c5bis. REZISTENTA SI RIGIDITATEAELEMENTELOR DE TIP BARA.

ELEMENTE SOLICITATE LA INCOVOIERE PURA (1)

REZISTENTA MATERIALELOR

DEFINITIE:Incovoierea pură este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală interacţiunea este

exprimată printr-o pereche de momente încovoietoare (vectori cuplu cuprinşi în planul secţiunii).

Sub formă pură, încovoierea apare rar. Sunt prezentate două cazuri; tronsoanele 1 - 2 ale

celor două grinzi (unde T=0) sunt solicitate la încovoiere pură.

IN PRACTICĂ

De obicei, încovoierea apare însoţită de forfecare;această formă este tipică grinzilor.In funcţie de direcţia vectorului moment încovoietorfaţă de axele principale de inerţie ale secţiuniitransversale, se disting 2 cazuri:

•încovoiere pe două direcţii/încovoiere oblică (cazulgeneral), când direcţia vectorului cuplu esteoarecare faţă de direcţia axelor;

•încovoiere pe o direcţie/încovoiere simplă (cazulparticular), când direcţia vectorului cuplu coincidecu direcţia uneia din axe.

Grinzile cu secţiuni simetrice (în raport cu cel puţin o axă), încărcatecu forţe în planul de simetrie longitudinal, sunt solicitate la încovoierepe o singură direcţie. Este cazul cel mai des întâlnit în practică.O pană de acoperiş este solicitată la încovoiere oblică (pe douădirecţii); dar fiecare din cele două componente Mx şi My (pe direcţiileprincipale de inerţie) este măsura unei solicitări de încovoiere simplă.

REZISTENTA BARELOR INCOVOIATE

Eforturi unitare pe sectiunea transversala

a. Studiul geometric (privind modul de deformare).

In regim de solicitare:- liniile longitudinale se curbează,- liniile transversale se rotesc, rămânând – cf.ipotezei lui Bernoulli -drepte şi normale pe cele longitudinale.

Se constată:- lipsa deformaţiilor unghiulare (γ = 0), căci unghiurile reţelei nu se modifică;- prezenţa unor deformaţii liniare pe direcţia axei barei; in zonele cu încovoiere pozitivă fibrele longitudinale de la partea inferioară se alungesc, iar cele de la partea superioară se scurtează; exista un plan de fibre (fibre neutre) care se curbează fără a-şi modifica lungimea; intersecţia dintre acest plan şi planul secţiunii transversale se numeşte axă neutră.

Două secţiuni aflate la distanţa elementară dz se rotesc cu unghiul elementar dϕ; fibra neutră AB cu lungimea neschimbată (AB = dz); raza de curbură a fibrei neutre (OA = OB = ρ ).

Variaţia de lungime a unei fibre oarecare (MNN’) aflată la cota y’ faţă de firbra neutră este pusă în evidenţa prin segmentul NN’.

y’

Din asemănarea triunghiurilor OAB şi BNN’ rezultă:primul raport (dintre alungirea fibrei şi lungimea ei iniţială) este

deformaţia specifică εDeformaţiile specifice ε, nule în dreptul axei neutre, variază

liniar pe înălţimea secţiunii transversale

ε = y’

OABN

ABNN

='

ρ'' y

ABNN

=

ρ1

b. Studiul fizic consemnează condiţia de elasticitate liniară (legea lui Hooke)

acceptată în Rezistenţa materialelorσ = E . ετ = G . γ

Sinteza studiu geometric - studiu fizic.

• Dacă γ = 0, rezultă τ = 0.

