C15-Aplicatii.pdf

Cursul 15

Aplicaii ale metodelor numerice

Difuzia

Difuzia este fenomenul de deplasare a unor atomi ntr-o structur cristalin pe

distane mai mari dect distana interatomic medie caracteristic structurii.

Difuzia atomilor elementului (metalului) de baz al structurii cristaline este

denumit autodifuzie, n timp ce difuzia unor atomi care nu aparin

elementului (metalului) de baz poart numele de eterodifuzie.

Procesele de difuzie n structurile cristaline se realizeaz prin:

mecanismul bazat pe schimbul simplu de locuri ntre atomi (a);

mecanismul bazat pe schimbul ciclic de locuri ntre atomi (b);

mecanismul bazat pe schimbul de locuri ntre atomi i vacane (c);

mecanismul bazat pe deplasarea interstiial a atomilor care difuzeaz (d).

Difuzia st la baza tratamentelor termochimice, la solicitarea

materialelor, la producerea semiconductorilor i a bateriilor solare.

Analiznd posibilitile desfurrii proceselor de difuzie n funcie

de caracteristicile structurale ale corpurilor metalice, rezult

urmtoarele aspecte:

n metalele monocristaline perfecte (ideale) difuzia poate avea loc numai prin

interiorul structurii cristaline sau pe suprafeele cristalului:

n metalele monocristaline reale (cu imperfeciuni ale structurii cristaline) exist

aceleai posibiliti de difuzie ca i la monocristalele perfecte, dar coeficienii de

difuzie sunt mai mari datorit prezenei defectelor de tip punctiform (vacane) sau

liniar (dislocaii), care micoreaz compactitatea structurii i diminueaz astfel

energiile de activare necesare realizrii salturilor difuzive:

n metalele cu structur policristalin real se menin posibilitile de difuzie proprii

monocristalelor reale i exist n plus posibilitatea difuziei prin limitele cristalelor:

datorita numrului mare de posibiliti de desfurare i existenei imperfeciunilor,

procesele de difuzie n corpurile metalice policristaline sunt mai intense i se produc

mai uor dect n corpurile monocristaline.

Difuzia

Difuzia

Difuzia Cu n Ni, micarea

atomilor i variaia

concentraiei Cu

Difuzia

Iniial Dup o perioad de timp

100%

Concentration Profiles0

Difuzia

Rezultatul desfurrii procesului de difuzie, ca proces de transport

de substan ntr-o structura cristalin, poate fi caracterizat la scar

macroscopic cu ajutorul legilor lui Fick.

Prima lege a lui Fick are urmtorul enun: fluxul de difuzie J

(numrul de atomi transportai prin difuzie n unitatea de timp

printr-o suprafa unitara a unei structuri cristaline) este direct

proporional cu gradientul de concentraie al elementului care

difuzeaz, msurat pe direcia normal la suprafaa unitar.

unde: J = fluxul de atomi [atomi/cm2s]

D = coeficientul de difuzie [cm2/s]

DC/Dx = gradientul de concentraie [atomi/cm3cm]

x

CDJ

D

D

Difuzia staionar

Variaia concentraiei

elementului B n solventul

A

Difuzia staionar

unde: Qa = energia de activare a procesului de difuzie,

T = temperatura structurii cristaline,

R = constanta gazelor perfecte,

D0 = o constant care depinde de tipul structurii cristaline n

care se realizeaz procesul.

Factorii principali care influeneaz desfurarea i rezultatele unui

proces de difuzie sunt:

gradientul de concentraie al elementului care difuzeaz,

temperatura la care are loc difuzia,

durata procesului.

RT

Qa

eDD

0

Difuzia staionar

Variaia

coeficientului de

difuzie cu

temperatura

Difuzia staionar

Energia de activare a

procesului de difuzie Q i

constanta D0 pentru diverse

cupluri de difuzie

Difuzia staionar

Septembre 2006

100%

t1 t2 > t3 >

T0

100%

T1 T2 > T3 >

t0

Difuzia = transport de mas

Difuzia est un fenomen activat termic

Echivalena timp-temperatur Difuzia staionar

Exemplu de suprafa durificat prin difuzie n stare solid.

Difuzia carbonului n stratul superficial din stnga a determinat formarea

carburii Fe3C dure, tratament termochimic de carburare.

Carbonul blocheaz planele de alunecare i comprim suprafaa oelului

Difuzia staionar

Acoperire pe superaliaj din nichel. Acoperirea consta n difuzia Al i Ni n superaliaj.

Acoperirea este necesar pentru protecie anticoroziv prin formarea stratului negru de

la suprafa.

Difuzia staionar

Soluii solide de substituie Soluii solide de inserie

Qa = energia de activare a procesului de difuzie

Temperatura = vibraie sritura peste bariera

energetic

Inserie vs. substituie

Difuzia staionar

Prima lege a lui Fick consider concentraia constant n timp.

