BrEviar TeoRetic

MATEMATIC

EVALUAREA NAIONAL MAI 2010

BREVIAR TEORETICCLASA a VIII-a

Material realizat de prof. TIT CUPRIANLocalitatea Sarichioi, judeul Tulcea

CUPRINS

Pagina

ARITMETIC I ALGEBR

Mulimi3

Calcul algebric.12

Funcii..14

Ecuaii, inecuaii i sisteme de ecuaii15

GEOMETRIE

Msurare i msuri..18

Figuri i corpuri geometrice.19

Triunghiul.22

Patrulaterul convex..25

Cercul...26

Corpuri geometrice..28

ARITMETIC I ALGEBR

MULIMI

TITLUL CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII

1Relaii ntre mulimiDac avem:

Apartenen, (: 2(A; Egalitate, = : B = C; Incluziune, (: B(A

2SubmulimeDac avem:

Mulimea B este o submulime a mulimii A pentru c fiecare element din B aparine mulimii A.

3Operaii cu mulimiDac avem:

Reuniunea: ; .

Intersecia: ; .

Diferena: ; .

Produsul cartezian: .

4Mulimi finite i mulimi infinite Mulime finit este mulimea cu un numr finit de elemente.

Exemple de mulimi finite:

Mulime infinit este mulimea cu un numr infinit de elemente.

Exemplu de mulime infinit:

5Mulimile N, Z, Q, R, R\Q

.

este mulimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub form de radicali.

( numere iraionale.

6Relaia N(Z(Q(R

Orice numr natural este numr ntreg;

Orice numr ntreg este i un numr raional;

Orice numr raional este numr real.

Exemplu:

7Scrierea numerelor naturale n baza zeceDe exemplu, un numr natural format din trei cifre se scrie n baza zece astfel:

8Propoziii adevrate i propoziii falseExemple de propoziii:

Propoziie adevrat: ,, Propoziie fals: ,,Prin negarea unei propoziii adevrate se obine o propoziie fals, i invers.

9mprirea cu rest a numerelor naturaleDac avem:

Teorema mpririi cu rest:


10Divizibilitatea n N Un numr natural este divizibil cu un alt numr natural dac restul mpririi dintre cele dou numere este egal cu zero.

Dac avem sau atunci: m este multiplul lui d i d este divizorul lui m.

Exemplu: .

Exemplu: .

11Proprietile divizibilitii (cele mai uzuale) Dac avem atunci i .

Dac avem i atunci i .

Dac avem i iar , atunci i .

12Criteriile de divizibilitate dac c = 0, sau 2, sau 4, sau 6, sau 8. dac c = 0, sau 5. dac c = 0. dac a++b+c se mparte exact la 3.

dac a++b+c se mparte exact la 9.

dac .

13Numere prime i numere compuse Numere prime sunt numere care au doar doi divizori: pe 1 i pe el nsui. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Numere compuse sunt numere care au cel puin trei divizori. Exemple: 6, , 12, 15, etc.

14Numere pare i numere impare Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este .

Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este .

15Numere prime ntre ele Numere prime ntre ele sunt numere care au ca divizor comun doar numrul 1. Exemple: 4 i 9; 15 i 19.

16Descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere primePrin descompunerea unui numr natural ntr-un produs de puteri de numere prime se nelege scrierea acestuia sub form de produs de factori care la rndul lor nu se mai pot descompune.

Exemplu:

17C.m.m.d.c. i c.m.m.m.c.Pentru a afla c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. se procedeaz astfel:

Se descompun n produs de puteri de numere prime numerele date:

Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singur dat) cu puterea cea mai mic i se nmulesc ntre ei:

.

Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni i necomuni (o singur dat) cu puterea cea mai mare i se nmulesc ntre ei:

.

18Divizibilitatea n ZDivizibilitatea n Z este asemntoare cu divizibilitatea n N.

n Z: .


19Fracii subunitare, echiunitare, supraunitare Fracii subunitare

Fracii echiunitare

Fracii supraunitare

20Amplificarea i simplificarea fractiilor Amplificarea

Simplificarea

21Fracii ireductibile Fracie ireductibil este fracia n care numrtorul i numitorul sunt numere prime ntre ele. Exemplu de obinere a unei fracii ireductibile, pas cu pas:

22Transformri de fracii Fracii zecimale finite .

Fracii zecimale periodice simple .

Fracii zecimale periodice mixte .

Exemple:

O fracie ordinar se poate transforma ntr-o fracie zecimal prin mprirea numrtorului la numitorul fraciei. Exemplu:

23Compararea, ordonarea i reprezentarea pe ax a numerelor reale Compararea numerelor raionale

Dintre numerele i mai mare este numrul .

Aducem numerele date la acelai numitor: i . Se observ c numrul mai mare este numrul b. Se poate s aducem numerele date i la acelai numrtor iar atunci comparm numitorii.

Compararea numerelor reale din care cel puin unul este numr iraional

Dintre numerele i mai mare ete numrul .

Introducem factorii sub radical i obinem: i . Se observ c numrul mai mare este numrul b.


24Valoarea absolut a unui numr real Valoarea absolut a unui numr real:

Valoarea absolut a unui numr iraional

Dac avem: , cel puin unul este iraional, , atunci

. Exemplu:

25Opusul i inversul unui numr real

Opusul unui numr real: opusul lui a este (a.

Inversul unui numr real: inversul lui a este .

26Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real pozitiv:

4,4 este ntre 4 i 5.

Partea ntreag [4,4] = 4.

Partea fracionar {4,4} = 4,4 ( [4,4] = 4,4 ( 4 = 0,4.

Partea ntreag i partea fracionar a unui numr real negativ:

(2,6 este ntre (3 i (2.

Partea ntreag [(2,6] = (3.

Partea fracionar {(2,6} = (2,6 ( [(2,6] = (2,6 +3 = 0,4.

