Grup Scolar “Radu Cernatescu” - IasiClasa: a X a CProfesor: Atudorei MariaDisciplina: Matematică

Unitatea de învăţare: Metode de numărareTema lecţiei: Binomul lui NewtonTipul lecţiei: Lecţie de dobândire de noi cunoştinţeLocul desfăşurării: sala de clasăData: 17 mai 2012

PROIECT DE LECŢIE

COMPETENTE GENERALE:1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite.2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţurile matematice.3. Utilizarea algoritmilor şi conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete.4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora.5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii – problemă.6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii.

COMPETENTE SPECIFICE:1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul de soluţii admise2. Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situaţii –problemă date3. Utilizarea unor formule combinatoriale în raţionamente de tip inductiv4. Exprimarea, în moduri variate, a caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare5. Interpretarea unor situaţii problemă cu conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a elementelor de combinatorică. 6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaţii practice în scopul optimizării rezultatelor

Obiective operaţionale: Să identifice situaţiile în care pot aplica formula binomului lui Newton şi să o poată utiliza. Să cunoască şi să aplice formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton. Sa rezolve diferite tipuri de probleme (egalităţi şi inegalităţi utilizând binomul lui Newton, sume, relaţii între termeni în condiţii date).

Valori şi atitudini:1. Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative, a independenţei în gândire şi acţiune.2. Manifestarea iniţiativei, a disponibilităţii de a aborda sarcini variate, a tenacităţii, a perseverenţei şi a capacităţii de concentrare.3. Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii.

1

4. Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.5. Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa socială şi profesională.

STRATEGII DIDACTICE: Metode şi procedee: conversaţia euristică, explicaţia, exerciţiul, problematizarea, lucrul individual, descoperirea dirijată Modul de organizare al clasei: frontal, individual Procedee de evaluare : analiza răspunsurilor primite; analiza şi compararea rezultatelor elevilor; aprecierea corectitudinii rezolvării aplicaţiilor (verbală / notarea activităţii elevilor).

RESURSE: Materiale didactice: manualul, fişe cu probleme, tabla, creta Umane: elevii clasei

Locul: sala de clasă.

Bibliografie: programa şcolară, planificarea, manual matematică clasa a X M. Burtea, G.Burtea, Ed. Carminis, culegere probleme clasa a X a, Editura Campion.

2

DESFĂŞURAREA LECŢIEI

Etapele lecţiei Conţinutul lecţiei MetodeModul de organizare

Procedee de evaluare

1. Moment organizatoric Verificarea prezenţei elevilor, notarea absenţelor în catalog. Conversaţie Frontal

2. Captarea atenţieiVerificarea temei prin sondaj, prin confruntarea rezultatelor, iar dacă există probleme nerezolvate, acestea se rezolvă la tablă.

ConversaţieFrontalIndividual

analiza răspunsurilor

3. Anunţarea temeiSe anunţă clasa că lecţia prezentată se intitulează Binomul lui Newton, se prezintă competenţele

Conversaţie Frontalobservarea elevilor

4. Dirijarea învăţării Pornind de la formulele cunoscute

şi observând că în membrul drept al egalităţilor coeficienţii apăruţi sunt cei din linia corespunzătoare a triunghiului lui Pascal, propun elevilor evidenţierea unor proprietăţi rezultate din observarea formulelor,cu privire la:

Numărul de termeni din dezvoltare , care este de n+1. Coeficienţii termenilor: coeficienţii egal depărtaţi de extremi şi extremi sunt egali. Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0, exponenţii puterilor lui

b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formulele de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului.

Vom arăta că pentru orice , are loc următoarea formulă (Formula lui

Newton):

Fie, . Atunci:

.

Demonstraţia se realizează prin metoda inducţiei matematice:

Notăm P(n):

ConversaţieExplicaţieProblematiza-reaExerciţiul

FrontalIndividual

analiza răspunsurilor

3

1. Pentru n=1

2. Presupunem P(m) adevărată şi demonstrăm că P(m+1) adevărată.

După ce ambele etape au fost verificate, rezultă P(n) adevărată pentru orice

.

Coeficienţii Cn0, Cn

1, Cn2, …, Cn

n se numesc coeficienţi binomiali.

Aplicaţii:

Folosind formula binomului lui Newton să se dezvolte: şi

Observaţii: Se face distincţie între coeficientul unui termen din dezvoltare şi coeficientul

binomial al aceluiaşi termen.

dezvoltarea are n+1 termeni

Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0, exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la cel mai mare, dar pentru orice termen din formula de mai sus, suma exponenţilor lui a şi b este egală cu exponentul puterii binomului.

Coeficienţii binomiali egal depărtaţi de extremi şi extremi sunt egali

(combinări complementare). Pentru n par, coeficientul binomial din mijlocul dezvoltării este cel mai mare. Pentru n impar, coeficienţii binomiali din mijlocul dezvoltării sunt cei mai mari şi

sunt egali între ei.

Termenul general al dezvoltării este , numit şi termen de rang

k+1.

Aplicaţii: Determină termenul al patrulea din dezvoltarea

4

Determină termenul ce nu conţine a în dezvoltarea

Determină termenul din mijloc al dezvoltării

Pornind de la formula binomului lui Newton se poate demonstra că:

Suma coeficienţilor binomiali de rang par este egală cu suma coeficienţilor

binomiali de rang impar

5.Intensificarea retenţiei

Propun rezolvarea problemelor:

1. Demonstraţi că între doi termeni consecutivi ai dezvoltării există relaţia

.

2. Să se găsească rangul celui mai mare termen din dezvoltarea

ConversaţieExplicaţie ProblematizareaExerciţiulÎnvăţarea prin descoperire

FrontalIndividual

analiza răspunsurilor

6. Asigurarea feed – back-ului

Fişă de lucruMuncă independentă

Individualanaliza răspunsurilor

7. Evaluare Aprecierea elevilor care au răspuns în timpul lecţieiConversaţie Frontal

Individual8. Tema pentru acasă

Exerciţii din manualProblemele rămase nerezolvate din fişă

ConversaţieExplicaţia

Frontal

5