CURS 2- Prof DIMA

ANALIZA DIMENSIONALA. SIMILITUDINE. MODELARE ECUATII DIMENSIONALE. DESCRIEREA FENOMENELOR FIZICE CE CONTIN MARIMI PRIMARE SI SECUNDARE.

Pentru fiecare domeniu marimile primare sunt stabilite iar marimile secundare se exprima, prin relatiile de definitie functie de marimile primare.

Corelarea intre marimile derivate si fundamentale, conform teoremei fundamentale a analizei dimensionale se face pe baza unei relatii de tip monom. De exemplu o marime fizica B se poate exprima prin marimile fundamentale: lungime L; masa M; si timp T.

Notand cu b, valoarea marimii B si cu l, m, t valorile marimilor fundamentale si simultan ale unitatilor de masura fundamentale se poate scrie:

Conform teoremei fundamentale a analizei dimensionale rezulta;

care reprezinta ecuatie dimensionala a unitatii de masura derivate b, functie de unitatile fundamentale, unde: nl; nm; nt sunt exponenti de dimensiune.

Deci ecuatie dimensionala reprezinta relatia intre o marime fizica si marimile fundamentale ale sistemului de unitati de masura ales. De exemplu ecuatie dimensionala a marimii de forta F are formula:

unde nl=1; nm=1; nt=-2

Dimensiunile fortei sunt:masalungime/timp2 si unitatea de masura kgm/s2(1 kgm/s2=1Newton)TEOREMA

Criteriile de similitudine(grupuri adimensionale) se obtin prin analiza dimensionala dintr-un numar dat de variabile fizice si constante dimensionale. Cu ajutorul grupurilor adimensionale se obtin ecuatii criteriale. Fie de exemplu, un fenomen fizic descris de n variabile si constante dimensionale: A, B, C,...... pe baza acestora rezulta o relatie de forma generala:

TEOREMA in forma cea mai practica se poate enunta astfel(1890 Vaschy):

Solutia unei ecuatii fizice, dimensional omogene, poate fi redusa la un numar mai mic de produse intre grupuri adimensionale. O ecuatie formata din n variabile si constante dimensionale exprimate prin m unitati fundamentale independente are ca solutie o ecuatie criteriala formata din n-m grupuri adimensionale independente.Se considera un fenomen fizic descris de 6 variabile si constante dimensionale, exprimate prin 3 unitati fundamentale :

Solutia se reduce la o functie intre grupuri adimensionale:

sau in care este nr. adimensional principal.Grupurile adimensionale se mai numesc si criterii de similitudine sau numere .

MODELENotiunea de model are numeroase sensuri: se poate referi la un utilaj; un concept; o persoana; o ecuatie etc. In sensul cel mai general modelul este o constructie materiala sau spirituala care functie de scopul urmarit are o asemanare sau comportare similara cu a obiectului modelat.

Modelul este de cele mai multe ori o simplificare a originalului, pastrand din acesta numai elementele esentiale semnificative.

Reducerea originalului la o forma simplificata si eficient operabila, sau cuprinderea acesteia in expresii matematice in scopul studierii, se numeste modelare.

In ingineria chimica instalatiile la scara mica sunt utilizate in doua scopuri:

Instalatii pilot precursori ai viitoare instalatiei industriale

Modele de scara comportarea unei instalatii existente in scopul perfectionarii tehnologiilor.

Intre original si model trebuie sa existe analogii si acestea sunt structurale si functionale.

Analogia structurala: se caracterizeaza prin aceea ca elementele originalului se regasesc in model prin analogie geometrica

Analogia functionala: corespunde unor modele simplificate care reproduc din prototip numai relatiile intrare iesire.Originalul este modelat ca o cutie neagra, omitindu-se structura si fenomenele interioare. Un astfel de model este schema bloc a proceselor tehnologice.SIMILITUDINEAAceasta se ocupa cu relatiile dintre sistemele fizice de diverse marimi in scopul transpunerii la scara mai mare sau mai mica a proceselor fizice si chimice. Sistemele fizice pot fi caracterizate cu ajutorul a trei calitati independente: marime; forma si compozitie.Doua sisteme pot avea marimi diferite dar cu aceeasi compozitie si forma. In acest caz ele pot fi similare din punct de vedere geometric.