Modificarea concentraiei n timp este descris de legea a doua a lui

Fick

2

2

x

CD

x

CD

xt

C

Difuzia nestaionar

Se pot folosi condiii limit:

t=0, C = C0, la 0 x

t>0, C = Cs, la x = 0

C = C0, la x =

Variaia concentraiei

n funcie de timp

Difuzia nestaionar

la t = 0, C = Co pentru 0 x

la t > 0, C = CS pentru x = 0 (concentraia la suprafa)

C = Co pentru x =

Difuzia Cu n bara de Al

Concentraia Co a atomilor de Cu

Concentraia CS la suprafa a

atomilor de Cu

bara Al

C s

Condiii limit:

Poziia, x

Difuzia nestaionar

Soluie:

C(x,t) = Concentraia n punctul x la timpul t

erf (z) = funcia eroare Gauss

CS

Co

C(x,t)

Dt

x

CC

CtxC

os

o

2 erf1

,

dyezerf yz 2

0

2

Distana

Difuzia nestaionar

Funcia eroare Gauss

dyezerf yz 2

0

2

Difuzia nestaionar

Problem: un oel CFC care conine iniial 0,20 % greutate C

este carburat la temperatur ridicat ntr-o atmosfer care

asigur mbogirea superficial n carbon la 1%. Dac dup

49,5 ore concentraia este de 0,35% C la adncimea de 4mm,

determinai temperatura la care trebuie s se desfoare

tratamentul.

Soluie: se folosete ecuaia

Dt

x

CC

CtxC

os

o

2erf1

),(

Difuzia nestaionar

Soluie:

t = 49,5 h x = 4 x 10-3 m

Cs = 1,0 % Cx = 0,35 %

Co = 0,20 %

Dt

x

CC

CtxC

os

o

2erf1

),(

)(erf12

erf120,00,1

20,035,0),(z

Dt

x

CC

CtxC

os

o

erf(z) = 0,8125

Difuzia nestaionar

Se folosete interpolarea linear intre valorile apropiate.

z erf(z)

0,90 0,797

z 0,8125

0,95 0,821

797,0821,0

797,08125,0

90,095,0

90,0

z

z 0,932

Se rezolv pentru a obine D

Dt

xz

2

tz

xD

2

2

4

/sm 10 x 62s 3600

h 1

h) 549)9320(4

m)10 x 4(

4

211

2

23

2

2

,

,(,)(tz

xD

Difuzia nestaionar

Se rearanjeaz ecuaia coeficientului de difuzie

)lnln( DDR

QT

o

a

Din tabele pentru difuzia C n Fe CFC rezult:

Do = 2,3 x 10

-5 m2/s Qa = 137700 J/mol

/s)m 10x6,2ln /sm 10x3,2K)(ln -J/mol 314,8(

J/mol 13770021125

T

T = 1210 K = 937C

Difuzia nestaionar

Metoda elementelor finite (MEF) este o metod general de rezolvare aproximativ a

ecuaiilor difereniale cu derivate pariale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial

MEF const in descompunerea domeniului de analiz n poriuni de form geometric

simpl, analiza acestora i recompunerea domeniului respectnd anumite cerine matematice.

Problema derivatelor pariale este redus la un sistem de ecuaii algebrice, la o problem de

valori i vectori proprii sau la un sistem de ecuaii difereniale ordinare de ordinul unu sau

doi.

Din punct de vedere al domeniilor de aplicaie metoda poate fi extins n orice domeniu de

activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaii difereniale. Pn in prezent

metoda s-a dezvoltat n mod deosebit in domenii ca: analiza structural; analiza termic;

analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic, dar i in analiza fenomenelor

complexe interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastic, analiza cuplat termic i

structural, analiza interaciunii fluid-solid; analiza electro-magnetic; analiza piezoelectric

i altele.

Metoda elementelor finite

Etapele de realizare a unei piese mecanice


Legtura dintre starea global a structurii i cea locala a materialului


Relaiile de calcul


Bara solicitata axial


Metode numerice

Metoda diferenelor finite

Metoda elementelor de frontier

Metoda elementelor finite (MEF) (FEM)

Scopul este s obin soluia funciei. Celelalte mrimi rezult din prelucrarea

funciei

Prin procedurile specifice metodelor de rezolvare numeric (Utilizarea diferenelor, a

dezvoltrilor n serie, etc., care implic discretizarea) problema descris de ecuaia

diferenial se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice.

Pentru soluionarea ecuaiilor difereniale se stabilete o reprezentare aproximativ

pentru funcia necunoscut.

Prin soluionarea sistemului de ecuaii se determin valorile mrimii caracteristice ntr-

un numr finit de puncte i respectiv coeficienii care permit definirea concret a

funciei de aproximare.


Discretizarea - Funcia de definete numai pentru domenii mici. Aceasta permite ca

pentru descrierea comportrii ei n interiorul domeniului s se poat alege funcii de

form simple, de ordin inferior.

Funcia de aproximare pentru ntreaga structur rezult din asamblarea funciilor

domeniilor individuale, pariale, mici.

Aceste domenii individuale sunt denumite elemente. Punctele n care se realizeaz

legtura dintre elemente sunt denumite noduri.


C15-Aplicatii.pdf

Documents

Transcript of C15-Aplicatii.pdf