www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

Bacalaureat

Model subiecte Bacalaureat 2013

Matematica M_mate-info

Subiecte rezolvate – Model subiecte Bacalaureat 2013, M_mate-info

Gasiti mai jos rezolvarea detaliata a subiectelor model Bacalaureat 2013, M_mate-info

Subiectul I

1. Aratati ca n = ( 5 - 1) 2 + 2 5 este natural.

Rezolvare:

n = ( 5 - 1) 2 + 2 5 = 5 - 2 5 + 1 + 2 5 = 6N.

2. Determinati valorile reale ale lui m pentru care graficul functiei f:R R, f(x) = x 2 + mx + 4 intersecteaza axa Ox in doua puncte distincte.

Rezolvare:

f intersecteaza axa Ox in 2 puncte daca si numai daca ecuatia f(x) = 0 are doua solutii disincte, deci daca > 0.

x 2 + mx + 4 = 0, = m 2 - 16 > 0 (m – 4)(m + 4) >0

m - -4 4 + m 2 - 16 + + + + 0 - - - 0 + + + + +

Deci m( - , - 4) (4, + )

3. Rezolvati in multimea numerelor reale, ecuatia log 2 (2 - x 2 ) = log 2 x.

Rezolvare:

Conditii de existenta a logaritmilor

0x0x2 2

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

log 2 (2 - x 2 )=log 2 x 2 - x 2 = x x 2 + x – 2 = 0, = 1 + 8 = 9, x 2,1 =2

31 x 1 = - 2, x 2 = 1.

Verificam daca sunt satisfacute conditiile de mai sus:

x 1 = - 2 < 0 x 1 = - 2 nu este solutie.

x 2 = 1 > 0 si 2 - x 22 = 2 - 1 = 1 > 0 . Deci x 2 = 1 satisface cele 2 conditii, deci este solutie a ecuatiei.

Deci S = {1}.

4. Calculati probabilitatea ca, alegand la intamplare una dintre submultimile multimii A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, aceasta sa aiba cel mult un element.

Rezolvare:

P = posibilecazuridenumarul

favorabilecazuridenumarul

Numarul cazurilor posibile = numarul total al submultimilor multimii A Numarul cazurilor favorabile = numarul total al submultimilor lui A cu un element sau 0 elemente

numarul total al submultimilor multimii A = 2 7 = 128 elemente

Submultimilor lui A cu un element sau 0 elemente sunt {1}, {2}, ... , {7}, Ø . Deci avem 8 elemente

Deci P = 128

8 = 161 = 0, 0625

5. Se considera punctele A, B si C astfel incat

AB = i

+ 6 j

si

BC = 4 i

+ 6 j

. Determinati lungimea segmentului [AC].

Rezolvare:

AC =

AB +

BC = i

+ 6 j

+ 4 i

+ 6 j

= 5 i

+ 12 j

[AC] =

AC = 22 125 = 14425 = 169 = 13.

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

6. Se considera numerele reale a si b astfel incat a + b = 3 . Aratati ca 2cos b = cos a + 3 sin a.

Rezolvare:

a + b = 3 b =

3 - a

2cos b = 2 cos

a3

= 2(cos3 cos a + sin

3 sin a) = 2(

21 cos a +

23 sin a)=

= cos a + 3 sin a.

Deci oricare ar fi numerele reale a si b astfel incat a + b = 3 avem 2cos b = cos a + 3 sin a.

Subiectul II

1. Se noteaza cu D(x, y) determinantul A(x, y) =

xy11x221x

M 3 (R).

