Birchi
66
< ADRIANA DRAGOMIR ,i\ OVIDIU BAOESIIU LUClAtt DRAGOMIR ' , " ION DAMIAN BiRC[ll t' 7 t-i) i EXERCITII $I PROBTEME DE MATEMATICA (-' () l. I
-
Upload
marcela1900 -
Category
Documents
-
view
399 -
download
10
Transcript of Birchi
<ADRIANA DRAGOMIR ,i\ OVIDIU BAOESIIULUClAtt DRAGOMIR ' , " ION DAMIAN BiRC[llt'
7t-i)
i
EXERCITII $I PROBTEMEDE
MATEMATICA
(-'
()
l.I
EDITURA BIRCHI:
Bd. Sudului nr. 2, ap.8
300686, Timigoara
Tel./Fax: 0256-464642
Mobil: 0723-593430
E-mail : rmt.mate @ yahoo.com
Tiparul: Imprinieria de Vest,. Oradea ' ",Tehnoredactare: Adina Filca,
@ Copyright Editura Birchi
All rights reserved
Tiparul executat la Imprimeria de Vest,Oradea, Calea Aradului nr. 35nouAln
\
Capitolul lPERMUTARI, MATRICE
l.I. Permutdri
1. 56 se calculeze care este numdrul funcfiilor bijective definite pe {t,2,:}cu valori in
{t,Z,Z}. Si se calculeze gi numSrul funcfiilor in cazul in care sunt doar injective, respectiv
doar surjective.
2. Caredintre urmdtoarele tablouri reprezintd permutiri ?
(r23 4) (r23 4) .(r23 4s)."U 4 t t)' o'[, 4 r,)t "[t | 2 t,)'(r23rz 3\ (t23 4\ (t23 45'\
d)[3 ; ; -t
; ;), ",[; i r r)' n[' 3 z 4 t)
3. Preciza{i ie N pentru care urmbtoareletablouri suntpermutdri :
(r23 4s) ..(r234s 6\ (t23 4)
"[; i , , ,)' o'[o 6 i t 2 t)' "[., i t t)'(t23 +\ (t23 4s) (r23 45').)U;;;), o[; i,r,), n[,2istl
4. S[ se calculeze cdte permutlri de gradul 4 existd.S6 se dea un exemplu de astfel de doud
permutdri o Si t pentru care o(L) + r(I).
5. 56 se calculeze cate permutdri de gradul 5 existi.Sd se dea un exemplu de astfel de doui
permutdri o gi r pentru care o(1) = 711; t1 o(2) * r(2),
6. Si se calculeze cdte permutdri oe So satisfac : o(2) =/.
7. Si se calculeze cdte permutdri oe S, satisfac : o(1) = I 9i o(4) - {'
8. Sd se calculeze cdte permutiri oe S, satisfac : o(l)+ o(2) - 4'
9. Sd se calculeze cdte permutdri r e S, satisfac : c(I)'r(3) - 4'
10. in mulfimea S, a permutirilor de gradul 3 se consider6 permutdrile
o-l 2 3l s "=[l ' '). Sisecalcureze o.r ri r'o.- u 3 2) ' \2 | 3)
ra permutirilor de gradul 4 se consideri permutirile
1),0=(L : ', i),,=(: : 'r i)
12. tn multrimea Sn a permutirilor de gradul 4 se considerd permutirile
u_(r23 +\ (r23 +\ _(r23 +)
u 4 2 rJ''=[, l 3 o.J''=[, 4 2 t)Sii se calculeze :
ff. ln mullimea S,
(t 2 3d=l[4 t2
Sii se calculeze :
a) aF, fz, zq :
d) (dp)(3);
a) uv, vw, wu; ;
d) (wr)(3);
Si se calculeze :
a) u(I)+u(2) ;
d)wt;
d) d=fl 2' 124
b) d(I)+d(3) ;
e) (fa)(z);
b) a(I)+u(4) ;
e) (wv)(2);
b) (uw)(Z) ;
.4e)v ;
c) p(2)+ p(3)
D @fDQ).
c) w(1)+w(3)f) (uvw)(2).
") u'i
0 rt*.
13. tn mullimea S, a permutirilor de gradul 3 se considerd permutdrile
"=(:', i),u=(I : i),, u=(:', )Sd se calculeze :
a) d(t)+a(3); b) (p6)(2) i e az;
d)f'; ")6o; f)6^'.14. in mullimea S, a permutlrilor de gradul 3 se considerl permutdrile
(t 23\ (t 23\ (t rr).u=[, z z)'u=lz i t.,1 u' '=[, t z)
15. Studiafi dabd existii oe ^S, pentru care o(l) + o(2) + o(3) * 6.
16. in mullimea So a permut6rilor de gradul 4 se consideri permutarea
(t234\u =l'u423)
17. SI se determine inversele urmitoarelor permutlri :
^) "=(: 1 ?). ', ' " B=[l i : i). o'
34s\ (t23 4s\s r rJ"' "''=[o 3 z r sJ€s'
(t234\"rr=1, z 4 rJ€s,;
(t23+\oP=[+ t z r.,Jtt'
\
18. Si se rezolve ecualia dx = P in fiecare dintre cazurile urmiitoare :
Soi
Srl
s5.
19. Sn se determine cel mai mic numlr natural nenul n pentru care oo = e in fiecaredintre urmitoarele cazuri :
34533454
Sni
Soi
34233454
S*i
;).
;).
"=(: ', i),'=(i ? 1)",,
"=(i 1 ',),0=() 1 i). ','
"=(: ? : !) o=(i : ', i)'"=[l i: i),'=(I: i :)'"=(::ii'^),0=(I:::"=(I :: i i),'=(I :: :
a)
b)
c)
d)
e)
0
Soi
Soi
sr;
sr.
l.N.
(r2o=l
[42(rzd=l
[32
c)
0
(r zr\ (tz3 +\o=[, r z)es': o'o=[, 3 l o)'(t zr\ (t23 +\o=[, r rJ€
s,; "' o =[o 2 t t)'
a)
d)
s\,J's"
s\,J't'
(tzo=l
[45hz
o--lu2
(t 2 3 +\o --l le
[2 4 r 3)(t 2 3 +\o=l le[2 r 4 3)
b)
e)
(t z r\o =l., : rJe
s';
(t z :\o=[, r :J€ s';
a)
d)
20. Sa se determine cAte elemente are mullimea 14 =lo,o2 ,o',...,do,...] in fiecare dintre
urmltoarele cazuri :(t z :\u, o=[, : r.Je
s,
(t z s\al o=[z r :Jc
s,
21. SA se determine ot* n fiecare dintre urmitoarele cazuri :(r z 3 +\o=l - leS,;[4 2 3 r)(t23+\
o=l leS,;u423)
c)
0
(t 2 3 +\b) d=l le' [4 2 3 r)
(t 2 3 +)e) d=l le' \2 4 | 3)
c)
f)
Sni
s4.
7
22,III
ln mullimea S, a permutdrilor de gradul 3 se consideri permut5rile
.=(l ::),,=(: ? ;) " ,=[l i:)
S[ se determ\ne uv;
S[ se determine w3 ;
Sd se rezolve ecuatria ux=w
23. in mullimea S, a permutlrilor de gradul 3 se consider[ permutdrile
(t 2 3\ (r 2 3\ (t 2 3)
"=[, i ,)'u=1, t ,J u' '=[, 3 rla) Si se determine bc;b) S[ se determine a6 ;
c) Sd se rezolve ecua{ia axb -- c .
24. ln mu\imea S, a permutdrilor de gradul 3 se considerl permut[rile
(t 23\ (r 23) (t 23)'=u;;J''=[.; 3 2)t''=[' 3 t)'
a) Sd se determine ba;b) S[ se determine c'2 ;
c) SI se rezolve ecualia ax = cb .
25. in mullimea ,So a permutdrilor de gradul 4 se consideri permutdrile
(rz3 4\ (t23 4) (t23 4'\
'=[; ; , t)''=l) i , ol'=1, 4 z t)a) Sd se determine uw ib) Sd se determine vr5 ;
c) Si se rezolve ecuagia tt)o ) = v .
26. Si se determine care dintre urm[toarele perechi sunt inversiuni ale permut[rii(t 2 3 4 5 6\
"=[; s r 6 z o)=tu'ay (14);
a1(2,+);
b) (Ls);
e; (3,4);
c; (+,6);
D (2,6).
8
?. 56 se determine numarul inversiunilor fiecfueia dintre urmdtoarele permutdri din S, :
d'=[l i',:;), o) p=(l i 1 i',)' ")d=[l 'o li :)'
",=(l :ii N' o,=[l i":N' nr=ll
"1:)'=[l :i2',:) ,=[l :'^2":) '--(',',',2: i)^(t234s o\ (t2345 o\ (r234s u).
'=U;;;;;)''=[; i ' 3, ,)'t=[o 61s 3 z)
"[l i: ])='' "[l 1'o o,
"
l)'*' '(l 110, )'
"i; ', ',).r,, ",[: ', i 1 ', l)'*' n[] 1', i :)
'[l ', :1)",' " [: ', : o, 1!)"" " [: i ',
o, ',J'
"i: ? l)-*, "(l ',2:1 l)=o' '[l ',', i ;)
4). SI se determine perechile (i, i) de numere naturale astfel inc6t urmatoarele permutari
si fie pare :
28. Sd se precizezecare dintre urm6toarele permut6ri din Su sunt impare :
31. Sd se precizezecare dintre urm[toarele permutiri este imparl :
ri z 3 4 ... 24 2s 26 27 5o).u'o=[, 4 G 8 ... 48 so I 3 4s)'
(t 2 3 4 ... 24 2s 26 27 5o).u/=[.r 3 s i ... 47 4s z 4 soj'
30. 56 se determine perechile (i, i) de numere naturale astfel incit urmatoarele permutdri
sI fie impare :
roy=( r z 3 4 24 2s 26 27 so').
(so 4e 4s 47 27 26 2s 24 r ),o, o=( , z 3 4 ... 24 25 26 27 so').' [so 48 46 44 4 2 4s 47 r)'ete=(r 2 3 4 ... 24 25 26 27 so)' [2 1 4 3 ... 23 26 2s 28 4s)',
r)o_(r 2 3 4 24 zs 26 27 48)
[4 3 2 I ... 2t 28 27 26 4s)'
32. Schimbdnd intre ele, dou[ cdte doui, literele cuvdntului d, un elev obline, dup6citeva astfel de transformiri un nou cuvAnt p. S[ se determine dacd numirul schimbirilorefectuate a fost par sau impar in fiecare dintre urmitoarele cazuri :
a) d=lac, B=cal I b) a=alb,p=bal;c) a =crap, p =porc; d) a =troc, p = cort ie) a=curat, p--urcat; ft a=apuseni,p=pasiune.
33. Sd se determine n € N* pentru care permutarea(t 2 3 4 ... n n+I n+2 2n\
o =l I este oard.t2 4 6 8 2n t 2 2n-I)
34. Si se determine n € N' pentru care permutarea(t234... n n+tn+z 2n\
o =l I este imoard.(l 3 s 7 ... 2n-t 2 4 2")--'-
35. SI se determine n € N* pentru care permutarea(t z 3 n\t=l . le S, estepare.\rz n-l n-2 l) n L
36. Permutarea 0 e S, se descompune in produs de transpozi{ii astfel :
d = (13X3s) (z+)(t+).a) Si se calculeze 0(2)+ 0(3) :
b) Si se calculeze 0(D + eQ) + ...+ 0(5).
37. Permutarea 0e Su se descompune in produs de transpozilii astfel :
o -0s)(26)(z+)(z+).a) Sd se calculeze 0(3)+ 0(5) :
b) Si se calculeze 0(L) + 0(2) + ...+ 0(6).
t0
A Sn se scrie ca produs de transpozilii urmatoarele permutlri(r 23\ ^(t234 5) (t
.r'=[z;;), b)/=[; 3 2 t o)' "r/=[:
no=[l ', i i), ",'=[1 '^ i : :)' o/=[:
!L Sn se rezolve in mullimea S, urmltoarele ecuafii :
no=[l i:), ",'=[l :i)'I Si se rezolve in mullimea So urmitoarele ecua{ii :
234l2332
+).z)'4su).4 s L)
", .'=[i : i)
11,t=e;
{1. Si se arate ci numdrul permutdrilor pare de gradul n
&.Si se determine permutlrile o€ S, pentruciue + =1
o),'=[l : : i), ,r'=(I
nleste egal "u t.
230.1.r32)
o(2) o(n)
13. Sd se arate ce pentru orice permuta rc O e Sn existi k e N. astfel inc6t Oo = e.
l{Daci H c S,,H *@ ateproprietatea : Y o,Te H = ote H' sdse arateci :
YoeH+oteH.
45.Dac6o€S,,n)-3,satisfaceegalitateaoT=TopentruoricepermutareT€Sn'sisearale cA o = e.
m.'ba r" arate c6 funcgia / : S, + S, , "f (x) = x' nueste injectivi 9i nici surjectiva,'.'..'''\,._...
(t 2 3 4 s){7. Si se rezolve in S, ecualia ox = xo , un6s ^: I l'" [z 31s 4)
48. 56 se arate c6 dac6 permutarea d€ s, satisface, pentru orice L< i < i 3 n , egalitatea
o(i)+ o( j) -- i + i , atunci d este permutarea identicI'
11
7.2.Matrice
49. Sd se precizezntipul fiecdreia dintre urmitoarele matrice :(r 2(r 2 3\ |
u o=[; '" ;,J' "'=[1 :
(t 2\ttdc=lz t l'
[s 4)d)D -
-r J,31
2
rJi
a) A=2 3 r222100113
50. Pentru matricele de la exerciliul anterior s[ se precizeze elementele
ar, brr, crp d 11' € 72' fs'
51. ST precizszetipul fieclreia dintre urmdtoarele matrice :
r-4 10SE
(i' f)c) c =
[_;, _,r )t
(J, -.6')elr=[ o 1l'
[r o )
(z 5 2)b) B=l l'
[-t 7 r)'
I3
2
-5
a3a rby2, C 22, d a1, € p, f21.