• Dacă ε = liniar, rezultă σ = liniar• Pe secţiunea transversală, interacţiunea

punctuală este exprimată prin eforturi unitare normale σ liniare

σ = E ( y’)

σ = E (

ρ1

y’)

Ca şi deformaţiile specifice ε, eforturile unitare normale σ, nule în dreptul axei neutre, variază

liniar pe înălţimea secţiunii transversale

Axa neutră împarte secţiunea în două zone: una comprimată şi alta întinsă

STUDIUL STATIC

c. Studiul static consemnează echivalenţa dintre cele două moduri de exprimare a

interacţiunii: prin eforturi secţionale (Mx ≠ 0; N = 0) şi prin eforturi unitare normale (σ)

N = ∫A σ dA = 0;

Mx = ∫A (σ dA). ySinteza studiu geometric - studiu static

N = E . ∫ A y’dA = 0

∫ A y’dA = 0

MOMENTUL STATIC (al suprafeţei secţiunii transversale faţă de axa neutră a secţiunii); din faptul că e nul, rezultă că axa neutră trece prin centrul de

greutate al suprafeţei secţiunii; ea coincide cu axa x, motiv pentru care y şi y’ măsoară aceeaşi distanţă.

ρ1

FORMULA LUI NAVIER

Mx = E ∫A y2dA

Mx = E ∫A Ix,

unde Ix reprezintă momentul de inerţie ale suprafeţei secţiunii în raport cu axa x.

E

Mx =

σ =

ρ1

yσ

ρ=

1

Ixyσ

yIxMx

ρ1

FORMULA LUI NAVIER

σ =

Formula lui Navier precizează mărimeaefortului unitar normal σ într-un punct Msituat la distanţa y faţă de axa neutră.

yIxMx

EFORTURI UNITARE MAXIME

Valorile maxime ale eforturilor unitare σ se dezvolt ă în fibrele extreme (cele mai depărtate de axa neutră). Dacă ymax este distanţa de la fibra extremă la axa neutră rezultă:

σmax = ymax

σmax =

modulului de rezistenţă Wx al suprafeţei secţiunii în raport cu axa neutră x .

IxMx

maxyIx

Mx

EFORT UNITAR MAXIM

Mărimea efortului unitar maxim deprinde de doi parametri:

- momentul încovoietor M, parametrul global al interacţiunii din secţiune, măsura solicitării;

- modulul de rezistenţă W, parametrul geometriei secţiunii transversale.

σmax = WxMx

TREI FORME ALE INTERACTIUNII SECTIONALE

PROIECTAREA DE REZISTENŢĂ A SECŢIUNII BARELOR INCOVOIATE

Condiţia de rezistenţă impusă de metodarezistenţelor admisibile devine:

WM

≤ σa

Relaţia conţine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar în procesul proiectării secţiunii:

– solicitarea, exprimată prin momentul incovoietor M;– materialul, exprimat prin rezistenţa sa admisibilă σa;– geometria suprafeţei secţiunii transversale, exprimată

prin modulul de rezistenta W.

După felul în care aceştia intervin (ca parametrii cunoscuţi sau necunoscuţi), proiectarea de rezistenta îmbracă trei aspecte: – verificarea,– dimensionarea– determinarea capacităţii portante a secţiunii.

Aspectul proiectării de

rezistenţă

Parametrii cunoscuţi

Parametrii necunoscuţi

Relaţia de calcul

Verificare M, σa,W - ≤ σa

Dimensionare M, σa

modulul de rezistenţă necesar

Wnec

Wnec =

Capacitate portantă W, σa,

momentul capabil Mcap

Mcap = σaW

WM

a

Mσ

In problemele de dimensionare, după stabilirea modulului de rezistenta necesar Wnec, dimensiunile secţiunii (cărora le va corespunde aria efectivă Wef) se aleg astfel, încât, indiferent de forma ei,

Wef ≥ Wnec.

Capacitatea portantă a unei secţiuni se măsoară prin momentul capabil, Mcap - corespunzătoare unor eforturi unitare egale cu rezistenţa admisibilă.

Rezistenţa barei este asigurată dacă M corespunzător solicitării (determinat în funcţie de încărcări) nu depăşeşte efortul capabil

M ≤ Mcap

MODULUL DE REZISTENTA

Pentru bare cu secţiune circulară,

≥ Wnec

de unde rezultă diametrul.