a) Calculati D( -1, 2). b) Determinati numarul real q pentru care matrice A(2, q) are rangul egal cu 2. c) Aratati ca exista cel putin o pereche (x, y) de numere reale, cu x y, pentru care D(x, y) = D(y, x). Rezolvare:

a) D( -1, 2) =121

112211

= -1 + 1 + 8 + 2 + 2 + 2 = 16

b) A(2, q) =

2q1122212

. Rang A(2, q) = 2 D(2, q) = 0

D(2, q) =2q1122212

= 8 + 1 + 4q – 4 – 2q – 4 = 1 + 2q, D(2, q) = 0 1 + 2q = 0 q = -21

Minorul 2212

= 4 – 2 = 2 0 pentru orice qR

Deci pentru q = -21 rang A(2, q) = 2

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

c) D(x, y) = D(y, x) xy11x221x

= yx11y221y x 3 +1+4y–2x–xy–2x = y 3 +1+4x – 2y-xy -2y

x 3 - y 3 + 8y – 8x = 0 (x – y)(x 2 + xy + y 2 ) – 8(x – y) = 0 (x – y)( x 2 + xy + y 2 - 8) = 0 x y x 2 + xy + y 2 - 8 = 0. Consideram ecuatia in necunoscuta x, = y 2 - 4 y 2 + 32 = 32 - y 2 0 32 - y 2 0 y 24,24 . Deci pentru y 24,24 avem y 2 32 astfel incat 0. Deci ecuatia in x are solutii reale. Exemplu: pentru y = 0 obtinem x 2 + xy + y 2 - 8 = 0 x 2 - 8 = 0 x = 2 2 . Deci daca consideram x= 2 2 si y = 0 avem x y si D(2 2 , 0) = D(0, 2 2 ) = 1+8 2 . Deci exista cel putin o pereche (x, y) de numere reale, cu x y, pentru care D(x, y) = D(y, x). 2. Se noteaza cu x 1 , x 2 , x 3 radacinile din C ale polinomului f = X 3 + X – m, unde m este un numar real. a) Determinati m astfel incat restul impartirii polinomului f(X) la X – 1 sa fie egal cu 8. b) Aratati ca numarul x 2

1 + x 22 + x 2

3 este intreg, pentru orice mR c) In cazul m = 2 determinati patru numere intregi a, b, c, d, cu a > 0, astfel incat polinomul

g = aX 3 + bX 2 + cX + d sa aiba radacinile 1x

1 , 2x

1 , 3x

1 .

Rezolvare: a) f(1) = 8 1 3 + 1 – m = 8 m = - 6 b) (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 = x 2

1 + x 22 + x 2

3 + 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) x 2

1 + x 22 + x 2

3 = (x 1 + x 2 + x 3 ) 2 - 2(x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )

Conform relatiile lui Viete avem

mxxx1xxxxxx

0 = x + x +x

321

133221

321

x 21 + x 2

2 + x 23 = 0 - 2·1 x 2

1 + x 22 + x 2

3 = -2Z pentru orice mR

c) Pentru m = 2 avem

2xxx1xxxxxx

0 = x + x +x

321

133221

321

Relatiile lui Viete pentru polinomul g , a > 0 si radacinile 1x

1 , 2x

1 , 3x

1 sunt

ad

x1

x1

x1

ac

x1

x1

x1

x1

x1

x1

ab

x1

x1

x1

321

323121

321

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

1x1 +

2x1 +

3x1 =

321

213132

xxxxxxxxx

= 21

1x1 ·

2x1 +

1x1 ·

3x1 +

2x1 ·

3x1 =

321

123

xxxxxx

=20 = 0

1x1 ·

2x1 ·

3x1 =

21

ad

x1

x1

x1

ac

x1

x1

x1

x1

x1

x1

ab

x1

x1

x1

321

323121

321

ad

21

ac0

ab

21

2ad

0c2ab

Consideram a = 2 > 0

1d0c

1b.

Deci daca m = 2, pentru a = 2, b = -1, c = 0 si d = - 1 polinomul g = 2X 3 - X 2 - 1 are radacinile

1x1 ,

2x1 ,

3x1 .

Subiectul III 1. Se considera functia f: R R, f(x) = e x - x. a) Calculati f'(0). b) Aratati ca, pentru fiecare numar natural n 2, ecuatia f(x) = n are exact o solutie in intervalul (0, + ). c) Fie x n unica solutie din intervalul (0, + ) a ecuatiei f(x) = n, unde n este numar natural, n 2. Aratati ca

nlim x n = + .