T2
53. Sd se determine numerele reale x, y astfel inc6t sI avem A- B in fiecare dintecazurile urmetoare :
(l 2\ (x+v 2x\a) A=[x,
,),u=l ; ,*),. (r+*' t) ^ (e "-y').b) A=l LB=I zy 3)'" [.' *ty)'
(s 2) _ (r+y .r-_y)., o =[, ,),u =l ,' ,' )t, ^=[j,),"=(;),
(*' '*yl ^ (+y 3y ).e) A=1 " LB="''^-[o 4 J'"-t y x+zy|O a=(J"-r x' :"r),r-(r 4y 2(x+y)).
s4. in M,(rR) se considerd matricele ^--(:
jr),, =(;Sd se determine x, y astfel incdt A + B = C.
55. in Mr(R) se considerdmarricele ^=(: i),, =(l:'"
)Sdsedetermine r, y astfelinc6t B+ A=C.
s6. in Mr(R) se considerd matricere o=(', ;t),r =(i
a) SI se determine matricea D =2A- B;
b) Sd se determine matricea E =3A+ C;
c) Si se determine matricea P -! e+ C;2
d) Si se determine ft e IR pentru carei A+ k'B = C.
sz.in Mr(R) seconsideramarricele ^=[: _t ),r=[l
a) Si se determine matricea D = 58 + A;
b) Sd se determine matricea E = C - A;
c) Sd se determine matricea r =! n -)C;23d) Sd se determine k e lR pentru care A+ k'B = C.
';),'=["i ,'.:')v-x\ (a' l-C =l2x-t) [2
:,),r=(: i)
'r)''=(: i)
l3
I
(so58.ln M3(R) se considerd matricele O = I O 3
[,0 il'a) Si se determine matricea D -28 +3A;b) Str se determine matricea E = 4C - A;
c) SI se determine matricea
d) S[ se determine p,q€ IR
59. SA se determine p,4 € IR pentru care p' A+ q. B = C in fiecare
urlnatoare :(r 2\ (z l\ (q s\u'o=[, uJ 'u=[o z.J 'c=[ro to)'
" o=(l ;) ,,=[:, :),,=(::),
", o=(-J
"),'=()
l) ,.=[,] ;),o, o=[l 'o),"=('o :r),r=(i o'lr),, o=(l ;) ," =(,1., l) ,'=(3 n;'),
n ^=[f #] ,u=(1 ;) ,'=[; ?)
60. Si se determine matricea X
r'.(; -'r)=[: :),
")3x*(1 _:)=(; ?),
",[l :).,. =(i :),
F =r A+l B;32pentrucare p.A+q.B=C.
in fiecare dintre cazurile urmitoare :
1
1
1
dintre cazurile
s\ (04 o\ (r
:J'=[;:;J"=[l
(-+ o) (o o\b) 2x +[ o _uJ= [o o),
o),'-[: _',)=(i ?)'(z r g\ (s3
n [, -2 rJ** =[, 3
L4
;)
62.in M,,,(lR) seconsiderdmarricete ^=[l ; ;),r=(:, : I
Si se scrie ; 'A,'8,'(A+ B).
63. in Mr(lR) se consideri matricele O=(1Ir
a) Si se determine matricea C = A-28;b) Snse determine matricea D = A+' Bic) Si se calculeze Tr(A) +Tr(B);
d) Sd se determine marricete X, y pentru "*" {?! *^:--=
:.lx-2Y-B
(Se noteazd cu T(A) urma matricei A, adici suma elementelor de pe diagonala principalS)
64. in Mr(lR) se considera marricete o=(1 :t ( -l -l\
(3 ,J''=[o 4la) Si se determine matricea C -3A+ B;
b) 56 se determine matricea D = 2A-'Bic) Sd se calculeze Tr(A) -Tr(B);
d) s[ se determine marricele X, Y pentru.-" {^f *:: o-
l3x -2Y - B65. SE se determine matricea C = A.B in fiecare dintre urmitoarele cazuri :
(t 2\ (z -l'\ A=(t t')."=[o r)u'o=[, oJ'"=[, -r)t b) [-r -t) \r o)'
61. in Mr(lR) se considerd matricele A =
SI se scrie : 'A,'8,'(A+ B),
(t 2\ (r o\'r A=[r ,J'u=[o ,),
( r -l\ (z -r\",
o=[_, 0.,l,"=[, i;
o, o=[l ?),"=[i :),o ^=[i, ;l),"=[; :)
ti i':)'(ii:l
1\ ( -r -2\t)'t =l-,
o )
l5
66. SA se determine matricea F = A'B
")o=[1 ;),,=(l ,')'
", o=(1 :,),,=[; :,),
, o=[l ;),,=[? -i)'
67. Sd se determine matricea U = C'D(r 2 3) (r, t)
uyc=l -r o rl,o=lo r rl'[o o z) [o o t)
", , =
[_t, ir),, = [i, -t )'
o.=[l
"
]),,=[], il68. Si se determine matricea T = C'D
(t 1o) (t or)6r=1, o tl,r=lo t ol'
[oorJ lotr)., r=[l -"),r=[i 1),
- (z -1 o),r=fl :.l,"r
c =[3 o -,J'":[; "r)
6g.SlsedeterminematriceaW=B'A'Cinfiecaredintrecazurileurm[toare:
u o=[l ',,),u=[; l,'=[i ;)'/g\ (t -r),c=1r _t z);b) A=[r.,},r=[.o
z )
in fiecare dintre urmdtoarele cazuri :
" o=[-', ;),,=[: :),
, ^
= [; ;),,
= [],
_")'
n ^
= [i, -,'),"
= [: :)in fiecare dintre cazurile urmltoare :
in fiecare dintre cazurile urmltoare :
" ' =[. l ll," =[l -',)'[r o)
b)
d)
0
(\ :l ^ (-r -z'1
'=l.i ?J''=[-' -')'
,=(i l),"=[-', i :)'
, =l', i ?.l,, =l; i -Jl
[o o r,,l [o o L)
".=[], l)',=[? ; ;)'(r -1 z) (z t -t)
"=[: i -i,l '=l: i:,1
16
\
A=(_1 2),n_[:] .=0,
^[i j, lJ 't? : i] '[:]^=(; _i),,=[l
-:),,=[-"),
a = (r t -z), n =(3r),r= [:]
c)
d)
e)
70. SI se determine A', A' pentru fiecare dintre urmItoarele matrice :
(r g\ (z r) (z
'r A=[_r ;), or a=[o ;), ",o=[o
o, o=[l ? ;.l, ",o=[l l ?.l, o ^=1"[or-') [oor) [r
zr.in u,1R) seconsiderdmatricere ^=[; i),r=[l 3),r=(:,a) Sd se determine matricea D - AB - BA;
")'
0
I0
l)
il
b) SI se calculeze At,At ,At'; :
c) SI se rezolve ecua{ia matricealI AX = C;
d) Sdsedetermine matricele E ='A'' B si F=' (fa);e) Considerdnd funclia f : M r(R) -+ M, (R) ., f (X) = X2 -2X + /r, sd se determine
/(A) sl /(B).0 56 se dea un exemplu.de matrice U pentru care existd o infinitate de matrice f astfel
incdt CY -U.
erdmarricere o=(t :),"=[i ;),r=[; i).[0ta) Si se determine matricea D = CB - BC;
t7
tb) Si se calculeze A2,A3,A3oi
c) Sd se rezolve ecuafia matriceal5 XA - C;
d) SI se determine matricele E ='B ''A $ p -' (ln);e) ConsiderAnd tunctia f :Mr(m)-Mr(R) , f (X)=X2 -5X+4'1, sd se
determine /(A) $ /(B).0 Si se dea un exemplu de matrice V pentru care existi o infinitate de matrice Z astfel
incilt BZ =V.
73. Sd se arate c[ funcfit / : M, (R)
74. in Mr(lR) se considerd matricele
) Mr(R) , /(X) = Xz -2X nu este inj6ctiva.
(r l\ (r 2\ (r s)o=[; tJ'u=[o rJ't=[o 3la) S[ se determine Ar@;
b) Sd se determine la e lR pentru care Bz - 48 + m' I, = Or;
c) Si se determine p e lR. pentru care Cz - 4C + p'1, = Ori
d) Si se rezolve ecuafia A)( = Ci
e) Si se rezolve ecua{ia (B - A)'Y = C;
f) SI se studieze dacd existl matrice nenule D pentru cate AD = BD.
75. SI se determine Atm pentru fiecare dintre matricele urmitoare :
(r 3) (r o) (z 1)
") A=[; ;), b) A=U ;), ', o=[o ,)'
(z 3\ (s 1'\ (z t).d)A=[;;), ")o=[;;), no=[04
76. in Mr(R.) se considerd matricele o=( '" l\ ( a b\ ( zn 2c )
r-r ;J'" =[; o)'' -[r-, ,-LIa) Str se determine a,b,c,d e IR qtiind c5, in aceasti ordine, sunt in progresie
aritmeticd Si AB - C;
b) Sa se determine Ar2.
77.i\ Mz(c) seconsideramarricele ^=() ,:"),"=[l )
a) Si se determine perechile (a,b)e CxC pentru care AB = BAi
b) DacI a este rddacinl a ecuafiei xz +2x+ 4= 0 , sd se arate ,u E =( 9^ -.-l
[-4o 5 )
18
7E. $i se dea cite un exemplu de matrice nenule A,Be Mr(C) pentru care :
u) /,n + ne; b) AB - BA; ) 2A= A2;
d) 3A - B; e) AB -28; f) A+ B +28.
79. Sd se calculeze urma matricei f (A) in fiecare dintre cazurile urmltoare :
(z t\ (z 1){ A-1" -l,f tx>=x2-5x+512i b) A=1" - l,.ftx) =x2-4xi!' 'L
[t 3)'t t" 'z "
\4 2)'" '
(-t l\'l a=[ z r),t<*l=xz -4Iz;
(t I o\r a=lo r r l,/(x) =x2-zx;
[o o r.,l
80. in Mr(lR) se consideri matricele
(-z r\o A=[-; ))'tt't= x2 +4x -zlzi
(t o 1\
o a=lo r ol,/(xl =x2-3x+13.[t ot)
;)
(zA=l
(o
z\,)'u -
1622.61 ,.=[; j,),"=[l
a)
b)
c)
d)
e)
0
\2 2
S[ se determine A5o;
Si se determine B3o;
S[ se rezolve ecuafia M= C;
Sdsedetermine rnelR, pentru care Bz *mlr=Or+B;Si se rezolve ecuafia DY = A;
SI se rezolve ecua{ia DZ = D2.
81. ln Mr(R) seconsideramatricele o,r=[i '*),'rr,di :]
d) Sa se determine matricea 840 eLDi,-,e) Sa se determin" ( ), z) p"nt- care3{0)'f (y,z) -- B(y, z)N
in Mr(R) seconsideramatricete o,rr=[i '*),rrr,r:\i :)a) Sisedeterminematricea C=A(0)+B(0,0); -.(, t,.-
Q p
3 I:::::HIffi::: ?;,il".B(1'1); rY' (,,.' jj IJ
0 Sr se determine perechile (p, q) p"nou ""ri eqj' et q) j
.n-'',\J btSotz{o +,1IoI3se'qto |fu.I-rs
-'-,/
82. Sd se determine, in fiecare dintre cazurile unnetoare, Ae Mr(Z) care
satisfac:
a) A2 = O.; - (r 4\cy A, =[o ,),n A, -(-z ').[-r -3)"
o,=[l i),
b) Az =Iri
o o'=[l ;),
t"u *utri""ula f' '\' =(o '.).ru se arate c5 daci numerele'"- "'-""---'- [z r ) [c d)realex,y,z,tsuntinprogresiearitmetic6,atunciginumerelea_b,b-c,c_dauaceeagi proprietate'
84' Se considerd ^=(: 'o)t*'1o1 astfel incdt numerele a-d'b-c'b'c sunt
nenule.Sdsearatec6dac6 A'=(o' b;1,
urun.i bn
="n -o:-1^'[c' d')' :,,i
a-d
85. SI se determine Ae M r(R)p"nt* care A2 - O = [; ;l(o I l\
86.SeconsiderlmatriceaO=1 , O f leMr(R).[t r o.,l
Si se determine numerele reale a, D pentru care aA2 *bA+ZIr-- Or;
87. Seconsideramatricea o=('^ il\0 r)a)Sd se determine toate matricel e X e M, (R) pentru care A2X = XAz;
b)Si se arare cI nu exist6 nici o mairice Y e M r(lR) penttu care AzY -YA2 = Iz.
