra. Cap. 7. Inecuaţia de gradul I

E x e r c i ţ i i

1. Completaţi proprietăţile relaţiei „<“: a) m < n implică m + 5 ...........; b) x – 7 < 0 implică x ..............;c) d < m implică d – 4 ...............; d) y + 11 < 0 implică y ................

2. Completaţi proprietăţile relaţiei „<“: a) m < n implică 3m ...........; b) x : 5 < y : 5 implică x ...........;c) b < p implică b : 4 ...........; d) 8x < 24 implică x ...........

3. Completaţi proprietăţile relaţiei „<“: a) m < n implică –7m ...........; b) x : (–3) < y : (–3) implică x ...........;c) d < n implică d : (–2) ...........; d) –6x < 18 implică x ...........

4. Completaţi proprietăţile relaţiei „<“: a) dacă a < b, ab > 0, atunci 1a

..... 1b

;

b) 5 < 11 implică 15

....... 111

; c) –8 < –3 implică – 18

....... – 13

;

d) dacă m < n, mn < 0, atunci 1m

..... 1n

; e) –2 < 6 implică – 12

....... – 16

.

5. Completaţi:a) 12 < 15 implică 15 ........ 12; b) m < n implică n ........ m;c) –18 < 2 implică 2 ........ –18; d) –9 < –7 implică –7 ........ –9.

6. Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei:a) 12x < 0, DVA = R; b) –3,2x < 0, DVA = R; c) 6,1x < 0, DVA = R; d) –2,8x < 0, DVA = R.

Rezolvare.

Răspuns.

7. Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei:a) x + 9 < 0, DVA = R; b) x + 56 < 0, DVA = R; c) x – 3,17 < 0, DVA = R;d) x – 2,25 < 0, DVA = R; e) x – 7,8 < 0, DVA = R.

Răspuns.


Răspuns.

8. Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei ca în model:a) x + 3,9 < 0, DVA = Z; x + 3,9 < 0, x + 3,9 – 3,9 < –3,9, x < –3,9.Răspuns: S = (– ∞; –3,8) ∩ Z = {..., –7, –6, –5, –4}.b) x + 5,7 < 0, DVA = Z; c) x – 9,4 < 0, DVA = N; d) x – 1,6 < 0, DVA = Z; e) x – 4,1 < 0, DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.


9. Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei ca în model:a) 2x + 8 < 0, DVA = R; 2x + 8 < 0, 2x + 8 – 8 < –8, 2x < –8, 2x : 2 < –8 : 2, x < –4.Răspuns: S = (– ∞; –4).b) 3x – 9 < 0, DVA = R; c) 5x + 10 < 0, DVA = R; d) 6x – 12 < 0, DVA = R;e) 5x + 10 < 0, DVA = R; f) 27x – 54 < 0, DVA = R.

Rezolvare.

Răspuns.

10. Enumeraţi toate inecuaţiile echivalente cu fiecare inecuaţie şi scrieţi mulţimea soluţiei ei:a) 4x + 11 < 0, DVA = Z; b) 5x – 12 < 0, DVA = N; c) 6x + 15 < 0, DVA = N;d) 8x – 24 < 0, DVA = Z; e) 14x – 21 < 0, DVA = Z; f) 15x – 40 < 0, DVA = N.

Rezolvare.

Răspuns.


11. Rezolvaţi în R fiecare inecuaţie ca în model: a) 2x – 15 < 23;Inecuaţiile echivalente cu inecuaţia 2x – 15 < 23 sînt: 2x < 23 + 15, 2x < 38, x < 38 : 2, x < 19. S = (–∞, 19).

b) 3x – 11 < 9; c) 5x – 21 < 37; d) 4x – 29 < 5; e) 10x + 13 < 9;f) 15x – 19 < 24; g) 17x – 23 < 14.

Rezolvare.

Răspuns.

12. Rezolvaţi fiecare inecuaţie ca în model: a) –7x + 19 < 43, DVA = N;Inecuaţiile echivalente cu inecuaţia –7x + 19 < 43 sînt: –7x < 43 – 19, –7x < 24, x > –24 : 7.Răspuns: S = (–3,(428571); ∞) ∩ N = N.

b) –8x – 7 < 36, DVA = Z; c) –5x + 43 < 22, DVA = N;d) –4x – 51 < 37, DVA = N; e) –2x + 15 < 23, DVA = Z.