Rezolvare: a) f'(x) = e x - 1 f'(0) = e 0 - 1 = 1 – 1 = 0 b) Fie functia g: R R, g(x) = f(x) – n. g este derivabila si g'(x) = f'(x) = e x - 1. g'(x) = 0 e x - 1 = 0 e x = 1 x = 0

g(0) = e 0 - 0 - n = 1 – n < 0 pentru n 2 .

x - 0 + g'(x) - - - - - 0 + + + + + + g(x)

+ g(0)

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

xlim g(x)=

xlim (e x - x – n)=

xlim x

xn

1x

e x

= +

Deoarece g(0) < 0 si x

lim g(x)=+ ecuatia g(x)= 0 are o solutie unica pe intervalul (0,+ ).

Deci ecuatia f(x) = n are o solutie unica pe intervalul (0, + ) oricare ar fi numarul natural n , n 2. c) x n solutie a ecuatie f(x) = n , n 2 e nx -x n =n e nx =x n + n> n ln e nx =ln(x n + n) > ln n x n > ln n. Deci x n > ln n pentru orice n 2 si

nlim ln n = +

nlim x n = +

2. Se considera sirul functia f:R R, f(x) = cos x si se noteaza cu S suprafata plana delmitata

de graficul functiei f, axa Ox si dreptele de ecuati x = 0 si x = 2 .

a) Calculati aria suprafetei S. b) Calculati volumul corpului obtinut prin rotatia suprafetei S in jurul axei Ox. c) Demonstrati ca

2

0

n dx)kx(f = 2

0

n dx)x(f , pentru orice numere naturale n, k 1.

Rezolvare:

a) S = 2

0xdxcos = sin x

0

2

= sin 2 - sin 0 = 1 -0 = 1

b) V = 2

0

2 xdxcos . 2

0

2 xdxcos = 2

0dx)'x(sinxcos = cos x·sin x

0

2

-

20

dx)x)(sinxsin( =

= 0 + 2

0

2 xdxsin =

20

2 dx)xcos1( = 2

0dx -

2

0

2 xdxcos 2 2

0

2 xdxcos = x0

2

= 2

2

0

2 xdxcos = 4 . Deci V =

2

0

2 xdxcos = ·4 =

4

2

c) Demonstram prin inductie dupa n 1.

n = 1 2

0dx)kx(f =

2

0kxdxcos =

k1 sin'kx 2

0 = 0

2

0dx)x(f =

2

0xdxcos = sin x 2

0 = 0 . Deci 2

0dx)kx(f =

2

0dx)x(f

Presupunem ca 2

0

h dx)kx(f = 2

0

h dx)x(f pentru orice h = n,1 si k 1. (1)

Aratam ca relatia este adevarata pentru n+1

2

0

1n dx)kx(f = 2

0

1n kxdxcos = k1

2

0

n dx)'kx(sinkxcos =k1 cos n kx sin kx 2

0 -

- k1

2

0

1n kxdxsink)kxsin(kxcosn = 2

0

21n kxdxsinkxcosn =

=

2

0

21n dx)kxcos1(kxcosn = 2

0

1n kxdxcosn - n 2

0

1n kxdxcos

www.matematicon.ro

www.matematicon.ro

(n+1) 2

0

1n kxdxcos = 2

0

1n kxdxcosn 2

0

1n kxdxcos =1n

n

2

0

1n kxdxcos

2

0

1n dx)x(f = 2

0

1n xdxcos = 2

0

n dx)'x(sinxcos = cos n x sin x 20 -

-

2

0

1n xdxsin)xsin(xcosn = 2

0

21n xdxsinxcosn =

2

0

21n dx)xcos1(xcosn =

= 2

0

1n xdxcosn - n 2

0

1n xdxcos (n+1) 2

0

1n xdxcos = 2

0

1n xdxcosn

2

0

1n xdxcos =1n

n

2

0

1n xdxcos

Deoarece 2

0

1n kxdxcos = 2

0

1n xdxcos , conform (1) 2

0

1n kxdxcos = 2

0

1n xdxcos .

Deci 2

0

n dx)kx(f = 2

0

n dx)x(f , pentru orice numere naturale n, k 1.