" (r t')88. Se se rezolve ecualia matricealS
"' =
[_O I )
89. Se considers marricea o=(l 1.l. t, (z).sase arate c6 :
[1 t)
a) Penrruorice ne N, o'=(:' 1'.'l tu aneZ ti an,z'=an+t+an;\.4r*r an*z )
b) Pentru oice l4n€N* "r,"
adeviratd egalitatea o ^tn
= An+t' Qn+t + An' An'
t Se considera o rlddcin6 o aecualiei x2 + x+I=O(r r l)lt
e = I t 0 af l.sase calculeze At* ,A^' .tt[t o)' a)
n Se se calculeze A' .,ne N* pentru fiecare dintre matricele urmdtoare :
(r 1 o\ (r I o') (r t
a1"l=lo r o I' b) A=lo r r l; c1 A=lo I
[oorj [oor) [oo(r r2') (t 23) (t2
ora=lo t gl; eyA=lo t 2l; f A=lo I
[ooo.,l [oor) [oo,n. a) Sd se arate ( ei s[ se retind ) ci daci o=(", uo). * r(R) , atunci
* A! -(a+ d)'e+(ad -bc)'1, - gr,
b) Si se arate ci da6u Ae M, (R) 9i existd k e N, k 2 3 pentru cate Ak
,ilz =Oz.
f. Acum, o ecua{ie matriceal[ simpli ( mai respirali ! ) :
" [; :)=(: i)tt Dati voi acum cdte un exemplu de ecua(ie matriceala care are o unic6
solufie, respectiv care are o infinitate de solulii'
G, Si se determine toate matricele X e Mr (lR)pentru care
N( = XA, una. a =l,1 ?](3 r)
gi matricea
l\t l'r)
ilt)
rt
= Or atunci
I. Sn se determine constantele teale p 9i q pentiu care matricea
(t o t\a=lo I ol
['olJclalia 43 = pA2 + qA.
-l+t.6Jt-Dacd o=--t-
si fie adevdratd egalitatea
at\- l, sa se determine numdrul real an astfel incdtr)
+ An -- an'A, Vne N,n > 2.
(t,iarA=l ,,
\a)-A2 + A3 +...
2l
98. Se considera mulfimea M a matricelor cu 4 linii 9i 5 coloane in care elementele sunt
numerele 1 9i - 1 urtr"i in"ai produsul numerelor de pe fiecare linie 9i din fiecare coloand
"|1""d cu - l. Sd se determine numirul elementelor mullimii considerate'
gg. Se considera marricele A, B,C e M" (lR) care satisfac egalitafile: A+ B = AB '
B+G=BC,C+A=CA. 56 se determine numarul real p pentru cafe este adevarati
egalitatea A+B+Q - P'ABC.
100. Se considerd mullimea E=Mr.z(C) 9i se definegte funcfia f :E-+E prin
"f ((r, y)) = (2x + Y 3x + 2Y).
a) S[ se arate ca : f (aA)= af (A)'Y aeC'Ae E"
b) Si se studieze daci func{ia considerati este bijectivi ;
.jSa t" arate c6': f (A+ B)= f (A)+ f (B)'YA'Be E;/x\
d) Si se arate cA exista o marrice (l e M r(V') p""t*care /((.r, yll = U 'IyJ
. (t a)101. Se consideri mul{imea I/ a matricelor de forma X (') = [; I J '
t' inl '
a) Si se arate cI lre H;
b)Srsearatece:X(a)'X(b)-X(a+b)'YX(a)'X(b)eH;c) Sd se arate ca : Y X(a)e H,l X(c)ell astfel incit X(a)' X(c) = 7''
d) Sd se calculeze (X(:l)' , n€ N'' .(r+sa
"::')'M'(R)'
102. Se considerS mullimea Il a matricelor de forma X(a) =l -Za
a) Si ie arate c[ Ire H;
b) S[ se arate ca : X (a)' x (b) = X (a + b + ab)' VX(a)' X (b) e H ;
c) Sd se calculeze (X(1))' , ne N;
d) 56 se calculeze (XOl)' , n€ N*'
103. a) SE se arate cd dacd in IR' avem' *t'y *t'atunci xy + (1-x)(l- D * +'( ,.R\{r}}, unde
b) Se consideri mullimea G = \A'l
: p) )
(x 0t-x\tta, = | o o o le M ,(R'). se se irate ca :
[t-" o *)
i) A,.AyeG,YA,,AreGiii) Existi U e G astfel incdt U' 4 = 4,YA"e G;
iii)Pentruorice A,e G, existd 4eG astfelincdt A"'4=U.
lM. Se consideramullimea G a matricelor de forma M(a) -(l-:"Si se arate cI :
a) M (a). M (b) - M (b)' M (a) e G, Y M (a), M (b)e G;
b) ExistI V e G astfel incdt V' M (a) = M (a), YM (a)e G;
c) Pentru orice M (a)e G , exist[ M (h)e G astfel inc6,t M (a)'M (h) -y'd)Srsearatecd M'(a)=M(a') , Y M(a)eG,n€ N';,.,,
e) Si se determine ce IR" pentru care M^' (o)= 1r. **4r+":*q'
r05.in Mr(lR) seconsiderimatricele ^=(:
l\ (z 1\ ( t^ :tlt2 ,)'u =1, t)'t =l.-, z )
a) SI se arate c[ existd a,b e IR astfel inc6t A = aB + bC;
b) Si se determine ao,bne lR astfel incat : An = a,B +bnC , Vne N*.
106. in Mr(R) se consideri matricele ^=(:
-6\ ( t 0\
[2 -lJ't' =[o 1J'n'""u-ri
submul{imea 6 = {X 1a1 I ae IR, X (a) = It + aA]1 .
a)SIse calculeze A2i
b) Sd se arate cI lre G;
c) Sd se arate ce : X (a)' X (b) = X (a + b + ab), VX (c), X (b) e Gl
d) S[ se arate cd: X(1)' X(2)'...'X(2007) = X(2008!-l)'
o-l ).o. R..2a-I)'
1),".(0,""),ae m).107. in mulfimea Mr(R)
Sd se arate c6, Ire G;
SI se arate cd dacl A,Be G atunci A' Be G;
Si se arate cl daci Ae G atunci existl Be G astfel inc6t AB - BA- Ir;Si se dea un exemplu de doulmatrice A,B e G pentru care AB * BA;
SI se arate cd pentru orice Ae G 9i orice n € N* existi o matrice X e G
incit Xn e G.
se considerr submutlimea "
= {[;
astfel
I
.--"'- _:_: -. --- __/--\-"_.
I x\o l,'e c,)
(x
a(x) =l o[."
108. Se considerd mullimea M a matticelor de forma
24,!
3 coloane gi care au toate
a matricelor din G care au
coloanl este 0. Se noteazd
0
0
0
gi funclia
I
f :C, --> M , f (z) = t' O(r).
a)Sisearateci : A(x)'A(y)e M, V A(x),A(y)e M :
b)Sisearateceexistl A(e)e M asrfelincAt A(e)'A(x)- A(x) ', Y A(x)eM;c) SE se determine t e C pentru care A(r) ' A(I) - 41"1'
d) Sd se arate ci f (zw1 - f Q)' f (w) ' Y z,we C;
e) Sd se,arate ci funcfia / este injectivi ;
f) Sd se arate cd /(Q = (/t.l)' ,Vze C'\-- tt lt tl ul
109. in Mr(R) se consideri matricele O = U )lrr=lO lJ,nt""u*
pi submulfimea
6 - {x 1a1l ae R, X(a) - Iz+ aAj.
a) Sd se arate cA Ire G;
b) Sd se arate cA existd m€ Z,astfelincdt Az = mAi
c) Si se arate cA exis6 pe Z astfelincdt
X(a)' X(p) - X (p)' X(a) - X(a), Vae IR;
d) Si se arate c[ : X (a)' X (b) = X (a + b + 3ab), YX (a), X (b) e G;
e) Sd se determine numirul real / pentru care
xr-$r xt-fr x(?) x(+) =x(t).
L1,0. Se considerd mullimea G a matricelor cu 3 linii 9i
elementele din mullimea {-t,0,4, precum 9i mulfimea H
proprietatea ci suma elementelor de pe fiecare linie 9i fiecare
(t r r)r=lt I lleG.tt
[t rt)a)Sise calculeze E2;
b) Sd se calculeze ENl ;
c) Si se g6seasci o matrice,.Be H, B + Oti
d) Sd se determine numdrul elementelor mul{imii G ;
e)Slsearatecd E'A=A'E=O, , YAeH;
f) Sd se aratecd: (E+ A)N1 = Em' + A20o1 ' YAe H'
1.3. Teste recaPitulative i
TEST nr. 1 (nivet mediu de dificultate) - Varianta I
l.Seconsider'permutdrile "=(:', t),U=(i
: t)
a) SI se calculeze Pa;b) SI se calculeze dto',
c) Sd se rezolve ecualia Bx = a'
2. SI se determine numerele i ;ij pentru care permutarea
este impar6.
(ro=l
[6
2
2
J
i4s67)47 i3)
3. Seconsiderdmatricere o=(t ?),r=l,ll,r=i, 3 4),D=[:) Sdsesrudieze
\3 4 ) \5' :fectueze calculele:
care dintre urrndtoarele operaiii sunt posibile 9i' acolo unde e cazul' sI se t
A+B ; B+C ;C+D ;D-C ;D+B ; A+ 13 ; A- Ir;A+ O, ;A+ O',t'
4. Se considerr matricere ^
= [i :),,t =(: '^),, =(Z l)," = [l ;)a) Sd se rezolve ecualiile
" A)( = B , BX = Di
b) SA se calculeze A' ,,4t;
c) S5 se arate cd VneN*, 34n e N astfel incdt An = an'A;
d)S[sedetermine4p"nt,ucareA+A2+...+An-_bn.A,VneN*.(a 0 ib)
5. SenoteazdcuGmullimeamatricelora"ro'*a | 0 O O
l'cu a'belR' l+b2+0'
[tb 0 o)
i2 = -1. S5 se arate cd :
a) VA,Be G= A'BeG;b) 3Ue G astfelincdt A'U = A,YAeG'
25
TEST nr. I (nivel mediu de dificultate) - Varianta 2
(r 2 3\ (t 2 3\1. Se considerl permutdrile a =l - - . l, f =l l.
[3 2 r)"- [2 L 3)
a) Sd se calculeze Pa;b) Sd se calculez" F*;c) S[ se rezolve ecuafia x0 = a.
(t z 3 4 s 6 7)2. Sd se determine numerele I 9i j pentru care permutatea d =l - |" [o 4 i 3 i i s)este parI.
(r 2\ /r\ (z\3. Seconsider6matricele a=l _'.1,8=l--l,C =12 3 4),D=l - l. Sdsestudieze
[l 4)'- (s,, t 6,/
care dintre urmdtoarele opera(ii sunt posibile 9i, acolo unde e cazul, sI se efectueze
calculele: A.B, A'C;A'D;B'A; A'Oz.t;A'Oz;A'0; B'Ir;28.a* ;A'iB0 ;82 '
(r4. Se considerd matricele A = I
ua) Si se rezolve ecuafiile : AX = C ,
b) Si se calculeze A',At;
:)
c)SisearatecA Vne N. , 1a,e N astfelincdt A" =an'A:,,
d) Si se determine b, pentru care A+ A2 + -'.+ A' =b,'A, Vne N" '
10
5. Se noteazd cu G multimea matricelor de forma , cu -re IR.
Sd se arate c[ :
ilYA,BeG+A'BeG;D aU e G astfel incit A'U = A,YAe G ;
c) VAe G,3T eG astfel inc0t A'? = U. ( cu Udeterminatd anterior )'
;)," =(i i),, =(: l)," =[?
BX=D;
x
x'2
1
-x100
26
TEST nr. 2 (nivel pu{in sporit de dificultate) - Varianta I
L ln 54 se considerl permut[rile
(r23 4\-(r23 4\ (t23 4)
"=[; ; ; r)'P=l; ; ;')''=1, 3 4 t)e) Determinafi cel mai mic numir natural n € N' pentru care d' = e i
b)Rezolvafi ecuagia dn 'x= f ;
c) Descompuneti permutarea a in produs de transpozifii ;d) Precizati care dintre permutdrile date este pare.
a Permutarea 9e S, se descompune in produs de transpozilii astfel :
0 = (r4)(23)(4sx35)
e) Determinali 0(2) + 0(3) :
b) Determinal eQ) + 0(2) + 0(3) + 0(4) + d(5) .
3. Demonstrafi cd functia / : S, -+ Sr,,f (x) = -x' nu este injectivi'
t Si se determine Arm, unde o = (-t, l)
s. Se considerd matricele u =( | -l) (t l\
tjt , J'u =[, t) ei mursimea
e ={c@) =!.u * J-.v L.n'}. sa se arate cd :
t'- 2 2x" )
e) VA,Be G+ A'BeG;b) :lt€ G astfel incit A' L= A ,, VAe G ;
c) vAe G ,37 e G astfel inc6t A.T = L. ( cu L determinati anterior ).
27
TEST nr. 2 (nivel pufin sporit de dificultate) - Varianta 2
f. in S, se considerl permuterile
(t23 4\ (tz3 4\ (t23 4\o=[, t 4 rlq=lo t z t)''=1, 3 4 r)
a) Determina{i cel mai mic numlr natural n € N* pentru care f' = e ;
b)Rezolvafiecua(ia pt3 . x= / ;
c) Descompune{i permutarea p tn produs de transpozilii ;
d) Preciza{i care dintre permutlrile date este impar5.
^ (t 2 3\2. Rezolva{i in S, ecuagia "' =
[, I Z).
3. Se considerd matricea o=(i-u i)' ** a,be IR,o < a' +b' <t.
Sd se arate cr matricea An este de forma ( t: 4 ), Vne N- iar girurilet-4 a^)
(o ^) ^rr,
(b,) ^r,sunt
convergente.
4. Se noreazi cu c mullimea matricelor o(") = [; 'i' :.l, ." xe (0,"";.
[oo,)Sd se arate cd :
a) VA,Be G> A.BeG;b) fSe G astfelincit A.S =A, VAeG;c) VAe G,3Te G astfelincit A'T =S. (cuSdeterminatlanterior).
