C02_Variabile_aleatoare

7/29/2019 C02_Variabile_aleatoare

1/32

MANAGEMENTUL TRAFICULUIRUTIER I TELEMATIC RUTIER

PROF.DR.ING. DANIELA FLOREA


2/32

2. VARIABILE ALEATOARE

Variabile aleatoare sunt notate de obicei cu majuscule,de exemplu X, Y sau Z. Fiecare dintre acestea

reprezint un set complet de corespondene ntrerezultatele unui experiment i probabilitatea deproducere a evenimentului.

Variabilele aleatoare utilizate n ingineria traficului rutierpot fi vitezele vehiculelor sau distanele dintrevehiculele unui flux rutier, dar i numrul vehiculelorcare sosesc ntr-o seciune a unui drum.

Funcie de tipul mrimii investigate, variabilele aleatoarepot fi de tip discretVADi de tip continuu - VAC.


3/32

2.1. Definirea variabilelor aleatoare

Variabila aleatoare de tip discret, X este definitdac se cunoatevaloarea argumentului (valoarea experimental) xi, precum i

funcia de probabilitate a acestuia, p(xi)sau pi.

Funcia de probabilitatea variabilei aleatoare Xde argument xi,

se noteaz:

Astfel,

cu:

xXPxpX

n10

n10

p...pp

x...xxX

...,2,1,0xi i1p0 i

.

1pn

0i

i

,


4/32

Variabila aleatoare poate fi definit i cu ajutorul frecvenei

absolutede apariie a evenimentului Ni. Dac numrul total de

observaii este N, atunci:

iar,

Pentru modelarea statistic a fenomenelor descrise de

variabile aleatoare sunt folosite anumite mrimi statistice.

Pentru nelegerea acestor caracteristici, este util definireafunciei de repartiie.

.

n10

n10

N...NN

x...xxX

,

NNn

0ii


5/32

Fie o variabil aleatoareX, un numr realxiiF(x

i

) probabilitatea caXs ia valori mai micidectxi, adic,

Funcia Fdefinit prin ecuaia precedent poartnumele de funcie de repartiie a variabileialeatoareX.

.

ii xXPxF


6/32

DacXeste o variabil discret avnd repartiia

pentru i = 0,1,2,..., atunci se poate scrie:

Deci, funcia de repartiie n punctulxieste dat de sumaprobabilitilor valorilor n stnga argumentuluixisausuma probabilitilor (frecvenelor relative) cumulate n

sens cresctor.

ii xp,x.

xx

iXii

i

xpxXPxF


7/32

n cazul variabilelor de tip continuu,probabilitatea discretp

i

devine densitate deprobabilitate , iar variabila aleatoare estedefinit astfel:

iar semnul devine integral

xpX

xp

xX~

X

.


8/32

Dac se noteaz funcia de distribuie,

densitatea de probabilitate are proprietatea c:

xF

, iar

dx

xdFxpX

0dxxpX

rezult,

,

dxxpxF

x

X similar cu frecvena cumulat n sens cresctor,

1x

x

2X21 xFxFdxxpxxP2

1


9/32

iar , similar cu

Densitatea de probabilitate n acest caz este interpretat

ca probabilitatea msurrii unei valori x n intervalul. Aria

total de sub curba densitii de probabilitate este unitar,iar probabilitatea msurrii este de 100%.

1xpX

, 1p

n

0ii


10/32

2.2. Caracteristicile de baz ale VA2.2.1. Indicatorii tendinei centrale

Simpla analiz a valorilor variabilelor aleatoare pebaza frecvenelor i a graficelor ofer o imaginesumar asupra modului n care variaz valorileunei caracteristici statistice, fr a putea formulanici o ipotez privind tendinageneral a acesteia.

necesitatea valorilor reprezentative sub

forma indicatorilor sintetici generalizatori.


11/32

Tendina central

punctul n jurul creia se grupeaz valorilevariabilei aleatoare respective i necesit

definirea mai multor tipuri de indicatori:

a) mrimile medii;

b) indicatorii medii de poziie numii i medii destructur.


12/32

a). Media variabilei aleatoare,X

Notaie: M(X) sau n cazul concret al cercetrii

experimentale.n cazul variabilelor aleatoare discrete,

n cazul variabilelor aleatoare de tip continuu,

x

n

0xii

i

pxxXM

dxxpxxXM X


13/32

Dac media este definit ca moment, ea

reprezint momentul teoretic necentrat deordinul nti.

Momentul teoretic necentrat de ordinul k este datde relaia:

.

dxxpxXMXM Xkkk


14/32

b). Indicatorii medii de poziie

sunt reprezentai de quantilei modul.

Quantilele sunt valori concrete ale variabileialeatoare care mpart graficul funciei derepartiie (graficul frecvenei cumulate n senscresctor) n pri egale.

Se numete quantila de ordinul , valoareaxaleas astfel nct:

.

xXPxF


15/32

n cazul n care X este o variabil aleatorediscret egalitatea enunat nu poate fi asiguratpentru orice valoare a lui .Dac exist o soluie xa ecuaiei potexista o infinitate de valori cuprinse n intervalul cesepar dou valori posibile.Quantila de ordinul poart numele demedian teoretic a variabilei aleatoare X,notat:

xF.

21xme


16/32

Mediana = valoarea argumentului variabilei aleatoarepentru care probabilitatea ca variabila aleatoare X s iavalori inferioare luixmeeste egal cu probabilitatea cas ia valori superioare lui xme.

Quantila de ordinul poart numele de quantilainferioar,iar cea de ordinul se numete quantilasuperioar.