27Rotunjirea i aproximarea unui numr real Metoda de a aproxima un numr real, mai ales cnd acesta este o fracie zecimal sau un numr iraional este folosit la estimri i exerciii de comparare.

Exemplu:

Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale prin lips atunci am avea: .

Dac s-ar cere aproximarea cu dou zecimale cu adaos atunci am avea: .

28Intervale n R; reprezentarea pe ax Interval mrginit nchis la ambele margini:

Interval mrginit nchis la una din margini :

Interval mrginit deschis la ambele margini:

Interval mrginit nchis sau deschis la una din margini i nemrginit la cealalt:

Interval nemrginit la ambele margini:


29Rdcina ptrat a unui numr natural ptrat perfect dac

dac n general .

Exemplu: .

30Algoritmul de extragere a rdcinii ptrate

Aadar, radical din 55225

este egal cu 235.

(S calculm rdcina ptrat a lui 55225.

(Desprim numrul n grupe de cte dou cifre, de la dreapta spre stnga.

(Ne ntrebm: care este cel mai mare numr al crui ptrat este mai mic sau egal cu 5.

Acesta este 2; l scriem n dreapta sus;

(l ridicm la ptrat, obinem 4 i-l trecem sub 5, aflm restul scderii 1.

(Coborm grupul de urmtoarele 2 cifre lng rest.

(Dublm pe 2 i rezultatul 4 l trecem sub 2.

(Ne gndim care cifr punem alturi de 4 i rezultatul l nmulim cu cifra aleas astfel nct numrul dat s se cuprind n 152.

(Ne gndim care cifr punem alturi de 4 i rezultatul l nmulim cu cifra aleas astfel nct numrul dat s se cuprind n 152.

(Rezultatul fiind 129, l trecem sub 152 i aflm restul scderii.

(Cifra 3 o trecem la rezultat, alturi de 2.

(Coborm urmtoarea grup de cifre, pe 25, lng restul 23.

(Coborm dublul lui 23, care este 46.

(Ne gndim care cifr punem alturi de 46, numrul format l nmulim cu acea cifr iar rezultatul s fie mai mic sau egal cu 2325.

(Acesta poate fi 5 i facem calculele.

(Trecem rezultatul 2325 sub numrul 2325 i efectum scderea.

(Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alturi de 23.

31Scrierea unui numr real pozitiv ca radical din ptratul su

Dac avem atunci acest numr se poate scrie i .

Dac avem atunci acest numr se poate scrie i .

32Reguli de calcul cu radicali Doi radicali se pot aduna sau scdea numai dac sunt ,,la fel adic avem termeni asemenea:

Exemplu: .

nmulirea radicalilor: ; .

mprirea radicalilor: ; .

33Scoaterea i introducerea factorilor sub radical Scoaterea factorilor de sub radical. Prezentm una din metodele cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numrul dat n produs de puteri de numere prime se iau perechi de numere prime egale dintr-o pereche va iei un factor de sub radical factorii nepereche vor rmne sub radical factorii ieii sau rmai sub radical se nmulesc.

Exemplu:

Introducerea factorilor sub radical se bazeaz pe operaia . Dac avem pentru a introduce pe 3 sub radical, se ridic la puterea 2 numrul 3 dup care se nmulete cu 5.

.


34Raionalizarea numitorilor Raionalizarea numitorilor de forma . .

Raionalizarea numitorilor de forma . n primul rnd conjugatul numrului este numrul . Pentru raionalizarea numitorului de aceast form, fracia se va amplifica cu conjugatul numitorului. .

35Operaii cu numere realeAdunarea i scderea

Pentru a efectua adunarea sau scderea numerelor raionale este necesar a parcurge urmtorii pai:

Se transform fraciile zecimale n fracii ordinare;

Se aduc fraciile la acelai numitor;

Se efectueaz adunarea/scderea.Exemplu:

Proprietile adunrii:

Adunarea este comutativ: a + b = b + a.

Adunarea este asociativ: a + b + c = (a + b) + c.

Elementul neutru al adunrii este 0: a + 0 = a. Pentru orice a exist opusul lui a astfel nct: a + (-a) = 0.

nmulirea

La nmulirea unui numr ntreg cu o fracie, se nmuleste numrul ntreg cu numrtorul fraciei, numitorul rmnnd neschimbat;

Se transform fraciile zecimale n fracii ordinare;

( La nmulirea a dou fracii ordinare se nmulesc

numrtorii ntre ei i numitorii ntre ei.

Exemplu:

a)

b)

Proprietile nmulirii:

nmultirea este comutativ: a ( b = b ( a;

nmultirea este asociativ: a ( b ( c = (a ( b) ( c;

Elementul neutru al nmulirii este 1: a ( 1 = a; nmulirea este distributiv fa de adunare sau scdere: a ( ( b + c ) = a(b + a(c


35Operaii cu numere realemprirea

La mprirea a dou numere raionale se nmulete primul numr cu al doilea inversat. Exemplu:

Tabelul nmulirii semnelor:

F1F2

P

+

+

+

+

(((+

(((+

Tabelul mpririi semnelor:D

I

C

+

+

+

+

(((+

(((+

Ridicarea la putere

,,Puterea este o nmulire repetat

Exemplu:

Operaii cu puteri: 1a = 1;

a1 = a;

a0 = 1, dac a ( 0;

0a = 0, dac a ( 0; am ( an = am+n;

am : an = am-n;

(am)n = am(n;

(a(b)m = am(bm.

36Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor ntr-un exerciiu de calcul aritmetic ce conine mai multe operaii cu numere raionale se efectueaz mai nti ridicrile la putere, apoi nmulirile i mpririle n ordinea n care sunt scrise i apoi adunrile i scderile, la fel, n ordinea n care sunt scrise.

n exerciiile de calcul aritmetic care conin paranteze se efectueaz mai nti calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) i apoi cele din acolade.