-'
5. a) Sr se dea un exemplu de matrice Ae M ,(R ) cu proprietatea "u O' =(t^ :l ,[0 s)b) Si se arate ca existd o infinitate de matrice X e M r(R )cu proprietatea ci
" (s o\X'=l - l.[0 s)
28
Capitolal2DBTERMINANTI
il ,' r': -,.
Ir zl
"' l, ul'
l; zln l-r ,l
l+ sl
"'l, ul'
ls; -zilfll l.'l-i t I
dintre cazurile urmdtoare :
", || 'J'l='
n l. -rl=zr_r.'11 zl
,lr,:il'
lz-i z+iln lr-, ,*,1
2.1. DeftniP, ProPrietdli.
uleze urmitorii determinanli de ordinul 2 :
ls -al.o' l, -tl'lr _,1
' ",1? ;l'lz rl
ilculeze urmitorii determinanli de ordinul 2 :
l-s zl.o'
I , -tl', 11 -ll' 'li '
l'' 'utlermine numerele complexe r, y sau z in fiecare
1.. ,,1'*t z I
I t ,-rl= "
"i,l =', ", l; ;.'rl= "
uleze urmdtorii determinan{i de ordinul 2 :
Isrnzl llogr8 logosl.
olt o'lt"*, , t"r,rrl'cos -l2l
nl"*;1, e)ffi;i #"i1,cos -l--- +l
,secislt.
rl'
t!
Si se
-gl
-rl:J
6\
Isecrll-t'TII
x-lI
rSeCi
.,7ln-6
1tos-3
.ltln-4
.Itiln -3
S[ st
2513
J'l4
SE
lq
l,
1.6
lrS[s
t;
lu,
S[ st
l.lsrn
I
lcosI
l.in,t.
t;
1.6
lrSA
t;
lu,
S[s
l:
H
d)
,
a)
,rl
t.
'lo
li
e)
o
,l
'l,
'ld)
3.
a)
o
{
e)
3.
a)
1.
a)
dl
,
a'
d
29
I5. Dacd Ae Mr(R) pi det A = 3 , sd se calculeze det(2A)'
6. Pentru fiecare dintre matricele urmdtoare, rezolvafi in IR ecualia indicatd :
(t x+I\ ( x 2)
") o=f, ':rt), ecualiader e=J4-.r; ul r=[,ir fJ, ""u"*tuuetB -J+l;'
o , =l+ -'1, ""uu*'u
69 -1&tc)2; o, o =(1", -J) ' *"*," det D = 16;
I t *)
o t=(:. o?)'""'** detE=20; r) F =(4 -3) , ""uutiu
det F = 13.' [-1 2)7 . SI se dea, in fiecare caz, un exemplu de matrice A e M, (R') care satisface proprietatea
dat6:a) detA=3;
c) 2-detA-(detA)2 =g;
e) logr 4 < det A<logt7;
b) 2+detA=0;d) 1<detA<2;
detA - Ifl
-<-
" l+det A- 2'
8. SI se dea, in fiecare caz, un exemplu de matrice A,Be Mr(lR)care satisfac proprietatea
dati :
a) detA+detB = 0, A,B + 02;
c) 3<det A<detB<4;
e) det A +I,detB t 1 9i det(AB) = 1;
(rg. in Mr(lR) seconsiderrmatricele A=l .
\5a) S[ se calculeze det A,det B,det(AB);
b) Sesecalculeze detC,detD,de(CD);
c) Se poate afirma cd : det(XY) = det X 'det Y , VX 'Y e M, (A) ?
10. se considerd matricea o--('^ ])t 'vl, in)'12 4)
a) Si se calculeze determinantul matricei date ;
b) SA se arate cd pentru orice matrice X e M r(R ) este adev[ratii egalitatea :
X2 -(trX)'X +(det X)'Ir--gr;c) Sd se arate cE pentru orice n € N- existi a, € N astfel incit An = a'' A'
b) det(A+B)=0 ,A,B+Oz;d) A*'bTB*4 ti det(AB)=0;
ft det(2A)=3+detA.2\ (t 2\-(4 -1)^ (1-i)'u=[; i]' =ln -t)''=[-o I
30
-r 0l
I 4l:
3sl001I 01.
221
li
lj
"lic)
f)
c)
2
1
3
-12
f
lilr
t:f)
lz4rl
"I i ;l'Irral
"I I il,".o'
Ir r rl
nl-, o tl,
lo -3 zl
"li i)1,
c)
0
2 x gl
2 -r "l=o;3-2tlx+I -1 xl
3 x +l=o;
l lrl
b)
e)
"ll i,il=,,
"li iil ,,
ll. Si se calculeze urmitorii determinanfi de ordinul 3 :
i':l'-1 rl, ,1,,rl
llZ. SI se calculeze gi acegti determinanfi de ordinul 3 :
"li )11'
"li 1 :1,
lr
"l;
:l
T
-rlol=z-zx.
'l
13. Si se rezolve in mulfimea numerelor reale urmitoarele ecuatii :
14. Sd se arate c6:
:l=,,
15. 56 se rezolve ".".0"
, I i )l*' xo
z2
z
L
2Tx-11l1 x-lx x-2I x-2
r r tl \x y zl=Q-x)(z-x)(z-Y).*'. y' ,'l
il=,
= ryz(y - x)(z- x)(7- y1.
l**3l
16. Sd se arate cI :
i a+b
17. Se consideri a,b,celR . SI se arate c[ au.a lt b+c
l, ,*o
?n-du-,1-0,?x-d
dlazla2d
d'dlc)
atunci a =b=c.
18. Sa " "ut"ut"r"
I = ll
li19. Dac[ 4 este rldicin[ a
determinan{i este numir real
Ir alu'lo' ,l'
a+i 2-ailIb+i 2-bil,fIcIi 2-cil
ecualiei zt + z
=-1,a,D,ce ]R.
+1=0, sd se precizeze cate dintre urmdtorii
20. S[ se rezolve in Clx -2 3l
al-z r "l=e;l, x -zlIt-x z ol
arlz r -"1=s;
lo -x 3l
urmitoarele ecualii :
l* | 2l
"l;, i il=''
" lT -:1,
b) arrarraroaor;
lr 23 tl
,,h : i l,looo tl
tzz+lz 3 4 tl3 4 5 6l'
t z l3l
4
x
2
-1Ix
-2 1-1r20-l 31-1 -1 1
xl
1=
o'
li
li
c)
e)
1l o rlt2-r,1,10 011zr o 3l
2x t -tlx O tl=O; f)
-x Zx-l r+*l
xl
;1='
21. Sd se precizeze cu ce semn apare in dezvoltarea determinantului de ordinul 4 fiecare
dintre urrr,rdtorii termeni :
a) arra.arraor; c) aroarrarraor.
22. Sd se calculeze urmitorii determinanli de ordinul 4 :
a)
d)
112-r13 401-1 0 0
2130
2002113 -1 0
121
c)
e) 0
l0l30l2 0l'
rrl2 4 3l
1301-3 I sl'
-roll
c)
2214sl-2 ,l'0 1l
e)
"h i,!l[ :,-i I
"li ; i il
3
2
1
1
4
3
-11
lA SA se calculeze urmdtorii determinanli de ordinul 4 :
"ll 11 1t2131-1lr2
@+D'l@+2)'l;@+2)'l
tL SA se calculeze urm6torii determinan{i, pundnd rezultatul sub formi de produs
la b cl lo-l atr o'-tl lo' @+l)2
olo' bz "'1, ol la-t b+t u'-tl; qlb' @+t)'z
lu" ca obl l.-t c+r "'-rl l" (c+l)'?
I a+b b+c c+al lzx-t 2x+r xl l'-Y x+ZY
olo'+u' b2+cz "'+o'l; "1lzv-t Zv+r vl' o lr- z v+22
lo'+ut b3 +c3 ,'+o'l lzr-t 2z+r ,l lr- * z-t2x
f. Dacit x1,x2'x3 sunt r[ddcinile ecualiei xt -3xt + 4x-I= 0 ' s6 se
1", xz ",1 lt t tldeterminan{ii : dr=lx, x3 xrl , dr-lx, x2 trl') l"; ; *,1 l* x, ,l26.Dac|t \,x2,x7 sunt rddlcinile ecuafiei x3 +2x2 -4x+I=0' si se
1", xj xrl lr I 1l
determinanfii t d, -l*, xt *tl ., a, =l*t xz "' I
l"; x2 ,'l I", x3 "l27. S[ se calculeze urmdtorii determinanli :
lsin'x sin2 y sin2 zl
a) I , z 21,",v'zeR;
lro.t " cos'y .or'.1
lcos2.r sin2x sin-rl
b) lcos 2y sin2 y sin Yl , x, Y, z e lR;
lcosZz sin2 z sin zl con 2-* = D\rvr .
2r- yl
zv - rl.zz- *l
calculeze
calculeze
33
h+cosac)
lt-'i""sin2 x
cos'x1+ sin 2.r
1+ sin a1+ cos a
1
cos'xsin2 x
-1
'lll,ae R:
'lsin 2-rl
sin zxl,.re R.;
'ld)
l, " h".h
-q It u ho.h,
It r h,.hn
, unde a, D, c sunt lungimile laturilor unui triunghi,
ab
l+b2
cb
db
ad
bd
cd
l+d2
cdd-c-ab-b -a
,a,b,c,deR.
,i"l=
de(3A)
det(ZA)
+l+a
=81
=20
lungimile in[lfimilor corespunzltoare ;
ltrx'x'CIll
" ", 1"
l, ** r*, ry+ yz+ ?x ryz
28. Se se calculeze determinantul
29. Sd se calculeze determinantul matricei A =
30. SA se arate cii :
1+x
xxx
31. Daci AeMn(A) $
32.Dacd Ae M,(C) $
abl+a b
a l+bac
detA=3 ,.
detA=5 ,
+a'ba
ca
da
,rry,ze IR.
ac
bc
L+ cz
dc
abb-ac-ddc
b+c+x , Va,D,c,x€ IR.
sd se calculeze det(SA).
sd se calculeze de(3A).
,a,b,c,deR.
iar .hn,l4,,h,.sunt
34
til Si se rezolve ecua{iile :
l-r-1 o ol lt-"-u x x I
.r I : x-z o l=o; b) I a r-b-' \ l= o, ,,be R;
l+ a x-rl I u u r|-xl1324
lx I I -ll lt 0
l; ; --1 ,l lo 2xoli _, ; il=o' o, lo o
l-t r r "l lo o
-1 s l=ot
l+b21
3{ Se considerr matricea ^
= [: |)t "r(n)'sa
se determine matricele x e u' (R')
l-r I I xl l0 0 0 x+11
l:, ';' 'l' I [ : '. -gr
"li i lil '' 'lj 1; il='
cue satisfac proprieti{ile : det X = 0 li det(A + X) = 0'
35. Sd se calculeze determinantul urmitor, scriind rezultatul sub formi de produs ;
x'x11-vv'yt -ry x'
)z+-4l+ x"
-2x4
+
1.
7
3G Sd se calculeze determinantul
.\. R"
t Se se calculeze determinantul matricei
an = max{i, i},.i=,t.3& Se considerd numerele a, b, c in progresie
b- a =l,c - a = 3, si se calculeze determinantul
'kug ?'c
eR.
definite prin :
geometrici, in aceasti ordine.$tiind cI
II1
l+ c2
\ \,,
t -{.{,
39. Se considerl numerele a, b, c in progresie geometricd, in aceastd ordine.$tiind cd raliaprogresiei este r, sI se calculeze determinantul
1111ll+az I 1
111+b2 1
1 1 I I+cz
40. Seconsiderimatricea a=(ar)eUr(re) definitiastfel: au =max{lt+j-4,1i* j-1},.,=.o. '
Si se calculeze det ('a'A) , unde 'A este transpusa matricei A.
(r r r)@. tu se calculeze determinantul matricei o=l ti k, t,
| , unOe x1,x2,x3e IR sunt
l.x,- x2' xt' )
2323 t23
53s2t 23
22 24
23 26
@ $,ttno ci rdd[cinile x1,x2,x3ale ecua{iei xi + x2 + ax+b =0 , a,be IR, sunt reale, sd
se arate cI acestea sunt egale daci gi numai daci
xt x2 x3
x3 xt x2
x2 x3 xr
= 0. SI se determine in acest
atunci triunghiul este echilateral sau dreptunghic.
rdd[cinileecua{iei xt + px+q=9.
42. SL se calculeze determinan{ii :
logs 3s 6l lro: 3 2l
^tltzt 27 tl, u; lzo+ + +l;
lzro 24 3l l:os 5 6l
Ir 2 ro2l lr r t2 l3l
ar lz r ro:l; "r lrz B r+l;
lr r rorl lzt zs z7l
43. Daci AeMr(R), sasearate cd,: det(Az +/r))0.
caz a Si b gi sd se rezolve ecuaf;a.
45. SA se arate cd daci a, b, c sunt lun
lu-a c-a b c-bllo-" b-c 2a b I
lu-" c-a a+zb zr-ul=o'
l"-, b-c 2a+c t I
:l4sl
47i.
s0l
c)
gimile laturilor unui triunghi qi
36
[:,::
';
' 5. Se se calculeze determinantut ^
=
l;
al-laaaa-Ia...a
't \b c d a)rt S[ se calculeze P(-1)'P(1);
b) Si se arate c6 : P(-i)' P(i) e R;
c) Sd se determine matricea A'B;',il sase arate ca : det(AB) = P(1)'P(-1)'P(')'P(-t)'detB;
el S[ se calculeze determinantul matricei A'
fl. Se consideri numerele reale a, b, c, d , polinomul P = a+bX + cX2 + dX3
' (o b " d') (r I I 1)
.lo a b rlr=lt -r i -il ,una"i2=_t.mricele o=1 " d a bl' l1 I -l -ll
, [, ' d ") [t -l -i i) ,--,h1-1 -itr@
sr
.f& Dacr Ae Mr(A)
&(A+/r)=0. Sa se
are proprietatea cd A' = O, sd se arate cA : Az = Oz 9i
dea un exemplu de matrice A+ Oz care satisface proprietilile
r enoare.
