7/25/2019 Bucuresti 1996

1/2

ADMITERE, UNIVERSITATEA BUCURESTIFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

1996

ALGEBRA

1. a) Daca a, b Q, atunci a2 + b3 = 0 daca si numai daca a= b = 0.b) Sa se arate ca exista c si d numere rationale, astfel ncat

3

9

3 11

2 =c

2 + d

3.

2. Fie n 1 un numar natural. Sa se demonstreze ca:a) kCkn = nC

k1

n1, unde n N, k N, 1 k n.b) C1n+ 2C

2n+ 3C

3n+ . . . + nC

nn =n 2n1, unde n N.

c) C0n+1

2C1n+

1

3C2n+ . . .+

1

n + 1Cnn =

2n+1 1n + 1

, unde n N.

3. Sa se discute si sa se rezolve sistemul

ax + y+ z= 1x + 2ay+ z= b

(a+ 1)x + y+ 2az= 0

, a si b fiind parametri reali.

4. a) Daca a, b Z, atunci 3 divide numarul a2 + b2 daca si numai daca 3 divide a si 3 divide b.

b) Sa se arate ca multimea G =

a b

b a a, b Z3, a =0 sau b =0

este un grup comutativ n raport cu

nmult irea matricelor.

c) Cate elemente are grupul G?

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATIC

A

1. Sa se calculeze limn

na( 3

n3 + 1 n).

2. Sa se reprezinte grafic functiaf : R R, f(x) = x 1x2 + 1

, () x R, folosind si derivata a doua.

3. Fie functia f :

0,

2

R, f(x) =

1

sin2 x 1x2, daca x

0,

2

1

3, daca x= 0

. Sa se arate ca f este continua si sa se

calculeze o primitiva a sa.

4. a) Sa se enunte teorema lui Lagrange.

b) Sa se studieze derivabilitatea functiei f : [1, 1] R, f(x) = arcsinx + x 1 x2, () x [1, 1].

c) Sa se calculeze

11

1 x2 dx.

GEOMETRIE SI TRIGONOMETRIE

1. FieABCDun patrat,Emijlocul laturii [AB] siFpunctul de pe diagonala [AC] cu proprietatea caAF = 3 FC.Aratati ca EFD este un unghi drept.

2. a) Enuntati teorema cosinusului.b) Sa se rezolve ecuatia cosx sinx= 2cos2x.

1

7/25/2019 Bucuresti 1996

2/2

3. Fie [ABCD] un tetraedru si un plan care trece prin A si este perpendicular pe AB. Se noteaza cu C si D

proiectiile ortogonale ale lui C, respectiv D pe planul . Sa se arate ca

3 Vol[ABCD] =AB [ACD].

4. In planul xOy se considera punctele fixe A(1, 1), B(3, 2) si un punct variabil M(x, 0).

a) Sa se scrie ecuatia drepteiAB

, undeA

este simetricul punctuluiA

fata de axaOx

.b) Sa se afle lungimile segmentelor [AM] si [BM].

c) Sa se afle valoarea minima a functiei f : R R, f(x) =

(x 1)2 + 1 +

(x 3)2 + 4.

2