Dac n faa unei paranteze ce conine un numr raional sau o sum/diferen de numere raionale se afl simbolul ,,(, atunci se poate elimina semnul i paranteza, scriind numerele din parantez cu semnul schimbat.Exemplu:

.

37Factorul comun Dac atunci i Exemplu:

38Media aritmetic Media aritmetic .


39Media aritmetic ponderat Media aritmetic ponderat unde pi este ponderea numrului ai .

40Media geometric a dou numere reale pozitive Media geometric .

41Raportul a dou numereDac avem numerele reale a i b, atunci raportul lor este egal cu .

Exemplu: Fie i . .

42Proprietatea fundamental a proporiilorDac avem proporia atunci

43Derivarea proporiilorDac avem proporia atunci mai putem obine i proporiile:

; ; .

44Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporie dat Dac avem proporia atunci .

n general dac avem atunci .

45Mrimi direct proporionale Dac numerele a, b, c, ., w sunt direct proporionale cu numerele (atunci se poate forma un ir de rapoarte egale: , unde i este coeficientul de proporionalitate.

Proprietate general a unui ir de rapoarte egale: .

Exemplu de o problem: S se mpart numrul 76 n trei pri direct proporionale cu numerele 3, 5, 11. Rezolvare:

46Mrimi invers proporionale Dac numerele a, b, c, ., w sunt invers proporionale cu numerele (atunci se poate forma un ir de produse egale:

Acest ir de produse egale se poate transforma ntr-un ir de rapoarte egale, precum:

,unde i este coeficientul de proporionalitate.


47Regula de trei simpl Regula de trei simpl cu direct proporionalitate

Regula de trei simpl cu invers proporionalitate

48Procente Procentul este un numr raional; .

Exemple: ; .

49Aflarea a p% dintr-un numr Din relaia (

Exemplu: .

50Aflarea unui numr cnd se cunoate p% din el Din ( .

Exemplu:

51Aflarea raportului procentual Din ( .

Exemplu:

Mai explicit:

52Calculul probabilitii de realizare a unui eveniment .

Exemplu. ntr-un coule sunt 8 mere galbene i 12 mere roii. Care este probabilitatea ca lund la ntmplare un mr, acesta s aib culoarea roie? .

CALCUL ALGEBRIC


1Calculul cu numere reprezentate prin litere Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezint un numr, iar, l, partea literal a termenului, este format din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diveri exponeni, i numim termeni asemenea dac prile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numete reducerea termenilor asemenea.

Exemple:

1) Perechi de termeni asemenea: ; .

2) Adunarea: .

3) nmulirea: .

4) mprirea: .

5) Ridicarea la o putere: .

6) Ridicarea la o putere cu exponent numr negativ:

2Formulele de calcul prescurtatFormule utilizate:

1) Produsul dintre un numr i o sum/diferen:

2) Ptratul unui binom:

3) Ptratul unui trinom:

4) Produsul sumei cu diferena:

5) Produsul a dou paranteze:

Exemple:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3Descompunerea n factoriFormule utilizate:

1) Scoaterea factorului comun:

2) Restrngerea ptratului unui binom:

3) Diferena de ptrate:

4) Descompunerea unui trinom de forma: ; dac

atunci: .

Exemple:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .


4Rapoarte de numere reprezentate prin litereExemple:

; ; ; cu condiia ca .

5Amplificarea Amplificarea ;

Exemplu: .

6Simplificarea Simplificarea ;

(pentru a simplifica un raport de fapt se caut c.m.m.d.c. al termenilor raportului dat.

Exemplu: S se simplifice raportul: ; se descompun n factori termenii raportului i dup aceea se simplific.

.

7Adunarea sau scdereaAdunarea sau scderea

( ;

Unde k este c.m.m.m.c. al lui n i q.

Exemplu:

8nmulirea nmulirea ;

Exemplu: .

9mprirea mprirea ;

Exemplu: .

10 Ridicarea la putere Ridicarea la putere ;

Exemplu: .

11Ridicarea la putere cu exponent numr negativ Ridicarea la putere ;

Exemplu: .

FUNCII


1Noiunea de funcie Daca fiecrui element din mulimea A i corespunde un element din mulimea B spunem c este definit o funcie pe A cu valori n B.

Se noteaz:

A = domeniul de definiie,

B = codomeniul funciei.

Exemplu:

2Funcii definite pe mulimi finite, exprimate prin diagrame, tabele, formule, grafic

x

-1

0

2

3

5

y

1

2

4

5

7

f(x) = x + 2

3Funcii de tipul f:A(R, f(x) = ax + b, unde A este un interval de numere realeExemplu:

S se construiasc graficul funciei

f:[-2;4)(R, ;

Pentru ;

Pentru ;

Graficul funciei este un segment de dreapt ce unete punctele A i B, nchis n A i deschis n B.

* Dac mulimea A este un interval de numere mrginit la o extrem i nemrginit la cealalt extrem, atunci graficul funciei este o semidreapt cu originea n extrema mrginit a intervalului.

4Functii de tipul f:R(R, f(x) = ax + bExemplu:

Sa se construiasc graficul funciei f:R(R, ;

Pentru ;

Pentru

Graficul funciei este o dreapt ce trece prin punctele A i B.

ECUAII, INECUAII, SISTEME DE ECUAII


1Ecuaii de forma ,

Propoziia cu o variabil de forma ax + b = 0 se numete ecuaie cu o necunoscut, unde a i b sunt numere reale.

ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de a trece termeni dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat.

ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de nmuli/mpri egalitatea cu un numr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor i la final aflarea necunoscutei.

Exemplu:

(

(

(.

2Ecuaii echivalente Dou ecuaii sunt echivalente dac au aceeai soluie.