Rezolvare.

Răspuns.


13. Rezolvaţi în R inecuaţia x + 15

< x – 37

. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

14. Rezolvaţi inecuaţia (5x + 3)(4x + 1) < (10x + 7)(2x + 1), DVA = Z.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

15. Rezolvaţi în Z inecuaţia (5x – 2)2 < (5x + 1)2. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

16. Rezolvaţi în R inecuaţia (2x + 1)2 £ (2x + 1)(2x – 1). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


17. Rezolvaţi în R inecuaţia (3x + 2)2 < (3x + 1)2. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

18. Rezolvaţi în N inecuaţia (3x + 1)(3x – 1) £ (3x + 2)(3x – 1).Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

19. Aflaţi numerele întregi pentru care funcţia definită de formula f(x) = 5x – 7 are valori mai mari decît 9.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

20. Aflaţi numerele întregi pentru care funcţiile definite de formulele f(x) = 6x – 3 şi g(x) = –9x + 5 verifică relaţia f(x) < g(x).

Rezolvare.

Răspuns.


21. Rezolvaţi în R inecuaţia | 2x + 13 | £ 11, aplicînd proprietatea: | x | £ 8 sau –8 £ x £ 8 are mulţimea soluţiilor [–8, 8]. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

22. Aflaţi valoarea de adevăr a propoziţiei: a2 + b2 ³ 2ab.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

23. Aflaţi valoarea de adevăr a propoziţiei: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ac.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.

24. Aflaţi numerele reale x, y, z care verifică egalitatea | 5x + 6 | + | 2y – 11 | + | 4z + 25 | £ 0.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


25. Aflaţi numerele raţionale x, y, z care verifică egalitatea √(2x – 13)2– + √(4y – 73)2–

+ √(5z – 31)2– £ 0.


Rezolvare.

Răspuns.

26. Aflaţi numerele raţionale x, y, z care verifică egalitatea 4x2 – 4x + 9y2 – 6y + 16z2 – 8z £ –3.Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

Rezolvare.

Răspuns.


E VA L U A R EI I I

1. Rezolvaţi în N inecuaţia:a) 12x < 7; b) 13x < 16.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x < 2,9; b) x > –8,4.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) x + 23 > 21; b) x – 7,8 < 4,2.

4. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) 6x < –5; b) –5x > 7.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) 5x + 13 > 0; b) –12x + 18 < 0.

6. Controlaţi care dintre numerele –5, –2, 3 sînt soluţii în R ale inecuaţiei:

a) 3x + 8 > 0; b) –5x + 8 < 0.7. Rezolvaţi în N inecuaţia:

a) 3(x + 2) £ 4(x – 5); b) x(2x – 3) £ 2x(x + 7).

8. Rezolvaţi în Z inecuaţia:a) (x – 7)2 £ (x – 2)(x + 2);b) (x + 8)2 ³ (x – 7)2.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) | 4x – 5 | £ 9; b) |2x – 7| ³ 6..

1. Rezolvaţi în N inecuaţia:a) 15x < 13; b) 14x < 19.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) x < 3,6; b) x > –11,3.

3. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) x + 32 > 27; b) x – 8,2 < 5,4.

4. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) 8x < –3; b) –10x > 9.

5. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) 8x + 19 > 0; b) –15x + 25 < 0.

6. Controlaţi care dintre numerele –6, –3, 4 sînt soluţii în R ale inecuaţiei:

a) 3x + 10 > 0; b) –3x + 10 < 0.7. Rezolvaţi în N inecuaţia:

a) 2(x + 3) £ 4(x – 4); b) x(3x – 3) £ 3x(x + 5).