, {g. Se consideri o matrice AeMr(m--) ." proprietatea cd elementele de pe diagonala
pincipala sunt egale, iar produsul elementelor de pe fiecare linie 9i fiecare coloani este egal
cu l. Sd se arate cd : detA2 0'
o s. 56 se verifice egalitdlile :1'r ^ 2a- 5A2 a2 +2a
t 2a+L
x-t-1-l
=.(a+b+c)3;
.3a2a+la*2
3 1=,"-,,'
l1:51. Si se rezolve
""uu1iu ' lt 0
lo1lor
101tolo tl=0.xtlo'l
-1-1
37I
52.
a)
b)
53.
a)
b)
c)
d)
e)
Se consideri mulfimea 6 ={eeM, (R)/ 'A'A= IzI.
Si se arate cd pentru orice Ae G avem det Ae {-t,1};S[ se arate cd pentru orice A, B e G avem AB e G'
Se considera mulfimile g = {eeM, (R ) /' e = A},6 = {AeM, (R )/' l' = - Al'
S[ se arate cd H ,G * A|Se se arate c[ pentru orice A, B e I/ avem A+ B e H;
S[searatecdpentruorice Ae G existd Be G astfelincdt A+ B=oz;
Sd se studieze dacl existi Ae G , A+ I, , cu det A = 1;
Sd se arate cI dacd Ae I/ 9i A2 = Oz, atunci A = Or'
54. Se se arate cI daci matricea X e M r(V-') permxA prin inmullire cu
Ae M r(Z), aunci det X este pitrat perfect'
orice matrice
numlr prim 9i a, b, c, d sunt intregi' nu toate nule'
lx-a bI
55. SA se determine numerele reale a, b, c astfel incdt ecuatia I c x- a
lb c x
aibl toate rid[cinile reale.
,lb l=0 sa
-.1
56. Se se arate ci dacd P este un
la b c dl
loo a b "l*0.lp, pd a bl
lpu pc pd "l
atunci
57. Fie a, b, c trei numere reale pozitive 9i ditincte dou6 c6te doua'Se formeaza toate
matricele pdtratice de ordinul 3 astfel incit fiecare linie 9i fiecare coloani s[ con{inl cele trei
numere.si se determine valoarea maximi a determinanfilor acestor matrice.
5g. Se consideri matricele e,neu,(c) astfel inc6t A+B=1, si A2 =A3.S5 se
demonstreze cE : det(/" + AB) + 0.
38
59. Fdre a calcula determinanlii, s6 se arate c6 pentru orice numere reale x, y' z este
a) Si se dea doul exemple de elemente ale mulfimii G ;
Ui Sa ," dea un exemplu de matrice Ae G pentru care det A < 0;
c) SA se arate cI daci B e G , atunci det B t 0;
d) SdsearatecA dacd Xe G, atunci -10<detX (10;
e) Str se calculeze numlrul elementelor multimii G'(r
l''=[; N''=[;61. ln Mr(R) seconsiderrmatricele O=[O ]
a) Slsearateci detA=detB ;
b) S[ se arateclexistio singurdmatrice X e lfr(n) pentru:are X' A= C ;
c) s6 se arare c6 exist6 cel pulin doui matrice diferite v,zeur(R) pentru care c'Y-c'zgi
d) Si se arate cA existd o infinitate de perechi (m,n) d" numere naturale nenule pentru care
A^ = B';e) 56se arateciexistd x,y,z€ R astfelincat x'A+y'B+ z'C =Ordacdqi numai daci
y= y = 7=Q.
r\ ft 0\
oJ'q =[o o)'
62. Pentru o marrice o=(: 'l.,,ur(n)\p q)
se noteazd cu d(A) determinantul siu 9i cu
t J ' - -'l tur.ir"u sa reciprocd' Se consideri matricele t =(Z
[-p m)a) Sd se calculeze d(B);
b) Sd se determine r € R pentru carc B'B* = r'E i
c) Sd se calculeze 82 ;
d) Srse aratecd nr -(20 'o ?--') , vte N*;[o zk )'
e) S[ se arate cd: d(E + d(E)' E.) = 4;
f) Si se determine numerele intregi s pentru carc d(B i s ' B. ) = d'
N" "=[; I
39
63. Se considerd in Mr(R) gi pentru orice matrice
l^e ru r(n) se definegte func{ia fo :
a) Sd se calculeze detH ;
b) S[ se arate cd pentru orice matrice ae Ur(n) esrc adevdratd egalitatea
(A+i'I)(A-i'12)=A2 +1,, unde i2 =-l;c) Sd se arate cd ecua{ia fr(z) -0 nu are rdddcini rafionale ;
d) Si se arate cI existd doui matrice diferite l,,B e M ,(R) p"nttu care f o(l) = f u$);e) SI se calculeze fr(i);0sisearatecd: det(H2 +12)= fr(i)'fr(-i); ..
g) Si se arate cd pentru orice matrice X e U, (R)pentru care det X = -1 , este adevlratd
inegalitatea det(X2 + Iz) > 4.
O+. in M.(R) se considerl matricele A =
a) Si se arate c5: detA # detB;b) Si se arate cd : A'B - B' A= Ot;
c) Sisearateclexistain Mr(R) douimatrice CqiDpentru carc C'D-D'C * Or;
d)Sisearateci : Az + O, qi A3 =Ot ;
e) SI se arate c[ dacl X € M3(R) satisface egalitatea A'X =X'A, atunci existl
(r, ")a,b,ceR astfelincat X=10 a bl;
[oo")
matricele "=[l ),,=[l IC-+C, fok) =det(A-z ' I') '
(oro\
[::;Jgi B = 13+ A.
(
f) Sd se arate ce pentru orice n e N. este adev[ratI "Sutit^t.u
tr' = |
I
\.
65. in M, (R.) se consideri matricea
c={xeur(nle.X-x.AI.a) Si se calculeze A3o;
. n(n -I)LN2
0l' n
00 1
(rA=l
(1
o)_ I precum gi mullimear)
b) Si se arate ca det(A') * 0 , Vn e N' ; ( a
:) SE se arate cd dacd X e G,atunci existd, a.,b e R astfel incat X = [a
d)Sdsearateca uu"u x =("u oo),o,o.R,atunci *' --(r:;^-, :,
:)Sdsearatecedacl X' = A, ne N*,atunci XeG;f) Si se determine X e ,14,, (R) pentru care existd n € N- astfel inc6t X '
J6. Se considera mullimea G formata din toate matricele cu 3 linii 9i 3 coloane 9i care
ru roate elementele din mullimea U ={-2,-1,0,I,2}, precum 9i mullimea
( (x I l\ Illllr=la(x)=lt x rllxeMl.rr.llI \.t t r) )
a) Sd se calculeze determinantul matricei A(2) e H ;
b) Si se determine Bn ,ne N-' dacA B = A(l)e H ;
c) Si se arate cA exist[ A(x),A(y)e H,x * y astfel incit A(x)'A(y)e H:d) Sd se determine numdrul elementelor multimii H ;
e) Sd se arate cd pentru orice A(-r) e I/ , numdrul det A('r) este par ;
0 Sd se arate ca dac6 Ae G gi detA este un num6r intreg impar, atunci cel pufin trei
dintre elementele matricei A sunt numere intregi impare'
g) Si se arate c6 dacd A€ G gi detA este un num6r intreg impar, atunci cel pufin un
Ii"rn"n, al matricei A este numdr par'
57. Se considerd mullimea z a matricelor de ordinul 3 9i care au toate elementele in
murlimea u -{o,t,z},precumei murlimea u={o,",=fl I ll"''}-''l'
''.' t; ; .) I
a) SI se calculeze determinantul matricei A(1) e V;
b) Si se studieze dacd existi x,ye(J pentru care A(x)'A(y)eV;
c) Sd se calculeze 82,83 unde B - A(I)eV;
0\,)'
), vn. N. ,
-4.
(
' ' n(n+l))
t2ta'=lo r n I
['0 1)
d) SI se arate cepentru B = A(l)e V avem:
4l
,Vne N*;
e) Si se arate cd existd A, B e V astfel incdt det(AB) = de(BA) e U;
0 Si se arate ce dacd C e? 9i Care 8 elemente egale, atunci detC =0;g) Sd se arate ci existi De I cu det D * 0 9i pentru care D are7 elemente egale.
68' Se considerd matricere o=(o" uo)" t =S', I)t "'(R) $ runcqia
/ : R -+ R, "f
("r) = det(A'.r+ B)'
a) Sd se calculeze det A;
b) Si se arate ce "f
(0) = ,h- fg;
c) Si se arate cd : Ax+, =( **"1* /),
""t'J-[""+g dx+h)'la fl le bl
d) s6 se catculeze *=1" ll.l, olt
e) sise arateci t f (x)= det(A)'x2 +mx+det(B) ' V;e R;
fl Dac6 A,B e M r(R) $ de(A- B) = det(A+ B) =2, s6 se calculeze det(A)+det(B);
g) Dacr e,f e Ur(R') 9i de(A-B)=detB=det(A+ B)=2, sd se arate ca
det(A&+B)=2, Vke IR"
69. Se considerd mullimea M formatd din toate matricele de ordinul 3 care au toate
elementele egale cu I sau - l.a) SI se arate cA daci A€ M atunci -Ae M;b) SI se determine numirul elementelor multimii date ;
c) 56 se arate c6 dac[ Ae M, atunci det A e un numiir intreg divizibil cu 4 ;
d) Sd se arate cI dacd Ae M, atunci det Ae {-+,0,+};e) S[ se giseascl o matrice C e M pentru care detC = 4'
(z -1\20. tn M, (C)se considerd matricea o =
[o _r)ut mulfmea
H ={x t=tceN,k > 2, Xo =Or}.
a) SI se arate ci Ae H;
b) Sr se arate cd pentru orice matrice U =(o" UO). , r(A) este adevdrati egalitatea
82 -(a+ d)B +(ad -bc)Ir-- Ori
c) Sa se arate ca det(Xl) = (det X)(detY),VX,Y e Ur(A);
42
d) Sd se arate ce dacd X € Il , atunci X2 = Oz;
e) Si se arate cA ecuafia Z' = Anu are solulii tn M r(A) pentru ne N,n> 2;
f)Sisearatecafunclia f :Mr(C)- Mr(A) ,f (X)= XMB nuestesurjectivi;
g) Si se arate ce dacd Xe 11, atunci det(/, + X + Xz*'..+ Xm8) = 1.
(o o r\Tl.Seconsiderdmatricea o=l o z o | $ mullimea Co={x e ur(c)t xe= AXi.
[: oo)a) Sd se calculeze determinantul matricei O ,
, O 0 a)
b) Sr se determine a.,b,c€C astfel incat a'l 0 b 0 l= rrt
["ooJc) Si se arate cA dacd U ,V e Co , atunci U 'V e C o;
(a 0 c\
d) S[ se arate cd dacd X€ C' atunci existd a,b,ceC astfel incat X = l 0 , O li
[r. o ')e) S[ se arate ce dacd /e Co Si Y2 = Q , atunci Y = Ol,
0 S[ se arate cii d4c1t Z e Co si ZN1 = 03 , atunci Z= Oy
72. Se consider' matricere, =lit:r;J,r=(l :),"=[f fr),- =(I f),'mullimea U ={X€ M, (R)/ X' = X}.
a) Sd se calculeze determinantul matricei /,'b) Si se arate cA I eU,Le U;
c) Ss se arate cd pentru orice a,be rR , ^
= [: i),r = (; ?). u,
d) Si se arate cI dacd Ce U , atunci Cn = C,Vne N*;
e) Si se arate ce u^"u , =(i 'r). r, atunci a + d e{0,r,2};
f) S5 se scrie matricea M ca o sumi finit[ de matrice din U;g) Si se arate cI matricea K nu se poate scrie ca o sum6 finit[ de matrice din U.
43
2 :2.