Bazndu-se pe proprietile egalitatii, se pot obine ecuaii echivalente pornind de la o ecuaiei dat.

Exemplu: Fie ecuaia

a) adunm la ambii membri ai ecuaiei numrul 5:

b) nmulim ecuaia (toi termeni) cu 3:

3Inecuaii de forma ,

Propoziia cu o variabil de forma ax + b > 0 se numete inecuaie cu o necunoscut, unde a i b sunt numere reale.

ntr-o inecuaie avem ,,dreptul de a trece termeni dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat.

ntr-o inecuaie avem ,,dreptul de nmuli/mpri inegalitatea cu un numr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor i la final aflarea necunoscutei.

Dac o inecuaie se va nmuli/mpri cu un numr negativ atunci sensul inegaliti se schimb.

Exemplu: ( (

( (.

4Sisteme de ecuaii de forma ,

Metoda reducerii:

Se alege o necunoscut cu scopul de a fi ,,redus i se identific coeficienii si;

Se afl c.m.m.m.c. al coeficienilor i se nmulesc ecuaiile astfel nct s se obin coeficienii necunoscutei numere opuse;

Se adun ecuaiile i se obine o ecuaie cu o singur necunoscut, dup care se rezolv;

La fel se procedeaz i cu cealalt necunoscut.

Exemplu: (

( ;

(

(( .


4Sisteme de ecuaii de forma ,

EMBED Equation.3

Metoda substituiei:

Se afl dintr-o ecuaie o necunoscut n funcie de cealalt necunoscut;

Se introduce valoarea acestei necunoscute n cealalt ecuaie i se rezolv ecuaia;

Se afl cealalt necunoscut.

Exemplu: din (;

Introducem pe n ( ( ((

Introducem pe n ( ( .

5Probleme ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor, inecuaiilor i a sistemelor de ecuaii

Etapele de rezolvare a unei probleme:

1. Stabilirea datelor cunoscute i a celor necunoscute din problem.

2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) i exprimarea celorlalte date necunoscute n funcie de aceasta (acestea).

3. Alctuirea unei ecuaii (sistem de ecuaii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleas (alese), folosind datele problemei.

4. Rezolvarea ecuaiei (sistemului de ecuaii).

5. Verificarea soluiei.

6. Formularea concluziei problemei.

Exemplul 1(ecuaie): Un cltor parcurge un drum n 3 zile astfel: n prima zi parcurge din drum, a doua zi parcurge din rest iar a treia zi ultimii 40 de km. Aflai lungimea total a drumului.

Rezolvare: Stabilim necunoscuta principal lungimea total a drumului, pe care o notm cu x;

n prima zi a parcurs: ; i-au rmas de parcurs ; a doua zi a parcurs ;

Avem ecuaia: pe care o rezolvm:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 este lungimea total a drumului.

Exemplul 2 (inecuaie): S se gaseasc trei numere naturale consecutive a cror sum este mai mic dect 16.

Rezolvare: Stabilim necunoscuta principal numrul cel mai mic pe care l i notm cu x;

Celelalte dou numere vor fi x + 1 i x + 2

( inecuaia: pe care o rezolvm:

( soluiile: (1;2;3), (2;3;4), (3;4;5), (4;5;6).


5Probleme ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor, inecuaiilor i a sistemelor de ecuaii

Exemplul 3 (sistem de dou ecuaii): Dou creioane i nou cri cost mpreun 80 de lei. Dac 5 creioane i 4 cri cost mpreun 42 de lei, aflai preul unui creion i a unei cri.

Rezolvare: Stabilim necunoscutele problemei: preul unui creion = x i preul unei cri = y.

Se formeaz sistemul de ecuaii: pe care l rezolvm:

EMBED Equation.3 ( x = 2 lei (preul unui creion).

Introducem valoarea lui x n prima ecuaie: lei (preul unei cri).

GEOMETRIE

MSURARE I MSURI


1Lungime Unitatea de msur a lungimii este metrul m.

Multiplii metrului - m:

.

.

.

.

Submultiplii metrului:

.

.

.

.

2Arie Unitatea de msur a ariei este metrul ptrat m2.

Multiplii metrului ptrat m2:

.

.

.

.

Submultiplii metrului ptrat m2:

.

.

.

.

Alte uniti de msur a ariei:

.

.

3Volum Unitatea de msur a volumului este metrul cub m3.

Multiplii metrului cub m3:

.

.

.

.

Submultiplii metrului cub m3:

.

.

.

.

Unitatea de msur a volumului litrul .

.

.

.

4Unghi Unitatea de msur a msurii unui unghi este gradul sexagesimal.

.

.

FIGURI I CORPURI GEOMETRICE


1Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul de dreapt, unghiul Punctul este figura geometric ce se aseamn cu o urm lsat de un creion;

Punctul nu are dimensiune;

Punctele se noteaz cu litere mari de tipar: A, B, C,.., A1, A2,

Dreapta este figura geometric ce se aseamn cu un fir foarte subire perfect ntins;

Dreapta are o singur dimensiune - lungimea;

Dreptele se noteaz astfel: AB, BC, , d, d1, d2,

Planul este figura geometric ce se aseamn cu o pnz foarte subire perfect ntins;

Planul are dou dimensiuni lungimea i limea;

Planele se noteaz astfel: (ABC) sau (, (, (,

Semiplanul o dreapt inclus ntr-un plan mparte planul dat n dou semiplane.

Semidreapta este dreapta mrginit la un capt.

Segmentul de dreapt este dreapta mrginit la ambele capete.

Unghiul este figura geometric format de dou semidrepte cu originea comun.

2Poziii relative a dou drepte n spaiu

Explicatii:

a) drepte identice;

b) drepte concurente, ;

c) drepte paralele, i coplanare;

d) drepte oarecare, i necoplanare;


3Relaia de paralelism n spaiue) dac a (( b i b (( c ,

atunci i a (( c.