8. Rezolvaţi în Z inecuaţia:a) (x – 6)2 £ (x – 3)(x + 3);b) (x + 7)2 ³ (x – 8)2.

9. Rezolvaţi în R inecuaţia:a) | 5x – 7 | £ 11; b) |4x – 9| ³ 13..

1

1

1

1

1

1

1

1

2

274 Algebra. Rezolvări. Indicaţii

Algebra. Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap.1. 1. a) (P. 5) {3, 4, 5, 6}. 2. a) { x Î N | –2 < x < 4}. 4. a) Mulţime finită. 5. a) 271 – 12 = 259. Card A = 259. 6. a) A È B = {–2, –1, 0, 3, 5, 7, 8}. 7. a) A Ç B = {2, 3, 8}. 8. a) A – B = {–1}. 10. a) Fracţia se simplifică cu 3. 14. a) –2,3939; 8,783. 17. c) 4,36912...(P. 7) 10. a) √(–1,3)2–

= 1,3. 11. Studiaţi exerciţiul rezolvat la p. 6. 12. V. demonstraţia de la p. 6.(P. 9) 1. –73,6912.... (după virgulă sînt scrise toate numerele naturale divizibile cu 3, mai mari decît 3) este număr iraţional. 6. De exemplu, √31

– este număr

iraţional. 7. De exemplu, –√16–

este număr raţional.11. Este suficient să citiţi numerele 121, 12321 pe ci-fre ca să descoperiţi regula.Cap.2. 1. a) (P. 11) 3,5. 2. a) 3,2. 3. a) 3,35. 4. a) 3,32. 5. a) 6,63. 6. a) 33,37. 7. a) 66,68. 8. a) 2,44. 9. a) 2,05. 10. a) 3,06. 11. a) 3,6. 12. a) 4,48. 13. a) –11,(341). 14. a) –85,24(373). 15. a) Neperiodic. 16. a) 11,11. 17. a) – 2,7. 18. a) Iraţional. 27. Periodic mixt. 28. Numitorul comun al sumei este de forma 3m · k, iar numărătorul este suma a n numere dintre care numai n – 1 se divid cu 3. 1. (P. 13) a) –2. 2. a) –20,(9) = –21. 3. a) –8,(9) = –9. 4. a) –13,(9) = –14. 5. a) 2,64 < √7

– < 2,65,

1,73 < √3–

< 1,74, 4,37 < √7–

+ √3–

< 4,39. Răspuns: a) 4,3. 6. a) 3,46 < √12

– < 3,47, 3,87 < √15

– < 3,88,

7,33 < √12–

+ √15–

< 7,35. Răspuns: 7,4. 7. a) 4,242 + 9,539 < √18

– + √91

– < 4,243 + 9,54, 13,781 < √18

–

+ √91–

< 13,783. Răspuns: 13,78. 13. a) 2,64 < √7–

< 2,65, 1,73 < √3

– < 1,74, 2,64 – 1,74 < √7

– – √3

– < 2,65

– 1,73, 0,9 < √7–

– √3–

< 0,92. Răspuns: 0,9. 1. (P. 15) a) 4,803033033303333... 2. a) 17,570770777... 3. a) –1,74 · 1,43 < –√3

– · √2– < –1,73 · 1,42, –2,4882 < –√3

– · √2

– < –2,4566, –2,5 < –√3– · √2

– < –2,4. Răspuns: –2,5. 12. a) 2(2,3 + 7,5) = 2 · 2,3 + 2 · 7,5 = 4,6 + 1,5 = 6,1. 13. a) 2(√7

– + √3

–) = 2√7

– + 2√3

–.

Cap.3. 1. (P. 21) a) 4c. 2. a) 7,7. 3. a) 1 369 cm2. 4. a) 2a – 9b + 2,5a – 9,1b, a = √14

–, b = √15

–. 6. c) ab3c8.

8. a) 47a – 22. 13. a) 91a – 85b + 28c – 26a + 68b – 107c = 65a – 17b – 79c. 18. Pentru a afla suma ci-frelor aşezăm numerele astfel: 1 2 3 ... 996 997 998998 997 996 ... 3 2 1

Cap.4. 3. (P. 37) a) 2a + ba√3

– + 1

, –8xm + 1

, 2,3mxab√15

– .