Similitudinea cu acest caz se defineste cu ajutorul factorilor de forma:

Sau cu ajutorul rapoartelor de scara:

Criteriile de similitudine deduse pe baza factorilor de scara se numesc criterii comune. Criteriile de similitudine principale(Reynolds, Euler, Froude) se obtin din ecuatiile diferntiale(ale curgerii) a legilor generale care descriu fenomenologia proceselor principale studiate.DEDUCEREA CRITERIILOR DE SIMILITUDINE

Procesele fizice din ingineria chimica sunt descrise de un set de ecuatii diferentiale cu derivate partiale. Simplificarea si integrarea lor este posibila in cazul unor procese singulare, de factura simpla. Printr-o simplificare mai putin grosiera cu ajutorul calculatoarelor se obtin solutii numerice. Cand solutionarea nu este posibila, pentru modelare sunt necesare, in primul rand criteriile de similitudine principale. Ele se obtin: Din ecuatii diferentiale ce descriu fenomenul studiat

Prin analiza dimensionala a variabilelor si constantelor dimensionale ce influenteaza procesul

Cu ajutorul schemei flux, pe baza celor mai generale legi ale fizicii

Transpunerea la scara a unui proces impune cunoasterea criteriilor de similitudine, compatibilitatea sau incompatibilitatea criteriilor precizeaza daca transpunerea se poate face in raport cu mai multe criterii sau in raport cu un singur criteriu.Criteriile de similitudine se exprima sub forma unor functii. Functiile in care varialbilele si constantele sunt inlocuite cu criterii de similitudine se numesc functii criteriale

DEDUCEREA CRITERIILOR DE SIMILITUDINE CU AJUTORUL SCHEMEI FLUXPrincipalul criteriu al curgerii se obtine considerand ca procesul este influentat de fortele inertiale si fortele de frecare(vascozitate). Conform legii lui Newton

Iar modelul reologic al lichidului Newtonian supus la frecare simpla este dat de relatia;

In care F este fort; M masa; a acceleratia; tensiunea de frecare; vascozitatea si dv/dl gradientul de viteza.Cu ajutorul acestor legi se intocmeste schema de flux ( sau )

EMBED Equation.3

s-a obtinut criteriul Reynolds a carei valoare precizeaza regimul de curgere. El este o masura a raportului intre fortele inertiale si fortele de frecare.

DEDUCEREA CRITERIILOR DE SIMILITUDINE DIN ECUATIILE DIFERENTIALEO ecuatie diferentiala completa dimensional omogena se poate pune sub forma adimensionala in scopul obtinerii criteriilor de similitudine. De exemplu Navier-Stokes pentru transferul de impuls( valabila la curgerea izoterma a unui fluid newtonian incompresibil). Cele trei componente ale ecuatiei(ptr.x,y,z) au aceeasi forma si este suficienta numai una singura pentru deducerea criteriilorPentru x de exemplu avem:

Din ecuatii se omit semnele diferentiale si constanta numerica 1/3 de la termenul v. Apoi se scrie ecuatia dimensionala generalizata:

in care l este o lungime caracteristica.

Prin impartirea unui termen la un alt termen se obtin criteriile de similitudine.

II / V (reprezinta raportul dintre fortele inertiale si de vascozitate)II /III ( reprezinta raportul dintre fortele inertiale si gravitationele)IV / II ( reprezinta raportul dintre fortele de presiune si fortele inertiale)Ecuatia criteriala( exceptand criteriul Fr obtinem raportul II / I standard.