4Relaia de perpendicularitateDac dreptele a i b sunt perpendiculare pe acelai plan, atunci aceste drepte sunt paralele ntre ele.

5Axioma paralelelor

6Unghiurile cu laturile respective paraleleExplicaii:

Cazul I ( unghiurile sunt congruente;

Cazul II unghiurile sunt suplementare.

7Unghiul a dou drepte n spaiu; drepte perpendiculareExplicaii:

Dac avem dreptele a i b (necoplanare) i este necesar s gasim unghiul dintre ele, procedm astfel:

cutm o dreapt paralel cu una dintre ele i care are un punct comun cu cealalt

(de ex. b (( c);

Unghiul pe care l formeaz dreapta c cu dreapta a este i unghiul dintre deptele a i b ( unghiul de msura ().

8Dreapta perpendicular pe un planExplicaii:

Dac dreptele a i b ( ( i , atunci i

Teorem: O dreapt perpendicular pe un plan este perpendicular pe orice dreapt inclus n planul dat.

9Distana de la un punct la un planExplicaii:

distana de la un punct la un plan este ,,drumul cel mai scurt de la acel punct la planul dat;

distana de la un punct la un plan este lungimea segmentului de dreapt perpendicular pe planul dat;

PQ = distana de la punctul P la planul ( dac PQ((.

Pentru asta este necesar:

10Teorema celor trei perpendiculare


11Proiecii de puncte, de segmente de dreapt i de drepte pe un plan

Explicatii:

Proiecia unui punct pe un plan este un punct. Dac AA`((, A` este proiecia lui A pe planul (.

Proiecia unui segment de dreapt pe un plan este un segment de dreapt. Dac AA`((, BB`((, A`B` este proiecia lui AB pe planul (.

Proiecia unei drepte pe un plan este o dreapt. Dac AA`((, BB`((, A`B` este proiecia lui AB pe planul (.

12Unghiul dintre o dreapt i un plan; lungimea proieciei unui segment

Exemplu / aplicaie:

Dreapta AB nu este paralel cu planul (. BC((. Unghiul dintre dreapta AB i planul dat este unghiul BAC de msura (. Dac BC = 6cm i AC = 8cm, atunci:

13Unghi diedru; unghiul plan corespunztor diedrului

Explicaii:

14Plane perpendiculare

Explicaii: Dac :

Sau: Dou plane sunt perpendiculare dac msura unghiului plan al diedrului celor dou plane este de 900.

15Simetria fa de un punct n plan; simetria fa de o dreapt n plan Punctul B este simetricul lui A fa de punctul O dac A,O, B sunt coliniare i AO=OB; Punctul B este simetricul lui A fa de dreapta a dac A, O, B sunt coliniare, AB(a i AO=OB.

16Calculul distanei de la un punct la o dreapt

Exemplu / aplicaie:

Fie ABCA`B`C` o prism triunghiular regulat dreapt cu muchia bazei de 6 cm i nlimea de 8cm. S se afle distana de la punctul A` la dreapta BC.Rezolvare: AD(BC; AA`((ABC)(A`D(BC.

17Calculul distanei de la un punct la un plan

Exemplu / aplicaie:

Fie VABC o piramid triunghiular regulat dreapt cu AB = 12 cm i nlimea VO = cm. Se cere s se afle distana de la punctul O la planul (VBC).

Rezolvare:


18Unghiul dintre dou plane

Exemplu / aplicaie:

Fie VABCD o piramid patrulater regulat dreapt cu AB = 18cm i nlimea VO = 12 cm. Se cere s se afle sinusul unghiului dintre planele (ABC) i (VBC).

Rezolvare:

TRIUNGHIUL


1Perimetrul i aria

Perimetrul

Semiperimetrul ;

Aria ;

Aria unui triunghi dreptunghic ;

Aria unui triunghi echilateral .

2Suma msurilor unghiurilor ntr-un triunghi Suma msurilor unghiurilor ntr-un triunghi este egal cu 180(.

ntr-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuite sunt complementare.

3Unghi exterior unui triunghi m(ACD) = m(ABC) + m(BAC).

m(ACD) = 180( ( m(BCA)

4Linii importante n triunghiMediana

(Mediana este segmentul de dreapt ce unete vrful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.

(Punctul de intersecie al medianelor se numete centrul de greutate.Mediatoarea

(Mediatoarea este dreapta perpendicular pe mijlocul unei laturi.

(Punctul de intersecie al mediatoarelor se numete centrul cercului circumscris triunghiului.Bisectoarea (Bisectoarea este semidreapta ce mparte unghiul n dou unghiuri adiacente congruente.

(Punctul de intersecie al bisectoarelor se numete centrul cercului nscris triunghiului.nlimea

(nlimea este perpendiculara dus din vrful unui triunghi pe latura opus.

(Punctul de intersecie al nlimilor se numete ortocentrul triunghiului.

TRIUNGHIUL


5Linia mijlocie n triunghi Segmentul de dreapt ce unete mijloacele a dou laturi a unui triunghi se numete linia mijlocie.

6Triunghiul isoscel proprieti Triunghiul isoscel este triunghiul care are dou laturi congruente.

ntr-un triunghi isoscel unghiurile de la baz sunt congruente.

ntr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului de la vrf este i median, i nlime, i mediatoare.

ntr-un triunghi isoscel medianele (nlimile sau bisectoarele) corespunztoare laturilor congruente, sunt congruente.

7Triunghiul echilateral proprieti

Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate cele trei laturi congruente. .

ntr-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt congruente i fiecare are msura egal cu 60( .

ntr-un triunghi echilaterat bisectoarea oricrui unghi este i median, i nlime, i mediatoare.