Cap.5. (P. 41) 10. a) | x + 2,7 | < 14,8 Û –14,8 < x + 2,7 < 14,8 Û –14,8 – 2,7 < x + 2,7 – 2,7 < 14,8 – 2,7 Û – 17,5 < x < 12,1 Þ {x Î R | | x + 2,7 | < 14,8} = (– 17,5; 12,1). 12. a) (– 5,8; 17) Û –5,8 < x < 17 Û – 5,8 – (17 – 5,8) : 2 < x – (17 – 5,8) : 2 < 17 – (17 – 5,8) : 2 Û – 5,8 – 5,6 < x – 5,6 < 17 – 5,6 Û – 11,4 < x – 5,6 < 11,4. (– 5,8; 17) = {x Î R | | x – 5,6 | < 11,4}.16. (P. 45) Tabelul nu defineşte o funcţie. 23. Se obţin

4 funcţii. 24. Se obţin 23 = 8 funcţii.(P. 49) 3. Se completează un tabel pentru fiecare situaţie. 6. In fiecare situaţie se construieşte tabelul de valori şi graficul. Graficele funcţiilor sînt puncte conţinute de drepte ce conţin intersecţia axelor de co-ordonate. 8. Graficele funcţiilor sînt drepte paralele cu axele de coordonate.25. (P. 59) a) –m > 0. b) –m < 0. c) –m = 0 etc. 29. a) 7 – 2m > 0, de unde 2m < 7 etc. b) 7 – 2m < 0. c) 7 – 2m = 0, de unde 2m = 7, sau m = 3,5.13. (P. 62) Din f(–1) = –2 rezultă a = 2. D = [–1, 2]. 14. Din f(–2) = 3 rezultă a = –1,5. D = [–2, ∞). 15. Din f(2) = 5 rezultă a = 2,5. D = (–∞, 2). 17. Din f(–2) = 0 şi f(0) = 3 rezultă f(x) = 1,5x + 3 şi D = [–2, ∞). 18. Din f(0) = 2 şi f(–1) = 7 rezultă f(x) = –5x + 2 şi D = (–∞, 0). 21. Graficul funcţiei este un unghi al cărui vîrf este punctul (5, 0). 22. Domeniul de definiţie este R, f(x) = | x – 3 |. 3. (P. 63) √(2x – 3)2 = | 2x – 3 |

–etc. 21.

(P. 64) Proporţionalitate directă. 22. Proporţionalitate inversă. 23. Din f(2) = 1 rezultă m = –1. Zeroul lui f este 3. Funcţia f are valori mai mari decît 0 pe (–∞, 2) şi valori mai mici decît 0 pe (2, ∞). Funcţia f este strict descrescătoare. 28. b) Simetricul faţă de Oy al lui (AB] este [CA) cu C(–4, 0).Cap.6. 17. (P. 68) Ecuaţia dată este echivalentă cu 7(x + 1) = 5(x – 2). 18. Ecuaţia este echivalentă cu: 20x2 + 5x + 12x + 3 = 20x2 + 10x + 14x + 7, 7x + 4 = 0 etc. 19. Ecuaţia este echivalentă cu: 2x(3x – 5) = (3x + 1)(2x – 1), 3x + 1 ≠ 0, 2x ≠ 0; 6x2 – 10x = 6x2 – 3x + 2x – 7, 3x + 1 ≠ 0, 2x ≠ 0 etc. 21. Ecuaţia este echivalentă cu: 4x2 + 4x + 1 = 4x2 – 1, 4x + 1 = –1, 4x = –2 etc.24. (P. 69) Se constată că 4 este soluţie a ecuaţiei. 25. | 2x + 7 | = 5 dacă 2x + 7 = 5 sau 2x + 7 = –5; 2x = –2 sau 2x = –12 etc. 27. Propoziţia este adevărată dacă şi numai dacă 3x + 2 = 0, 2y – 5 = 0, 4z + 7 = 0.28. Propoziţia din enunţ are aceeaşi valoare de adevăr ca şi propoziţia x(1 + x) + 2y2(1 + y) + 7z7(z – 1) = 101. Ţinînd cont că produsul a două numere întregi consecutive este un număr par, se deduce că membrul stîng al egalităţii este un număr par. Nu există numere întregi care verifică egalitatea. 29. 4x2 – 4x + 1 + 9y2 – 6y + 1 + 16z2 – 8z + 1 = 0, (2x – 1)2 + (3y – 1)2 + (4z – 1)2 = 0 etc. 30. | 3x – 1 | + | 4y – 3 | + | 5z – 7 | = 0 etc.Cap.7. 13. (P. 72) Inecuaţia dată este echivalentă cu: 7(x + 1) < 5(x – 3), 7x + 7 < 5x – 15, 7x – 5x < –15 – 7, 2x < –22 etc. 21. –11 £ 2x + 13 £ 11, –11 – 13 £ 2x £ 11 – 13, –24 £ 2x £ –2, –12 £ x £ –1. 22. a2 + b2 – 2ab ³ 0, (a – b)2 ³ 0. 23. Se aplică inegalitatea a2 + b2 ³ 2ab. Se adună inegalităţile a2 + b2 ³ 2ab, b2 + c2 ³ 2bc, a2 + c2 ³ 2ac. 24. 5x + 6 = 0, 2y – 11 = 0, 4z + 25 = 0 etc.