Are importante aplicatii in operatia de amestecare a mediilor lichide. Coeficientul k si exponentii n1 si n2 sunt determinati experimental pentru diverse tipuri de agitatoare. Criteriile de similitudine obtinute din ecuatiile criteriale prezinta dezavantajul neglijarii unor variabile ce nu sunt incluse in aceste ecuatii; in schimb rezulta cu suficienta claritate semnificatia fiecarui numar ca o masura a rapoartelor intre doua forte.TRANSFERUL DE CALDURA, prin convectie fortata este descris de ecuatia diferentiala a transfecrului de impuls si de ecuatia diferentiala a energiei.Ecuatia simplificata este:

I II III

Sau in forma dimensionala generalizata:

EMBED Equation.3 I II III

Termenul III exprimat in J/m3s, se poate substitui cu Q/l3t. Caldura schimbata Q se poate exprima functie de coeficientul individual de transfer de caldura ; in forma l2Tt; Ecuatia devine:

I II IIIDin aceasta ecuatie rezulta doua grupuri adimensionale:

I / II ; Peclet reprezinta un raport intre caldura transferata prin convectie si caldura transferata prin conductivitate.

III / II ; Nusselt reprezinta raportul intre caldura transferata prin toate mecanismele si caldura transferata prin conductivitate.

Functia criteriala a transferului de caldura convectiv va contine criteriile deduse de ecuatiile de conservare a inpulsului si energiei.

f(Nu, Re, Pe,Fr, Eu)=0

Cu ajutorul ecuatiilor criteriale obtinute din ultima ecuatie se calculeaza coeficienti individuali de transfer de caldura .TRANSFERUL DE MASA, prin convectie fortata este descris de ecuatiile diferentiale ale difuziunii:

Transcrierea in forma dimensionala generalizata duce la:

I II IIITermenul III reprezinta cantitatea de component acumulat in unitatea de volum de fluid in unitatea de timp,N/l3t. Cantitatea N transferata se exprima functie de coeficientul individual , de transfer de masa N=l2ct; Dupa inlocuire ecuatia devine:

Din care se obtin doua criterii de similitudine:III /II ; Sherwood este o masura a raportului intre cantitatea de masa transferata prin toate mecanismele si masa transferata prin mecanism molecular.I / II ; Peclet reprezinta raportul intre masa transferata prin mecanism convectiv si masa transferata prin mecanism molecular.

Functia criteriala a transferului de masa va contine si criteriile curgerii:

f(Sh,Pe,Re, Fr, Eu)=0

ecuatiile criteriale rezulta dupa simplificarea ultimeii functii sevind la calculul coeficientului individual de transfer de masa, .

Cele mai utilizate criterii de similitudine

Denumire Simbol Ecuatia de definitieFormule echivalente

ReynoldsRe

FroudeFr

EulerEu

PcletPe

SherwoodSh

Arhimede Ar

Galilei Ga

GrashoffGr

LewisLe

PrundtlPr

SchmidtSc

WeberWe

NewtonNe

NusseltNu

Page 7 of 7

_1286090824.unknown

_1286250689.unknown

_1286253055.unknown

_1286253733.unknown

_1286254177.unknown

_1286254426.unknown

_1286254838.unknown

_1286254896.unknown

_1286254454.unknown

_1286254402.unknown

_1286253884.unknown

_1286253950.unknown

_1286254022.unknown

_1286254071.unknown

_1286253917.unknown

_1286253810.unknown

_1286253841.unknown

_1286253760.unknown

_1286253289.unknown

_1286253641.unknown

_1286253644.unknown

_1286253479.unknown

_1286253168.unknown

_1286253237.unknown

_1286253113.unknown

_1286252124.unknown

_1286252406.unknown

_1286252922.unknown

_1286252212.unknown

_1286251403.unknown

_1286251698.unknown

_1286250916.unknown

_1286099064.unknown

_1286249543.unknown

_1286249982.unknown

_1286250473.unknown

_1286249964.unknown

_1286099394.unknown

_1286101553.unknown

_1286099237.unknown

_1286092140.unknown

_1286092547.unknown

_1286092852.unknown

_1286092438.unknown

_1286091055.unknown

_1286091172.unknown

_1286090948.unknown

_1286086067.unknown

_1286090443.unknown

_1286090490.unknown

_1286090525.unknown

_1286090471.unknown

_1286090349.unknown

_1286090391.unknown

_1286090254.unknown

_1286090309.unknown

_1286085236.unknown

_1286085931.unknown

_1286086005.unknown

_1286085803.unknown

_1286084303.unknown

_1286084656.unknown

_1286084232.unknown