8Criteriile de congruen a triunghiurilorCriteriul de congruen LUL

Dac

Atunci

Criteriul de congruen ULU

Dac

Atunci

Criteriul de congruen LLL

Dac

Atunci

9Triunghiul dreptunghic relaii metrice Teorema nlimii AD2 = BD(DCTeorema catetei AB2 = BD(BC

Teorema catetei AC2 = DC(BC

Teorema lui Pitagora AB2 + AC2 = BC2

10Relaii trigonometrice

300450

600

sin

cos

tg

ctg

;

EMBED Equation.3 ;


11Teorema lui Thales i reciproca eiTeorema. O paralel dus la o latur ntr-un triunghi determin pe celelalte dou (sau pe prelungirile lor) segmente proporionale.

Reciproca. Dac punctele M i N determin pe cele dou laturi ale triunghiului ABC segmente proporionale atunci MN este paralel cu BC.

12Teorema fundamental a asemnriiTeorema. O paralel dus la o latur ntr-un triunghi formeaz cu celelalte dou (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat. (

13Criteriile de asemnare a triunghiurilorCriteriul de asemnare LUL

Dou triunghiuri sunt asemenea dac au cte dou laturi respectiv proporionale i unghiurile cuprinse ntre ele congruente. B(NCriteriul de asemnare LLL

Doua triunghiuri sunt asemenea dac au toate laturile respectiv proporionale.

Criteriul de asemnare UU

Dou triunghiuri sunt asemenea dac au cte dou unghiuri respectiv congruente.

B(N; C(P

PATRULATERUL CONVEX


1Perimetrul i aria patrulaterelor studiateARIA UNUI PARALELOGRAM

(

(

(

Aria unui dreptunghi

(

(

(

ARIA UNUI PATRAT

(

(

(

ARIA UNUI ROMB

(

(

(

(

ARIA UNUI TRAPEZ

(

(

2Suma msurilor unghiurilor unui patrulater convexSuma msurilor unghiurilor unui patrulater convex este

egal cu 360(.

3Paralelogramul proprieti

Proprietati:

1. Laturile opuse sunt congruente dou cte dou.

[AB]([CD]; [BC]([AD] .

2. Unghiurile opuse sunt congruente, A(C i B(D;

3. Unghiurile alturate sunt suplementare, m(A)+m(B)=1800 i m(B)+m(C)=1800;

4. ntr-un paralelogram diagonalele se intersecteaz njumtindu-se, [OA]([OC]; [OB]([OD] .

4Dreptunghiul proprieti particulare

Alte proprieti:

1. Toate unghiurile sunt congruente i de 900.

2. Diagonalele sunt congruente.

5Ptratul proprieti particulare

Alte proprieti:

1. Toate laturile sunt congruente;

2. Toate unghiurile sunt congruente i de 900;

3. Diagonalele sunt congruente;

4. Diagonalele se intersecteaz perpendicular una pe cealalt;

5. Diagonalele sunt i bisectoarele unghiurilor.


6Rombul proprieti particulare

Alte proprieti:

1. Toate laturile sunt congruente;

2. Diagonalele sunt perpendiculare;

3. Diagonalele sunt i bisectoarele unghiurilor.

7Trapezul linia mijlocie n trapezSegmentul de dreapt care unete mijloacele laturilor neparalele se numete linie mijlocie.

( i

(

8Trapeze particulareTrapez dreptunghic

Trapez isoscel

( ntr-un trapez isoscel, unghiurile alturate bazelor sunt congruente.

( ntr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.

CERCUL


1Cercul centrul raz, diametru, disc Cercul este locul geometric al tuturor punctelor dintr-un plan egal deprtate fa de un punct fix numit centrul cercului.

O = centrul cercului; OC = raza cercului de lungime R;

AB = diametrul cercului;

BD = coard;

= arc de cerc;

= semicerc.

2Unghi la centru; unghi cu vrful pe cerc Unghi cu vrful n centrul cercului

m(AOB) = m()

Unghi cu vrful pe cerc

m(BCA) = m() / 2.

Dac avem dou unghiuri congruente nscrise ntr-un cerc, cu vrful n centrul cercului, acestea subntind ntre laturile lor, dou arce congruente.


3Coarde i arce n cerc1. Dac arcul AB este congruent cu arcul CD atunci i [AB]([CD]. i reciproca este adevrat.

2. Dac MC (( ND atunci arcul CD este congruent cu arcul MN.

3. Dac OR(CD atunci P este mijlocul lui [CD] i R este mijlocul arcului CD. O este centrul cercului; {P}=OR(CD.

4. Coarde egal deprtate de centru sunt congruente.

Dac OP=OQ atunci [CD]([AB].

4Tangenta la cerc dintr-un punct exterior cercului Fie punctul P exterior cercului;

PA i respectiv PB sunt tangente la cerc;

OA(PA; OB(PB;

[PA] ( [PB];

OP2 = OA2 + AP2

5Lungimea cercului, aria disculuiLungimea cercului:

Aria discului (cercului):

Lungimea arcului de cerc AC:

Aria sectorului de cerc (OAC)

6Calculul elementelor n triunghiul echilateral; ;;;

; .

7Calculul elementelor n ptrat;;

;;

;.

8Calculul elementelor n hexagonul regulat; ; ;; .

CORPURI GEOMETRICE


1Paralelipipedul dreptunghic

Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)

(baza este un dreptunghi;

(a,b,c =dimensiunile paralelipipedului;

(d = diagonala paralelipipedului

Formule:

2Cubul


(toate feele (6) sunt ptrate;

(l = muchia cubului;

(d = diagonala cubului;

(are 12 muchii.