Cuprins

Algebra Capitolul 1. Recapitulare şi completări 4

1. Numere raţionale 4Exerciţii 52. Numere reale (1) 9Exerciţii 103. Numere reale (2) 13Exerciţii 14Evaluare 17

Capitolul 2. Numere reale 181. Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional nenegativ 182. Mulţimea numerelor reale 18Exerciţii 193. Adunarea numerelor reale 27Exerciţii 284. Înmulţirea numerelor reale 38Exerciţii 395. Operaţii cu radicali 48Exerciţii 496. Ridicarea la putere a numerelor reale. Ordinea operaţiilor 60Exerciţii 60Exerciţii recapitulative 63Evaluare 69

Capitolul 3. Calcul algebric 701. Expresii algebrice 702. Termeni asemenea. Reducerea termenilor ase-menea 70Exerciţii 713. Înmulţirea expresiilor algebrice 78Exerciţii 794. Formule de calcul prescurtat 87Exerciţii 885. Descompunerea în factori 109Exerciţii 1106. Descompunerea în factori prin restrîngerea pă-tratului sumei sau diferenţei a două expresii 119Exerciţii 1207. Descompunerea în factori a diferenţei pătratelor a două expresii algebrice 128

Exerciţii 129Exerciţii recapitulative 138Evaluare 152

Capitolul 4. Fracţii algebrice 1531. Rapoarte algebrice 1532. Amplificarea şi simplificarea rapoartelor 153Exerciţii 1543. Operaţii cu rapoarte algebrice 163Exerciţii 164Evaluare 170

Capitolul 5. Funcţii 1711. Intervale de numere reale 171Exerciţii 1722. Corespondenţe între mulţimi. Noţiuneade funcţie 177Exerciţii 178Evaluare 1883. Reprezentarea graficului unei funcţii 189Exerciţii 190Evaluare 2014. Funcţii de gradul I 202Exerciţii 2035. Proprietăţi ale funcţiei de gradul I 216Exerciţii 217Exerciţii 231Exerciţii recapitulative 242Evaluare 249Evaluare sumativă 250

Capitolul 6. Ecuaţii 2511. Proprietăţi ale egalităţii numerelor reale 2522. Ecuaţia de gradul I 252Exerciţii 253Evaluare 263

Capitolul 7. Inecuaţii 2641. Proprietăţi ale relaţiei „<“ 2642. Inecuaţia de gradul I 264Exerciţii 265Evaluare 273