Pentru bare cu secţiunea dreptunghiulară:

≥ Wnec;

relaţia conţine două necunoscute: b şi h; determinarea lor se face propunând fie una dintre ele, fie un anumit raport (orientativ) între ele.

32

3dπ

6

2bh

Criterii de conformare. Secţiuni raţionale; randamentul secţiunii

Criteriul de rezistenţă Wnec = M/σa aplicat la dimensionareasecţiunii oferă o infinitate de soluţii.

El poate fi satisfăcut de secţiuni cu forme şi arii diferite; urmărindreducerea consumului de material, se preferă formele cu arieminimă. Pe de altă parte, la arii egale, forme diferite asigurăcapacităţi diferite; forma raţională va corespunde capacităţiimaxime.

Capacitatea secţiunii (exprimată ca moment al cupluluirezultantelor forţelor interioare de legătură) este proporţionalăcu valoarea - egală - a celor două rezultante (Fc = Fi) şi cu braţullor de pârghie z.

Creşterea capacităţii secţiunii prin creşterea valorii rezultantelor forţelor interioare de legătură

Suprafaţa secţiunii nu este solicitată uniform.

Cu cât o parte cât mai mare din suprafaţa secţiunii seva afla în zonele cele mai solicitate (cu eforturiunitare mari), cu atât rezultanta forţelor interioarede legătură (ca sumă a produselor dintre efortulunitar şi elementul de arie) va fi mai mare.

Pentru o secţiune dreptunghiulară cu aria A,

Fc = Fi = 1/2*A/2*σa; Fc = Fi = A/4 *σ

Pentru o secţiune fictivă, ideală, cu aceeaşiarie, cu suprafaţa concentrată în mod simetricla cele două extremităţi (acolo unde toateeforturile unitare ating rezistenţa admisibilă),rezultanta va fi dublă;

Fc = Fi = A/2*σa

Creşterea capacităţii secţiunii prin creşterea braţului de pârghie

Braţul z creşte odată cu creşterea înălţimii secţiunii. Darcreşterea înălţimii h este limitată de diferite considerente(funcţionale, estetice, etc.).

La înălţimea constantă, braţul z creşte (ca şi rezultanteleforţelor interioare de legătură) tot prin îndepărtareamaterialului axa neutră.

Pentru secţiunile de formă dreptunghiulară, indiferent deproporţiile lor, z = 2/3*h.

Braţul de pârghie maxim, z = h, corespunde secţiunii ideale cusuprafaţa concentrată la cele două extremităţi.

- pentru secţiunea dreptunghiulară,

Mcap = A/4*σa * 2/3*h = σa;

- pentru secţiunea ideală,

Mcap = A/2*σa . h = σa;

6Ah

2Ah

Dacă secţiunile au aceeaşi arie, aceeaşi înălţime şi sunt alcătuite din aceleaşi material, capacitatea secţiunii ideale este de trei ori mai mare decât capacitatea secţiunii de formă dreptunghiulară.

O secţiune raţională tinde, prin conformarea ei, către forma ideală.

Această formă constituie reperul secţiunilor de tip I sau U ale profilelor laminate sau ale grinzilor din oţel “cu secţiune compusă”, confecţionate prin sudare sau solidarizarea cu nituri.

Caracteristica geometrică a suprafeţei secţiunii caredetermină nemijlocit capacitatea portantă estemodulul de rezistenţă W:

Mcap = W σa;Capacitatea portantă este direct proporţională cumodulul de rezistenţă.

In legătură cu secţiunea ideală se defineşte modulul derezistenţă ideal:

Wideal =

Wideal =

2

)2

(2

2

2

2

h

hA

hIideal =

2Ah

Raportul dintre modulul de rezistenţă W al uneisecţiuni de formă dată şi modulul de rezistenţă idealreflectă raportul dintre capacităţile portante ale celordouă secţiuni şi se numeşte randament al secţiunii:

r =

Randamentul secţiunii dreptunghiulare este doar 1/3.

Randamentul secţiunii profilelor laminate de tip I şi Ueste aproape 2/3, deci dublu.

idealWW