Formule:

3Prisma triunghiular


(baza este un triunghi echilateral;

(l = latura bazei;

(h = nlimea prismei

Formule:

4Prisma patrulater


(baza este un ptrat;

(l = latura bazei;

(h = nlimea prismei;

(d = diagonala prismei

Formule:


5Piramida triunghiular


(baza este un triunghi echilateral;

(l = latura bazei;

(h = nlimea piramidei;

(ab = apotema bazei;

(ap = apotema piramidei;

(ml = muchia lateral;

(feele sunt triunghiuri isoscele.

Formule:

6Tetraedrul regulat

Descriere i desfurata corpului (la o scar mai mic)Formule:

toate feele sunt triunghiuri echilaterale;

toate muchiile sunt congruente.

7Piramida patrulater


(baza este un ptrat;

(l = latura bazei;

(h = nlimea piramidei;

(ab = apotema bazei;

(ap = apotema piramidei;

(ml = muchia lateral;

(feele sunt triunghiuri isoscele.

Formule:

4

PAGE - 27 -

_1323327085.unknown

_1323327214.unknown

_1323327279.unknown

_1323327312.unknown

_1323327344.unknown

_1323327361.unknown

_1323327369.unknown

_1323327377.unknown

_1323327381.unknown

_1323327383.unknown

_1323327386.unknown

_1323327387.unknown

_1323327388.unknown

_1323327385.unknown

_1323327382.unknown

_1323327379.unknown

_1323327380.unknown

_1323327378.unknown

_1323327373.unknown

_1323327375.unknown

_1323327376.unknown

_1323327374.unknown

_1323327371.unknown

_1323327372.unknown

_1323327370.unknown

_1323327365.unknown

_1323327367.unknown

_1323327368.unknown

_1323327366.unknown

_1323327363.unknown

_1323327364.unknown

_1323327362.unknown

_1323327353.unknown

_1323327357.unknown

_1323327359.unknown

_1323327360.unknown

_1323327358.unknown

_1323327355.unknown

_1323327356.unknown

_1323327354.unknown

_1323327348.unknown

_1323327350.unknown

_1323327351.unknown

_1323327349.unknown

_1323327346.unknown

_1323327347.unknown

_1323327345.unknown

_1323327328.unknown

_1323327336.unknown

_1323327340.unknown

_1323327342.unknown

_1323327343.unknown

_1323327341.unknown

_1323327338.unknown

_1323327339.unknown

_1323327337.unknown

_1323327332.unknown

_1323327334.unknown

_1323327335.unknown

_1323327333.unknown

_1323327330.unknown

_1323327331.unknown

_1323327329.unknown

_1323327320.unknown

_1323327324.unknown

_1323327326.unknown

_1323327327.unknown

_1323327325.unknown

_1323327322.unknown

_1323327323.unknown

_1323327321.unknown

_1323327316.unknown

_1323327318.unknown

_1323327319.unknown

_1323327317.unknown

_1323327314.unknown

_1323327315.unknown

_1323327313.unknown

_1323327295.unknown

_1323327304.unknown

_1323327308.unknown

_1323327310.unknown

_1323327311.unknown

_1323327309.unknown

_1323327306.unknown

_1323327307.unknown

_1323327305.unknown

_1323327299.unknown

_1323327301.unknown

_1323327302.unknown

_1323327300.unknown

_1323327297.unknown

_1323327298.unknown

_1323327296.unknown

_1323327287.unknown

_1323327291.unknown

_1323327293.unknown

_1323327294.unknown

_1323327292.unknown

_1323327289.unknown

_1323327290.unknown

_1323327288.unknown

_1323327283.unknown

_1323327285.unknown

_1323327286.unknown

_1323327284.unknown

_1323327281.unknown

_1323327282.unknown

_1323327280.unknown

_1323327246.unknown

_1323327263.unknown

_1323327271.unknown

_1323327275.unknown

_1323327277.unknown

_1323327278.unknown

_1323327276.unknown

_1323327273.unknown

_1323327274.unknown

_1323327272.unknown

_1323327267.unknown

_1323327269.unknown

_1323327270.unknown

_1323327268.unknown

_1323327265.unknown

_1323327266.unknown

_1323327264.unknown

_1323327255.unknown

_1323327259.unknown

_1323327261.unknown

_1323327262.unknown

_1323327260.unknown

_1323327257.unknown

_1323327258.unknown

_1323327256.unknown

_1323327250.unknown

_1323327252.unknown

_1323327253.unknown

_1323327251.unknown

_1323327248.unknown

_1323327249.unknown

_1323327247.unknown

_1323327230.unknown

_1323327238.unknown

_1323327242.unknown

_1323327244.unknown

_1323327245.unknown

_1323327243.unknown

_1323327240.unknown

_1323327241.unknown

_1323327239.unknown

_1323327234.unknown

_1323327236.unknown

_1323327237.unknown

_1323327235.unknown

_1323327232.unknown

_1323327233.unknown

_1323327231.unknown

_1323327222.unknown

_1323327226.unknown

_1323327228.unknown

_1323327229.unknown

_1323327227.unknown

_1323327224.unknown

_1323327225.unknown

_1323327223.unknown

_1323327218.unknown

_1323327220.unknown

_1323327221.unknown

_1323327219.unknown

_1323327216.unknown

_1323327217.unknown

_1323327215.unknown

_1323327149.unknown

_1323327182.unknown

_1323327198.unknown

_1323327206.unknown

_1323327210.unknown

_1323327212.unknown

_1323327213.unknown

_1323327211.unknown

_1323327208.unknown

_1323327209.unknown

_1323327207.unknown

_1323327202.unknown

_1323327204.unknown

_1323327205.unknown

_1323327203.unknown

_1323327200.unknown

_1323327201.unknown

_1323327199.unknown

_1323327190.unknown

_1323327194.unknown

_1323327196.unknown

_1323327197.unknown

_1323327195.unknown