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri 274

Tabela 1. Pătrate perfecte şi rădăcini pătrate

n n2 √n–

1 1 1

2 4 1,41421356

3 9 1,73205080

4 16 2

5 25 2,23606797

6 36 2,44948974

7 49 2,64575131

8 64 2,82842712

9 81 3

10 100 3,16227766

11 121 3,31662479

12 144 3,46410161

13 169 3,60555127

14 196 3,74165738

15 225 3,87298334

16 264 4

17 289 4,12310562

18 324 4,24264068

19 361 4,35889894

20 400 4,47213595

21 441 4,58257569

22 484 4,69041575

23 529 4,79583152

24 576 4,89897948

25 625 5

26 676 5,09901951

27 729 5,19615242

28 784 5,29150262

29 841 5,38516480

30 900 5,47722557

31 961 5,56776436

32 1 024 5,65685424

33 1 089 5,74456264

34 1 156 5,83095189

35 1 225 5,91607978

36 1 296 6

37 1 369 6,08276253

38 1 444 6,16441400

39 1 521 6,24499799

40 1 600 6,32455532

41 1 681 6,40312423

42 1 764 6,48074069

43 1 849 6,55743852

44 1 936 6,63324958

45 2 025 6,70820393

46 2 116 6,78232998

47 2 209 6,85565460

48 2 304 6,92820323

49 2 401 7

50 2 500 7,07106781

n n2 √n–

51 2601 7,14142842

52 2704 7,21110255

53 2809 7,28010988

54 2916 7,34846922

55 3025 7,41619848

56 3136 7,48331477

57 3249 7,54983443

58 3364 7,61577310

59 3481 7,68114574

60 3600 7,74596669

61 3721 7,81024967

62 3844 7,87400787

63 3969 7,93725393

64 4096 8

65 4225 8,06225774

66 4356 8,12403840

67 4489 8,18535277

68 4624 8,24621125

69 4761 8,30662386

70 4900 8,36660026

71 5041 8,42614977

72 5184 8,48528137

73 5329 8,54400374

74 5476 8,60232526

75 5625 8,66025403

76 5776 8,71779788

77 5829 8,77496438

78 6084 8,83176086

79 6241 8,88819441

80 6400 8,94427190

81 6561 9

82 6724 9,05538513

83 6889 9,11043357

84 7056 9,16515138

85 7225 9,21954445

86 7396 9,27361849

87 7569 9,32737905

88 7744 9,38083151

89 7921 9,43398113

90 8100 9,48683298

91 8281 9,53939201

92 8464 9,59166304

93 8649 9,64365076

94 8836 9,69535971

95 9025 9,74679434

96 9216 9,79795897

97 9409 9,84885780

98 9604 9,89949493

99 9801 9,94987437

100 10 000 10

n n2 √n–

101 10201 10,04987562

102 10404 10,09950493

103 10609 10,14889156

104 10816 10,19803902

105 11025 10,24695076

106 11236 10,29563014

107 11449 10,34408043

108 11664 10,39230484

109 11881 10,44030650

110 12100 10,48808848

111 12321 10,53565375

112 12544 10,58300524

113 12769 10,63014581

114 12996 10,67707825

115 13225 10,72380529

116 13456 10,77032961

117 13689 10,81665382

118 13924 10,86278049

119 14161 10,90871211

120 14400 10,95445115

121 14641 11

122 14884 11,04536101

123 15129 11,09053650

124 15376 11,13552872

125 15625 11,18033988

126 15876 11,22497216

127 16129 11,26942766

128 16384 11,31370849

129 16641 11,35781669

130 16900 11,40175425

131 17161 11,44552314

132 17424 11,48912529

133 17689 11,53256259

134 17956 11,57583690

135 18225 11,61895003

136 18496 11,66190378

137 18769 11,70469991

138 19044 11,74734012

139 19321 11,78982612

140 19600 11,83215956

141 19881 11,87434208

142 20164 11,91637528

143 20449 11,95826074

144 20736 12

145 21025 12,04159457

146 21316 12,08304597

147 21609 12,12435565

148 21904 12,16552506

149 22201 12,20655561

150 22500 12,24744871

n n2 √n–

151 22801 12,28820572

152 23104 12,32882800

153 23409 12,36931687

154 23716 12,40967364

155 24025 12,44989959

156 24336 12,48999599

157 24649 12,52996408

158 24964 12,56980508

159 25281 12,60952021

160 25600 12,64911064

161 25921 12,68857754

162 26244 12,72792206

163 26569 12,76714533

164 26896 12,80624847

165 27225 12,84523257

166 27556 12,88409872

167 27889 12,92284798

168 28224 12,96148139

169 28561 13

170 28900 13,03840481

171 29241 13,07669683

172 29584 13,11487704