Apticagii tn ge ometrie
73. SI se scrie ecuafia dreptei AB in fiecare dintre cazurile urmatoare:
a) A(2,4),8(3,-1); b) A(2,-I\,8(3,1); c) A(3'4)'B(0'2);
d) A(-1,2),8(2,5); e) 4(1,3),8(3,6); f) A(3'2)'B(5'4)'
74. 56 se determine a,be ]R. astfel incdt x+ ay +b = 0 s[ reprezinte ecuafia dreptei CD in
fiecare dintre urm[toarele cazuri :
a) C(1,3), D(2,6); b) C(0,3),D(1,2); c) C(1'6)' D(-2'-6);
d) C(2,0),D(0,2); e) C(-2,0),D(0,-1); f) C(2'-8)'D(1'-5)'
75. Determin a1i ae lR astfel incdt punctele A, B, C, in fiecare dintre cazurile urmdtoare' sd
fie distincte 9i coliniare :
a) A(I,2),8(2,3),C(4,a); b)A(1,4), B(a,L),C(0'3);
c) A(a,I),8(2,a-l),C(1,1); d) A(a,2),8(L,L+ a)'C(3'4a);
e) A(2,a),8(3,I),C(a-1,-3); fl A(1,a+1), B(0'2)'C(a'4)'
76. Calculali distanla de la punctul A(1,1) ta fiecare dintre dreptele ale c[ror ecuat'ii
urmeazd :
a) 3x-4y+2=0; b) 3x-l2Y +10=0;
c).r+y-3=0; d) 4x+3Y-2-0;e)2x+y-1=0; t)3x+3Y-4--0'
77. in sistemul de coordonate xOy se consideri punctele A^(n,n+ 2), Vne N 9i
O (0,0).Notdmcu M mullimeu {O,4,Ar,"',4}'a) Scrie{i ecua{ia drePtei /o,4';
b) Ardtati cd punctele An sunt situate pe dreapta 4/r ' Vn e N;
c) Calculali aria triunghiului O/o/t;
d) Calcula{i lungimea segmentului (O{),ne N;
, e) Care este numdrul dreptelor care trec prin cel putin dou[ puncte din M ? ;
0 Cdte triunghiuri au toate vArfurile in mul{imea M ?
78. in reperul xOy se considerd punctele Ar(o,n),8,(I,n),C,(2'n)'Dn(3'n)'ne{t"23'4i'
Se noteaza cu M mullime u {4,Ar,4,A4,8t,82,83,84}'a) Scrieli ecuatia drePtei '4r'{ib) Calculati lungimea segmentului (BrA");
c) Calculati lungimea celui mai mare segment (PQ) cdnd punctele P gi Q variazd ininteriorul sau pe frontiera patrulaterului ArArBrBri
d) Ardta{i cd daci avem l0 puncte in interiorul sau pe frontiera patrulaterului
A4DoD, atunci existl doud dintre aceste puncte care au distan{a dintre ele mai micd sau
egall cu r/2;e) Care este numdrul dreptelor care Eec prin cel put'n doud puncte din M ? ;
0 Cite triunghiuri au toate virfurile in mul{imea M ?.
79. Determina|[i me Zpentru care distanfa de la punctul A (l.l) la dreapta de ecua{ie
(m +1)x+ 2my +3m -8= 0 este egald cu 1.
fl). Determinali aria triunghiului ABC in fiecare dintre urmitoarele cazuri :
t1. Determinafi aria triunghiului MNP in fiecare dintre urmitoarele cazuri :
E2. Calculali aria patrulaterului ABCD in fiecare din cazurile de mai jos :
a) A(1, 1), B(3,3), C(2,4);c) A(-2,0), B (6,0), C (2,2);
e) A(1, 1),'8(3,3), C (0, 4);
a) M (1,2), N (3,2), P (0, 4);
c) M (l,t), N (5, -2), P(0, 0);
e) M (I,l), N (2,3), P (0,6);
a) A(2,0), B(4, 0), C(0, 4), D(6, 4);
c) A(1, 1), B(2,0), C (1,3), D(4,0);
e) A(- 1, 1), B (0,3), C (2,3), D (4,1);
b) A(0, 0), B (4,0), c (0,2);
d) A(2,2), B (4, 4), C (2, 4);
0 A(-1, 0), B(1,0), C(0,.6).
b) M (-r,2), N (r, 4), P (2,0);
d) M (1, 1), N (2,3), P(1,5);
0 M (0, 0), N (4,4), P(2,6).
b) A(0, 0), B(3,0), c(3, 3), D(0, 3);
d) A(-1, 1), B(0,3), C(4,1) , D(0,-2);f) A(-2,0), B(0, 2), C(3, 0), D (1, -2).
t3. Determina! meZpentru care triunghiul avdnd vdrfurile A(I,m),B(ru,1),C(0,1) are
aria egali cu 3.
t4. Determinafi a,beZ,a I 1 pentru care triunghiul avAnd vdrfurile
A(l,a),8(2,a),C(b,1) are aria egal6 cu 3. Este nevoie de condifia a*I ?
t5. Fie A(3,0),8(0,4). Gasili un punct M pe dreapta ! * x -0 astfel incit \o6y1= 5.
E6. Fie A(1,1), B(5,1). Gasifi ecua{ia locului geometric al punctelor M pentru care \*r,r=8.
E7. Fie A(1,0), B(3,1),C(2,5).Determinali punctele M pentru care
\ouut= \ecut= 4rort'
45
88. Fie A(2,0), B(4,0), C(3, 3). Determinafi punctele M din interiorul triunghiului ABC
pentru care 4or*l= 4ur* r
89. Se considerl in reperul xOy punctele A(- l, 3), B(0, 4), C (0,2), D(3,1)'
a) Calculali distanta de la punctul D la dreapta AB ;
b) Determinali coordonatele simetricului lui A fatd de B ;
c) Determinafi coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABD ;
d) Calculali aria triunghiului ABC ;
e) G6si{i coordonatele ortocentrului triunghiului ABC;explicali rezultatul g6sit.
2.3. Rangul unei matrice
90. SA se determine rangul fiecdreia dintre urmtrtoarele matrice :
^) o=(1 l)' b) "=[; ;)' q'=(Z I'
91. Si se determine rangul fiecdreia dintre urmdtoarele matrice :
", o=[l ? -:),
" "=[i j]
'" [i Ii]
.,"=[: ti]
(t I 2\
"t,=1, r l l;
[3 -2 L)
(t 2 -r o)
"> n=lz 4 -2 o l,
[r 6-36)
(t 2 3\
n"=[i 2l(t 2 s\
"tc--lz t ol,
[t o3)
(dn "=[,
(r 2 -r)
[: ', 1)'c) f,=
(z z z\on=l a 3 31.
[-r -1 t)
(z t o\ (z 1-2)arp=la , ol elz'=lo t zl
[r r 4) [o o s)
, o).r2)
(r -l z r)a) o=[, -z 4 t)t b) B=
92. S[ se determine rangul fiecireia dintre urmitoarele matrice :
1326-1 0
0l
46
I
13. Si se determine, in funcfie de valorile parametrilor reali a 9i b, rangul fiecdreia dintre
urmdtoarele matrice :
(z a\ (u_t r\ (t 23).'o=[; Z), ur B=["+ i.l, ') t=U ; ;)'-(244) \,?(:ti) ^--l:; lldrD=l .l; 4E-12 a 3l; f)F=''--lo t b)' t; -r z) [o b z)
lf. Si se determine, in func{ie de valorile parametrului real m rangul fiecireia dintre
urmdtoarele matrice :
(t z 4\ (m tl, oc_(2 ,,\
' A=l ^ - J; u; r=[+
m)t2 m ,*)t o) u=[; ;)' " t=[. t)'
(r r.') (m t) (m-2 tlurD=l I m tl; e)E=l I m l; OP=l-2 r *l-
[, t r) [z ^+r) tI m -2)
!t5. 56 se determine c,be IR astfel incdt fiecare dintre matricele urmltoare sI aibl rangul 2 :
(z 3 I b) (t 3 a\ (t 3 b)
"A=[+ a2t)t uya=l z +el; qc--lzuol;[-264) [tot)
(-t 14) (t I l') (a b a+b )t1o=l r a -41; "l n-lo b -21; Or=l a' bz 2a2+2b2
1'
[-r L b ) l.o' b2 + ) [t+a t+b 3+a+b )
f, Si se dea cdte un exemplu de matrice A, B care satisfac, in fiecare caz, condiliile
indicate :
a) A,Be M, (R.),A * B,rangA= rangB;
b) A,Be M, (R),A + B,rangA<rangB;
Q A,Be M, (R), A* B,detA = det B,rangA> rangB;
d) A,Be M, (R), A * B,det A + det B,rangA= rangB;
e) A,B eM, (R ), A * B,det A < det B,rangA> ralngB;
f) A, B eM3 (R ), A + B, det A= 1 + det B, rangA = I + rangB'
47
97. Sl se determine valorile parametrilor reali a, p pentru care matricea
(P | 2 4)
e=l t d 23larerangul2'
[t 2a24)
99. Sd se determine valorile parametrilor reali a,b pentru care matricele
(r -2 -2) (r -2 -z 4)
l,=13 I ol,A=13 I a 4lauambelerangul2.
[: -r r) [r -r r b)
100. s6 se determine valorile parametrilor real\ a,b pentru care matricea
(r o I b)ttA -l o | .2 -1 |
are rangul minim
[a -2 -l L)101. Sd se afle valorile posibile ale rangului matricei
98. Sd se determine valorile parametrului real d pentru care matricea
(r I -l 2)
o=lo I I tl*.rangul2.It -l 3 -ll -
[o 2 o ")
00...0or,000Qrn
[= e u^.,(C,).
0 0 0 a,,-t,n
ant A.2 A^,n-l 4.,
102. SA se determine m e lR astfel incit
aibd acelagi rang.
103. SI se studieze rangul matricei
(m I IIIt m II11 I mI
[1 I I
A_
1 l\ (t I 1)
I :l'=l:: '-)"^matricele A =
in funclie de-valorile --
:
:
jt-it\parametrului real m.
D[ sa se studieze rangul matric", "
=
[j
-3 p l)I -l 0 I in functie de valorile numdrului
Ir 2 p)
in funclie de valorilematricei C
complex P.
F. SA se studieze rangul
numlrului real q.
f. Se se studieze rangul matricei
1-l 0\I t t I in ron"tie de valorile numIrului
-l 2 ,)
(t
"=l.ireal t. (u -1 z'1
rt se se studieze rangur matric", u=l ? i ' | * **r" de valorile numdrului reat u'
t.tU-1 u)
(: z'1
ttr s'; se srudieze rangul matric"t " =|.:
,i,)in funclie de valorile numdrului real w.
(t t t) (t I 1)
16.Seconsiderlmatricele A=10 f f l,A=lln O Ol,m€lR'
[oor) \mo*)a) Sl se determine m astfel inc6t cele dou6 matrice s6 aibl acela$ rang;
b) SI se rezolve ecualia matriceald B'X ' A - Oi
c) Pentru /<e N. si se calculeze A& 9i sd se arate cd Bk + Q'Vme iR"
49
2.4. Matric e inv ersabile.
110. SA se precizeze care dintre urmdtoarele matrice sunt inversabile :
,,,=[i i),
(z",.=[o
(rrt r -lz
Ia""=[i 1: ':)'
""=[i i':)'
(z :\ul A=[r
o),
(z +\u, o=[u ,),(z :\o''=[-, u)'
(t r\ur B=[o
,),(z g)
"r E=[+
u),
(z s\.r c=[r ,),
(z +\n o=[o
u)
:)'
:ilt2)
111. S[ se precizeze care dintre urmdtoarele matrice este inversabili gi, daci e cazul, sI se
determine inversa :
112. Sd se determine m e ]R pentru care fiecare dintre matricele urmltoare este inversabillgi, pentru valoarea indicatd in fiecare caz, sd se determine inversa respectivei matrice :
, o=(: ,1)
, ,n"",ru pentru m=7; ot t =(! -i) , '"""*a
pentru m-- -5;
(m z\ -(m+2 S).l c=[z '*),rn
"rtupentru m=3; al o=[
r -
^_r),inversapenftulrt=2;(m t z\ (m 2 3)
et n=lz m ,l,,nu"ou*rnrm=0; n"=[; T
o.J ,inu"rrun"n*.=0.
Ir -r o)
113. 56 se precizeze care dintre urmltoarele matrice este inversabili 9i, dacd e cazul, sI se
determine inversa :
(rrr)a)A=l 1 r zl;
[0 0 r)
(r 1 o)
" "=[: ; lJ'
50
ru. SA se precizeze care dintre urmdtoarele matrice este inversabjld gi, dacd e cazul, si Sedetermine
(t I.le=lo I
[t o
(2 1
.lc=lt 2
[ro(t2
q r=1, s
[1 2
ffi Sd se rezolve ecuafiile matriceale :
"[:ii](z r r)
r=l r , tl.f' t r)
d)
0
(z r r\orc=l t z ol;
[rooj(t -r o\
"'=l.? : ',)'
(t r z\
"=[: ', l'. N\ A
(t o r\,=lo t o
l,[1 o2)(zr:\
r=l r , tl.[' r2)
b)
d)
0
rnversa :
z\t I',)
t\-t l',)
o\
f'
,1
"(: l^\7::)'
'[l l=(; -?)'
'(1 l)=[: i)
b)
d)
f)
:). =(? l)'
'-)'=(i -;)'2)'=(3 l)'
"[?
'[?.[lU6. SI se rezolve ecuaqiile matriceale :
(t 2 1) (t 5 4)
"'[: ;lj=[: : 1)'.,[ii?]"[ii:]
(t o z\ (z z g\ (z o r\ (z o g\
"[: l'=[.i : :J' ""[: r' :J=l; : -l'
"'[i i i] ' (ii :)' "lii il [: : ;]117. Se se determine valorile parametrului real a pentru care matricea
o=l+-" : " I esteinversabitd.
11 a --a22
1la --a22
i*t;{ r5l1
118. Daci A este o matrice pltraticd de ordinul n)-2 , nesingutard, sd se arate clde(A') = (det A)'-t, unde A' este reciproca ( sau adjuncta ) matricei A.
( I a+t "-r)119. Se considerd matricea A = | 3a a +l -2
l. Daca A* este reciproca ( sau
\2a+3 t 4 )adjuncta ) matricei A, sd se determine a e ]R astfel incdt sd fie verificatl egalitatea
A-' = A'.
(2 x r)@lSa se derermine ae IR astfel incit matrice u e=l o x-I t | ,a n" inversabildt.t
[1 I *)pentru orice .re lR.
(zx3)121. Sd se determine a e IR astfel incAt matrice u l=l * -1 "r I
se fie inversabil6
[t2")pentru orice -re lR. gi sise determine inversain cazul in care a = x=0.'
(oab\tllSeconsiderrmatricea (JeMr(n),U-l O O tllt
[00o)a) Slsedetermine a,b,celR pentru care IJz =Oi
(oac\(ooa\ttttb) Sdsedetermine a,,b,ce IR pentrucare U'10 0 b l=10 O O
l;
[ooo) [oooJc) Sd se arate cldaci [J2 = Ot, atunci 1, -U este inversabild gi inversaei este
Ir+U.