_1323327192.unknown

_1323327193.unknown

_1323327191.unknown

_1323327186.unknown

_1323327188.unknown

_1323327189.unknown

_1323327187.unknown

_1323327184.unknown

_1323327185.unknown

_1323327183.unknown

_1323327165.unknown

_1323327174.unknown

_1323327178.unknown

_1323327180.unknown

_1323327181.unknown

_1323327179.xls

_1323327176.unknown

_1323327177.unknown

_1323327175.unknown

_1323327169.unknown

_1323327171.unknown

_1323327172.unknown

_1323327170.unknown

_1323327167.unknown

_1323327168.unknown

_1323327166.unknown

_1323327157.unknown

_1323327161.unknown

_1323327163.unknown

_1323327164.unknown

_1323327162.unknown

_1323327159.unknown

_1323327160.unknown

_1323327158.unknown

_1323327153.unknown

_1323327155.unknown

_1323327156.unknown

_1323327154.unknown

_1323327151.unknown

_1323327152.unknown

_1323327150.unknown

_1323327117.unknown

_1323327133.unknown

_1323327141.unknown

_1323327145.unknown

_1323327147.unknown

_1323327148.unknown

_1323327146.unknown

_1323327143.unknown

_1323327144.unknown

_1323327142.unknown

_1323327137.unknown

_1323327139.unknown

_1323327140.unknown

_1323327138.unknown

_1323327135.unknown

_1323327136.unknown

_1323327134.unknown

_1323327125.unknown

_1323327129.unknown

_1323327131.unknown

_1323327132.unknown

_1323327130.unknown

_1323327127.unknown

_1323327128.unknown

_1323327126.unknown

_1323327121.unknown

_1323327123.unknown

_1323327124.unknown

_1323327122.unknown

_1323327119.unknown

_1323327120.unknown

_1323327118.unknown

_1323327101.unknown

_1323327109.unknown

_1323327113.unknown

_1323327115.unknown

_1323327116.unknown

_1323327114.unknown

_1323327111.unknown

_1323327112.unknown

_1323327110.unknown

_1323327105.unknown

_1323327107.unknown

_1323327108.unknown

_1323327106.unknown

_1323327103.unknown

_1323327104.unknown

_1323327102.unknown

_1323327093.unknown

_1323327097.unknown

_1323327099.unknown

_1323327100.unknown

_1323327098.unknown

_1323327095.unknown

_1323327096.unknown

_1323327094.unknown

_1323327089.unknown

_1323327091.unknown

_1323327092.unknown

_1323327090.unknown

_1323327087.unknown

_1323327088.unknown

_1323327086.unknown

_1323327019.unknown

_1323327052.unknown

_1323327068.unknown

_1323327077.unknown

_1323327081.unknown

_1323327083.unknown

_1323327084.unknown

_1323327082.unknown

_1323327079.unknown

_1323327080.unknown

_1323327078.unknown

_1323327072.unknown

_1323327075.unknown

_1323327076.unknown

_1323327073.unknown

_1323327070.unknown

_1323327071.unknown

_1323327069.unknown

_1323327060.unknown

_1323327064.unknown

_1323327066.unknown

_1323327067.unknown

_1323327065.unknown

_1323327062.unknown

_1323327063.unknown

_1323327061.unknown

_1323327056.unknown

_1323327058.unknown

_1323327059.unknown

_1323327057.unknown

_1323327054.unknown

_1323327055.unknown

_1323327053.unknown

_1323327036.unknown

_1323327044.unknown

_1323327048.unknown

_1323327050.unknown

_1323327051.unknown

_1323327049.unknown

_1323327046.unknown

_1323327047.unknown

_1323327045.unknown

_1323327040.unknown

_1323327042.unknown

_1323327043.unknown

_1323327041.unknown

_1323327038.unknown

_1323327039.unknown

_1323327037.unknown

_1323327027.unknown

_1323327032.unknown

_1323327034.unknown

_1323327035.unknown

_1323327033.unknown

_1323327029.unknown

_1323327031.unknown

_1323327028.unknown

_1323327023.unknown

_1323327025.unknown

_1323327026.unknown

_1323327024.unknown

_1323327021.unknown

_1323327022.unknown

_1323327020.unknown

_1323326987.unknown

_1323327003.unknown

_1323327011.unknown

_1323327015.unknown

_1323327017.unknown

_1323327018.unknown

_1323327016.unknown

_1323327013.unknown

_1323327014.unknown

_1323327012.unknown

_1323327007.unknown

_1323327009.unknown

_1323327010.unknown

_1323327008.unknown

_1323327005.unknown

_1323327006.unknown

_1323327004.unknown

_1323326995.unknown

_1323326999.unknown

_1323327001.unknown

_1323327002.unknown

_1323327000.unknown

_1323326997.unknown

_1323326998.unknown

_1323326996.unknown

_1323326991.unknown

_1323326993.unknown

_1323326994.unknown

_1323326992.unknown

_1323326989.unknown

_1323326990.unknown

_1323326988.unknown

_1323326970.unknown

_1323326979.unknown

_1323326983.unknown

_1323326985.unknown

_1323326986.unknown

_1323326984.unknown

_1323326981.unknown

_1323326982.unknown

_1323326980.unknown

_1323326975.unknown

_1323326977.unknown

_1323326978.unknown

_1323326976.unknown

_1323326973.unknown

_1323326974.unknown

_1323326971.unknown

_1323326961.unknown

_1323326965.unknown

_1323326967.unknown

_1323326968.unknown

_1323326966.unknown

_1323326963.unknown

_1323326964.unknown

_1323326962.unknown

_1323326957.unknown

_1323326959.unknown

_1323326960.unknown

_1323326958.unknown

_1323326955.unknown

_1323326956.unknown

_1240399276.unknown

_1323326954.unknown

_1240399087.unknown

BrEviar TeoRetic

Documents

Transcript of BrEviar TeoRetic