.

meme xXPxXP


17/32


18/32

n cazul variabilei de tip continuu, modulul notat

xmoreprezint valoarea luixpentru caredensitatea este maxim, deci

dac funcia este derivabil. n general ecuaia

are o singur soluie, deci repartiia esteunimodal.


19/32

Cum

rezult c modulul verific ecuaia:

Aceasta arat c n punctul

,

graficul funciei de repartiie are un punct de inflexiune.

dx

xdFxpX

.

0

dx

xdF2

2

moxx


20/32

2.2.2. Indicatorii variaiei

Indicatorii tendinei centrale nu dau nici o

indicaie asupramprtierii, respectiv amodului n care valorile variabilei aleatoare seabat ntre ele sau fa de valoarea medie cacentru de grupare.

Centrul de grupare pentru dou variabilealeatoare poate fi acelai, dar gradul de

mprtiere s fie diferit.


21/32

diferena ntre valoarea maximi valoareaminim a valorilorxiale variabilei aleatoare.

minmax xxA

.

a) Amplitudinea absolut a variaiei, A:


22/32

Amplitudinea relativ, A% :

Raportul dintre amplitudinea absoluti media aritmetica valorilor nregistrate,

100x

xx

100x

A

%A

minmax


23/32

Abaterile individuale absolute, di

sunt determinate ca diferena dintre fiecare valoarexii

medie:

Abaterile individuale relative, di%

Abaterile individuale pot fi pozitive sau negative n funciede mrimea fiecrui termen n raport cu media, n practicfiind utilizate valorile extreme, abaterea individual minim

i cea maxim.

.

100x

xx

100x

d

%d

ii

. xxd ii


24/32

b) Indicatorii sintetici ai variaiei

iau n considerare toate valorile caracteristice ale

VA: Abaterea medie liniar, calculat ca o medie

aritmeticsimpl sau ponderat a abaterilor

termenilor fa de medie, luate n valoare

absolut:

.

ii

ii

N

xx

d


25/32

Dispersia variabilei aleatoare X,

Dispersia variabilei aleatoare X, notat D2(X)

sau D2, se calculeaz ca o medie aritmeticsimpl sau ponderat a ptratelor abaterilor

valorilor argumentului xi fa de media lor i

reprezint momentul teoretic centrat de ordinulal doilea.

,


26/32

Momentul teoretic centrat de ordinul k :

Pentru cazul variabilelor aleatoare discrete,

sau

ikn

0iik

k pXMxDXD

ii

ii

2i

2

N

Nxx


27/32

Pentru cazul variabilelor de tip continuu:

Deci, dispersia, ca moment teoretic centrat deordinul al doilea, are expresia general:

,

dxxpXMxXMxMDXD Xkikkk

.

2

XX2

X22

22

dxxpxdxxpx

dxxpXMxXMXMDXD


28/32

Dispersiaeste frecvent notat cu simbolulDispersia, ca indicator abstract, nu are form concret de

exprimare i arat modul n care valorile caracteristiciigraviteaz n jurul mediei.

Abaterea medie ptraticsauabaterea standardnotatD(X)sau se calculeaz ca rdcina ptrat a dispersiei.Fa de abaterea medie liniar, abaterea standard ia nconsiderare importana fiecrei valori a caracteristiciixi.Este util n calculele de corelaie, la estimarea erorilor,la verificarea semnificaiei unor indicatori statistici.Inconvenientul const n faptul c nu permite

compararea variaiei a dou variabile aleatoare avndcaracteristici exprimate n uniti diferite.

2X


29/32

Momentul centrat de ordinul al treilea

Pentru valoarea k=3, se poate calcula momentulcentrat de ordinul al treilea, notat D

3. Acesta

este important pentru a defini simetria uneirepartiii:

.

2233

3XM2XMXM3XMxMXMD


30/32

Pentru a analiza asimetria unei repartiii se foloseteindicatorul numitcoeficient de asimetrie notat1i calculatcu relaia:

1=0 repartiie simetrice,10 repartiie cu asimetrie dreapta,,

1

0 repartiie cu asimetrie de stnga,.

23

2

31

XD

D

Poziia celor trei indicatori (moda, mediana i media) pentru trei tipuri de repartiii:

a) - repartiie cu asimetrie de dreapta (10); b) - repartiie simetric (1=0); c) - repartiie cu

asimetrie de stnga (10).


31/32

Momentul centrat de ordinul al patrulea, M4

Pentru ascuirea unei repartiii, se determincoeficientul de exces, 2 folosind relaia

2=3 repartiia etalon, normal 23 repartiie turtit, 23 repartiia ascuit.

4223444 XM3XMXM6XMXM4XMXMXMD

224

2

XD

D

Repartiii statistice cu diferiicoeficieni de exces.


32/32

Coeficientul de variaie,

raportul dintre abaterea standard i media variabileialeatoare.

sau

Coeficientul de variaie, poate lua valori ntre 0 100%.Pentru valoarea zero, toate valorile caracteristicii fiind egale ntre

ele i respectiv cu valoarea medie, variabila aleatoare descrieun fenomen omogeni datele sunt bine grupate.

Valorile caracteristicii prezint un grad ridicat de omogenitatepentru valori ale coeficientului de variaie mai mici de 35%, iarpentru valori mai mari de 70 - 75% variaia este foarte mare,media nu este semnificativ i nu caracterizeaz seria dedate anali ate

XC

xC

X

X

[%]100x

C XX

C02_Variabile_aleatoare

Documents

Transcript of C02_Variabile_aleatoare