173 29929 13,15294643

174 30276 13,19090595

175 30625 13,22875655

176 30976 13,26649916

177 31329 13,30413469

178 31684 13,34166406

179 32041 13,37908816

180 32400 13,41640786

181 32761 13,45362404

182 33124 13,49073756

183 33489 13,52774925

184 33856 13,56465996

185 34225 13,60147050

186 34596 13,63818169

187 34969 13,67479433

188 35344 13,71130920

189 35721 13,74772708

190 36100 13,78404875

191 36481 13,82027496

192 36864 13,85640646

193 37249 13,89244398

194 37636 13,92838827

195 38025 13,96424004

196 38416 14

197 38809 14,03566884

198 39204 14,07124727

199 39601 14,10673597

200 40000 14,14213562

n n2 √n–

201 40401 14,17744687

202 40804 14,21267040

203 41209 14,24780684

204 41616 14,28285685

205 42025 14,31782106

206 42436 14,35270009

207 42849 14,38749456

208 43264 14,42220510

209 43681 14,45683229

210 44100 14,49137674

211 44521 14,52583904

212 44944 14,56021977

213 45369 14,59451951

214 45796 14,62873883

215 46225 14,66287829

216 46656 14,69693845

217 47089 14,73091986

218 47524 14,76482306

219 47961 14,79864858

220 48400 14,83239697

221 48841 14,86606874

222 49284 14,89966442

223 49729 14,93318452

224 50176 14,96662954

225 50625 15

226 51076 15,03329637

227 51529 15,06651917

228 51984 15,09966887

229 52441 15,13274595

230 52900 15,16575088

231 53361 15,19868415

232 53824 15,23154621

233 54289 15,26433752

234 54756 15,29705854

235 55225 15,32970971

236 55696 15,36229149

237 56169 15,39480431

238 56644 15,42724862

239 57121 15,45962483

240 57600 15,49193338

241 58081 15,52417469

242 58564 15,55634918

243 59049 15,58845726

244 59536 15,62049935

245 60025 15,65247584

246 60516 15,68438714

247 61009 15,71623364

248 61504 15,74801574

249 62001 15,77973383

250 62500 15,81138830

Tabela 2. Elemente de calcul rapid

n n2

11 121

111 12321

1 111 1234321

11 111 123454321

111 111 12345654321

1 111 111 1234567654321

11 111 111 123456787654321

111 111 111 12345678987654321

31 961

331 109 561

3 331 11 095 561

33 331 1 110 955 561

32 1 024

332 110 224

3 332 11 102 224

33 1 089

333 110 889

3 333 11 108 889

34 1 156

334 111 556

3 334 11 115 556

35 1 225

335 112 225

3 335 11 122 225

33 335 1 111 222 225

n n2

36 1 296

336 112 896

3 336 11 128 896

37 1 369

337 113 569

3 337 11 135 569

38 1 444

338 114 244

3 338 11 142 244

39 1 521

339 114 921

3 339 11 148 921

33 339 1 111 488 921

61 3 721

661 436 921

6 661 44 368 921

66 661 4 443 688 921

62 3 844

662 438 244

6 662 44 382 244

66 662 4 443 822 244

63 3 969

663 439 569

6 663 44 395 569

66 663 4 443 955 569

n n2

64 4 096

664 440 896

6 664 44 408 896

66 664 4 444 088 896

65 4 225

665 442 225

6 665 44 422 225

66 665 4 444 222 225

66 4 356

666 443 556

6 666 44 435 556

66 666 4 444 355 556

67 4 489

667 444 889

6 667 44 448 889

66 667 4 444 488 889

68 4 624

668 446 224

6 668 44 462 224

66 668 4 444 622 224

69 4 761

669 447 561

6 669 44 475 561

66 669 4 444 755 561

666 669 444 447 555 561

Caietul de algebră clasa a 7-a este un element al Programu-lui interactiv de învăţare a matematicii pentru clasa a 7-a. Programul mai conţine:Algebra, Geometria, Caietul de geometrie, Teste pentru auto-evaluare, Glosar.Toate elementele programului au fost concepute în conformi-tate cu ultima variantă a curriculumului şcolar pentru clasa a 7-a, apărută în 2006.Programul este înregistrat pe un CD. El este adresat elevilor şi permite acestora să dobîndească cunoştinţele de matematică pentru clasa a 7-a cu ajutorul computerului. Alte informaţii pe internet la www.fmatem.moldnet.md.

CaAlg7

Documents

Transcript of CaAlg7