(-r t t)l!!L Se consideri matricea A=l I -1 t
l. SA se arate cI A este inversabild, sd se
[1 t -r)/o\
determine inversa ei gi sd se rezolve ecualia AX = B, unde U = I O Ilt
(,0/
llrlnmurrimea M,(R)seconsiderrmarricere ^=(; ;),r=[; i),r=[; :)
a) Sd se arate cdexisti keZ astfelincAt A+ Iz = k' B"
b) Se se determine rangul matricei A ,'
c) Sd se determine AN1;
d) sasearate cd Bn =tr+(Z' -1)'A , Vne N';I e) Si se arate cI nu existd a,b,ce ]R astfel incet aA+bB * cI, = Q'
0 Si se arate cd matricea X = An + Bn este inlgsabila Vz e N* '
( z 3\t25. i,n mullimea M, (R) se considerd matricea O*
[_, _rJ $i submulfimea
SvH =IfrEbl1ta,beQ]. i
a) S[ se arate cd Ore H;I,re H;
b) S[ se arate cd A2 - A+1;= Or;
c) S[ se calculeze rangul matricei A ;
d) Sd se arate cd existl fr e N-, rtt € Z astfelinc6t At = m' Izi
53
e) Slsecalculeze A*;0 Sisearatecidacr BeMr(q) * AB-BA' atunciBeFl;
g) S[ se arate cd dacl X e H ,X + 02, atunci X este inversabild'
126. Se noteaza cu { matricea p6tratic6 de ordinul n cateare toate elementele egale cu l'Sd se arate cd :
a) E'2 =n'Bo"I
b) I, - { este inversabilI, inversa ei fiind I ^ -;j' En,n) 2'
127. Sase determin6 matricea X pentru care urmltoarea egalitate este adevirati:
1111011100110001
.x-t234012300120001
128. DacI Ae M r(R)are proprietatea ci existi fr e N" astfel incAt Ak = Oz' sA se arate
ci matricele Ir- A Si 1, + Asunt inversabile'
129. sa se arate cd marricea A=(ou),,i=n , una" ou = {1
','rl'r, este inversabiln 9i s[
se determine inversa sa'
130. Se consider' f( a b\t o,u_z) u', mul{imile o = t[_, a) )
Go=lAeGlde(A) = /c,k€ N].
a) Slsearatecidacl A,BeG, atunci A'BeG;b) sa se arateca det(A)'det(B) =de(AB) pentru orice A'Be G ;
O c)
T:?:. cdAe G este inversabila ei A-'€ G dacd ei numai dacd
d) S[ se arate cd dacd Go + @ , atunci Go, + A ;
e) S[ se arate qd Gn*@ , Gr=A '
131. Se considerd mullimea M a matricelor de ordinul 2 care au toate elementele din
mullimea {O,t,Z} ,iar elementul de pe linia I 9i coloana I este nenul'
54
a) Sdsedeaunexempludematrice A,BeM pentrucare detA=0 $i
detB+0;(z o\
b) Sisearate"u e=[l ;)., ,darA-teM;
c) 56searatecddacd X e M, atunci -4<detX <4;d) Si se determine numirul elementelor multimii M;e) Sd se arate ci daci efectuim produsul tuturor matricelor din mullimea M, in
orice ordine, se obline o matrice care are rangul I ;
0 Si se arate ci dacd ne {4,-3,-2,...,23,4}, atunci existd
YeM cu detY=n.
tgL Se considerd polinomul f = Xz -4X +Ze R [X], funcfia
g:Mz(c)-t Mr(A), g(X) -x2-4X+2'I" eimatricea
(z 2\A=l- -- le m.(a).
[1 2) z\ /
a) S[ se arate c[ daci a 9i b sunt rldicinile lui f, atunci (a2 + b2) e N;
b) Sd se arate cd g(A) - Qr;
c) Si se arate cd g(Ir).= f (I)'Iz;d) Sd se arate cI matricea B = f (I)' /, este inversabild ;
e) Sd se arate c[ existi o matrice C e M r(C)astfel incit
B(Ir)-g(A) = (Ir- A)'C;
0 Sd se arate cd dacl X e M r(C) este o matrice pentru care g(X ) = O* atunci
matricea Ir- X este inversabili.
l(" b) lUt3. Seconsiderlmultimile G=il . -
lla,beZlgi[\.-a a) J O
g = {ee G I det A * o, A-t e G}.
a) Slsearatecidacl A,BeG, atunci A+Be G 9i A'BeG;b) Si se arate cd dacl Ae H atunci det A = 1;
c) 56 se arate ctr daci Ae H, atunci Aa = Izi
d) Se se arate ci daci A,B,C,De H Si A'B'C'D = 1r, atunci printre cele
patru matrice existi doul care sunt egale ;
e) Sdsearatecldaci A,,BeG 9i A'B=Q, atunci A=Orsau B=Oz'
55
de ordinul 3 care au toate elementele numere naturale'
a) SAsearal cddacd A,BeM ' atunci A+BeM gi A'BeM;
b) SA se arate ci matricea E este'inversabili 9i E-t fr M ;;
c)56segdseascidou6matriceC,DeMastfelincitrangC=l,rangD=2i
(gSd.searatec6dacdXeMgiX-leM,atuncisumaelementelordepefiecare\:- linie ei ;;;";;;;"t;; 1"r* l""ire
coloanr a matricei x sunt egale cu I '
136. Seconsiderimatricele o=lu o 'l9i
B=A+/r'
[e 63)' a) Si se determine rangul matricei A
" / f \
b) Sa se determine matricea Z = A-X 'Y 'unde ' =l'l'r = ir z t);
t-,t [' J
S[ se arate cI existi me V' astfelincdt A2 = m' Ai 1
56 se arate cA matricea B este inversabill'inversa ei fiind B-t = lt- ,1'At
Sd se arate ci pentru otice ne N-, n ) 2 existd an e N astfel incit A' = a'' A;
Sd se gdseascd trei matrice U ,V ,W e M, (A) de rang 1 astfel incdt
B =U +V +W;
Sisearatec6oricare arft C,DeMr(A)aerang 1' avem C +D*B'
56
c)
d)
e)
-0
c)
El- Se considerd mullimea o ={( '-l(-' i)'''""\a) Sd se arate cd I,Ote G;
b) Sasearatecddacl z,weC qi lzl'+lwl'=0, atunci z=w=Oi
c) Si se arate cd daci A,Be G, atunci A'Be G;
d) S[se arate c6dacd Ce G,C*Q, atunci Ceste inversabila gi C-' e G;
e) Sd se gdseasci o matrice X e G cu proprietatea XC * CX 'unde(-i o\C=l l;[0 i)
0 Sisearatecldaci A,BeG 9i A'B=Q,atunci A-OrsauB=Oz'
(oto)til. Seconsiderdmatricea A=l 0 O t
I gi func{ia
[0 0 o)
f : M r(c) - M 3(a), f (x) = xN, .
S[ se determine rangul matricei A ;
Si se arate c6 matricea 1, + A este inversabild 9i ci inversa sa este lr+ A+ A2;
Sd se arate cd dac[ matricea /(X) este inversabild,atunci 9i X este inversabil[ ;
e)
b)
c)
o
e)
(a b c)
Si se arate cd dac6 z =l o a b l,rnoe
[oo "lS[ se arate ci funcfia / nu este injectivd 9i
a,b,ceC 9i det(Z)=0,atunci 23 =Ol,
nici surjectiv6.
r3e. Se consider' matricere , =[: ;)," =[; 3)..**"',n sd spunemcd o
matrice Ae M r(R.)este nilpotentddaci existl n e N* astfel incdt An = Oz.
a) Sd se arate c[ matricele O, Si J sunt nilpotente, iar matticea K nu este nici
inversabild, nici nilPotentd ;
b) Sa se arate ci daci B e M r(R ) este nilpotentd, atunci 82 = Or;
c) Si se dea un exemplu, diferit de cele de la a), de matrice nilpotentd ;d) Str se arate cd matricea /, nu poate fi scrisi ca o sumi finiti de matrice nilpotente.
140. Se consideri mullimile
6 = {ae u, (n)loet(A)€ {-Lq} ,H ={Ae u;(R)/det(A) = 1} ei matricele
a) Sisearate cd X,ZeG , Y,Ire H ;
b) Si se arate cd daci A,'Be H, atunci ABe H;c) Se se arate cI orice matrice din G este inversabili 9i inversa ei este in G,'
d) SE se arate cd Z2 = /, gi ci ecualia matriceald (Jz = Iz arein H doar solu(iile 1,
gi-Ir; , i ,
e) Si se arate cd ecualia (Jz = Iz are in mulliinea G o infinitate de solufii ;
f) Si se arate cd nu existE o funcfie bijectiv[ f : G -> 11 cu proprietatea cif (A.B)= f (A).f (B) ,YA,BeG.
r1
2.5. Teste recapitulative
TEST nr.3 (nivel mediu de difrcultate) - Varianta 1
L Se considere punctele A(I,I), B (2, 4), C (0, -2), D(3, 5), E(0, 3).
a) Sd se determine care dintre punctele C 9i D este situat pe dreapta AB ,'
b) Sd se calculeze aria triunghiului ABE.
Z Sd se rezolve ecua{ia:
x22l2 x ,l=0.22rl
rr matricei ^=l: i -jl3. SI se calculeze rangt I I
\r | 0)f. S[ se dea un exemplu de doui matrice A,Be Mr(R)n"nttu care detA *O,detB *0
5i de(A+ B) = 0.
s. Seconsiderimatricea u -(o-' 3
-.],o. m..
I I a+I)e) 56 se determine multrimea valorilor lui a pentru care matricea datd este inversabilE;
b) Pentru a = 3, sI se determine inversa matricei A.
TEST nr.3 (nivel mediu de dificultate) - Varianta 2
l. Se consideri punctele Ar(n,n+ 2), B,(n,2n +1),ze N'
e) Si se scrie ecuatia dreptei ,4rA3:,
b) Sd se arate cA punctele 4,4,4 sunt coliniare ;
c) Slsearateciexisti n€ N pentru cate Bne 44;d) SA se calculeze aria triunghiului .aoAtBr.
2. S[ se arate ci dacd a, b, csunt lungimile taturilor unui triunghi pentru care
labclttl. a bl - 0, atunci triunghiul este echilateral.tllr I 1l
3. 56 se dea un exemplu de doud matrice A,B e M r(R)p"nttu care det A = 0, det B = 0
9i det(A + B) * 0;
59
1..
a)
b)
a)
b)c)
4. Si se dea un exemplu de doud matrice A,B e M r(lR)p"ntto "ar"rangA=2,rangB =2 $i rang('A+ B)*2'
(x -1 t)5. Seconsideramarricea X =l 1 x -l l,.re lR.tt
[-l L *)a) Sd se rezolve ecuafia det.X = 0;
b)SlsedeterminemullimeavalorilorluixeR'pentrucarematriceadat6esteinversabili;c) Pentru x = 1, s6 se determine inverse matricei date'
TEST nr.4 (nivel pufin sporit de dificultate) 'Varianta 1
Se considerd punctele A(I,l), B(2,3\, C (3,m)'
Sd se determi ne me Z astfelinc6t punctele date s[ fie coliniare;
sa se determi ne fne z astfelincdt punctele date s[ fie varfurile unui triunghi de arie 4'
(r tt\ (t22\Seconsiderlmatricele o=1, Z tl,aeR qi r=l Z 4 6
l'
[rs') [rlrc)Sd se determine 4 pentru care matricea dati are rangul 2 ;
Pentru a -- 2 , si se determine inversa matricei date ;
Pentru a =2, sd se rezolve ecuafia A' X = B'
3. S[ se arhte cd dacd a, b, c reprezintd lungimile laturilor unui triunghi pentru care
l2a+t Zb+I zc+rl
I t' bz "t l= 0' atunci triunghiul este isoscel'
lt" 3b 3'l (2 x 3)
4. 56 se derermine valorile paramerrului real ra pentru care matricea o=l* x-r 1 I
[t t *)
este inversabilI pentru orice x€ IR'
5. a) Si se arate ca existl cel pulin o matrice Ae M r(Z)p"nt" ciNe A2 = ZA+2lzi
b) s6 se arate c6 dacd A2 =2A+ZlTatunci matricea A+/zeste inversabila,inversa ei
fiind 42 -3A+12.
60
TEST nr.4 (nivel pu(in sporit de dificultatc) - Varianta 2
L Se considera punctele A(-2,0), B(0,3),C(4,0), D(1, ln), lz e IR.
d Si se determine m pentru care punctele A, B, D sunt coliniare;b) SI se calculeze aria triunghiului ABC ;s) Si se determine ecualia locului geometric al punctelor M pentru care triunghiurile ABMi BCM au ariile egale.
(t l 2\) ttL SA se determine p,qe IR pentru care matricele O=1, -l t l$
[3 1 p)(t r 2 3\ttI =12 -l I 3
lau acelagi rang.
It I p q).1 DacI ABC este un triunghi cu lungimea laturilor a,b,c, sd se calculeze
lo' cost A tl
n =lu' cos'B il.
l"' cos'c tl
{' a) Sn se dea un exemplu de matrice X e M r(R.)cirre are doi minoti de ordinul 2 egali
cu4 9i det X = 4i
b) Daci \ . Mr(R)9i det X = 4, sd se calculeze det X* ( adici determinantul matricei
,oipro"" j. '
.5.a) Si se arate cd existd Ae Mr(R)pent* care A2 =3Iz- A;
b) Si se arate c[ dac[ Ae Mr(R)satisface Az =3Iz-A,atunci matricea A-1, esie
irversabild, inversa ei fiind A+21,
6t
CaPirolul3SISTEME DE ECUATII LINIARE
3.I.Sisteme de ecualii
1. SI se studieze care dintre urmdtoarele sisteme este compatibil :
l2*-Y=3u)
\+*-zv =1'
(2x+3v =2b)
lo"*sv =6' c)
l3x+4y -llI sr-zy -t;[2x+ry=3
tr*-t*7=ll+*-zy +22 --2
I zx-t-z=3)rr-r, -32=2;
[ "++y -z=l
( x+4y-l-z=4l-r+:y +32-2t=3.7 ,**2y-z-t=2'[ ,r* y+z+zt=r
(4*-2y -o I x+Y=r
lz*+zv =
3x-5Y - +") \zr*zv =gi
2. Si se rezolve, folosind eventual formulele lui cJamer, urmatoarele sisteme :
( x+2y-Z=4 lZx+ Y+32=3 l3x-Y*22=7
"r l"*+n- 2z=i; b) ),*+zy+32--0; cl j 'x+ y*22=5'lrr*'4y+z=5
["*r+32=2 l-x+2Y+z=l
[ 2x+v+z=3 lx+y+22=3 lZx+Y+z--4ar l-r+lv -42=9i ellzx+3v-z=l; 0 ix+2y-z=5 ''lz**zy*22=5
l3**y*'=4 [x+3y-+22=7
3.56sestudiezecaredintreurm[toarelesistemeestecompatibilgi,incazafirmativ,s[serezolve :
(2x-y-z=0ul { "+
y+32=5 ;
lt,-r, - z=o
I x+ZY - z-t =3lrr-, - z+zt --l
o'1"* y-r-2, =z;
l*-y+zz -o
I x+2Y *32=3
ul i+x- y-22=3; c)
Itt*, -z=3( *+y+z+t--2lr*-n-z+2t=l
o l;;. ,*1,-,=z' o
[-"* y-z+zt=l
62
.fSd se studieze care dintre urn6toarele sisteme este compatibil 9i, in caz afirmativ' sI se rezolve :
I x+2y*32=l,tl Zx+y-z=l ;
[rr+ry *22=2
[zx+tr3z=4dr I .r+ y+22=3 ;
I x- Y=-r
f zx+y*z=4afx+my-22=7;
[t-r* 2z=-l( rezolvare Pentru m =3; )
| *+ y-z=oD )2x-Zy+32=l;
Lr'-, *22=r
I x+y -3dlz*+y-z=4;l r*'='
I x+3Y+4Y=!,,> I -zr+ly+ z--l;
[-"+ry +22-2l r+y*2y -d
rtlzr-y)z-2.Lr"-, *22=4
a Si se determine, in fiecare caz, valorile reale ale parametrului m pentru care
rp compatibil ; sd se rezolve fiecare sistem pentru valoarea menfionatd :
[x+2y-t3y=3 l'r+Y+mz=2nr{gr- y+2y-2; b) l2'r+ Y+32-3;
[,*- y+z=l l3x-Y+22=2( rezolvare pentru m=2; ) ( rezolvare penva m=2;)
sistemul
(mx+2y-32=3 | Zx+Y-z=m
.t I r- Zy+z--l ; 0 ] :t+ Y-27=l '
lrr-y-z=m lmx+3Y+22=3( rezolvarepentru ru=l; ) ( rezolvarepentru m=1' )
a Si se studieze care dintre urmdtoarele sisteme este compatibil 9i, in caz afirmativ, si se
mlve:( x+2y +32.-t =2lrr-r*22.+4t=6al{ ' ;
l2x+y*32*t=4I t-y*z-t=0I x+Y*z-t=2I
cl 12x- y -32+2t =0iI
I t-y -z+zt=2I x+y*22=4I
cl 12x+ y +32+t =7;I
l2*-y+z+3t=4
I x+y-22--lal lz."+ y+rnz--T i
ll*+zy* z = 8
( rezolvare Pentru t?, = 3; )
I x+ZY+32-t=2al ]sr- y+22+4t -6;
t2x+y+32+t=4lx+2y-3y --3
D )2*- y +42=t .
l-r+ Y -22=0lzr+zy-z=4
63
I z*-y+z+3t=5I
b){ x*y*27--l ;I
f.tx+y+42+2t=5
7. SI se determine a,be lR astfel incAt urmdtoarele sisteme si fie compatibile :
b)a)
ax+y*22=22x-y+z=b;
3x+y+22=4
2x-2y * z =lax- y +22=2;x* yt z=b
I x+3y -5I ot+2, = 5c){' l3x-2Y = 6
l2x+sy=3| *+ y+22=3I
D lzx+ay*32=2.I x-2y-z=b
fzx+y*z=e
"l l:"- y+z-2il.r-y+bz=0
lzx+ y+32=bal I x+ y*az=3 ;
f rr- , *zz =r
8. SI se determine a,b,ce ]R astfel incdt urmtrtoarele sisteme sd fie compatibile,iiar
matricea sistemului sd aibd rangul 2 :
I Z*-t* Z-t =l lx+2y+32+3t -I I zx+ !-t z*t --3lll
a)lx+ y+az+t=-li u) jx+ y+22+bt -0i .) J t y+at+2t=0;
["-y *z*bt=c t ax-3y+z+t=c l3x+2y+z*bt=c
l**r+22+bt=3 lrr-y+z+y=2 lx+21+az-t=3il 12x+y*ay+32=5", e1)px-Zy+az+y=2i D I2x-y+z+bt=l .
lz*-zy-z-t=" |..r+y+ 2z+bt=c l.-x+ly +22+t=c
g. S[ se rezolve urmdtoarele sisteme ( disculie dup6 valorile parametrilor reali a, b, c ) :
fax+y+z=r fax-.Zy-z-T Itt+a)t+v+z-la1 ),x+ay*z=l; b) ]2x+!-az=O; c) j x+(l+b)y+z=c;
[.r+y+oz=1 lx+ay-32-L l"+v+ (l+b)7-s2
(Ux+ y - z=I+ba)l2x+by*z=3 i
lx-2y +bz = -l
| **t*z=2e) {(l+c).x- t+z=0;
| "* y-cz=c
f*n r* z=ID lx+bt+ z=t.
lx+ y+cz-l
10. SI se rezolve urmdtoarele sisteme de ecua{ii omogene :
l2x-y-z-\ I **r-22=0a) {.r+ y-22=0; D ] 2x-Y-z-0 i c)
lr-zy+ z -o [-.'+:y -22=o
| +x-zy-22-o I zx+!-tz-oa> l-Zx+ay+32=0i el'l 3.x- y-z=O ; f)
I zx+y+z=0 L2x+2y-32=0
I x+2y -42 =O
lr*- ,+ 3z = o;
[1"+y-z=oI x+2y-7-0l-gr+zy*32 = o.
L -"- y*47=o
elpufin unul fiind nenul.
lx+21+32 =012 Se noteazl cu A matricea sistemului { 5; + 3y + z = 0.
I
[,r+3y+52=0r- Sise gdseasci o matrice B e M r(m),4 # Q astfel ?nc0t A. B = Or;
ii- SI se arate cA An * 1r, Vn € N* ;
iff- S[ se rezolve sistemul dat.
ll. Sd se rezolve sistemul :
ax+by+cz+dt =0bx-ay+dz-ct =0cx,dy-az+bt=o ' unde a' b' c'
dx+ cy -bz- at =0
d sunt numere reale,
si aibi solufii
rrcle solu{ii (x,y,z)ale sistemului pentru care x' + y' * z2 =3,
I x+2t-t z =0
l{ Se considerd sistemul liniar omogen lZr+
*l+ z = 0,rr€ IR.
lr-3y *21-QL SI se determine m pentru care sistemul admite numai solufia nuld ;
IL Si se arate cd sistemul
ls. Si se determine c e IR astfel l".at ,irt".d
{
iiPentru m=9 sdse arate cd expresia 4- y'r- *,
esteconstanti.L x2+y'+2"
x+y+z=3x+2y +32= 6 este compatibil nedeterminat. SI se determine
x+3y + 5z =9
x-2y+ z-t =02x-y+3zi(a-3)t =0
x+y+zi-t--02x+(a-l)y+ 2z+at =0
mule gi sd se rezolve in cazul a =I.
65
16. se considers matricele ^=(: ;)," =[:,
valorile parametrului real m astfel incAt si existe
xA+ yB + zC = Oz.
l(r+ o7*+$+ci+atLo
ax+by+cz+(l+d)t =0cu a+b+c+d =2.
19. Sd se arate ci sistemul
!x-m+by+cz
)r=o*r*bz atwnteo unic[ solulie pentru orice a,b,ceZ'
!r-br+ry+*
determine
pentru care
qi b pentru care urmltorul sisteryt este
1\ (m 3)
oJ't=[, oJ'se '"x,!,Ze lR:inu toate nule,
|',,x+lt1=o@ t" considerl sistemul , I **2y+32=0 ;melR.SE se determine mullimea valorilor
lmzx+4y+9.Aot"lui m pentru care sistemul admite numai solulra nqln ffise rezolve sistemul pentru m=2 'apoim=3. - .|-' ^-J-
\ . -l
18. saserezolvesitemur lax+(1+b)l+c-z+a1=1, uno" a, b, c, dsunrnumerereale' lax+by+(l+c)z +dt=O
reali a20. SA se determine valorile parametrilor
lx+2Y-22=4incompatibil ,I Z** y*bz=4 .
L *- l*z=8
21. SA se determine valorile parametrilor reali c ai b pentru care urmetorul sistem este
axtbY + 1=lbx+ay+bz=a.x+ Y + aZ=b
incompatibil:
66
ne
're LIE' Si se determine inversa matricei A =
x-y+22-t=4x*Zy - z+zt =lx+y-3y*t=4'x-y*z-t=-2x+y+Z*t=32x-y*ztt=2x'2y+22*t=-l I
2x+ y- z*t --6
x* y-22*t =32x+y-32-t=2-x+y*22*2t=2'
11l0l1
I1
1 e u,(z).
[ 3x+2Y =3rt{- ;
[6x-5Y = -3
111...0
o, hrr se consideri sistemul li::;;;==f , o. n .
l-x+zy+z=ol, a) Calculali determinantul gi rangul matricei sistemului dat ;
b) Determinafi valorile lui a pentru care sistemul are gi solufii diferite de cea banald ;
c) Pentru a = 0, aritati ci valoarea expresiei 'l* ":
'i este constanta.z -y -x
![, Sii se rezolve, folosind eventual metoda lui Gauss, urmdtoarele sisteme de ecua]ii liniare:
b)
d)
[ 2x-y+7-3),*+Zy+32=9 ;
l4x+ y -22 -t
3x+y+z-t=3
folosind eventual metoda matriceale, urmltoarele
x+ y-22=5-2x+ y t3z -- -53x+y+22=2
x+y-z-Zt=-I2x+y+t =3
! * z*t --3x-y-2t=-I
[ ,+ y t2z=3o lt- 2y*z=2 .
l2x+3y-z=t
sisteme de ecualii!a SI se rezolve,ffnire:
Ir*-!*z-rn' ]4x-2y+ z=2
It*, -22=2[r+y-z-2t=l rr-y-t=Zt'l x+2y*z=!I t* z-t=3
b)
d)
3
67
26. SA se determine constantele
egalit6li :
rcale a, b, c astfel incdt sd fie adevdrate urmdtoarele
--3-+:''vxe (t,"");ur-f = o * b ,vxe(1,..);--' 4x'-l 2x-L 2x+l
a ++* =e *!* fi, vxe (2,"") ;' I -3x" +2x x x-labx
") "Gtt =i*fil,vxe (0,"");
b)
d)
9x2 -3x-2x'-2
x' -3x'+2x1
(x2 +l)(xz + 4)
3x-2' 3x+l'a b c .,
=- a--'-1. - - .,Vxe(Z,,*x x-l x-2
abx--J-+-?,V-re R.
x" +l x'+4
27. S5 se determine m e IR. pentru care dreptele de ecualii
J7.-y*l=0, 4x-)t1= 0, x-my*m -0 suntconcurente'
28. Sd se determine m e ]R pentru care dreptele de ecua{ii
my -2x+l=0 , 2y + x-3 -0 , 3y -mx-2 = 0 sunt concurente'
29. Patru prietene ( Alina, Bianca, Roxana, Lucia ) joac6 un joc ; este randul Alinei s5
ghiceasci ^ce
numere iqi aleg prietenele sale 9i pentru aceasta are voie sd puni trei
intreblri.Iatd intrebSrile Alinei :
1) Care este suma numerelor alese de voi ( se adreseazd prietenelor ) ? Raspunsul i 18. . ^ZjOacAnum6rul ales de Lucia se dubleaz[, iar al Roxanei se tripleazi, ce sumd obfineli ?
Rlspunsul vine imediat : 38.
3) DacI ain triplut numdrului ales de Lucia scideli dublul sumei celorlalte, cdt obline.ti ?
RdsPuns: 14.
Poate gisi Alina cele trei numere?
30. 3 echipe de muncitori au de slpat un |ant. DacI prima echipi lucreazd 8 zile, a doua
mai sapi i zile gi .lucrarea se incheie. Daci prima echipi lucreazd 6 zile,, a treia echipl ar
mai avea de luciat 5 zile ( avdnd in vedere ritmul in care lucreazl ) 9i s-ar incheia lucrarea'
Dacd ar lucra toate ectripete, impreuna, in 4 zile s-ar termina de sdpat gan;ul' in cdte zile
poate termina lucrarea fiecare echipd separat ?
68
